相似三角形比例线段及判定
龙文教育-----您值得信赖的专业化个性化辅导学校
（3）E 点能否为 BC 的中点？如果能，求出相应的 m 的值；如果不能，说明理由。 n
4、如图，已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝DC＝3，P 为 BC 上一点，PE∥AB 交 AC 于 E，PF∥CD
交 BD 于 F，设 PE、PF 的长分别为 a 、 b ， x a b 。那么当点 P 在 BC 边上移动时， x 的值是否变化？若 变化，求出 x 的范围；若不变，求出 x 的值，并说明理由。
分析：要证 BD AB ，一般只要证 BD、DC 与 AB、AC 或 BD、AB 与 DC、AC 所在三角形相似，现在 DC AC
B、D、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式 BD AB DC AC
中，AC 恰好是 BD、DC、AB 的第四比例项，所以考虑过 C 作 CE∥AD 交 BA 的延长线于 E，从而得到 BD、
CD、AB 的第四比例项 AE，这样，证明 BD AB 就可以转化为证 AE＝AC。 DC AC
证明：过 C 作 CE∥AD 交 BA 的延长线于 E
1 2
CE∥AD 2 3
∠E＝∠3
1 E
AE＝AC
E A
12 3
CE∥AD BD AB DC AE
∴ BD AB DC AC
B
AD DE AE 的错误。 DB BC EC
2、 相似三角形的基本图形 Ⅰ.平行线型：即 A 型和 X 型。 Ⅰ.相交线型
C D
B.
A
D
E A
A D
E
B
B
C
C
3、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明 三角形相似及比例式或等积式。 4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。 5、对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着 k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为 k。 6、对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。
【例 3】如图，在△ABC 中，P 为中线 AM 上任
A
一点，CP 的延长线交 AB 于
D，BP 的延长线交 AC 于 E，连结 DE。
（1）求证：DE∥BC；
（2）如图，在△ABC 中，DE∥BC，DC、BE 交
于 M，试问：M 是否为 BC 的中点？
B
解析：（1）延长 AM 至 Q，使 MQ＝MP
三、注意
1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三 角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“ 8 ”型。
AD DE AE 在利用定理证明时要注意 A 型图的比例 ，每个比的前项是同一个三
AB BC AC
角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成
bd ac
a c ad bc d c 或 a b
bd
ba cd
（比例基本定理）
合比性质： a b c d
b
d
a b
c d
m (b d n
n
0)
等比性质 :
a b
c d
m n
a b
涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
二、有关知识点： 1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
线于 F。求证： PE PM PF PN 。 3、如图，在△ABC 中，AC＝BC，F 为底边 AB 上一点， AF m （ m 、 n ＞0），取 CF 的中点 D，连 BF n
结 AD，并延长交 BC 于 E。
（1）求 BE 的值； EC
（2）如果 BE＝2EC，那么 CF 所在的直线与边 AB 有怎样的位置关系？并证明你的结论；
类型
斜三角形
直角三角形
全等三角形的判定
SAS
SSS
AAS（ASA）
HL
相似三角形 的判定
两边对应成
一条直角边
三边对应成 两角对应相
比例夹角相
与斜边对应
等
比例
等
成比例
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边 成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识 并从中探究新知识掌握的方法。
龙文教育-----您值得信赖的专业化个性化辅导学校
答案： 1 3
