浙江省杭州地区(含周边)重点中学2018-2019学年第一学期高三期中考试数学试题(解析版)
浙江省杭州地区(含周边)重点中学2018-2019学年第一学期高三期中考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集1，2，3，，集合2，，集合，则A. B.C. 1，D. 1，2，3，【答案】C【解析】解：；1，．故选：C．进行补集、并集的运算即可．考查列举法表示集合的定义，以及并集和补集的运算．2.已知复数z满足为虚数单位，则z等于A. iB.C.D.【答案】B【解析】解：复数z满足，，故选：B．由条件可得，再利用两个复数代数形式的除法法则求出结果．本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3.设a，，那么“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：由不等式的性质，，可推出，而当，时，例如取，，显然不能推出．故是的必要不充分条件．故选：B．，可推出，而当，时，例如取，，显然不能推出，由充要条件的定义可得答案．本题为充要条件的判断，正确利用不等式的性质是解决问题的关键，属基础题．4.函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：函数满足，函数的偶函数，排除B、C，因为时，，此时，所以排除D，故选：A．利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．5.已知等差数列的前n项和为，，，为等比数列，且，，则的值为A. B. 9 C. D. 27【答案】C【解析】解：等差数列的公差设为d，前n项和为，，，可得，，解得，，即有；设为公比为q的等比数列，且，，可得，，故选：C．设等差数列的公差为d，运用等差数列求和公式解方程可得首项和公差，可得等差数列的通项公式，再设等比数列公比为q，运用等比数列的通项公式，即可得到所求值．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6.已知，，则的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由，两边平方得：．，，．联立，解得．故选：A．把已知等式两边平方可得，由，得，，联立求得的值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．7.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象若对满足的、，有，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：因为将函数的周期为，函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象若对满足的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有，不妨，，即在，取得最小值，，此时，不合题意，，，即在，取得最大值，，此时，满足题意．另解：，，设，，，，，由，可得，解得，故选：D．利用三角函数的最值，求出自变量，的值，然后判断选项即可．本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．8.设单位向量，对任意实数都有，则向量，的夹角为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：是单位向量，设的夹角为；对两边平方得，；整理得，，该不等式对任意实数恒成立；；；；又；．故选：D．可设的夹角为，根据为单位向量，对两边平方可得，，整理可得，，而该不等式对于任意的恒成立，从而得出，从而得出，这样即可求出．考查单位向量的概念，不等式的性质，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的范围，以及已知三角函数值求角．9.已知定义在R上的奇函数，满足当时，则关于x的方程满足A. 对任意，恰有一解B. 对任意，恰有两个不同解C. 存在，有三个不同解D. 存在，无解【答案】A【解析】解：当时，，，时，；时，，在上递减，在上递增，，在上递增，又x大于0趋近于0时，也大于0趋近于0；x趋近于正无穷时，也趋近于正无穷，又为R上的奇函数，其图象关于原点对称，结合图象知，对任意的a，方程都恰有一解．故选：A．先通过导数研究函数在上的单调性，再根据奇偶性得函数图象的对称性，最后结合图象可得选A．本题考查了函数与方程的综合运用，属难题．10.设，，若三个数，，能组成一个三角形的三条边长，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，令，，，，，，，y，z能组成一个三角形的三条边长，可得，即为，设，可得，可令，即有，即为，由，当且仅当上式取得等号，但，可得，则，即；又设，可得，由的导数为，由可得，即函数y为增函数，可得，即有，即有，可得，故选：C．由题意可得，可令，判断可得，可得，化为，结合基本不等式和导数判断单调性，以及不等式恒成立思想，即可得到所求范围．本题考查基本不等式的性质、组成三角形三边的大小关系，考查推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，问羊的主人应赔偿______斗粟，在这个问题中牛主人比羊主人多赔偿______斗粟．【答案】【解析】解：由题意可知x，y，z依次成公比为的等比数列，则，解得，则，羊的主人应赔偿斗粟；牛主人比羊主人多赔偿斗粟．故答案为：；．由题意可知z，y，z依次成公比为的等比数列，根据等比数列的性质及求和公式即可求得答案．本题考查等比数列的性质与前n项和，属于基础题．12.已知函数，则______，若，则实数x的取值范围是______．【答案】2 或【解析】解：因为，，当时，由得；当时，由 3，得，故答案为：2，或先求，再求；分和两种情况代的解析式，解方程即可．本题考查了函数的值属基础题．13.已知，则______，又，则______．【答案】3【解析】解：已知，则．，则，故答案为：；3．利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得的值；再利用两角差的正切公式求得的值．本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于基础题．14.在中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且，，，则角______，______．【答案】6【解析】解：，由正弦定理可得：，可得：，，可得：，，，又，，由余弦定理，可得：，即，解得：，或舍去．故答案为：，6．由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得：，结合，可求，结合范围，可求C的值，进而由余弦定理可求，解得a的值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15.已知实数a，b满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：设，则：，解得：，，所以：，所以：，设a，b为的两根，则：，，即：，利用，解得：，由于：，解得：．故：，即：的取值范围是．故答案为：．首先利用换元法求出，，进一步利用设a，b为的两根，最后利用判别式求出结果．本题考查的知识要点：换元法的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，判别式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型．16.已知平面向量，，满足，，的夹角为，，则的最大值为______．【答案】【解析】解：，，的夹角为，由题意可设，，，，，即，由圆的性质可知，上的点到直线的距离的最大值为：，则的最大值为．故答案为：．由题意可设，，，结合已知可得，结合点到直线的距离公式及圆的性质可求本题主要考查了向量数量积的运算性质的应用，圆的性质的灵活应用是求解本题的关键．17.已知函数，对于任意的，，都存在使得成立，则实数m的取值范围为______．【答案】【解析】解：的定义域为，，，，函数在上单调递增，，，存在使得成立，存在使的或成立，或，当时，，，显然一定成立，当时，只能，即，故只需，又，故，，故答案为：．求出函数的导数，问题转化为存在使的或成立，故或，通过讨论b的范围求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数Ⅰ求函数的最小正周期和单调递增区间；Ⅱ当时，求函数的值域．【答案】解：Ⅰ求函数的最小正周期为．令，求得，故函数的单调增区间为，．Ⅱ当时，，，，故函数的值域为【解析】Ⅰ利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间．Ⅱ当时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的值域．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．19.已知等差数列满足：，，Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若，试求数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ设首项为，公差为d的等差数列满足：，，所以：，解得：，故：．Ⅱ由Ⅰ得：，，．则：，，．【解析】Ⅰ直接利用已知条件求出数列的通项公式．Ⅱ利用Ⅰ的通项公式，进一步求出数列的通项公式，最后求出数列的和．本题主要考察的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.已知函数，其中．Ⅰ当时，求在上的值域；Ⅱ若在上为单调函数其中e为自然对数的底数，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ当且当时，，则，此时，函数在区间上单调递增，则，．因此，函数在上的值域为；Ⅱ由于函数在区间上单调递增，且函数在上为单调函数，所以，函数在上为单调递增函数，且，得．另一方面，当时，，二次函数图象对称轴为直线．当时，即当时，二次函数在区间上单调递减，则，解得，此时，m不存在；当时，即当时，则有，解得，此时，．综上所述，实数m的取值范围是．【解析】Ⅰ将代入函数的解析式，利用导数判断函数的单调性，从而求出函数在区间上的最大值和最小值，从而求出值域；Ⅱ由函数在区间上单调递增，得出函数在区间上为增函数，从而转化为导数在区间上恒成立，且有，从而求出m 的取值范围．本题考查分段函数的应用，考查利用导数来研究函数的基本性质，属于中等题．21.已知数列满足，Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ数列满足，数列的前n项和，设，证明：．【答案】解：Ⅰ数列满足，则：，得：，整理得：，所以：．当时，首项符合通项，故：．证明：Ⅱ数列满足，则：，数列的前n项和，，，则：，所以：．【解析】Ⅰ直接利用递推关系式求出数列的通项公式．Ⅱ利用Ⅰ的通项公式，进一步求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．22.已知函数．Ⅰ若函数有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；Ⅱ若是的极大值点，求的取值范围．【答案】解：Ⅰ，记，，令，解得：或，故在递增，在递减，在递增，又且时恒成立，有2个变号零点得：；Ⅱ由Ⅰ知且，故，故记，，则，故在递减，在递增且，，，故．【解析】Ⅰ求出函数的导数，解关于导函数的不等式，结合函数的极值点的个数求出a的范围即可；Ⅱ求出，得到，记，，根据函数的单调性求出的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．。
