塑性力学 第四章 塑性本构关系
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第四章 结构弹塑性分析
( ≠ 0) ，其余应力为零。
Mises(畸变能)屈服条件为：
σi =
1 (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ 2 xy + τ 2 yz + τ 2 zx ) 2 1 = σ 2 + σ 2 + 6τ 2 ) = σ 2 + 3τ 2 ) = σ s 2
Ex4.1 集中荷载（如图示）作用下，求：1) 弹塑性状态时的弹塑性分界线; 2)求极限 P0 = ?
同济大学水利工程系
李遇春编
图 4.3
3、混凝土板的屈服线理论（塑性计算） 混凝土板在极端荷载作用下（如核爆炸、罕遇强烈地震等）可采用塑性法设计，设计 的原则：允许结构破坏，但保证结构不坍塌。 （1） 屈服线假定： 1） 板在行将破坏时，在最大弯矩处形成屈服线。
(4.18)
在小变形下， τ 比 σ 小得多，所以 σ 2 + 3τ 2 ) ≈ σ ，于是屈服条件可近似写为：
σ =σs
根据平截面假设 ε x = ky ， k 为曲率，小变形下 k = −
d 2v εx = −y 2 dx
(4.19)
d 2v ， v 为 y 方向上的位移（挠度） 。所以： dx 2
(4.20)
假定材料为理想弹塑性材料，于是发生塑性变形后，弹性区应力为：
σ = Eε x = − Ey
塑性区应力为：
d 2v dx 2
(4.21)
σ = ±σ s
应力首先在上下边达到屈服值，塑性区逐渐向内扩展。设
(4.22)
y = ±ξ ( x ) 为弹塑性分界面，则：
同济大学水利工程系
Mises(畸变能)屈服条件为：
σi =
1 (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ 2 xy + τ 2 yz + τ 2 zx ) 2 1 = σ 2 + σ 2 + 6τ 2 ) = σ 2 + 3τ 2 ) = σ s 2
Ex4.1 集中荷载（如图示）作用下，求：1) 弹塑性状态时的弹塑性分界线; 2)求极限 P0 = ?
同济大学水利工程系
李遇春编
图 4.3
3、混凝土板的屈服线理论（塑性计算） 混凝土板在极端荷载作用下（如核爆炸、罕遇强烈地震等）可采用塑性法设计，设计 的原则：允许结构破坏，但保证结构不坍塌。 （1） 屈服线假定： 1） 板在行将破坏时，在最大弯矩处形成屈服线。
(4.18)
在小变形下， τ 比 σ 小得多，所以 σ 2 + 3τ 2 ) ≈ σ ，于是屈服条件可近似写为：
σ =σs
根据平截面假设 ε x = ky ， k 为曲率，小变形下 k = −
d 2v εx = −y 2 dx
(4.19)
d 2v ， v 为 y 方向上的位移（挠度） 。所以： dx 2
(4.20)
假定材料为理想弹塑性材料，于是发生塑性变形后，弹性区应力为：
σ = Eε x = − Ey
塑性区应力为：
d 2v dx 2
(4.21)
σ = ±σ s
应力首先在上下边达到屈服值，塑性区逐渐向内扩展。设
(4.22)
y = ±ξ ( x ) 为弹塑性分界面，则：
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第四章 弹塑性体的本构理论
第二部分弹塑性问题的有限元法第四章弹塑性体的本构理论第五章弹塑性体的有限元法第四章弹塑性体的本构理论4-1塑性力学的基本内容和地位塑性力学是有三大部分组成的：1) 塑性本构理论，研究弹塑性体的应力和应变之间的关系；2) 极限分析，研究刚塑性体的应力变形场，包括滑移线理论和上下限法；3) 安定分析，研究弹塑性体在低周交变载荷作用下结构的安定性问题。
塑性力学虽然是建立在实验和假设基础之上的，但其理论本身是优美的，甚至能够以公理化的方法来建立整个塑性力学体系。
塑性力学是最简单的材料非线性学科，有很多其它更复杂的学科，如损伤力学、粘塑性力学等，都是借用塑性本构理论体系而发展起来的。
