2016年全国硕士研究生入学统一数学二考试
2016年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.
（1）设11)a x =，2a =，31a .当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是
（A ）123,,a a a . （B ）231,,a a a .
（C ）213,,a a a . （D ）321,,a a a .
（2）已知函数2(1),1,()ln ,
1,x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩则()f x 的一个原函数是 （A ）2(1), 1.()(ln 1), 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩（B ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.
x x F x x x x ⎧-<=⎨+-≥⎩
（C ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨++≥⎩（D ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩
（3）反常积分1
21x e dx x -∞⎰①，1+201x e dx x ∞⎰②的敛散性为 （A ）①收敛，②收敛.（B ）①收敛，②发散.
（C ）①收敛，②收敛.（D ）①收敛，②发散.
（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，求导函数的图形如图所示，则
（A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.
（B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点.
（C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点.
（D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.
（5）设函数()(1,2)i f x i =具有二阶连续导数，且0()0(1,2)i f x i <=，若两条曲线()(1,2)i y f x i ==在点00(,)x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线1()y f x =的曲率大于曲线2()y f x =的曲率，
（A ）12()()()f x f x g x ≤≤（B ）21()()()f x f x g x ≤≤
（C ）12()()()f x g x f x ≤≤（D ）21()()()f x g x f x ≤≤
（6）已知函数(,)x
e f x y x y
=-，则 （A ）''0x y f f -=（B ）''0x y f f +=
（C ）''x y f f f -=（D ）''x y f f f +=
（7）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是
（A ）T A 与T B 相似（B ）1A -与1B -相似
（C ）T A A +与T B B +相似（D ）1A A -+与1B B -+相似
（8）设二次型222123123122313(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x =+++++的正、负惯性指数分别为1,2，
则
（A ）1a >（B ）2a <-（C ）21a -<<（D ）1a =与2a =-
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
（9）曲线3
22arctan(1)1x y x x
=+++的斜渐近线方程为____________. （10）极限2112lim (sin 2sin sin )n n n n n n n
→∞+++= ____________. （11）以2x y x e =-和2y x =为特解的一阶非齐次线性微分方程为____________.
（12）已知函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，且20()(1)2()d x
f x x f t t =++⎰，则当2n ≥时，()(0)n f =____________.
（13）已知动点P 在曲线3y x =上运动，记坐标原点与点P 间的距离为l .若点P 的横坐标时间
的变化率为常数0v ，则当点P 运动到点(1,1)时，l 对时间的变化率是_______.
（14）设矩阵111111a a a --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦与110011101⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
等价，则_________.a =
三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
设函数1
220()(0)f x t x dt x =->⎰，求'()f x 并求()f x 的最小值.
（17）（本题满分10分）
已知函数(,)z z x y =由方程22()ln 2(1)0x y z z x y +++++=确定，求(,)z z x y =的极值.
（18）（本题满分10分）
设D 是由直线1y =，y x =，y x =-围成的有界区域，计算二重积分22
22.D x xy y dxdy x y --+⎰⎰
已知1()x y x e =，2()()x y x u x e =是二阶微分方程(21)(21)'20n x y x y y --++=的解，若(1)u e -=，(0)1u =-，求()u x ，并写出该微分方程的通解。
（20）（本题满分11分）
设D 是由曲线1)y x =≤≤与33cos 02sin x t t y t π⎧=⎪⎛⎫≤≤⎨ ⎪=⎝⎭⎪⎩围成的平面区域，求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。
（21）（本题满分11分）
已知()f x 在3[0,]2π上连续，在3(0,)2π内是函数cos 23x x π
-的一个原函数(0)0f =。
（Ⅰ）求()f x 在区间3[0,]2
π上的平均值； （Ⅱ）证明()f x 在区间3(0,)2
π内存在唯一零点。
设矩阵11110111a A a a a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭，0122a β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且方程组Ax β=无解。
（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求方程组T T A Ax A β=的通解。
（23）（本题满分11分）
已知矩阵011230000A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
（Ⅰ）求99A
（Ⅱ）设3阶矩阵123(,,)B ααα=满足2B BA =。
记100123(,,)B βββ=，将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
2016年考研数学二真题及解析
数 学（二） 试 题 及 解 答
本文档仅供学习交流之用. 试题来源于网络, 解答由孟庆鑫提供, 个人观点仅供参考.