2023-2024学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线x −√3y −1=0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．某班共有45名学生，其中女生25名，为了解学生的身体状况，现采用分层抽样的方法进行调查，若样本中有5名女生，则样本中男生人数为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．93．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若DM →=13DD 1→，则MB →=（ ） A ．13AA 1→+AD →−AB →B ．−13AA 1→−AD →+AB →C ．−23AA 1→+AD →−AB →D ．23AA 1→−AD →+AB →4．已知向量a →2=3，b →=（2，0），|a →+b →|=1，则a →与b →的夹角等于（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π65．甲、乙两同学对同一组数据进行分析，甲同学得到的数据均值为x ，方差为s 2，乙同学不小心丢掉了一个数据，得到的均值仍为x ，方差为2，则下列判断正确的是（ ） A ．s 2＝2 B ．s 2＞2C ．s 2＜2D ．s 2与2的大小关系无法判断6．已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4，直线l ：x ﹣my +2m ＝0与圆C 相交于A 、B 两点，若圆C 上存在点P ，使得△ABP 为正三角形，则实数m 的值为（ ） A ．m =−43 B ．m =43 C ．m =−43或m ＝0D ．m =43或m ＝07．棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点N 在以A 为球心半径为1的球面上，点M 在平面ABCD 内且C 1M 与平面ABCD 所成角为60°，则M ，N 两点间的最近距离是（ ） A ．2√2−2√33B ．2√2−2√33−1C ．2√3−1D ．2√3−2√28．第19届亚运会的吉祥物由“琮琮”、“宸宸”和“莲莲”三类组成，现有印着三类吉祥物的挂件各2个（同类吉祥物完全相同，无区别），若把这6个挂件分给3位同学，每人2个，则恰好有一位同学得到同类吉祥物挂件的概率是（ ） A ．14B ．25C ．17D ．37二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省杭州地区(含周边)重点中学2024-2025学年高二上学期期中联考英语试题(含答案)
绝密★考试结束前2024学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学高二年级英语学科试题考生须知：1. 本卷满分150分，考试时间120分钟；2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3. 所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4. 考试结束后，只需上交答题卷。
第I卷第一部分：听力（共两节，满分30分）第一节：（共5小题每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirtA. 19.15B. 9.18.C. 9.15.答案是C。
1. When will the meeting startA. At 9:10.B. At 9:20.C. At 9:25.2. Why does the man make the callA. To learn about a policy.B. To cancel an appointment.C. To ask about a medical bill.3. What are the speakers talking aboutA. A web page.B. A computer problem.C. A downloaded file.4. Where does the conversation take placeA. At an airport.B. In a delivery company.C. At a hotel5. What do the speakers think of JoelA. He is organized.B. He is unreliable.C. He is silent.第二节：（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
浙江省杭州地区(含周边)重点中学2022届高三上学期期中考试 数学 Word版含答案
绝密★考试结束前2021学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学高三年级数学学科试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名：座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|0<x<2}，则A∩B＝A.{x|1≤x<2}B.{x|0<x≤3}C.{x|1≤x≤2}D.{x|0≤x≤2}2.设(1＋2i)·z＝3＋i(i为虚数单位)，则|z|＝A.3B.2C.3D.23.若实数x，y满足约束条件x y10x y103x y50-+≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩，则z＝x－2y的取值范围是A.[1，5]B.[－1，5]C.[－5，－1]D.[－5，5]4.(1－2x)6展开式中，x3的系数为A.20B.－20C.160D.－1605.函数f(x)＝x2－|x＋a|＋a2，(a>1)的图象可能是6.在△角形ABC中，“tanA＋tanB＋tanC>0”是“△ABC为锐角三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.设随机变量X ～B(2，p)，若P(x ≥1)＝59，则E(X)＝ A.23 B.13 C.43D.1 8.对于平面内不共线的四点O 、A 、B 、C ，若存在一组正实数λ1、λ2、λ3，使得123OA OB OC 0λλλ++=，则三个角∠AOB 、∠BOC 、∠COAA.都是钝角B.至少有两个钝角C.恰有两个钝角D.至多有两个钝角 9.若对任意的x 1，x 2∈[1，＋∞)，当x 2>x 1时，恒有aln 21x x <2(x 2－x 1)成立，则实数a 的取值范围是A.(－∞，0]B.(－∞，1]C.(－∞，2]D.(－∞，3] 10.已知数列{a n }，{b n }，数列{c n }满足c n ＝n na nb n ⎧⎨⎩，为奇数，为偶数，n ∈N *。
浙江省杭州地区含周边重点中学2024_2025学年高二语文上学期期中试题
浙江省杭州地区（含周边）重点中学2024-2025学年高二语文上学期期中试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间150分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3.全部答案必需写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。
一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读Ⅰ (本题共5小题,19分)阅读下面的文字，完成1~5题。
材料一：诗教在中国有着悠久的传统，在诸如“不学诗，无以言、“诗，可以兴，可以观，可以群，可以怨”及“诗言志”“思无邪”等为人熟知的表述的促动下，诗歌的影响遍及从国家社稷、社会风尚到日常礼仪、个人修为的不同层面。
进入现代以后，中国诗歌在主题向度、语言形态和构造体式等方面均出现很大变更，诗教的社会文化语境及施行方式也发生了根本性变更。
特殊是对于新的历史条件下的诗教，教化观念的革新与迁移深刻影响了其理论内涵和实践指向。
近代以来由王国维、蔡元培、梁启超等人开创，由鲁迅、宗白华、朱光潜等人丰富完善的美育，通过引入康德、席勒等西方理论家的美学思想，确立了以情感为核心、提倡“审美无功利”、以“立人”为旨归的理论构架。
这些美育观念从多方面推动了中国诗教从传统向现代的转变，促使诗教直面现代乃至当代的境况。
依照朱光潜的“诗教就是美育”这一说法，诗教明显是现代艺术、审美教化的重要组成部分。
正如林语堂所说“中国的诗在中国代替了宗教的任务” ，虽然他所讲的“中国的诗”是指古典诗歌，并且中国诗歌经过现代性的洗礼之后，其样态及其在社会文化中的地位已经发生巨变，仅有百年历史的现代诗歌被认为失去了古典诗歌的辉煌和魅力，但是诗歌本身仍旧具有相当的感召力，对人类的精神生活发挥着无可替代的作用。
由此，处于现代境遇中的诗教，或者说在现代美育观念影响下的诗教，事实上包含两个问题向度：一是传统诗教的适应性，即传统诗教通过调整、转换，寻求合乎现代人生存状态、审美趣味和心理需求的路径；一是依据现代诗歌的特性，找到诗歌与社会文化的连接点，探究诗教的现代意义和方式。
专题01 “四招”判断函数零点个数-2121年高考数学压轴题之函数零点问题(原卷版)
专题一 “四招”判断函数零点个数函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数 的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕函数零点个数的判断问题，例题说法，高效训练.【典型例题】第一招 应用函数性质，判定函数零点个数例 1.已知偶函数 f (x ) = {log 4 x , 0 <x≤ 4f(8 - x ), 4 < x < 8 ，且 f (x - 8) = f (x )，则函数 F (x ) = f (x )- 1 2 x在区间 [-2018, 2018]的零点个数为（）A. 2020B. 2016C. 1010D. 1008第二招 数形结合，判定函数零点个数例 2.【2018 届福建省永春一中、培元、季延、石光中学四校高三上第二次联考】定义在 R 上的函数 f (x )满足 f (x + 2) = f (x )+1，且 x ∈[0,1]时， f (x )= 4x； x ∈(1, 2]时， f (x ) = f (1) . 令xg (x ) = 2 f (x )- x - 4, x ∈[-6, 2]，则函数 g (x )的零点个数为（）A. 7B. 8C. 9D. 10第三招 应用零点存在性定理，判定函数零点个数例 3.【广西桂林市、贺州市、崇左市 2019 届高三下学期 3 月联合调研】已知函数.（1）讨 的单调性； （2）讨在上的零点个数.第四招 构造函数，判定函数零点个数例 4．【山东省菏泽市 2019 届高三上学期期末】已知函数 f （x ）＝l n x +﹣1，a ∈R. （1）当 a ＞0 时，若函数 f （x ）在区间[1，3]上的最小值，求 a 的值；（2）讨论函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数.【规律与方法】函数零点个数的求解与判断：(1)直接求零点：令f (x)= 0 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且f (a)⋅f (b)< 0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．(4)构造函数模型，判断零点个数.构造函数可根据题目不同，直接做差构造函数、分离参数后构造函数、先求导数再构造函数、先换元再构造函数等.【提升训练】1．【浙江省杭州地区(含周边)重点中学2019届高三上期中】已知定义在R上的奇函数，满足当时，则关于x的方满A．对任意，恰有一解B．对任意，恰有两个不同解C．