1集合的含义与表示

☆知识点☆

★1、集合的概念：

一般地, 一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合，

集合中每一个对象叫做这个集合的元素

★2、集合元素的特征：确定性，互异性，无序性

（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元

素，两种情况必有一种且只有一种成立.

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集

合中不应重复出现同一元素.

（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由

小到大的顺序书写

即时练习：判断下列各组对象能否构成一个集合？

① 2，3，4

②（2，3），（3，4）

③ 三角形

④ 2，4，6，8，…

⑤ 1，2，（1，2），{1，2}

⑥ 我国的小河流

⑦ 方程042=+x 的所有实数解

⑧ 好心的人

⑨ 著名的数学家

⑩ 方程0122=++x x 的解

★3、集合相等：

一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的

任何一个元素都是集合A 的元素.我们就说集合A 等于集合B.记作A ＝B.

如：{a ，b ，c ，d}与{b ，c ，d ，a}相等； {2，3，4}与{3，4，2}相等； {2，3}与{3，2}相等. “与2相差3的所有整数所组成的集合”，即{}{}5,132-==-∈x N x

思考：A ＝{x ｜x ＝2m ＋1，m ∈Z}，B ＝{x ｜x ＝2n －1，n ∈Z}相等吗？

★4、集合元素与集合的关系:

集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示：

（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作A a ∈

（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ?

★5、常用数集及其记法:

N 表示：非负整数集（或自然数集） N*或N+表示：除0的非负整数集

Z 表示：整数集 Q 表示：有理数集

★6、集合的分类：

1、有限集：含有有限个元素的集合。

2、无限集：含有无限个元素的集合。

3、空集：不含任何元素的集合。记作?，如：{}012=+∈x R x

★7、集合的表示方式：

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内；

（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示的方法.（具体方法）

（3）图示法：韦恩图(Venn 图)

A 、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。

例如，“中国的直辖市”构成的集合，写成{北京,天津,上海,重庆}

由“young 中的字母” 构成的集合，写成{y,o,u,n,g}

由“book 中的字母” 构成的集合，写成{b,o,k}

注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：

{51，52，53，…，100}所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}

（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。

B 、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方

法。

格式：{ x ∈A| P （x ）}

含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合。

例如，“中国的直辖市”构成的集合，写成{x x 为中国的直辖市}；

“young 中的字母” 构成的集合，写成{x x 为young 中的字母}；

不等式21-<+x 的解集可以表示为：{}21-<+∈x R x 或{}R x x x ∈-<,3

注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。如：{直角三角形}；{大于104的实数}

（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}

C 、图示法：韦恩图(Venn 图):

用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.

注：何时用列举法？何时用描述法？

（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。

如：集合{}2232,5,23,y x x y x x +-+

（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。 如：集合{}

1),(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}

★基础例题：

☆例1：判断下列一组对象是否属于一个集合呢？（是就在括号里打“√” ，不是就在括号里打“×” ）

（1）所有3的倍数（ ）

（2）很大的数的全体（ ）

（3）中国的直辖市（ ）

（4）young 中的字母（ ）

（5）book 中的字母（ ）

（6）所有的偶数（ ）

（7）所有直角三角形（ ）

（8）满足3x-2>x+3的全体实数（ ）

（9）方程012=++x x 的实数解（ ）

☆例2：用列举法表示下列集合：

(1) 小于10的所有自然数组成的集合；

（2）;2合的所有实数根组成的集方程x x =

(3) 由1～20以内的所有质数组成的集合．

☆例3：回答下列问题：

①A={1,3},问3，5哪个是A 的元素？

②B={素质好的人}能否表示成为集合？

③C={2，2，4}表示是否正确？

④D={太平洋，大西洋} ，E={大西洋，太平洋}，集合 D ,E 是不是表示相同的集合？

☆例4：若方程0652=+-x x 和方程022=--x x 的解为元素的集合为M,则M 中元素的个数为（ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

☆例5：试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）由大于10小于20的的所有整数组成的集合；

（2）方程222=-x 的所有实数根组成的集合.