4-2关于材料性质和变形特性的假定材料性质的假定1)材料是连续介质，即材料内部无细观缺陷；2)非粘性的，即在本构关系中，没有时间效应；3)材料具有无限韧性，即具有无限变形的可能，不会出现断裂。
常常根据材料在单向应力状态下的σ-ε曲线，将弹塑性材料作以下分类：硬化弹塑性材料理想弹塑性材料弹塑性本构理论研究的是前三种类型的材料，但要注意对于应变软化材料，经典弹塑性理论尚存在不少问题。
变形行为假定 1)应力空间中存在一初始屈服面，当应力点位于屈服面以内时，应力和应变增量的是线性的；只有当应力点达到屈服面时，材料才可能开始出现屈服，即开始产生塑性变形。
因此初始屈服面界定了首次屈服的应力组合，可表示为()00=σf(1)2) 随着塑性变形的产生和积累，屈服面可能在应力空间中发生变化而产生后继屈服面，也称作加载面。
对于硬化材料加载面随着塑性变形的积累将不断扩张，对于理想弹塑性材料加载面就是初始屈服面，它始终保持不变，对于软化材料随着塑性变形的积累加载面将不断收缩。
因此加载面实际上界定了曾经发生过屈服的物质点的弹性范围，当该点的应力位于加载面之内变化时，不会产生新的塑性变形，应力增量与应变增量的关系是线性的。
只有当应力点再次达到该加载面时，才可能产生新的塑性变形。
第四章 塑性本构关系
一 、理想材料的加卸载准则 理想材料的加载面与初始屈服面是一样的。 由于屈服面不能扩大，所以当应力点达到屈服面上， 应力增量 d 不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切线。 d 加载 f ( ij ) 0, 弹性状态
d
n
f ( ij ) 0, f df d ij 0 ij
（4-1）
其中 张量写法：
G E / 2(1 )
ij 3 ij m ij 2G E
1 m kk 为平均正应力。 3
（4-2）
其中
本构关系
将三个正应变相加，得：
kk
3 1 2 m kk kk 2G E E
kk
(5 37)
对理想塑性材料，比例系数d要联系屈服条件来确定。 1 dw sij ( dsij d sij ) 2G 1 dJ 2 2 J 2 d dWe dW p 2G
进入塑性阶段后，应变增量可以分解为弹性部分和塑性部分。
e d ij d ij d ijp
（4-30） （4-31） （4-32）
由Hooke定律， d
e ij
d ij 2G
3 d m ij E
由Drucker公设，d d ij
p ij
其中为加载函数。塑性加载 d 0，中性变载或卸载时 0 时 d
e
注意到（5 - 5）式，We可表示为：
1 1 1 1 1 2 2 W J 2 G 2G 2 2 2 6G
e
本构关系
§4.2 Drucker公设
两类力学量 外变量：能直接从外部可以观测得到的量。如总应变，应力等。 内变量：不能直接从外部观测的量。如塑性应变，塑性功等。 内变量只能根据一定的假设计算出来。 关于塑性应变和塑性功的假设： 1、材料的塑性行为与时间，温度无关。
弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变：
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
塑性力学第四章(1)-塑性本构关系
第四章
塑性本构关系
加载与卸载关系 全量型本构关系 增量本构关系
加载与卸载关系
理想弹塑性材料的加卸载准则
r r ∂f =0 d σ ⋅ n = d σ ij ∂ σ ij
r r ∂f ∂f d σ ⋅ n = d σ ij <0 ∂ σ ij
加载 卸载
r dσ
r n
dσ
r
f (σ ij ) = 0
o
1 εx = σx − µ σ y +σz E 1 εy = σ y − µ (σ z + σ x ) E 1 εz = σz − µ σx +σ y E
[
(
)]
体积应变： 体积应变：
θ = εx +ε y +εz
[ [
(
] )]
体积应力： 体积应力：
Θ =σx +σ y +σz
µε = µσ
形变理论（ 理论） 形变理论（ Hencky — Iliushin 理论）
