北师大版九年级数学下册导学案3.1圆
3.1 圆
学习目标:
经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程；理解圆的概念，理解点与圆的位置关系．
学习重点:
圆及其有关概念，点与圆的位置关系．
学习难点:
用集合的观念描述圆．
学习过程:
一、例题讲解：
【例1】如图，Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r1=2cm，r2=2．4cm，r3=3cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系．
【例2】如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法．
【例3】已知：如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别为OA、OB的中点．求证：MC=NC．
【例4】设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，且m使关于x的方程2x2－22x ＋m－1=0有实数根，试确定点P的位置．
【例5】城市规划建设中，某超市需要拆迁．爆破时，导火索的燃烧速度与每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域，这个导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全？
【例6】由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图3-1-5），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？
二、随堂练习
1．已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由．
2．点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是．
三、课后练习
1．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（）
A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径
B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径
C．⊙O上有两点到点P的距离最小
D．⊙O上有两点到点P的距离最大
2．若⊙A的半径为5，点A的坐标为（3，4），点P的坐标为（5，8），则点P的位置为（）
A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不确定
3．两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为r1和r2，且r1＜OA＜r2，那么点A在（）A．甲圆内B．乙圆外C．甲圆外，乙圆内D．甲圆内，乙圆外4．以已知点O为圆心作圆，可以作（）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
5．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
6．已知⊙O的半径为3．6cm，线段OA=25/7cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．A点在圆外B．A点在⊙O上C．A点在⊙O内D．不能确定
7．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O 上或⊙O外
8．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB边的中点，以C为圆心，4cm长为半径作圆，则A、B、C、D四点中在圆内的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM为中线，以C为圆心，5cm 为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有，在圆上的有，在圆内的有．
10．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是 cm．11．圆上各点到圆心的距离都等于，到圆心的距离等于半径的点都在．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15cm，BC=10cm，以A为圆心，12cm为半径作圆，则点C与⊙A的位置关系是．
13．⊙O的半径是3cm，P是⊙O内一点，PO=1cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是．
14．作图说明：到已知点A的距离大于或等于1cm，且小于或等于2cm的所有点组成的图形．
15．菱形的四边中点是否在同一个圆上？如果在同一圆上，请找出它的圆心和半径．16．在Rt△ABC中，BC=3cm，AC=4cm，AB=5cm，D、E分别是AB和AC的中点．以B为圆心，以BC为半径作⊙B，点A、C、D、E分别与⊙B有怎样的位置关系？
17．已知：如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm．若以A为圆心作圆，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
18．如图，公路MN和公路PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/时，那么学样受影响的时间为多少秒？
19．在等腰三角形ABC中，B、C为定点，且AC=AB，D为BC的中点，以BC为直径作⊙D，问：（1）顶角A等于多少度时，点A在⊙D上？（2）顶角A等于多少度时，点A在⊙D 内部？（3）顶角A等于多少度时，点A在⊙D外部？
20．如图，点C在以AB为直径的半圆上，∠BAC=20°，∠BOC等于（）
A．20°B．30°C．40° D．50°
21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=4，BC=9，AB=12，M为AB的中点，以CD为直径画圆P，判断点M与⊙P的位置关系．
22．生活中许多物品的形状都是圆柱形的．如水桶、热水瓶、罐头、茶杯、工厂里用的油桶、贮气罐以及地下各种管道等等．你知道这是为什么吗？尽你所知，请说出一些道理．。
九年级数学下册第3章圆3.1圆导学案新版北师大版_
3.1圆预习案一、预习目标及范围：1.知道圆的有关定义及表示方法.2.掌握点和圆的位置关系.3.会根据要求画出图形.预习范围：P51-52二、预习要点1.判断点与圆的位置关系的方法：设⊙Ｏ的半径为r，则点P与⊙O的位置关系有（1）点P在⊙Ｏ上则 OP r（2）点P在⊙Ｏ内则 OP r（3）点P在⊙Ｏ外则OP r2.要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点到的距离相等.三、预习检测1.正方形ABCD的边长为3cm，以Ａ为圆心，３cm长为半径作⊙Ａ，则点Ａ在⊙Ａ，点Ｂ在⊙Ａ，点Ｃ在⊙Ａ，点Ｄ在⊙Ａ.２.已知⊙Ｏ的半径是５cm，Ａ为线段ＯＰ的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点Ａ与⊙Ｏ的位置关系：当OP＝６cm时，;当OP＝10cm时，;当OP＝14cm时，;3.已知⊙O的面积为25π，判断点P与⊙O的位置关系．（1）若PO=5.5，则点P在；（2）若PO=4，则点P在；（3）若PO=，则点P在圆上．4.已知圆P的半径为3，点Q在圆P外，点R在圆P上，点H在圆P内，则PQ______3，PR______3,PH______3.5.一个点到已知圆上的点的最大距离是8，最小距离是2，则圆的半径是______.探究案一、合作探究活动内容1：活动1：小组合作观察车轮，你发现了什么？车轮为什么做成圆形?车轮做成三角形、正方形可以吗？探究1;（1）如图，A，B表示车轮边缘上的两点，点O表示车轮的轴心，A，O之间的距离与B，O之间的距离有什么关系？（2）C表示车轮边缘上的任意一点，要使车轮能够平稳地滚动，C，O之间的距离与A，O之间的距离应满足什么关系？明确：探究2：投圈游戏一些学生正在做投圈游戏,他们呈“一”字排开,这样的队形对每个人公平吗?你认为他们应当排成什么样的队形?为了使投圈游戏公平,现在有一条3米长的绳子, 你准备怎么办?。
北师大数学九年级下册第三章圆导学案