一、选择题：1 ∼ 8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个 选项是符合题目要求的.
1.
设
a1
=
x
(
√ cos x
x < 1, 则 f (x) 的一个原函数是 x ⩾ 1,
(D) a3, a2, a1. [D]
(x − 1)2, x < 1, (A) F (x) = x(lnx − 1), x ⩾ 1.
(x − 1)2,
x < 1,
(C) F (x) = x(lnx + 1) + 1, x ⩾ 1.
(x − 1)2, (B) F (x) = x(lnx + 1) − 1, (x − 1)2, (D) F (x) = x(lnx − 1) + 1,
[B]
y
(A) 函数 f (x) 有 2 个极值点, 曲线 y = f (x) 有 2 个拐点.
(B) 函数 f (x) 有 2 个极值点, 曲线 y = f (x) 有 3 个拐点.
(C) 函数 f (x) 有 3 个极值点, 曲线 y = f (x) 有 1 个拐点.
(D) 函数 f (x) 有 3 个极值点, 曲线 y = f (x) 有 2 个拐点.
[A]
数学（二） 试题及解答 · 第 1 页（共 6 页）
长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
(A) f1(x) ⩽ f2(x) ⩽ g(x). (C) f1(x) ⩽ g(x) ⩽ f2(x).
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案及解析
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案及解析一、选择题（1）设1231),1a x a a =，则（ ）.A. 123,,a a aB. 231,,a a aC. 213,,a a aD. 321,,a a a 【答案】B 【解析】21151362231101()22ln(1113x a x x x x a x x x a x +→=-=-=+==当时，所以，从低到高的顺序为a 2,a 3,a 1,选B.（2）已知函数2(1),1()ln ,1x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）.A. 2(1),1()(ln 1),1x x F x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩B. 2(1),1()(ln 1)1,1x x F x x x x ⎧-<=⎨+-≥⎩C. 2(1),1()(ln 1)1,1x x F x x x x ⎧-<=⎨++≥⎩D. 2(1),1()(ln 1)1,1x x F x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩【答案】D【解析】对函数()f x 做不定积分可得原函数，1ln ln ln xdx x x x dx x x x C x=-⋅=-+⎰⎰，因此选择D.（3）反常函数①121x e dx x -∞⎰，②1201x e dx x+∞⎰的敛散性为（ ）. A. ①收敛，②收敛 B. ①收敛，②发散 C. ①发散，②收敛 D. ①发散，②发散 【答案】B【解析】①111102011[lim lim ](01)1xxx x x x e dx e d e e x x--∞-∞→∞→=-=--=--=⎰⎰收敛。
②111110200011[lim lim ]xx x xxx x e dx e d e e e x x+∞+∞+∞→∞→=-=-=--=+∞⎰⎰发散。
所以，选B.（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则（ ）.A. 函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点B. 函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点C. 函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点D. 函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点 【答案】B【解析】根据图像可知导数为零的点有3个，但是最右边的点左右两侧导数均为正值，因此不是极值点，故有2个极值点，而拐点是一阶导数的极值点或者是不可导点，在这个图像上，一阶导数的极值点有2个，不可导点有1个，因此有3个拐点.（5）设函数()(1,2)i f x i =具有二级连续导数，且0''()0(1,2)i f x i <=，若两条求曲线()(1,2)i y f x i ==在点00(,)x y 处具有公切线()y g x =，且在该点曲线1()y f x =的曲率大于曲线2()y f x =，则在0x 的某个邻域内，有（ ）. A. 12()()()f x f x g x ≤≤ B. 21()()()f x f x g x ≤≤ C. 12()()()f x g x f x ≤≤ D. 21()()()f x g x f x ≤≤ 【答案】A【解析】因y=f 1(x)与y=f 2(x)在(x 0,y 0)有公切线，则f 1(x 0)=f 2(x 0), f 1’ (x 0)=f 2’(x 0) 又y=f 1(x)与y=f 2(x) 在(x 0,y 0)处的曲率关系为k 1>k 2.10201233121222101010201020|''()||''()|,[1()][1()]"()0,"()0,"()"()0.f x f x k k f x f x f x f x f x f x ==++<<<<因又则从而在x 0的某个领域内f 1(x)与f 2(x)均为凸函数，故f 1(x)≤g(x), f 2(x)≤g(x),排除C,D. 令F(x)=f 1(x)-f 2(x),则F(x 0)=0，F ’(x 0)=0, F ”(x 0)<0. 由极值的第二充分条件得x=x 0为极大值点。
2016年全国硕士研究生招生考试数学(一)真题(含解析)
Cov(x,y)
PXY
VD(X) - VD(Y)
二、填空题
2
---------- X
一9
=----1
94
2'
（9）【答案】
【解】
Zln(l + Zsin t)dt
lim 0
■r f 0
i
1
―
COS
X
2
t ln( 1 + /sin / )dt
lim 0
工f 0
14
—X
2
（10）［答案】_/ +（》一1）4
x ln( 1 + j? sin x )_ 1
lim
j--*0
2工3
【解】rot A
a
a
=j + (y — 1)R.
