北京市东城区九年级(上)期末数学试卷
九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（）A. 35B. 34C. 43D. 453.反比例函数y=6x的图象位于（）A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、三象限D. 第二、四象限4.如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB=72°，则∠ACB的度数为（）A. 18∘B. 30∘C. 36∘D. 72∘5.在平面直角坐标系xoy中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（3，0），以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大，若B点的对应点B′的坐标为（-6，0），则A点的对应点A′坐标为（）A. (−2,−4)B. (−4,−2)C. (−1,−4)D. (1,−4)6.如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC=3：1，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A. 3：4B. 9：16C. 9：1D. 3：17.将抛物线y=12x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A. y=−2x2+1B. y=−2x2−1C. y=−12x2+1D. y=−12x2−18.下面有三个推断：①当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955；②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95；③若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒．其中推断合理的是（）A. ①②③B. ①②C. ①③D. ②③二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车．大桥在设计理念、建造技术、施工组织、管理模式等方面进行一系列创新，标志着我国岛隧工程设计施工管理水平走在了世界前列．大桥全长近55km．汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为______10.如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为______米．11.请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是______．12.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=8，OE=3，则⊙O的半径为______．13.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD的长为9cm，则DE的长为______cm．14.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C的度数是______．15.如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB=4，则阴影部分的面积是______．16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC=4，∠ABC=60°，则线段MN的最大值为______．三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）17.计算：4sin30°-2cos45°-3tan30°+2sin60°18.如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD，（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AD=2，AB=5．求AC的长．四、解答题（本大题共10小题，共58.0分）19.下面是小明设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程已知：平行四边形ABCD．求作：AE⊥BC，垂足为点E．作法：如图，①分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线PQ，交AB于点O；③以点O为圆心，OA长为半径做圆，交线段BC于点E；④连接AE．所以线段AE就是所求作的高．根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∵AP=BP，AQ=______，∴PQ为线段AB的垂直平分线．∴O为AB中点．∵AB为直径，⊙O与线段BC交于点E，∴∠AEB=______°．（______）（填推理的依据）∴AE⊥BC．20.京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式．京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B）21.2（）写出此二次函数图象的对称轴；（2）求此二次函数的表达式．22.如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象交于A（-1，a），B两点，与x轴交于点C．（1）求a，k的值及点B的坐标；（2）若点P在x轴上，且S△ACP=32S△BOC，直接写出点P的坐标．23.某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系y=ax2+x+c（a≠0）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求水流喷出的最大高度．24.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：AE=AF；（2）若AE=5，AC=4，求BE的长．25.有这样一个问题：探究函数y=x−1x−3的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y=x−1x−3的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：（1）函数y=x−1x−3的自变量x的取值范围是______；2y x则的值为；（3）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；（4）观察图象，写出该函数的一条性质______；（5）若函数y=x−1x−3的图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为______；26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为y=-2x2+4mx-2m2+2m，线段AB的两个端点分别为A（1，2），B（3，2）．（1）若抛物线经过原点，求出m的值；（2）求抛物线顶点C的坐标（用含有m的代数式表示）；（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．27.如图，M为正方形ABCD内一点，点N在AD边上，且∠BMN=90°，MN=2MB．点E为MN的中点，点P为DE的中点，连接MP并延长到点F，使得PF=PM，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）求证：DF=BM；（3）连接AM，用等式表示线段PM和AM的数量关系并证明．28.对于平面直角坐标系xOy中的图形M及以原点为圆心，1为半径的⊙O，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为⊙O上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M到⊙O的“圆距离”，记作d（M-O）（1）记线段AB为图形M，其中A（-1，2），B（1，2），求d（M-O）；（2）记函数y=kx+4（k＞0）的图象为图形M，且d（M-O）≥1，直接写出k的取值范围；（3）记△CDE为图形M，其中C（t-23，-2），D（t+23，-2），E（t，4），且d （M-O）=1，直接写出t的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、不是中心对称图形，本选项错误；D、是中心对称图形，本选项正确．故选D．根据中心对称图形的概念求解即可．本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】A【解析】解：由图可得，直角三角形的斜边长==5，∴sinα=，故选：A．锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，即sinA=∠A的对边除以斜边．本题主要考查了锐角三角函数的定义，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．3.【答案】B【解析】解：∵反比例函数y=中k=6＞0，∴此函数的图象位于一、三象限．故选：B．直接根据反比例函数的性质进行解答即可．本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．4.【答案】C【解析】解：∵∠AOB=72°，∴∠ACB=36°．故选：C．根据圆周角定理，由∠AOB=72°，即可推出结果．本题主要考查圆周角定理，关键在于运用数形结合的思想进行认真分析．5.【答案】A【解析】解：如图所示：∵相似比为2，∴A'（-2，-4），故选：A．利用位似图形的性质得出对应点坐标，进而得出答案．此题主要考查了位似变换，根据图形变换的性质得出对应点坐标是解题关键．6.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴△DEF∽△BAF，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=DE：AB=3：4，∴=（）2=．故选：B．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【答案】D【解析】解：抛物线y=+1的顶点坐标为（0，1），点关于原点O的对称点的坐标为（0，-1），此时旋转后抛物线的开口方向相反，所以旋转后的抛物线的解析式为y=-x2-1．故选：D．先确定抛物线线y=+1的顶点坐标为（0，1），再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点（0，1）变换后所得对应点的坐标为（0，-1），然后利用顶点式写出旋转后抛物线．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．8.【答案】D【解析】解：①当n=400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率大约是0.955，此推断错误；②根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950，所以估计大豆发芽的概率是0.95，此推断正确；③若n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为4000×0.950=3800粒，此结论正确．故选：D．根据表中信息，当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950，由于试验次数较多，可以用频率估计概率．本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．9.【答案】t=55v【解析】解：∵大桥全长近55km，∴汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为，故答案为：．依据行程问题中的关系：时间=路程÷速度，即可得到汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式．本题主要考查了函数关系式，用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．10.【答案】6.4【解析】解：∵同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，=，∴=，∴BC=6.4米．故答案为6.4．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．11.【答案】y=-x2+3（答案不唯一）【解析】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c．∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），∴c=3．取a=-1，b=0时，二次函数的解析式为y=-x2+3．故答案为：y=-x2+3（答案不唯一）．根据二次函数的性质可得出a＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=3，取a=-1，b=0即可得出结论．本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出a＜0，c=3是解题的关键．12.【答案】5【解析】解：连接OD，∵CD⊥AB于点E，直径AB过O，∴DE=CE=CD=×8=4，∠OED=90°，由勾股定理得：OD===5，即⊙O的半径为5．故答案为：5．连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理求出OD即可．本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，能根据垂径定理求出DE的长是解此题的关键．13.【答案】152π【解析】解：∵AB=18cm，BD=9cm，∴AD=9cm，∴的长==．故答案为．利用弧长公式计算即可．本题考查弧长公式：l=（n为扇形的圆心角，r为扇形的半径），解题的关键是记住弧长公式，属于中考常考题型．14.【答案】45°【解析】解：∵∠AOC的度数为105°，由旋转可得∠AOD=∠BOC=40°，∴∠AOB=105°-40°=65°，∵△AOD中，AO=DO，∴∠A=（180°-40°）=70°，∴△ABO中，∠B=180°-70°-65°=45°，由旋转可得，∠C=∠B=45°，故答案为：45°．先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数，可得∠AOB的度数，再根据△AOD中，AO=DO，可得∠A的度数，进而得出△ABO中∠B的度数，可得∠C的度数．本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．15.【答案】3【解析】解：如图，连接OD，OE，DE．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，∵OA=OD=OB=OE=2，∴△AOD，∠EOB都是等边三角形，∴∠AOD=∠EOB=60°，∴∠DOE=60°，△DOE是等边三角形，∴∠DOE=∠EOB，∴弓形DE与弓形BE的面积相等，∵CD=DE=CE=2，∴△CDE是等边三角形，∴S=S△CDE=×22=，阴故答案为．=S△CDE即可解决问题．如图，连接OD，OE，DE．证明S阴本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．16.【答案】6【解析】解：连接CN．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=4∠B=60°，∴∠A=30°，∴AB=A′B′=2BC=8，∵NB′=NA′，∴CN=A′B′=4，∵CM=BM=2，∴MN≤CN+CM=6，∴MN的最大值为6，故答案为6．连接CN．根据直角三角形斜边中线的性质求出CN=A′B′=4，利用三角形的三边关系即可解决问题．本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：4sin30°-2cos45°-3tan30°+2sin60°=4×12-2×22-3×33+2×32=2-1-1+3=3．【解析】依据30°、45°、60°角的各种三角函数值，代入计算即可．本题主要考查了特殊角的三角函数值，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．18.【答案】解：（1）∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD（2）解：△ABC∽△ACD∴ACAD=ABAC，∵AD=2，AB=5，∴AC2=5AC，∴AC=10．【解析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案．（2）根据相似三角形的性质即可求出答案．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．19.【答案】BQ90 直径所对的圆周角是直角【解析】解：（1）图形如图所示：（2）理由：连接AQ，BQ，AP，BP．∵AP=BP，AQ=BQ，∴PQ为线段AB的垂直平分线，∴O为AB中点，∵AB为直径，⊙O与线段BC交于点E，∴∠AEB=90°．（直径所对的圆周角是直角），∴AE⊥BC．故答案为：BQ，90，（直径所对的圆周角是直角）．（1）根据要求画出图形即可解决问题；（2）只要证明OA=OB即可解决问题；本题考查线段垂直平分线的性质，作图-复杂作图等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】解：画树状图为：由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，所以P（两张都是“红脸”）=49，答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是49．【解析】根据题意画出树状图，求出所有的情况数和两次抽取的卡片上都是“红脸”的情况数，再根据概率公式计算即可．此题主要考查了概率的求法．用到的知识点为数状图和概率，概率=所求情况数与总情况数之比，关键是根据题意画出树状图．21.【答案】解：（1）∵当x=-2时，y=3；当x=0时，y=3，∴二次函数图象的对称轴为直线x=−2+02，即x=-1．（2）将（-1，2），（0，3），（1，6）代入y=ax2+bx+c，得：a−b+c=2c=3a+b+c=6，解得：a=1b=2c=3，∴此二次函数的表达式为y=x2+2x+3．【解析】（1）由当x=-2和x=0时y值相等，利用二次函数的性质即可求出二次函数图象的对称轴；（2）根据表格中的数据找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数表达式．本题考查了二次函数的性质以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）利用二次函数图象的对称性找出二次函数图象的对称轴；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．22.【答案】解：（1）把点A（-1，a）代入y=x+4，得a=3，∴A（-1，3）把A（-1，3）代入反比例函数y=kx∴k=-3；∴反比例函数的表达式为y=-3x联立两个函数的表达式得y=x+4y=3x解得x=−1y=3或x=−3y=1∴点B的坐标为B（-3，1）；（2）当y=x+4=0时，得x=-4∴点C（-4，0）设点P的坐标为（x，0）∵S△ACP=32S△BOC，∴12×3×|x+4|=32×12×4×1解得x1=-6，x2=-2∴点P（-6，0）或（-2，0）．【解析】（1）利用点A在y=-x+4上求a，进而代入反比例函数y=求k，然后联立方程求出交点，（2）设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标．本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过联立方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达．23.【答案】解：（1）由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：c=1.59a+3+c=0，解得：a=−12c=32，则函数表达式为：y=-12x2+x+32；（2）y=−12x2+x+32=−12(x−1)2+2a=-12＜0，故函数有最大值，∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2，答：水流喷出的最大高度为2米．【解析】（1）由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2），故当x=1时，y取得最大值．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．24.【答案】证明：（1）连接OD，∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC，∴∠ODC=90°，又∵∠ACB=90°，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠F，∵OE=OD，∴∠OED=∠ODE，∴∠OED=∠F，∴AE=AF；（2）∵OD∥AC∴△BOD∽△BAC，∴BOAB=ODAC，∵AE=5，AC=4，即BE+2.5BE+5=2.54，∴BE=53．【解析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，根据平行线的判定定理得到OD∥AC，求得∠ODE=∠F，根据等腰三角形的性质得到∠OED=∠ODE，等量代换得到∠OED=∠F，于是得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25.【答案】x≠3 12当x＞3时y随x的增大而减小（答案不唯一）y1＜y3＜y2 【解析】解：（1）∵x-3≠0，∴x≠3；（2）当x=-1时，y===；（3）如图所示：（4）由图象可得，当x＞3时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（5）由图象可得，当x1＜3时，y1＜1；当0＜x2＜x3时，1＜y3＜y2．∴y1、y2、y3之间的大小关系为y1＜y3＜y2．故答案为：x≠3；；当x＞3时，y随x的增大而减小；y1＜y3＜y2．（1）依据函数表达式中分母不等于0，即可得到自变量x的取值范围；（2）把x=-1代入函数解析式，即可得到m的值；（3）依据各点的坐标描点连线，即可得到函数图象；（4）依据函数图象，即可得到函数的增减性；（5）依据函数图象，即可得到当x1＜3时，y1＜1；当0＜x2＜x3时，1＜y3＜y2．本题主要考查了反比例函数的图象与性质，用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表---描点---连线．连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．26.【答案】解：（1）∵抛物线y=-2x2+4mx-2m2+2m经过原点，∴-2m2+2m=0，解得m1=0，m2=1；（2）∵y=-2x2+4mx-2m2+2m=-2（x2-2mx+m2）+2m=-2（x-m）2+2m，∴顶点C的坐标为（m，2m）；（3）由顶点C的坐标可知，抛物线的顶点C在直线y=2x上移动．当抛物线过点A时，m=2或1；当抛物线过点B时，m=2或5．所以m=2时，抛物线与线段AB有两个公共点，不符合题意．结合函数的图象可知，m的取值范围为1≤m≤5且m≠2．【解析】（1）将x=0，y=0代入y=-2x2+4mx-2m2+2m，得到关于m的方程，解方程即可求出m的值；（2）利用配方法将抛物线的一般式化为顶点式，进而求出顶点C的坐标；（3）由（2）所求顶点C的坐标可知，抛物线的顶点C在直线y=2x上移动．分别求出抛物线过点A、点B时，m的值，画出此时函数的图象，结合图象即可求出m的取值范围．本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，直线与抛物线的位置关系，提现了转化思想和数形结合思想的应用．27.【答案】解：（1）如右图所示；（2）∵点P为线段DE的中点，∴DP=EP在△MPE和△FPD中，MP=FP∠MPE=∠FPDEP=DP∴△MPE≌△FPD（SAS），∴DF=EM，∵E为MN的中点，∴MN=2ME，∵MN=2MB，∴MB=ME=DF，∴DF=BM；（3）结论：AM=2PM，证明：连接AF，由（2）可知：△MPE≌△FPD，∴∠DFP=∠EMP，∴DF∥ME，∴∠FDN=∠MND，在正方形ABCD中，AD=AB，∠BAD=90°，又∵∠BMN=90°，∴∠MBA+∠MNA=180°，又∵∠MNA+∠MND=180°，∴∠MBA=∠MND，∴∠FDN=∠MBA，在△FAD和△MAB中，FD=MB∠FDA=∠MBADA=BA，∴△FAD≌△MAB（SAS），∴∠FAD=∠MAB，FA=MA，∴∠FAM=∠DAB=90°，∴△FAM为等腰直角三角形，∴FM=2AM又∵FM=2PM，∴AM=2PM．【解析】（1）根据题意可以画出完整的图形；（2）由MN=2MB，点E为MN的中点可知，要证明DF=BM，只要证明DF=EM 即可，要证明DF=EM，只要证明△MPE≌△FPD即可，然后根据题目中的条件和全等三角形的判定即可证明结论成立；（3）首先写出线段PM和AM的数量关系，然后根据题意作出合适的辅助线，利用全等三角形的判定和性质、正方形的性质即可证明结论成立．本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．28.【答案】解：（1）如下图所示由题意得：点A、点B关于y轴对称，则：PQ=1，即：d（M-O）=1；（2）如下图所示，当d（M-O）=1时，过点O作OP⊥MN，交圆于点Q，由题意得：OM=4，即：PQ=1，则OP=2，sin∠OMP=OPOM=12，即：∠NMO=30°，则ON=OM•tan30°=433，点N的坐标为（-433，0），把点N的坐标代入直线表达式得：0=-433k+4，解得：k=3，而k＞0，故：0＜k≤3；（3）①当t＜0时，如下图所示，过点O作OP⊥ED交于点D，过点E作x轴的垂线交于点G、交CD于点N，则DN=23，EN=6，tan∠NED=DNEN=33，即：∠DEN=30°，∴∠EDN=∠EHG=60°=∠OHP，由题意得：OP=2，OH=OPsin60∘=433，则：HG=-433-t，GE=4，tan∠EHG=EGHG=4−433−t=3，解得：t=-833，②当t＞0时，同理可得：t=833，③当t=0时，d（M-O）=1，即当d（M-O）=1时，t的值为0或-833或833．【解析】（1）如下图所示，由题意得：点A、点B关于y轴对称，即可求解；（2）如下图所示，当d（M-O）=1时，过点O作OP⊥MN，交圆于点Q，则：PQ=1，则OP=2，即可求解；（3）分t＜0、t＞0、t=0三种情况，求解即可．本题为圆的综合题，属于阅读理解型题目，关键是通过正确画图，确定图形间的位置关系．。
