塑性力学03-塑性本构关系
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弹塑性本构关系简介
松比）。
塑性材料受外部作用的反应和变形的历史有关（可称为历 史相关性或路径相关性），本构关系应写成增量关系。
应力空间表述的弹塑性本构关系
韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如下 图示意
强度极限
b
屈服上限
L y
U y
e
屈服下限
弹性极限
强化段
软化段 卸载
残余变形
弹性变形
y
y
卸载、反向加载 包辛格效应
屈服面随内变量改变的规律称强化规律。由 材料试验的资料可建立各种强化模型，目前广 泛采用的有：等向强化；随动强化两种模型。
等 向 强
初始屈服面
2
B
f 0(ij ) 0 B
2
C A o1
化
o A 1
o
1
C
D
随
弹性
动
f 0 (ij ) 0
强 化
后继屈服面
f
( ij
,
p ij
,
k)
0
等向强化认为屈服面形状不变，只是作均匀
称后继屈服面，f
(
ij
,
p ij
,
k
)
0
。
如果一点应力的 f (ij ,ipj,,则k)此 点0 处于弹性状态，如
果
f (，ij则,处ipj ,于k)塑 0性状态。
式变张中形量的为i量j间应。存ip力j在张如和ip量j 下k，关统系称为ipj为塑内性变应量ip力j 。张其D量i中j，klkkp与l为塑标ipj 性志应永变久
d ij
Dt ijkl
d
kl
式中 Ditjk为l 切线弹性张量，形式上仍可表为
Dt ijkl
2012.04 第3章 弹塑性力学 本构理论
（6）
将
代入，消去公因子 ( s ) ，得: s E s
即:
H E E H E EE H E E
E E E 1 E
（7）
证毕。显然当E→∞，由上述结论可知
EE lim H lim lim E E E E E
◆
固体材料在一定条件下，应力与应变之间各自 有着确定的关系，这一关系反映着固体材料的 客观特性。
1、弹性变形特点
① 弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内，当卸 载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得 以完全恢复；
② 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力状态， 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系；
U 0 ( ij ) ij
ij
（3—17）
3、弹性常数间的关系
⑴、极端各向异性体
c mn c nm ; (m, n 1, 2 6)
对极端各向异性体，独立的弹性常数只有21个。
变形过程中，积累在单位体积内的应变能为：
{σ}=[D]{ε}
{σ}称为应力列阵；{ε}称为应变列阵；[D]称为弹 性矩阵。
2、弹性应变能函数
⑴ 弹性体的实功原理：若对于静荷载作用下产生弹性变形
过程中不计能量耗散，则据功能原理：产生此变形的外力在 加载过程中所作的功将以一种能量的形式被积累在物体内， 此能量称为弹性应变能，或称弹性变形能。并且物体的弹性 应变能在数值上等于外力功。这就是实功原理，也称变形能 原理。若弹性应变能用U 表示，外力功用 We 表示，则有：
则弹性体由零应变状态加载至某一应变状态 程中，弹性体整个体积的内力功为：
（3—12）
弹塑性_塑性力学基本方程和解法
在加载过程中物体各点处的偏应力分量 sij 保持比例不变。在工程允许精度下，也可推
广应用于稍为偏离简单加载的情况。
以上各种理论中涉及的一些假设，例如：塑性应变偏量的增在单一的函数关系等假设，都得到了常用金属材
料大量试验的验证。
z 强化规律 对于理想弹塑性材料，材料一旦屈服，其应力状态点在主应力空间中就落在屈服
变形， Hα 也不变，于是