存在，有三个不同解D．存在，无解2．【吉林省延边州2019届高三2月复检测】已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论错误的是( )A．函在上为单调递增函数B．是函的极小值点C．函至多有两个零点D．时，不等恒成立3.已知函数y = f (x )的图像为R 上的一条连续不断的曲线，当x ≠ 0 时，f ' (x )+1f (x )> 0 ，则关于x 的x函数g (x )= f (x )+的零点的个数为（）xA．0 B．1 C．2 D．0 或2 4．【新疆乌鲁木齐市2019届高三一模】已知函数.（Ⅰ）的图像在点处的切线与直平行，求的值；（Ⅱ），讨的零点个数.5．【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次（3月)双基测试】已知函数f（x）=lnx+ax2-x（x＞0，a∈R）．（Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调性；（Ⅱ）求证：当a≤0 时，曲线 y=f（x）上任意一点处的切线与该曲线只有一个公共点．6．【四川省成都石室中学2019届高三第二次模拟】已知函数，.（Ⅰ）当，函图象上是否存在3 条互相平行的切线，并说明理由？（Ⅱ）讨论函的零点个数.7．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】已知，，其中，为自然对数的底数．若函的切线l经点，求l的方程；Ⅱ若函数为递减函数，试判断函数零点的个数，并证明你的结论．8.【辽宁省丹东市2019 届高三总复习质量测试（一)】已知函.（1）当时，讨的单调性；（2）证明：当时只有一个零点 . 9．【云南师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考】已知函数．求的单调区间和极值；当时，证明：对任意的，函有且只有一个零点．10．【2019届高三第一次全国大联考】已知函数（其中）．（1）时，求函的单调区间；（2）当时，求函的极值点；（3）讨论函零点的个数．11．【2019年四川省达州市高考一诊】已知，函数，．求证；讨论函零点的个数．12．【北京延庆区2019届高三一模】已知函数．（1）当时，求曲在处的切线方程；（2）求函的单调区间；（3）时，求函在上区零点的个数.13．【广东省江门市2019届高考模拟（第一次模拟)】设函数，是自然对数的底数，是常数．（1）若，的单调递增区间；（2）讨论曲与公共点的个数．14．【安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月联考】设函数.（1）试讨论函的单调性；：，，（2）若，证明：方程有且仅有3个不同的实数根.（附）。
2020届高三大数据精华浓缩训练卷(四)
2020届高三大数据精华浓缩训练卷（浙江版）专题04 大数据精华浓缩训练卷之浙江卷（4）选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【浙江省温州市2019-2020学年高三11月适应性测试一模】已知全集{1,2,3,4}U =，{1,3}A =，{,3}C 2U B =，则A B =I （ ）A ．{1}B ．{3}C ．{4}D ．{1,3,4}【答案】A 【解析】因为{1,2,3,4}U =,{,3}C 2U B = 所以由补集定义与运算可得{1,4}B = 又因为{1,3}A =根据交集运算可得{1,3}14{}}{1,A B ==I I 故选:A2．【浙江省2019年高考模拟训练卷】已知双曲线2222:1x y C a a-=，则C 的离心率是（ ）A BC ．2D 【答案】B 【解析】∵双曲线方程为2222:1x y C a a-=，∴双曲线为等轴双曲线，∴故选B.3．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】以下不等式组表示的平面区域是三角形的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】A选项：表示的区域如图：不满足题意；B选项：表示的区域如图：不满足题意；C选项：表示的区域如图：不满足题意；D选项：表示的区域如图：满足题意；故选D.4．【浙江省温州九校2019届高三第一次联考】如图，某几何体三视图（单位：）为三个直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角三角形，高为1的三棱锥，∴该几何体的体积为故选：B ．5．【2019年10月浙江省金丽衢十二校零模】己知a ，b 是实数，则“2a >且2b >”是“4a b +>且4ab >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为“2a >且2b >”⇒ “4a b +>且4ab >” “4a b +>且4ab >”¿“2a >且2b >”所以“2a >且2b >”是“4a b +>且4ab >”的充分而不必要条件 故选A6．【2019年9月浙江省超级全能生高三第一次联考】在同一直角坐标系中，函数2y ax bx =+，x b y a-=（0a >且1a ≠）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】对1a >和01a <<分类讨论，当1a >时，对应A,D:由A 选项中指数函数图象可知，002bb a>∴-<，A 选项中二次函数图象不符，D 选项符合；当01a <<时，对应B,C:由指数函数图象可知，00,02bb a a<∴->>，则B ，C 选项二次函数图象不符，均不正确，故选D . 7．【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】若随机变量满足，，则下列说法正确的是 A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】 随机变量满足，，则：，据此可得：. 本题选择D 选项.8．【2019年浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考】在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，使得点A '在平面BCDE上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角A BE C '--的大小为θ，直线A B '，'A C 与平面BCDE 所成的角分别为,αβ，则（ ）A ．βαθ<<B ．βθα<<C ．αθβ<<D ．αβθ<<【答案】D 【解析】如图所示，在矩形ABCD 中，过A 作AF BE ⊥交于点O ，将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，则点A '在面BCDE 内的射影'O 在线段OF 上，设A '到平面BCDE 上的距离为h ，则''h AO =，由二面角、线面角的定义得：'tan h O O θ=，'tan h O B α=，'tan hO Cβ=， 显然'''',O O O B O O O C <<，所以tan θ最大，所以θ最大， 当'O 与O 重合时，max (tan )h OB α=，min (tan )h OCβ=，因为h OB <h OC，所以max (tan )α<min (tan )β，则tan tan αβ<，所以αβ<， 所以αβθ<<，故选D.9．【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】已知平面内任意不共线三点，，，则的值为（ ）A ．正数B ．负数C ．0D ．以上说法都有可能 【答案】B 【解析】.即的值为负数.本题选择B 选项.10．【2020届浙江省绍兴市柯桥区高三上学期期末】已知数列{}n a 满足101a <<，()142n n n a ta t R a ++=∈+，若对于任意*n N ∈，都有103n n a a +<<<，则t 的取值范围是（ ） A ．(]1,3- B ．[]0,3C ．()3,8D ．()8,+∞【答案】B 【解析】用排除法：当3t =时，1432n n n a a a ++=+，明显有0n a >，下面用数学归纳法证明3n a <， 当1n =时，1013a <<<，成立； 假设当n k =时，3k a <成立，则当1n k =+时，143554432232k k k k a a a a ++==-<-=+++，所以当1n k =+时，13k a +<成立， 综上：对任意*n N ∈，都有3n a <；另外()21(3)1434320222n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a +-++++---=-==>+++， 所以1n n a a +<，所以当3t =时，103n n a a +<<<恒成立，排除CD ；当12t =-时，14212n n n a a a +=+-，若1n =，则1214122a a a -=+，因为101a <<，此时20a <是有可能的，故排除A ， 故选：B.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．【2020届浙江省绍兴市柯桥区高三上学期期末】已知复数11z i =-，122z z i ⋅=-，则复数2z =______. 【答案】32i + 【解析】 设2z a bi =+，则12(1)()()()2z z i a bi a b b a i i ⋅=-+=++-=-，21a b b a +=⎧∴⎨-=-⎩，解得3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，232z i∴=+， 故答案为：32i+.12．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末联考】已知复数z 的共轭复数12iz i+=-，则复数z 的虚部是______，z =______．【答案】35- 5【解析】解：由()()()()1211322255i i i z i i i i +++===+--+， 可得1355z i =-， ∴复数z 的虚部是35-，z ==故答案为：35-；5． 13．【2019年浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考】若7280128(2)(21)x x a a x a x a x +-=++++L ，则0a =______，2a =_____.【答案】–2 –154 【解析】令0x =得：02a =-，展开式中含2x 项为：（1）当(2)x +出x ，7(21)x -出含x 项，即1617(2)(1)T x C x =⋅⋅⋅-； （2）当(2)x +出2，7(21)x -出含2x 项，即225272(2)(1)T C x =⋅⋅⋅-； 所以2a =1277224(1)154C C ⋅+⋅⋅⋅-=-，故填：2-；154-.14．【浙江省杭州地区（含周边）重点中学2019-2020学年高三上学期期中】已知角α的终边经过点(P -，则tan α=_________，sin()cos()2ππαα+-=_________.【答案】 34- 【解析】由任意角的三角函数的定义可知tan α==sin()sin παα+=-，cos()cos ()cos()sin 222πππαααα⎡⎤-=--=-=⎢⎥⎣⎦所以223sin()cos()sin 24ππααα⎡⎤⎢⎥+-=-=-=-故答案为：34-15．【浙江省宁波市宁波十校2019-2020学年高三上学期11月月考】已知椭圆221106x y +=，倾斜角为60°的直线与椭圆分别交于A 、B 两点且AB =，点C 是椭圆上不同于A 、B一点，则△ABC 面积的最大值为_____．