2024年北京东城区初三上学期期末考数学试卷和答案
东城区2023—2024学年第一学期期末统一检测初三数学2024.1一、选择题(每题2分，共16分)1．下列四个交通标志图案中，是中心对称图形的是2．若3x =是关于x 的方程22=0x x m --的一个根，则m 的值是A ．-15B ．-3C ．3D ．153．关于二次函数22(1)2y x =-+，下列说法正确的是A ．当x =1时，有最小值为2B ．当x =1时，有最大值为2C ．当x =-1时，有最小值为2D ．当x =-1时，有最大值为24．在下列事件中，随机事件是A ．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6B ．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球C ．通常情况下，自来水在10℃结冰D ．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为25．如图，正方形ABCD 的边长为6，且顶点A ,B ,C ,D 都在⊙O 上，则⊙O 的半径为A.3B.6C.32D.626．北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续.某地雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人.设该地雪场游客人数的周平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是A ．27000(1)8470x +=B ．270008470x =C ．7000(1+2)8470x =D ．37000(1)8470x +=7．如图，某汽车车门的底边长为1m ，车门侧开后的最大角度为72°.若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是A ．2πm 10B ．2πm5C ．22πm5D ．24πm58.⊙O 是△ABC 的内切圆，与AB ,BC ,AC 分别相切于点D ,E ,F .若⊙O 的半径为2，△ABC 的周长为26，则△ABC 的面积为A.3B.24C.26D.52二、填空题(每题2分，共16分)9.把抛物线22y x =向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为．10.若一元二次方程261=0x x +-经过配方，变形为()23x n +=的形式，则n 的值为．11．为了解某小麦品种的发芽率，某农业合作小组在相同条件下对该小麦做发芽试验，试验数据如下表：种子个数n 550100200500100020003000发芽种子个数m 4449218947695118982851发芽种子频率m n0.8000.8800.9200.9450.9520.9510.9490.950(1)估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为(结果保留两位小数)；(2)若在相同条件下播种该品种小麦种子10000个，则约有个能发芽．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(1，2)，点B 与点A 关于原点对称，则点B 的坐标为_____________．13.已知二次函数2+8+3y x x =-，当x >m 时，y 随x 的增大而减小，则m 的值可以是____________(写出一个即可)．14.如图，A ,B ,C 是⊙O 上的三个点，若∠ACB=40°，则∠OBA 的大小是_____________°．15.如图1，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分．铅球出手位置的高度为35m，当铅球行进的水平距离为4m 时，高度达到最大值3m.铅球的行进高度y （单位：m）与水平距离x （单位：m）之间的关系满足二次函数.若以最高点为原点，过原点的水平直线为x 轴，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，则该二次函数的解析式为2121x y -=.若以过出手点且与地面垂直的直线为y 轴，y 轴与地面的交点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系xOy ，则该二次函数的解析式为.16．某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序．施工要求如下：①先完成工序A ，B ，C ，再完成工序D ，E ，F ，最后完成工序G ；②完成工序A 后方可进行工序B ；工序C 可与工序A ，B 同时进行；③完成工序D 后方可进行工序E ；工序F 可与工序D ，E 同时进行；④完成各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G 所需时间/天11152817163125(1)在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少_____________天完成．(2)现因情况有变，需将工期缩短到80天．工序A ，C ，D 每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是_____________万元.三、解答题（共68分，17-21题，每题5分，22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，27-28题，每题7分)17.解方程：()()3121x x x +=+．18.如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°．求作：⊙O ，使得△ACB 的三个顶点都在⊙O 上.作法：①作边AB 的垂直平分线，交AB 于点O ;②以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．则⊙O 为所求作的圆．(1)利用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：连接OC .由作图可知，OB =OA=12AB .∴点B 在⊙O 上．在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，∴OC =12________()(填推理依据)．∴OC =OA ．∴点C 在⊙O 上．∴△ACB 的三个顶点都在⊙O 上.19．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx =+的图象过点A (3，3)．(1)求该二次函数的解析式；(2)用描点法画出该二次函数的图象；(3)当0x ＜＜3时，对于x 的每一个值，都有2kx x bx +＞，直接写出k 的取值范围．20．某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同.将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．(1)请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；(2)求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率.21.如图，AB 是⊙O 的弦，半径OD ⊥AB 于点C .若AB =16，CD =2，求⊙O 的半径的长．22．已知关于x 的一元二次方程()222120x m x m -++-=(1)当该方程有两个不相等的实数根时，求m 的取值范围;(2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求m 的值．23．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O ,B 为格点(每个小正方形的顶点叫做格点)，OA =3，OB =4，且∠AOB=150°．线段OA 关于直线OB 对称的线段为O A '，将线段OB 绕点O 逆时针旋转45︒得到线段OB '．(1)画出线段O A '，OB '；(2)将线段OB 绕点O 逆时针旋转角()4590αα︒<<︒得到线段OC '，连接A C ''．若=5A C ''，求∠B OC ''的度数．24．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D.过点D 作DE ∥AB ，交CB 的延长线于点E ．(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2)若∠BAC =30°，22BC =，求CD 的长．25.食用果蔬前，适当浸泡可降低农药的残留.某小组针对同种果蔬研究了不同浸泡方式对某种农药去除率的影响．方式一：采用清水浸泡．记浸泡时间为t分钟，农药的去除率为y1%，部分实验数据记录如下：方式二：采用不同浓度的食用碱溶液浸泡相同时间．记食用碱溶液的浓度为x%，农药的去除率为y2%，部分实验数据记录如下：结合实验数据和结果，解决下列问题:（1）通过分析以上实验数据，发现可以用函数刻画方式一中农药的去除率y1(%)与浸泡时间t(分)之间的关系，方式二中农药的去除率y2(%)与食用碱溶液的浓度x(%)之间的关系，请分别在下面的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象:(2)利用方式一的函数关系可以推断，降低该种农药残留的最佳浸泡时间约为__________分钟．(3)方式一和方式二的函数关系可以推断，用食用碱溶液浸泡含该种农药的这种果蔬时，要想不低于清水浸泡的最大去除率，食用碱溶液的浓度x %中，x 的取值范围可以是_____________．26.在平面直角坐标系xOy 中，点(2，c )在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设该抛物线的对称轴为直线x t =.(1)求t 的值；(2)已知11()M x y ，，22()N x y ，是该抛物线上的任意两点，对于11m x m <<+，212m x m +<<+，都有12y y <,求m 的取值范围．27.在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，D 为BC 上一点，连接DA ，将线段DA 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ．（1）如图1，当点D 与点B 重合时，连接AE ，交BC 于点H ，求证：AE ⊥BC ；（2）当BD ≠CD 时(图2中BD ＜CD ，图3中BD >CD )，F 为线段AC 的中点，连接EF ．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题：①依题意，补全图形；②猜想∠AFE 的大小，并证明．28.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 和直线1l ，2l ，点P 关于直线1l ，2l “和距离”的定义如下：若点P 到直线1l ，2l 的距离分别为1d ，2d ，则称1d +2d 为点P 关于直线1l ，2l 的“和距离”，记作d ．特别地，当点P 在直线1l 上时，1d =0；当点P 在直线2l 上时，2d =0．(1)在点1P (3，0)，2P (-1，2)，3P (4，-1)中，关于x 轴和y 轴的“和距离”为3的点是________;(2)若P 是直线3y x =-+上的动点，则点P 关于x 轴和y 轴的“和距离”d 的最小值为________；(3)已知点A (0,3)，⊙A 的半径为1，点P 是⊙A 上的动点，直接写出点P 关于x 轴和直线y +6的“和距离”d 的取值范围．东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测初三数学参考答案及评分标准2024.1一、选择题（每题2分，共16分）题号12345678答案BCADCABC二、填空题(每题2分，共16分）9．223y x =-10．1011．0.95950012.（-1，-2）13．答案不唯一，m ≥4即可14．5015.21251233y x x =-++16．86，38三、解答题（共68分，17-21题，每题5分，22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，27-28题，每题7分)17．解：移项，得()()31210.x x x +-+=因式分解，得()()1320.x x +-=……………………………..1分于是得10x +=，或320.x -=……………………………..3分所以方程的两个根分别为1=-1x ，22.3x =……………………………..5分18．解：(1)作图如下，------------------------3分(2)AB直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.------------------------5分19.解：（1）∵点A (3，3)在抛物线二次函数2y x bx =+的图象上，∴2333b =+.解得2b =-.∴二次函数的解析式为22y x x =-.------------------------2分(2)列表：x …-10123…y…3-13…描点，连线------------------------4分（3）当k ≥1.------------------------5分20．解：（1）所有可能出现的结果共6种：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD .…………3分（2）记抽到的2张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案为事件M ,M 包含的结果有3种，即AC ，BC ，CD ，且6种可能的结果出现的可能性相等，所以()31==62P M …………5分21．解：连接OA .∵半径OD ⊥AB 于点C ，AB =16，∴∠ACO =90°，AC =12AB =8，………2分设OA =r ，则OC =2r -．在Rt △AOC 中，根据勾股定理，得222OA AC OC =+，即2228(2)r r =+-．………4分解得17r =．∴⊙O 的半径的长17．………5分22．解：(1)∵关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m -++-=有两个不相等的实数根，∴[]()2222=(21)4244148490m m m m m m ∆-+--=++-+=+＞ (2)分解得94m ＞-.∴m 的取值范围是94m ＞-.………..3分(2)由（1）可知，49m ∆=+.由求根公式，得()1212m x +=，()2212m x +=.………..5分∵该方程的两个实数根互为相反数，∴12+0x x =.∴()()2121+21022m m m +++=+=.解得1=2m -，符合题意.∴当方程的两个实数根互为相反数时，1=2m -.………..6分23.解：（1）如图．……………….2分（2）如图，在△A OC ''中，==3OA OA '，==4OC OB '，=5A C '',∴222=A C OA OC ''''+.∴△A OC ''是直角三角形.∴=90.A OC ''︒∠………………..3分∵∠AOB =150°，OA OA OB '与关于直线对称，∴=150.A OB '︒∠………………..4分∴=60C OB '︒∠，即=60α︒.∴=604515B OC C OB B OB '''''-=︒-︒=︒∠∠∠.………………..5分24．(1)证明：如图1，连接OD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°.∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD =∠BCD=45°.---------------1分∴∠ABD =∠ACD=45°.∵OD =OB ,∴∠ODB =∠OBD =45°.--------------2分∵DE ∥AB ，∴∠BDE =∠OBD =45°.∴∠ODE =∠ODB+∠BDE=90°.∴OD ⊥DE .∵OD 为⊙O 的半径，∴直线DE 是⊙O 的切线.------------------3分（3）如图2，过点B 作BF ⊥CD 于点F .∴∠BFC =∠BFD =90°.∵∠BCD =45°.∴∠CBF =45°.图1∴BF CF =.------------------4分在Rt △BFC 中，BC =根据勾股定理，得=2BF CF =.∵ BCBC =，∴∠CDB =∠BAC =30°.------------------5分∴2=4.BD BF =在Rt △BFD 中，根据勾股定理，得DF∴CD CF DF =+------------------6分25.解：（1）画图如下，---------------------------------------------------------------------2分（2）10-------------------------------------------4分（3）答案不唯一，如7x ≤≤12.---------------------------6分26．解：(1)由题意可知，42a b c c ++=，∴2b a =-.∴12bt a=-=.---------------------------2分(2)∵0a >，1t =，∴当1x ＞时，y 随x 的增大而增大，当1x ＜，时y 随x 的增大而减小.---------------------------3分①当1m ≥时，∵11m x m <<+，212m x m +<<+，∴121x x <<.∴12y y <，符合题意.---------------------------4分②当112m <≤时，有3122m +<，(i )当111x m <+≤时，∵212m x m +<<+，∴121x x <≤.∴12y y <.(ii )当11m x <<时，设11()M x y ，关于抛物线对称轴1x =的对称点为01()M 'x y ，，则01x >，011=1x x --.∴012x x =-.∵112m <≤，∴0312x <<.∵3122m +≤＜，212m x m ++＜＜∴232x ＞.∴02312x x <<＜.∴12y y <.∴当112m <≤时，符合题意.---------------------------5分③当102m <≤时，3112m +<≤，令11=2x ，23=2x ，则12=y y ，不符合题意.④当102m -<≤时，有1112m +<≤，令1=0x ，2=1x ，则12=1x x <，∴.12>y y ，不符合题意.⑤当112m -<-≤时，1012m +<≤，令11=2x -，2=1x ，则12=1x x <，∴.12>y y ，不符合题意.⑥当1m <-时，1221x x m <<+<，∴.12>y y ，不符合题意.综上所述，m的取值范围是12m ≥.---------------------------6分27．（1）证明：∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠ABC =∠C =30°.将线段DA 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，∴DE =DA ，∠ADE =60°.∴△ADE 是等边三角形.∴∠BAE =60°.∴∠AHB =90°.∴BC ⊥AE.………..3分（2）解：选择图2：①补全图形如图所示：………..4分②猜想∠AFE =90°.………..5分证明：如图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，连接AE .则∠AHB =∠AHC =90°.∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠CAH =12∠BAC =60°，∠C =30°.∴AH =12AC .∵F 为线段AC 中点，∴AF =12AC .∴AH =AF .由（1）可知△ADE 是等边三角形.∴∠DAE =60°=∠CAH ，AD=AE.∴∠DAH =∠EAF.在△ADH 和△AEF 中，.DAH EA AD AE AH AF F ∠==⎧∠⎪⎨⎪=⎩，，∴△ADH ≌△AEF （SAS ）.∴∠AFE =∠AHD =90°.………7分选择图3：①补全图形如图所示：②（选择图3的答案与选择图2的答案一致）28．解：(1)P 1，P 2.………2分(2)3.………4分(3)71122d ≤≤．………7分。
2023-2024学年北京市九年级数学第一学期期末达标测试试题(含解析)
2023-2024学年北京市九年级数学第一学期期末达标测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，已知抛物线和直线.我们约定：当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2，若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M= y 1=y 2.下列判断： ①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时，x 值越大，M 值越大；③使得M 大于4的x 值不存在；④若M=2，则x=" 1" .其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．教育局组织学生篮球赛，有x 支球队参加，每两队赛一场时，共需安排45场比赛，则符合题意的方程为（ ）A．B ．C ．D ．3．下列说法正确的是（ ）A ．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上。
B ．从1，2，3，4，5中随机取一个数，取得奇数的可能性较大。
C ．某彩票中奖率为，说明买100张彩票，有36张中奖。
D ．打开电视，中央一套正在播放新闻联播。
