沪科版九年级数学上册 第21章 二次函数和反比例函数
沪科版九年级上册第21章二次函数和反比例函数
21.2 二次函数的图象和性质
21.2.1 二次函数y＝ax2的图象和性质基础知识和同步测试题
基础知识
1．函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条关于____对称的抛物线，它具有如下性质：当a＞0时，抛物线的开口向____，顶点是抛物线的最____点，当x＞0时，y随x的增大而________；当x＜0时，y随x的增大而____；当x＝____时，y最小值＝____．
2．对于函数y＝ax2(a≠0)当a＜0时，抛物线的开口向____，顶点是抛物线的最____点．当x＞0时，y随x的增大而________；当x＜0时，y随x的增大而__________；当x＝____时，y最大值＝____．
答案
1. y轴上低增大减小0 0
2. 下高减小增大0 0
同步测试题
二次函数y＝ax2与一次函数y＝－ax(a＞0)在同一坐标系里，大致图象是( )
2．抛物线y＝－3x2的开口向____，顶点坐标是_________，顶点是抛物线的最____点，当x ＝____时，函数有最____值，为____．
3．若y＝(m＋3)xm2－9是开口向上的抛物线，则m＝____．
4．如图，是函数y1＝3x2，y2＝(1－k)x2，y3＝(k－2)x2的图象，则k的取值范围是________．
5. 如图，边长为2的正方形ABCD的中心在原点O，AD∥x轴，以O为顶点，且过A，D 两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中的阴影部分的面积是____．
6．已知点A (－1，y 1)、点B (－
2，y 2)、点C (－2，y 3)都在函数y ＝－1
2
x 2的图象上，则( )
A ．y 1>y 2>y 3
B ．y 1>y 3>y 2
C ．y 3>y 2>y 1
D ．y 2>y 1>y 3 7．下列说法错误的是( )
A ．二次函数y ＝3x 2中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大
B ．二次函数y ＝－6x 2中，当x ＝0时，y 有最大值0
C ．二次函数y ＝ax 2图象中，开口方向与a 无关
D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点 8. 在函数y ＝－x 2中，当－3<x <1时，则y 的取值范围是___________ 9．函数y ＝(m －3)xm 2－3m －2为二次函数． (1)若其图象开口向上，求函数的关系式；
(2)若当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，求函数的关系式．
10．给出下列函数：①y ＝3x ；②y ＝－3x －1；③y ＝－5x 2(x <0)；④y ＝2
3
x 2(x <0)，其中y
随x 的增大而增大的函数有( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个 11．函数
y ＝2x 2，y ＝－3x 2，y ＝
13
x 2的图象的共同点是( )
A ．都关于y 轴对称，开口向上
B ．都关于y 轴对称，开口向下
C ．都关于原点对称，顶点在原点
D ．都关于y 轴对称，顶点在原点
12．如图所示，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形
ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 的各边平行或垂直，若小正方形的边长为x ，
且0<x ≤10，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间的函数关系的大致图象是( )
13．抛物线y ＝(m ＋1)x 2上有点A (－5，2)，则它的对称点B 的坐标是___________． 14．二次函数y ＝mxm 2一2有最大值，则m ＝____，当x ____时，y 随x 的增大而减小． 15．如图，⊙O 的半径为3，C 1是函数y ＝12x 2的图象，C 2是函数y ＝－12x 2的图象，则阴影部分的面积是____．
16．如图，请把图中图象的序号填在它的解析式后面．
y ＝2x 2的图象为____．
y ＝1
2
x 2的图象为____．
y ＝－x 2的图象为____． y ＝－2
3x 2的图象为____．
17．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (－2，－8)． (1)求抛物线的解析式；
(2)当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？ (3)当x 为何值时，它有最大(小)值，是多少？
18．有一条抛物线形状的隧道，隧道的最大高度为6 m ，跨度为8 m ，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；
(2)若要在离地面4.5 m 的隧道壁上，安装两盏照明灯，求两灯之间的距离．
19. 如图，直线AB过x轴上的一点A(2，0)，且与抛物线y＝ax2相交于B，C两点，点B 的坐标为(1，1)．
(1)求直线AB和抛物线y＝ax2的解析式；
(2)若抛物线在第一象限内有一点D，使得S△AOD＝S△BOC，求点D的坐标．
答案
1. B
2. 下 (0，0) 高 0 大 0
3.