【解析】由题意，设直线AB 的方程为y m =+，点 A （x 1，y 1），B（x 2，y 2）， 联立方程组221106y mx y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得18x 2+5m 2﹣30＝0，所以x 1+x 29-=，x 1x 2253018m -=．因为AB ==， 代入整理得24m =，解得2m=±， 不妨取：m ＝2，可得直线AB 的方程为2y =+，设与直线AB 平行且与椭圆相切的直线方程为y =+t ，联立方程组221106y t x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得18x 2tx +5t 2﹣30＝0，由△＝300t 2﹣72×（5t 2﹣30）＝0，解得：t ＝±6． 取t ＝﹣6时，与直线AB 平行且与椭圆相切的直线与直线AB的距离4d ==，所以△ABC 面积的最大值12S d AB=142=⨯=，故答案为：9． 16．【浙江省杭州地区（含周边）重点中学2019-2020学年高三上学期期中】设1a >，曲线()xf x a =与曲线()log a g x x =有且仅有一个公共点，则实数a 的值是________. 【答案】1e e 【解析】因为指数函数()xf x a =与对数函数()log a g x x =互为反函数 所以()xf x a =与()log a g x x =关于直线y x =对称由于1a >时，曲线()xf x a =与曲线()log a g x x =有且仅有一个公共点则公共点在直线y x =上即函数()xf x a =，1a >与直线y x =只有一个交点即0x a x -=只有一个根 令()xh x a x =-，1a >()ln 1x h x a a '=-当()log ln a x a >-时，()0h x '> 当()log ln a x a <-时，()0h x '<所以函数()h x 在区间()(,log ln )a a -∞-上单调递减，在区间()()log ln ,a a -+∞上单调递增所以函数()h x 的最小值()()()log ln (log ln )=log ln 0a a a a h a aa --+=即()1ln ln 110ln(ln )1ln ln ln e a a a a e a a e+=⇒=-⇒=⇒= 故答案为：1e e17．【2019年9月浙江省超级全能生高三第一次联考】已知数列{}n a ，满足()21n n na k a a +=-.若1112a k ==，则1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小值是___________，若12a =，且存在常数0M >，使得任意n a M ≤，则k 的取值范围是______________.【答案】12[]11-，【解析】（1）令1y n n x a a +==，，2y x x =-，1n n a a +表示点()1n n a a +，与原点连线的斜率，因为112a =，所以1(0,]2n a ∈，由于()12a a ，为21,(0,]2x y x x ∈=-最高点，所以21a a 最小，等于12.（2）当0k =时，显然存在；当0k ≠时，由12a =，则2M≥ ，由2()y k x x =-图象可知，使得任意n a M ≤成立，则需2,4(),k M k M M M ⎧≤⎪⎨⎪-≤⎩即4,1,1k M k M ⎧≤⎪⎨≤⎪-⎩ 又14(2)1M M M >≥-,所以111k M ≤≤-,故k 的取值范围是11k -≤≤.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．【浙江省杭州市西湖区杭州学军中学2019-2020学年高三上学期期中】已知在ABC △中，1AB =，2AC =．（1）若BAC ∠的平分线与边BC 交于点D ，求()2AD AB AC ⋅-u u u r u u u r u u u r；（2）若点E 为BC 的中点，求2211AE BC+u u u r u u u r 的最小值． 【答案】（1）0；（2）910【解析】（1）因为AD 是角平分线，从而得到12BD AB CD AC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 所以可得2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，所以()21233AD AB AC AB AC ⎛⎫⋅-=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ()20AB AC ⋅-=u u u r u u u r ；（2）在ABE ∆和ACE ∆由用余弦定理可得222cos 2AE BE AB AEB AE BE +-∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，222cos 2AE CE ACAEC AE CE+-∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 而BE CE =u u u r u u u r，cos cos AEB AEC ∠=-∠，所以得到22222222AE BE AB AE CE ACAE BE AE CE+-+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r整理得：224AE BC +u u u r u u u r ()22210AB AC =+=u u u r u u u r22221111110AE BC AE BC ⎛⎫ ⎪∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ()224AE BC +u u ur u u u r2222414110BC AEAE BC ⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r1951010⎛+= ⎝≥ 当且仅当2BC AE =u u u r u u u r时，等号成立.19．【浙江省宁波市宁波十校2019-2020学年高三上学期11月月考】如图，四边形ABCD 为菱形，四边形ACFE 为平行四边形，设BD 与AC 相交于点G ，AB ＝BD ＝AE ＝2，∠EAD ＝∠EAB ．（1）证明：平面ACFE ⊥平面ABCD ；（2）若直线AE 与BC 的夹角为60°，求直线EF 与平面BED 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】（1）证明：连接EG ，因为AB ＝BD ＝AE ＝2，∠EAD ＝∠EAB ， 可得△EAD ≌EAB ，∴ED ＝EB ．∵G 为BD 的中点，所以EG ⊥BD ，因为四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ， ∴BD ⊥平面ACEF ，因为BD ⊂平面ABCD ； ∴平面ACFE ⊥平面ABCD ；（2）因为EF ∥AG ，直线EF 与平面BED 所成角即为AG 与平面BED 所成角； 以G 为原点建立如图所示空间直角坐标系，如图所示， 设E （a ，0，b ）则AE =u u u r（a 3，0，b ）， 因为BC =u u u r3，﹣1，0），所以由条件可得：|AE u u u r |2＝（a 32+b 2＝4且AE u u u r •3BC =-u u ur +3＝2×2×cos 60°＝2；解得3263a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以BE =u u u r 3126），因为DB =u u u r （0，2，0）；所以可取平面BED 的法向量n =r（22，0，﹣1），因为EF AC ==u u u r u u u r（﹣23，0，0），设直线EF 与平面BED 所成角为θ，则sinθ22n EF n EF⋅==⋅u u ur r u u u r r ，∵0＜θ2π≤；∴sosθ2113sin θ=-=； 既直线EF 与平面BED 所成角的余弦值为13．20．【2019年浙江省十校联盟高三上学期10月联考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n ∈N，且164a a a +=，69S =.数列{}n b 满足12b =，()1*122,n n n b b n n ---=≥∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ，并求n T 的最小值.【答案】（Ⅰ）39n a n =-，2n n b =；（Ⅱ）1(312)224n n T n +=-⨯+，最小值2324T T ==-.【解析】（Ⅰ）由()()6163443339S a a a a a =+=+==，得43a =，30a =. 故{}n a 的公差3d =，()3339n a a n d n =+-=-. 即数列{}n a 的通项公式为39n a n =-.当2n ≥时，()()()1211221122222n n n n n n n n b b b b b b b b -----=-+-++-+=++++=L L ，而12b =，故2n n b =，即数列{}n b 的通项公式为2nn b =.（Ⅱ）()()2162323122392n n n T n n -=-⨯-⨯++-⨯+-⨯L ，()()231262323122392n n n T n n +=-⨯-⨯++-⨯+-⨯L ，上述两式相减，得()21123232392nn n T n +-=-+⨯+⋯+⨯--⨯()()()11112324392243122n n n n n +++=-+⨯---⨯=---⨯得()1312224n n T n +=-⨯+.设()13122n n c n +=-⨯，显然当4n ≥时，0n c ≥，24n T ≥，且单调递增.而136c =-，248c =-，348c =-，故n T 的最小值为2324T T ==-.21．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点是(1,0)F ，直线1l ：1y k x =，2l ：2y k x =分别与抛物线C 相交于点A 和点B ，过A ，B 的直线与圆O ：224x y +=相切．（1）求直线AB 的方程（含1k 、2k ）；（2）若线段OA 与圆O 交于点M ，线段OB 与圆O 交于点N ，求MON S ∆的取值范围． 【答案】（1）1212()40k k x k k y -++=；（2）452] 【解析】（1）焦点是(1,0)F ，可得12p=，即2p =，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 抛物线方程为24y x =，联立1y k x =，可得21144(,)A k k ，同理可得22244(,)B k k ， 若AB 斜率存在，可得12121212AB y y k kk x x k k -==-+，AB 的方程为122112144()k k y x k k k k -=-+，化为1212()40k k x k k y -++=， AB 的斜率不存在时，也满足上面的方程，则直线AB 的方程为1212()40k k x k k y -++=；（2）过A ，B 的直线与圆O ：224x y +=相切，可得2d r ===，化简为221212()()4k k k k ++=，即有1220k k -≤<，cos ||||OA OB AOB OA OB ⋅∠==⋅u u u r u u u r u u uru u u r =，由221212()()4k k kk ++=，可得cos AOB ∠=，22121212()44sin 52k k k k MON k k --+∠=-，设1252(5,9]t k k =-∈，则222121212()444sin 452MONk k k k S MON k k ∆--+=∠=⋅-2(5)2(5)444t t t----+=⋅218494918()184t t t t t-+-==-+≤-=，当7t =取等号，即121[2,0)k k =-∈-，所以max ()2MON S ∆=， 又2491618(5)55MON S ∆>-+=，即MON S ∆>，即有MON S ∆的取值范围为2]. 