4．如图是我们学过的反比例函数图象，它的表达式可能是（ ）21y x 4x =-+2y 2x =()11452x x -=()11452x x +=()145x x -=()145x x +=36%A ．B ．C ．D ．5．下列图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，且AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD 之间的距离为（）A ．1 cmB ．7cmC ．3 cm 或4 cmD ．1cm 或7cm 7．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（ ）A ．B ．C ．D ．8．小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为（ ）A．B ．C ．D ．9．下列关系式中，y 是x 的反比例函数的是（ ）A ．y ＝4xB ．＝3C ．y ＝﹣D ．y ＝x 2﹣110．如图，⊙O 的直径长10，弦AB=8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）A ．3≤OM≤5B ．4≤OM≤5C ．3＜OM ＜5D ．4＜OM ＜511．如图所示的工件的主视图是（ ）22y x =4y x =3y x =-3y x=-x 2cos 0x α+=α15 30 45 601325122542512y x 1xA ．B ．C ．D ．12．若△ABC ～△A ′B 'C ′，相似比为1：2，则△ABC 与△A 'B ′C '的周长的比为（ ）A ．2：1B ．1：2C ．4：1D ．1：4二、填空题（每题4分，共24分）13．若弧长为4π的扇形的圆心角为直角，则该扇形的半径为 ．14．因式分解：_______；15．如图，在平面直角坐标系中，已知经过点，且点O 为坐标原点，点C 在y 轴上，点E 在x 轴上，A (-3，2)，则__________．16．矩形ABCD 中，AB=6，BC=8.点P 在矩形ABCD 的内部，点E 在边BC 上，满足△PBE ∽△DBC ，若△APD 是等腰三角形，则PE 的长为数___________.17．已知关于的方程的一个根为-2，则方程另一个根为__________．18．在中，，，在外有一点，且，则的度数是__________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，有一个斜坡，坡顶离地面的高度为20米，坡面的坡度为，求坡面的长度.20．（8分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”，这条中线为“匀称中线”．()()2a b b a ---=A E B O C 、、、tan OBC ∠=x 230x mx m ++=ABC ∆AC BC =90C ∠=︒ABC ∆M MA MB ⊥AMC ∠AB B BC AB 25AB（1）如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＞BC ，若Rt △ABC 是“匀称三角形”．①请判断“匀称中线”是哪条边上的中线，②求BC ：AC ：AB 的值．（2）如图②，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＞AC ，∠BAC ＝45°，S △ABC ＝，将△ABC 绕点A 逆时针旋转45°得到△ADE ，点B 的对应点为D ，AD 与⊙O 交于点M ，若△ACD 是“匀称三角形”，求CD 的长，并判断CM 是否为△ACD的“匀称中线”．21．（8分）某班为推荐选手参加学校举办的“祖国在我心中”演讲比赛活动，先在班级中进行预赛，班主任根据学生的成绩从高到低划分为A ，B ，C ，D 四个等级，并绘制了不完整的两种统计图表．请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）a 的值为 ；（2）求C 等级对应扇形的圆心角的度数；（3）获得A 等级的4名学生中恰好有1男3女，该班将从中随机选取2人，参加学校举办的演讲比赛，请利用列表法或画树状图法，求恰好选中一男一女参加比赛的概率．22．（10分）如图，在中，，，，将线段绕点按逆时针方向旋转到线段.由沿方向平移得到，且直线过点.ABC 90C ∠=︒10AB =8AC =AB A 90︒AD EFG ABC CB EF D（1）求的大小；（2）求的长.23．（10分）如图，把Rt △ABC 绕点A ．逆时针旋转40°，得到在Rt △ABʹCʹ，点Cʹ恰好落在边AB 上，连接BBʹ，求∠BBʹCʹ的度数．24．（10分）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，如16=3+ 1．（1）若从7， 11， 19， 23中随机抽取1个素数，则抽到的素数是7的概率是_______；（2）若从7， 11， 19， 23中随机抽取1个素数，再从余下的3个数字中随机抽取1个素数，用面树状图或列表的方法求抽到的两个素数之和大于等于30的概率，25．（12分）（1）计算: （2）化简：26．已知抛物线的顶点坐标为（1，2），且经过点（3，10）求这条抛物线的解析式．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解析】试题分析：∵当y 1=y 2时，即时，解得：x=0或x=2，1∠AE 201224((18--+-⨯--2291(1)693x x x x -⋅+-++2x 4x 2x -+=∴由函数图象可以得出当x ＞2时， y 2＞y 1；当0＜x ＜2时，y 1＞y 2；当x ＜0时， y 2＞y 1．∴①错误．∵当x ＜0时， -直线的值都随x 的增大而增大，∴当x ＜0时，x 值越大，M 值越大．∴②正确．∵抛物线的最大值为4，∴M 大于4的x 值不存在．∴③正确；∵当0＜x ＜2时，y 1＞y 2，∴当M=2时，2x=2，x=1；∵当x ＞2时，y 2＞y 1，∴当M=2时，，解得．∴使得M=2的x 值是1或．∴④错误．综上所述，正确的有②③2个．故选B ．2、A 【分析】先列出x 支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x （x-1）场，再根据题意列出方程为．【详解】解：∵有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为，故选：A ．本题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．3、B【解析】A 、掷一枚硬币的试验中，着地时反面向上的概率为，则正面向上的概率也为，不一定就反面朝上，故此选项错误；B 、从1，2，3，4，5中随机取一个数，因为奇数多，所以取得奇数的可能性较大，故此选项正确；C 、某彩票中奖率为36%，说明买100张彩票，有36张中奖，不一定，概率是针对数据非常多时，趋近的一个数并不能说买100张该种彩票就一定能中36张奖，故此选项错误；D 、中央一套电视节目有很多，打开电视有可能正在播放中央新闻也有可能播放其它节目，故本选项错误.故选B ．4、B【分析】根据反比例函数图象可知，经过第一三象限，，从而得出答案．【详解】解：A 、为二次函数表达式，故A 选项错误；B 、为反比例函数表达式，且，经过第一三象限，符合图象，故B 选项正确；21y x 4x =-+2y 2x =()221y x 4x x 24=-+=--+2x 4x 2-+=12x 2x 2=+=-2+()11452x x -=()11452x x -=12120k >22y x =4y x=0k >C 、为反比例函数表达式，且，经过第二四象限，不符合图象，故C 选项错误；D 、为一次函数表达式，故D 选项错误．故答案为B ．本题考查了反比例函数的图象的识别，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．5、C【解析】根据中心对称图形的概念即可得出答案.【详解】A 选项中，不是中心对称图形，故该选项错误；B 选项中，是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误；C 选项中，是中心对称图形，故该选项正确；D 选项中，不是中心对称图形，故该选项错误.故选C本题主要考查中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键.6、D【分析】分AB 、CD 在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB 与CD 的距离．构造直角三角形利用勾股定理求出即可.【详解】当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图①，过点O 作OF ⊥CD ，垂足为F ，交AB 于点E ，连接OA ，OC ，∵AB ∥CD ，∴OE ⊥AB ，∵AB=8cm ，CD=6cm ，∴AE=4cm ，CF=3cm ，∵OA=OC=5cm ，∴EO=3cm ，OF=4cm ，∴EF=OF-OE=1cm ；当弦AB 和CD 在圆心异侧时，如图②，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，反向延长OE 交AD 于点F ，连接OA ，OC ，∵AB ∥CD，3y x=-0k <3y x =-∴OF ⊥CD ，∵AB=8cm ，CD=6cm ，∴AE=4cm ，CF=3cm ，∵OA=OC=5cm ，∴EO=3cm ，OF=4cm ，∴EF=OF+OE=7cm ．故选D ．本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键，要注意有两种情况．7、D【分析】根据一元二次方程根的判别式等于零，求出的值，进而即可得到答案．【详解】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴∆=，解得：，∴=．故选D ．本题主要考查一元二次方程根的判别式以及特殊角三角函数，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系，是解题的关键．8、A【分析】画出树状图，共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，即可得出答案．【详解】解：画树状图如图：共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，∴小李获胜的概率为；故选A ．cos αx 2cos 0x α-+=2(41cos 0α-⨯⨯=1cos 2α=α60 1325本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键．9、C【分析】根据反比例函数的定义逐一判断即可．【详解】A 、y ＝4x 是正比例函数；B 、＝3，可以化为y ＝3x ，是正比例函数；C 、y ＝﹣是反比例函数；D 、y ＝x 2﹣1是二次函数；故选：C ．本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．10、A【详解】解：的直径为10，半径为5，当时，最小，根据勾股定理可得，与重合时，最大，此时，所以线段的的长的取值范围为，故选A ．本题考查垂径定理，掌握定理内容正确计算是本题的解题关键．11、B【解析】从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．故选B ．12、B【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比即可得出结论．【详解】解：∵∽，相似比为1：1，∴与的周长的比为1：1．故选：B ．此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的周长比等于相似比是解决此题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、1．【分析】根据扇形的弧长公式计算即可，【详解】∵扇形的圆心角为90°，弧长为4π，∴，即4π=，则扇形的半径r=1．y x1x O OM AB ⊥OM 3OM =OM OA OM 5OM =OM 35OM ≤≤ABC A B C '''V ABC A B C '''V r l 180n π=90•180r π故答案为1考点：弧长的计算．14、（a-b ）（a-b+1）【解析】原式变形后，提取公因式即可得到结果．【详解】解：原式=(a -b )2+(a -b )=(a -b )(a -b +1)，故答案为：(a -b )(a -b +1)此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．15、【解析】分别过A 点作x 轴和y 轴的垂线，连接EC ，由∠COE =90°，根据圆周角定理可得：EC 是⊙A 的直径、，由A 点坐标及垂径定理可求出OE 和OC ，解直角三角形即可求得．【详解】解：如图，过A 作AM ⊥x 轴于M ，AN ⊥y 轴于N ，连接EC ，∵∠COE =90°，∴EC 是⊙A 的直径，∵A (−3，2)，∴OM =3，ON =2，∵AM ⊥x 轴，AN ⊥y 轴，∴M 为OE 中点，N 为OC 中点，∴OE =2OM =6，OC =2ON =4，∴=．本题主要考查了同弧所对的圆周角相等、垂径定理和锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键．16、3或1.2【分析】由△PBE ∽△DBC ，可得∠PBE=∠DBC ，继而可确定点P 在BD 上，然后再根据△APD 是等腰三角形，分DP=DA 、AP=DP 两种情况进行讨论即可得.【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，BC=8，∴BD=10，23∠=∠OBC CEO tan OBC ∠tan OBC ∠42tan 63∠===OC CEO OE∵△PBE ∽△DBC ，∴∠PBE=∠DBC ，∴点P 在BD 上，如图1，当DP=DA=8时，BP=2，∵△PBE ∽△DBC ，∴PE ：CD=PB ：DB=2：10，∴PE ：6=2：10，∴PE=1.2；如图2，当AP=DP 时，此时P 为BD 中点，∵△PBE ∽△DBC ，∴PE ：CD=PB ：DB=1：2，∴PE ：6=1：2，∴PE=3；综上，PE 的长为1.2或3，故答案为1.2或3.本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质等，确定出点P 在线段BD 上是解题的关键.17、1【分析】将方程的根-2代入原方程求出m 的值，再解方程即可求解．【详解】解：把x=-2代入原方程得出，4-2m+3m=0，解得m=-4；故原方程为：，解方程得：．故答案为：1．本题考查的知识点是解一元二次方程，根据方程的一个解求出方程中参数的值是解此题的关键．24120x x --=122,6x x =-=18、、【分析】由，可知A 、C 、B 、M 四点共圆，AB 为圆的直径，则是弦AC 所对的圆周角，此时需要对M 点的位置进行分类讨论，点M 分别在直线AC 的两侧时，根据同弧所对的圆周角相等和圆内接四边形对角互补可得两种结果．【详解】解：∵在中，，，∴∠BAC =∠ACB =45°，∵点在外，且，即∠AMB =90°∵∴A 、C 、B 、M 四点共圆，①如图，当点M 在直线AC 的左侧时，,∴；②如图，当点M 在直线AC 的右侧时，∵，∴，故答案为：135°或45°．本题考查了圆内接四边形对角互补和同弧所对的角相等，但解题的关键是要先根据题意判断出A 、C 、B 、M 四点共圆．三、解答题（共78分）19、米【分析】根据坡度的定义可得，求出AB ，再根据勾股定理求135︒45︒90C ∠=︒MA MB ⊥AMC ∠ABC ∆AC BC =90C ∠=︒M ABC ∆MA MB ⊥180∠+∠=︒AMB C 180∠+∠=︒AMC ABC 180********∠=︒-∠=︒-︒=︒AMC ABC AC AC =45∠=∠=︒AMC ABC 25BC AC =AB =【详解】∵坡顶离地面的高度为20米，坡面的坡度为即, ∴米由勾股定理得答：坡面的长度为米.考核知识点：解直角三角形应用.把问题转化为解直角三角形是关键.20、（1）① “匀称中线”是BE ，它是AC 边上的中线，②BC ：AC ：AB；（2）CDa ，CM 不是△ACD 的“匀称中线”．理由见解析.【分析】（1）①先作出Rt △ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ，然后利用匀称中线的定义分别验证即可得出答案；②设AC ＝2a ，利用勾股定理分别把BC,AB 的长度求出来即可得出答案.（2）由②知：AC ：AD ：CD ，设AC ，则AD ＝2a ，CD ，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H，利用的面积建立一个关于a 的方程，解方程即可求出CD 的长度；假设CM 是△ACD 的“匀称中线”，看能否与已知的定理和推论相矛盾，如果能，则说明假设不成立，如果不能推出矛盾，说明假设成立.【详解】（1）①如图①，作Rt△ABC 的三条中线AD、BE 、CF ，∵∠ACB ＝90°，∴CF ＝，即CF 不是“匀称中线”．又在Rt △ACD 中，AD ＞AC ＞BC ，即AD 不是“匀称中线”．∴“匀称中线”是BE ，它是AC 边上的中线，②设AC ＝2a ，则CE ＝a ，BE ＝2a ，在Rt △BCE 中∠BCE ＝90°，∴BC ，在Rt △ABC 中，AB ，∴BC ：AC ：AB （2）由旋转可知，∠DAE ＝∠BAC ＝45°．AD ＝AB ＞AC ，B BC AB 2525BC AC =2025AC =50AC =AB ==AB :2:7:2ABC 12AB AB ≠==:2:2a =∴∠DAC ＝∠DAE +∠BAC ＝90°，AD ＞AC ，∵Rt △ACD 是“匀称三角形”．由②知：AC ：AD ：CD设AC，则AD ＝2a ，CD ，如图②，过点C 作CH⊥AB ，垂足为H ，则∠AHC ＝90°，∵∠BAC ＝45°，∴ ∵解得a ＝2，a ＝﹣2（舍去），∴判断：CM 不是△ACD 的“匀称中线”．理由：假设CM 是△ACD 的“匀称中线”．则CM ＝AD ＝2AM ＝4，AM ＝2，∴又在Rt △CBH 中，∠CHB ＝90°，CH ，BH ＝4，∴即这与∠AMC ＝∠B相矛盾，∴假设不成立，2CH AH ===11222ABC S AB CH a ==⨯= CD ==tan AC AMC AM ∠===tan tan CH B AMC BH ===≠∠B AMC∠≠∠∴CM 不是△ACD 的“匀称中线”．本题主要为材料理解题，掌握匀称三角形和匀称中线的意义是解题的关键.21、（1）8 ；（2）；（3）【分析】（1）根据D 等级的人数除以其百分比得到班级总人数，再乘以B 等级的百分比即可得a 的值；（2）用C 等级的人数除以班级总人数即可得到其百分比，用360°乘以其百分比得到其扇形圆心角度数；（3）画树状图可知，共有12种均等可能结果，恰好选中一男一女的有6种．然后根据概率公式求解即可【详解】解：（1）班级总人数为 人，B 等级的人数为 人，故a 的值为8；（2）∴C 等级对应扇形的圆心角的度数为．（3）画树状图如图：(画图正确）由树状图可知，共有12种均等可能结果，恰好选中一男一女的有6种．∴P （一男一女） 答：恰好选中一男一女参加比赛的概率为．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A的概率为．也考查了统计图．22、（1）；（2）【分析】（1）根据旋转的性质可求得，AD=AB=10，∠ABD=45°，再由平移的性质即可得出结论；（2）根据平移的性质及同角的余角相等证得∠DAE=∠CAB ，进而证得△ADE ∽△ACB ，利用相似的性质求出AE 即可．【详解】解：（1）∵线段AD 是由线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，∴∠DAB=90°，AD=AB ，∴∠ABD=∠ADB=45°，∵△EFG 是由△ABC 沿CB 方向平移得到，∴AB ∥EF ，∴∠1=∠ABD=45°；（2）由平移的性质得，AE ∥CG ，∴∠EAC=180°－∠C=90°，144︒121230%40÷=4020%8⨯=16360144 40⨯︒=︒ 144︒61122==12m n45︒12.5AE =∴∠EAB+∠BAC=90°，由（1）知∠DAB=90°，∴∠DAE+∠EAB=90°，∴∠DAE=∠CAB ，又∵∠ADE=∠ADB+∠1=90°，∠ACB=90°，∴∠ADE=∠ACB ，∴△ADE ∽△ACB ，∴，∵AC=8，AB=AD=10，∴AE=12.5.本题为平移的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质的综合考查，熟练掌握基础的性质与判定是解题的关键.23、20°【分析】利用旋转的性质及等腰三角形的性质可得∠ABBʹ，再根据直角三角形两锐角互余可得解.【详解】解：由旋转可知：∠BABʹ=40°，AB=ABʹ．∴∠ABBʹ=∠ABʹB ．∴∠ABBʹ==70°．∴∠BBʹCʹ=90°－70°=20°．本题考查了三角形的旋转，灵活利用旋转对应边相等，对应角相等且等于旋转角的性质是解题的关键.24、（1）；（2）【分析】(1)直接根据概率公式计算可得；(2)画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．【详解】解： (1) 因为7， 11， 19， 23共有4个数，其中素数7只有1个，所以从7， 11， 19， 23中随机抽取1个素数，则抽到的素数是7的概率是，故答案为. (2)由题意画树状图如下：AD AE AC AB=00180402-14231414由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两个素数之和大于等于30的结果有8种，故所求概率本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．25、（1）1；（2）【分析】（1）根据实数的混合运算法则计算即可；（2）根据分式的运算法则计算即可.【详解】解：（1）原式=2+ =1； （2）.本题考查了实数的混合运算，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.26、y ＝1（x ﹣1）1+1．【分析】根据题意设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）1+1，代入（3，10）求解即可．【详解】解：根据题意设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）1+1，把（3，10）代入得a （3﹣1）1+1＝10，解得a ＝1，所以抛物线解析式为y ＝1（x ﹣1）1+1．本题考查了抛物线的问题，掌握抛物线的性质以及解析法、待定系数法是解题的关键．82123P ==43x x +-201222()(18--++⨯--11--1442291(1)693x x x x -⋅+-++()()()2334•33x x x x x +-+=+-43x x +=-。
北京市东城区第一学期期末统一测试初三数学
北京市东城区第一学期期末统一测试初三数学学校班级姓名考号考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分．考试时间120分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级、姓名和考号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．若关于的x方程230x x a++=有一个根为1-，则a的值为（）．A．4-B．2-C．2D．4-【答案】C【解析】关于的x方程230x x a++=有一个根为1-，则130a-+=，解得2a=．2．二次函数224y x x=-++的最大值为（）．A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】2224(1)5y x x x=-++=--+，当1x=时，y取得最大值，最大值为5．3．下列图形中，是中心对称图形的为（）．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】由中心对称图形的定义知AC两图是中心对称图形，故选B．4．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）．A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球【答案】A【解析】一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个是黑球是必然事件．5．在Rt ABC△中，90C∠=︒，若1BC=，2AC=，则cos A的值为（）．ABC．12D．2【答案】B【解析】在Rt ABC△中，勾股定理得：AB=∴cosACAAB===6．若二次函数2y x bx=＋的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程25x bx=＋的解为（）．A．1x=，24x= B．11x=，25x=C．11x=，25x=-D．11x=-，25x=【答案】D【解析】∵对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线，∴22b-=．解得4b=-．解方程245x x-=，解得11x=-，25x=．7．如图，在ABC△中，DE BC∥，6AD=，3BD=，则ADEABCSS△△的值为（）．A．12 B ． 23C ．45D ．49【答案】D【解析】在ABC △中，DE BC ∥， ∴ADE ABC ∽△△， ∴2264()()639ADE ABC S AD S AB ===+△△．8．如图，⊙O 的半径为3，点P 是弦AB 延长线上的一点，连接OP ，若4OP =， 30P ∠=︒，则弦AB 的长为（ ）．A ．25B ． 23C ．5D ．2【答案】A【解析】过点O 作OH AB ⊥于点H ，连接OA ， ∵在Rt OHP △中，30P ∠=︒，4OP =．∴122OH OP ==．∵在Rt OAH △中，3OA =．∴2222325AH OA OH =-=-=． ∴225AB AH ==．9．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，CO 的延长线交AB 于点D ，50A ∠=︒，30B ∠=︒，则ADC ∠的度数为（ ）．A ．70︒B ．90︒C ．110︒D ．120︒【答案】C【解析】∵50A ∠=︒， ∴2100BOC A ∠=∠=︒．∵30B ∠=︒，BOC B BDC ∠=∠+∠． ∴1003070BDC BOC B ∠=∠-∠=︒-︒=︒． ∴180110ADC BDC ∠=︒-∠=︒．10．如图1，在ABC △中，AB AC =，120BAC ∠=︒．点O 是BC 的中点，点D 沿B AC →→方向从B 运动到C ．设点D 经过的路径长为x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（ ）．A ．BDB ．ODC ．AD D ．CD 【答案】B【解析】由图2知D 点从B A →，这条线段先减小后增大， 若线段为BD ，D 点B A →，线段应该一直增大，不符题意； 若线段为AD ，D 点B A →，线段应该一直减小，不符题意； 若线段为CD ，D 点B A →，线段应该一直减小，不符题意； 故线段为OD ．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．请你写出一个一元二次方程，满足条件：①二次项系数是1；②方程有两个相等的实数根．此方程可以是__________． 【答案】2210x x ++=【解析】设方程为20x bx c ++=，有两个相等的实数根， 则22440b ac b c ∆=-=-=， 设2b =，则1c =．故方程可以是2210x x ++=．12．将抛物线223y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为__________． 