∂f ∂σ ij
除等向强化外，有些强化材料表现为随动强化（图 7.7b），即，在强化过程中，屈
服面的大小和形状保持不变，只随塑性变形的发展而在应力空间中平移。还有些材料
在强化过程中随动强化与等向强化同时发生，称为混合强化。
由于在应力和强化参数空间中，表示应力状态的应力点只可能位于后继屈服面
（或加载面）上或其内，不可能位于曲面之外，若加载面是一个正则曲面，则有
⎯2⎯
研究生学位课弹塑性力学电子讲义
姚振汉
⎧ε = 0 ⎨⎩σ = σ s
当 σ <σs 当 ε >0
(2)
图 7.5 理想弹塑性和刚塑性
当考虑材料强化性质时，可在理想弹塑性模型的基础上加以改进，采用线性强化 弹塑性模型来近似：
⎧σ = Eε
⎨⎩σ = σ s +E1 (ε − εs )
当 ε ≤εs 当 ε >εs
(5)
⎯3⎯
第七章 塑性力学的基本方程与解法
其中 k 可由单向拉伸或其它材料试验测得的σ s 确定， k = σ s 2 。当不能确定主应力的 排序时，在以三个主应力为坐标轴的应力空间中，由特雷斯卡条件所包围的弹性状态 的应力空间为
σ1 −σ 2 ≤ 2k, σ 2 −σ 3 ≤ 2k, σ 3 −σ1 ≤ 2k
塑性力学总结
塑性力学大报告1、绪论1.1 塑性力学的简介尽管弹塑性理论的研究己有一百多年，但随着电子计算机和各种数值方法的快速发展，对弹塑性本构关系模型的不断深入认识，使得解决复杂应力条件、加载历史和边界条件下的塑性力学问题成为可能。
现在复杂应力条件下塑性本构关系的研究，已成为当务之急。
弹塑性本构模型大都是在整理和分析试验资料的基础上，综合运用弹性、塑性理论建立起来的。
建立弹塑性材料的本构方程时，应尽量反映塑性材料的主要特性。
由于弹塑性变形的现象十分复杂，因此在研究弹塑性本构关系时必须作一些假设。
塑性力学是研究物体发生塑性变形时应力和应变分布规律的学科.是固体力学的一个重要分支。
塑性力学是理论性很强、应用范围很广的一门学科，它既是基础学科又是技术学科。
塑性力学的产生和发展与工程实践的需求是密不可分的，工程中存在的实际问题，如构件上开有小孔，在小孔周边的附近区域会产生“应力集中”现象，导致局部产生塑性变形；又如杆件、薄壳结构的塑性失稳问题，金属的压力加工问题等，均是因为产生塑性变形而超出了弹性力学的范畴，需要用塑性力学理论来解决的问题，另一方面，塑性力学能为更有效的利用材料的强度并节省材料、金属压力加工工艺设计等提供理论依据。
正是这些广泛的工程实际需要，促进了塑性力学的发展。
1.2 塑性力学的发展1913年，Mises提出了屈服准则，同时还提出了类似于Levy的方程；1924年，Hencky采用Mises屈服准则提出另一种理论，用于解决塑性微小变形问题很方便；1926年,Load证实了Levy-Mises应力应变关系在一级近似下是准确的；1930年，Reuss依据Prandtl的观点，考虑弹性应变分量后，将Prandtl所得二维方程式推广到三维方程式；1937年，Nadai研究了材料的加工硬化，建立了大变形的情况下的应力应变关系；1943年，伊柳辛的“微小弹塑性变形理论”问世，由于计算方便，故很受欢迎；1949年，Batdorf和Budiansky从晶体滑移的物理概念出发提出了滑移理论。
弹塑性力学本构关系1资料.
在
平面上任取一点，坐标为 (1, 2 , 3 )
它代表一个应力状态，对应的应力张量分量为 ij
相应的平均应力为 m 易见有
m
1 2
3
3
0
将应力张量分解为应力球张量和应力偏张量，即
ij m ij sij sij
上式表明，与此应力状态相应的应力球张量为零，应力张量
等于应力偏张量。 平面上每一点对应的应力张量是应力偏张量。
• Drucker把它引伸到复杂应力 情况,这就是Drucker公设.
0 d p 0
ij
0 ij
d
p ij
0
d d p 0
第二式中的等号适用于理想 塑性材料.
d
ij
d
p ij
0
Drucker公设在塑性力学中有
重要意义.
