高中数学核心素养的教学与评价 (鲍建生)
高中数学课程标准修订对初中数学教学的启示
行为 数据获取；数据分析；知识构建
表现
从三大能力到四基四能再到核心素养
三大 能力 四基 四能 六个核 心素养
基本假设： 1. 数学教学是数学活动的教学； 2. 数学素养是在掌握数学知识的基础上在数学活动中 逐步形成； 3. 数学素养贯穿在所有（小学到大学）数学活动中； 4. 数学素养之间有较高的相关性，设计综合性、开放 性的数学任务是培养数学素养的有效途径； 5. 数学素养是按照水平逐步提高的，不同的人在数学 素养上也有不同的特点； 6. 对数学素养的评价需要改进评价工具和方式。
其它的数学素养评价框架
美国2061计划：五种核心数学能力
① 概念理解：理解数学概念、 运算及关系 ② 流畅的运算能力：灵活地、 准确地、有效地及适当地实 施数学程序 ③ 选择策略的能力：能形成、 表征及解决数学问题 ④ 适当的推理能力：逻辑思维 、反思、解释及辩证的能力 ⑤ 数学的鉴赏力：相信数学是 合理的、有用的和有价值的
部分数学家的观点（1）
部分数学家的观点（2）
6. 程序化的东西最后的结果是适得其反，真的。你让 学生厌恶这个东西，他只有通过证明了一个题目他 才能获得快乐，我们自己想想嘛，我们学过来的时 候，对吧，你证明了一个几何难题你很高兴，你没 有说是通过我怎么教你怎么证明的来说。 7. 我认为还是强调数学学科内部有机的联系。数学无 非数与形，数与形，数用形来表示，你这个中学里 强调这个矛盾，数与形的矛盾，他们之间的相互关 系，这样大家学得才有兴趣么！ 8. 代数和几何的交融，不要把让代数控制和取代几何 。几何思想、直观不是代数能取代的。 9. 我们要强调数学是严格地循序渐进的科学，我们是 很注重这个学者的思维的这样的学科。
3. 数学建模
要点 具体描述 内涵 数学建模是对现实问题进行（抽象）简化和量化，建立 模型，用数学语言表达和解决问题的过程。数学建模具 体表现为：在实际情境中，从数学的视角提出问题、分 析问题、表达问题、构建模型、求解结论、验证结果、 改进模型，最终得到符合实际的结果。 学科 数学模型（构）搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学 价值 应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的 基本手段，是推动数学发展的外部驱动力。 教育 通过数学建模核心素养的培养，学生能够掌握数学建模 价值 的过程，积累用数学（的）语言表达实际问题的经验， 提升应用能力和创新意识 行为 发现和提出问题；建立模型；求解模型；检验结果和完 表现 善模型
凝炼核心问题聚焦“四能”培养
凝炼核心问题聚焦“四能”培养作者：李宝鲍建生来源：《中学数学杂志(高中版)》2024年第04期【摘要】发现问题和提出问题是创新的基础，指向学生数学核心素养的高中数学教学设计，应凝炼核心问题，聚焦“四能”培养.以“正弦定理和余弦定理”为例，探讨聚焦“四能”培养的设计与教学路径：根据课程目标和教材编写意图提出核心问题，实施“情境—问题”教学，教学生发现和提出问题的方法，培养学生分析问题和解决问题的能力.【关键词】正余弦定理；核心问题；“四能”；数学核心素养1问题提出近年来，国家极为重视在基础教育领域实施拔尖创新人才的早期培养.发现问题和提出问题是创新的基础.爱因斯坦指出：“提出一个问题往往比解决一个问题更为重要，因为解决问题也许仅是数学上的或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步.”从高中数学教学的现状来看，教师往往“更为注重对所给出的问题提供解题方法、技能的训练，至于这个问题怎么发现、提出的，常常不愿花时间让学生去探讨”，存在“重问题轻引导”“重讲解轻感悟”“重技巧轻通法”“重解答轻分析”等教学误区[1].《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出了“提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称‘四能’）”的课程目标.如何培养学生的“四能”，特別是“发现问题”和“提出问题”的能力？教学实践表明，根据教材内容，聚焦能驱动学生思维活动的、体现数学内在逻辑的核心问题，并构建围绕核心问题展开的、有层次性的一组问题，引导学生用数学的眼光观察问题、发现问题，用数学的方法和经验思考问题、用数学的语言表达问题[2]，是培养“四能”的有效途径.下文以“正弦定理和余弦定理”单元的教学设计及实践为例加以说明.2聚焦“四能”培养的正弦定理和余弦定理教学设计案例正弦定理和余弦定理定量地刻画了三角形边角之间的内在联系，是解三角形的理论依据.在初中，教材通过“画、剪、叠”定性给出了确定三角形的条件（未证明），即：知道一个三角形的三边长、两边长及其夹角、两角及其夹边长、两角及其对边长就能唯一确定一个三角形，分别对应于判定三角形全等的四个基本事实：SSS，SAS，ASA及其推论AAS（分别出自《几何原本》卷Ⅰ命题8、命题4和命题26），即三角形的形状（由角确定）和大小（由边长确定）都是确定的.换言之，三角形的其它未知的角或边可以通过已知的边或角（正、余弦值）“算”出来.因此，可以从算的角度展开发现正弦定理和余弦定理的教学.