22．【2020届浙江省湖州市高三上学期期末】已知函数()()2log ln a f x x x x =+-，1a >. （1）求证：()f x 在()1,+∞上单调递增；（2）若关于x 的方程()1f x t -=在区间()0,∞+上有三个零点，求实数t 的值；（3）若对任意的112,,x x a a -⎡⎤∈⎣⎦，()()121f x f x e -≤-恒成立（e 为自然对数的底数），求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析，（2）2t =，（3）(]1,e【解析】 （1）()()2ln 1'21ln x f x xx a =⋅+-,∵1x >,∴()'0f x >,故()f x 在()1,+∞上单调递增.（2）()()()()2222ln ln ln 'ln x x a a f x x a +-=,令()()()222ln ln ln g x x x a a =+-,()()22'ln 0g x a x=+>,()10g =, 故当()0,1x ∈,()'0g x <,()1,x ∈+∞,()'0g x >,即()f x 在()0,1x ∈上单调递减；在()1,x ∈+∞上单调递增.()11f =, 若()()11f x t f x t -=⇔=±在区间()0,∞+上有三个零点,则11t -=,2t =. （3）()f x 在1,1x a -⎡⎤∈⎣⎦上单调递减；在(]1,x a ∈上单调递增.故()()min 11f x f ==,()()max 1max ,f x f f a a ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 令()()112ln h a f f a a a a a ⎛⎫=-=+-⎪⎝⎭,∴()0h a <, 故()max 1ln f x a a =+-,∴ln 1ln 1a a e a a e -≤-⇒-≤-, 因为1a >,设()ln a a a ϕ=-则1'()10a aϕ=->,故()ln a a a ϕ=-为增函数, 又()ln 1e e e e ϕ=-=-. ∴(]1,a e ∈.。
2022-2023学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省名校联盟高二（下）期中数学试卷（B 卷）一、选择题（共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1．若集合A ＝{x ∈Z |ln （x ﹣2）≤1}，则集合A 的子集个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．82．已知复数z 满足z （1+i ）＝2i ，则复数z 在复平面内对应点所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．把函数y ＝sin3x 的图象向左平移π6，可以得到的函数为（ ） A ．y =sin(3x +π6) B ．y =sin(3x −π6) C ．y ＝cos3xD ．y ＝cos （3x +π6）4．已知f(x)={e x−2，x ≤3log 5(x −1)，x ＞3，则f （f （126））等于（ ）A ．log 52B ．1eC ．eD ．15．已知向量a →=(√3，1)，向量a →−b →=(√3+1，√3+1)，则a →与b →的夹角大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．在（x 2√x ）6展开式中，常数项为（ ）A ．﹣192B ．﹣160C ．60D ．2407．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是（ ） A ．150B ．125C ．1825D ．149508．已知a ，b 为正实数，直线y ＝x ﹣2a 与曲线y ＝ln （x +b ）相切，则1a+2b的最小值是（ ）A ．8B ．4√2C ．6D ．2√2二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知函数f （x ）＝﹣x 3+3x 2，则（ ） A ．f （x ）在（0，1）上单调递增 B ．f （x ）的极小值为2 C ．f （x ）的极大值为﹣2D ．f （x ）有2个零点10．为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（ ）A ．甲乙丙三人选择课程方案有120种方法B ．恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为59C ．已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为2536D ．设三名同学选择课程“礼”的人数为ξ，则Eξ=1211．函数f （x ）=12x +cos x （x ＞0）的所有极值点从小到大排列成数列{a n }，设S n 是{a n }的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．a 4=17π6C ．sin S 2021=12D ．tan （a 3+a 7）=√3312．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，抛物线C 上存在n 个点P 1，P 2，⋯，P n （n ≥2且n ∈N *）满足∠P 1FP 2＝∠P 2FP 3＝…＝∠P n ﹣1 FP n ＝∠P n FP 1=2πn ，则下列结论中正确的是（ ） A ．n ＝2时，1|P 1F|+1|P 2F|=2B ．n ＝3时，|P 1F |+|P 2F |+|P 3F |的最小值为9C ．n ＝4时，1|P 1F|+|P 3F|+1|P 2F|+|P 4F|=14D ．n ＝4时，|P 1F |+|P 2F |+|P 3F |+|P 4F |的最小值为8三、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知函数g(x)=a5x−1+6为奇函数，则实数a ＝ ． 14．已知抛物线C ：4x 2+my ＝0恰好经过圆M ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1的圆心，则抛物线C 的焦点坐标为 ． 15．若双曲线C 的方程为x 24−y 25=1，记双曲线C 的左、右顶点为A ，B ．弦PQ ⊥x 轴，记直线P A 与直线QB 交点为M ，其轨迹为曲线T ，则曲线T 的离心率为 ．16．已知函数f （x ）＝|xe x +1|，若关于x 方程f 2（x ）﹣2tf （x ）+2＝0（t ∈R ）有两个不同的零点，则实数t 的取值范围为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验．每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学能通过测验的概率均为35．试求：（Ⅰ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（Ⅱ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．18．（12分）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2√6，CD =√6，cos A =√63， cos ∠ADB =13． （Ⅰ）求cos ∠BDC ； （Ⅱ）求BC 的长．19．（12分）已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足a n （2S n ﹣a n ）＝1（n ∈N *）． （1）求证：数列{S n 2}是等差数列，并求出S n 的表达式； （2）数列{a n }中是否存在连续三项a k ，a k +1，a k +2，使得1a k ，1a k+1，1a k+2构成等差数列？请说明理由．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的焦距为2√3b ，经过点P （﹣2，1）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M ，N 满足OM →=NO →，直线PM ，PN 分别交椭圆于AB ，PQ ⊥AB ，Q 为垂足，是否存在定点R ，使得|QR |为定值，说明理由． 21．（12分）已知函数f （x ）＝（1﹣x ）e x +alnx ．（1）当a ＝0时，求f （x ）在（1，f （1））处的切线方程； （2）若f （x ）存在大于1的零点x 0，设f （x ）的极值点为x 1； ①求a 的取值范围； ②证明：3x 1＞2x 0．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣xln （x +a ）﹣ae 2x （x ≥0，a ≥1），f （x ）的导函数为g （x ）． （1）若g （x ）存在极值点，求a 的取值范围；（2）设f （x ）的最小值为m ，g （x ）的最小值为n ，证明：m ＜n ．2022-2023学年浙江省名校联盟高二（下）期中数学试卷（B 卷）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1．若集合A ＝{x ∈Z |ln （x ﹣2）≤1}，则集合A 的子集个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．8解：由A ＝{x ∈Z |ln （x ﹣2）≤1}＝{x ∈Z |0＜x ﹣2≤e }＝{x ∈Z |2＜x ≤e +2}＝{3，4}， ∴集合A 的子集有∅，{3}，{4}，{3，4}，共4个． 故选：B ．2．已知复数z 满足z （1+i ）＝2i ，则复数z 在复平面内对应点所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵z （1+i ）＝2i ，∴z =2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i ， ∴复数z 在复平面内对应点（1，1）所在象限是第一象限． 故选：A ．3．把函数y ＝sin3x 的图象向左平移π6，可以得到的函数为（ ）A ．y =sin(3x +π6) B ．y =sin(3x −π6) C ．y ＝cos3xD ．y ＝cos （3x +π6）解：把函数y ＝sin3x 的图象向左平移π6，可以得到的图象对应函数为y ＝sin （3x +π2）＝cos3x ， 故选：C ．4．已知f(x)={e x−2，x ≤3log 5(x −1)，x ＞3，则f （f （126））等于（ ）A ．log 52B ．1eC ．eD ．1解：∵f(x)={e x−2，x ≤3log 5(x −1)，x ＞3，∴f （126）＝log 5（126﹣1）＝3，∴f （f （126））＝f （3）＝e 3﹣2＝e ，故选：C ．5．已知向量a →=(√3，1)，向量a →−b →=(√3+1，√3+1)，则a →与b →的夹角大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：根据题意，设a →与b →的夹角为θ，向量a →=(√3，1)，a →−b →=(√3+1，√3+1)，则b →=a →−（a →−b →）＝（﹣1，−√3）， 则|a →|＝2，|b →|＝2，a →•b →=−2√3，则cos θ=a →⋅b→|a →||b →|=−√32，又由0°≤θ≤180°，则θ＝150°， 故选：D ．6．