屈服面的外凸性和塑性应变增量的法向性
•我们如将塑性应变空间与应力空间重合起来,由Drucker公 设的第一式, 把它看成是两个矢量的点积.
在应力空间中代表一曲面，此曲面称为屈服曲面。
屈服曲面内的点满足不等式
f (1, 2,3) c 时，代表弹性状态。 屈服曲面上及屈服曲面外的点满足 f (1, 2,3) c
时，代表塑性状态。因此，屈服曲面是弹、塑性状态的分界面。
4．2．3 等倾线与 平面
1.等倾线 在应力空间中，过坐标原点与三个坐标轴成相同倾角的直线 叫等倾线。
PR线上每一点都代表一个应力状态。 PR线上的点有相同的应力偏张量和不同的应力球张量。
因为应力球张量不影响屈服，所以如果P点在屈服曲面上， 那么PR线上所有点都应该在屈服面上。因此屈服曲面实际上 是一个柱面，并且柱面的母线平行于等倾线OL
P
非线性有限元9弹塑性本构关系ppt课件
单轴试验下材料的弹塑性性态 （1/3）
对塑性变形基本规律的认识来自于实验： • 从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性; • 将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型，
确定应力超过弹性极限后材料的本构关系; • 建立塑性力学的基本方程; 1) 求解这些方程，得到不同塑性状态下物体内的应力和
应变。
• 塑性阶段：继续加载，材料可承受 更大应力，称为材料强化，并伴随 出现塑性应变。至A点以前卸载， 路径接近直线，即处于弹性卸载状 态，其斜率等于加载斜率E。
1) 破坏点：继续加载至可承受的最大 极限应力，试件出现颈缩而破坏，
称为强度极限。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
1913年：泰勒（Taylor）的实验证明，LevyMises本构关系是真实情况的一阶近似。
1924年：提出塑性全量理论，伊柳辛（Ilyushin） 等苏联学者用来解决大量实际问题。
1930年：罗伊斯（Reuss）在普朗特（Prandtle） 的启示下，提出包括弹性应变部分的三维塑性应力 -应变关系。至此，塑性增量理论初步建立。
（屈服点），描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面，该
曲面称为屈服面。
考虑到塑性变形与静
水压力无关的特点
f1,2,3C
FJ2,J3C
至今已出现许多屈服理论。俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。 屈服函数：
是描写屈服条件的函数。不同屈服条件，其屈服函数不尽相同。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
基本实验有两个： • 简单拉伸实验：实验表明，塑性力学研究的应力与应变
对塑性变形基本规律的认识来自于实验： • 从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性; • 将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型，
确定应力超过弹性极限后材料的本构关系; • 建立塑性力学的基本方程; 1) 求解这些方程，得到不同塑性状态下物体内的应力和
应变。
• 塑性阶段：继续加载，材料可承受 更大应力，称为材料强化，并伴随 出现塑性应变。至A点以前卸载， 路径接近直线，即处于弹性卸载状 态，其斜率等于加载斜率E。
1) 破坏点：继续加载至可承受的最大 极限应力，试件出现颈缩而破坏，
称为强度极限。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
1913年：泰勒（Taylor）的实验证明，LevyMises本构关系是真实情况的一阶近似。
1924年：提出塑性全量理论，伊柳辛（Ilyushin） 等苏联学者用来解决大量实际问题。
1930年：罗伊斯（Reuss）在普朗特（Prandtle） 的启示下，提出包括弹性应变部分的三维塑性应力 -应变关系。至此，塑性增量理论初步建立。
（屈服点），描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面，该
曲面称为屈服面。
考虑到塑性变形与静
水压力无关的特点
f1,2,3C
FJ2,J3C
至今已出现许多屈服理论。俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。 屈服函数：
是描写屈服条件的函数。不同屈服条件，其屈服函数不尽相同。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
基本实验有两个： • 简单拉伸实验：实验表明，塑性力学研究的应力与应变
塑性本构方程
这是七个方程
1 2 ii ii E
1 eij Sij 2G
第二个式子是六个方程,但因为有 Sii 0 , 所以有5个是独立的. 从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致 的. 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比. 第二式也可以写成 Sij 2Geij ,把它代入等效应力的表达式 就可以得到下面的第二式, 然后有 G / 3 再代回上面第 一式得到下面的第二式. 3 • 所以也可写成如下形式 eij Sij 3G 2 • 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律,写成增量形式 1 2 1 d ii d ii deij dSij E 2G
O
0 O 0
O
0
a 所示的材料,随加载应力,应变都增加,材料是硬化的. 在这
一变形工程中,附加应力在应变增量上作正功,这种特性的材料 被称为稳定材料或硬化材料. b 所示,应力应变曲线在过D点 以后, 应变增加,应力减小,此时应力增量作负功, 这种特性的材 料被称为材料不稳定或软化材料. c 所示,与能量守恒矛盾,所 以不可能.