除此而外，正弦定理和余弦定理还是落实数学美育功能[3]的良好材料.2.1设计思路由于“正弦定理和余弦定理的主题相近、教育功能与价值相近、教学目标相近、探究过程所用的思维方法和数学思想方法相近” [4]，因此，为了发现的完整性和知识的系统性，把正弦定理和余弦定理整合为一个单元作整体教学设计.为了培养学生的“四能”，变传统的“教师提出问题”为“学生提出问题”，变“学生解决老师提出的问题”为“学生在老师的指导下分析、解决自己提出的问题”，让学生自主发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，经历感受数学美、欣赏数学美、运用数学美、发展数学美的过程，重视积累数学活动经验.设计突出两条线：一是“发现问题—提出问题—分析问题—解决问题”的数学问题解决的明线，二是“美观—美好—美妙—完美”数学情感的“暗线”.设计分两个课时完成.第1课时：（在教师的引导下）发现和提出要研究的问题，然后用作高法发现、证明正弦定理，并在应用环节“求出”余弦定理，让学生经历发现数学美、证明数学真、感悟数学善的过程，重点培养学生用数学的眼光发现问题和提出问题、用数学的思维分析问题和解决问题的能力，让学生感受到美观、美好与美妙（见图1第一课时）.2.2.1发现并提出问题2.2.2分析问题2.2.3解决问题2.2.4发现余弦定理2.2.5小结与作业任务7：回顾发现、证明正弦定理和余弦定理的过程，并尝试提出新问题，下节课分享问题并解决.教师引导学生回顾课程学习中经历了“阅读文本—发现问题—提出问题—分析问题—解决问题”的问题解决全过程，以及发现数学美、证明数学真、感悟数学善的发现数学、应用数学的过程.请学生整理“学了什么？感悟了什么？有什么结论？积累了什么做数学的经验？”设计意图：给学生充足的时间，让学生充分交流和表达课堂所学所做所思，内化知识、思想方法，暴露思维和学习缺憾，找准后续教学的起点.第1课时作业：①完成课中的两个遗留问题的求解；②画出三角形中的边角关系（勾股定理、正弦定理、余弦定理及其推论）的关系图；③正弦定理还能解决哪些类型的解三角形的问题？④看正弦定理和余弦定理的关系式，回顾发现、证明正弦定理和用正弦定理“求”余弦定理的过程，我们还有遗憾吗？请同学们写出你提出的问题，并尝试解决，下节课分享；⑤将教材内容精读一遍.设计意图：让学生自主整理所学知识，形成知识系统；再次感悟发现并提出问题、分析并解决问题的问题解决过程，培养学生“学—问—思—习—问—思—学”的学习习惯.上述教学设计的教学实践表明，较传统的分两个课时分别发现正弦定理和余弦定理的教学设计而言，此教学设计教学效果更好：①第一课时重点在于让学生自己发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，理清解决问题的思路，并用作高法发现并证明了正弦定理，利用正弦定理“求出”了余弦定理.同时通过回顾问题解决的过程，提出了新的研究问题，使学生积累了“做数学”的经验：阅读学习材料、发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，经历了从一般到特殊再到一般的问题解决的完整过程；②第二课时解决上一课时结束后学生自己提出的问题，学生探索、分享不同的证明正弦定理和余弦定理的方法，学生再次经历了“做数学”的过程，进一步强化了“做数学”的活动经验；③让学生感悟了数学美、数学真、数学善，并在一定程度上让学生自己发现了数学美，培养了学生对数学和数学学习的积极情感；④变传统的布置作业题为提出新的问题、画知识结构图，有利于培养学生回顾反思、自主整理知识的良好学习习惯.3聚焦“四能”培养的策略3.1提出核心问题“四能”是基于數学问题提出的，没有数学问题就没有“四能”.课堂教学中的数学问题按其重要性程度可分为核心问题和辅助问题，核心问题是指向数学本质的问题，通向数学理解.辅助问题是围绕核心问题展开的帮助理解和解决核心问题的问题.数学问题是指在情境中提出的，以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题.“问题提出是数学教学的核心” [5]，特别是核心问题，是教学中的关键，抓住核心问题有助于学生理解知识本质，促进学生结构化地理解知识.一个经过精心设计的问题能够强化学生所学的知识，一个精心挑选的问题能够激发深入的数学探究活动[6].数学“核心问题”是数学教学中思考性强、数学味浓、需要合作探究交流的问题 [7].在教学设计时，应根据课程标准提出的育人目标、教材的编写意图，提出章、节、课时的指向数学学科本质的核心问题，并根据学生的数学认知和经验预设学生能提出的靠近学生“最近发展区”的辅助问题.3.2实施“情境—问题”教学以核心问题驱动“四能”培养的教学包括创设情境、用数学的眼光从情境中发现和提出数学（核心）问题、用数学的思维分析问题和解决问题、小结与作业等环节（见图3），“情境—问题”教学始于情境，发于问题，终于问题解决，是“情境—发现问题—提出问题—分析问题—解决问题—发现新问题—提出新问题—分析新问题—解决新问题”的问题解决螺旋圈.图3以核心问题驱动“四能”培养的教学过程情境是孕育问题的土壤，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：高中数学教学要“以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质”.