3.1圆１、从圆的形成过程，我们可以得出：定义1：平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周, 另一个端点所形成的_____叫做圆．定义2：平面上到______的距离等于______的所有点组成的图形叫做圆.定点叫做_____，______叫做半径．以点O 为圆心的圆，记作“_____”，读作“______”．外延：①的线段叫做弦;②的弦叫做直径；③部分叫做圆弧，简称，叫做优弧， 小于半圆的弧叫做弧．④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做.能够重合的两个圆叫做______；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做______．２、确定圆有两个要素：①_______（确定圆的______）；②_________（确定圆的______）.二、小组学习：1.以O 为圆心的圆可以画_________个圆，这些圆叫_______________.以2cm 为半径的圆可以画________个圆，这些圆是________________.2.平面内，设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则有d >r ⇔点P 在⊙O ______；d =r ⇔点P 在⊙O ______；d <r ⇔点P 在⊙O ______．3.下列说法正确的是①直径是弦②弦是直径③半径是弦④半圆是弧，但弧不一定是半圆⑤半径相等的两个半圆是等弧⑥长度相等的两条弧是等弧⑦等弧的长度相等4.如图，圆中有条直径，条弦，以A 为一个端点的劣弧有条．5.在矩形ABCD 中，AB =6cm ,AD =8cm ，（1）若以A 为圆心，6cm 长为半径作⊙A ，则点B 在⊙A ______，点C 在⊙A _______，点D 在⊙A ________，AC 与BD 的交点O 在⊙A _________；D3.2圆的对称性1.如图所示的⊙O 中，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？结论1：在同一个圆中，相等的圆心角所对的____相等，所对的相等．2.在⊙O 和⊙O′中， 分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O 与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O′A′重合．在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等吗？结论2：我们可以得到下面的定理：______________________________________.同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角____， 所对的弦也．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角____， 所对的弧也.3.如右图，在⊙O 中，AB、CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．(1)如果CD AB =，则有，.(2)如果，则有，.(3)如果COD AOB ∠=∠，则有，.(4)如果∠AOB=∠COD，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？(5)如果OE=OF，那么弧AB 与弧CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？∠AOB 与∠COD 呢？ 为什么？(6)如果CD AB =，则OE 与OF 相等吗？为什么？B 'B ''A*3.3垂径定理【结构梳理】1.圆是_________图形，其对称轴是__________________的直线.2.垂径定理是由被称为"几何之父"的古希腊数学家欧几里得（Ευκλειδης）提出的．它是圆的重要性质之一，是证明圆内线段相等，角相等，垂直关系的重要依据，也为圆中的计算，证明和作图提供了依据，思路和方法．垂径定理本身的内涵也非常丰富．对于以上①②③④⑤，已知任意两条，可推出其余三条，称为知二推三．请大家以小组为单位探究以上定理的证明过程．(垂径定理：垂直于弦的直径平分，并且平分．)已知：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径EF，使EF⊥AB，垂足为D.求证：AD=BD，EF平分AFB，EF平分AEB(垂径定理的一个推论：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分．)已知：如图，AB是⊙O的一条弦（不是直径），直径EF平分AB，交AB于点D.求证：EF⊥AB，EF平分AFB，EF平分AEB①垂直于弦：EF⊥AB于点D②过圆心：EF过圆心O③平分弦：AD=BD④平分弦所对的优弧：EF平分AFB⑤平分弦所对的劣弧：EF平分AEB 垂径定理一、预习导学1.叫圆心角.2.在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对的度数.二、自主学习1.如图，点B、D、E在⊙O上，∠B、∠D、∠E有什么共同的特征？①顶点在_______，②并且两边_______________________的角叫做圆周角.2.度量∠B、∠D、∠E的大小，它们的数量关系是_______________.3.如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分别是BC所对的圆心角、圆周角，①∠BA1C＝＿＿，∠BA2C＝＿＿，∠BA3C＝＿＿；②通过计算发现：∠BAC＝＿＿∠BOC．4、从一般情况来看，如图，BC所对的圆心角有多少个？BC所对的圆周角有多少个（位置有什么不同）？请在图中画出BC所对的圆心角和圆周角，并与同学们交流.思考与讨论①观察上图，在画出的无数个圆周角，这些圆周角与圆心O有几种位置关系？②设BC所对的圆周角为∠BAC，除了圆心O在∠BAC的一边上外，圆心O与∠BAC还有哪几种位置关系？对于这几种位置关系，结论∠BAC＝12∠BOC还成立吗？试证明之．通过上述讨论发现：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.CB【结构梳理】2.如图，在△ABC 中，OA=OB=OC,则∠ACB=°.请证明：二、自主学习1.如图，BC 是⊙O 的直径,它所对的圆周角是锐角、钝角，还是直角？为什么？2.如图，在⊙O 中，圆周角∠BAC=90°，弦BC 经过圆心吗？为什么？3.归纳自己总结的结论：（1）（2）注意：（1）这里所对的角、90°的角必须是圆周角；（2）直径所对的圆周角是直角在圆的有关问题中经常遇到，也是圆中常见辅助线.4.小明在分析几何问题时发现，如果题目中给出条件却没有给出相应的图形，那么就会出现因为图形的位置不确定而需要考虑多种情况的可能．请你与小明通过作图解决以下问题．在直径为4的⊙O 中，弦AB ＝，点C 是圆上不同于A ，B 的点，求∠ACB 的度数．第1题OCBA第2题番外篇圆内接四边形学习目标：1.识记圆的内接四边形的概念 2.掌握圆内接四边形的性质一、预习导学1.如图1，△ABC叫⊙O的_________三角形，⊙O叫△ABC的_________圆.2.如图1,若的度数为1000,则∠BOC=,∠A=______3.如图2四边形ABCD中,∠B与∠1互补,AD的延长线与DC所夹∠2=600,则∠1=_________,∠B=_________.4.判断:圆上任意两点之间分圆周为两条弧,这两条弧的度数和为3600()二、自主学习1.如图3,四边形ABCD的各顶点都在⊙O上,所以四边形ABCD是⊙O的_________四边形,⊙O叫四边形ABCD的_________圆.2.你能解决下列问题吗?如上图:(1)∵所对圆心角为∠1，所对圆心角为∠2,∴∠1+∠2=的度数+的度数=______度.∵∠BAD=21∠2（___________________________），∠BCD=21∠1（同上）∴∠BAD+∠BCD=21∠2+21∠1=_______(2)为什么∠DCE=∠A?3.如图4，5，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上.⑴如图4，当圆心O在四边形内部时，猜想四边形ABCD的对角的关系，并说明理由.⑵如图5，当圆心O在四边形外部时，⑴中的结论是否成立？并说明理由.归纳：圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角，任意一个外角都等于.三、达标练习1.如图6四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=____，∠B+∠ADC=_____;若∠B=800，则∠ADC=______∠CDE=______2.圆内接平行四边形必为()A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形3.如图7在⊙O中，∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A的度数.EDCBA21AB CODC EBAo21图2图3图1图6EDBAC80图73.5确定圆的条件探究1：经过不同的点作圆（请你在下面空白处作图探究）(1)作经过已知点A 的圆，这样的圆你能作出多少个？(2)做经过已知点A ，B 的圆，这样的圆有多少个？它们的圆心分布有什么特点？(3)作经过A ，B ，C ，三点的圆，这样的圆有多少个？如何确定它的圆心？由以上作圆可知过已知点作圆实质是确定和，因此(1)过一点的圆有个；(2)过两点的圆有个，圆心在上；(3)过不在同一条直线上的三点作个圆，圆心是.探究2：三角形的外接圆：过三角形ABC 三顶点作一个圆，这个圆叫做三角形的_________，这个圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做圆的.锐角三角形的外心在；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心在．二、合作学习1.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A ，B ，C ，其中B 点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为．2.学校花园里有一块矩形的空地，空地上有三棵树A ，B ，C ，学校想修建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．（1）请你把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若△ABC 中，BC ＝4米，AC ＝3米，∠C ＝90°，试求圆形花坛的面积．3.6.1直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系相离相切相交图形公共点个数及名称d 与R 的大小关系直线名称探究1：切线的性质定理1.圆的切线的半径．如图：已知直线l 是⊙O 的切线，切点为A ，连接0A,用符号语言来表示定理：∵∴2.