d d p 0
ij
ij
ij
d ij d ijp 0
第二式中的等号适用于理想 塑性材料.
Drucker公设在塑性力学中有 重要意义.
3. 屈服面的外凸性和塑性应变增量的法向性 •我们如将塑性应变空间与应力空间重合起来,由Drucker公 设的第一式, 把它看成是两个矢量的点积. 0 p 0 p n d d ij ij ij ij ij ij cos 0 C d p ij 0 A0 A AC cos 0 图示即 ij ij
弹塑性力学讲义-本构关系
z=s/3
J2
1 3
2 z
2s
p z
s 0
31 h
2z
3 2s
(1 3
z
d
z
)
z
1 h
z
s
arctan z s
s 0
s h
1
4
p z
s 0
3
1 h
2s
3
2s
( z d z
)
s 3
s ln 2 3h
x2
2s
s
0
3s ln 2 2h
6
路径（3）：在加载中z = 3z，z=s/2材料屈服，且dz = 3dz，
12金属塑性位错滑移拉伸和压缩的塑性特性几乎一致岩土材料岩土材料内部包含大量的微裂纹只有在受压状态由于微裂纹的扩展或闭合裂纹表面的相对滑动才可能产生类似于金属的塑性变形13么么么么方面拉伸和压缩的力学性能差别很大15产生应变软化现象应变软化段16与静水压力有关18弹性模量降低具有弹塑性耦合19岩土材料塑性变形的特性与金属材料不同屈服面和流动法则等概念可以借用需进行适当的修正20考察一任意剪切面该面上的剪应力为tan粘结力cmohrcoulomb屈服条件21mohr条件
1
z
M
z
s/3
(2) (3)
(1)
s
T
2
解：（1）求塑性模量： 在单轴应力状态下，弹性应变是 e 。而塑性应变是
E p e s
E
塑性模量应是 （2）加载判别：
h
d d p
E
当应力状态达到初始屈服后，下一步应力增量是否产生塑性变形，取决
于 (f/ij) dij是否大于零。 该题各路径下的应力状态偏量均可表示为：
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3-2 广义Hooke定律 • 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为 1 ij 1 ij ij kk E 1 2 1 • 也可以表示为: ii ii eij Sij E 2G 由应力和应变的分解式,即 ij Sij ij m , ij eij ij m 代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到 G E / 2 1 1 eij ij m 1 S ij ij m ij kk E 1 1 1 2 1 S 3 S ij m ij ij m ij m ij E 2G E 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系. 我们来证明一下:
因为应力强度和应变强度的公式为:
3 i Sij Sij 2 2 i eij eij 3
把 eij Sij 代入上面右式并考虑上面左式得到
(3)应力强度是应变强度的强度函数 i i 线假定的硬化条件.
3 i 2 i , 即按单一曲
综上所述, 全量型塑性本构方程为 3 i 1 2 eij Sij i i ii ii 2 i E 注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 加 载的标志是应力强度 i 成单调增长. i 下降时为卸载过 程, 它时服从增量Hooke定律.