变式 1：已知 a c e 2 ，若 b 2d f 3 0 ，则 a 2c e 2 ＝
。
bd f 3
b 2d f 3
变式 2：已知 x : y : z 2 :1: 3 ，求 2x y 3z 的值。 x 2y
D
E
P
于 P，连结 AP 并延长交 BC
M
C
∵BM＝MC，∴四边形 BPCQ 是平行四边形
Q
例3图
龙文教育-----您值得信赖的专业化个性化辅导学校
∴CD∥BQ，BE∥QC
∴ AD AP AE DB PQ EC
∴DE∥BC （2）过 B 作 BQ∥CD 交 AM 的延长线于 Q
∵DE∥BC，∴ AD AP AE DB PQ EC
＝4 cm，BC＝7 cm，求 BD 的长。
答案： 35 cm 9
评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。
跟踪训练：
一、填空题：
龙文教育-----您值得信赖的专业化个性化辅导学校
1、若 2m n 1 ，则 m ＝ n 3n
z＝
。
；若 x : y : z 2 : 4 : 7 ，且 3x y 2z 32 ，则 x ＝
2．若 3．若线 4．已
知： = = = , 则
=______，
=_________。
知：a∶b∶c=3∶4∶5, a+b-c=4, 则 4a+2b-3c=________。
B、DE＝2，BC＝6
C、DE＝3，BC＝5
D、DE＝2，BC＝8
3、如图，BD、CE 是△ABC 的中线，P、Q 分别是 BD、CE 的中点，则 PQ∶BC＝（ ）
A、1∶3
B、1∶4
C、1∶5
D、1∶6
4、如图， l1
∥ l2
，
AF
2 5
FB ，BC＝4CD，若
AE
kEC，则
k
＝（
）
A、 5 3
教师：
龙文教育-----您值得信赖的专业化个性化辅导学校
龙文教育个性化辅导授课案 学生：_g__g__g_g_gg时gg间g:2g0g13g年angg月ang日ga时ng间纲
相似三角形知识点整理
重点、难点分析： 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点． 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。 ☆内容提要☆ 一、本章的两套定理 第一套（比例的有关性质）：
6.直角三角形相似： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
龙文教育-----您值得信赖的专业化个性化辅导学校
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这 两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性 如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2
B、2
C、 5 2
D、4
A
E
D
PQ
B
C
选择第 3 题图
GA
l1
F E
B
C D l2
选择第 4 题图
A
D K
E
B F HC
解答第 1 题图
三、解答题：
1、已知如图，AD＝DE＝EC，且 AB∥DF∥EH，AH 交 DF 于 K，求 DK 的值。 KF
2、如图，□ABCD 中，EF 交 AB 的延长线于 E，交 BC 于 M，交 AC 于 P，交 AD 于 N，交 CD 的延长
∴ AP AE ，∴BE∥QC PQ EC
∴四边形 BPCQ 是平行四边形 ∴M 是 BC 的中点 探索与创新： 【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如
图，△ABC 中，AD 是角平分线。求证： BD AB 。 DC AC
A G
E
F
E
A F
A EF
B
C
D
例2图4
B
D
C
变式 1 图
B
D
C
变式 2 图
变式 1：已知如图，D 是△ABC 的边 BC 的中点，且 AE 1 ，求 AF 的值。 BE 3 FC
变式 2：如图，BD∶DC＝5∶3，E 为 AD 的中点，求 BE∶EF 的值。
答案：（1） 1 ；（2）13∶3； 3
【例 1】已知 x y z 0 ，那么 x y z ＝
。
345
x yz
分析：此类问题有多种解法，一是善于观察所求式子的特点，灵活运用等比性质求解；二是利用方程的观
点求解，将已知条件转化为 x 3 z ， y 4 z ，代入所求式子即可得解；三是设“ k ”值法求解，这种方法对
5
5
于解有关连比的问题十分方便有效，要掌握好这一技巧。
DC
(完整版)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
线段的比例和相似三角形
线段的比例和相似三角形在几何学中，线段的比例和相似三角形是基础知识，它们对于解决几何问题和解释世界中的各种现象都起着重要的作用。