数学情境是含有相关数学知识和数学思想方法的教学情境[8]，在教学设计阶段，教师应根据学生的认知水平，创设问题显现型和问题隐蔽型数学情境，便于在课堂教学时学生能“用数学的眼光”发现和提出简单问题、较复杂问题、复杂问题，让学生在与情境、问题的有效互动中提升数学核心素养.3.3教会学生发现问题和提出问题的方法3.3.1发现问题的方法发现问题是指“用数学的眼光”从特定情境中感知到确定或不确定的数量或空间的某种关系或结构，并对这种关系或结构有好奇（想知道答案）的认知活动.发现问题需要“用数学的眼光”，是对现实世界的数学解读，即学生是因为想要知道和理解现实世界，而用数学的方式表述出具体注意到的问题——“有价值的”“合情理的”“可研究的”“数学问题”[9].发现问题与个人的知识储备、认知水平、思维方式高度相关，具有内隐性，是启动创造思维的过程，集中体现学生的主动探索精神与思维的开放性.实践中，可以通过呈现冲突、矛盾、与已有经验不一致的现象或事实让学生发现问题.如，通过呈现与学生解法不同或结论相反的案例，让学生发现自己解法错误或结论错误的问题；通过“画、剪、叠”方法得到三角形全等的判定事实与“只有经过逻辑推理证明的命题才是真命题”的经验不符，可以让学生发现“初中学到的判定三角形全等的基本事实均没有证明”的问题.3.3.2提出问题的方法发现问题不一定能提出问题，生活、工作、教学中“你的问题究竟是什么？”的追问，表明我们经常意识到问题的存在，然而却不能用恰当的语言将问题提出来.因此，教学过程中应营造良好的“问题场”，让学生能将问题提出来.提出问题（或问题提出）是指教师根据不同的教学目标，设置不同类型的情境（包括现实情境、数学情境、科学情境三种），让学生根据情境提出数学问题，并引导学生对所提的问题进行修正，对这些问题进行恰当的处理.提出问题是发现问题的深化，是问题的显性化，即用数学的语言准确地把问题表达出来.提出问题是一个创造性的思维活动过程，是一个人的科学精神的体现.教学之道“最根本的是要学会提出问题”，因此在教学过程中除了有意与学生分享与交流一些提出问题的“基本套路”[10]外，还可以尝试以下方法让学生模仿自主提出问题，让学生“从平常中见异常、于普遍中见特殊、于特殊中见一般、于无疑处生疑问”[11].（1）教学生自己备课时精读教材的方法，提出2W1H（Why，What，How）类问题.一是提出“为什么”型价值判断、目的或追问类问题，如：为什么要学习正弦定理和余弦定理？为什么设置某情境？为什么提出某问题？为什么安排某例题？（对对数函数）为什么要求a＞0且a≠1？等等.二是提出“是什么”型指向本质或事实的问题，如前文中提出的问题：“确定”的含义是什么？等量关系的形式是什么？三是提出“怎么办”型方法类问题，如：怎么求/证……？还可以怎么求/证……？（2）变陈述句为疑问句，如前文中的“核心问题1”“核心问题2”的提出.陈述句表达的是数学思维的结果，而疑问句则指向数学思维的过程和数学思维本身，将表达数学事实（命题、定理、规则等）的陈述句按句法结构分解为主、谓、宾、定、壮、补，很容易提出为什么、是什么、怎么办型问题.（3）运用归纳、类比、联想、一般化、特殊化等思维方法提出问题.如改变（增加或减少、替代等）条件，（用命题间的关系）交换条件和结论、否定条件与结论等.（4）遗憾（缺陷或不美）、问题解决回顾与反思、直观想象等是发现和提出问题的重要途经.比如：通过观察探索阶段发现的asin A=bsin B=c这个等量关系，发现“等量关系只包含了三角形六个元素中的五个元素，感觉不美”的问题，进而提出“等量关系是否可以包含三角形的六个元素？”的问题；通过回顾初中全等三角形的判定方法的得出过程，发现“不经证明而得出结论”的问题，进而提出“为什么两个三角形的对应边相等，两个三角形就全等”的问题；借助几何直观，通过作图发现“满足条件的三角形不存在”的问题，进而提出“为什么满足条件的三角形不存在”的问题[12].3聚焦“四能”培养的策略3.1提出核心问题“四能”是基于数学问题提出的，没有数学问题就没有“四能”.课堂教学中的数学问题按其重要性程度可分为核心问题和辅助问题，核心问题是指向数学本质的问题，通向数学理解.辅助问题是围绕核心问题展开的帮助理解和解决核心问题的问题.数学问题是指在情境中提出的，以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题.“问题提出是数学教学的核心” [5]，特别是核心问题，是教学中的关键，抓住核心问题有助于学生理解知识本质，促进学生结构化地理解知识.一个经过精心设计的问题能够强化学生所学的知识，一个精心挑选的问题能够激发深入的数学探究活动[6].数学“核心问题”是数学教学中思考性强、数学味浓、需要合作探究交流的问题 [7].在教学设计时，应根据课程标准提出的育人目标、教材的编写意图，提出章、节、课时的指向数学学科本质的核心问题，并根据学生的数学认知和经验预设学生能提出的靠近学生“最近发展区”的辅助问题.3.2实施“情境—问题”教学以核心问题驱动“四能”培养的教学包括创设情境、用数学的眼光从情境中发现和提出数学（核心）问题、用数学的思维分析问题和解决问题、小结与作业等环节（见图3），“情境—问题”教学始于情境，发于问题，终于问题解决，是“情境—发现问题—提出问题—分析问题—解决问题—发现新问题—提出新问题—分析新问题—解决新问题”的问题解决螺旋圈.图3以核心问题驱动“四能”培养的教学过程情境是孕育问题的土壤，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：高中数学教学要“以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质”.