函数表达式(例题+练习题)

函数表达式【教学目标】1. 让学生充分掌握求函数解析式的方法2. 学生能够独立解题【重点难点】求函数表达式的方法 【教学内容】求函数解析式的常用方法一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 1．设)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ⋅=,且212)()1(xx g x g x ⋅=-++, 求)(x f 与)(x g .变式训练．设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,且图象在y 轴上截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求)(x f 的表达式.二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 已知221)1(xx xx f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+xx 2)(2-=∴x x f )2(≥x 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t xxx x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥x xx x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x 1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.变式训练．若xxx f -=1)1(,求)(x f .四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y xx ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64，点),(y x M'''在)(x g y =上 xx y '+'='∴2 把⎩⎨⎧-='--='yy x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y 整理得672---=x x y ∴67)(2---=x x x g五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f 解 x xf x f =-)1(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成x1，得： xx f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：x x x f 323)(--=1．设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式x x f x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式.变式训练．若xxx f x f +=-+1)1()(,求)(x f .例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式解 )(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数， )()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴ 又11)()(-=+x x g x f ① ， 用x -替换x 得：11)()(+-=-+-x x g x f 即11)()(+-=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得11)(2-=x x f ， xx x g -=21)( 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 解对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立， 不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f 七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。

例8 设)(x f 是定义在+N上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f 解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，， ∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ① 分别令①式中的1,21x n =- 得：(2)(1)2,(3)(2)3,()(1),f f f f f n f n n -=-=--=将上述各式相加得：nf n f ++=-32)1()(， 2)1(321)(+=+++=∴n n n n f +∈+=∴N x x x x f ,2121)(2 【过手练习】1. 已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。

2. 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x++-=-，求()f x 的解析式。

【拓展训练】1. 求下列函数的定义域：⑴y （2）01(21)111y x x =+-+-2. 设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为 ；函数f x ()-2的定义域为 。

3. 若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 。

4. 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F xf x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。

5. 求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y⑽ y ⑾y x =6. 已知函数222()1x a x b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。

7. 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。

8. 设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x = ；()f x 在R 上的解析式为 。

9. 设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x xRx ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f xg x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式10. 求下列函数的单调区间：⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =--11. 函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 。

12. 函数236xy x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 。

【课后作业】1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x xy ， )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x ； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。

A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸2. 若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ）A 、(－∞,+∞)B 、(0,43]C 、(43,+∞)D 、[0, 43)3. 若函数()f x 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）(A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 4. 对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<<5. 函数()fx ）A 、[2,2]-B 、(2,2)-C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}-6. 函数1()(0)f x x x x=+≠是（ ）A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数7. 函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x =8.已知函数f x ()的定义域是(]01，，则g x fxafxa a ()()()()=+⋅--<≤120的定义域为 。

9. 已知函数21mx ny x +=+的最大值为4，最小值为 —1 ，则m = ，n = 10.把函数11y x =+的图象沿x 轴向左平移一个单位后，得到图象C ，则C 关于原点对称的图象的解析式为11.求函数12)(2--=ax x x f 在区间[ 0 , 2 ]上的最值12.若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，求函数()g t 当∈t [-3,-2]时的最值。