11
4. 1<k<3
2
5. 2
6. A
7. C
8. －9<y ≤0
9. 解：∵函数y ＝(m －3)xm 2－3m －2为二次函数，∴m 2－3m －2＝2，解得m ＝－1或m ＝4 (1)∵函数图象开口向上，∴m －3＞0，∴m ＝4，此时函数关系式为y ＝x 2 (2)∵当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，∴m －3＜0，∴m ＝－1，此时函数关系式为y ＝－4x 2 10. C 11. D 12. D 13. (5，2) 14. －2 >0
15. 92π
16 ④ ③ ② ②
17. 解：(1)y ＝－2x 2 (2)x>0 (3)x ＝0，y 最大值＝0 18. 解：(1)y ＝－3
8
x 2
(2)设两灯为点P 、点Q ，则它们的纵坐标为－1.5，令－38x 2＝－3
2
，解得x 1＝－2，x 2＝2，
∴两灯间的距离PQ ＝4 m
初中数学试卷。
沪科版九年级数学上册 21.1 二次函数 课件(共19张ppt)
双曲线
思考：●什么是二次函数？
●二次函数的图象是什么样的？
探究新知
观察下面图片，说说这些是什么样的曲线？
喷泉形成的轨迹
拱桥
探究新知
篮球的运行轨迹
探究新知
二次函数的概念
问题1：某水产养殖户用40米的围网，在水库中围一块矩形
的水面，投放鱼苗。要使围成的水面面积最大，它的长应
是多少米？
探究新知
解析：设围成的矩形水面的一边长为 x m，那么，矩形
____________．
4．某厂今年一月份新产品的研发资金为 a 元，以后每
月新产品的研发资金与上月相比增长率都是 x，则该厂
今年三月份新产品的研发资金 y (元)关于 x 的函数关系
2
y＝a(1＋x)
式为_____________．
随堂练习
5．矩形的周长为16 cm，它的一边长为 x (cm)，面积为
一般形式
y=ax2+bx+c
(a≠0，a,b,c是常数）
特殊形式
y=ax2 ( a≠0)；
y=ax2+bx (a≠0，a,b是常数)；
y=ax2+c (a≠0，a,c是常数)．
y (cm2)．求：
(1) y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围；
(2) 当 x＝3 时矩形的面积．
解：(1) y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2 .
课堂小结
定 义
二次
函数
等号两边都是整式；
自变量的最高次数是2；
二次项系数a≠0．
即 y＝－10x2＋40x＋2850．
2023年沪科版九年级上册数学第21章二次函数与反比例函数易错题型专题 求二次函数的最值或取值范围
解：(1)∵抛物线y＝(x＋m)2＋b经过A(－1，0)，B(3，0)两点，
－1＋3
∴抛物线的对称轴为直线x＝
＝1，
2
∴m＝－1，∴抛物线y＝(x－1)2＋b，
把A(－1，0)代入，得4＋b＝0，∴b＝－4，
∴抛物线的表达式为y＝(x－1)2－4，顶点坐标为(1，－4).
(2)y的取值范围为－4≤y＜0.
【易错题型专题】 求二次函数的最值
或取值范围
【易错题型专题】
求二次函数的最值或取值范围
求二次函数的最值或取值范围是本章的重要考
点，解题的关键是找出对称轴与自变量取值范围的
关系，画出大致图象，利用数形结合来解决问题.
-2-
【易错题型专题】
求二次函数的最值或取值范围
类型1 根据自变量的取值范围直接求二次函数的
值；当x＝0时，y有最大值，
a2－1＝24，
∴ቊ
解得a＝－5.
2
9＋6a＋a －1＝3，
综上所述，a的值为2或－5.
-19-
去)，m2＝－2(舍去).
综上所述，m的值为－ 3.
-12-
【易错题型专题】
求二次函数的最值或取值范围
方法总结
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量的取值范围
为m≤x≤n(以a＞0为例)：
b
①若－ ≥n，此时y随x的增大而减小，故当x＝
2a
m时，y有最大值；当x＝n时，y有最小值.
b
②若－ ≤m，此时y随x的增大而增大，故当x＝
-6-
【易错题型专题】
求二次函数的最值或取值范围
4.已知抛物线y1＝x2＋bx＋c与直线y2＝－2x＋m相
交于A(－2，n)，B(2，－3)两点.