体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。 1. 体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。
E σm = εm (1 − 2 µ )
应变偏量与应力偏量成比例。 2. 应变偏量与应力偏量成比例。
弹性阶段： 弹性阶段： 塑性阶段： 塑性阶段：
∂ϕ ⋅ d σ ij = 0 ⇒ 中性变载 ∂ σ ij
r r dσ ⋅ n > 0 r r dσ ⋅ n < 0
加卸载准则
r r dσ ⋅ n = 0
中性变载： 中性变载：当应力增量沿加载 面切线方向变化， 面切线方向变化， 而加载面并不扩大 时，不产生新的塑 性变形。 性变形。
塑性本构关系
加载与卸载关系 全量型本构关系 增量本构关系
加载与卸载关系
理想弹塑性材料的加卸载准则
r r ∂f =0 d σ ⋅ n = d σ ij ∂ σ ij
r r ∂f ∂f d σ ⋅ n = d σ ij <0 ∂ σ ij
加载 卸载
r dσ
r n
dσ
r
f (σ ij ) = 0
o
1 εx = σx − µ σ y +σz E 1 εy = σ y − µ (σ z + σ x ) E 1 εz = σz − µ σx +σ y E
[
(
)]
体积应变： 体积应变：
θ = εx +ε y +εz
[ [
(
] )]
体积应力： 体积应力：
Θ =σx +σ y +σz
µε = µσ
形变理论（ 理论） 形变理论（ Hencky — Iliushin 理论）
体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。 1. 体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。
E σm = εm (1 − 2 µ )
应变偏量与应力偏量成比例。 2. 应变偏量与应力偏量成比例。
弹性阶段： 弹性阶段： 塑性阶段： 塑性阶段：
∂ϕ ⋅ d σ ij = 0 ⇒ 中性变载 ∂ σ ij
r r dσ ⋅ n > 0 r r dσ ⋅ n < 0
加卸载准则
r r dσ ⋅ n = 0
中性变载： 中性变载：当应力增量沿加载 面切线方向变化， 面切线方向变化， 而加载面并不扩大 时，不产生新的塑 性变形。 性变形。
塑性力学-第四章
本构关系研究的论文。
因此塑性本构理论吸引了一些优秀的科学家在从事这 方面的研究。
基本假设
本课程介绍的弹塑性本构关系除先前的各向同性假设和 静水应力不影响屈服的假设外，还采用了两个假设
（1）小变形假设 （2）率无关假设（仅考虑等温过程中的率无关材料）
内变量的引入
内变量——用来刻划材料加载历史的宏观参量，可以描述 经历塑性变形后材料内部微观结构的变化。较常见（用得 较多）的内变量是等效塑性应变。
（16）
内变量的演化方程
当产生新的塑性变形时，内变量也会有所改变。假定内 变量演化方程有以下的形式 （17） Z ,
ij
将（17）式代入（16）式，解出
g g Z ij ij
f g ˆij g kl ˆ kl ij
（用到了（23）式）
ˆ g ˆ f
g ˆg ˆij g ˆ ˆ f ij g ˆij 1 ij
（24）
（25）
于是得到应变加载准则描述的应力加载准则。
当按应变加载准则判断为弹塑性加载时
（9）
可以得到 常用的表 达式
E ij 1
ik jl 1 2 ij kl kl 1 ij ij ij kk E E
（10）
从上式，注意到应力偏量和应变偏量的定义还可得
（23）
ij ˆ Z 式中， ij
。
弹塑性加载时
ˆ g
g g P ij kl kl M ijkl ij ij
弹塑性力学本构关系1资料.
在
平面上任取一点，坐标为 (1, 2 , 3 )
它代表一个应力状态，对应的应力张量分量为 ij
相应的平均应力为 m 易见有
m
1 2
3
3
0
将应力张量分解为应力球张量和应力偏张量，即
ij m ij sij sij
上式表明，与此应力状态相应的应力球张量为零，应力张量
等于应力偏张量。 平面上每一点对应的应力张量是应力偏张量。
• Drucker把它引伸到复杂应力 情况,这就是Drucker公设.