1. Levy-Mises流动法则 这个理论认为应变增量主轴和应力 主轴重合, 应变增量分量与相应的应力偏量分量成比例, 即
d ij d Sij
d 0
式中的比例系数决定于质点的位置和荷载的水平. 这一理论是 Levy和Mises分别在1871年和1931年独立提出的, 所以被称为 Levy-Mises流动法则. 这个关系式不包括弹性变形部分, 所以 只适用刚塑性体. 2. Prandtl-Reuss流动法则 这个理论考虑了塑性状态变形中 的弹性变形部分, 并认为弹性变形服从广义Hooke定律; 而对 于塑性变形部分, 被认为塑性应变增量的主轴和应力偏量的主 轴重合. 即 1 e e deij deij deij dSij d Sij 这就是 2G Prandtl1 2 又由塑性不可压缩性, Reuss流 d ii d ii 体积变化式弹性的,有 E 动法则
(1) 荷载(包括体力)按比例增长.如有位移边界条件应为零. (2) 材料是不可压缩的. m (3)应力强度和应变强度之间幂指数关系, 即 i A i 这就是Il’yushin简单加载定律.有人认为只有第(1)条就可以了.
3-6 卸载定律
A • 从单向拉伸实验的应力应变曲线 看:加载至过弹性极限达到A点,然后 卸载至B点, 此时总应变 的弹性 部分 e 中的部分应变 得到恢复,塑 p B 性应变部分 要被保留下来.此时 的应力和应变的改变量, 即B点的应 o 力和应变为 p e , 因为卸载要服从弹性本构关系, 即 E. 这就是说,我们可以 由因为卸载引起的荷载的改变 量 P P P 按弹性计算得到. • 推广到复杂应力的卸载情况(即应力强度 i 减小)得到: 卸载定律 . 即: 卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变 减去卸载时的荷载改变量 P P P 为假想荷载按弹性计算所 得之应力或应变(即卸载过程中应力或应变的改变量.
3-8 理想弹塑性材料的增量本构方程 • 对于理想弹塑性材料, 后继屈服面和初始屈服面是重合的. 若 采用Mises条件, 则应有 求微分有 3 Sij dSij 0 i Sij Sij s 2 又因为应变比能的增量为
dW ij d ij m ij Sij d m ij deij
理想弹塑性
i
o
ip d ip
上式微分得到 d i H d
H 是函数 H 对自变量的导数, 有简单的物理意义, 见上图. 在线性强化时 H 时常数.由把Levy-Mises流动法则代入塑性 应变增量强度 d ip 的公式得到 p 3 d 3d i i 2 2 p 所以 d di d Sij Sij d i 2 i 2 H i 3 3
3-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法 设在物体 V 内给定体力 Fi , 在应力边界 S 上给定面 力 pi, 在位移边界 Su 上给 定位移为 u i , 要求确定物 体内处于塑性变形状态的各 点的应力 ij , 应变 ij 和位 移 u i .按照全量理论,确定这 些基本未知量的基本方程有
塑性力学03
第三章 塑性本构关系—全量理论和增量理论 引言:塑性变形规律的复杂性, 到目前为止这个塑性本构关系 问题还没有得到满意的解决.现在广义采用的理论分为两大类: (1)全量理论, 又称为形变理论, 它认为在塑性状态下仍有应力 和应变全量之间的关系. 有Hencky(亨奇)理论和Il’yushin (伊 柳辛)理论. (2)增量理论, 又称为流动理论, 它认为在塑性状态下是塑性应 变增量和应力及应力增量之间随关系.有Levy-Mises(莱维-米 泽斯)理论和Prandtl-Reuss(普朗特-罗伊斯)理论. 3-1 建立塑性本构关系的基本要素 Shield和Ziegler指出, 建立塑性本构关系需要考虑三个基本要素: (1)初始屈服条件;(2)流动法则;(3)加载条件. 其中(1)和(3) 在第二章已经解决, 本章要解决第(2)点.