沪科版九年级上册数学第21章 二次函数与反比例函数 反比例函数图像与性质的常见应用
数的函数值小于反比例函数的函
数值？
解： (1)∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点P和( 3 ,0) 2
A∴(一－次2,1函)，数的表达式为y＝232kk－b2bx－10. 3,解. 得，bk
2, 3.
∵反比例函数的图象过点A(－2，1)，
∴.解得m＝－2.
m
∴反比例函m数的1 表达式y 为 x (m 0)
∵AC⊥y轴，
∴点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，是2.
∵点C在反比例函数y＝的图象上，
∴当y＝2时，2＝，解得x＝.∴5 AC＝.
过B作BD⊥AC于D，5则BD＝xyB－y5C＝5－2＝53，
∴S△ABC＝AC·BD＝x ××3＝. 2
2
1
1 5 15
2
22
4
题型 5 等面积的综合题
5．（2015·甘南州）如图，在直角坐标系中，矩形OABC
解：(1) ∵一次函数y＝3x＋2的图象过点B，且点B的
横坐标为1，
∴y＝3×1＋2＝5.∴点B的坐标为(1，5)．
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝1×5＝5.
k
∴反比例函数的表达式为y＝. x
5 x
(2)∵一次函数y＝3x＋2的图象与y轴交于点A，
当x＝0时，y＝2，∴点A的坐标为(0，2)．
第21章二次函数与反比例函数
21.5反比例函数
第4课时反比例函数图像与 性质的常见应用
题型 1 图表信息题
1．数学复习课上，王老师出示了如框中的题目：
已知：直线y=kx+b(k≠0)经过点
M（b,-b）,
题目中求的证黑：色点矩M形一框定部在分双是曲一线段上被y .墨2b水污染
沪科9年级数学上册第21章 二次函数与反比例函数5 反比例函数
3 m＝－2 时，反比例函数的表达式为
y＝－4x.
完成表格如下：
x … －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 …
y…1
4 3
2
4 －4 －2 －43 －1 …
感悟新知
知2－练
(3)以表中各组对应值为点的坐标，在下面的平面直角 坐标系中描点并画出函数图象 . 解：如图所示．
知识点 3 反比例函数的性质
.
知3－练
解：由 m=－6 知反比例函数 y= mx 的表达式为 y=－6x.
∴当
x=2
时，
y=
－
6 2
=
－
3.
∵在第四象限内， y 随 x 的增大而增大，
∴当 x>2 时， － 3<y<0.
感悟新知
知3－练
6-1. [ 月考·亳州 ] 若点 A( 1，y1)， B(－ 1，y2) 在 反比
例函数y=m
感悟新知
5-1. [ 月考·皖东南 ] 若点 A( x1， y1)， B( x2， y2)， 知3－练 C(x3，y3) 都在反比例函数y=m2x+1的图象上，且 x1<0<x2<x3， 则y1， y2， y3 的 大 小 关 系是( B )
A． y1<y2<y3
B． y1<y3<y2
C． y2<y3<y1
第二十一章
二次函数与反比例函数
21.5 反比例函数
学习目标
1 课时讲解
反比例函数的定义 反比例函数的图象 反比例函数的性质 求反比例函数的表达式 建立反比例函数模型解实际问题
反比例函数
y=
k x
(
k
沪科9年级数学上册第21章 二次函数与反比例函数3 二次函数与一元二次方程
别在－2 和－1，3和4之间，用取平均数的方法不断缩小解
的取值范围，从而确定方程的近似解.
由图象可知，当x＝3 时，y>0；当x＝4 时，y<0.
取3和4的平均数3.5，当x＝3.5时，y＝－0.25，与x＝3
时的函数值异号，所以方程的这个解在3 和3.5 之间.
关系
一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知：
如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有交点，交点的横坐标
是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程
ax2＋bx＋c＝0的一个根.