常用的辅助线：连接与.探究2：切线的性质定理的推论若一条直线满足：①过圆心，②过切点，③垂直于切线,这三个条件中的任意个，就必然满足第个，即：①②O A3.6.2直线和圆的位置关系--切线的判定与三角形内切圆【结构梳理】1.探究：如图，点A 在⊙O 上，请过点A 画一条直线l ，使得 l OA ，判断直线l 与⊙O 的位置关系.由此得切线的判定定理(文字语言）：的直线是圆的切线.符号语言：2.分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明与它们内心的位置情况?二、合作学习判断（1）过半径的外端的直线是圆的切线（）（2）与半径垂直的的直线是圆的切线（）（3）过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）这说明我们要牢记一条直线是圆的切线必须满足1：2三、总结提升1.判定切线的方法有哪些？2.常用的添辅助线方法？⑴直线与圆的公共点已知时，则⑵直线与圆的公共点不确定时，则*3.7切线长定理如图，点P 在⊙O 外，过点P 作⊙O 的切线，能作出条，它们的数量关系是.证明：二、合作学习问题提出：如图1，一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西120km 处（即点O 的位置），受影响的范围是半径长为40km 的圆形区域．已知港口位于台风中心正北50km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响?探究思路：为了解决这个实际问题，先将其转化成数学问题，如图2，⊙O 表示台风影响的范围，O 是台风中心，圆的半径长为40km ，AB 表示这艘轮船的航线.请结合以下解题思路，尝试解决本题．（1）本题主要研究哪些图形之间的关系？（2）应比较哪些量之间的关系?（3）最终你是如何判断轮船受不受影响?图13.8圆内接正多边形正多边形边数内角中心角边长边心距周长面积3456n lr 21小明同学在学习了课本P 98提供的利用尺规作正五边形的方法之后，想借助这个图形得到一个正三角形，以下是他设计的尺规作图过程．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，第1步．作直径AF ．第2步．以F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与⊙O 交于点M ，N ．第3步．连接AM ，MN ，NA ．（1）请根据小明设计的作法补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；（2）请你帮小明求出∠ABC 的度数．（3）小明想说明△AMN 是正三角形，他的部分推理过程如下，请你帮他补全推理过程．理由：连接ON ，NF ，…3.9弧长及扇形的面积【结构梳理】一、温故知新：圆的周长公式是,圆的面积公式是.二、自主探究：1.圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．1°的圆心角所对的弧长是_______.2°的圆心角所对的弧长是_______.4°的圆心角所对的弧长是_______.……n°的圆心角所对的弧长是_______.2.什么叫扇形？.3.圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积，设圆的半径为R，=_______.1°的圆心角所对的扇形面积S扇形2°的圆心角所对的扇形面积S=_______.扇形=_______.5°的圆心角所对的扇形面积S扇形……n°的圆心角所对的扇形面积S=_______.扇形4.比较扇形面积公式和弧长公式，如何用弧长表示扇形的面积？(写出推导过程)。
北师大版九年级数学下册：3.1 圆 学案
圆【学习目标】1．能说出圆的概念；2．知道点和圆有哪些位置关系，并能进行判断。
【学习重点】正确理解圆的概念，掌握点和圆的位置关系。
【学习过程】一、学习准备1．探究活动让我们大胆的设想一下，如果我们的自行车轮做成正方形，会怎样？如图：E 、B 表示车轮边缘上的两点，它们到轴心O 的距离大小如何？这样会导致会导致什么后果？如果将车轮换成如图形状，是否保证车轮能够平稳地滚动？如图：A 、B 表示车轮边缘上任意两点，则它们到轴心O 的距离：___________一些同学做投圈游戏，大家均站在线外，欲用圈套住离他们2m 远的目标，有如图两种方案供选择，你的选择是_______，理由：_______________________。
二、解读教材1．圆的概念平面上：_________________________________________________________叫做圆，其中__________圆心，____________半径，以点O 为圆心的圆记作___________，读作___________________。
确定一个圆需要两个要素：一是位置，圆的__________确定圆的位OO置；二是大小，圆的__________确定圆的大小。
① 以3cm 为半径可以画______个圆，以点O 为圆心可以画______个圆，____________________只能画一个圆。
② 我们所学的圆，就是我们日常所说的__________（填圆面或圆周）2．点与圆的位置关系如图是一个圆形靶的示意图，O 为圆心，小明向上面投了A 、B 、C 、D ．E 5枚飞镖，则 ①__________在⊙O 内，__________在⊙O 外，点B 在__________③ 试比较每个点到O 点的距离与⊙O 半径r 的大小__________ ＞r __________ = r__________ ＜r小结：（1）点与圆的位置关系有________，它们是__________________________________________________。
北师大版九年级下册数学第三章 圆第1节《圆》导学案
【圆】（P65-67页）【学习目标】1、知道并领会圆、弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧的概念；2、能根据点到圆心的距离d和圆的半径r的关系判定点与圆的位置关系。
一、新知学习1、自学课本65页到67页，写下疑惑摘要：2、请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。
如下图，在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做_____。
固定的端点O叫做_____，线段OA 叫做_____，用r(或R)表示。
这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记作“o”，圆的位置由______决定，圆的大小由__________决定。
如图经过圆上一点可以画无数弦，其中一条弦AB经过圆心OA,则AB就是o直径，显然，直径是半径的2倍。
A(1) 弦：什么是弦呢？什么样的弦是直径呢？(2) 弧：什么是弧呢？什么是半圆呢？(3) 什么是等弧呢？什么是等圆呢？(4) 点与圆的位置关系有几种呢？都是哪几种？2、你知道车轮为什么做成圆的吗？阐述一下你的观点。
二、知识梳理三、学习评价【当堂检测】1、已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，说明理由．2、点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是．3、如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法．参考答案：1、（1）点P在圆内（2）点P在圆上（3）点P在圆外2、0≤d<33、略【自我评价】1、本节课有困惑的题目是：2、本节课的学习收获是：。
九年级数学下册第3章圆3.1圆教案新版北师大版
《圆》◆模式介绍“传递-接受”模式是指在教学过程中教师主要通过口授、板书、演示，学生则主要通过耳听、眼看、手记来完成知识与技能的传授和学习，从而达到教学目标要求的一种教学模式．该模式以传授系统知识、培养基本技能为目标．其着眼点在于充分挖掘人的记忆力、推理能力与间接经验在掌握知识方面的作用，使学生比较快速有效地掌握更多的信息量．该模式强调教师的指导作用，认为知识是教师到学生的一种单向传递的作用，非常注重教师的权威性．“传递-接受”教学通常包括以下五个教学环节：复习旧知——激发动机——讲授新知——巩固运用——检查评价◆设计说明首先通过问题1通过复习圆的“旋转”定义及相关概念，为学习本节内容做好知识储备．问题2通过对游戏队形的讨论，使学生认识圆的本质特征，为下面引出圆的“集合”定义做准备．通过问题3用集合的思想引出圆的第二种定义，有利于学生对圆的本质的认识，同时为后续学习“轨迹”的概念打下基础．通过问题4的探究，使学生了解点与圆的位置关系，并体会定性分析与定量分析的关系．“做一做”再次让学生经历用集合的观点理解图形有过程．“议一议”联系学生的实际，培养了学生用数学的意识．◆教材分析本节是北师大版义务教育教科书《数学》九年级下册第三章《圆》的第1节《圆》的教学内容，主要学习圆的集合概念及点与圆的三种位置关系等知识，本节内容是继续研究圆的性质的基础．教材一开始通过投圈游戏引出圆的概念的．圆的定义方法有两种，一种是描述性定义，一种是集合性定义．圆的描述性定义，要让学生用自己的语言尝试表述，教师可以引导学生通过观察画加深理解；圆的集合定义，应通过观察、体会画圆的过程，引导学生从圆和点两个方面去思考得出圆的集合定义．得出圆的定义后，接着介绍圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧等相关性质．本节的第2部分是通过研究点到圆心的距离与半径的数量关系得出点与圆的三种位置关系，补充的“议一议”是教材67-68页的“读一读”内容，联系学生的生活实际，增强学生用数学的意识．◆教学目标【知识与能力目标】1、理解圆的概念，理解弦和弧的概念．2、了解点与圆的位置关系．