0 d p 0
ij
0 ij
d
p ij
0
d d p 0
第二式中的等号适用于理想 塑性材料.
d
ij
d
p ij
0
Drucker公设在塑性力学中有
重要意义.
屈服面的外凸性和塑性应变增量的法向性
•我们如将塑性应变空间与应力空间重合起来,由Drucker公 设的第一式, 把它看成是两个矢量的点积.
在应力空间中代表一曲面，此曲面称为屈服曲面。
屈服曲面内的点满足不等式
f (1, 2,3) c 时，代表弹性状态。 屈服曲面上及屈服曲面外的点满足 f (1, 2,3) c
时，代表塑性状态。因此，屈服曲面是弹、塑性状态的分界面。
4．2．3 等倾线与 平面
1.等倾线 在应力空间中，过坐标原点与三个坐标轴成相同倾角的直线 叫等倾线。
PR线上每一点都代表一个应力状态。 PR线上的点有相同的应力偏张量和不同的应力球张量。
因为应力球张量不影响屈服，所以如果P点在屈服曲面上， 那么PR线上所有点都应该在屈服面上。因此屈服曲面实际上 是一个柱面，并且柱面的母线平行于等倾线OL
P
弹塑性力学-弹塑性本构关系
此式限制了屈服面的形状： 对于任意应力状态，应力增量方向
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
重合，否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右 图)。
的真实功与ij0起点无关；
Ñ d ipj ij ij 0
(2)附加应力功不符合功的 定义，并非真实功
i0j ij i0jdij0
-
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
（3）非真实物理功不能引用热力学定律；
（4）德鲁克公设的适用条件：
①ij0在塑性势面与屈服面
之内时，德鲁克公设成立；
d
p ij
d
ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系，可得：
结合
-
D
ij
ij
dipj Ddipj
d
p ij
d
ij
可得：
d d
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似，Mises于1928年提出塑性
位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有
一塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系：
dipj Ddipj
式中，D为弹性矩阵。 根据依留申公设，在 完成上述应变循环中， 外部功不为负，即
Ñ WI ijdij 0 i0j
只有在弹性应变时，上述WI=0。
根据Druker塑性公设
当 i0 jij时 (iji0 j)dijp 0
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
重合，否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右 图)。
的真实功与ij0起点无关；
Ñ d ipj ij ij 0
(2)附加应力功不符合功的 定义，并非真实功
i0j ij i0jdij0
-
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
（3）非真实物理功不能引用热力学定律；
（4）德鲁克公设的适用条件：
①ij0在塑性势面与屈服面
之内时，德鲁克公设成立；
d
p ij
d
ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系，可得：
结合
-
D
ij
ij
dipj Ddipj
d
p ij
d
ij
可得：
d d
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似，Mises于1928年提出塑性
位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有
一塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系：
dipj Ddipj
式中，D为弹性矩阵。 根据依留申公设，在 完成上述应变循环中， 外部功不为负，即
Ñ WI ijdij 0 i0j
只有在弹性应变时，上述WI=0。
根据Druker塑性公设
当 i0 jij时 (iji0 j)dijp 0
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故
9