2. 二次函数与一元二次方程的联系与区别
知1－讲
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 与二次函数y＝ax2＋
－b－ b2－4ac 两相等实数根
b 没有实数根
c＝0 (a>0)
2a
x1＝x2＝－
2a
x2＝
的根
－b＋ b2－4ac
2a
知3－讲
一元
二次
不等
ax2＋bx＋
x<x1 或x>x2 x ≠ － b 全体实数
2a
c ＞0(a>0)
式的 ax2＋bx＋
解集 c<0(a>0)
x1<x<x2
无解
无解
深度理解
知2－练
取3和3.5的平均数3.25，当x＝3.25时，y＝0.937 5，
与x＝3.5时的函数值异号，所以方程的这个解在3.25和
3.5之间.
取3.25和3.5的平均数3.375， 当x＝3.375 时，y＝
0.359 375，与x＝3.5时的函数值异号，所以方程的这个
沪科版九年级数学上第21章二次函数与反比例函数21
(2)若这个函数是二次函数， 则 m2－m≠0，即 m≠1 且 m≠0.
自主学习
基Hale Waihona Puke 夯实整合运用思维拓展
九年级 数学 上册 沪科版
14．如图，一块草地是长 80 m，宽 60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相 垂直的宽为 x m 的小路，这时草坪的面积为 y m2.求 y 与 x 的函数表达式， 并写出自变量 x 的取值范围．
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
九年级 数学 上册 沪科版
解：(1)S＝12πr2＋8r(r＞0)．
(2)当 r＝2，π＝3.14 时， S＝12×3.14×22＋8×2 ＝22.28 ≈22.3(m2)．
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
（A ）
C．y＝(1－x)2＋a D．y＝x2＋a
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
九年级 数学 上册 沪科版
6．已知正方形的周长是 x cm，面积为 y cm2，则 y 与 x 之间的函数表达
式为_y_＝y＝116x2(x＞x02)(x＞0)__．
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
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（C ）
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
九年级 数学 上册 沪科版
9．下列关系中，是二次函数关系的是
（C ）
A．当距离 s 一定时，汽车行驶的时间 t 与速度 v 之间的关系
B．在弹性限度内，弹簧的长度 y 与所挂物体的质量 x 之间的关系
C．圆的面积 S 与圆的半径 r 之间的关系
沪科9年级数学上册第21章 二次函数与反比例函数1 二次函数
知1－练
感悟新知
知1－练
解：① y=1－ 2 x2 ＝ － 2 x2 ＋ 1，是二次函数； ②分母中含有自变量，不是二次函数； ③ y=3x(1－3x) ＝ － 9x2+3x，是二次函数； ④ y=(1－2x)(1＋2x) ＝ － 4x2+1，是二次函数．
答案：C
感悟新知
知1－练
1-1. [ 月考·合肥 ] 下列各式中， y 是 x 的二次函数的 是( C ) A.y=3x － 1 B.y=x2 － ( x+1)( x － 5) C.y=x2 － 5x+13
感悟新知
特别提醒
知1－讲
(1)二次项系数、一次项系数和常数项包括它们前
面的符号，不要漏掉 .
(2) 二次函数y=ax2+bx+c( a ≠ 0)的特殊形式：
特殊形式 二次项 一次项 常数项
y=ax2(a≠0)
ax2
无
0
y=ax2+bx(a≠0) ax2
bx
0
y=ax2+c(a≠0) ax2
无
c
感悟新知
感悟新知
知2－练
2-1.某商品的进价为每件 40 元，如果售价为每件 50 元， 每个月可卖出210 件；如果售价超过 50元但不超过 80 元，每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 1 件；如果售价超过 80 元后，若再涨价，则每涨 1 元每个月少卖 3 件 . 设每件商品的售价为x元( x为 整数)，每个月的销售量为y 件.
感悟新知
知2－练
(1) 求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值 范围； 解：当 50＜x≤80 时，y＝210－(x－50)，即 y＝260－x； 当 80＜x＜140 时，y＝210－(80－50)－3(x－80)， 即 y＝420－3x. 综上所述，y＝246200－ －x3（ x（508<0<x≤x<801）40，）.