【答案】2820y x x =-+【解析】将抛物线223y x x =-+向上平移2个单位长度解析式为225y x x =-+，再向右平移3个单位得：22=---+=-+．(3)2(3)5820y x x x x13．已知，AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使3AC BC=，CD与⊙O相切于D点，若3CD=，则⊙O半径的长为__________．【答案】1【解析】∵CD与⊙O相切，切点为D，∴2=⋅，CD BC AC即233=⋅=，CD BC BC解得1BC=．∴33==，AC BC∴2=-=．AB AC BC∴⊙O的半径为1．14．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知0.5DG=米，到EF=米，目测点D到地面的距离 1.5DE=米，0.25旗杆的水平距离20DC=米，则旗杆的高度为__________米．【答案】11.5【解析】由题意得：DEF DCA△△，∽则DE EFDC AC=， ∵0.5DE =米，0.25EF =米， 1.5DG =米，20DC =米， ∴0.50.2520AC=， 解得10AC =．故10 1.511.5AB AC BC =+=+=米．15．如图，已知(23,2)A ，(23,1)B ，将AOB △绕着点O 逆时针旋转90︒，得到 A O B ''△，则图中阴影部分的面积为__________．【答案】3π4【解析】AOB △绕着点O 逆时针旋转90︒， ∴90A OA B OB ''∠=∠=︒，根据旋转的性质得，OBC OB C S S ''=△△，∴阴影面积等于22113π4π(13)π444A OA C OC S S ''-=⨯-⨯=扇形扇形．16．阅读下面材料：尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：⊙O 和点P ．求作：过点P 的⊙O 的切线．如图：（1）连结OP，作线段OP的中点A；（2）以A为圆心，OA长为半径作圆，交⊙O于点B，C；（3）作直线PB和PC．所以PB和PC就是所求的切线．老师说：“小涵的作法正确．”请回答：小涵的作图依据是__________．【答案】直径所对的圆周角为直角；经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线．【解析】三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：24cos45tan608(1)︒+︒---．18．解方程：2610--=．x x19．如图，ABCAB=，4△中，D为BC上一点，BAD C∠=∠，6BD=，求CD的长．20．已知：抛物线22+经过坐标原点，且当0=+--211()y x m x mx<时，y随x的增大而减小．（1）求抛物线的解析式；（2）结合图象写出0y <时，对应的x 的取值范围；（3）设点A 是该抛物线上位于x 轴下方的一个动点，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点D ，再作AB x ⊥轴于点B ，DC x ⊥轴于点C ．当1BC =时，直接写出矩形ABCD 的周长．21．列方程或方程组解应用题：某公司在2013年的盈利额为200万元，预计2015年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？22．如图，在方格网中已知格点ABC △和点O ．（1）画A B C '''△，使它和ABC △关于点O 成中心对称；（2）请在方格网中标出所有的D 点，使以点A ，O ，C '，D 为顶点的四边形是平行四边形．23．石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏．游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游戏结束．三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续；若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则．例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜．假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么：（1）直接写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率；（2）请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率．24．如图，ABC△中，AB AC=，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF AC⊥于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若3sin C=，半径3OA=，求AE的长．25．如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度．他们采取的方法是：先在地面上的点A处测得杆顶端点P的仰角是45︒，再向前走到B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60︒和30︒，这时只需要测出AB的长度就能通过计算求出电线杆PQ的高度．你同意他们的测量方案吗？若同意，画出计算时的图形，简要写出计算的思路，不用求出具体值；若不同意，提出你的测量方案，并简要写出计算思路．26．请阅读下面材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．已知：如图，ABC△中，AD是角平分线．求证：AB BD AC DC=．证明：过C作CE DA∥，交BA的延长线于E．∴1E∠=∠，23∠=∠． (1)∵AD是角平分线，∴12∠=∠．∴3E∠=∠．∴AC AE=．．． (2)又∵AD CE∥，∴AB BDAE DC=．． (3)∴AB BD AC DC=．（1）上述证明过程中，步骤1，2，3处的理由是什么？（写出两条即可）（2）用三角形内角平分线定理解答：已知，ABC△中，AD是角平分线，7cmAB=，4cmAC=，6cmBC=，求BD的长；（3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研究ABD△和ACD△面积的比来证明三角形内角平分线定理．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28161y mx mx m =-+-（0m >）与x 轴的交点分别为1(,0)A x ，2(,0)B x ．（1）求证：抛物线总与x 轴有两个不同的交点； （2）若2AB =，求此抛物线的解析式；（3）已知x 轴上两点(2,0)C ，(5,0)D ，若抛物线28161y mx mx m =-+-（0m >）与线段CD 有交点，请写出m 的取值范围．28．已知：在等边ABC △中，23AB =，D ，E 分别是AB ，BC 的中点（如图1）．若将BDE △绕点B 逆时针旋转，得到11BD E △，设旋转角为α（0180α︒<<︒），记射线1CE 与1AD 的交点为P ． （1）判断BDE △的形状； （2）在图2中补全图形，①猜想在旋转过程中，线段1CE 与1AD 的数量关系并证明； ②求APC ∠的度数；（3）点P 到BC 所在直线的距离的最大值为．（直接填写结果）图2备用图29．已知两个函数，如果对于任意的自变量x ，这两个函数对应的函数值记为1y ，2y ，都有点11(,)x y 、22(,)x y 关于点(,)x x 对称，则称这两个函数为关于y x =的对称函数．例如，112y x =和232y x =为关于y x =的对称函数． （1）判断：①13y x =和2y x =-；②11y x =+和21y x =-；③211y x =+和221y x =-，其中为关于y x =的对称函数的是__________（填序号）． （2）若132y x =+和2y kx b =+（0k ≠）为关于y x =的对称函数．①求k 、b 的值．②对于任意的实数x ，满足x m >时，12y y >恒成立，则m 满足的条件为______． （3）若21y ax bx c =++(0)a ≠和22y x n =+为关于y x =的对称函数，且对于任意的实数x ，都有12y y ＜，请结合函数的图象，求n 的取值范围．17．解：原式243221=⨯+-- 223221=+-- 31=-．18．解：261x x -=， 26910x x -+=， 2(3)10x -=，310x =±，∴1310x =+，2310x =-．19．解：∵BAD C ∠=∠，B B ∠=∠， ∴ABC DBA ∽△△． ∴AB BCBD AB=． ∴2AB BD BC =⋅． ∴9BC =．∴5CD BC BD =-=．20．解：（1）∵抛物线22(21)1y x m x m =+-+-经过坐标原点， ∴20001m =++-，即210m -=． 解该方程得1m =±．又∵当0x <时，y 随x 的增大而减小， ∴1m =-．∴二次函数解析式为23y x x =-． 如图所示为函数23y x x =-图像．（2）∵该图像开口向上，且与横轴交点坐标从左至右为(0,0)和(3,0)， ∴0y <时，03x <<．（3）当1BC =时，矩形的周长为6．21．解：设该公司这两年盈利额的年平均增长率为x ，根据题意，得2200(1)242x +=， 解这个方程得10.1x =，2 2.1x =-（舍）．答：该公司这两年盈利额的年平均增长率为10%．22．（1）画A B C '''△和ABC △关于点O 成中心对称的图像如下：（2）根据题意画图如下：23．解：（1）一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率是13．（2）分别用1，2，3表示“石头”、“剪刀”、“布”三种手势， 画树状图得：∵共有27种等可能的结果，一次游戏中三人不分胜负有9种结果． ∴一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率时91273=． 24．（1）证明：连结OD ， ∵OB OD =， ∴B ODB ∠=∠． ∵AB AC =， ∴B C ∠=∠． ∴ODB C ∠=∠． ∴OD AC ∥． ∵DF AC ⊥， ∴OD DF ⊥．∴DF 是⊙O 的切线．（2）连接BE ，AD ， ∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，90AEB ∠=︒． ∵AB AC =，∴ABC C ∠=∠，BD CD =．在Rt ABD △中，由题意可求出23AD =，26BD =．∴46BC =．在Rt BCE △中，可求出8CE =． ∴2AE CE AC =-=．25．解：同意．延长PQ 交直线AB 于点E ， 设QE x =，由题意可知，在Rt BQE △中，2BQ x =，3BE x =． ∴2BQ PQ x ==．∴3PE x =．在Rt APE △中，3AE PE x ==． ∵AB AE BE =-， ∴33x x AB -=．求出该x 的值就可以得出电线杆PQ 的值．26．解：（1）两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等边对等角；平行线分线段成比例定理． （2）∵AD 平分BAC ∠，∴74BD AB DC AC ==． ∵6cm BC =，∴77426cm 741111BD BC ==⨯=+．（3）过D 作DE AB ⊥于E ，作DF AC ⊥于F ，过A 作AH BC ⊥于H ． 又∵AD 平分BAC ∠， ∴DE DF =． ∵1122ABD S AB DE BD AH =⋅=⋅△①， 1122ACD S AC DF CD AH =⋅=⋅△②． 用①÷②得AB BDAC CD=．27．（1）证明：2(8)4(161)4m m m m ∆=--⋅-=． ∵0m >，∴40m ∆=>．∴抛物线总与x 轴有两个不同的交点．（2）∵8422b m a m--==-， 又∵2AB =，∴抛物线与x 轴交点坐标为(3,0)，(5,0)．把(3,0)代入抛物线解析式得0924161m m m =-+-， ∴1m =．∴抛物线解析式为2815y x x =-+．（3）抛物线28161(0)y mx mx m m =-+->的对称轴为4x =． 将(2,0)代入解析式28161y mx mx m =-+-， 解得14m =． ∴符合题意的m 的取值范围是14m ≥．28．解：（1）等边三角形． （2）补全图形如右图． 11CE AD =．∵ABC △和11BD E △为等边三角形，∴BC BA =，11BE BD =，1160ABC D BE ∠=∠=︒． ∴1111ABC ABE D BE ABE ∠-∠=∠-∠，即11D BA E BC ∠=∠． ∴1ABD △≌1CBE △． ∴11CE AD =．②∵1ABD △≌1CBE △， ∴11D AB E CB ∠=∠．又∵11D AB APC ABC E CB ∠+∠=∠+∠， ∴60APC ABC ∠=∠=︒． （3）2．29．解：（1）①②．（2）①由定义可知122y y x +=， ∴322x kx b x +++=． ∴1k =-，2b =-． ②1m -≥． （3）若对于任意的实数x ，都有12y y <， 即22y x n x =+>． ∴20x x n -+>．结合图像可知，只需要2(1)40n ∆=--<， ∴14n >．。
北京市东城区九年级上期末考试数学试题(有答案)(精)
九年级数学期末试题一、选择题（本题共16 分，每小题2 分）1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故正确；B、是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故错误．故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．2.边长为2的正方形内接于⊙M，则⊙M的半径是（）A．1 B．2 C．D．【分析】连接OB，CO，在Rt△BOC 中，根据勾股定理即可求解．解：连接OB，OC，则OC=OB，BC=2，∠BOC=90°，在Rt△BOC中，OC=．故选：C．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．3.若要得到函数y=（x+1）2+2的图象，只需将函数y=x2的图象（）A.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a 值不变即可找出结论．解：∵抛物线y=（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=x2 先向左平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度即可得出抛物线y=（x+1）2+2．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．4.点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0，则（）A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0【分析】由k=2＞0，可得反比例函数图象在第一，三象限，根据函数图象的增减性可得结果．解：∵k=2＞0，∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小，∵x1＜x2＜0，∴点A（x1，y1），B（x2，y2）位于第三象限，∴y2＜y1＜0，故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5.A，B是⊙O上的两点，OA=1，的长是，则∠AOB的度数是（）A．30 B．60°C．90°D．120°【分析】直接利用已知条件通过弧长公式求出圆心角的度数即可．解：∵OA=1，的长是，∴，解得：n=60°，∴∠AOB=60°，故选：B．【点评】本题考查扇形的弧长公式的应用，关键是通过弧长公式求出圆心角的度数．6.△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点知=，由位似图形性质得=（）2，即=，据此可得答案．解：∵点D，E，F 分别是OA，OB，OC 的中点，∴=，∴△DEF 与△ABC 的相似比是1：2，∴=（）2，即=，解得：S △ABC =8，故选：D ．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理、位似的定义及性质，掌握面积的比等于相似比的平方是解题的关键．7. 已知函数y=﹣x 2+bx +c ，其中b ＞0，c ＜0，此函数的图象可以是（）A .B ．C ．D ．【分析】根据已知条件“a ＜0、b ＞0、c ＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x 和y 轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．解：∵a=﹣1＜0，b ＞0，c ＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是x=﹣＞0，与y 轴的交点在y 轴的负半轴上；故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y=ax 2+bx +c 系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数．8. 小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：①当移植的树数是1 500 时，表格记录成活数是1 335，所以这种树苗成活的概率是0.890；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；③若小张移植10 000 棵这种树苗，则可能成活9 000 棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．其中合理的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，据此进行判断即可．解：①当移植的树数是1 500 时，表格记录成活数是1 335，这种树苗成活的概率不一定是0.890，故错误；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确；③若小张移植10 000 棵这种树苗，则可能成活9 000 棵，故正确；④若小张移植20 000 棵这种树苗，则不一定成活18 000 棵，故错误．故选：C．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）9.已知在△ABC中，∠C=90°，cosA=，AB=6，那么AC=2．【分析】根据三角函数的定义，在直角三角形ABC中，cosA=，即可求得AC的长．解：在△ABC 中，∠C=90°，∵cosA=，∵cosA=，AB=6，∴AC=AB=2，故答案为2．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．10.若抛物线y=x2+2x+c与x轴没有交点，写出一个满足条件的c的值：2 ．【分析】根据抛物线y=x2+2x+c 与x 轴没有交点得出b2﹣4ac=22﹣4×1×c＜0，求出不等式的解集，再取一个范围内的数即可．解：因为要使抛物线y=x2+2x+c 与x 轴没有交点，必须b2﹣4ac=22﹣4×1×c＜0，解得：c＞1，取c=2，故答案为：2．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点，能根据已知得出关于c 的不等式是解此题的关键．11.如图，在平面直角坐标系xOy中，若点B与点A关于点O中心对称，则点B的坐标为（2，﹣1）．【分析】根据中心对称定义结合坐标系确定B 点位置即可．解：∵A（﹣2，1），点B 与点A 关于点O 中心对称，∴点B的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．【点评】此题主要考查了中心对称，关键是掌握把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．12.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD=1，AB=4，则⊙O的半径是．【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC 的长，由勾股定理可得出OA 的长．解：连接OA，∵C 是AB 的中点，∴AC=AB=2，OC⊥AB，∴OA2=OC2+AC2，即OA2=（OA﹣1）2+22，解得，OA=，故答案为：．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解答此题的关键．13.某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度．为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）．经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB，OA的长分别为0.7m，0.3m，观测点O到旗杆的距离OE为6m，则旗杆MN的高度为15m．【分析】由平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABO∽△NEO，利用对应边成比例可得旗杆MN 的高度．解：∵AB∥NE，∴△ABO∽△NEO，∴，即，解得：NE=14，∴MN=14+1=15，故答案为：15【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应边成比例．14.⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论的序号是②⑤ ．①AB=AD；②BC=CD；③ ；④∠BCA=∠DCA；⑤ ．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对结论进行逐一判断即可．解：①∵∠ACB 与∠ACD 的大小关系不确定，∴AB 与AD 不一定相等，故本结论错误；②∵AC 平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本结论正确；③∵∠ACB 与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本结论错误；④∠BCA 与∠DCA 的大小关系不确定，故本结论错误；⑤∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴，故本结论正确．故答案为②⑤．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．15.已知函数y=x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是a≥1 ．【分析】结合函数y=x2﹣2x﹣3 的图象和性质，及已知中当﹣1≤x≤a 时函数的最小值为﹣4，可得实数a 的取值范围．解：函数y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4 的图象是开口朝上且以x=1 为对称轴的抛物线，当且仅当x=1 时，函数取最小值﹣4，∵函数y=x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a 时，函数的最小值是﹣4，∴a≥1，故答案为：a≥1【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（8，0），C（0，6），矩形OABC的对角线交于点P，点M在经过点P的函数y= 的图象上运动，k的值为12 ，OM长的最小值为．【分析】先根据P（4，3），求得k=4×3=12，进而得出y=，再根据双曲线的对称性可得，当点M在第一象限角平分线上时，O M最短，即当x=y时，x=，解得x=±2，进而得到OM的最小值．解：∵A（8，0），C（0，6），矩形OABC的对角线交于点P，∴P（4，3），代入函数y=可得，k=4×3=12，∴y=，∵点M在经过点P的函数y=的图象上运动，∴根据双曲线的对称性可得，当点M 在第一象限角平分线上时，OM 最短，当x=y时，x=，解得x=±2，又∵x＞0，∴x=2，∴M（2，2），∴OM==2 ，故答案为：12，2．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．三、解答题（本题共68 分，第17-24 题，每小题5 分，第25 题6 分，第26-27，每小题5 分，第28 题8 分）17．（5分）计算：2cos30°﹣2sin45°+3tan60°+|1﹣|．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算即可．解：原式=2×﹣2×+3+﹣1，=﹣+3+﹣1，=4﹣1．【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握特殊角的三角函数值．18．（5 分）已知等腰△ABC 内接于⊙O，AB=AC，∠BOC=100°，求△ABC 的顶角和底角的度数．【分析】画出相应图形，分△ABC 为锐角三角形和钝角三角形2 种情况解答即可．解：（1）圆心O 在△ABC 外部，在优弧BC 上任选一点D，连接BD，CD．∴∠BDC=∠BOC=50°，∴∠BAC=180°﹣∠BDC=130°；∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）÷2=25°；（2）圆心O在△ABC内部．