（二）对于理想塑性材料： i s 将（2）、（3）代入式（1），得到
2 1 2 i 3
（2） （3）
s
2 1 2 3
,
s
2 1 2 3 3
（4）
（三）在简单加载的条件下，材料进入塑性状态时各应变分 量同时达到屈服，即 又
第四章 塑性本构关系—— 全量理论和增量理论
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5 §4-6 §4-7 建立塑性本构关系的基本要素 广义Hooke定律 全量型本构方程 全量理论的基本方程及边值问题的提法 全量理论的适用范围 简单加载定律 卸载定律 Levy—Mises和Prandtl—Reuss 流动法则 §4-8 增量型本构方程 §4-9 增量理论的基本方程及边值问题的提法 §4-10 两种理论的比较
yz
将应力 张 量和应 变 张量分 解 为球张 量 和偏张 量 部分 ，则 Hooke定律改写为
1 2 ii ii , E
1 eij S ij 2G
前面是一个独立式子，后者是五个独立式子（ S ii 0 ）。
3
在弹性范围内，应力和应变之间的方向关系是应力主轴和应 变主轴重合，分配关系是应变偏张量各分量和应力偏张量各 分量成比例。 为便于推广到塑性状态，并与塑性本构方程的写法一致，将 3 i 1 S ij , i 3G i eij S ij 改写为 eij 2 i 2G （因为 i E i 21 G i ，而塑性状态是 0.5 ）
3 i 其本构方程为： d ij 2 S ij i
二、Prandtl—Reuss流动法则
17
P d ij dSij d 0 适用于弹塑性体
其本构方程为：
1 de dS dS ij ij 2G ij d 1 2 d ii ii E
G K u k ,ki Gui , jj 2Geij , j f i 0 3
E 其中 K 31 2
G K u k ,ki Gui , jj f i 2Geij , j 或 3
在弹性状态时，故当上式右端等于零时，可得到弹性解。 将它作为第一次近似解，代入上式右端作为已知项，又可以 解出第二次近似解。重复以上过程，可得出所要求的精确度 内接近实际的解。在小变形情况下，可以证明解能够很快收 敛。在很多问题第二次近似解已能给出较为满意的结果。
s
s
3 i eij S ij , i i 2 i
1 2 ii ii E
（1）
8
第二式可以写为
m 3K m
E 其中 K 31 2 第一式，且 0.5, ij eij ， 2 i 3 i ij Sij 或 Sij 故 ij 3 i 2 i 1 2 又因为 S z z m z z , Sz z 3 3 i i , 其展开式为 i 3 i 1 1 1 1 又由于 r z , z z 2 2 2 2
ij 2）
2 i S ij 3 eij i 3） E kk kk 1 2
1 ui , j u j ,i 2
i
3 S ij S ij 2
2 i eij eij 3
4） ij li f j
12
5） ui ui 求解方法和弹性问题一样，可以用两种基本方法：按位 移求解或按应力求解。在全量理论适用并按位移求解弹塑性 问题时，依留申提出的弹性解法显得很方便。 将 Sij 2G1 eij 代入用位移表示的平衡微分方程得：
3 2 Sij Sij , i eijeij ） 2 3
ii
i i
1 2 ii E 3 eij i S ij 2 i
6
二、依留申小弹塑性形变理论 1943年，依留申考虑了与弹性变形同量级的塑性变形，给 出了微小弹塑性变形下的应力—应变关系 在弹性阶段：
eij S ij 2G S ij
（G即剪切弹性模量）
在塑性阶段：
1 （ eij 2G 2G
2G
即
S ij S ij ekl ekl
）
J2 J2 1 2 i 2 i 3 3 2 3 i i 4
上式自乘求和后开方得：
3 2 1 1 eij eij S ij S ij , i eij eij , J 2 S ij S ij , J 2 2 3 2 2 以 0.5 代入 i E i 1 得到 i 3G i 1 则 Sij 2G1 eij 这是全量理论的另一种表达形式。
s
s
3G
, s
s , s ， s s 1 s
G 3G 3G
10
分别代入（4）得到
s
s
2 1 2 3G s s 3G 3 3G
s
2
0.707 s
13
§4-5
全量理论的适用范围 简单加载定律
目前已经证明，全量理论在小变形并且是简单加载的条件 下与实验结果接近，可以证明是正确的。 一、简单加载
0 t ij 物体内每一点的应力和 在简单加载的情况下， ij