沪科版数学九年级上册第21章《二次函数与反比例函数》复习教学设计
沪科版数学九年级上册第21章《二次函数与反比例函数》复习教学设计一. 教材分析《二次函数与反比例函数》是沪科版数学九年级上册第21章的内容，本章主要让学生掌握二次函数和反比例函数的性质、图象和应用。
内容涵盖了二次函数的定义、开口方向、对称轴、顶点坐标的求法，以及反比例函数的定义、图象、性质等。
这一章内容在初中数学中占有重要地位，对于学生来说，理解掌握二次函数和反比例函数的知识，对于高中阶段的学习有着重要的铺垫作用。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一次函数和二次函数的基础知识，对于函数的概念、图象和性质有一定的了解。
但是，对于二次函数和反比例函数的性质、图象和应用，部分学生可能还存在着一定的困难。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，进行有针对性的教学设计，帮助学生理解和掌握二次函数和反比例函数的知识。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数和反比例函数的定义、性质、图象和应用，能够熟练运用二次函数和反比例函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流等方式，培养学生的数学思维能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学素养，使学生认识到数学在生活中的重要性。
四. 教学重难点1.重点：二次函数和反比例函数的定义、性质、图象和应用。
2.难点：二次函数和反比例函数的性质、图象和应用的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解二次函数和反比例函数的定义和应用。
2.自主学习法：鼓励学生自主探究二次函数和反比例函数的性质、图象，培养学生的自主学习能力。
3.合作交流法：学生进行小组讨论，共同解决问题，培养学生的合作交流能力。
4.案例教学法：通过分析实际问题，引导学生运用二次函数和反比例函数解决问题，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助教学。
2.教学素材：准备相关的实际问题，作为教学案例。
数学沪科版九年级(上册)21.2二次函数的图象和性质课件(共17张PPT)
04:09
17
14
小
结 回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系
1.相同点:
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,
在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.
a<0时,开口向下,
y=ax2+bx+c(a>0)
顶点坐标 对称轴 开口方向
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
向下
增减性 最值
04:09
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2(x2 4x 4) 7 8
a x
b
2
c
b2
2a
4a
a x
b
2
4ac
b2
.
2(x 2)2 1
2a
4a
一半的平 方
整理:前三项 化为平方形 式
化简
9
04:09
函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点
坐标是什么？
例1.y写出a下x2列函b数x 的c开的口对方向称、轴对是称轴:x、顶点b坐标：
04:09
13
达标测评
1、若二次函数y =ax2-4x-6的图象的顶点横坐标 是 2__、-_2抛_，_物_则平线a移=_y______12__x_2_个_3_单x_位25是，由再抛向物_线__y平移- 12_x_2 先_个向 单位得到的。 3、已知抛物线y=x2-4x+h的顶点在直线y =4x-1 上，求抛物线的顶点坐标。
沪科版九年级上册数学第21章 二次函数与反比例函数 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
y随x 的增 大而 减小
y随x 的增 大而
y随x 的增 大而 增大
y随x 的增 大而
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后习题 补充:
作业2
课堂小结
函数
y=ax2
y=ax2+ k
增减性
开口方 向
对 顶 y的 称 点坐 最
在对称
在对
轴 标 值 轴左侧 称轴
最小值 y随x的增 y随右x的侧增
向上 y轴 （0，0） 是0
a＞
大而减小 大而增大
0
向下
y轴
最大值 （0，0） 是0
y随x的增 大而增大
y随x的增 大而减小
a＜
0
最小值 y随x的增 y随x的增 向上 y轴 （0，k） 是k 大而减小 大而增大
解：先分别列表：
x
1
… -4
3
-2
1
0
1
2…
y＝－2 (x＋ …
-
-
0
-
-
-…
感悟新知
知1－练
x
… -2
1
0
1
2
3
4…
1
y1然＝)后2 －描2点画(x图-，…得y＝4-.－5
-12(x＋01.5)2，0
0.5
2
4.5
…
y＝－ 1 (x－1)2的图象(如图2 )．
2
感悟新知
知1－练
可以看出，抛物线y＝－ 1 (x＋1)2的开口向下， 对称轴是经过点(－1，0)且2 与x轴垂直的直线，
把它记作x＝－1，顶点是(－1，0)；抛物线y＝ － (x－1)2的开口向下，对称轴是x＝1，顶点
是(11，0)． 2