∠BAC=∠BOC=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）÷2=65°．【点评】本题考查的是三角形圆周角定理及等腰三角形的性质，分情况探讨是解决本题的易错点；用到的知识点为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补．19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC=90°．（1）求证：△ADE∽△BEC．（2）若AD=1，BC=3，AE=2，求AB的长．【分析】（1）由AD∥BC、AB⊥BC 可得出∠A=∠B=90°，由等角的余角相等可得出∠ADE=∠BEC，进而即可证出△ADE∽△BEC；（2）根据相似三角形的性质即可求出BE 的长度，结合AB=AE+BE 即可求出AB 的长度．（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∠A=∠B=90°，∴∠ADE+∠AED=90°．∵∠DEC=90°，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC．（2）解：∵△ADE∽△BEC，∴=，即=，∴BE=，∴AB=AE+BE=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理找出△ADE∽△BEC；（2）利用相似三角形的性质求出BE 的长度．20．（5分）在△ABC中，∠B=135°，AB=，BC=1．（1）求△ABC的面积；（2）求AC的长．【分析】（1）延长CB，过点A作AD⊥BC，利用三角函数求出AD，根据三角形的面积公式计算即可；（2）等腰直角三角形的判定与性质得到AD=DB=2，进一步得到DC，再根据勾股定理即可求解．解：（1）延长CB，过点A作AD⊥BC，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=45°，在Rt△ABD中，AB=，∠ABD=45°，∴AD=AB×sin45°=2，∴△ABC的面积=×BC×AD=1；（2）∵∠ABD=45°，∠D=90°，∴△ABD 是等腰直角三角形，∵AD=2，∴DB=2，DC=DB+BC=2+1=3，在Rt△ACD中，AC==．【点评】本题考查了解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．21．（5 分）北京2018 新中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）、体育九门课程．语文、数学、外语、体育为必考科目．历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参加考试，其中物理、生化须至少选择一门．（1）写出所有选考方案（只写选考科目）；（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，求该方案同时包含物理和历史的概率．【分析】（1）根据题意可以写出所有的可能性；（2）根据（1）中的所有可能即可求得从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率．解：（1）由题意可得，所有的可能性是：（物理、历史、地理）、（物理、历史、思想品德）、（物理、历史、生化）、（物理、地理、思想品德）、（物理、地理、生化）、（物理、思想品德、生化）、（历史、地理、生化）、（历史、思想品德、生化）、（地理、思想品德、生化）；（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率是，即从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率是．【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性，求出相应的概率．22．（5 分）如图，在Rt△ABC 中，∠A=90°，∠C=30°．将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△A'BC'，其中点A'，C'分别是点A，C 的对应点．（1）作出△A'BC'（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AA'，求∠C'A'A的度数．【分析】（1）直接利用等边三角形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用等边三角形的判定方法△ABA′为等边三角形，得出进而得出答案．解：（1）如图所示：△A'BC'即为所求；（2）在Rt△ABC 中，∵∠C=30°，∠A=90°，∴∠B=60°，∵△A′B′C′由△ABC 旋转所得，∴△A′B′C′≌△ABC，∴BA=BA′，∠BA′C′=∠BAC=90°，∴△ABA′为等腰三角形，又∵∠ABC=60°，∴△ABA′为等边三角形，∴∠BA′A=60°，∴∠C′A′A=∠BA′C′+∠BA′A=150°．【点评】此题主要考查了旋转变换以及等边三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解题关键．23．（5 分）如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t﹣5t2．（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？【分析】（1）将函数解析式配方成顶点式可得最值；（2）画图象可得t 的取值．解：（1）∵h=﹣5t2+20t=﹣5（t﹣2）2+20，∴当t=2 时，h 取得最大值20 米；答：小球飞行时间是2s 时，小球最高为20m；（2）由题意得：15=20t﹣5t2，解得：t1=1，t2=3，由图象得：当1≤t≤3 时，h≥15，则小球飞行时间1≤t≤3 时，飞行高度不低于15m．【点评】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+4与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点A（﹣3，a）和点B．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）直接写出不等式＜2x+4的解集．【分析】（1）把A（﹣3，a）代入y=2x+4，可得A（﹣3，﹣2），把A（﹣3，﹣2）代入y=，可得反比例函数的表达式为y=，再联立两个函数的解析式，解方程组即可得到B的坐标；（2）在平面直角坐标系中画出两个函数的图象，反比例函数落在一次函数图象下方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式＜2x+4的解集．解：（1）把A（﹣3，a）代入y=2x+4，可得a=﹣2，∴A（﹣3，﹣2），把A（﹣3，﹣2）代入y=，可得k=6，∴反比例函数的表达式为y=．解方程组，得或，∴B（1，6）；（2）在平面直角坐标系中画出直线y=2x+4与双曲线y=，如图．由图象可知，不等式＜2x+4的解集为﹣3＜x＜0或x＞1．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．由函数图象比较函数大小，利用数形结合是解题的关键．25．（6 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 与边BC，AC 分别交于点D，E．DF 是⊙O 的切线，交AC 于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若AE=4，DF=3，求tanA．【分析】（1）连接OD，作OG⊥AC 于点G，推出∠ODB=∠C；然后根据DF⊥AC，∠DFC=90°，推出∠ODF=∠DFC=90°，即可证明；（2）过O 作OG⊥AC，利用垂径定理和矩形的性质解答即可．（1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，，∵OB=OD，∴∠ODB=∠B，又∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴∠ODB=∠C，∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°，∴∠ODF=∠DFC=90°，∴DF⊥AC；（2）过O作OG⊥AC，由垂径定理可知：OG 垂直平分AE，∴∠AGO=90°，AG=2，由（1）可知：四边形ODFG 为矩形，∴OG=DF=3，在Rt△AGO中，tanA=．【点评】此题主要考查了切线的性质和应用，等腰三角形的性质和应用，以及解直角三角形的应用，要熟练掌握．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+n（m≠0）与x轴交于点A，B，点A 的坐标为（﹣2，0）．（1）写出抛物线的对称轴；（2）直线y=x﹣4m﹣n过点B，且与抛物线的另一个交点为C．①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；②点P 为抛物线对称轴上的动点，过点P 的两条直线l1：y=x+a 和l2：y=﹣x+b 组成图形G．当图形G 与线段BC 有公共点时，直接写出点P 的纵坐标t 的取值范围．【分析】（1）由给定的抛物线的表达式，利用二次函数的性质即可找出抛物线的对称轴；（2）①根据抛物线的对称性可得出点B 的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m、n 的值，此问得解；②联立直线及抛物线的函数关系式成方程组，通过解方程组可求出点C 的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l2过点B、C 时b 的值，进而可得出点P 的坐标，再结合函数图象即可找出当图形G 与线段BC 有公共点时，点P的纵坐标t 的取值范围．解：（1）∵抛物线所对应的函数表达式为y=mx2﹣2mx+n，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1．（2）①∵抛物线是轴对称图形，∴点A、B 关于直线x=1 对称．∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点B的坐标为（4，0）．∵抛物线y=mx2﹣2mx+n过点B，直线y=x﹣4m﹣n过点B，，∴直线所对应的函数表达式为y=x﹣2，抛物线所对应的函数表达式为y=﹣x2+x+4．②联立两函数表达式成方程组，，解得：，．∵点B的坐标为（4，0），∴点C的坐标为（﹣3，﹣）．当直线l2：y=﹣x+b1过点B 时，0=﹣4+b1，解得：b1=4，∴此时直线l2所对应的函数表达式为y=﹣x+4，当x=1 时，y=﹣x+4=3，∴点P1的坐标为（1，3）；当直线l2：y=﹣x+b2过点C时，﹣=3+b2，解得：b2=﹣，∴此时直线l2所对应的函数表达式为y=﹣x﹣，当x=1时，y=﹣x﹣=﹣，∴点P2的坐标为（1，﹣）．∴当图形G与线段BC有公共点时，点P的纵坐标t的取值范围为﹣≤t≤3．【点评】本题考查了二次函数的性质、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x 轴的交点，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴；（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于m、n的二元一次方程组；②利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l2过点B、C 时点P 的坐标．27．（7分）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=2，以点B为圆心，为半径作圆．点P为⊙B上的动点，连接PC，作P'C⊥PC，使点P'落在直线BC的上方，且满足P'C：PC=1：，连接BP，AP'．（1）求∠BAC的度数，并证明△AP'C∽△BPC；（2）若点P在AB上时，①在图2 中画出△AP′C；②连接BP'，求BP'的长；（3）点P在运动过程中，BP'是否有最大值或最小值？若有，请直接写出BP'取得最大值或最小值时∠PBC的度数；若没有，请说明理由．【分析】（1）①利用锐角三角函数求出∠BAC，②先判断出= ，再判断出∠P'CA=PCB，即可得出结论；（2）①利用垂直和线段的关系即可画出图形；②先求出∠P'AC，进而得出∠P'AB=90°，再利用相似求出AP'，即可得出结论；（3）先求出AP'=1是定值，判断出点P'在以点A为圆心，1为半径的圆上，即可得出结论．解：（1）①在Rt△ABC中，AC=2，BC=2，∴tan∠BAC= =，∴∠BAC=60°；②∵∴，==，，∵P'C⊥PC，∴∠PCP'=∠ACB=90°，∴∠P'CA=PCB，∴△AP'C∽△BPC；（2）①如图1 所示；②如图2，由（1）知，∠BAC=60°，∴∠ABC=90°﹣∠BAC=30°，∴AB=2AC=4，∵△AP'C∽△BPC，∴∠P'AC=∠PBC=30°，，∵点P 在AB 上，∴BP=，∴AP'=1；连接P'B，∠P'AB=∠CAP'+∠BAC=30°+60°=90°，在Rt△P'AB中，AP'=1，AB=4，根据勾股定理得，BP'= =；（3）由（1）知，△AP'C∽△BPC，∴，∴∴AP'=1 是定值，∴点P'是在以点A 为圆心，半径为AP'=1 的圆上，①如图3，点P'在BA 的延长线上，此时，BP'取得最大值，∴∠P'AC=180°﹣∠BAC=60°，∵△AP'C∽△BPC，∴∠P'AC=PBC=120°，∴BP'取得最大值时，∠PBC=120°；②如图4，点P'在线段AB 上时，BP'取得最小值，∵△AP'C∽△BPC，∴∠PBC=∠BAC=60°，∴BP'取得最小值时，∠PBC=60°．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形的判定和性质，圆的性质，判断出△AP'C∽△BPC 是解本题的关键．28．（8 分）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G，若在图形G 上存在一点N，使M，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当⊙O的半径为3时，在点P1（1，0），P2（，1），P3（，0），P4（5，0）中，⊙O的和睦点是P2、P3；（2）若点P（4，3）为⊙O的半径r的取值范围；（3）点A在直线y=﹣1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点E（，），若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标x A的取值范围．【分析】（1）分别以点P1，P2，P3，P4为圆心，1 为半径画圆，若与⊙O 有交点，则P 是，⊙O 的和睦点；（2）如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．满足条件的⊙O必须与以P 为圆心半径为1的圆相交或相切，当OA=4时，得到r 的最小值为4，当OB=6时，得到r的最大值为6；（3）分两种情形画出图形分别求解即可解决问题；解：（1）如图1 中，分别以点P1，P2，P3，P4为圆心，1 为半径画圆，若与⊙O有交点，则P 是，⊙O 的和睦点，观察图象可知，⊙O 的和睦点是P2、P3．故答案为：P2、P3．（2）如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．∵P（4，3），∴OP=5，满足条件的⊙O必须与以P为圆心半径为1的圆相交或相切，当OA=4时，得到r的最小值为4，当OB=6时，得到r的最大值为6，∴4≤r≤6．（3）①如图3中，当点O到C′D′的距离OM=1时，此时点A′的横坐标为﹣3．当点E到CD的距离EN=1时，此时点A的横坐标为﹣5，∴﹣5≤x A≤﹣3时，满足条件；②）①如图3 中，当点O 到A′B′的距离OM=1 时，此时点A′的横坐标为1当点E到AB的距离EN=1时，点A的横坐标为﹣1，∴﹣1≤x A≤1时，满足条件；综上所述，满足条件的当A的横坐标的取值范围为：﹣5≤x A≤﹣3或﹣1 ≤x A≤1．【点评】本题考查一次函数综合题、圆、正方形的有关性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
北京市东城区九年级(上)期末数学试卷
北京市东城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k=4B．k=﹣4C．k≥﹣4D．k≥42．（3分）抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（）A．直线x=1B．直线x=﹣1C．直线x=﹣2D．直线x=2 3．（3分）剪纸是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次、50次、100次，200次，其中实验相对科学的是（）A．甲组B．乙组C．丙组D．丁组5．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣2x﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是（）A．y=（x+1）2+1B．y=（x﹣3）2+1C．y=（x﹣3）2﹣5D．y=（x+1）2+2 6．（3分）已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．无法确定7．（3分）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm2 9．（3分）如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（）A．25°B．40°C．50°D．65°10．（3分）城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题．近几年来，“互联网+”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用．名为“数据包络分析”（简称DEA）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置．为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA值进行调查，调查发现，DEA值越大，说明匹配度越好．在某一段时间内，北京的DEA值y与时刻t的关系近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t是（）A．4.8B．5C．5.2D．5.5二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）请你写出一个图象分别位于第二、四象限的反比例函数的解析式，这个解析式可以是．12．（3分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=．13．（3分）二次函数y=x2﹣4x﹣2的最小值为．14．（3分）天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB长2米，在太阳光下，它的影长BC为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长EF约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE约为米．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为．16．（3分）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），菱形的对角线的交点D的坐标为；菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）解方程：2x2﹣4x﹣1=0（用配方法）18．（5分）如图，在△ABC中，AD是中线，∠B=∠DAC，若BC=8，求AC的长．19．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，求BE 的长．20．（5分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y1=（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AB=3．（1）求反比例函数y1=（x＞0）的解析式；（2）设经过C，D两点的一次函数解析式为y2=k2x+b，求出其解析式，并根据图象直接写出在第一象限内，当y2＞y1时，x的取值范围．21．（5分）列方程或方程组解应用题：公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为20m2，求原正方形空地的边长．22．（5分）按照要求画图：（1）如图甲，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（﹣1，3），（﹣4，1），（﹣2，1），将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点为点A1，B1，C1．画出旋转后的△A1B1C1；（2）如图乙，下列3×3网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）．23．（5分）甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．（1）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x=1的抛物线y=﹣x2+bx+c 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点B的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D的坐标为（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，求点P的坐标．25．（5分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接BD．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若=，AD=4，求CE的长．26．（5分）问题探究：新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．解决问题：已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2．（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，求AD的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣4（m≠0）与x 轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）将抛物线在B，C之间的部分记为图象G（包含B，C两点），若直线y=5x+b 与图象G有公共点，请直接写出b的取值范围．28．（7分）点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC 的中点．（1）如图1，当点P与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系；（2）当点P运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P在射线OA上运动，恰好使得∠OEF=30°时，猜想此时线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：若直线l和图形W相交于两点，且这两点的距离不小于定值k，则称直线l与图形W成“k相关”，此时称直线与图形W的相关系数为k．（1）若图形W是由A（﹣2，﹣1），B（﹣2，1），C（2，1），D（2，﹣1）顺次连线而成的矩形：①l1：y=x+2，l2：y=x+1，l3：y=﹣x﹣3这三条直线中，与图形W成“相关”的直线有；②画出一条经过（0，1）的直线，使得这条直线与W成“相关”；③若存在直线与图形W成“2相关”，且该直线与直线y=x平行，与y 轴交于点Q，求点Q纵坐标y Q的取值范围；（2）若图形W为一个半径为2的圆，其圆心K位于x轴上．若直线y=x+与图形W成“3相关”，请直接写出圆心K的横坐标x K的取值范围．北京市东城区九年级（上）期末数学试卷参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．A；2．B；3．A；4．D；5．A；6．B；7．C；8．C；9．B；10．C；二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．y=﹣（答案不唯一）；12．6；13．﹣6；14．38；15．；16．（1，1）；（﹣1，﹣1）；三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．l1和l2；。
北京市东城区九年级上册期末考试数学试题有答案【精选】.doc