应变的主方向都保持不变。其主值之比也不改变。在应力空 间中，应力点的轨迹是直线。 依留申在 1943 年继续解决了在什么条件下才能保持物体内部 各点都处于简单加载情况。提出了一组充分条件： 1、外载按比例增长，如有位移边界条件，只能是零位移边界 条件；
16
§4-7
Levy—Mises流动法则和 Prandtl—Reuss流动法则
在塑性变形阶段，应力和应变之间没有一一对应的全量 关系，由于变形的不可逆性，故塑性区的变形不仅取决于最 终状态的应力，而且和加载路径有关。但在某一给定状态下， 有一个应力增量，相应的必有唯一的应变增量。因此在一般 塑性变形条件下，只能建立应力与应变增量之间的关系，即 增量理论。 一、Levy—Mises流动法则 d ij dSij d 0 适用于刚塑性体
2
§4-2
x
1 x y z , E 1 y y z x , E 1 z z x y , E
广义Hooke定律
1 yz G 1 zx zx G 1 xy xy G
弹性范围内，广义Hooke定律：
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例4-2、在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若材料为理想弹塑性 ，且 0.5 。设拉力为P，扭矩为M，筒的平均半径为r，壁厚 为t。于是筒内应力为均匀应力状态，有
P M z , z 2rt 2r 2t
其余应力分量为零。现按照下列三种加载路径（如图)，试用 Prandtl—Reuss理论来计算筒中的应力：
2、材料的体积不可压缩，即 0.5
, ii 0 ；
14
3、应力强度与应变强度之间有幂函数的关系，即 i A im 。 二、偏离简单加载 在实际应用中，全量理论的适用范围不限于简单加载， 这个范围的确定以及这个范围内应用全量理论所引起的误差， 都尚需要作进一步的研究。在这一范围内的加载路径称为偏 离简单加载。
15
§4-6
卸载定律
卸载定律：卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变减 ~ 去以卸载时的荷载改变量 P P P为假想荷载按弹性计算所 得之应力或应变（即卸载过程中应力或应变的改变量）。
使用上述计算方法时必须注意两点： （1）卸载过程必须是简单卸载，即卸载过程中各点的各应力 分量是按比例减少的。 （2）卸载过程中不发生第二次塑性变形，即卸载不应该引起 应力改变符号而达到新的屈服。
i
7
例4-1。在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若材料为理想弹塑性 ，且 0.5 。设拉力为P，扭矩为M，筒的平均半径为r，壁厚 为t。于是筒内应力为均匀应力状态，有
P M z , z 2rt 2r 2t
其余应力分量为零。当按照同时拉伸与扭转，在 的比值保
, s 持不变条件下进入塑性状态到 s ，用全量理论 E G 求筒中的应力。 解：（一）由全量理论
（1）先拉至 s 扭矩至 s G 。
s
s
s 不变，然后加 进入塑性状态，保持 E
（）先扭至 s
s
拉力至 s E 。
s
G 进入塑性状态，保持 s 不变，然后加
19
（3）同时拉伸与扭转，在 的比值保持不变条件下进入塑 s s , s 性状态到 s 。 E G
5
e ii
1 2 ii E
,
P 0
2、应变偏张量与应力偏张量相似且同轴，即 eij S ij 3 、‘单一曲线假设’：不论应力状态如何，对于同一种材 i i 料来说，应力强度是应变强度的确定函数 ，是与 Mises条件相应的。 （ i E i 1 ，单拉时 E 1 ） 全量型塑性本构方程为（ i
s
2 1 2 3 s s 3G 3 3G
s
3G
s
6
0.408 s
11
§4-4
全量理论的基本方程及边值问题的提法
全量理论的边值问题及解法 设在物体V 内给定体力 f i ，在应力边界 ST 上给定面力 f i ，在 位移边界 Su上给定 u i ，要求物体内部各点的应力 ij 、应变 ij 、 位移 u i 。确定这些未知量的基本方程组有： 1） ij,i f j 0
9
（二）对于理想塑性材料： i s 将（2）、（3）代入式（1），得到
2 1 2 i 3
（2） （3）
s
2 1 2 3
,
s
2 1 2 3 3
（4）
（三）在简单加载的条件下，材料进入塑性状态时各应变分 量同时达到屈服，即 又
第四章 塑性本构关系—— 全量理论和增量理论
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5 §4-6 §4-7 建立塑性本构关系的基本要素 广义Hooke定律 全量型本构方程 全量理论的基本方程及边值问题的提法 全量理论的适用范围 简单加载定律 卸载定律 Levy—Mises和Prandtl—Reuss 流动法则 §4-8 增量型本构方程 §4-9 增量理论的基本方程及边值问题的提法 §4-10 两种理论的比较