在（x 2√x ）6展开式中，常数项为（ ）A ．﹣192B ．﹣160C ．60D ．240解：∵由T r +1=C 6r •x 6﹣r •（2√x ）r =C 6r •2r •（﹣1）r •x 6−32r ，∴当6−32r ＝0时得r ＝4，∴二项式（x 2√x）6展开式中，常数项为C 64×24×（﹣1）4＝240． 故选：D ．7．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是（ ） A ．150B ．125C ．1825D ．14950解：在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，基本事件总数n =C 1002=4950， 2张都能中奖包含的基本事件个数m =C 42=6，则2张都能中奖的概率是P =m n =64950=1825．故选：C ．8．已知a ，b 为正实数，直线y ＝x ﹣2a 与曲线y ＝ln （x +b ）相切，则1a+2b 的最小值是（ ）A ．8B ．4√2C ．6D ．2√2解：设切点为（m ，n ），y ＝ln （x +b ）的导数为y ′=1x+b， 由题意可得1m+b=1，又n ＝m ﹣2a ，n ＝ln （m +b ），解得n ＝0，m ＝2a ，即有2a +b ＝1，则1a +2b =（1a +2b）（2a +b ）＝4+ba +4ab ≥4+2√b a ⋅4ab =8，当且仅当ba=4a b ，即b =12，a =14时等号成立，所以1a+2b的最小值为8．故选：A ．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知函数f （x ）＝﹣x 3+3x 2，则（ ） A ．f （x ）在（0，1）上单调递增 B ．f （x ）的极小值为2 C ．f （x ）的极大值为﹣2D ．f （x ）有2个零点解：由f （x ）＝﹣x 3+3x 2可得f ′（x ）＝﹣3x 2+6x ＝﹣3x （x ﹣2）， 由f ′（x ）＞0可得0＜x ＜2，由f ′（x ）＜0可得x ＜0或x ＞2，故f （x ）在（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递减，在（0，2）上单调递增， f （x ）有极小值f （0）＝0，极大值f （2）＝4， 故A 正确，B ，C 错误；f （x ）＝0有两解，x 1＝0，x 2＝3，则f （x ）有2个零点，故D 正确； 故选：AD ．10．为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（ ） A ．甲乙丙三人选择课程方案有120种方法B ．恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为59C ．已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为2536D ．设三名同学选择课程“礼”的人数为ξ，则Eξ=12解：选项A ：甲乙丙三人每人都有6中选择，共有6×6×6＝216种，故A 错误， 选项B ：恰有三门课程没有被三名同学选中即3名学生选择了不同的三门， 则概率为P =A 6363=59，故B 正确，选项C ：甲不选择课程“御”的概率为1−16=56，甲乙丙同时不选择课程“御”的概率为5363=125216，则甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为12521656=2536，故C 正确，选项D ：由于各门机会相等，则6E （ξ）＝3，所以E （ξ）=12，故D 正确， 故选：BCD ．11．函数f （x ）=12x +cos x （x ＞0）的所有极值点从小到大排列成数列{a n }，设S n 是{a n }的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．a 4=17π6C ．sin S 2021=12D ．tan （a 3+a 7）=√33解：f ′(x)=12−sinx ， 令f ′（x ）＝0可得x =π6+2kπ或x =5π6+2kπ，k ∈Z ， 易得函数的极值点为x =π6+2kπ或x =5π6+2kπ，k ∈Z ， 从小到大为π6，5π6，13π6⋯，不是等差数列，A 错误；a 4=5π6+2π=17π6，B 正确； S 2021＝a 1+a 2+…+a 2021=π6+5π6+13π6+17π6+⋯+π6+2020×2π， ＝（π6+13π6+⋯+π6+2020×2π）+（5π6+17π6+⋯+5π6+2019×2π），=π6×1011+2π×1010+5π6×1009+1009×2π，则根据诱导公式得sin S 2021＝sin （π6×1011+2π×1010+5π6×1009+1009×2π）＝sin π6=12，C 正确；tan （a 3+a 7）＝tan （13π6+π6+6π）＝tan π3=√3，D 错误．故选：BC ．12．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，抛物线C 上存在n 个点P 1，P 2，⋯，P n （n ≥2且n ∈N *）满足∠P 1FP 2＝∠P 2FP 3＝…＝∠P n ﹣1 FP n ＝∠P n FP 1=2πn，则下列结论中正确的是（ ） A ．n ＝2时，1|P 1F|+1|P 2F|=2B ．n ＝3时，|P 1F |+|P 2F |+|P 3F |的最小值为9C ．n ＝4时，1|P 1F|+|P 3F|+1|P 2F|+|P 4F|=14D ．n ＝4时，|P 1F |+|P 2F |+|P 3F |+|P 4F |的最小值为8解：当n ＝2时，∠P 1FP 2＝∠P 2FP 1＝π，此时不妨到P 1P 2过焦点垂直于x 轴， 不妨取P 1（1，2），P 2（1，﹣2），则1|P 1F|+1|P 2F|=12+12=1，故A 错误；n ＝3时，∠P 1FP 2＝∠P 2FP 3＝∠P 3FP 1=2π3，此时不妨设P 1，P 2，P 3在抛物线上逆时针排列，设∠P 1Fx ＝α，α∈（0，π2），则|P 1F |=21−cosα，则|P 2F |=21−cos(α+2π3)，|P 3F |=21−cos(α+4π3)， ∴|P 1F |+|P 2F |+|P 3F |=21−cosα+21−cos(α+2π3)+21−cos(α+4π3)=21−cosα+4(1+12cosα)(cosα+12)2， 令t ＝cos α+12，t ∈（12，32），则|P 1F |+|P 2F |+P 3F |=43−2t +2t+3t 2，令f （t ）=43−2t +2t+3t 2，则f ′（t ）=8(3−2t)2−2t+6t 3=−27(t−1)(3−2t)2t3， 当12＜t ＜1时，f ′（t ）＞0，f （t ）递增，当1＜t ＜32时，f ′（t ）＜0，f （t ）递减， 故f （t ）min ＝f （1）＝9，故t ＝1，即cos α=12，α=π3时，∴|P 1F |+|P 2F |+P 3F |取到最小值9，故B 正确； n ＝4时，∠P 1FP 2＝∠P 2FP 3＝∠P 3FP 4+∠P 4FP 1=π2，此时不妨设P 1，P 2，P 3，P 4在抛物线上逆时针排列，设∠P 1Fx ＝θ，θ∈（0，π2），|P 1F |=21−cosθ，则|P 2F |=21−cos(θ+π2)=21+sinθ，|P 3F |=21−cos(θ+π)，|P 4F |=21−cos(θ+3π2)=21−sinθ， |P 1F |+|P 3F |=21−cos(θ+π)+21−cosθ=21+cosθ+21−cosθ=4sin 2θ， |P 2F |+|P 4F |=21−sinθ+21+sinθ=4cos 2θ，∴1|P 1F|+|P 3F|+1|P 2F|+|P 4F|=14，故C 正确；由C 的分析可知|P 1F |+|P 3F |+|P 2F |+|P 4F |==4sin 2θ+4cos 2θ=4sin 2θcos 2θ=16sin 22θ≥16， 当sin 22θ＝1时，取等号，故D 错误． 故选：BC ．三、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知函数g(x)=a5x−1+6为奇函数，则实数a ＝ 12 ． 解：依题意知g(x)=a 51−1+6为奇函数，∴g （﹣1）+g （1）＝0，即a5−1−1+6+a 51−1+6=0，∴a ＝12，经检验符合题意， 故答案为：12．14．已知抛物线C ：4x 2+my ＝0恰好经过圆M ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1的圆心，则抛物线C 的焦点坐标为 (0，18) ．解：圆M ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1的圆心（1，2）， 代入抛物线方程可得：4+2m ＝0，解得m ＝﹣2， 所以抛物线C ：x 2=12，焦点坐标为(0，18)． 故答案为：(0，18)． 15．若双曲线C 的方程为x 24−y 25=1，记双曲线C 的左、右顶点为A ，B ．弦PQ ⊥x 轴，记直线P A 与直线QB 交点为M ，其轨迹为曲线T ，则曲线T 的离心率为 √55． 解：设P （x 0，y 0），则Q （x 0，﹣y 0）， 设M （x ，y ），又A （﹣2，0），B （2，0）， ∴直线P A 的方程为y =y 0x 0+2(x +2)，① 直线QB 的方程为y =−y 0x 0−2(x −2)，② 由①得，yx+2=y 0x 0+2，由②得，yx−2=−y 0x 0−2，两式相乘可得y 2x 2−4=−y 02x 02−4， 又P （x 0，y 0）在双曲线x 24−y 25=1上，∴x 024−y 025=1，得y 02x 02−4=54，∴y 2x 2−4=−54，即x 24+y 25=1，其离心率e =√55． 故答案为：√55． 16．已知函数f （x ）＝|xe x +1|，若关于x 方程f 2（x ）﹣2tf （x ）+2＝0（t ∈R ）有两个不同的零点，则实数t 的取值范围为 （√2，32） ．解：令g （x ）＝xe x +1，g ′（x ）＝e x +1+xe x +1＝（1+x ）e x +1，所以在（﹣1，+∞）上，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增， 在（﹣∞，﹣1）上，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减， 所以g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣e ﹣1+1＝﹣1，又g （0）＝0，所以作出g （x ）与f （x ）的图像如下：f （﹣1）＝1，令k ＝f （x ）（k ＞0），则方程f 2（x ）﹣2tf （x ）+2＝0（t ∈R ）为k 2﹣2tk +2＝0（t ∈R ），则2t =k 2+2k =k +2k ，令g （k ）＝k +2k，作出g （k ）的图像：当0＜2t ＜2√2，即0＜t ＜√2时，y ＝2t 与g （k ）＝k +2k没有交点， 所以方程2t ＝k +2k无根，则k ＝f （x ）（k ＞0）无解，不合题意． 当2t ＝2√2，即t =√2时，y ＝2t 与g （k ）＝k +2k有1个交点，所以方程2t ＝k +2k 有1个根为k =√2，则k ＝f （x ）（k ＞0）有1个解，不合题意． 当2t ＞2√2，即t ＞√2时，y ＝2t 与g （k ）＝k +2k 有2个交点， 所以方程2t ＝k +2k有2个根为0＜k 1＜√2，k 2＞√2，若k 1＝1时，则k 1＝f （x ）（k ＞0）有2个解，k 2＝f （x ）（k ＞0）有1个解， 所以k ＝f （x ）有3个解，不合题意．若0＜k 1＜1时，则k 1＝f （x ）（k ＞0）有3个解，k 2＝f （x ）（k ＞0）有1个解， 所以k ＝f （x ）有4个解，不合题意．