★基础巩固练习：

1、下列指定的对象，能构成一个集合的是（ ）

①很小的数 ②不超过 30的非负实数 ③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点 ④π的近似值 ⑤高一年级优秀的学生 ⑥所有无理数

⑦大于2的整数 ⑧正三角形全体

A 、②③④⑥⑦⑧

B 、②③⑥⑦⑧

C 、②③⑥⑦

D 、②③⑤⑥⑦⑧

2、填空：①0 ? (填∈或?)

②{0} ? (填＝或≠)

3、已知2是集合{}23,,02+-a a a 中的元素,则实数a 为( )

A 、2

B 、0或3

C 、3

D 、0,2,3均可

4、用集合表示：

①032=-x 的解集;

②所有大于0小于10的奇数;

③不等式2x －1＞3的解.

5、用符合“∈”或“?”填空：

(1)设A 为所有亚洲国家组成的集合，则：

中国______ A ；美国_______A ；印度_______A ；英国______A

(2)若A={x|x x =2}, 则－1______A ；

(3)若B={x|062=-+x x },则3______B ；

(4)若C={x ∈N|1≤x ≤10}，则8______C ， 9.1______C ；

6、判断下面说法是否正确、正确的在( )内填“√”，错误的填“×”

(1)所有在N 中的元素都在N*中（ ）

(2)所有在N 中的元素都在Ｚ中( )

(3)所有不在N*中的数都不在Z 中（ ）

(4)所有不在Q 中的实数都在R 中（ ）

(5)由既在R 中又在N*中的数组成的集合中一定包含数0（ ）

7、下列各组对象能确定一个集合吗？（是就在括号里打“√” ，不是就在括号里打“×” ）

（1）所有很大的实数（ ）

（2）好心的人（ ）

（3）1，2，2，3，4，5．（ ）

8、设a,b 是非零实数，那么b b

a a

+可能取的值组成集合的元素是_____________

9、由实数x ,x -,x , 332x ，x -所组成的集合，最多含（ ）

A 、2个元素

B 、3个元素

C 、4个元素

D 、5个元素

10、下列结论不正确的是( )

A 、O ∈N

B 、Q ?2

C 、O ?Q

D 、-1∈Z

11、下列结论中，不正确的是( )

A 、若a ∈N ，则-a ?N

B 、若a ∈Z ，则Z a ∈2

C 、若a ∈Q ，则｜a ｜∈Q

D 、若a ∈R ，则R a ∈3

12、求数集{}x x x -2,,1中的元素x 应满足的条件

13、请用列举法表示下列集合：

（1）小于5的正奇数.

（2）能被3整除且大于4小于15的自然数.

（3）方程092=-x 的解的集合.

（1）到定点距离等于定长的点.

（2）由适合022>--x x 的所有解组成集合.

（3）方程组???=+=+2732

2

23y x y x 的解集

15、用描述法分别表示:

（1）抛物线y x =2上的点.

（2）抛物线y x =2上点的横坐标.

（3）抛物线y x =2上点的纵坐标.

①{1，4，7，10，13}

②{-2，-4，-6，-8，-10}

17、用列举法表示下列集合：

①{x N x ∈是15的约数}

②{}{}{}2,1,2,1),(∈∈y x y x

③?

??

??????=-=+422),(y x y x y x

④{}N n x x n ∈-=,)1(

⑤{}N y N x y x y x ∈∈=+,,1623),(

⑥{y x y x ,),(分别是4的正整数约数}

18、集合???

???∈-∈=*36

N m Z m B 中有几个元素，你能列举出来吗？

19、已知{}R x x y y A ∈+==,12，{}R t t x x B ∈+==,12，{}R x x y y x C ∈+==,1),(2，问集合

A 与

B 相等吗？集合A 与

C 相等吗？

20、写出不等式)1)(1(21322-+>-+x x x x 的解集，并化简。

21、给出下列表述：①联合国常任理事国②充分接近2的实数的全体③方程012=-+x x 的实数根④全

国著名的高等院校。以上能构成集合的是（ ）

A 、①③

B 、①②

C 、①③④

D 、①②③④

22、集合{ 1-x ，2，12-x }中的x 不能取的值是（ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