yz
将应力 张 量和应 变 张量分 解 为球张 量 和偏张 量 部分 ，则 Hooke定律改写为
1 2 ii ii , E
1 eij S ij 2G
前面是一个独立式子，后者是五个独立式子（ S ii 0 ）。
3
在弹性范围内，应力和应变之间的方向关系是应力主轴和应 变主轴重合，分配关系是应变偏张量各分量和应力偏张量各 分量成比例。 为便于推广到塑性状态，并与塑性本构方程的写法一致，将 3 i 1 S ij , i 3G i eij S ij 改写为 eij 2 i 2G （因为 i E i 21 G i ，而塑性状态是 0.5 ）
3 i 其本构方程为： d ij 2 S ij i
二、Prandtl—Reuss流动法则
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P d ij dSij d 0 适用于弹塑性体
其本构方程为：
1 de dS dS ij ij 2G ij d 1 2 d ii ii E
G K u k ,ki Gui , jj 2Geij , j f i 0 3
E 其中 K 31 2
G K u k ,ki Gui , jj f i 2Geij , j 或 3
在弹性状态时，故当上式右端等于零时，可得到弹性解。 将它作为第一次近似解，代入上式右端作为已知项，又可以 解出第二次近似解。重复以上过程，可得出所要求的精确度 内接近实际的解。在小变形情况下，可以证明解能够很快收 敛。在很多问题第二次近似解已能给出较为满意的结果。
s
s
3 i eij S ij , i i 2 i
1 2 ii ii E
（1）
8
第二式可以写为
m 3K m
E 其中 K 31 2 第一式，且 0.5, ij eij ， 2 i 3 i ij Sij 或 Sij 故 ij 3 i 2 i 1 2 又因为 S z z m z z , Sz z 3 3 i i , 其展开式为 i 3 i 1 1 1 1 又由于 r z , z z 2 2 2 2
ij 2）
2 i S ij 3 eij i 3） E kk kk 1 2
1 ui , j u j ,i 2
i
3 S ij S ij 2
2 i eij eij 3
4） ij li f j
12
5） ui ui 求解方法和弹性问题一样，可以用两种基本方法：按位 移求解或按应力求解。在全量理论适用并按位移求解弹塑性 问题时，依留申提出的弹性解法显得很方便。 将 Sij 2G1 eij 代入用位移表示的平衡微分方程得：
3 2 Sij Sij , i eijeij ） 2 3
ii
i i
1 2 ii E 3 eij i S ij 2 i
6
二、依留申小弹塑性形变理论 1943年，依留申考虑了与弹性变形同量级的塑性变形，给 出了微小弹塑性变形下的应力—应变关系 在弹性阶段：
eij S ij 2G S ij
（G即剪切弹性模量）
在塑性阶段：
1 （ eij 2G 2G
2G
即
S ij S ij ekl ekl
）
J2 J2 1 2 i 2 i 3 3 2 3 i i 4
上式自乘求和后开方得：
3 2 1 1 eij eij S ij S ij , i eij eij , J 2 S ij S ij , J 2 2 3 2 2 以 0.5 代入 i E i 1 得到 i 3G i 1 则 Sij 2G1 eij 这是全量理论的另一种表达形式。
s
s
3G
, s
s , s ， s s 1 s
G 3G 3G
10
分别代入（4）得到
s
s
2 1 2 3G s s 3G 3 3G
s
2
0.707 s
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§4-5
全量理论的适用范围 简单加载定律
目前已经证明，全量理论在小变形并且是简单加载的条件 下与实验结果接近，可以证明是正确的。 一、简单加载
0 t ij 物体内每一点的应力和 在简单加载的情况下， ij
应变的主方向都保持不变。其主值之比也不改变。在应力空 间中，应力点的轨迹是直线。 依留申在 1943 年继续解决了在什么条件下才能保持物体内部 各点都处于简单加载情况。提出了一组充分条件： 1、外载按比例增长，如有位移边界条件，只能是零位移边界 条件；
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§4-7