若k 1＞1时，则k 1＝f （x ）（k ＞0）有1个解，k 2＝f （x ）（k ＞0）有1个解， 所以k ＝f （x ）有2个解，合题意． 2t ＜g （1）＝3，且2t ＝g （√2）=√2+2=2√2， 所以√2＜t ＜32，综上所述，t 的取值范围为（√2，32）．故答案为：（√2，32）．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验．每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学能通过测验的概率均为35．试求：（Ⅰ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（Ⅱ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率． 解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生的所有事件是从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验共有C 103种结果， 满足条件的事件是选出的3位同学中至少有一位男同学，它的对立事件是选出的3位同学中没有男同学共有C 63种结果，∴根据古典概型的公式得到随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为1−C 63C 103=56；（Ⅱ）∵由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生的所有事件是从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验共有C 103种结果， 10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中表示再从另外的八人中选一人，共有C 81种结果， ∴10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中的概率是C 81C 103∴甲、乙被选中且能通过测验的概率为C 81C 103×45×35=4125．18．（12分）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2√6，CD =√6，cos A =√63，cos ∠ADB =13． （Ⅰ）求cos ∠BDC ； （Ⅱ）求BC 的长．解：（Ⅰ）因为AB ∥CD ，cos A =√63，cos ∠ADB =13，所以sin A =√1−cos 2A =√33，sin ∠ADB =√1−cos 2∠ADB =2√23，cos ∠BDC ＝cos[π﹣（A +∠ADB ）]＝﹣cos （A +∠ADB ）＝sin A sin ∠ADB ﹣cos A cos ∠ADB =√33×2√23−√63×13=√69．（Ⅱ）由已知及正弦定理BDsinA=AB sin∠ADB，可得√33=√62√23，解得BD ＝3，由于cos ∠BDC =√69，CD =√6，在△BCD 中，由余弦定理可得BC =√CD 2+BD 2−2CD ⋅BD ⋅cos∠BDC =√6+9−2×√6×3×√69=√11．19．（12分）已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足a n （2S n ﹣a n ）＝1（n ∈N *）． （1）求证：数列{S n 2}是等差数列，并求出S n 的表达式； （2）数列{a n }中是否存在连续三项a k ，a k +1，a k +2，使得1a k ，1a k+1，1a k+2构成等差数列？请说明理由．解：（1）证明：依题意，正项数列{a n }中，a 12=1，即a 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，即（S n ﹣S n ﹣1）[2S n ﹣（S n ﹣S n ﹣1）]＝1， 整理，得S n 2−S n−12=1，又S 12=a 12=1， ∴数列{S n 2}是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴S n 2=n ，∵数列{a n }是正项数列，∴S n =√n ； （2）数列{a n }中不存在连续三项a k ，a k +1，a k +2，使得1a k，1a k+1，1a k+2构成等差数列．理由如下：当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1=√n −√n −1， ∵a 1＝1，即∀n ∈N *，都有a n =√n −√n −1， ∴1a n=√n−√n−1=√n +√n −1，假设数列{a n }中存在连续三项a k ，a k +1，a k +2，使得1a k，1a k+1，1a k+2构成等差数列，则2（√k +1+√k ）=√k +√k −1+√k +2+√k +1，即√k +1+√k =√k −1+√k +2， 两边同时平方，得k +1+k +2√k +1⋅√k =k ﹣1+k +2+2√k −1⋅√k +2， ∴（k +1）k ＝（k ﹣1）（k +2），整理得k 2+k ＝k 2+k ﹣2，∴0＝﹣2，不成立，故假设错误， ∴数列{a n }中不存在连续三项a k ，a k +1，a k +2，使得1a k，1a k+1，1a k+2构成等差数列．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的焦距为2√3b ，经过点P （﹣2，1）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M ，N 满足OM →=NO →，直线PM ，PN 分别交椭圆于AB ，PQ ⊥AB ，Q 为垂足，是否存在定点R ，使得|QR |为定值，说明理由．解：（1）由题意可得{2c =2√3b4a 2+1b2=1a 2=b 2+c 2，解得：a 2＝8，b 2＝2， 所以椭圆的标准方程为：x 28+y 22=1；（2）当M ，N 分别为椭圆的短轴上的端点时，设M （0，√2），N （0，−√2）， 则可得直线AB 为y 轴，由PQ ⊥AB 可得Q 在y 轴上，当M ，N 表示短轴的端点时，设直线AB 的方程为y ＝kx +t ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x 28+y 22=1y =kx +t，整理可得：（1+4k 2）x 2+8ktx +4t 2﹣8＝0，x 1+x 2=−8kt 1+4k2，x 1x 2=4t 2−81+4k2，直线P A ：y ﹣1=y 1−1x 1+2（x +2）=kx 1+t−1x 1+2（x +2），令x ＝0可得y =(1+2k)x 1+2tx 1+2， 即M （0，(1+2k)x 1+2tx 1+2）同理可得N （0，(1+2k)x 2+2tx 2+2），由题意OM →=NO →，所以(1+2k)x 1+2tx 1+2+(1+2k)x 2+2tx 2+2=0整理可得：（4k +2）x 1x 2+（4k +2t +2）（x 1+x 2）+8t ＝0， 代入可得：（4k +2）（4t 2−81+4k 2）+（4k +2+2t ）（−8kt 1+4k2）+8t ＝0，整理可得：k （﹣4﹣2t ）+t 2﹣2+t ＝0， 当时，不论k 为何时都成立， 即t ＝﹣2时恒成立，这时直线AB 的方程为：y ＝kx ﹣2， 所以直线AB 恒过T （0，﹣2）， 因为PQ ⊥AB ，所以PQ ⊥QT ， 所以Q 是以PT 为直径的圆上的点，又因为P （﹣2，1），所以它的圆心为（﹣1，−12）， 所以设R （﹣1，−12），则|QR|为定值，使|QR|=12|PT|，所以存在R使得|QR|为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝（1﹣x）e x+alnx．（1）当a＝0时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）存在大于1的零点x0，设f（x）的极值点为x1；①求a的取值范围；②证明：3x1＞2x0．解：（1）当a＝0时，f（x）＝（1﹣x）e x，则f'（x）＝﹣e x+（1﹣x）e x＝﹣xe x，∴f'（1）＝﹣e，又f（1）＝0，∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y＝﹣e（x﹣1），即ex+y﹣e＝0．（2）①由题意知：f（x）定义域为（0，+∞），f′(x)=−xe x+a x ；令g（x）＝f'（x），则g′(x)=−(x+1)e x−ax2；当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意；当a＞0时，g'（x）＜0恒成立，∴f'（x）在（0，+∞）上单调递减，∵f（x）存在极值点x1，∴f′(x1)=−x1e x1+a x1=0，即a=x12e x1；且当x∈（0，x1）时，f'（x）＞0；当x∈（x1，+∞）时，f'（x）＜0；∴f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，+∞）上单调递减；∵f（1）＝0，f（x）存在大于1的零点x0，∴1＜x1＜x0；则需f(x1)=(1−x1)e x1+alnx1＞0，又a=x12e x1，∴(1−x1)e x1+x12e x1lnx1＞0，即x12lnx1+1−x1＞0，又x1＞1，∴lnx1+1x12−1x1＞0，令t=1x1，则t∈（0，1），t2﹣t﹣lnt＞0；令φ（t）＝t2﹣t﹣lnt（0＜t＜1），则φ′(t)=2t−1−1t=(2t+1)(t−1)t＜0，∴φ（t）在（0，1）上单调递减，∴φ（t）＞φ（1）＝0，即当x1＞1时，f（x1）＞0恒成立；令m（x）＝x2e x（x＞1），则m'（x）＝x（x+2）e x＞0，∴m（x）在（1，+∞）上单调递增，∴m（x）＞m（1）＝e，∴当a＞e时，方程a=x12e x1有解；∴实数a的取值范围为（e，+∞）；②证明：由①知：x1＞1，a=x12e x1，则f(32x1)=(1−32x1)e3x12+x12e x1ln3x12=e x1[(1−32x1)ex12+x12ln3x12]，令ℎ(x)=(1−32x)e x2+x 2ln3x2(x ＞1)， 则ℎ′(x)=−32e x 2+12(1−32x)e x 2−2xln 3x 2−x 2⋅3232x =−(1+34x)e x 2−x(2ln 3x 2+1)； ∵1+34x ＞0，e x 2＞0，2ln 3x 2+1＞2ln 32+1＞0，∴h '（x ）＜0，∴h （x ）在（1，+∞）上单调递减，∴ℎ(x)＜ℎ(1)=−12e 12−ln 32＜0，又x 1＞1，∴ℎ(x 1)=(1−32x 1)e x12−x 12ln 3x 12＜0，∴f(32x 1)＜0，又f （x 0）＝0，∴f(32x 1)＜f(x 0)，∵32x 1＞x 1，x 0＞x 1，f （x ）在（x 1，+∞）上单调递减，∴32x 1＞x 0，即3x 1＞2x 0．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣xln （x +a ）﹣ae 2x （x ≥0，a ≥1），f （x ）的导函数为g （x ）． （1）若g （x ）存在极值点，求a 的取值范围；（2）设f （x ）的最小值为m ，g （x ）的最小值为n ，证明：m ＜n ． 