23、下列集合中，表示同一集合的是（ ）

A. M={(3,2)},N={(2,3)}

B. M={3,2},N={(3,2)}

C. M={(x,y )∣x+y =1},N={y ∣x+y =1}

D. M={3,2},N={2,3}

24、若{}1,3,132+-∈-x x x ，则=x

25、方程组???=-=+5

2y x y x 的解集用列举法表示为 _________ ，用描述法表示为 ___________ 。

26、两边长分别为3，5的三角形中，第三条边可取的整数的集合用列举法表示为 ___ ，用描述

法表示为 ____ 。

27、已知集合{}

R x R a x ax x A ∈∈=++=,,0122

①若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个集合；

②若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围；

28、用列举法表示下列集合： ①{}**,,7N y N x y x x ∈∈=+

②{}**,,7),(N y N x y x y x ∈∈=+

③{}Z x x x y y ∈<<--=,32,12

29、设集合B={x ∈N ∣x +26

∈N }

（1）试判断元素1，元素2与集合B 的关系

（2）用列举法表示集合B

★提高性经典例题：

☆例1：若集合{}c b a M ,,=中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）

A 、锐角三角形

B 、直角三角形

C 、钝角三角形

D 、等腰三角形

☆仿例：

1、已知集合{}y x y x x A 2,,++=，{}2,,xm xm x B =,且A 与B 相等，求m 的值。

2、已知集合{}6,4,2=A ，若A a ∈，且A a ∈-6，求a 的值。

☆例2：判断下列各组对象能否构成一个集合：（能就在括号里打“√”

，不能就在括号里打“×” ） （1）高一（5）班的所有帅哥（ ）

（2）全校身高超过185cm 的部分女生（ ）

（3）方程012=-x 的所有实数根（ ）

（4）2近似值的全体（ ）

☆例3：设S 是由满足下列条件的实数所构成的集合：

①S ?1； ②若S a ∈，则S a

∈-11 请解决下列问题：

（1）若S ∈2，则S 中必有另外两个数，求出这两个数。

（2）求证：若S a ∈，则S a

∈-11 （3）在集合S 中元素能否只有一个？若能，把它求出来，若不能，请说明理由。

☆例4：有下面六种表示方法：

①{}2,1=-=y x ； ②??

???????????=-=21),(y x y x ； ③{}2,1-； ④)2,1(-； ⑤{})2,1(-； ⑥{}2,1,=-=y x y x ；

其中，能正确表示方程组???=+-=+0

302y x y x 的解集的是_______________（把所有正确答案的序号填在空格上）

☆仿例：

3、集合{}12+==x y y A ，集合{}

1),(2+==x y y x B （A ，B 中R x ∈，R y ∈），选项中元素与集合的

关系都正确的是（ ）

A 、A ∈2，且

B ∈2 B 、A ∈)2,1(，且B ∈)2,1(

C 、A ∈2，且B ∈)10,3(

D 、A ∈)10,3(，且B ∈2 ☆例5：用列举法表示下列集合：

（1）??????∈∈-=N x N x x A ,99；

（2）{}

N y N x x y y B ∈∈+-==,,62

☆仿例：

4、用列举法表示下列集合：

（1）??????∈∈-=N y N x x y A ,,991； ??????∈∈-==N y N x x y y x A ,,99),(2

（2）{}N y N x x y x B ∈∈+-==,,621； {}

N y N x x y y x B ∈∈+-==,,6),(22

5、用列举法表示下列集合，并写在横线上：

（1）方程组???=-=+0

222y x y x 的解集；

（2）集合{}0122=+-=x x x B ；

（3）集合{}Z x x x y y x C ∈≤-==,2,1),(2；

（4）集合??????∈+∈=Z x 且N x x D 18

,；

（5）集合??????∈∈+=N x Z x F 18

☆例6：用描述法表示下列集合：

（1）正偶数集；

（2）被3除余2的正整数集合；

（3）直角坐标平面内坐标轴上的点的集合；

（4）使函数)1)(1(1

+-=x x x y 有意义的实数x 的范围；

（5）{}???,4,3,2,1222

☆仿例：

6、用图示法表示集合集合{}R x x 或x x A ∈<<<<-=,3211

7、用描述法表示图1中阴影部分（含边界）的点的集合。

☆例7：用适当的方法表示下列集合：

（1）由所有非负偶数组成的集合；

（2）由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；

（3）92-x 的一次因式组成的集合；

（4）方程0)5)(2)(1(2=---x x x 的解组成的集合；

（5）平面直角坐标系内第三象限的所有点组成的集合；

（6）两条直线222111:,:b x k y l b x k y l +=+=的交点的集合；

（7）不等式x x 243-≥的解集。

☆例8：下列命题： ①方程022=++-y x 的解集为{}2,2- ②集合{}R x x y y ∈-=,12与{}R x x y y ∈-=,1的公共元素所组成的集合是{}1,0 ③集合{}01<-x x 与集合{}R a a x x ∈>,没有公共元素