数学情境是含有相关数学知识和数学思想方法的教学情境[8]，在教学设计阶段，教师应根据学生的认知水平，创设问题显现型和问题隐蔽型数学情境，便于在课堂教学时学生能“用数学的眼光”发现和提出简单问题、较复杂问题、复杂问题，让学生在与情境、问题的有效互动中提升数学核心素养.3.3教会学生发现问题和提出问题的方法3.3.1发现问题的方法发现问题是指“用数学的眼光”从特定情境中感知到确定或不确定的数量或空间的某种关系或结构，并对这种关系或结构有好奇（想知道答案）的认知活动.发现问题需要“用数学的眼光”，是对现实世界的数学解读，即学生是因为想要知道和理解现实世界，而用数学的方式表述出具体注意到的问题——“有价值的”“合情理的”“可研究的”“数学问题”[9].发现问题与个人的知识储备、认知水平、思维方式高度相关，具有内隐性，是启动创造思维的过程，集中体現学生的主动探索精神与思维的开放性.实践中，可以通过呈现冲突、矛盾、与已有经验不一致的现象或事实让学生发现问题.如，通过呈现与学生解法不同或结论相反的案例，让学生发现自己解法错误或结论错误的问题；通过“画、剪、叠”方法得到三角形全等的判定事实与“只有经过逻辑推理证明的命题才是真命题”的经验不符，可以让学生发现“初中学到的判定三角形全等的基本事实均没有证明”的问题.3.3.2提出问题的方法发现问题不一定能提出问题，生活、工作、教学中“你的问题究竟是什么？”的追问，表明我们经常意识到问题的存在，然而却不能用恰当的语言将问题提出来.因此，教学过程中应营造良好的“问题场”，让学生能将问题提出来.提出问题（或问题提出）是指教师根据不同的教学目标，设置不同类型的情境（包括现实情境、数学情境、科学情境三种），让学生根据情境提出数学问题，并引导学生对所提的问题进行修正，对这些问题进行恰当的处理.提出问题是发现问题的深化，是问题的显性化，即用数学的语言准确地把问题表达出来.提出问题是一个创造性的思维活动过程，是一个人的科学精神的体现.教学之道“最根本的是要学会提出问题”，因此在教学过程中除了有意与学生分享与交流一些提出问题的“基本套路”[10]外，还可以尝试以下方法让学生模仿自主提出问题，让学生“从平常中见异常、于普遍中见特殊、于特殊中见一般、于无疑处生疑问”[11].（1）教学生自己备课时精读教材的方法，提出2W1H（Why，What，How）类问题.一是提出“为什么”型价值判断、目的或追问类问题，如：为什么要学习正弦定理和余弦定理？为什么设置某情境？为什么提出某问题？为什么安排某例题？（对对数函数）为什么要求a＞0且a≠1？等等.二是提出“是什么”型指向本质或事实的问题，如前文中提出的问题：“确定”的含义是什么？等量关系的形式是什么？三是提出“怎么办”型方法类问题，如：怎么求/证……？还可以怎么求/证……？（2）变陈述句为疑问句，如前文中的“核心问题1”“核心问题2”的提出.陈述句表达的是数学思维的结果，而疑问句则指向数学思维的过程和数学思维本身，将表达数学事实（命题、定理、规则等）的陈述句按句法结构分解为主、谓、宾、定、壮、补，很容易提出为什么、是什么、怎么办型问题.（3）运用归纳、类比、联想、一般化、特殊化等思维方法提出问题.如改变（增加或减少、替代等）条件，（用命题间的关系）交换条件和结论、否定条件与结论等.（4）遗憾（缺陷或不美）、问题解决回顾与反思、直观想象等是发现和提出问题的重要途经.比如：通过观察探索阶段发现的asin A=bsin B=c这个等量关系，发现“等量关系只包含了三角形六个元素中的五个元素，感觉不美”的问题，进而提出“等量关系是否可以包含三角形的六个元素？”的问题；通过回顾初中全等三角形的判定方法的得出过程，发现“不经证明而得出结论”的问题，进而提出“为什么两个三角形的对应边相等，两个三角形就全等”的问题；借助几何直观，通过作图发现“满足条件的三角形不存在”的问题，进而提出“为什么满足条件的三角形不存在”的问题[12].。
高中数学核心素养的培养评价与教学实施
高中数学核心素养的培养评价与教学实施1. 引言1.1 研究背景。
高中数学核心素养的培养评价与教学实施是当前教育领域的热点问题，对于提高学生数学学习能力、培养数学思维和解决问题的能力具有重要意义。
在当前高中数学教学中，传统的课堂教学模式已经不能满足学生的需求，更需要注重培养学生的数学核心素养。
本文旨在探讨高中数学核心素养的培养评价与教学实施，为教育工作者提供一些参考和借鉴。
研究高中数学核心素养的培养评价与教学实施对于教育教学工作者具有积极的指导意义，值得深入研究和探讨。
1.2 研究目的高中数学核心素养的教学实施旨在培养学生的数学思维能力、创新能力和解决问题的能力，帮助学生建立数学知识体系，培养其数学素养和数学能力。
而本研究旨在探讨如何有效培养高中学生的数学核心素养，提出相应的评价方法和教学实施策略，以期为高中数学教育提供指导和借鉴。
具体研究目的包括：1. 分析高中数学核心素养的内涵，明确其培养目标和要求。
2. 探究高中数学核心素养的评价方法，建立科学有效的评价体系。
3. 研究高中数学核心素养的教学实施策略，考察实施过程中的困难和挑战。
4. 借助案例分析，深入探讨数学核心素养的培养与实施。
5. 探讨教师在数学核心素养培养中的角色定位和发展方向，促进教师专业发展和教育教学改革。
2. 正文2.1 高中数学核心素养的内涵高中数学核心素养是指学生在学习数学过程中所应具备的基本品质和能力。
这些素养包括数学思维能力、数学知识能力、数学方法能力、数学实践能力和数学情感态度。
