导数与微分导数概念
数学导数和微积分
数学导数和微积分导数和微积分是数学中重要的概念和工具，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍导数和微积分的基本概念、性质和应用。
一、导数的定义和性质导数是描述函数变化率的工具，它的定义如下：对于函数 f(x)，在某一点 x0 处，如果极限lim（h→0）[f(x0+h)-f(x0)]/h存在，则该极限值就是函数 f(x) 在点 x0 处的导数。
导数具有一些重要的性质：1. 导数表示了函数变化的速率，可以理解为函数图像的切线的斜率。
2. 导数存在的充分必要条件是函数在该点可导。
3. 导数可以通过求导法则来计算，如加法法则、乘法法则、链式法则等。
二、微分与微分方程微分是导数的一种表达形式，是函数值和自变量之间的微小变化之间的关系。
微分可以用来解决很多实际问题，尤其在物理学和工程学中有广泛应用。
微分方程是包含导数的方程，通常形式为：dy/dx = f(x)其中f(x) 是已知函数，y 是未知函数。
解微分方程的过程称为积分，可以得到原始函数的解析表达式。
三、微分中值定理和泰勒展开微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它有三种形式：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理描述了函数在某个区间内的变化情况，提供了计算导数和函数性质的有效工具。
泰勒展开是函数在某个点附近用多项式逼近的方法。
它可以将函数在某个点展开成无穷级数，表达了函数在该点的各阶导数与函数值之间的关系。
四、微积分在物理学和工程学中的应用微积分在物理学和工程学中有广泛的应用，如下所示：1. 运动学：微积分用于描述物体的位置、速度和加速度之间的关系。
2. 力学：微积分用于描述物体的质心、力矩和动量等概念。
3. 电磁学：微积分用于描述电场、磁场和电磁感应等现象。
4. 热力学：微积分用于描述温度、热能和热流等热学过程。
5. 控制理论：微积分用于描述系统的响应、稳定性和控制性能等。
总结：导数和微积分是数学中重要的概念和工具，它们在各个领域都有广泛应用。
高等数学 第二章 导数与微分
（2）算比值： y f (x x) f (x) ．
x
x
（3）求极限： f (x) lim y lim f (x x) f (x) ．
x x0
x0
x
四、函数可导性与连续性的关系
定理 如果函数 y f (x) 在点 x0 处可导，则函数 y f (x) 在点 x0 处一定连续． 如果函数 f (x) 在点 x0 处连续，则函数 f (x) 在点 x0 处不一定可导．
第二章
导数与微分
导学
我们在解决实际问题时，除了需要确定变量之间的函数关系外，有时 还需要研究函数相对于自变量变化的快慢程度，即函数的变化率，以及当 自变量发生微小变化时函数的近似改变量，这两个问题就是我们本章所要 讨论的主要内容——导数与微分．
第一节
导数的概念
一、导数的定义
设某物体在数轴上做变速直线运动，运动方程为 s s(t) ，现在求该物体在 t0 时刻的瞬时速度 v(t0 ) ．
当
u
C （C
为常数）时，有
C v
Cv v2
．
二、反函数的求导法则
定理 2 如果函数 x f ( y) 在区间 I y 内单调、可导且 f ( y) 0 ，那么它的反函数 y f 1(x) 在
区间 Ix {x | x f ( y) ，y I y} 内也可导，且有
[ f 1(x)] 1 或 dy 1 ．
当时间 t 由 t0 变到 t0 t 时，物体的路程 s(t) 由 s(t0 ) 变到 s(t0 t) ，
路程的增量 s 为 s s(t0 +t) s(t0 ) ，
物体在
t0
到 t0
t
这段时间内的平均速度为
v
s t
导数与微分的概念及其应用
导数与微分的概念及其应用导数和微分是微积分中非常重要的概念，它们在数学、物理、工程和经济学等领域都有广泛的应用。
本篇文章将介绍导数和微分的概念以及它们在实际问题中的应用。
一、导数的定义和性质1. 定义：导数表示函数在某一点处的变化率，可以看作函数的瞬时增量与自变量的瞬时变化率的比值。