xyz
N
(11) 【答案】 一djr +2d』・
【解】将x =Q ,y =1代入得n 1.
(工l)z — y2 =x2f (x —nq)两边关于jc求偏导得
n + («z +1)n： = 2jc f Jjc 一 z
:
*:
*
9
)9
)
99
)) 99
))
8
(8
(
:
*
9
)
99
))
8
(
2016年数学（一）真题解析
一、选择题
（1）【答案】（O.
「+°°
【解】
0
dx ( 1 + j? )6
1
cLz
*
o j?"(l +工)"
1
djr
1+ 壬“（
2016年考研数学二真题及答案解析
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1、设1(cos 1)a x x =-，32l n(1)a x x =+，3311a x =+-.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是()（A ）123,,a a a .（B ）231,,a a a .（C ）213,,a a a .（D ）321,,a a a .【答案】（B ）【解析】当0x +→时，211(cos 1)~2a x x x =--,5362l n(1)~a x x x =+,33111~3a x x=+-所以3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是231,,a a a ，故选B.2、已知函数2(1),1,()ln ,1,x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩则()f x 的一个原函数是（A ）2(1), 1.()(ln 1), 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩（B ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨+-≥⎩（C ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨++≥⎩（D ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩【答案】（D ）【解析】2(1)1()()ln 1x x F x f x dx x x x Cx ⎧-<==⎨-+>⎩⎰，()F x 需连续，(1)(1)F F +-=1C ⇒=3、反常积分121x e dx x -∞⎰①，1+201x e dx x∞⎰②的敛散性为（A ）①收敛，②收敛.（B ）①收敛，②发散.（C ）①发散，②收敛.（D ）①发散，②发散.【答案】（B ）【解析】11111020011(lim lim )1x x x x x x x e dx e d e e e x x--∞-∞→-∞→=-=-=--=-∞⎰⎰，收敛111111+2000011(lim lim )1lim 0x x x x x xx x x e dx e d e e e e x x++∞+∞→+∞→→+∞=-=-=--=-+=+∞⎰⎰，发散故选B.4、设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则()（A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.（B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点.（C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点.（D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.【答案】（B ）【解析】根据极值的必要条件可知，极值点可能是驻点或导数不存在的点。
2016年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
（12）已知函数 f (x) 在 (, ) 上连续，且 f (x) (x 1)2 2 x f (t)dt ，则当 n 2 时，f (n) (0) 0
____________.
2
由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯)
（13）已知动点 P 在曲线 y x3 上运动，记坐标原点与点 P 间的距离为 l .若点 P 的横坐标时间
【详解】u( x, y) 在平面有界闭区域 D 上连续，所以 u( x, y) 在 D 内必然有最大值和最小值．并且如果在
内部存在驻点 ( x0 ,
y0 ) ，也就是
u x
u y
0
，在这个点处
A
2u x 2
,C
2u y 2
,B
2u xy
2u yx
，由条
件，显然 AC B2 0 ，显然 u( x, y) 不是极值点，当然也不是最值点，所以 u( x, y) 的最大值点和最小值
Page 5 of 15
x t 2 7,
4．曲线
y
t
2
4t
1
上对应于 t 1的点处的曲率半径是（
）
（Ａ） 10 （Ｂ） 10
50
100
(Ｃ）10 10 （Ｄ） 5 10
【详解】 曲线在点 ( x, f ( x)) 处的曲率公式 K
y" ，曲率半径 R 1 ．
(1 y'2 )3
K
2
本题中 dx 2t, dy 2t 4 ，所以 dy 2t 4 1 2 ， d 2 y t 2 1 ，
的变化率为常数 v0 ，则当点 P 运动到点 (1,1) 时， l 对时间的变化率是 _______ .