Levy—Mises流动法则和 Prandtl—Reuss流动法则
在塑性变形阶段，应力和应变之间没有一一对应的全量 关系，由于变形的不可逆性，故塑性区的变形不仅取决于最 终状态的应力，而且和加载路径有关。但在某一给定状态下， 有一个应力增量，相应的必有唯一的应变增量。因此在一般 塑性变形条件下，只能建立应力与应变增量之间的关系，即 增量理论。 一、Levy—Mises流动法则 d ij dSij d 0 适用于刚塑性体
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§4-2
x
1 x y z , E 1 y y z x , E 1 z z x y , E
广义Hooke定律
1 yz G 1 zx zx G 1 xy xy G
弹性范围内，广义Hooke定律：
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例4-2、在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若材料为理想弹塑性 ，且 0.5 。设拉力为P，扭矩为M，筒的平均半径为r，壁厚 为t。于是筒内应力为均匀应力状态，有
P M z , z 2rt 2r 2t
其余应力分量为零。现按照下列三种加载路径（如图)，试用 Prandtl—Reuss理论来计算筒中的应力：
2、材料的体积不可压缩，即 0.5
, ii 0 ；
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3、应力强度与应变强度之间有幂函数的关系，即 i A im 。 二、偏离简单加载 在实际应用中，全量理论的适用范围不限于简单加载， 这个范围的确定以及这个范围内应用全量理论所引起的误差， 都尚需要作进一步的研究。在这一范围内的加载路径称为偏 离简单加载。
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§4-6
卸载定律
卸载定律：卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变减 ~ 去以卸载时的荷载改变量 P P P为假想荷载按弹性计算所 得之应力或应变（即卸载过程中应力或应变的改变量）。
使用上述计算方法时必须注意两点： （1）卸载过程必须是简单卸载，即卸载过程中各点的各应力 分量是按比例减少的。 （2）卸载过程中不发生第二次塑性变形，即卸载不应该引起 应力改变符号而达到新的屈服。
i
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例4-1。在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若材料为理想弹塑性 ，且 0.5 。设拉力为P，扭矩为M，筒的平均半径为r，壁厚 为t。于是筒内应力为均匀应力状态，有
P M z , z 2rt 2r 2t
其余应力分量为零。当按照同时拉伸与扭转，在 的比值保
, s 持不变条件下进入塑性状态到 s ，用全量理论 E G 求筒中的应力。 解：（一）由全量理论
（1）先拉至 s 扭矩至 s G 。
s
s
s 不变，然后加 进入塑性状态，保持 E
（）先扭至 s
s
拉力至 s E 。
s
G 进入塑性状态，保持 s 不变，然后加
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（3）同时拉伸与扭转，在 的比值保持不变条件下进入塑 s s , s 性状态到 s 。 E G
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e ii
1 2 ii E
,
P 0
2、应变偏张量与应力偏张量相似且同轴，即 eij S ij 3 、‘单一曲线假设’：不论应力状态如何，对于同一种材 i i 料来说，应力强度是应变强度的确定函数 ，是与 Mises条件相应的。 （ i E i 1 ，单拉时 E 1 ） 全量型塑性本构方程为（ i
s
2 1 2 3 s s 3G 3 3G
s
3G
s
6
0.408 s
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§4-4
全量理论的基本方程及边值问题的提法
全量理论的边值问题及解法 设在物体V 内给定体力 f i ，在应力边界 ST 上给定面力 f i ，在 位移边界 Su上给定 u i ，要求物体内部各点的应力 ij 、应变 ij 、 位移 u i 。确定这些未知量的基本方程组有： 1） ij,i f j 0