数学思维能力是指学生通过解决问题、证明定理等活动，培养逻辑思维、创新思维和批判性思维，使学生能够发现问题、分析问题、解决问题。
数学知识能力是指学生掌握数学基本概念、理论和方法，能够熟练运用数学知识解决实际问题。
数学方法能力是指学生掌握数学解题方法、技巧，能够灵活运用不同方法解决问题。
数学实践能力是指学生能够将数学知识运用到实际生活和相关学科中解决问题。
鲍建生数学能力的分析框架
数学理论的 应用
从数学角度 提出问题
数学表 征
数学符 号变换
数学推理 与论证
数学建模
四、数学能力得测试与评分
测试目标: 学生得思考过程(多样性、灵活性 独创性;障碍、错误、缺陷等); 专项能力得诊断(运算能力、推理 能力、空间想象能力等); 能力差异(思维方式、记忆类型、 化归策略等)
1、 克鲁切茨基得能力测试题系列
1. 证据。学生有无注意过这种方法？例如,她说过:“我想寻 找归纳模式”;或者画了一个草图等。
2. 追溯。学生有无采用这种方法？由于要求学生写下“任 何与问题有关得念头”,因此,学生可能写下一种没有采用 得方法。
3. 进展。学生在采用了一种方法后,取得得进展情况,可分为 四种水平: ① 很少或者几乎没有。如计算了几个特例,但没有给出 猜想,或者计算有误; ② 有一些进展,但不足以宣称已经胸有成竹。 ③ 几乎完成,与结果很相近,但中间有一些计算错误。 ④ 完整得解答。
2、数学思维得基本特征就是什么(算与证 )
✓ 抽象:理性得直观 ✓ 精确:规则得运用 ✓ 效率:最优化 ✓ 化归:典型例题+化归策略 ✓ 公理化:在假设得基础上进行推理 ✓ 形式化:符号变换
3、高层次数学技能就是不就是一种数学 能力
1. 需要复杂得、非算法化得思维、(即任务、任务讲
解、或已完成得例子没有明显建议一个可预料得、 预演好得方法或路径借鉴)、
4、 数学能力就是一种特殊能力吗 ？
➢ 数学能力本身就是作为一种特殊形式存在,与 一般智力范畴不同呢,还就是数学能力就是一 般心理过程与人格品质得特殊化呢？也就就 是说,一般智力就是与数学能力一起发展得吗 ？换句话说,人们能说数学能力不外就是一般 智力加上对数学得兴趣与学习数学得倾向性 吗？ 桑代克:一般得代数能力与纯粹得代数能力
高中数学核心素养的教学与评价 (鲍建生)
函数的单调性
问题2 (1) 如何用数学语言表示“y 随 x 的增大而增大”及“y 随 x 的增大而减小”？
思路1：利用两点连线与x轴所成的倾斜角 思路2：利用两点连线的斜率（导数的几何意义） 思路3：自变量与函数值增量的符号（导数的符号意义） 思路4：自变量与函数值增量的保号性（单调性的定义）
3. 数学核心素养系统与原有课 标的联系
避免
– 纯粹的符号游戏，缺乏数学的或实际的意义 – 独木桥式的解题技巧 – 反复的机械训练，对题型的死记硬背
样例01：代数模型
一个学生在排球比赛中弄伤了膝盖。医生 为他开了处方，要他每8小时服用440毫克 的药片，连续10天。如果他的肾脏8小时后 能够过滤掉60%的药片，那么，10天后还 有多少药仍留在他的体内
2. 数学核心素养
核心素养
行为表现
形成数学概念和规则 形成数学命题与模型 数学抽象 形成数学方法与思想 形成数学结构与体系 发现和提出命题 掌握推理的基本形式
探索和表述论证的过 逻辑推理 程
构建命题体系 交流探索
利用图形描述数学问题
利用图形理解数学问题
直观想象 利用图形探索和解决数
学问题
构建数学问题直观模型
核心素养
行为表现
发现和提出问题
建立模型
数学建模 求解模型
检验结果和完善模
型
理解运算对象
数学运算
掌握运算法则 探索运算思路
设计运算程式
数据获取
数据分析 数据分析
知识构建
2.1 例说数学核心素养：数学抽象
内涵（过程）：数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到 数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与 图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体 背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征。
核心素养视角下2024_年全国新高考适应性测试数学试题难度评析与备考启示
核心素养视角下2024年全国新高考适应性测试数学试题难度评析与备考启示文尚平1，2农雅婷2卢玉琦2杨璧华2（1.西北师范大学教师教育学院；2.南宁市第二中学）摘要：2024年全国新高考适应性测试试题的命题风格、试卷结构、难度系数、综合素养水平代表着高考改革的趋势和方向，将在2024年新高考中全面体现。
课题组借助喻平的数学关键能力评价框架和鲍建生的综合难度系数模型，分别对此次适应性测试试题所蕴含的数学核心素养水平和试题的综合难度进行分析，探寻两者之间的内在关系，通过对新高考命题的趋势、特点等开展实证研究，提出备考启示：深化基础，强化对数学学科本质的理解；注重素养，强化对数学教育内核的追求；改善教学，强化对数学思维能力的培养。
关键词：数学核心素养；综合素养水平；综合难度系数；适应性测试中图分类号：G63文献标识码：A 文章编号：0450-9889（2024）08-0053-06作者简介：文尚平，1983年生，广西桂林人，在读博士研究生，高级教师，研究方向为中学数学课程与教学论；农雅婷，1986年生，广西崇左人，本科，学士，一级教师，研究方向为中学数学教育教学；卢玉琦，1987年生，广西宾阳人，本科，学士，一级教师，研究方向为中学数学教育教学；杨璧华，1984年生，广西南宁人，本科，学士，高级教师，研究方向为中学数学教育教学。