【过程与方法】经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆的位置关系的过程，让学生体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系．【情感态度与价值观】经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆的位置关系的过程，让学生感受集合的观点．◆教学重难点【教学重点】理解圆的概念，了解点与圆的位置关系．【教学难点】用集合的观点研究圆的概念．◆课前准备多媒体课件、教具等．◆教学过程【复习旧知】问题1 在七年级上学期，我们已经对圆有了初步认识，对圆的相关知识你还记得吗？⑴什么样的图形叫做圆？什么点称之为圆的圆心？怎样的线段称之为圆的半径？⑵圆弧（弧）是怎么定义的？⑶什么图形叫做扇形？什么角叫做圆心角？结论：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆.固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径．圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧．由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形．顶点在圆心的角叫做圆心角．设计意图：通过复习圆的“旋转”定义及相关概念，为学习本节内容做好知识储备．【激发动机】问题2 如图，一些学生正在做投圈游戏，他们的投圈目标是图中的花瓶．如果他们呈“一”字排开，这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？活动目的：通过对游戏队形的讨论，使学生认识圆的本质特征，为下面引出圆的“集合”定义做准备．说明：学生可能会有不同的想法，教学时既在对学生合理的想法给予肯定，又要注意引导，如果单纯考虑“距离”因素，那么排成圆形（或圆弧形）队伍比较公平．【讲授新知】问题3 如图，到O点的距离等于线段OC长的所有点有哪些？这些点集合在一起得到一个什么图形？由此，用“点的集合”可以给圆下定义吗？设计意图：通过问题3用集合的思想引出圆的第二种定义，有利于学生对圆的本质的认识，同时为后续学习“轨迹”的概念打下基础．概念：事实上，圆还可以看成是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，定点是圆心，定长是半径．以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”．连接圆上任意两点的线段叫做弦，如AB；经过圆心的弦叫做直径，如CD．我们知道，圆上任意两点间的部分叫做圆弧．圆上任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．能够重合的两个圆叫做等圆．在同一圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．问题4 如图，⊙O是一个半径为r的圆，在圆内、圆上、圆外分别取一点，点到圆心的距离为d，你能用r和d的大小关系来刻画它们的位置特征吗？活动目的：通过问题的探究，使学生了解点与圆的位置关系，并体会定性分析与定量分析的关系.结论：圆上的点到圆心的距离都等于半径；圆外的点到圆心的距离大于半径；•圆内的点到圆心的距离小于半径．点P在圆外，即d>r；点P在圆上，即d=r；点P在圆内，即d<r．反之，d>r，即点P在圆外；d=r，即点P在圆上；d<r，即点P在圆内．做一做：设AB=3cm，画图说明满足下列要求的图形：（1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形．（2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形．设计意图：让学生再次经历用集合的观点理解图形有过程．解：（1）如图1，所求图形即P，Q两点．（2）如图2，所求的图形为阴影部分（不包括阴影的边界）．议一议：车轮为什么做成圆形？如果做成正方形会有什么结果？设计意图：联系学生的实际，培养学生用数学的意识．分析：如图，把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳；如果做成其他图形，比如正方形，正方形的中心（对角线的交点）距离地面的距离随着正方形的滚动而改变，因此中心到地面的距离就不是保持不变，因此不稳定．例题矩形的四个顶点能否在同一个圆上？如果不在，说明理由；如果存在，指出这个圆的圆心和半径.解：如图，连接AC、BD交与点O，在矩形ABCD中，∵OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD，∴OA=OB=OC=OD，∴A、B、C、D者这四个点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上．归纳：要证明几个点在同一个圆上，先确定圆心，再证明这几个点到圆心的距离相等．【巩固运用】学生练习：课本66页随堂练习第1题，第2题．课堂小结：师生共同回顾本节内容，并请学生回答下列问题：1、本节课学习了哪些主要内容？（1）圆、弧、弦、直径、同心圆、等圆、等弧、等与其相关的概念．（2）点和圆的位置关系．2、本节课你有什么收获和体会？体会了圆的不同定义方法，了解了点和圆的三种位置关系，感受圆和实际生活的紧密联系．3、对本节课所学知识你还有哪些疑惑？【检查评价】布置作业：1、教科书习题3.1第1题，第2题．（必做题）2、教科书习题3.1第3题，第4题．（选做题）◆教学反思略．（本资料素材和资料部分来自网络，供参考。
北师大版九年级数学下第三章圆：3.1圆、(教案)
今天的学习，我们了解了圆的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂中，我带领学生们探索了圆的世界。从圆的定义到方程，再到切线、弦、圆心角等概念，我们一起学习了圆的基本性质和应用。课后，我对教学过程进行了反思，有几点想要分享。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆相关的实际问题，如计算圆形花园的面积。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过测量和计算，演示圆的面积和周长的计算方法。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
北师大版九年级数学下第三章圆：3.1圆、（教案）
一、教学内容
北师大版九年级数学下第三章圆：3.1圆
1.圆的定义与基本性质
-圆的集合定义：平面上所有与定点的距离相等的点的集合
-圆的圆心和半径
-圆的对称性质
2.圆的 r²
-圆的一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0
在实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的表现让我感到欣慰。他们能够运用所学知识解决实际问题，并且在小组内展开了积极的讨论。但我也发现，部分小组在讨论过程中，成员之间的交流并不充分，有些学生显得较为被动。针对这个问题，我计划在接下来的课程中，加强小组合作学习的指导，鼓励学生们积极参与，提高他们的合作能力。
-突破方法：通过分组讨论、证明和实践，让学生从多个角度理解和掌握这些定理。
北师大版数学九年级下册3.1《圆》教案
北师大版数学九年级下册3.1《圆》教案一. 教材分析《圆》这一节主要介绍了圆的定义、圆的性质、以及圆的方程。
这是九年级学生继学习直线、三角形、四边形之后，首次接触到的平面几何中的基本图形。
通过学习圆的相关知识，为学生以后学习圆锥、圆柱等立体几何图形打下基础。
此节内容在教材中的地位和作用非常重要。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对平面几何图形有了一定的认识。
但是，圆作为一个新的几何图形，其特殊的性质和方程的求解对于学生来说是一个挑战。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解和掌握圆的相关知识。
三. 教学目标1.让学生了解圆的定义和性质，能够运用圆的性质解决一些简单的问题。
2.让学生掌握圆的方程的求解方法，能够运用圆的方程解决一些实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.圆的性质的理解和运用。
2.圆的方程的求解方法和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来理解和掌握圆的相关知识。
2.采用实例教学法，通过具体的实例来引导学生理解和运用圆的性质和方程。
3.采用分组合作学习的方式，让学生在合作中思考，在思考中学习。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括圆的定义、性质、方程等内容。
2.准备一些实际的例子，用于引导学生理解和运用圆的相关知识。
3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一些实际生活中的例子，如自行车轮子、地球等，引导学生对圆有一个直观的认识，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍圆的定义和性质，让学生理解圆的基本特征，并通过PPT展示一些相关的定理和推论。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实际的例子，运用所学的圆的性质来解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固对圆的性质的理解和运用。
5.拓展（5分钟）介绍圆的方程的求解方法，让学生了解如何通过圆的方程来解决实际问题。
