数学(文)二轮复习通用版课时(十七) 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题练)

课时跟踪检测（十七） 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题（大题练）A 卷——大题保分练1．(2018·长春模拟)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过E ⎝⎛⎭⎫3，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝λF 1B ―→，且2≤λ<3，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k >0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，整理得⎝⎛⎭⎫3k 2＋4y 2－6k y －9＝0，Δ＝144k 2＋144>0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6k3＋4k 2，y 1y 2＝－9k 23＋4k 2，又AF 1―→＝λF 1B ―→，所以y 1＝－λy 2，所以y 1y 2＝－λ(1－λ)2(y 1＋y 2)2， 则(1－λ)2λ＝43＋4k 2，λ＋1λ－2＝43＋4k 2， 因为2≤λ<3，所以12≤λ＋1λ－2<43，即12≤43＋4k 2<43，且k >0，解得0<k ≤52. 故直线l 的斜率k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，52. 2．(2018·陕西模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，由M (－a ，b )，N (a ，b )，F 2和F 1这4个点构成了一个高为3，面积为33的等腰梯形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 1的直线和椭圆交于A ，B 两点，求△F 2AB 面积的最大值． 解：(1)由已知条件，得b ＝3，且2a ＋2c2×3＝33， ∴a ＋c ＝3. 又a 2－c 2＝3，∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)显然直线的斜率不能为0，设直线的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my －1，消去x 得，(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0.∵直线过椭圆内的点，∴无论m 为何值，直线和椭圆总相交．∴y 1＋y 2＝6m3m 2＋4，y 1y2＝－93m 2＋4.∴S △F 2AB ＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋1(3m 2＋4)2＝4m 2＋1⎝⎛⎭⎫m 2＋1＋132＝41m 2＋1＋23＋19(m 2＋1)，令t ＝m 2＋1≥1，设f (t )＝t ＋19t ，易知t ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，函数f (t )单调递减，t ∈⎝⎛⎭⎫13，＋∞时，函数f (t )单调递增，∴当t ＝m 2＋1＝1，即m ＝0时，f (t )取得最小值，f (t )min ＝109，此时S △F 2AB 取得最大值3.3．(2018·郑州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0和抛物线E ：y 2＝2px (p >0)，圆心C 到抛物线焦点F 的距离为17.(1)求抛物线E 的方程；(2)不过原点O 的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，且满足OA ⊥OB ，设点M 为圆C 上一动点，求当动点M 到直线l 的距离最大时的直线l 的方程．解：(1)x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0可化为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，则圆心C 的坐标为(－1,1)． ∵F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，∴|CF |＝ ⎝⎛⎭⎫p 2＋12＋(0－1)2＝17， 解得p ＝6.∴抛物线E 的方程为y 2＝12x .(2)显然直线l 的斜率非零，设直线l 的方程为x ＝my ＋t (t ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝12x ，x ＝my ＋t ，得y 2－12my －12t ＝0， Δ＝(－12m )2＋48t ＝48(3m 2＋t )>0， ∴y 1＋y 2＝12m ，y 1y 2＝－12t ，由OA ⊥OB ，得OA ―→·OB ―→＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即(m 2＋1)y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝0，整理可得t 2－12t ＝0，∵t ≠0，∴t ＝12，满足Δ>0，符合题意． ∴直线l 的方程为x ＝my ＋12，故直线l 过定点P (12,0)．∴当CP ⊥l ，即线段MP 经过圆心C (－1,1)时，动点M 到动直线l 的距离取得最大值， 此时k CP ＝1－0－1－12＝－113，得m ＝113，此时直线l 的方程为x ＝113y ＋12，即13x －y －156＝0. 4．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12.(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且， 证明： .证明：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.由题设得0<m <32，故k <－12.(2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)． 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1， y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，B 卷——深化提能练1．(2018·胶州模拟)已知椭圆Ω：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0且a ，b 2均为整数)过点⎝⎛⎭⎫2，62，且右顶点到直线l ：x ＝4的距离为2.(1)求椭圆Ω的方程；(2)过椭圆的右焦点F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1与椭圆Ω交于点A ，B ，l 2与椭圆Ω交于点C ，D .求四边形ACBD 面积的最小值．解：(1)由题意，得2a 2＋32b 2＝1，且|4－a |＝2，若a ＝2，则b 2＝3；若a ＝6，则b 2＝2717(舍去)，所以椭圆Ω的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，点F 的坐标为(1,0)．当l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在时，可得|AB |＝4，|CD |＝3或者|AB |＝3，|CD |＝4，此时四边形ACBD 的面积S ＝12×4×3＝6.当l 1，l 2的斜率均存在时，设直线l 1的斜率为k ，则k ≠0，且直线l 2的斜率为－1k .直线l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.