《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课程标准》）系统提出了六大数学学科核心素养及水平的划分，明确了数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，拉开了数学学科核心素养从理念层面走向教学实践的序幕，并将数学科核心素养的培养贯穿新教材、新课程和新高考“三新”综合改革的全过程［1］。
2019年，《中国高考评价体系》明确提出高考命题要突出考查学生的必备知识、关键能力及学科思维，以核心素养为导向的基础教育考试评价日益成为社会关注的焦点。
核心素养的测评是以区分度为主要依据开展的，而试题的区分度与试题的难度又有着紧密的联系。
关于核心素养背景下的高级高中数学课堂教学评价
关于核心素养背景下的高级高中数学课堂教学评价集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]核心素养背景下的高中数学课堂教学评价近年来，数学课堂教学越来越注重能够促进学生、教师、课程共同发展的评价方式。
评价不但要关注是否完成了教学任务，更要关注整个教学过程中知识的发生和发展过程；不但要关注是否达成了教学目标，更要关注在教学过程中是否培养了学生的创新精神、学习能力和实践能力，是否体现了学生的主体性。
核心素养背景下的数学课堂教学评价，应该是促进学生全面发展、促进教师教学水平不断提高、促进课程不断更新和完善的教学评价；是不但关注结果，而且关注过程的新型评价；是评价主体和评价手段多样化、评价目标多元化的评价。
评价的目的是为了改进学生的学习方式和教师的教学方式，以达到最佳的教学效果。
核心素养背景下的数学课堂教学评价应关注四个方面，即关注学生的学习过程和学习方式；关注学生思想品格和个性品质的培养；关注学生的个性差异；关注教师的自我评价与教学反思。
评价结果的呈现和利用，要有利于增强学生学习新知识的信心，提高学生的学习兴趣，培养学生良好的学习习惯，促进学生全面发展。
一、关注学习过程和学习方式，教会学生学习教育工作者要改变以往重知识积累、轻主动探究的评价方式，在教学过程中既要体现基础知识和基本技能，又要体现基本思想方法和基本活动经验。
实践证明，只有学生真正参与了数学探究活动，才能去感受、体验和发现数学知识产生和发展的过程，才会获得积极的情感体验，才能诱发创新的灵感，增强学习的信心。
学生的学习过程不应只是被动接受知识的过程，更应该是发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程。
因此，教师要引导学生开展数学探究、合作交流等活动，使学生主动参与学习。
例如，教学“函数的单调性”一课时，在概念建构阶段，关于如何从图像升降的直观认识过渡到数学符号语言描述，教师应该给学生机会去发现、创造，并在概念的形成阶段通过以下问题让学生学会自主学习。
浅谈核心素养下的高中数学课堂教学评价
浅谈核心素养下的高中数学课堂教学评价摘要：核心素养背景下，高中数学课堂重视学生课堂的学习过程。
高中数学核心素养主要包括数学计算和数据以及图像几何等几部分内容，这也是教师进行教学的重点。
要在评价过程中关注核心元素注入，提高数学教学评价的科学和准确性[1]。
本文主要对“核心素养下高中数学课堂教学评价”展开论述，并提出相关的建设性建议。
关键词：核心素养；高中数学；课堂教学评价引言：数学课堂教学评价对学生的学习具有导向以及诊断和调节功能，而且还有利于通过评价数据来检测学生的学习结果。
有助于提高学生的学习动机水平，带动学生主观能动性的发挥。
高中数学在难度上远高于初中数学，而且涉及的内容深度和广度都考察了学生的数学学科能力。
所以会产生一定的数学差距。
但是在当下的数学课堂教学评价还有待进一步的完善，促进学生的成长[2]。
一、关注学习过程，开展形成性评价随着我国教育的深化，教育评价不单纯的关注学生的学习结果，而是做到“过程与结果”双管齐下，了解学生课堂反馈情况，做到以学定教，紧抓学情，并且在教学过程之中对学生的学习行为进行及时性评价。
可以以口头提问或者是随堂小检测等多重方式展开，强化学生的学习。
在关注时，多多关注学生的核心素养是否达标、学习能力是否提升[3]。
例如：在学习高中数学人教A版《充分条件和必要条件》这部分的数学知识是必修一所学的。
充分条件和必要条件以及充要条件的学习对学生而言理解难度系数较低，但是在多样化的题型运用当中这三种类型学生很难把握。
比如：若x=1，则x²=1。
充分条件是条件→结果，必要条件是结果→条件，充要条件是双向的。
而有的学生在数学解题过程中，得出来x²=±1，所以由果导因是不成立的，也就是只能从前往后推，是充分条件。
再比如：若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方。
在学习过程中，有的学生学习思维是比较清晰的。
学生先将三角形相似的条件列出来，借助相似三角形的性质以及三角形的面积公式来解决。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
形式语言之间的关系; 8. 把问题转译为数学语言或数学表征; 9. 把问题化归为已知的问题或者数学概念、事实、程序; 10. 利用技术去凸显隐含在问题情境中的数学关系.