• 使用卸载定律要注意两点: (1) 卸载过程必须时简单加载, 即卸载过程中各点的应力分量 时按比例减少的; (2) 卸载过程中不发生第二次塑性变形, 即卸载不引起应力改 变符号而达到新的屈服. • 由卸载定律可以看出, 全部卸载后,在物体内不仅留下残余应 变, 而且还有残余应力. 3-7 Levy-Mises流动法则和Prandtl-Reuss流动法则 塑性应力应变关系的重要特点时它的非线性和不唯一性. 全 量理论则企图直接建立全量形式表示的与加载路径无关的本 构关系, 一般是不正确的. 所以作为描述本构关系应该是它们 的增量之间的关系. 这就是增量理论, 也就是流动法则. 这里 介绍两个增量理论. 即Levy-Mises流动法则和Prandtl-Reuss ushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本 构关系, 这是一个全量型的关系, 类似于广义Hooke定律. 在小 变形的情况下作出下列关于基本要素的假定:
1 2 ii E eij Sij (2) 应变偏张量和应力偏张量成比例
(1) 体积变形式弹性的, 即
d ij 3d i Sij 2 S
d 0
3-10 弹塑性硬化材料的增量型本构方程 • 对于弹塑性硬化材料, 采用等向硬化模型, 取Mises屈服条件, 即
i H
i
S
o
p d i
(对于理想弹塑性Mises条件为 i s ) 1 tg H i i H d ip 去掉弹性 S
m d m ij ij d m Sij ij m deij ij Sij deij 3 m d m Sij deij
上式第一项是体积比能增量,第二项为形状变形比能,记为 Wd 这样考虑Levy-Mises定律有: 1 2 dWd Sij deij Sij dSij d Sij d Sij Sij d i2 2G 3 所以有
这就是对于全量 理论的塑性力学 的边值问题.
3-5 全量理论的适用范围
简单加载定律
• 全量理论适用小变形并且是简单加载. • 那么上面是简单加载? 理论上上指在加载过程中物体每一 0 点的各个应力分量按比例增长. 即 ij t ij 0 其中 ij 是某一非零的参考应力状态, t 是单调增加的参数. 这样定义的简单加载说明, 在加载时物体内应变和应力的主方 向都保持不变. • 但是物体内的内力是不能事先确定的, 那么如何判断加载过 程是简单加载? Il’yushin指出, 在符合下列三个条件时, 可以 证明物体内所有各点是处于简单加载过程:
d 3dWd 2 i2
• 理想弹塑性材料的增量型本构方程可以写为 1 2 3dWd 1 d ii d ii deij dSij Sij 2 E 2G 2 s 3-9 理想刚塑性材料的增量型本构方程 • 理想刚塑性材料的Levy-Mises流动法则为 d ij d Sij 把它代入Mises屈服条件 3 i Sij Sij s 2 得到 1 3 d ij d ij s d 2 3d i 那么 3 现在定义应变 d di d ij d ij 2 S 增量强度为 2 • 理想刚塑性材料的增量型本构方程为:
p p d H d i i
• 将上面得到的 d 代入Levy-Mises流动法则就得到弹塑性硬化 材料的增量型本构方程: 3d i 1 1 2 deij dSij Sij d ii d ii 2G 2 H i E 3d i 1 2 1 或写成: d ij d m ij dSij Sij E 2G 2 H i 例题3-1 如图所 示, 一薄壁圆管, 其材料的拉伸硬 化曲线为线性. 试根据增量理论 分别对下列三种 加载路径求管的 总轴向应变 z 和 切向 应变 z
这是七个方程
1 2 ii ii E
1 eij Sij 2G
第二个式子是六个方程,但因为有 Sii 0 , 所以有5个是独立的. 从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致 的. 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比. 第二式也可以写成 Sij 2Geij ,把它代入应力强度的表达式 就可以得到下面的第二式, 然后有 G i / 3 i 再代回上面第 一式得到下面的第二式. 3 i • 所以也可写成如下形式 eij Sij i 3G i 2 i • 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律,写成增量形式 1 2 1 d ii d ii deij dSij E 2G