北师大版九年级数学下册：3.1《圆》教案
北师大版九年级数学下册：3.1《圆》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册3.1《圆》是学生在学习了直线、射线、线段的基础上，进一步对圆的概念、性质和圆与其他几何图形的关系进行探讨。
本节课的内容包括圆的定义、圆的半径和直径、圆的周长和面积等，这些都是基础知识，对于学生来说比较抽象，需要通过实例和操作来理解和掌握。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对直线、射线、线段等概念有一定的了解。
但是，圆的概念比较抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，需要通过实例和操作来帮助学生理解和掌握圆的概念。
同时，学生对于实际操作和图形观察比较感兴趣，可以利用这一点来提高学生的学习兴趣。
三. 教学目标1.知识与技能：理解圆的定义，掌握圆的半径和直径的性质，会计算圆的周长和面积。
2.过程与方法：通过实例和操作，培养学生的观察能力和思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.圆的定义和性质。
2.圆的周长和面积的计算。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、合作学习法等，通过引导学生观察、思考、讨论，激发学生的学习兴趣，培养学生的观察能力、思维能力和创新能力。
六. 教学准备1.准备相关的实例和图片，用于引导学生观察和理解圆的概念。
2.准备圆的模型或图片，用于讲解圆的性质。
3.准备圆的周长和面积的计算公式，用于讲解和练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中的圆形物体，如硬币、车轮等，引导学生观察和思考：什么是圆？圆有哪些特点？2.呈现（10分钟）讲解圆的定义和性质，引导学生理解圆的概念。
展示圆的半径和直径的性质，让学生通过观察和操作，理解半径和直径的关系。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，用圆规和直尺画圆，测量圆的半径和直径，计算圆的周长和面积。
通过实际操作，让学生加深对圆的概念的理解。
4.巩固（10分钟）出示一些有关圆的练习题，让学生独立完成，检查学生对圆的概念和计算方法的掌握情况。
北师大版九年级下第三章圆导学案
3.1车轮为什么做成圆形学习目标、重点、难点【学习目标】1.经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程.2.理解圆的概念，理解点与圆的位置关系. 【重点难点】1.圆及其有关概念，点与圆的位置关系.2.用集合的观念描述圆.知识概览图新课导引【生活链接】 在现实生活中，通过观察你会发现，像车轮、齿轮等都做成圆形，家用餐具中，锅、碗、盆等多数也是圆形．【问题探究】 在现实生活中，还有许多物品都是做成圆形的．那么，你能描述出什么样的图形叫做圆吗?【点拨】 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆． 教材精华知识点1 圆的定义平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．其中，定点称为圆心，定长称为半径的长(通常也称为半径)．如图3－1所示，OA 为半径，以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ”．拓展 确定一个圆需要两个要素：一是圆心；二是半径．圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽然圆的位置固定，但大小不确定，因而圆不确定；只有半径没有圆心，虽然圆的大小固定，但圆心的位置不确定，因而圆也不确定．只有圆心和半径都固定了，圆才被唯一确定．探究交流 (1)以已知点O 为圆心，可以画 个圆； (2)以已知线段AB 的长为半径，可以画 个圆．点拨 由于确定一个圆要有两个条件，即圆心和半径，而两个问题中都只有一个条件，这样的圆不能确定．故都应填“无数”．同时要注意到(1)中的圆都有相同的圆心，称为同心圆；(2)中的圆都有相同的半径，称为等圆．知识点2 点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内，如图3－2所示．点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径(OA ＞r )； 点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径(OB ＝r )； 点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径(OC ＜r )．拓展 点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．即：如果圆的半径是r ，点到圆 圆的定义点与圆的位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外＜r．探究交流设AB＝3 cm，作图说明满足下列要求的图形．(1)到点A和点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形；(2)到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形．点拨(1)到点A的距离都等于2 cm的所有点组成的图形是⊙A，到点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形是⊙B，同时满足这两个条件的点为既在⊙A上，又在⊙B上的点，即为点P、点Q(如图3－3所示)．(2)满足条件的点为既在⊙A内，又在⊙B内的点，即如图3－4所示的阴影部分，但要注意不包括阴影的边界．规律方法小结1．本节运用的思想方法有分类讨论思想和转化思想．如：在分析点与圆的位置关系时，运用了分类讨论思想，而在判断点与圆的位置关系时，把问题转化为用点到圆心的距离与半径之间的数量关系来判断，运用了转化思想．2．(1)确定一个圆需要圆心和半径两个要素．(2)点与圆的位置关系可由点到圆心的距离与半径之间的数量关系来确定．课堂检测基本概念题1、求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．基础知识应用题2、两个圆的圆心都是O，半径分别为r和R(R＞r)，点A满足r＜OM＜R，那么点A在 ( )A．小圆内 B．大圆内 C．小圆外大圆内 D．小圆内大圆外综合应用题3、如图3－6所示，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm，AD＝4 cm．(1)以点A为圆心，4 cm长为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何?(2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么?4、如图3－7所示，⊙O′过坐标原点O，点O′的坐标为(1，1)，判断点P(－1，1)，Q(1，0)，R(2，2)和⊙O′的位置关系．探索与创新题5、爆破时，导火索燃烧时的速度是每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域．如果这根导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全?6、已知线段AB＝4 cm，试用阴影表示到点A的距离不小于3 cm，而到点B的距离小于2 cm的点的集合．体验中考1、在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心O的距离为3 cm．则点P与⊙O的位置关系是．2、如图3－11所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB的度数为．学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、已知：如图3－5所示，四边形ABCD 为矩形，O 是对角线AC 和BD 的交点．求证：A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上．分析 欲证A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上，需证明OA ＝OB ＝OC ＝OD ．证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以AC ＝BD ，OA ＝OC ＝21AC ，OB ＝OD ＝21BD ，所以OA ＝OB ＝OC ＝OD ．所以A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上．【解题策略】 解此类题要把文字语言转化为数学语言，根据题意画出图形，写出已知、求证，再进行证明，这是解此类问题的一般步骤．2、分析 由于r ＜OA ，所以点A 在小圆外，而OA ＜R ，所以点A 在大圆内．故选C ． 【解题策略】 要判断平面上一点与圆的位置关系，只需比较该点到圆心的距离与半径的大小即可．3、分析 要判断B ，C ，D 与⊙A 的位置关系，只需比较AB ，AC ，AD 的长与半径4 cm 的大小．解：(1)连接AC ．∵AB ＝3 cm ＜4 cm ，∴点B 在⊙A 内． ∵AD ＝4 cm ，∴点D 在⊙A 上．在Rt △ABC 中，∵AC ＝222243+=+BC AB ＝5 cm ＞4 cm ，∴点C 在⊙A 外．(2)∵AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm ，AC ＝5 cm ，∴点B 到圆心A 的距离3 cm 是最短的距离，点C 到圆心A 的距离5 cm 是最长的距离．