若函数f(x)在点x处可导，则其导数记作f'(x)、dy/dx、df(x)/dx等等。
2. 几何意义：导数可以理解为函数曲线在某一点处的切线斜率。
切线的斜率等于导数的值。
导数正值表示函数在该点上升，负值表示函数下降，零值表示函数有极值。
3. 基本性质：导数的四则运算法则是导数计算中常用的工具。
导数具有可乘性、可加性、链式法则、导数的导数等性质，这些性质使得导数的计算更加简便。
二、微分的定义和性质1. 定义：微分是导数的微小变化量，即函数f(x)在点x处的微分表示为df(x)。
微分可以看作函数值的小增量与自变量的小变化量的乘积。
2. 近似代替：微分在实际问题中常用来做近似计算的代替。
当自变量的变化量很小的时候，我们可以使用微分来近似计算函数值的变化量。
3. 微分形式：微分有两种形式，即全微分和偏微分。
全微分表示函数的所有自变量的微分都要考虑进去，而偏微分仅考虑某几个自变量的微分。
三、导数和微分的应用导数和微分在各个领域中都有丰富的应用。
以下是一些应用举例：1. 极值问题：导数在解决函数的极值问题中起到重要作用。
求解极大值和极小值的方法包括使用导数的方法、二阶导数的方法和高级数学中的拉格朗日乘子法等等。
2. 物理学应用：在物理学中，导数和微分用于描述运动的速度和加速度。
例如，速度可以通过对位移函数进行微分得到，而加速度可以通过对速度函数进行微分得到。
3. 经济学应用：导数和微分在经济学中有着广泛的应用。
例如，利润最大化和成本最小化问题可以通过导数的方法来解决。
导数还可以用于弹性和边际效用的计算。
4. 工程学应用：导数和微分在工程学中有着广泛的应用。
《高数数学(上)》-导数与微分
解 （1）根据导数定义并运用极限的运算法则
u(x)v(x) lim u(x x)v(x x) u(x)v(x)
x0
x
u(x x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x)
定理2.1
函数f (x)在x0 处可导的充要条件是左、右导数都存在
且相等.
7
一、 导数的定义
例 1 若函数f (x)在x=0 处连续，且 lim f (x) 存在， x0 x
证明f (x)在x=0 处可导.
证法一
设 lim f (x) A(A为常数)，则 x0 x
lim f (x) lim x f (x) 0 A 0，
证 若函数y f (x)在x0 处可导，由导数的定义可得
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (x0 )，所以利用函数极限与无穷小之间的
关系可得
f (x) f (x0 ) x x0
f
( x0
)
，lim x x0
0，即
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) (x x0 )
x
所以k 1 时，f (x) 在 x 0 处可导. 2
12
本讲内容
01 导数的定义 02 导数的几何意义 03 可导与连续的关系
二、 导数的几何意义
几何意义
若函数 f (x)在x x0 处可导，f (x0 ) 是曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x0 )) 处切线的斜率.
x0
第二章 导数与微分
由此可见,当|Δx|很小时,(Δx)^2的作用非常小,可以忽略不计 因此,函数y=x^2在x0有微小改变量Δx时,函数的改变量Δy约为 2x0·Δx, Δy≈2x0·Δx.
从图2-3中不难看出,Δy表示的是以x0为边长的正方形外围 的阴影部分面积,它为图示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ部分面积之和 2(x0·Δx)+(Δx)2，显然当|Δx|相对于x0很小时，(Δx)^2是微乎其 微的. 当f(x)=x2时，f′(x0)=2x0，因此Δy≈2x0·Δx可以写成 Δy≈f′(x0)·Δx. 由于f′(x0)·Δx是Δx的线性函数，所以通常把 f′(x0)·Δx叫做Δy的线性主部.