2016年考研数学真题及答案
绝密★启用前2016年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）（科目代码302）一.选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.（1） 设11)a x =，2a =，31a =.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是（A ）123,,a a a . （B ）231,,a a a . （C ）213,,a a a . （D ）321,,a a a .（2）已知函数2(1),1,()ln ,1,x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩则()f x 的一个原函数是 （A ）2(1), 1.()(ln 1), 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩（B ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨+-≥⎩（C ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨++≥⎩（D ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩（3）反常积分121xe dx x -∞⎰①，1+201x e dx x∞⎰②的敛散性为 （A ）①收敛，②收敛.（B ）①收敛，②发散. （C ）①收敛，②收敛.（D ）①收敛，②发散.（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，求导函数的图形如图所示，则 （A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点. （B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点. （C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点.（D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.（5）设函数()(1,2)i f x i =具有二阶连续导数，且0()0(1,2)i f x i <=，若两条曲线()(1,2)i y f x i ==在点00(,)x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线1()y f x =的曲率大于曲线2()y f x =的曲率，则在0x 的某个领域内，有 （A ）12()()()f x f x g x ≤≤ （B ）21()()()f x f x g x ≤≤ （C ）12()()()f x g x f x ≤≤ （D ）21()()()f x g x f x ≤≤（6）已知函数(,)x e f x y x y=-，则（A ）''0x y f f -= （B ）''0x y f f += （C ）''x y f f f -= （D ）''x y f f f +=（7）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是 （A ）T A 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）T A A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（8）设二次型222123123122313(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x =+++++的正、负惯性指数分别为1,2，则（A ）1a > （B ）2a <- （C ）21a -<<（D ）1a =与2a =-二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
考研数学二真题及解析
15．（本题满分10分）
当 时， 与 是等价无穷小，求常数 ．
16．（本题满分10分）
（Ｃ） 在 连续但不可导．（Ｄ） 在 可导．
４．设函数 ，且反常积分 收敛，则（）
（A） （B） （C） （D）
５．设函数 ，其中 可微，则 （）
（A） （B） （C） （D）
6．设 是圆域 的第 象限的部分，记 ，则（）
（A） （B） （C） （D）
7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则
5．设函数 ，若 ，则 （）
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
6．设 在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足 及 ，则（）．
（A） 的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；
（B） 的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；
（C） 的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分）
设函数 ， .若 与 在 时是等价无穷小，求 的值.
(16) (本题满分10分)
设A>0，D是由曲线段 及直线 ， 所围成的平面区域， ， 分别表示D绕 轴与绕 轴旋转成旋转体的体积，若 ，求A的值.
(21) (本题满分10分)
已知函数 在区间 上具有2阶导数， ， ， ，设 ，曲线 在点 处的切线与 轴的交点是 ，证明 .
(22) (本题满分11分)
设矩阵 且 .
(1)求 的值；
(2)若矩阵 满足 ， 为3阶单位阵，求 .
(23) (本题满分11分)
设矩阵 相似于矩阵 .