1 北京市东城区第一学期期末统一测试初三数学学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．关于的一元二次方程2+4+=0有两个相等的实数根，则的值为 A ．=4 B ．=﹣4 C ．≥﹣4 D ．≥4 2．抛物线y =2+2+3的对称轴是A ．直线=1B ．直线=﹣1C ．直线=﹣2D ．直线=23．剪纸是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是A B C D4．在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其试验次数分别为10次、50次、100次、200次，其中试验相对科学的是A ．甲组B ．乙组C ．丙组D ．丁组5．在平面直角坐标系中，将抛物线221y x x =--先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是A ．2(1)1y x =++ B ．2(3)1y x =-+ C ．2(3)5y x =-- D ．2(1)2y x =++ 6．已知点A （2，y 1），B （4，y 2）都在反比例函数ky x=（＜0）的图象上，则y 1，y 2的大小关系为 A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1=y 2D ．无法确定7．如图，在△ABC 中，∠A =78°，AB =4，AC =6. 将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是2y8. 如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的 侧面积为 A ．30πcm 2 B ．48πcm2 C ．60πcm 2D ．80πcm 29. 如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ACB =90°，∠A =25°，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点D ，则∠D 的度数是 A ．25° B ．40° C ．50° D ．65°10. 城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题.近几年，“互联网+”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用. 名为“数据包络分析”（简称DEA ）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资配置.为了解出租车资的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA 值进行调查，调查发现， DEA 值越大，说明匹配度越好.在某一段时间内，北京的DEA 值y 与时刻t 的关系近似满足函数关系c bx ax y ++=2（a ，b ，c 是常数，且0a ≠），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t 是 A. 4.8 B. 5 C. 5.2 D. 5.5二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．请你写出一个图象分别位于第二、四象限的反比例函数的解析式，这个解析式可以是 ．12．已知m 是关于的方程2﹣2﹣3=0的一个根，则2m 2﹣4m = ．313. 二次函数242y x x =--的最小值为 ．14. 天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB 长2米，在太阳光下，它的影长BC 为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长EF 约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE 约为 米．15．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=，AC =以点C 为圆心，CB 的长为半 径画弧，与AB 边交于点D ,将BD 绕点D 旋转°180后点B 与点A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为 .16．如图，已知菱形OABC 的顶点O （0,0），B （2,2），菱形的对角线的交点D 的坐标为 ；菱形OABC 绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D 的坐标为 .三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解方程： 22410x x --=.18. 如图，在△ABC 中，AD 是中线，∠B =∠DAC ，若BC =8，求AC 的长.E F DB CA419．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AB =8，CD =6，求BE 的长．20．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， Rt △ABO 的边AB 垂直于轴，垂足为点B ，反比例函数11k y x=（＞0）的图象经过AO 的中点C ，且与AB 相交于点D ， OB =4，AB =3． （1）求反比例函数11k y x=（＞0）的解析式； （2）设经过C ，D 两点的一次函数解析式为22y k x b =+，求出其解析式，并根据图象直接写出在第一象限内，当21y y ＞时， 的取值范围．21．列方程或方程组解应用题：公园有一块正方形的空地，后从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为20m 2，求原正方形空地的边长．22． 按照要求画图：（1）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为（﹣1，3），（﹣4，1），（﹣2，1），将△ABC 绕原点O 顺时针旋转90°得到△A 1B 1C 1，点A ，B ，C 的对应点为点A 1，B 1，C 1．画出旋转后的△A 1B 1C 1；（2）下列3×3网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）．23．甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．（1）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．24.在平面直角坐标系Oy中，对称轴为直线=1的抛物线y= -2+b+c与轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点B的坐标为（﹣1，0）．Array（1）求抛物线的解析式；（2）点D的坐标为（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，求点P的坐标．25. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接BD．（1）求证：DE是⊙O的切线；56图2CBA图3CBA图1CBA（2）若2BD DE =，AD =，求CE 的长．26. 问题探究： 新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）． 解决问题：已知在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC=．（1）如图1，若AD ⊥BC ，垂足为D ，则AD 是△ABC 的一条等积线段，求AD 的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）27． 在平面直角坐标系O y 中，抛物线224y mx mx m =-+-（0m ≠）与 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C （0，-3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA+PC 的值最 小，求点P 的坐标；（3）将抛物线在B ，C 之间的部分记为图象G （包含B ，C 两点），若直线y=5+b 与图象G 有公共点，请直接写出b 的取值范围．728. 点P 是矩形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A ，C 重合），分别过点A ，C向直线BP 作垂线，垂足分别为点E ，F ，点O 为AC 的中点． （1）如图1，当点P 与点O 重合时，请你判断OE 与OF 的数量关系；（2）当点P 运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P 在射线OA 上运动，恰好使得∠OEF =30°时，猜想此时线段CF ，AE ，OE 之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．29．在平面直角坐标系Oy 中，有如下定义：若直线l 和图形W 相交于两点，且这两点的距离不小于定值，则称直线l 与图形W 成“相关”，此时称直线与图形W 的相关系数为.（1）若图形W 是由()12--，A ，()1,2-B ，()12，C ，()12-，D 顺次连线而成的矩形： ○1l 1：y =+2，l 2：y =+1，l 3：y = --3这三条直线中，与图形W 成“2相关”的直线有________; ○2画出一条经过()10，的直线，使得这条直线与W 成“5相关”； ○3若存在直线与图形W 成“2相关”，且该直线与直线y =平行，与y 轴交于点Q ，求点Q 纵8坐标Q y 的取值范围；（2）若图形W 为一个半径为2的圆，其圆心位于轴上.若直线333+=x y 与图形 W 成“3相关”，请直接写出圆心的横坐标K x 的取值范围.备用图北京市东城区第一学期期末统一测试 初三数学参考答案及评分标准9题8分） 17．解方程：22410x x --=解： 2122x x -=. …………1分 212112x x -+=+ .…………2分 23(1)2x -=. …………3分 1x =±∴ 1211x x =+=- …………5分 18. 解：∵ ∠B =∠DAC ，∠C =∠C ，∴ △ABC ∽△DAC . …………2分∴AC BCCD AC=. ∴ 2AC CD BC =⋅． …………3分 ∵ AD 是中线， BC =8，∴ 4CD =. …………4分 ∴ AC = …………5分19. 解：连接OC . …………1分∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ， ∴ 点E 是CD 的中点. …………2分 在Rt △OCE 中，222OE CE OC +=， ∵ AB =8，CD =6， ∴ 可求OE =…………4分∴ 4BE = …………5分20.（1）由题意可求点C 的坐标为（2，32）. …………1分 ∴ 反比例函数的解析式为13y x=（＞0）. …………2分（2）可BC10求出点D 的坐标为（4，34）. …………3分 ∴ 可求直线CD 的解析式 239-84y x =+. …………4分 当2＜＜4时， 21y y ＞. …………5分.21．解：设原正方形空地的边长为m ． …………1分 根据题意， 得 ()()1220x x --=． …………2分 解方程， 得 126,3(x x ==-舍）…………4分 答：原正方形空地的边长为6m ． …………5分22． 解：（1）旋转后的△A 1B 1C 1如下图：C 1B 1A 1…………3分（2）根据题意画图如下：符合其中的两种即可．…………5分23．解：（1）所有可能出现的结果如图：从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13；………3分 （2）不公平．从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍数有3种，所以甲11 获胜的概率为59，乙获胜的概率为13． ∵59＞13， ∴ 甲获胜的概率大，游戏不公平．…………5分24. 解：（1）由题意可求点A 的坐标为（3,0）．将点A （3,0）和点B （-1,0）代入y = -2+b +c ， 得 0=-9+3,01.b c b c +⎧⎨=--+⎩解得 2,3.b c =⎧⎨=⎩∴ 抛物线的解析式223y x x =-++． …………3分 （2）可求出点C 的坐标为（0,3）． 由题意可知 满足条件的点P 的纵坐标为2． ∴ 223=2x x -++． 解得1211x x ==∴ 点P的坐标为(12)+或(12)． …………5分25. （1）证明：连接OD ．∵ OA =OD ，∴ ∠BAD =∠ODA ．∵ AD 平分∠BAC ， ∴ ∠BAD =∠DAC ． ∴ ∠ODA =∠DAC ．∴ OD ∥AE ． ∵ DE ⊥AE ， ∴ OD ⊥DE ．12ECBAHG CBA∴ DE 是⊙O 的切线． …………2分（2）解：∵ OB 是直径，∴ ∠ADB =90°． ∴ ∠ADB =∠E ．又∵ ∠BAD =∠DAC ，∴ △ABD ∽△ADE ． ∴AB BD AD DE ==∴ 10AB =．由勾股定理可知BD =连接DC ，∴BD DC == ∵ A ,C ,D ,B 四点共圆. ∴ ∠DCE =∠B. ∴ △DCE ∽△ABD ． ∴AB BDDC CE=. ∴ CE =2.…………5分26. 解：（1）在Rt △ADC 中，∵AC ==45C ∠°，∴ 2AD =． …………1分（2）符合题意的图形如下所示：为AC中点，BE =EGH ∥BC，GH =.…………5分意可得，43m -=- .27.解：（1）由题1.m ∴=∴ 抛物线的解析式为：223y x x =--.…………2分（2）点A 关于抛物线的对称轴对称的点是B ，连接BC 交对称轴于点P ，13 则点P 就是使得PA+PC 的值最小的点. 可求直线BC 的解析式为3y x =-.∴ 点P 的坐标为（1,-2）. …………5分（3）符合题意的b 的取值范围是-15≤b ≤-3. …………7分28.解：（1）OE =OF . …………1分（2）补全图形如右图. …………2分OE =OF 仍然成立. …………3分 证明：延长EO 交CF 于点G . ∵ AE ⊥BP ， CF ⊥BP ，∴ AE ∥CF . ∴ ∠EAO =∠GCO.又∵ 点O 为AC 的中点，∴ AO =CO. ∵ ∠AOE=∠COG ， ∴ △AOE ≌△COG.∴ OE =OF.…………5分（3）CF OE AE =+或CF OE AE =-. …………7分 29.解：（1）① 1l 和2l . …………2分② 符合题意的直线如下图所示. …………4分夹在直线a 和b 或c 和d 之间的（含直线a ，b ，c ，d ）都是符合题意的.○3设符合题意的直线的解析式为.y b =+ 由题意可知符合题意的临界直线分别经过点（-1,1），（1，-1）.分别代入可求出1211b b ==- ∴11Q y -≤≤ …………6分14（2）33K x -≤≤- …………8分。
2023~2024学年北京市九年级上期末数学分类——概率(原卷版)
2023~2024学年北京市九年级上期末数学分类——概率一．随机事件（共3小题）1．（2023秋•东城区期末）在下列事件中，随机事件是（）A．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6B．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球C．通常情况下，自来水在10℃结冰D．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为22．（2023秋•丰台区期末）下列事件中，为必然事件的是（）A．明年农历“大雪”节气那天下雪B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆D．掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是73．（2023•西城区）不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，下列事件中是必然事件的是（）A．3个球都是白球B．至少有1个黑球C．3个球都是黑球D．有1个白球2个黑球二．概率公式（共2小题）4．（2023秋•朝阳区期末）不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植物种子”的卡片有1张，写有“人工种子”的卡片有5张．随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为（）A．B．C．D．5．（2023秋•大兴区期末）2023航空航天大兴论坛于11月15日至17日在北京大兴国际机场临空经济区举办，共设如长置了“数字民航”“电动航空”“商业航天”“通航维修”四场专题论坛．若某位航天科研工作者随机选择一个专题论坛参与活动，则他选中“电动航空”的概率是（）A．1B．C．D．三．几何概率（共1小题）6．（2023秋•北京期末）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，则小球最终停留在白砖上的概率是（）A．B．C．D．四．列表法与树状图法（共7小题）7．（2023秋•东城区期末）某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．（1）请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；（2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．8．（2023秋•丰台区期末）第19届亚运会于2023年9月在杭州举办，此届亚运会的吉祥物是由如图所示的三个可爱的机器人“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”组成的．现有三张分别印有三个吉祥物的不透明卡片，三张卡片除正面图案不同外，其余均相同．（1）从这三张卡片中随机抽取一张，图案恰好是“宸宸”的概率为；（2）从这三张卡片中随机抽取一张，记住卡片图案后将卡片放回，背面朝上洗匀，然后再从三张卡片中随机抽取一张．用列表或画树状图的方法，求两次抽到的卡片图案相同的概率（印有“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”的三张卡片依次记为A，B，C）．9．（2024•海淀区）不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．（1）从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为；（2）从袋子中随机摸出一个球后，不放回，再从剩余的球中随机摸出一个．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率．10．（2023秋•朝阳区期末）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小都相同．有两辆汽车经过这个十字路口，观察这两辆车经过这个十字路口的情况．（1）列举出所有可能的情况；（2）求出至少有一辆车向左转的概率．11．（2023秋•燕山期末）2023年7月31日，北京遭遇140年以来最大的暴雨，房山地区受灾严重．为了做好防汛救灾工作，某社区特招募志愿工作者，小东和小北积极报名参加，根据社区安排，志愿者被随机分到A组（信息登记），B组（物资发放），C组（垃圾清运）的其中一组．（1）小东被分配到A组是事件（填“必然”，“随机”或“不可能”）；小东被分配到A组的概率是．（2）请用列表或画树状图的方法，求出小东和小北被分配到同一组的概率．12．（2023秋•大兴区期末）2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州举行．中国队以201枚金牌、111枚银牌、71枚铜牌的优异成绩，位居奖牌榜首．为弘扬体育运动精神，某校对八、九年级学生进行了杭州亚运会知识竞赛（测试满分为100分，得分x均为不小于80的整数），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90≤x＜95；D.95≤x≤100）．a．八年级20名学生的成绩是：80，82，83，83，85，85，86，87，89，90，90，91，94，95，95，95，95，96，99，100．b．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，90，91，92，92，93，93，94．c．八、九年级抽取的学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数如下：年级平均数中位数众数八年级9090m九年级90n100d．九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图如图．根据以上信息，解答下列问题：（1）写出表中m，n的值及九年级抽取的学生竞赛成绩在D组的人数；（2）若该校九年级共400人参加了此次知识竞赛活动，估计九年级竞赛成绩不低于90分的人数是；（3）为了进一步弘扬体育运动精神，学校决定组织学生开展亚运精神宣讲活动，准备从九年级抽取的竞赛成绩在D组的学生中，随机选取一名担任宣讲员，另一名担任主持人．若甲、乙是抽取的成绩在D 组的两名学生，用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人同时被选上的概率．13．（2023•西城区）两个质地均匀的正方体M和N，正方体M的六个面分别标有数字“0”“1”“2”“3”“4”“5”；正方体N的六个面分别标有数字“0”“1”“2”“6”“7”“8”．掷小正方体后，观察朝上一面的数字．（1）掷一次正方体M时，出现奇数的概率是多少；（2）如果先掷一次正方体M，再掷一次正方体N得到两个数字，如先后掷到“0”和“1”记为01，可表示某月的01日：先后掷到“5”和“8”记为58，不能表示某月的日期．求先后各掷一次正方体M和正方体N，得到的两个数字能组成一月的一个日期的概率．五．利用频率估计概率（共5小题）14．（2023秋•丰台区期末）做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：抛掷次数n10020050010002000300040005000“正面向上”的次数m38962606201236185724723090“正面向上”的频率0.3800.4800.5200.6200.6180.6190.6180.618下面有3个推断：①当投掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.620，所以“正面向上”的概率是0.620；②随着投掷次数的增加，“正面向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.618；③当抛掷次数为10000时，估计出现“正面向上”的次数约为6180次．其中合理的是（）A．①②B．①③C．②③D．②15．（2024•海淀区）林业部门考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：移植总数m1027075015003500700014000成活数n823566213353180629212628成活的频率（结果保留小数点后三位）0.8000.8700.8830.8900.9090.8990.902下列说法正确的是（）A．若移植10棵幼树，成活数将为8棵B．若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵C．移植的幼树越多，成活率越高D．随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.90016．（2023秋•东城区期末）为了解某品种小麦的发芽率，某农业合作小组在相同条件下对该小麦做发芽试验，试验数据如下表：种子个数n55010020050010002000300发芽种子个数m4449218947695118982851发芽种子频率0.8000.8800.9200.9450.9520.9510.9490.950（1）估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为（结果保留两位小数）；（2）若在相同条件下播种该品种小麦10000个，则约有个能发芽．17．（2023秋•朝阳区期末）某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，如表是检测过程中的一组统计数据：抽取的产品数n5001000150020002500300035004000合格的产品数m476967143119262395288333673836合格的产品频率0.9520.9670.9540.9630.9580.9610.9620.959估计这批产品合格的产品的概率为．18．（2023秋•燕山期末）在一个不透明的盒子中共装有40个球，其中有a个红球，这些球除颜色外无其它差别．为估计a的值，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球充分搅匀，任意摸出1个球记下颜色再放回，不断重复上述过程，记录实验数据如下：摸球的次数n2050100200300400500摸到红球的次数m133262117181238301摸到红球的频率0.650.640.620.5850.6030.5950.602根据以上数据，估计a的值约为．。
2022北京东城初三(上)期末数学(解析版)