解：（1）因为函数f （x ）＝e x ﹣xln （x +a ）﹣ae 2x （x ≥0，a ≥1），所以f ′(x)=e x −[ln(x +a)+x ⋅1x+a ]−ae 2，即g(x)=e x −ln(x +a)−xx+a −ae 2， 则g ′（x ）＝e x −1x+a −x+a−x (x+a)2=e x−1x+a −a (x+a)2，g （x ）存在极值点，即g ′（x ）＝0有实数根，即e x −1x+a −a (x+a)2=0有实数根，即e x =1x+a +a(x+a)2有实数根， 令h （x ）=1x+a +a (x+a)2，x ∈[0，+∞），则h ′（x ）=−1(x+a)2−2a (x+a)3=−[1(x+a)2+2a (x+a)3]＜0，所以h （x ）在[0，+∞）上单调递减，因为y ＝e x 在[0，+∞）上单调递增，所以要使e x =1x+a +a (x+a)2在[0，+∞）上有实数根，只需e 0≤h （x ），即e 0≤10+a +a(0+a)2即可，解得a ≤2，所以1≤a ≤2，即a 的取值范围为[1，2]． （2）证明：由（1）知，h （x ）=1x+a +a (x+a)2在[0，+∞）上单调递减，y ＝e x 在[0，+∞）上单调递增， 所以g ′（x ）＝e x ﹣[1x+a+a (x+a)2]在[0，+∞）上单调递增，因为g ′(0)=e 0−[10+a +a (0+a)2]=1−2a ≤0，g ′（1）＝e 1﹣[11+a+a (1+a)2]＞e ﹣（1+1）＞0，所以存在x 0∈[0，1），使g '（x 0）＝0，则当0≤x＜x0时，g′（x0）＜0，当x＞x0时，g'（x0）＞0，所以g（x）在[0，x0）上单调递减，在[x0，+∞）上单调递增，所以g(x)min=g(x0)=e x0−ln(x0+a)−x0x0+a−ae2，即n=e x0−ln(x0+a)−x0x0+a−ae2，x0∈[0，1)，因为g(0)=e0−ln(0+a)−0+a−ae2=1−lna−ae2＜0，g（2）＝e2﹣ln（2+a）−22+a −ae2＝e2﹣ae2﹣ln（2+a）−22+a=（1﹣a）e2﹣ln（2+a）−22+a＜0，所以存在x1∈（2，+∞），使g（x1）＝0，则当0≤x＜x1时，g（x）＜0，当x＞x1时，g（x）＞0，所以f（x）在[0，x1）上单调递减，在[x1，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（x1）＜f（2）＝e2﹣2ln（2+a）﹣2ae2，即m＜e2﹣2ln（2+a）﹣2ae2，令k＝e2﹣2ln（2+a）﹣2ae2，要证m＜n，只需证k＜n，因为n﹣k=e x0−ln（x0+a）−x0x0+a−ae2﹣[e2﹣2ln（2+a）﹣2ae2]=e x0−ln（x0+a）−x0x0+a−e2+2ln（2+a）+ae2＝（a﹣1）e2+[2ln（2+a）﹣ln（x0+a）]+（e x0−x0x0+a），令φ（x）＝e x−xx+a，x∈[0，1），则φ′（x）＝e x−x+a−x(x+a)2=e x−a(x+a)2＞e x﹣1＞0，所以φ（x）在[0，1）上单调递增，φ（x）≥φ（0）＝1＞0，所以e x0−x0x0+a＞0，n﹣k＝（a﹣1）e2+[2ln（2+a）﹣ln（x0+a）]+(e x0−x0x0+a)＞0，即k＜n，即m＜n．。
浙江省杭州地区含周边重点中学2024_2025学年高一数学上学期期中试题
浙江省杭州地区（含周边）重点中学2024-2025学年高一数学上学期期中试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名；3.全部答案必需写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,3,4,5A =，{}2,3,6,7B =，则()UA B ⋂=（）A.{}1,4B.{}1,5C.{}4,5D.{}1,4,5 2.命题“0x ∃>，23x x >”的否定是（） A.0x ∀>，23x x ≤ B.0x ∀≤，23x x ≤ C.0x ∃>，23x x ≤D.0x ∃≤，23x x ≤3.下列函数与()1f x x =+是同一个函数的是（）A.()211x g x x -=-B.()1g x =+C.()21g x =+D.()1g x =4.若,a b ∈R ，则“228a b +≤”是“4ab ≤”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.我国闻名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休."在数学的学习和探讨中，常用函数的图象来探讨函数的性质，也常用函数的解析式来探讨函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A.()211f x x =+ B.()11f x x =- C.()211f x x =- D.()11f x x =- 6.已知函数()f x =对随意两个不相等的实数[)12,2,x x ∈+∞，都有不等式()()21210f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（）A.()0,+∞B.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C.1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7.设函数()()22332321x x a x bx f x x --+-+=+，若()115f =，则()1f -的值为（）A.9-B.11-C.13-D.15-8.已知奇函数()f x 在R 上单调递增，对[]2,2a ∀∈-，关于x 的不等式()()20f a f x ax b x+++>在[)(]2,00,2x ∈-⋃上有解，则实数b 的取值范围为（）A.2b >或1b <-B.6b <-或3b >C.13b -<<D.2b <-或3b >二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省杭州地区(含周边)重点中学2018-2019学年第一学期高三期中考试数学试题
5. 已知等差数列{������������ }的前 n 项和为������������ ，������5 = −5，������9 = −27，{������������ }为等比数列，且������3 = ������3，������5 = ������5，则������9的值 为( )
A. −9
浙江省杭州地区(含周边)重点中学 2018-2019 学年第一学期高三
期中考试数学试题（解析版）
一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）
1. 设全集������ = {0,1，2，3，4}，集合������ = {1,2，3}，集合������ = {1,4}，则(∁������������) ∪ ������ = ( )
A. {0} C. {0,1，4}
B. {0,4} D. {0,1，2，3，4}
【答案】C 【解析】解：∁������������ = {0,4}； ∴ (∁������������) ∪ ������ = {0,1，4}． 故选：C． 进行补集、并集的运算即可． 考查列举法表示集合的定义，以及并集和补集的运算．
而当������
������
>
1，时，例如取������
=
−2，������
=
−1，显然不能推出������
>
������
>
0．
故������
������
>
1是������
>
������
>
0的必要不充分条件．
第 1 页，共 13 页
故选：B．
������
>
������
>
0，可推出������������
2017学年第一学期中杭州地区含周边重点中学
2017学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学高一年级化学学科试题命题：兰溪一中严茜浦江中学张文龙审核：桐庐中学施小萍终校：桐庐中学姜永良考生须知：1．本卷满分100分，考试时间90分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 S-32 Cl-35．5 K-39 Br-80 Ba-137第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本题包括25小题，每小题2分，每小题只有一个选项符合题意）1．下列说法正确的是A．碱性氧化物一定是金属氧化物B．可根据分子中所含的氢原子数目将酸分成一元酸、二元酸与多元酸C．能与水反应生成酸的氧化物称为酸性氧化物D．HD、CaCl2、NaOH、HCl四种物质都属于化合物2．下列化学反应中，水作为还原剂的是A．CO+H2O 高温CO2+H2B．3NO2+H2O===2HNO3+NOC．CO2+H2O===H2CO3D．2F2+2H2O===4HF+O23．2017年诺贝尔生理学或医学奖颁发给了杰弗里•霍尔等三位美国科学家以表彰他们在研究生物钟运行的分子机制方面的成就，褪黑激素（C13H16N2O2）就是控制生物钟的激素之一，下列有关褪黑激素的叙述正确的是A．褪黑激素的摩尔质量为232B．1mol褪黑激素在标准状况下的体积为22.4LC．1mol褪黑激素中约含6.02×1023个褪黑激素分子D．1mol褪黑激素中含有16个H原子4．下列不能产生“丁达尔效应”的分散系是A．水B．硫酸铜溶液C．氢氧化铁胶体D．淀粉溶液5．下列说法正确的是①②③④⑤A ．粗盐提纯实验需要用到①与②装置，两个装置中玻璃棒的作用相同B ．分离乙醇与水需要用到③，水层从下口放出后再从上口倒出乙醇C ．④为蒸馏装置，若忘记加沸石，可停止加热，待冷却后加入D ．可用装置⑤除去CO 2中混有的HCl 气体，瓶内试剂为饱和Na 2CO 3溶液6．以下是对某水溶液进行离子检验的方法和结论，其中正确的是A ．先加入BaCl 2溶液，再加入足量的HNO 3溶液，产生了白色沉淀，溶液中一定含有大量的SO 42-B ．取样做焰色反应，观察到有黄色火焰，溶液中一定有大量的Na +，没有K +C ．加入足量浓NaOH 溶液，产生了带有强烈刺激性气味的气体，该气体可以使湿润的红色石蕊试纸变蓝，则溶液中一定含有大量的NH 4+D ．加入足量的盐酸，产生能使澄清石灰水变浑浊的气体，则溶液中一定含有大量的CO 32-7．同温同压下，等物质的量的SO 2和CO 2相比较，下列叙述正确的是A ．质量比为11:16B ．分子个数比为1:1C ．体积比为11:16D ．密度比为11:168．下列溶液中Cl -浓度最大的是A ．200mL2.0 mol·Lˉ1MgCl 2溶液B ．300mL3.0 mol·Lˉ1KC1O 3溶液C ．300mL2.5 mol·Lˉ1NaCl 溶液D ．250mL1.0 mol·Lˉ1AlCl 3溶液9．已知R 2+的原子核内有x 个中子，R 的质量数为A ，则mgR 2+所含电子的物质的量为(mol)A ．m(A-x)/AB ．(A-x+2)/AmC ．m(A-x+2)/AD ．m(A-x-2)/A10．下列说法中正确的是A ．氯离子的结构示意图B ．借助仪器来分析化学物质的组成是常用的手段，原子吸收光谱常用来确定物质中含哪些非金属元素C ．12CO 2和14CO 2 性质完全相同D ．原子结构模型演变历史可以表示为(如右图所示)：11．下列说法不正确．．．的是 A ．自来水的消毒、农药的生产、药物的合成中都需要用到氯气B ．钠和钾的合金常温下是液体，可用于快中子反应堆作热交换剂C ．纯碱是焙制糕点用发酵粉的主要成分之一，也可用于治疗胃酸过多D ．镁燃烧会发出耀眼的白光，因此常用于制造信号弹与焰火12．下列有关氯气及其化合物的说法正确的是A ．氯气能与铁反应，所以不能用钢瓶来贮存液氯B ．干燥的氯气和氯水均能使鲜花褪色C ．工业上用氯气与澄清石灰水反应来制取漂白粉D ．因为氯气有毒，所以可用于杀菌、消毒、漂白13．工业上常用如下的方法从海水中提溴：浓缩海水――→氯气①粗产品溴――→通空气和水蒸气②溴蒸气――→SO 2③物质X ――→氯气④产品溴，下列说法错误的是A．步骤①的主要反应为：Cl2＋2Br－=Br2＋2Cl－B．物质X为HBrOC．步骤②③的目的是富集溴元素 D．步骤②利用了溴易挥发的性质14．已知粗碘中含有ICl(氯化碘)和IBr(溴化碘)，它们的性质与卤素单质的性质相似。