要使B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是3 cm ＜r ＜5 cm ．【解题策略】 要确定⊙A 的半径r 的取值范围，需要知道B ，C ，D 三点到点A 的距离，即确定出最短距离和最长距离，才能确定半径r 的取值范围．4、分析 解此题的关键是先求出⊙O ′的半径，即OO ′的长，其次要分别求出点P 、点Q 、点R 到圆心O ′的距离PO ′，QO ′和RO ′的长，再用OO ′的长与PO ′，QO ′和RO ′的长比较，即可得结论．解：⊙O ′的半径r ＝OO ′＝21122=+，2)11()11(22=-+--='O P ， 22(11)(01)1QO '=-+-=， 2)12()12(22=-+-='O R .∵QO ′＜r ．∴点Q 在⊙O ′内； ∵RO ′＝r ．∴点R 在⊙O ′上．【解题策略】 本题在解题中应用了平面内任意两点间的距离公式．设平面内任意两点的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221221)()(y y x x AB -+-=．5、分析 爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，120米为半径的圆的圆外部分．解：导火索燃烧的时间为9.018＝20(秒)，人跑的路程为20×6．5＝130(米)．∵130米＞120米，∴点导火索的人是安全的．【解题策略】 解此题的关键是求人跑的路程，再与120米相比较．6、分析 到点A 的距离不小于3 cm ．即所求点应在以A 为圆心、3 cm 长为半径的⊙A 的圆上及其外部；而到点B 的距离小于2 cm 的点应在以B 为圆心、2 cm 长为半径的⊙B 的内部．解：根据题意画出图形如图3－8所示，其中阴影部分即为所求． 体验中考1、分析 因为点P 到圆心O 的距离为3 cm ＜5 cm ，所以点P 在⊙O 内．故填点P 在⊙O 内．2、分析 本题比较容易，考查圆的相关性质，根据∠ACO ＝32°可知∠CAO ＝32°，从而∠COB ＝∠ACO ＋∠CAO ＝32°＋32°＝64°．故填3.2圆的对称性学习目标、重点、难点【学习目标】1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程． 2．理解圆的对称性及相关知识．3．理解并掌握垂径定理及其逆定理．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．【重点难点】1.垂径定理及其逆定理．2.垂径定理及其逆定理的证明.知识概览图新课导引圆的有关概念：弧、弦、直径 垂径定理及其逆定理圆的旋转不变性圆心角、弦心距等概念 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆的对称性教材精华知识点1 圆的轴对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．拓展 圆的对称轴有无数条．不能说每条直径都是圆的对称轴，因为图形的对称轴是一条直线，应该说每条直径所在的直线都是圆的对称轴． 知识点2 与圆有关的概念(1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示，如图3－13所示，以A ，B 为端点的弧记作“AB ”．读作“圆弧AB ”或“弧AB ”．(2)圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧(用三个字母表示，如图3－14所示的BAC )；小于半圆的弧叫做劣弧(如图3－14所示的BDC )．(3)连接圆上任意两点的线段叫做弦(如图3－14所示的线段CD )．(4)经过圆心的弦叫做直径(如图3－14所示的AB)．直径等于半径的2倍．拓展 (1)直径是弦，但弦不一定是直径．(2)半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧． 知识点3 垂径定理及其逆定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．如图3－15所示，垂径定理的题设和结论可用符号语言表示为：,,,,.AE BE CD O AD BD CD AB AC BC =⎧⎪⎫⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩经过圆心垂足为E拓展 (1)这里的“垂径”可以是直径、半径、过圆心的直线或线段．(2)条件中的“弦”可以是直径，结论中的“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧．垂径定理的逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．如图3－15所示，垂径定理的逆定理的题设和结论可用符号语言表示为：,,(,()(.CD AB CD O CD ACB AC BC CD AB AB CD ADB AD BD ⎧⎪⎫⎪⇒=⎬⎨⎭⎪=⎪⎩垂直于弦经过圆心平分即平分弦不是直径平分即拓展 一定不能忽略“弦不是直径”这个条件，因为圆中任意两条直径总是互相平分的，但它们未必垂直．由垂径定理及其逆定理可得的其他结论．对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么就可推出其他三个：①垂直于弦；②平分弦；③平分弦所对的优弧；④平分弦所对的劣弧；知识点4 圆的旋转不变性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．实际上，一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质是圆的旋转不变性．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例． 如图3－16所示，⊙O 绕圆心O 旋转任意一个角度α，⊙O 上的任意点A 与A ′重合，即⊙O 上的所有点旋转α角后，都与⊙O 上的点重合．知识点5 圆心角、弦心距的概念 顶点在圆心的角叫做圆心角． 圆心到弦的距离叫做弦心距． 如图3－17所示，∠AOB 是⊙O 的一个圆心角，垂线段OC 的长为弦AB 的弦心距．知识点6 圆心角、弧、弦之间的关系圆的一个特性：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．如图3－18所示，若下列三个等式：①∠AOB ＝∠COD ，②AB ＝CD ，③AB CD =中有一个等式成立，则其他两个等式也成立．拓展 (1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若丢掉这个前提条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(2)要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义，否则易错用此关系．(3)上述关系中的“弧”一般指劣弧．(4)在具体运用上述关系解决问题时，可根据需要选择其有关部分．如：在同圆中，相等的弦所对的弧相等；在等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．(5)上面的定理可以扩充为“圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系的定理”——在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．如图3－19所示，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，若下列四个等式：①∠AOB ＝∠COD ，②AB ＝CD ，③AB CD =，④OE ＝OF 中有一个等式成立，则其他三个等式也成立．探究交流 长度相等的弧是等弧．点拨 因为在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧，所以等弧必须是在同圆或等圆中的弧，也只有在同圆或等圆中，两条弧才可能互相重合．因此长度相等的弧不一定是等弧．规律方法小结 1．本节解决问题的主要思想方法是数形结合思想，通过图形把垂径定理及其逆定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系展现出来，将几何问题代数化．如垂径定理的应用，解题过程中使用列方程的方法，用代数方法解决几何问题．2．(1)与圆有关的一些概念的比较．概念 区别与联系弦 半圆和弧半圆是弧，但弧不一定是半圆同心圆、等圆同心圆是指圆心相同、半径不等的圆；等圆是指半径相等、圆心不同的圆(2)垂径定理及其逆定理和几个相关的结论是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据．在理解定理的前提下，要把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径、弦心距、弦长及弓形的高之间的关系式．如图3－20所示，对于一个圆中的弦长a 、弦心距d 、半径r 及弓形的高h ，我们利用垂径定理和勾股定理，由a ，d ，r ，h 中的任意两个可求其他两个． ①若已知r ，d ，则a ＝2 22r d -；h =r －d ． ②若已知r ，h ，则a ＝2 (2)h r h -；d ＝r －h ．③若已知r ，a ，则222a d r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；222a h r r ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．④若已知d ，h ，则r ＝h ＋d ；a =2(2)h h d +．