由直线l 1过椭圆内的点，知Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫8k 23＋4k 22－4×4k 2－123＋4k 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2.以－1k 代替k ，得|CD |＝12(k 2＋1)4＋3k 2.所以四边形ACBD 的面积S ＝12|AB |·|CD |＝72(k 2＋1)2(3＋4k 2)(4＋3k 2)≥72(k 2＋1)2⎣⎡⎦⎤(3＋4k 2)＋(4＋3k 2)22＝72(k 2＋1)2⎣⎡⎦⎤7(k 2＋1)22＝28849， 当且仅当k 2＝1，即k ＝±1时等号成立．由于28849<6，所以四边形ACBD 面积的最小值为28849.2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，定义椭圆C 的“相关圆”方程为x 2＋y 2＝a 2b 2a 2＋b 2.若抛物线y 2＝4x 的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．(1)求椭圆C 的方程和“相关圆”E 的方程；(2)过“相关圆”E 上任意一点P 作“相关圆”E 的切线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点．证明：∠AOB 为定值．解：(1)因为抛物线y 2＝4x 的焦点(1,0)与椭圆C 的一个焦点重合，所以c ＝1. 又椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b ＝c ＝1， 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，“相关圆”E 的方程为x 2＋y 2＝23.(2)证明：当直线l 的斜率不存在时，不妨设直线AB 的方程为x ＝63，A ⎝⎛⎭⎫63，63，B⎝⎛⎭⎫63，－63，则∠AOB ＝π2.当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得x 2＋2(kx ＋m )2＝2，即(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝8(2k 2－m 2＋1)>0，即2k 2－m 2＋1>0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k2.因为直线l 与“相关圆”E 相切， 所以|m |1＋k2＝m 21＋k 2＝23， 即3m 2＝2＋2k 2， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)(2m 2－2)1＋2k 2－4k 2m 21＋2k 2＋m 2＝3m 2－2k 2－21＋2k 2＝0，所以OA ―→⊥OB ―→，所以∠AOB ＝π2.综上，∠AOB ＝π2，为定值．3．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率为22，其右焦点到直线2ax ＋by －2＝0的距离为23.(1)求椭圆C 1的方程；(2)过点P ⎝⎛⎭⎫0，－13的直线l 交椭圆C 1于A ，B 两点．证明：以AB 为直径的圆恒过定点． 解：(1)由题意，e ＝c a ＝22，e 2＝a 2－b 2a 2＝12，a 2＝2b 2.所以a ＝2b ，c ＝b . 又|2ac －2|4a 2＋b2＝23，a >b ≥1，所以b ＝1，a 2＝2， 故椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：当AB ⊥x 轴时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1. 当AB ⊥y 轴时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋132＝169， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋132＝169，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，由此可知，若以AB 为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q (0,1)． 下证Q (0,1)符合题意．当AB 不垂直于坐标轴时，设直线AB 方程为y ＝kx －13，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx －13，得(1＋2k 2)x 2－43kx －169＝0，由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝4k3(1＋2k 2)，x 1x 2＝－169(1＋2k 2)，∴QA ―→·QB ―→＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1) ＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 1－43⎝⎛⎭⎫kx 2－43 ＝(1＋k 2)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)－169(1＋2k 2)－43k ·4k 3(1＋2k 2)＋169＝－16－16k 2－16k 2＋16(1＋2k 2)9(1＋2k 2)＝0，故QA ―→⊥QB ―→，即Q (0,1)在以AB 为直径的圆上． 综上，以AB 为直径的圆恒过定点(0,1)．4．(2018·沈阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B 两点．(1)若△AF 1F 2的周长为16，求椭圆的标准方程； (2)若k ＝24，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值； (3)在(2)的条件下，设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，且直线PA 的斜率k 1∈(－2，－1)，试求直线PB 的斜率k 2的取值范围．解：(1)由题意得c ＝3，根据2a ＋2c ＝16，得a ＝5.结合a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝25，b 2＝16.所以椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(2)由⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝24x ，得⎝⎛⎭⎫b 2＋18a 2x 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2b 2＋18a2，由AB ，F 1F 2互相平分且共圆，易知，AF 2⊥BF 2， 因为F 2A ―→＝(x 1－3，y 1)，F 2B ―→＝(x 2－3，y 2)， 所以F 2A ―→·F 2B ―→＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋18x 1x 2＋9＝0. 即x 1x 2＝－8，所以有－a 2b 2b 2＋18a2＝－8，结合b 2＋9＝a 2，解得a 2＝12， 所以离心率e ＝32. (3)由(2)的结论知，椭圆方程为x 212＋y 23＝1，由题可知A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 0－y 1x 0－x 1，k 2＝y 0＋y 1x 0＋x 1， 所以k 1k 2＝y 20－y 21x 20－x 21，又y 20－y 21x 20－x 21＝3⎝⎛⎭⎫1－x 2012－3⎝⎛⎭⎫1－x 2112x 20－x 21＝－14，即k 2＝－14k 1，由－2<k 1<－1可知，18<k 2<14.即直线PB 的斜率k 2∈⎝⎛⎭⎫18，14.。