全国硕士研究生入学统一考试数学二考试大纲
全国硕士研究生入学统一考试数学二考试大纲考试形式和试卷结构（一）试卷满分为150分，考试时间为180分钟.（二）内容结构高等教学约80％线性代数约20%（三）题型结构单选题 8小题，每小题4分，共32分填空题 6小题，每小题4分，共24分解答题 (包括证明题) 9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容：函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3. 理解复合函数及分段函数的概念了解反函数及隐函数的概念4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6. 掌握极限的性质及四则运算法则7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10. 了解连续函数的性质和初等函数一的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试要求1. 理解导数和微分的概念,理解导数和微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4. 会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5. 理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西( Cauchy ）中值定理．6. 掌握用洛必达法刚求未定式极限的方法．7. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8. 会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间（a,b）内，设函数f(x)具有二阶导数。
2016考研数学二真题及答案解析
故渐近线为 y x （10）极限 lim n
2
1 1 2 n sin 2sin n sin 2 n n n n
【答案】 sin1 cos1 【解析】由 I lim
n
i sin
i 1
n
n 1 i 1 i i 1 lim sin x sin xdx 2 n nn nn 0 i 1 n
2 x 1 , x 1 B F x x ln x 1 1, x 1
）
2 x 1 , x 1 A F x x ln x 1 , x 1
2 2 x 1 , x 1 x 1 , x 1 C F x D F x x ln x 1 1, x 1 x ln x 1 1, x 1
x
x3 arctan 1 x 2 的斜渐近线方程为 2 1 x
2
x2 y arctan 1 x 2 lim 2 x x x 1 x
1
x3 2 b lim y x lim x arctan 1 x x x 1 x 2 x lim arctan 1 x 2 2 x 1 x 2
2 2 2
为 1, 2 ，则（
）
（A） a 1 （B） a 2 （C） 2 a 1 （D） a 1 或 a 2 【答案】（C） 【解析】考虑特殊值法，当 a 0 时， f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 2 x2 x3 2 x1 x3 ，
考研数二历年真题(2016-2002)
考研数二历年真题(2016-2002)22016年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．当+→0x 时，若)(lnx 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121（D ）),(212．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）xxy sin +=2（C ）xx y 1sin += （D ）xx y 12sin+=3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤（C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是347．行列式dc d c ba b a 00000等于 （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b da -（D ）2222c b da +-8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件（C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．⎰∞-=++12521dx x x ．10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．11．设),(y x z z =是由方程4722=+++z y x eyz确定的函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz ．512．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ．13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．14．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ． 三、解答题15．（本题满分10分） 求极限)ln())((lim xx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．16．（本题满分10分） 已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 17．（本题满分10分） 设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdyyx y x x )sin(22π18．（本题满分10分） 设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y ef z x=满足6x x e y e z yzx z 222224)cos (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明：（1） []b a x a x dt t g x a,,)(∈-≤≤⎰0； （2） ⎰⎰≤⎰+badtt g a adxx g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分）设函数[]101,,)(∈+=x x x x f ，定义函数列)()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=，ΛΛ)),(()(,x f f x fn n1-=设nS 是曲线)(x f y n=，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限nn nS ∞→lim ．21．（本题满分11分）已知函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，且yy y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积．22．（本题满分11分） 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．7（1） 求方程组0=AX 的一个基础解系； （2） 求满足E AB =的所有矩阵． 23．（本题满分11分） 证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111ΛM M M ΛΛ与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100ΛM M M ΛΛ相似．2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1、下列反常积分中收敛的是（） （A）2+∞⎰（B ）2ln x dx x+∞⎰(C)21ln dx x x +∞⎰(D)2x x dx e +∞⎰2、函数20sin ()lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内（）（A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断8点 (D)有无穷间断点 3、设函数1cos ,0()0,0x x f x xx αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>，若()f x '在0x =处连续，则（）（A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 4、设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（） （A ）0 (B)1 (C)2 (D)35、设函数(u v)f ，满足22(,)yf x y xy x +=-，则11u v fu==∂∂与11u v f v ==∂∂依次是（）（A ）12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-126、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰（B）24(cos ,sin )d f r r drππθθθ⎰ （C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰（D）34(cos ,sin )d f r r drππθθθ⎰97、设矩阵A=211112a 14a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，b=21d d ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（） （A ）,a d ∉Ω∉Ω (B),a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω8、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（ ） (A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C)2221232y y y --(D) 2221232yy y ++二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. 9、设2231arctan ,3t x t d ydx y t t ==⎧=⎨=+⎩则10、函数2()2xf x x =在0x =处的n 阶导数()(0)n f =11、设函数()f x 连续，2()(),x x xf t dt ϕ=⎰若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =12、设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = 13、若函数(,)z z x y =由方程231x y zexyz +++=确定，则(0,0)dz =1014、设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E=-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B =三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求,,a b k 的值。