过程2：运用数学概念、事实、程序和推理
1. 设计和实施各种解题策略去发现数学结论; 2. 利用各种数学工具/技术去获得精确的或近似的
避免
– 纯粹的符号游戏，缺乏数学的或实际的意义 – 独木桥式的解题技巧 – 反复的机械训练，对题型的死记硬背
样例01：代数模型
一个学生在排球比赛中弄伤了膝盖。医生 为他开了处方，要他每8小时服用440毫克 的药片，连续10天。如果他的肾脏8小时后 能够过滤掉60%的药片，那么，10天后还 有多少药仍留在他的体内
1. 确定现实情境中一个问题的数学特征及关键变量; 2. 确认问题或情境中的数学结构（包括规律、关系和模
式）; 3. 简化一个情境或问题，使其更有利于数学分析; 4. 在建模过程中弄清各种限制和假设，并逐步简化背景; 5. 利用恰当的变量、符号、图表和标准模型对问题情境
进行数学表征; 6. 用不同的途径描述问题，包括数学概念和数学假设的
结果; 3. 运用数学事实、规则、算法和结构去发现数学
结果; 4. 能够在解题过程中操作数字、图形、统计数据
和信息、代数式和方程、几何表征; 5. 能够制作数学图表、构造数学对象，并从中提
取数学信息； 6. 在解题过程中利用不同的表征并进行相互转化; 7. 能够依据数学程序获得结果并将结果一般化; 8. 能够反思数学的论证过程并解释和判断所得的
① 在数轴上任意取三点A，B，C，证明：
d A, B d A,C d C, B
② 从上述距离的定义出发，给出“点到直线的距离”的定义， 并计算已知点到已知直线的距离.
③ 画出到定点O(0, 0) 的距离等于1的点P(x, y)所形成的图形. ④ 画出到定点A(-1, 0)和B(1, 0)距离之和等于4的点P(x, y)的轨
2. 数学核心素养
核心素养
行为表现
形成数学概念和规则 形成数学命题与模型 数学抽象 形成数学方法与思想 形成数学结构与体系 发现和提出命题 掌握推理的基本形式
探索和表述论证的过 逻辑推理 程
构建命题体系 交流探索
利用图形描述数学问题
利用图形理解数学问题
直观想象 利用图形探索和解决数
学问题
构建数学问题直观模型
样例04：街道距离（出租车几何学）
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能 沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走。如果 按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点 A(x1, y1) 和B(x2, y2) ，用以下的方式定义两点间距离：
d A, B x2 x1 y2 y1
面积是多少？ 4. 如果她绕一个以A为中心，长短轴分别为5和3的椭圆走一
圈，建立适当的坐标系，求她的身影的另一端点的轨迹方 程。
样例03：篮球的影子
如图所示，篮球在照射的阳光下 会在地面上留下影子． ①太阳的光线与篮球相切的切点 所组成的是什么图形？ ②篮球在地面上所形成的影子什 么时候是一个圆面，什么时候是 一个椭圆面？ ③当篮球的影子是一个椭圆面时 ，篮球与地面的切点位于椭圆的 什么位置？ ④当篮子的影子是椭圆面时，证 明：太阳光线与篮球相切的切点 所在的平面与地面的交线是这个 椭圆的一条准线。
(2) 请分别画出（1）的直观示意图.