本文将深入探讨线段的比例和相似三角形的概念及其应用。
1. 线段的比例在平面几何中，线段的比例是指两个线段之间的长度比。
设有线段AB和线段CD，它们的比例可以表示为AB:CD。
当且仅当两线段的比例相等时，它们才具有相似的长度关系。
2. 相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同的形状，但是尺寸不同的三角形。
若两个三角形的对应角度相等，则它们为相似三角形。
相似三角形的边长比例与角度比例成正比。
3. 线段的相似性质线段具有一些重要的相似性质，如比例段定理和点分段定理。
比例段定理指出，如果在两条平行线上有两个相交线段，则它们所形成的相交线段之间的长度比等于两条平行线上相应线段的长度比。
4. 相似三角形的性质相似三角形具有一些用于求解问题的重要性质。
常见的性质包括相似三角形的边长比例、高的比例、面积比例和周长比例等。
这些性质在解决实际问题时起着重要的作用，如测量高塔的高度、计算远处物体的尺寸等。
5. 应用举例a. 解决测量问题：通过计算相似三角形的边长比例，可以利用已知线段的长度求解未知线段的长度。
例如，当我们知道一栋楼的高度和影子的长度时，我们可以通过相似三角形的性质计算出楼与影子的比例，从而推算出其他未知线段的长度。
b. 设计制图：在地图或建筑设计中，相似三角形的性质可以用于将真实世界的比例缩小到纸上，从而实现精确的绘制和测量。
c. 解决角度问题：通过相似三角形的角度比例，可以计算未知角度的大小。
例如，在航空导航中，利用相似三角形的性质可以准确测算航线和飞机之间的角度。
总结：线段的比例和相似三角形是几何学中重要的概念和工具，它们在解决几何问题和实际应用中发挥着重要的作用。
通过理解线段的比例和相似三角形的性质，我们可以更好地理解和解释世界中的各种现象，同时也可以应用于实际问题的求解和设计制图等领域。
相似三角形的性质和判定
一、选择题1、若032=-y x ，则=yx ，=+y x x ，=-+y x y x 。
2、图纸上某零件长32mm ，比例尺为1：200，则此零件的实际长度 。
3、线段a=5，b=3，a ，b ，（a-b ）的第四比例项是 ，（a+b ）与（a-b ）的比例中项是 。
4、若D 、E 各是ABC ∆的边AB ，AC 上的点，21==EC AE DB AD ，cm DE 3=，则BC=5、ABC ∆中，DE//BC ，分别交AB ，AC 于D ，E ，若DE 分ABC ∆成面积相等的两部分，则AD ：AB= 。
7、在ABC ∆中，AD 是角平分线，34=BD AB ，若BC=12，则ABC ∆的周长是 。
8、图9，在ABC ∆中，DE 是中位线，设ABC ∆的面积为S ，则GDE ∆的面积是 .9、如图10，在ABC ∆中，AD ：DB=2：3，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，则FC ：BF= 。
10、如图11，在 ABCD 中，AB=20cm ，BC=12cm ，延长AB 至E ，使BE=8cm ，连结OE 交BC 于F ，则BF= cm 。
12、如图12，在ABC Rt ∆中，90=∠C °，内接正方形DEFG 边长x ，若AE=9，BF=4，则x = 。
13、如图13，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，则图中相似三角形有（ ）(A)3对 (B)4对 (C) 5对 (D)6对14、已知线段,,,,d c b a 且满足d c b a =，下列等式中不一定成立的是（ ）(A) c d a b = (B)c c d a ab -=- (C)dc c b a b +=+ (D)d cd b ca =++15、已知k cb a b ac a c b =+=+=+，则k 的值是（ ） (A) 1 (B) 2 (C) –1 (D) 2或-116、ABC Rt ∆中，90=∠C °，CD ⊥AB 于D ，下列等式中不成立的是（ ）(A) AB AD AC ∙=2（B ）CD AB BC AC ∙=∙ (C) DB CD AD 2= (D)BDAD BC AC = 17、如图，□ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为BC 上一点，且DCF ∆∽DAE ∆，若AD=10cm ，AB=6cm ，则ＢＦ＝（ ） A 、5cm (B) 8.2cm (C) 6.4cm (D)1.8cm18、两个相似三角形的相似比是2 : 3 ，较小三角形面积为3，则较大三角形面积（ ）(A) 2 (B) 34 (C)316 (D)427 19、已知梯形两底的长分别是3.6和6，高线长是0.3，则它的两腰延长线的交点到较长底边所在直线的距离是（ ）(A) 509 (B)2512 (C)209 (D)43 20、如图，D为ABC ∆的边AC 上一点，A DBC ∠=∠，已知BC=2，BCD ∆与ABC ∆的面积的比是2：3，则CD 的长是（ ）(A)322 (B)332 (C)34 (D)321、下列命题中正确的是 （ ）①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似A 、①③B 、①④C 、①②④D 、①③④22、如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）A AC AE AB AD = B FB EA CF CE =C BD AD BC DE = D CBCF AB EF = 23、如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ，下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是 （ ）A. ∠B=∠CB. ∠ADC=∠AEBC. BE=CD ，AB=ACD. AD ∶AC=AE ∶AB24、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形 （ ）A 1对B 2对C 3对D 4对25、在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF=90°，则一定有 （ ）A ΔADE ∽ΔAEFB ΔECF ∽ΔAEFC ΔADE ∽ΔECFD ΔAEF ∽ΔABF26、如图1，ADE ∆∽ABC ∆，若4,2==BD AD ，则ADE ∆与ABC ∆的相似比是（ ）A ．1：2B ．1：3C ．2：3D ．3：227、一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（ ）A ．19B ．17C ．24D ．21A B CDE F B A C D28、在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离25cm,则甲,乙的实际距离是( )A.1250kmB.125kmC. 12.5kmD.1.25km29、在相同时刻，物高与影长成正比。
相似三角形判定知识点
(1)相似三角形的对应角相等；
(2)相似三角形的对应边成比例；
(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；
(4)相似三角形的周长比等于相似比；
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.
性质
1.相似三角形对应角相等，对应边成正比例。
2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
3.相似三角形周长的比等于相似比。
4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方
6.若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中项
7.a/b=c/d等同于ad=bc.
8.不必是在同一平面内的三角形里。
如果△ABC∽△A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂，那么△ABC∽△A₂B₂C₂
.。
27.2.1相似三角形的判定
∵AB＝2，BC＝2 2，AC＝2 5，FE＝2，DE＝ 2，
DF＝ 10，
∴
DABE＝
2＝ 2
2，BECF＝2 2 2＝
2，DACF＝2
5＝ 10
2.
∴ DABE＝BECF＝DACF，∴△ABC∽△DEF.
感悟新知
知识点 5 边角关系判定三角形相似定理
知5－讲
1. 相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个
感悟新知
知识点 1 相似三角形
知1－讲
1. 定义：如果在两个三角形中，三个角分别相等，三条边 成比例，那么这两个三角形相似.
感悟新知
如图27.2-1，在△ ABC 和△ A′B′C′中，
知1－讲
∠ A= ∠ A′，∠ B= ∠ B′，∠ C= ∠ C′， △ABC
AB BC AC k,
↔ ∽△A′B′C′.
感悟新知
知2－练
3-1. 如图，l1 ∥ l2 ∥ l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=9， 求BC，BF 的长.
感悟新知
解：∵ l1∥l2∥l3, ∴ ABBC＝ADDE.
∵
AB＝3，AD＝2，DE＝4,
∴
3 BC
＝24，
解得 BC＝6.