一般地，对于给定的可导函数y=f(x)，当自变量在x0处有 微小的改变量Δx时，函数值y的改变量Δy可用下式近似计算， 即
已知曲线方程y=f(x)，可以求过曲线上点M(x0，y0)处的 切线斜率.在M点的附近取点N(x0+Δx，y0+Δy)，其中Δx可正 可负，作割线MN，其斜率为(φ为倾斜角) tanφ=Δy/Δx=[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx.当Δx→0时，割线MN将绕着 点M转动到极限位置MT,如图2-2所示.根据上面切线的定义， 直线MT就是曲线y=f(x)在点M处的切线.自然，割线MN的斜 率tanφ的极限就是切线MT的斜率tanα(α是切线MT的倾斜角).
以上两个问题，虽然它们所代表的具体内容不同，但从 数量上看，它们有共同的本质：都是计算当自变量的增量趋 于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限.在自然科学 、工程技术问题和经济管理中，还有许多非均匀变化的问题 ，也都可归结为这种形式的极限.因此，抽去这些问题的不同 的实际意义，只考虑它们的共同性质，就可得出函数的导数 定义.
导数与微分求解函数的导数及微分法则
导数与微分求解函数的导数及微分法则导数和微分是微积分学中的两个基本概念。
在求解函数的导数和微分法则时，导数和微分密切相关。
本文将分别探讨导数和微分的概念以及它们在函数的求导和微分法则中的应用。
一、导数的概念及求解方法导数是用来描述函数变化率的概念，表示函数在某一点处的瞬时变化速率。
对于给定函数f(x)，其在点x处的导数可以用极限的形式表示：$f'(x)={\frac{d}{dx}}f(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$其中$\Delta x$表示自变量x的变化量，在求导的过程中会趋近于0。
函数f(x)在点x处可导的条件是导数$f'(x)$存在。
对于常见的函数，求导有一些常用的求导公式，包括：（1）常数函数的导数为0：$(c)'=0$，其中c为常数。
（2）幂函数的导数：$(x^n)'=nx^{n-1}$，其中n为正整数。
（3）指数函数的导数：$(a^x)'=a^xlna$，其中a为大于0且不等于1的实数。
（4）对数函数的导数：$(log_ax)'={\frac{1}{xlna}}$，其中a为大于0且不等于1的实数。
（5）三角函数的导数：$(sinx)'=cosx$，$(cosx)'=-sinx$，$(tanx)'={\frac{1}{cos^2x}}$。
除了以上常用的公式，可以利用导数的基本运算法则，如加法、减法、乘法和除法法则求导，更多的函数导数求解方法可以在求导的过程中掌握。
二、微分的概念及微分法则微分是函数在一点处的局部线性近似，可以用一次微分式$f'(x)dx$来近似表示$f(x+dx)-f(x)$。
根据微分的定义，得到微分公式：$df=f'(x)dx$其中df即表示函数的微分，dx是自变量x的增量。
微分公式可以推广至多元函数，即对于多元函数有：$df=\sum_{i=1}^n{\frac{\partial f}{\partial x_i}}dx_i$微分法则是指一些常用函数的微分公式，这些公式可以方便地用于求解复合函数和其他函数的微分。
导数与微分总结
导数与微分总结导数与微分是微积分中非常重要的概念，它们是描述函数变化率的工具。
导数和微分在实际问题中有广泛的应用，比如物理中的速度和加速度、经济学中的边际效应等等。
本文将对导数和微分的概念进行详细的阐述和总结。
一、导数的定义和性质：导数描述了函数的变化率，它反映了函数在某一点上的切线的斜率。
对于函数 y=f(x)，在其定义域内，如果极限lim (h→0) [f(x+h)-f(x)]/h存在，那么这个极限就是函数 f(x) 在点 x 的导数，记作 f'(x) 或 dy/dx。
导数的性质有以下几个重要的方面：1. 导数的存在性：函数在某一点上的导数存在与函数在该点处的连续性相关。
如果函数在某个点处可导，则该点处函数必然连续，但连续不一定可导。
2. 右导数和左导数：如果函数 f(x) 在某一点 x_0 处的右导数存在，且左导数存在，那么 f(x) 在该点处的导数存在。
3. 导数的运算法则：导数有一些特殊函数的运算法则，比如常数的导数等于 0、多项式函数的导数等于各项的导数之和、复合函数的导数等等。
二、微分的定义和性质：微分是导数的一种几何意义的解释，它与导数之间有一种积分意义上的联系。
设函数 y=f(x) 在 x0 处可导，那么函数在 (x0, x0+∆x) 区间内的增量Δy 可以近似表示为Δy = f'(x0) ∆x + o(∆x)其中o(∆x) 表示当∆x 趋近于 0 时，其值相对于∆x 的高阶无穷小。
微分的性质有以下几个重要的方面：1. 微分的应用：微分在几何学、物理学和工程学中都有广泛的应用。
比如，在几何学中，微分可以用来计算曲线的切线和曲率；在物理学中，微分可以用来计算速度和加速度；在工程学中，微分可以用来设计和分析物理系统。
2. 微分的线性性质：微分具有线性性质，即对于函数 f(x) 和g(x) 以及常数 a 和 b，有 d(af(x) + bg(x)) = a df(x) + b dg(x)。
导数与微分(经典课件)
导数与微分引 言导数与微分是数学分析的基本概念之一。