其中判断正确的个数为（ ）

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

☆例9：已知集合{}0122=++=x ax x A

（1）若A 中没有任何元素，求a 的取值范围；

（2）若A 中只有一个元素，求a 的取值范围；

（3）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；

（4）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围；

☆仿例：

8、已知集合{

a A =关于x 的方程1122-=+x ax 有唯一实根}，求集合A

☆例10：定义集合运算：{}B y A x xy z z B A ∈∈==*,,，设{}2,1=A ，{}2,0=B ，则集合B A *的所有元素之和为（ ）

A 、0

B 、2

C 、3

D 、6

☆仿例：

9、定义集合运算：{}B b A a b a x x B A ∈∈-==*,,，设{

}2,1=A ，{}2,0=B ，则集合B A *的所有元素之和为____________

10、集合{

}???=,16,9,4,1P ，若P b P a ∈∈,,则P b a ∈⊕，则运算⊕可能是（ ） A 、除法 B 、加法 C 、乘法 D 、减法

提高练习

1、下列对象能构成集合的是（ ）

A 、啸仙中学所有美女

B 、河源中学部分体育生

C 、啸仙中学初一年级全体男生

D 、河源市区所有高楼

2、已知{}033>-=x x A ，则有（ ）

A 、A ∈3

B 、A ∈1

C 、A ∈0

D 、A ?-1

3、方程组?

??-=-=+132y x y x 的解集是（ ） A 、{}1,1==y x B 、{

}1 C 、{})1,1( D 、{})1,1(),(y x 4、已知{

}x x ,0,12∈，则实数=x ________________

5、用列举法表示集合?

?????∈∈+=N x N x D 16为=D __________________ 6、已知y x ,都是非零实数， xy

xy y y x x z ++=可能的取值组成集合A ，则（ ） A 、A ∈2 B 、A ?3 C 、A ∈-1 D 、A ∈1

7、设A ，B 为两个实数集，定义集合{}B x A x x x x x B A ∈∈+==+2121,,，若{

}3,2,1=A ，{}3,2=B ，则A+B 中元素的个数为（ ）

A 、3

B 、4

C 、5

D 、6

8、用描述法表示图中阴影部分（不含边界）的点构成的集合。

9、用图形表示不等式组???<-≥-5121

23x

x 的解集。

10、设b ax x y ++=2，集合{}{}a x y x A === ，{}),(b a M =，求M

11、下列指定的对象，能构成一个集合的是

①很小的数 ②不超过30的非负实数

③直角坐标平面内横坐标与纵坐标相等的点 ④π的近似值

⑤高一年级优秀的学生 ⑥所有无理数

⑦大于2的整数 ⑧正三角形全体

12、用适当的方法表示下列集合

①由24与30的所有公约数组成的集合:

②大于10的所有自然数组成的集合:

③所有正偶数组成的集合:

④直角坐标系中，第二象限内的点构成的集合:

⑤抛物线2x y =上的所有点组成的集合:

13、把下列集合用另一种方法表示出来 ①{}062=--x x x

②{}

R x x x y y x ∈--=,6),(2

③{}),,5),(++∈∈=+N y N x y x y x

14、将集合{x │-3≤x ≤3，x ∈N}，用列举法表示出来的是（ ）

A 、{-3，-2，-1，0，1，2，3}

B 、{-2，-1，0，1，2}

C 、{0，1，2，3}

D 、{1，2，3}

15、下面对集合{1，5，9，13，17}用描述法表示，其中正确的是（ ）

A 、{x │x 是小于18的正奇数}

B 、{x │x=4k+1，k ∈z 且k<5}

C 、{x │x=4t-3，t ∈N 且t ≤5}

D 、{x │x=4s-3，s ∈N+且s<6}

16、已知集合A={x │0122=++x ax ，x ∈R}，其中a ∈R ，若A 中有且仅有一个元素，求a 的值组成的

集合B 。