知2－练
∵ l1∥l2∥l3,
∴
BF EF
＝
AB AC
第27章 相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
学习目标
1 课时讲解
2 课时流程
逐点 导讲练
相似三角形 平行线分线段成比例 平行线截三角形相似的定理 三边关系判定三角形相似定理 边角关系判定三角形相似定理 角的关系判定三角形相似定理 直角三角形相似的判定
数学相似三角形的知识点归纳
数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。
它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。
随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。
以下是店铺整理的数学相似三角形的知识点归纳，希望帮助到您。
数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。
（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。
简称比例线段。
（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。
这个点叫做黄金分割点。
顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。
（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。
（比例=====等积）。
主要作用：计算。
合比性质，主要作用：比例的互相转化。
等比性质，在使用时注意成立的条件。
二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。
三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。
2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。
相似三角形判定
A D BC （E ）图4相似三角形：是形状相同的三角形，它们的对应角都相等、对应边都成比例。
如△DEF 、△ABC 相似，表示为△DEF ∽△ABC 。
相似比：两个三角形相似，对应边的比叫相似比。
如：若△DEF 、△ABC 相似，则DFAC EFBC DEAB ==相似三角形判定定义法：对应角相等，对应边成比例的三角形相似。
判定定理①：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
判定定理②：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
（三边对应成比例，两三角形相似） 判定定理③：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）判定定理④：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（两角对应相等，两个三角形相似）特殊情况：第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。
第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似。
相似三角形中的基本图形： （1）平行型：（A 型，X 型）（2）交错型：（3）旋转型：（4）母子三角形： 1，D 、E 分别是△ABC 的边BA ，CA 延长线上的点，DE ∥BC 。
（1）图中有哪些相等的角？（2）找出图中的相似三角形，并说明理由； （3）写出三组成比例的线段。
（1） （2） 。
理由是：（3）变形一：把上图中的直线DE 向平行于BC 方向移动到现在的位置，变为图2，回答上面的问题。
（1） （2） （3） 变形二：移动线段DE ，使∠AED ＝∠B ，变为图3，回答上面的问题。
（1） （2） （3） 。
相似三角形的判定(平行相似)
一、比例线段的主要知识点
2 四条线段成比例：
(1) 定义： 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线 段的比，那么这四条线段叫作成比例线段. 如 a=9cm, b=6cm, c=6cm, d=4cm.
Q a 3a c 3 3 c 3 a c a c =Q , = = , , = \ , = \ . = . b 2b d 2 2 d 2 b d b d
通过本节课的学习，需要掌握 1.平行线分线段成比例定理及其推论的应用.
2.判定三角形相似的方法.
“A”型
A D B
D
“X”型
E O
E
C
B
（图2）
（图1）
C
已知：如图，AB∥EF ∥CD， 3 对相似三角形. 图中共有____ AB∥EF AB∥CD EF∥CD △AOB∽△FOE △AOB∽△DOC △EOF∽△COD
A O E C F
B
D
1. 如图,A、B两点被池塘隔开,在AB 外取一点C,连结AC、BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作
则a, b, c, d叫作成比例线段. (2)名称： 在比例线段a : b=c : d中，a、d叫作比例的外项，b、c 叫比例的内项, d叫第四比例项. 若比例内项相同，即a : b=b : d，则b叫a、d的比例中项.
一、比例线段的主要知识点
3 比例的性质：
(1) 比例的基本性质： a : b=c : d ad=bc. a : b=b : c b2=ac.
上 = 下 上 = 全 下 = 全
上 下 上 全 下 全
C
l3
AB BC = DE EF
左 左 = 右 右
说明： ①定理的条件是“三条平行线截两条直线”. ②是“对应线段成比例”，注意“对应”两字. 强化“对应”两字理解和记忆如图
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD=BD·DC，AB=BD·BC ，AC=CD·BC 。
22二相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：BC（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)B(3)(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A共A角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）A4DCDEADE1E（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”DEB(D)B(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
相似三角形的判定及性质
R
r
19
习题 1.3
5.如图,线段EF平行于四边形ABCD的一边AD,BE与CF
交于一点G,AE与DF交于一点H.
求证:GH//AB.
H
A
D
E F
B
C
G
BH BC AD AG EH EF EF EG
预备定理 定义 引理 20
习题 1.3
6.已知:DE//AB,EF//BC. O 求证:△DEF∽△ABC.
(2) AD BC AC ED
3、已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，AB=a，AC=b， A′B′=a′，当 A′C′为多少时，△ABC∽△A′B′C′？
22
小结
相
似
三
角 形
预备定理
的
概
念
判定定理1
判定定理2 直角三角形判定定理
判定定理3
23
EF 1 BC, FD 1 CA, DE 1 AB
2
2
2
EF FD DE 1 BC CA AB 2
∴△DEF∽△ABC
A
F
E
B
D
C
9
直角三角形相似的判定定理
定理
两角对应相等
（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它 们相似。
两边对应成比例及夹角相等
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例， 那么它们相似。
类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对应相等
的两个直角三角形全等)能得直角三角形相似的另一个判定定
理.
10
定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的
斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。