⑤若已知a ，d ，则222a r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；222a h d d ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．⑥若已知a ，h ，则2222a h d h ⎛⎫- ⎪⎝⎭=；2222a h r h⎛⎫+ ⎪⎝⎭=． 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．如图3－21所示，弦AB 与AB 及ACB 组成两个不同的弓形．弧的中点到弦的距离叫做弓形的高．如图3－22所示，C 为ACB 的中点，CD ⊥AB于D，则CD为弓形ACB的高．(3)在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦和两条弦的弦心距四组量之间的相等关系可以概括为：圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等．课堂检测基本概念题1、下列语句中，不正确的有 ( )①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一定点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧．A．①③④B．②③ C．② D．②④基础知识应用题2、如图3－23所示，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，直径MN⊥AB于E，MN 交CD于F，根据垂径定理，请你至少写出五个结论．3、如图3－25所示，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到AB 的距离为3 cm，则⊙O的半径长为 cm．4、如图3－26所示，在⊙O中，过圆周上一点A作弦AB和AC，且AB＝AC，M和N 分别为弦AB及AC的中点，连接MN并向两方延长，交圆于P和Q两点，求证PM＝NQ．综合应用题5、如图3－27所示⊙O1和⊙O2相交于A和B两点，过点A作O1O2的平行线交两圆于C，D两点，已知O1O2＝20 cm，求CD的长．6、如图3－28所示，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径画圆，分别交AD，BC 于E，F，延长BA交⊙A于G，求证GE EF．探索与创新题7、如图3－29所示，在半圆O中，半径OF⊥AB于O，OF交CD于点E，CD∥AB，则弦AC与BD是否相等?8、如图3－30所示，∠APC＝∠BPC，PC过圆心O，请判断PA与PB之间的大小关系．体验中考1、如图3－33所示，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为E，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为 ( )A．2 B．32、如图3－34所示，⊙O 的直径CD ＝10，弦AB ＝8，AB ⊥CD ，垂足为M ，则DM 的长为 ．3、如图3－35所示，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6 cm ，则直径AB 的长是 ( )A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、分析 ①是正确的；②不正确，因为弧不一定是半圆，如优弧是弧，但不是半圆；③是正确的；④不正确，因为等弧是在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧．所以不正确的有②④．故选D ．【解题策略】准确理解弦、直径、弧、半圆、等弧等与圆有关的概念．2、分析 由MN ⊥AB ．MN 为直径，可得AE ＝BE ，AM BM =，AN BN =．由MN ⊥AB ，AB ∥CD ，可得MN ⊥CD ，CF ＝DF ，CM DM =，CN DN =．又由CM DM =，AM BM =，可得CM AM DM BM -=-，即AC BD =．解：答案不唯一，如由MN ⊥AB ，MN 为直径，可得AE ＝BE ，AM BM =，NA BN =．由MN ⊥AB ，AB ∥CD ，可得MN ⊥CD ，CM DM =，CN DN =，AC BD =．【解题策略】 由本例我们得出垂径定理的一个重要推论，即圆的两条平行弦所夹的弧相等．如图3－24所示，若AB ∥CD ，则AC BD = ．3、分析 欲求半径长，可连接OB ．由垂径定理．可得BC ＝AC ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．在Rt △OCB 中，OB ＝222234OC BC +=+＝5(cm)．即⊙O 的半径长为5 cm ．故填5．【解题策略】 (1)垂径定理的应用常与勾股定理相联系．(2)连接半径是圆中常见的一种辅助线的作法．通过连接半径可构造出直角三角形，再利用勾股定理求相关线段的长度．4、分析 欲证PM ＝NQ ，由PQ 为弦，容易联想到作弦心距OH ，则PH ＝HQ 连接OM ，ON ．现只需证MH ＝HN 即可．又M ，N 分别为弦AB ，AC 的中点，易知OM ＝ON ，所以可证MH ＝NH ．证明：作OH ⊥PQ 于H ，则PH ＝HQ 连接OM ，ON ． ∵M ，N 分别是弦AB ，AC 的中点，∴OM ⊥AB ，ON ⊥AC ．∵AB ＝AC ，∴OM ＝ON ．∵OH ⊥MN ，∴MH ＝HN ．∴PH －MH ＝HQ －HN ，∴PM ＝NQ ．【解题策略】本例反复运用垂径定理及其逆定理和推论来达到证题的目的，要仔细体会遇弦作弦心距这种辅助线作法的应用．5、分析 可过O 1作O 1E ⊥CD 于E ，过O 2作O 2F ⊥CD 于F ，这样就可构造出矩形O 1O 2FE ，再利用矩形及垂径定理的相关知识求解．解：过O 1作O 1E ⊥AC 于E ，过O 2作O 2F ⊥AD 于F ， 由垂径定理，可得AE ＝EC ，AF ＝DF ，∴EF ＝AE ＋AF ＝12CD ．∵EF ∥O 1O 2，O 1E ∥O 2F ，O 1E ⊥AC ，O 2F ⊥AD ， ∴四边形O 1O 2FE 是矩形．∴EF ＝O 1O 2＝20 cm ，∴CD ＝2EF ＝40 cm ．【解题策略】 本题在解题过程中综合运用了垂径定理及矩形的判定和性质．6、分析 可连接AF ，欲证GE EF =，可证它们所对的圆心角∠GAE 与∠EAF 相等． 证明：连接AF ，则AB ＝AF ，∴∠ABF ＝∠AFB ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ∴∠DAF ＝∠AFB ，∠GAE ＝∠ABF ，∴∠GAE ＝∠EAF ，∴GE EF =．【解题策略】 在同圆中，圆心角、弧、弦之间的关系是证弧相等、角相等、线段相等的依据，一般在分析时，哪一组量与所证问题联系最紧，就应构造这一组量，再证明相等．7、分析 由图形和已知条件不难发现，半径OF 是弦CD 的中垂线，要探求弦AC 与BD 是否相等，只需判断圆心角∠AOC 与∠BOD 是否相等即可，可连接OC ，OD ． 解：连接OC ，OD ，则OC ＝OD ．因为OE ⊥AB ，所以∠AOE ＝∠BOE ＝90°． 又因为AB ∥CD ，所以OE ⊥CD ，CE ＝DE ，所以∠COE ＝∠DOE ，所以∠COA ＝∠BOD ，所以AC ＝BD ．【解题策略】 本题的解题关键是利用垂径定理和半径的性质求得∠COE ＝∠DOE ，而不需要由△COE ≌△DOE 来得到∠COE ＝∠DOE ．8、分析 PA ，PB 既不是弦也不是弧，而是弦上的线段，所以可以过O 作两弦的垂线．解：作OE ⊥PA ，OF ⊥PB ，垂足分别为E ，F ，则AE ＝12GA ，BF ＝12HB ．因为∠APC ＝∠BPC ，所以OE ＝OF ，所以GA ＝HB ，所以12GA ＝12HB ，所以AE ＝BF ．因为OE ＝OF ，OP ＝OP ，所以Rt △OPE ≌Rt △OPF ， 所以PE ＝PF ，所以PE ＋EA ＝PF ＋BF ，所以PA ＝PB ．【解题策略】 (1)圆心到弦的距离叫做弦心距；(2)在同圆或等圆中，若两条弧、两个圆心角、两条弦、两条弦的弦心距有一组量相等，则其余各组量都相等． 体验中考1、分析 在⊙O 中，AB 为直径，AB ⊥CD 于E ，所以∠DEB ＝90°，所以CE ＝DE ＝12CD＝2，所以BE ＝22(3)(2)-＝1．连接OD ，则O E ＝OD －BE ＝OD －1，所以在Rt △OED 中，OD 2＝(OD －1)2＋2(2)，解得OD ＝1．5．所以AB ＝2OD ＝3．故选B ．2、分析 在⊙O 中，CD 为直径，弦AB ＝8．AB ⊥CD ，所以AM ＝BM ＝4，连接OB ，则OB ＝5，在Rt △OBM 中，OM ＝2254-＝3，所以DM ＝5＋3＝8．故填8．3、分析 在⊙O 中，直径AB 垂直弦CD 于P ，CD ＝6 cm ，所以CP ＝DP ＝3 cm ，连接OD ，因为P 为OB 的中点，所以OP ＝12OD ，所以在Rt △ODP 中，(2OP )2＝OP 2＋32，解得OP ＝3±，因为OP ＞0，所以OP ＝3cm ，故AB ＝43cm ．故选D ．3.3圆周角和圆心角的关系学习目标、重点、难点【学习目标】1.了解圆周角的概念．2.理解圆周角定理的证明． 【重点难点】1.圆周角概念及圆周角定理．2.认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．知识概览图新课导引【问题链接】 如下图所示，通过观察发现，每一个图形都是由∠BAC 和⊙O 组成的．【问题探究】 通过观察可知第三个图中的∠BAC 是⊙O 的圆周角．那么什么叫做圆周角呢?【点拨】 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 教材精华知识点1 圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．