2022北京东城初三（上）期末数学一、选择题（每题2分，共16分）1．（2分）一元二次方程2250x x+-=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是()A．2，1，5B．2，1，5-C．2，0，5-D．2，0，52．（2分）下列四个图形中，是中心对称图形的是()A．B．C．D．3．（2分）将抛物线2y x=向上平移3个单位后所得的解析式为()A．23y x=+B．23y x=-C．2(3)y x=+D．2(3)y x=-4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点(2,3)A关于原点对称的点的坐标是()A．(2,3)-B．(2,3)-C．(3,2)D．(2,3)--5．（2分）用配方法解方程241x x+=，变形后结果正确的是()A．2(2)5x+=B．2(2)2x+=C．2(2)5x-=D．2(2)2x-=6．（2分）中国象棋文化历史久远，在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“⋯””（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“⋅”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“⋯”上方的概率是()A．18B．16C．14D．127．（2分）如图，PA，PB是O的切线，A，B为切点，点C为O上一点，若70ACB∠=︒，则P∠的度数为( )A ．70︒B ．50︒C ．20︒D ．40︒8．（2分）如图，线段5AB =，动点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿线段AB 运动至点B ．以点A 为圆心，线段AP 的长为半径作圆．设点P 的运动时间为t ，点P ，B 之间的距离为y ，A 的面积为S ．则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是( )A ．正比例函数关系、一次函数关系B ．一次函数关系，正比例函数关系C ．一次函数关系，二次函数关系D ．正比例函数关系，二次函数关系二、填空题（每题2分，共16分）9．（2分）抛物线23(1)2y x =--+的顶点坐标是 ．10．（2分）若关于x 的一元二次方程220x x m ++=的一根为1-，则m 的值是 ” ．11．（2分）请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点(0,2)的抛物线的表达式： ” ．12．（2分）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球．将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概率为” ．13．（2分）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x ，则可列方程为” ．14．（2分）如图，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转得到ADE ∆，若110DAE ∠=︒，40B ∠=︒，则C ∠的度数为” ．15．（2分）斛是中国古代的一种量器．据《汉书⋅律历志》记载：“斛底，方而圜(”u án )其外，旁有庣(”i āo )焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为”尺．16．（2分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE CF=，AE，DF交于点P，则APD∠的度数为”；连接CP，线段CP的最小值为”．三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17．（5分）解方程：2280x x--=．18．（5分）如图，AB为O的弦，OC ABOM MC=，求⊥于点M，交O于点C．若O的半径为10，:3:2AB的长．19．（5分）下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程．已知：O（如图1)．求作：O的内接等腰直角三角形ABC．作法：如图2．①作直径AB；①分别以点A，B为圆心，大于1AB的长为半径作弧，两弧交于点M；2①作直线MO交O于C，D两点；①连接AC，BC．所以ABC∆就是所求作的等腰直角三角形．根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接MA ，MB ．MA MB =，OA OB =，MO ∴是AB 的垂直平分线． 又直线MO 交O 于点C ，AC ∴= ． AB 是直径，ACB ∴∠= ( )（填写推理依据）． ABC ∴∆是等腰直角三角形．20．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =++的部分图象经过点(0,3)A -，(1,0)B ．（1）求该抛物线的解析式；（2）结合函数图象，直接写出0y <时，x 的取值范围．21．（5分）如图．在平面直角坐标系xOy 中，OAB ∆的顶点坐标分别为(0,0)O ，(5,0)A ，(4,3)B -．将OAB ∆绕点O 顺时针旋转90︒得到①OA B ''，点A 旋转后的对应点为A '．（1）画出旋转后的图形①OA B ''，并写出点A '的坐标；（2）求点B 经过的路径BB '的长（结果保留)π．22．（5分）2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A ，B ，C ，D 四名志愿者中通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．（1）“A 志愿者被选中”是” 事件（填“随机”、“不可能”或“必然””)；（2）用画树状图或列表的方法求出A ，B 两名志愿者同时被选中的概率．23．（6分）已知关于x 的一元二次方程2(4)40x k x k -++=．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于2，求k 的取值范围．24．（6分）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长为25)m 的空地上修建一个矩形小花园ABCD ．小花园一边靠墙，另三边用总长40m 的栅栏围住，如图所示．设矩形小花园AB 边的长为x m ，面积为y 2m ．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？25．（6分）如图，AC 是O 的弦，过点O 作OP OC ⊥交AC 于点P ，在OP 的延长线上取点B ，使得BA BP =．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若O 的半径为4，PC =，求线段AB 的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,)m 和(2,)n 在抛物线2y x bx =-+上．（1）若0m =，求该抛物线的对称轴；（2）若0mn <，设抛物线的对称轴为直线x t =．①直接写出t 的取值范围；①已知点1(1,)y -，3(2，2)y ，3(3,)y 在该抛物线上，比较1y ，2y ，3y 的大小，并说明理由． 27．（7分）如图，在等边三角形ABC 中，点P 为ABC ∆内一点，连接AP ，BP ，CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AP '，连接PP '，BP '．（1）用等式表示BP '与CP 的数量关系，并证明；（2）当120BPC ∠=︒时，①直接写出P BP '∠的度数为” ；①若M 为BC 的中点，连接PM ，用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中．O 的半径为1，对于直线l 和线段AB ，给出如下定义：若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到O 的弦(A B A '''，B '分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．（1）如图2，点1A ，1B ，2A ，2B ，3A ，3B 的横、纵坐标都是整数．①在线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是” ；①若线段11A B ，22A B ，33A B 中，存在O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，则m = ；（2）已知直线(0)y b b =+>交x 轴于点C ，在ABC ∆中，3AC =，1AB =．若线段AB 是O 的关于直线(0)y b b =+>对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC 长．参考答案一、选择题（每题2分，共16分）1．【分析】根据多项式的项和单项式的系数定义得出答案即可．【解答】解：一元二次方程2250x x +-=的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，1，5-， 故选：B ．【点评】本题考查了单项式的系数定义，多项式的项的定义和一元二次方程的一般形式，注意：找多项式的各项系数时带着前面的符号．2．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：A ．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B ．不是中心对称图形，故本选项不合题意；C ．是中心对称图形，故本选项符合题意；D ．不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C ．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式． 【解答】解：抛物线2y x =向上平移3个单位，∴平移后的解析式为：23y x =+．故选：A ．【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质，熟练记忆平移规律是解题关键．4．【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．由此可求点A 关于原点对称的点的坐标． 【解答】解：点(2,3)A ，A ∴点关于原点对称的点为(2,3)--，故选：D ．【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．5．【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【解答】解：241x x +=，则24414x x ++=+，即2(2)5x +=，故选：A ．【点评】本题主要考查解一元二次方程的方法--配方法，掌握配方法是解本题的关键．6．【分析】用“---”（图中虚线）的上方的黑点个数除以所有黑点的个数即可求得答案．【解答】解：观察“馬”移动一次能够到达的所有位置，即用“●”标记的有8处，位于“---”（图中虚线）的上方的有2处，所以“馬”随机移动一次，到达的位置在“---”上方的概率是2184=，故选：C ．【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）m n=，难度适中． 7．【分析】连接OA 、OB ，根据圆周角定理求出AOB ∠，根据切线的性质得到OA PA ⊥，OB PB ⊥，根据四边形内角和等于360︒计算，得到答案．【解答】解：连接OA 、OB ，70ACB ∠=︒，2140AOB ACB ∴∠=∠=︒， PA ，PB 是O 的切线，OA PA ∴⊥，OB PB ⊥，360909014040P ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，故选：D ．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．8．【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型．【解答】解：5y t =-，属于一次函数关系，2S t π=，属于二次函数关系，故选：C ．【点评】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．二、填空题（每题2分，共16分）9．【分析】直接根据顶点式的特点求顶点坐标．【解答】解：23(1)2y x =--+是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为(1,2)．故答案为(1,2)．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在2()y a x h k =-+中，对称轴为x h =，顶点坐标为(,)h k ．10．【分析】先把1x =-代入方程，可得关于m 的一元一次方程，解即可．【解答】解：把1x =-代入方程，得2(1)2(1)0m -+⨯-+=，解得1m =．故答案是：1．【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是代入后正确的计算，难度不大．11．【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a 是正数，2c =即可．【解答】解：开口向上，并且与y 轴交于点(0,2)的抛物线的表达式为22y x =+，故答案为：22y x =+（答案不唯一）．【点评】本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．12．【分析】根据频率估计概率即可得出“摸出黑球”的概率．【解答】解：由图可知，随着“摸球游戏”的次数增多，“摸出黑球”的频率逐渐稳定在0.2左右，所以，“摸出黑球”的概率为0.2，故答案为：0.2．【点评】本题主要考查用频率估计概率，需要注意的是试验次数要足够大，次数太少时不能估计概率．13．【分析】利用5月份的参观人数3=月份的参观人数(1⨯+月平均增长率）2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：210(1)12.1x +=．故答案为：210(1)12.1x +=．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．【分析】由旋转的性质可得DAE BAC ∠=∠，由三角形的内角和定理即可求解．【解答】解：将ABC ∆绕点A 顺时针旋转得到ADE ∆，110DAE BAC ∴∠=∠=︒，40B ∠=︒，1801804011030C B BAC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：30︒．【点评】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．15．【分析】根据正方形性质确定CDE ∆为等腰直角三角形，CE 为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE ，求出CD ，问题得解．【解答】解：如图，四边形CDEF 为正方形，90D ∴∠=︒，CD DE =，CE ∴为直径，45ECD ∠=︒，由题意得 2.5AB =，2.50.2522CE ∴=-⨯=，CD ∴==【点评】本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．16．【分析】根据“边角边”证明ADE ∆和DCF ∆全等，根据全等三角形对应角相等可得DAE CDF ∠=∠，然后求出90APD ∠=︒，取AD 的中点O ，连接OP ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P 到AD 的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得C 、P 、O 三点共线时线段CP 的值最小，然后根据勾股定理列式求出CO ，再求解即可． 【解答】解：四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴=，90ADE DCF ∠=∠=︒，在ADE ∆和DCF ∆中，AD CD ADE BCD DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE DCF SAS ∴∆≅∆，DAE CDF ∴∠=∠，90CDF ADF ADC ∠+∠=∠=︒，90ADF DAE ∴∠+∠=︒，90APD ∴∠=︒，取AD 的中点O ，连接OP ，则112122OP AD ==⨯=（不变）， 根据两点之间线段最短得C 、P 、O 三点共线时线段CP 的值最小，在Rt COD ∆中，根据勾股定理得，CO =所以，1CP CO OP =-=．故答案为：90︒1．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点P 到AD 的中点的距离是定值是解题的关键．三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17．【分析】利用因式分解法解方程．【解答】解：(4)(2)0x x -+=，40x -=或20x +=，所以14x =，22x =-．【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．18．【分析】先求出OM 的值，再根据垂径定理求出AM BM =，再根据勾股定理求出AM 即可． 【解答】解：设3OM x =，2MC x =，O 的半径为10， 3210x x ∴+=，解得：2x =， 即6OM =， 连接OA ，OC AB ⊥，OC 过圆心O ，AM BM ∴=，90AMO ∠=︒，由勾股定理得：8BM AM ===， 8816AB ∴=+=．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键． 19．【分析】（1）根据题干要求的步骤依次求解即可； （2）根据圆周角定理求解即可． 【解答】解：（1）如图所示：（2）证明：连接MA ，MB ．MA MB =，OA OB =，MO ∴是AB 的垂直平分线．又直线MO 交O 于点C ， AC BC ∴=．AB 是直径，90ACB ∴∠=︒（直径所对的圆周角是直角）， ABC ∴∆是等腰直角三角形．故答案为：BC 、90︒，直径所对的圆周角是直角．【点评】本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图和圆周角定理． 20．【分析】（1）通过待定系数法求解．（2）求出抛物线与x 轴交点坐标，通过抛物线开口向上求解．【解答】解：（1）将(0,3)A -，(1,0)B 代入22y ax x c =++得302c a c -=⎧⎨=++⎩，解得13a c =⎧⎨=-⎩，223y x x ∴=+-． （2）令2230x x +-=， 解得3x =-或1x =，∴抛物线经过(3,0)-，(1,0)，抛物线开口向上， 0y ∴<时，31x -<<．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系．21．【分析】（1）将点A 、B 分别绕点O 顺时针旋转90︒得到其对应点，再与点O 首尾顺次连接即可； （2）根据弧长公式求解即可．【解答】解：（1）如图所示，①OA B ''即为所求．点A '的坐标为(0,4)-；（2）由图知，90AOA ∠'=︒，5OB =，∴点B 在旋转过程中所走过的路径长90551802BB ππ⨯'==． 【点评】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及弧长公式． 22．【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中A ，B 两名志愿者同时被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）“A 志愿者被选中”是随机事件，故答案为：随机； （2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中A ，B 两名志愿者同时被选中的结果有2种，A ∴，B 两名志愿者同时被选中的概率为21126=． 【点评】此题考查的是树状图法求概率以及随机事件的概念．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．【分析】（1）根据根的判别式：①222[(4)]16816(4)0k k k k k =-+-=-+=-，即可得到结论；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出14x =、2x k =，根据方程有一根小于2，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．【解答】（1）证明：①222[(4)]16816(4)0k k k k k =-+-=-+=-，∴无论k 为任何实数时，此方程总有两个实数根；（2）解：2(4)40x k x k -++=，(4)()0x x k ∴--=， 14x ∴=，2x k =．方程有一根小于2， 2k ∴<，k ∴的取值范围为2k <．【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当①0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于2，找出关于k 的一元一次不等式．24．【分析】（1）根据矩形的面积公式写出函数解析即可； （2）根据函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）由题意得：2(402)240y x x x x =-=-+，040225x <-，∴15202x <， y ∴与x 之间的函数关系式为215240(20)2y x x x =-+<；（2）由（1）知，222402(10)200y x x x =-+=--+， 20-<，15202x <，∴当10x =时，y 有最大值，最大值为200，答：当10x =时，小花园的面积最大，最大面积是2200m ．【点评】本题考查的是二次函数的实际应用．关键是根据函数的性质求最值．25．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到C OAC ∠=∠，BPA BAP ∠=∠，求得CPO BAP ∠=∠，推出90BAO ∠=︒，根据切线判定定理得到AB 是O 的切线；（2）根据勾股定理得到2OP ==，设BA BP x ==，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：OA OC =， C OAC ∴∠=∠，PB BA =， BPA BAP ∴∠=∠，CPO BPA ∠=∠， CPO BAP ∴∠=∠， OP OC ⊥， 90COP ∴∠=︒， 90C CPO ∴∠+∠=︒， 90CAO BAP ∴∠+∠=︒，即90BAO ∠=︒， OA 是O 的半径，AB ∴是O 的切线；（2）解：90COP ∠=︒，4OC =，PC =2OP ∴==， 设BA BP x ==， 90BAO ∠=︒，222AB AO OB ∴+=，2224(2)x x ∴+=+， 3x ∴=，∴线段AB 的长为3．【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 26．【分析】（1）把点(1,0)代入2y x bx =-+求得b 的值，即可根据对称轴公式求得答案； （2）①分类讨论b 的正负情况，根据0mn <可得对称轴在12x =与直线1x =之间；①根据各点到对称轴的距离判断【解答】解：（1）若0m =，则点(1,0)在抛物线2y x bx =-+上， 01b ∴=-+，解得1b =，∴抛物线的对称轴为直线112(1)22b x =-=-=⨯--；（2）①2y x bx =-+，∴抛物线开口向下且经过原点，当0b =时，抛物线顶点为原点，0x >时y 随x 增大而减小，0m n >>不满足题意， 当0b <时，抛物线对称轴在y 轴左侧，同理，0n m >>不满足题意， 当0b >时，抛物线对称轴在y 轴右侧，1x =时0m >，2x =时0n <， 即抛物线和x 轴的2个交点，一个为(0,0)，另外一个在1和2之间，∴抛物线对称轴在直线12x =与直线1x =之间， 即112t <<； ①点1(1,)y -与对称轴距离3(1)22t <--<， 点3(2，2)y 与对称轴距离13122t <-<，点3(3,)y 与对称轴距离5232t <-< 312y y y ∴<<．【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据数形结合求解．27．【分析】（1）利用SAS 证明ABP ACP '∆≅∆，即可得出答案；（2）①由三角形内角和定理知8618060BPC ∠+∠=︒-∠=︒，再利用角度之间的转化对P BP '∠进行转化，475608606608P BP '∠=∠+∠=∠+︒-∠=︒-∠+︒-∠，从而解决问题；①延长PM 到N ，使PM MN =，连接BN ，CN ，得出四边形PBNC 为平行四边形，则//BN CP 且BN CP =，再利用SAS 证明①P BP NBP '≅∆，得2PP PN PM '==． 【解答】解：（1）BP CP '=， 证明：ABC ∆是等边三角形， AB AC ∴=，60BAC ∠=︒， 2360∴∠+∠=︒将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AP '，AP AP '∴=，60PAP '∠=︒，1260∴∠+∠=︒， 13∴∠=∠，()ABP ACP SAS '∴∆≅∆，（2）①当120BPC ∠=︒时， 则8618060BPC ∠+∠=︒-∠=︒， ABP ACP '∆≅∆， 45∴∠=∠， 47P BP '∴∠=∠+∠ 5608=∠+︒-∠ 606608=︒-∠+︒-∠120(68)=︒-∠+∠ 12060=︒-︒ 60=︒，故答案为：60︒； ①2AP PM =，理由如下：延长PM 到N ，使PM MN =，连接BN ，CN ，M 为BC 的中点，BM CM ∴=，∴四边形PBNC 为平行四边形，//BN CP ∴且BN CP =， BN BP '∴=，96∠=∠，又8660∠+∠=︒， 8960∴∠+∠=︒， 60PBN P BP '∴∠=︒=∠，又BP BP =，P B BN '=，∴①()P BP NBP SAS '≅∆，2PP PN PM '∴==，又APP '∆为正三角形，PP AP '∴=， 2AP PM ∴=．