拓展2：水槽问题
如图是一个密封的水槽，里面注入了一定容量的水。 1. 是否可以适当的摆放水槽，使得水面成为：正三角 形，直角三角形，锐角三角形，钝角三角形，平行 四边形，矩形，正方形，菱形，梯形，正五边形， 正六边形… 2. 假设水槽里面的水量是水槽容积的3/4，请在水槽上 凿一个小洞，适当摆放水槽后，恰好流掉1/4的水？
动经验（简称“四基”）；提高从数学角度发现和提出问 题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）。
在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、 逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分 析等数学学科核心素养。
通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣，增 强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主 学习的能力；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精 神；不断提高实践能力，提升创新意识；认识数学的科学价 值、应用价值、文化价值和审美价值。
函数的单调性
问题2 (1) 如何用数学语言表示“y 随 x 的增大而增大”及“y 随 x 的增大而减小”？
思路1：利用两点连线与x轴所成的倾斜角 思路2：利用两点连线的斜率（导数的几何意义） 思路3：自变量与函数值增量的符号（导数的符号意义） 思路4：自变量与函数值增量的保号性（单调性的定义）
3. 数学核心素养系统与原有课 标的联系
核心素养
行为表现
发现和提出问题
建立模型
数学建模 求解模型
检验结果和完善模
型
理解运算对象
数学运算
掌握运算法则 探索运算思路
பைடு நூலகம்设计运算程式
数据获取
数据分析 数据分析
知识构建
2.1 例说数学核心素养：数学抽象
内涵（过程）：数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到 数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与 图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体 背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征。
② 南昌位于厦门北偏西30°，相距500公里，请说明这个台 风对南昌是否有影响?
样例07：投资的收益率
【问题情境】
假设某人从事某项投资，他先投入本金 a 元，得到的利润是 b 元，收益率是
b (%) ；第二次他又投入本金 x 元，得到的利润是 cx 元。问：
a
b cx
（1） 计算此人两次投资的总收益率； a x
学科价值：数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重 要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应 用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结 论一般、有序多级的系统。
育人价值（素养）：通过高中数学课程的学习，学生能在情境 中抽象出数学概念、命题、方法和体系（能力），积累从具体 到抽象的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题 的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方 式思考并解决问题。
6. 在利用数学模型解决问题时能够评价和确定限制 条件.
1.2 强调单元教学
1. 在逻辑过程、心理过程、历史过程的基础上梳 理本单元的课程发展主线（学习进阶）；
2. 通过本原性问题的探讨，聚焦本单元的大观念 （big ideas）；
3. 在夯实数学双基的基础上凸显数学核心素养的 专项设计；
4. 优化每个单元的习题系统。
样例06：热带风暴
热带风暴 “龙王”于9月26日上午在西北太 平洋洋面上生成，27日上午加强为台风．30日下 午5点，台风中心移到了我国台湾省花莲市偏东 方向大约940公里的洋面上（如图所示），并继 续向我国台湾省东部沿海靠近，台风中心于10月 ２日早晨５时30分到达台湾省花莲市，随后继续 向西运动．
开放性的数学任务是培养和测量数学素养的有 效途径； ⑥ 数学素养是按照水平逐步提高的，不同的人在 数学素养上也有不同的特点； ⑦ 对数学素养的评价需要改进评价工具和方式。
1.1 加强数学活动的设计
教学 设计
任务 设计
活动 设计
数学过程 课堂互动 合作学习 工具使用 交流反思
过程1：对问题情境的数学化
线杆的底部记为 ），假设把路
灯看作是一个点光源，身高1.5
米的女孩站在离 点5米的 处.请
回答以下问题：
A
1. 如果她绕路灯走一个圆圈，其阴影扫过的面积是多少？ 2. 如果她沿一个边长为10、中心在A点的的正方形走一圈，
那么其阴影扫过的面积是多少？ 3. 如果她绕一个半径为2的圆周走一圈，那么其阴影扫过的
1.3 创设有意义的问题与情境
1. 多样化的情境：与学生实际生活有联系的情 境，与公共常识或职业领域相关的情境，设 计科学知识与现象的情境，数学问题情境；
2. 有意义的问题：加深对数学的理解，强调通 性通法，有助于培养和发展数学核心素养；
3. 加强数学建模的教学：
– 作为数学教学途径的建模； – 作为数学活动的建模； – 作为数学核心素养的建模
——《高中数学课程标准》
2.2 样例：函数单调性
为什么要讨论函数单调性？ 学生已经具备了什么样的相关经验？ 如何刻画函数的单调性？(为什么用符号 语言)
函数单调性的抽象过程
问题1（从具体函数出发）
(1) 在初中阶段我们已经学过一次函数、反比例函数和二次函数，请根据函数 图像完成下面的填空：
当 x ______________时，y 随 x 的增大而增大； 当 x ______________时，y 随 x 的增大而减小。
这是一个数列问题，我们用a1表示第一 次服药后体内的药量，a2 表示第2次服药 后体内的药量，an 表示第n次服药后体 内的药量
a1 = 440，a2 = a1×40%+440， an + 1 = 0.4an + 440， 1 ≤ n ≤ 31
样例02：影子问题
如图，在广场上，一盏路灯
挂在一根10米的电线杆顶上（电
结果.
过程3：解释、应用和评价所得的数学结论
1. 回到原来的现实背景解释数学结果;
2. 依据现实背景评价数学结果的合理性;
3. 理解现实情境是如何影响数学结果和过程，以及 如何依据实际情况进行调整和运用;
4. 解释为什么所得的数学结果对于一个实际情境中 的问题来说是有意义的或者无意义的;
5. 理解数学概念和结果的适用范围和局限性；