拓展 圆周角有两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．二者缺一不可． 知识点2 圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．拓展 (1)定理的要求是同一条弧所对的圆周角和圆心角，从数值上来看，圆周角是圆心角的一半．(2)不能忽略“同一条弧”这个前提条件，不能简单表述成“圆周角等于圆心角的一半”．关于这个定理的证明，教材上采用的是分类讨论的证明方法，这种方法应认真理解．其证明要点是：(1)将已知图形之间的各种可能位置关系进行分类；(2)先证明特殊位置的情形；(3)利用特殊情形的结论证明其他情形，即把其他情形转化为已证的特殊情形进行证明；(4)归纳、总结出一般性结论．这种方法可应用于解题之中．本定理的证明可以通过画图观察，如图3－44所示，以圆上任意一点为顶点的圆周角，虽然有无数多个，但它们与圆心的位置关系归纳起来却只有三种情况：(1)圆心在角的一边上(如图3－44(1)所示)；(2)圆心在角的内部(如图3－44(2)所示)；(3)圆心在角的外部(如图3－44(3)所示)．在这三种情况下证明定理成立，进而证明在一般情况下也成立．圆周角和圆心角的关系 圆周角的概念 圆周角定理 圆周角定理的推论知识点3 圆周角定理的推论推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．如图3－45所示，AB所对的圆周角有∠ACB，∠ADB，∠AEB，因此∠ACB＝∠ADB＝∠AEB．拓展(1)若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论不成立．如图3－46所示，∠ACB，∠ADB，∠AEB所时的弦是同一条弦AB，∠ADB＝∠AEB，但∠ADB与∠ACB，∠AEB与∠ACB却不相等．(2)此推论的逆命题是一个真命题，可以作为圆周角定理的一个推论，其表述为：在同圆或等圆中．相等的圆周角所对的弧也相等．如图3－47所示．如果∠ACB＝∠DFE，那么AB DE．推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．如图3－48所示，若AB为直径，则∠ACB＝90°；若∠ACB＝90°，则AB为直径．由此得到：如果三角形的一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．规律方法小结1．(1)分类讨论思想：如本节中的圆周角定理，是分三种情况进行证明的，但对于各类所要证明的命题，应不应该分情况讨论，主要是看各种情况的证明方法是否相同．如果相同，那么不需要分情况证明；如果不同，那么必须分情况证明，而且情况要分得正确，不能重复或遗漏．(2)转化思想：在圆周角定理的证明过程所分的三种情况中，后两种情况是通过转化为第一种情况来证明的．2．圆心角与圆周角的比较．定义图形圆心角与圆周角的关系圆心角顶点在圆心的角一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如圆 周 角(1)顶点在圆上 (2)角的两边都与圆相交下图所示，∠ACB＝12∠AOB课堂检测基本概念题1、如图3－49所示，判断哪些角是圆周角．基础知识应用题2、如图3－50所示，在⊙O 中，∠AOC ＝150°，求∠ABC ，∠ADC ，∠EBC 的度数，并判断∠ABC 和∠ADC ，∠EBC 和∠ADC 的度数关系．3、如图3－51所示，已知AB 为⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，且AD ＝CD ，∠B ＝50°，求∠BAD ，∠DCB ，∠ADC 的度数．综合应用题4、如图3－52所示，AB ，CD 是半径为5的圆内互相垂直的两条直径，E 为AO 的中点，连接CE并延长，交⊙O于另一点F，求弦CF的长．5、如图3－53所示，已知⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD和BD的长．探索与创新题6、在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图3－54所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)体验中考1、如图3－59所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为 ( ) A．30° B．45°C．60° D．90°2、如图3－60所示，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台．3、如图3－61所示，在⊙O中，∠ABC＝40°，则∠AOC＝度．4、如图3－62所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为BC上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD＝度．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析只有(2)具备圆周角的两个特征．(1)(3)的顶点不在圆上，(4)(5)虽然顶点在圆上．但角的两边不与圆相交，因此(1)(3)(4)(5)都不是圆周角．解：(2)中的角是圆周角．【解题策略】正确理解圆周角的概念．2、分析解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如ADC所对的圆心角是∠AOC，所对的圆周角是∠ABC，ABC所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周角是∠ADC．解：∵∠AOC＝150°，∴∠ABC＝12∠AOC＝75°(圆周角定理)，∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°．∴∠ADC＝12∠α＝105°(圆周角定理)．∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°．∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，∠EBC＝∠ADC＝105°，∴∠ABC和∠ADC互补，∠EBC和∠ADC相等．【解题策略】理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角定理解题的前提．3、分析由AB是直径，连接AC，可得∠ACB＝90°．由AD＝CD．可得AD CD=，连接OD，可得OD⊥AC，OD∥BC，∠AOD＝∠B＝50°．由圆周角定理，可得∠DCA＝12∠DOA＝25°．只要求出∠DCA的度数，其余的角可以很容易求得．解：连接AC，OD．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵AD＝CD，∴AD CD=，∴OD⊥AC．∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴OD∥BC，。
(完整版)九年级数学下册3.1圆教案(新版)北师大版
一、教学目标1理解圆的描述定义，了解圆的集合定义•2、经历探索点与圆的位置关系的过程，以及如何确定点和圆的三种位置关系二、教学重点和难点重点：点与圆的位置关系难点：用集合的观点研究圆的概念三、教学过程（一）情境引入：一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开•思考：这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？（二）探究新知：【探究一】圆的定义及相关概念1. 请大家用自己的方式在学案上画一个圆2.尝试给圆下一个准确的定义，写下来定义1：当一条线段绕着在平面内旋转一周时，它的另一个端点所形成的图形就是- 一个圆。
定义：圆可以看成是到的距离等于的所有点组成的图形。
就是圆心, 就是半径，以0为圆心的圆记作，读作3•相关概念：弦、弧、直径、半径、半圆、等圆的相关概念半径：•连接圆心和圆上的的线段叫做半径，例如上图中的弦：连接圆上的线段叫做弦，例如上图中的直径：经过的叫做直径，例如上图中的弧: 圆上叫做圆弧，简称弧」及其所对的 组成的图形叫做弓形的两个圆叫做等圆同心圆： 的两个圆叫做同心圆等弧：在中，的弧叫做等弧【探究二】点和圆的位置关系O O 是一个半径为r 的圆，在圆内、圆上、圆外分别取一点，(1) 在平面内任意取一点 P,点与圆有几种位置关系？分别是什么?答：有 ____________ 种，分别是 _____________________ —___ __________ (2) 若0 O 的半径为r ,点P 到圆心0的距离为d ,那么：已知线段PQ=2cm 画图说明满足下列要求的图形: ⑴到点P 的距离等于1cm 的所有点组成的图形； ⑵到点Q 的距离等于1.5cm 的所有点组成的图形 ⑶到点P 、Q 的距离都等于1cm 的所有点组成的图形 ⑷到点P 、Q 的距离都等于1.5cm 的所有点组成的图形 ⑸到点P 、Q 的距离都小于1.5cm 的所有点组成的图形⑹到点P 的距离小于2cm,且到点Q 的距离大于2cm 的所有点组成的图形P ------------------- ■ Q P --------------------- - QP ------------------- h QP --------------------1 Q P ------------------- 1 Q(四)巩固训练1、小明和小华正在练习投铅球，小明投了5.2m ，小华投了6.7m ，他们投的球分别落在下图中哪个区域内？上图中的 弓形：由 等点P 在圆 d r点P 在圆 d r点P 在圆_ d r (三)尝试与交流2、已知O 0的面积为25 no(1 )若PO=5.5,则点P 在_ _;(2 )若PO=4则点P在_ _;(3)若PO= _ _，则点P在O 0上。