【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键．28．【分析】（1）①分别画出线段11A B ，22A B ，33A B 关于直线2y x =+对称线段，如图，即可求解；①从图象性质可知，直线y x m =-+与x 轴的夹角为45︒，而线段11A B ⊥直线y x m =-+，线段11A B 关于直线y x m =-+对称线段还在直线11A B 上，显然不可能是O 的弦；线段33A B =O 的最长的弦为2，得线段33A B的对称线段不可能是O 的弦，而线段22//A B 直线y x m =-+，线段22A B =，∴线段22A B 的对称线段线段22A B ''线段22A B ，且线段22A B ''=O 上，有两种可能，画出对应图形即可求解；（2）先表示出OC =，b 最大时就是OC 最大，b 最小时就是CO 长最小，根据线段AB 关于直线y b =+对称线段A B ''在O 上，得3AC AC ''==，再由三角形三边关系得AC OA OC AC OA '-''+'，得当A '为(1,0)-时，如图3，OC 最小，此时C 点坐标为(2,0)；当A '为(1,0)时，如图3，OC 最大，此时C 点坐标为(4,0)，分两种情形分别求解．【解答】解：（1）①分别画出线段11A B ，22A B ，33A B 关于直线2y x =+对称线段，如图， 发现线段11A B 的对称线段是O 的弦，∴线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是11A B ，故答案为：11A B ；①从图象性质可知，直线y x m =-+与x 轴的夹角为45︒，∴线段11A B ⊥直线y x m =-+，∴线段11A B 关于直线y x m =-+对称线段还在直线11A B 上，显然不可能是O 的弦，线段33A B =O 的最长的弦为2，∴线段33A B 的对称线段不可能是O 的弦，线段22A B 是O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，而线段22//A B 直线y x m =-+，线段22A B =∴线段22A B 的对称线段线段22A B ''线段22A B ，且线段22A B ''=平移这条线段，使其在O 上，有两种可能， 第一种情况：2A '、2B '的坐标分别为(0,1)、(1,0)， 此时3m =；第二种情况：2A '、2B '的坐标分别为(1,0)-、(0,1)-， 此时2m =， 故答案为：3或2；（2）直线(0)y b b =+>交x 轴于点C ，当0y =时，0y b =+=，解得：x =，OC ∴=，b 最大时就是OC 最大，b 最小时就是CO 长最小，线段AB 是O 的关于直线(0)y b b =+>对称的“关联线段”，∴线段AB 关于直线y b =+对称线段A B ''在O 上， 3AC AC ∴''==，在①A CO '中，AC OA OC AC OA '-''+'，∴当A '为(1,0)-时，如图3，OC 最小，此时C 点坐标为(2,0)，将点C 代入直线y b =+中，20b +=，解得：b = 过点B '作B D AC '⊥'于点D ， 1A B AO B O ''='='=， 60B A D ∴∠''=︒，12A D ∴'=，B D '=，15322CD ∴=-=，在Rt ①B DC '中，B C '==∴当A '为(1,0)时，如图3，OC 最大，此时C 点坐标为(4,0)，将点C 代入直线y b =+中，40b +=，解得：b = 过点B '作B D AC '⊥'于点D ， 1A B AO B O ''='='=， 60B A D ∴∠''=︒，12A D ∴'=，B D '=，17322CD ∴=+=，在Rt ①B DC '中，B C '==b ∴BC BC【点评】本题考查了以圆为背景的阅读理解题，勾股定理，三角形三边关系，解决问题的关键是找出不同情境下的“关联线段”和阅读理解能力．。
2023~2024学年北京市九年级上期末数学分类——二次函数(原卷版)
2023~2024学年北京市九年级上期末数学分类——二次函数一．二次函数的性质（共16小题）1．（2023秋•东城区期末）关于二次函数y＝2（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）A．当x＝1时，有最小值为2B．当x＝1时，有最大值为2C．当x＝﹣1时，有最小值为2D．当x＝﹣1时，有最大值为22．（2023秋•丰台区期末）抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）3．（2024•海淀区）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）4．（2024•房山区）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）5．（2023秋•门头沟区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表：x…﹣2﹣10123…y…0﹣2﹣3﹣3﹣20…有如下结论：①抛物线的开口向上②抛物线的对称轴是直线③抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）④由抛物线可知ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜3其中正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④6．（2023秋•大兴区期末）抛物线y＝（x﹣2）2+1的对称轴是（）A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝1D．x＝﹣17．（2023•西城区）下列关于函数y＝x2﹣1的结论中，正确的是（）A．y随x的增大而减小B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．当x＜0时，y随x的增大而增大D．当x＞0时，y随x的增大而减小8．（2023秋•通州区期末）下列关于二次函数y＝3x2的说法正确的是（）A．它的图象经过点（﹣1，﹣3）B．它的图象的对称轴是直线x＝3C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．当x＝0时，y有最大值为09．（2023秋•东城区期末）已知二次函数y＝﹣x2+8x+3，当x＞m时，y随x的增大而减小，则m的值可以是（写出一个即可）．10．（2023秋•丰台区期末）已知二次函数y＝x2+bx，当x＞1时，y随x的增大而增大．写出一个满足题意的b的值为．11．（2023秋•朝阳区期末）抛物线y＝x2﹣2x+4的顶点坐标是．12．（2023秋•朝阳区期末）已知函数y1＝kx+4k﹣2（k是常数，k≠0），（a是常数，a≠0），在同一平面直角坐标系中，若无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，则a的取值范围是．13．（2023秋•门头沟区期末）二次函数y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标为．14．（2023秋•大兴区期末）写出一个过点（0，1）且当自变量x＞0时，函数值y随x的增大而增大的二次函数的解析式．15．（2024•平谷区）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）求该抛物线的顶点坐标；（2）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点坐标；（3）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2+2x﹣3的图象．16．（2024•房山区）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）在平面直角坐标系中画出它的图象，并写出它的对称轴；（2）结合图象直接写出当﹣1＜x＜1时，y的取值范围．17．（2023秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为P（﹣1，k），且经过点A（﹣3，0），其部分图象如图所示，下面四个结论中，①a＜0；②b＝﹣2a；③若点M（2，m）在此抛物线上，则m＜0；④若点N（t，n）在此抛物线上且n＜c，则t＞0．所有正确结论的序号是．18．（2023秋•昌平区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图，则以下四个结论中：①abc＞0；②2a+b＝0；③3a+c＜0；④4a+b2＞4ac，其中，正确结论的序号是．19．（2023秋•大兴区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（0，1），（2，1）．给出下面三个结论：①2a﹣b＝0；②a+b+c＞1；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c ﹣m＝0（m＜1）有两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是．20．（2024•平谷区）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分对应点坐标如表，m的值为（）x…﹣1﹣0.5 2.535…y…0﹣3.5﹣3.5m24…A．1B．2C．﹣5D．021．（2023秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，若点（4，y1），（6，y2）在抛物线y＝a（x﹣3）2+1（a＞0）上，则下列结论正确的是（）A．1＜y1＜y2B．1＜y2＜y1C．y2＜y1＜1D．y1＜y2＜1 22．（2023•西城区）若抛物线y＝x2+3x+c经过点（0，2），则c的值为（）A．2B．1C．0D．﹣223．（2024•海淀区）已知y是x的二次函数，表中列出了部分y与x的对应值：x012y01﹣1则该二次函数有（填“最小值”或“最大值”）．24．（2023秋•大兴区期末）在平面直角坐标系xOy中，若点（2，y1），（4，y2）在抛物线y＝2（x﹣3）2﹣4上，则y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．25．（2023秋•密云区期末）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣3x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（按从小到大的顺序，用“＜”连接）．四．二次函数图象与几何变换（共13小题）26．（2024•平谷区）将抛物线y＝向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（）A．B．C．D．27．（2023秋•朝阳区期末）把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝3（x﹣5）2+2B．y＝3（x+5）2+2C．y＝3（x+2）2+5D．y＝3（x﹣2）2+528．（2024•房山区）将二次函数y＝x2的图象向上平移5个单位，得到的函数图象的表达式是（）A．y＝x2+5B．y＝x2﹣5C．y＝（x+5）2D．y＝（x﹣5）229．（2023秋•门头沟区期末）如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，向左平移1个单位长度，得到新的抛物线的表达式是（）A．y＝（x+1）2﹣3B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝（x﹣1）2+330．（2023秋•石景山区期末）将抛物线y＝3x2向左平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式为（）A．y＝3（x+1）2B．y＝3（x﹣1）2C．y＝3x2+1D．y＝3x2﹣131．（2023秋•昌平区期末）将抛物线y＝2x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为（）A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x﹣2）2+3C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x+2）2﹣332．（2023秋•大兴区期末）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝3x2先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（）A．y＝3（x+4）2﹣1B．y＝3（x+4）2+1C．y＝3（x﹣4）2﹣1D．y＝3（x﹣4）2+133．（2023秋•通州区期末）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝2x2先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为（）A．y＝2（x﹣3）2+4B．y＝2（x﹣3）2﹣4C．y＝2（x+3）2+4D．y＝2（x+3）2﹣434．（2024•顺义区）若将抛物线y＝2x2向右平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为．35．（2023秋•东城区期末）将抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是．36．（2024•海淀区）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝3x2向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为．37．（2023秋•密云区期末）将抛物线y＝x2先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为．38．（2023•西城区）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5．（1）将y＝2x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）抛物线y＝2x2﹣4x+5可以由抛物线y＝2x2经过平移得到，请写出一种平移方式．五．二次函数的最值（共1小题）39．（2023秋•密云区期末）二次函数y＝3（x+1）2﹣4的最小值是（）A．1B．﹣1C．4D．﹣4六．待定系数法求二次函数解析式（共7小题）40．（2024•顺义区）将二次函数y＝﹣x2+2x+3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则所得表达式为（）A．y＝（x+1）2﹣4B．y＝﹣（x﹣1）2+4C．y＝﹣（x+1）2+2D．y＝﹣（x﹣1）2+241．（2023秋•昌平区期末）写出一个开口向下且过（0，1）的抛物线的表达式．42．（2023•西城区）写出一个开口向上，且过原点的抛物线的表达式：．43．（2023秋•石景山区期末）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（1，0）和B（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）当1＜x＜4时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围．44．（2023秋•昌平区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如表：x…﹣3﹣113…y…﹣3010…（1）求这个二次函数表达式；（2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象；（3）当x的取值范围为时，y＞﹣3．45．（2023秋•大兴区期末）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，0），（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标．46．（2023秋•通州区期末）已知二次函数几组x与y的对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣1134…y…1250﹣405…（1）写出此二次函数图象的对称轴；（2）求此二次函数的表达式．七．抛物线与x轴的交点（共9小题）47．（2024•海淀区）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c ＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有实数根D．没有实数根48．（2023秋•石景山区期末）若抛物线y＝x2+2mx+9与x轴只有一个交点，则m的值为（）A．3B．﹣3C．D．±349．（2024•平谷区）若抛物线y＝x2﹣2x+k﹣1与x轴有交点，则k的取值范围是．50．（2023秋•密云区期末）请写出一个常数a的值，使得二次函数y＝x2+4x+a的图象与x轴没有交点，则a的值可以是．51．（2024•顺义区）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（2，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）直接写出y＞0时，x的取值范围．52．（2023秋•丰台区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：x…﹣10124…y…830﹣13…（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；（2）直接写出当y＞0时，x的取值范围．53．（2023秋•门头沟区期末）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）求此二次函数图象的顶点坐标；（2）求此二次函数图象与x轴的交点坐标；（3）当y＞0时，直接写出x的取值范围．54．（2023秋•石景山区期末）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）将y＝x2+2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式，并写出其图象的顶点坐标；（2）求此函数图象与x轴交点的坐标；（3）在平面直角坐标系xOy中，画出此函数的图象．55．（2023•西城区）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴的一个交点为A（﹣1，0）．（1）c＝；（2）画出函数y＝x2﹣2x+c的图象；（3）当﹣2＜x≤2时，结合函数图象直接写出y的取值范围．八．二次函数与不等式（组）（共4小题）56．（2023•西城区）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0）．下面有四个结论：①a＞0；②2a+b＜0；③4a+2b+c＞0；④关于x的不等式ax2+（b﹣c）x＞0的解集为﹣1＜x＜0．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．②③④57．（2024•顺义区）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，写出一个满足不等式ax2+bx+c＜﹣1的x的值，这个值可以是．58．（2023秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx的图象过点A（3，3）．（1）求该二次函数的解析式；（2）用描点法画出该二次函数的图象；（3）当0＜x＜3时，对于x的每一个值，都有kx＞x2+bx，直接写出k的取值范围．59．（2023秋•朝阳区期末）已知一次函数y1＝mx+n（m≠0）和二次函数，下表给出了y1，y2与自变量x的几组对应值：x…﹣2﹣101234…y1…543210﹣1…y2…﹣503430﹣5…（1）求y2的解析式；（2）直接写出关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集．。
2023~2024学年北京市九年级上期末数学分类——圆综合
2023~2024学年北京市九年级上期末数学分类——圆综合1．（2024•海淀区）如图，AB为半圆O的直径，点C，D在半圆O上，直线CM与半圆O相切于点C，CM∥AD．（1）若∠MCD＝α，求∠COA的大小（用含α的式子表示）；（2）过点O作OE⊥CD交CM于点E，交CD于点F，若CD∥AB，AB＝6，求CE的长．2．（2023•西城区）如图，AB是⊙O的直径，AB＝BC，AC交⊙O于点D，点F在OD的延长线上且∠FAD＝∠ABC．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若AF＝8，DF＝4，求AC的长．3．（2023秋•东城区期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作DE∥AB．交CB的延长线于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝30°，，求CD的长．4．（2023秋•朝阳区期末）如图，AC，BD是圆内接四边形ABCD的对角线，AC⊥BD于点E，BD平分∠ADC．（1）求∠BAD的度数；（2）点P在DB的延长线上，PA是该圆的切线．①求证：PC是该圆的切线；②若，直接写出PD的长．5．（2023秋•丰台区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，作DE⊥AC交AC于点E，延长ED交AB的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若△ABC为等边三角形，AE＝3，求⊙O半径的长．6．（2023秋•石景山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，点F在AC的延长线上，．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AB＝5，，求CE的长．7．（2023秋•通州区期末）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作DF∥AB交CO的延长线于点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，，求DF的长．8．（2023秋•大兴区期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，过点O作OD⊥BC 于点D，过点C作直线CE交OD延长线于点E，使得∠E＝∠B．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若DE＝6，，求OD的长．9．（2024•平谷区）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，连接AC、AD，过点A作⊙O的切线与∠ADC的平分线相交于点E，DE交AC于点F，交AB于点G，交⊙O于点M，连接AM．（1）求证：AC＝AD；（2）若，CD＝4，求AF长．10．（2024•房山区）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是弦，点D在AB的延长线上，且∠DCB＝∠DAC，⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠D＝30°，求AE的长．11．（2023秋•门头沟区期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O切线与AC的延长线交于点E，ED∥BC，连接AD交BC于点F．（1）求证：∠BAD＝∠DAE；（2）若AB＝6，AD＝5，求DF的长．12．（2023秋•昌平区期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D为的中点，过点D作⊙O 的切线，交BC延长线于点P，连接OD交AC于点E．（1）求证：四边形DECP是矩形；（2）作射线AD交BC的延长线于点F，若，BC＝6，求DF的长．13．（2023秋•密云区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，连接OC交AB于点E，过点A作OC的行线交BC延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，AD＝6，求线段CD的长．14．（2024•顺义区）如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，CO的延长线交⊙O于点D，连接AD，BD，过点D作⊙O的切线交AO的延长线于点E．（1）求证：DE∥AB；（2）若⊙O的半径为3，tan∠ADC＝，求DE的长．15．（2023秋•燕山期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径作⊙O与BC 相切于点E，连接DE并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：AF＝AD；（2）若CE＝4，CF＝2，求⊙O的半径．。