导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。
导数的概念在于刻划瞬时变化率。
微分的概念在于刻划瞬时改变量。
求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。
本章主要内容如下： 1． 以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义； 2． 给出求导法则、公式，继而引进微分的概念；3． 讨论高阶导数、高阶微分以与参数方程所确定函数的求导法。
4． 可导与连续，可导与微分的关系。
§1 导数的概念教学内容：导数的定义、几何意义，单侧导数，导函数，可导与连续的关系，函数的极值。
教学目的：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连 续的关系；能利用导数概念解决一些涉与函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线 方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。
教学重点：导数的概念，几何意义与可导与连续的关系。
教学难点：导数的概念。
教学方法：讲授与练习。
学习学时：3学时。
一、导数的定义：1．引入（背景）：导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。
导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton ）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz ）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。
这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。
在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。
问题1。
直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，若0t 为某一确定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。
取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[]0,t t 时间段的平均速度为：00)()(t t t s t s v --=，当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：0)()(lim 0t t t s t s v t t --=→。
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第二章 导数与微分 第一节 导数概念
1.x x x y =
，求y '
2．求函数y =2tan x +sec x -1的导数y '
3. x
x y 1010
+=，求y '
4. 求曲线y =cos x 上点)2
1
,3(π处的切线方程和法线方程式.
5.3ln ln +=x
e y ，求y '
6.已知⎩
⎨⎧<-≥=0 0
)(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？
7.设⎪⎩⎪⎨⎧
=≠=0
,00
,1sin )(x x x
x x f ，用定义证明)(x f 在点0=x 处连续，但不可导。
8. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 .
9.讨论函数y =|sin x |在x =0处的连续性与可导性:
10.设函数⎩
⎨⎧>+≤=1 1
)(2x b ax x x x f ，为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？
第二节 函数的求导法则
1.设()22arcsin x
y =，求y '
2．求函数y =sin x ⋅cos x 的导数y '
3．求函数y =x 2ln x 的导数y '
4．求函数x
x y ln =的导数y '
5．求函数3ln 2+=x
e y x
的导数y '
6. )(cos )(sin 2
2x f x f y +=，求y '
7. n
b ax f y )]([+=，求y '
8. )
()(x f x e e f y =，求y '
9. x x x y arcsin 12
+-=，求y '
10．求函数y =x 2ln x cos x 的导数y '
第三节 高阶导数
1. x x x
y ln 1
arctan +=，求y ''
2. )ln cos ln (sin 2
x x x
y -=
，求y ''
3. 设 y =x n +a 1x n -1+a 2x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 都是常数)，求)
(n y
4.设 y =sin 2 x ，求)
(n y
5.设 y =e x cos x , 求y (4) ;
6.若f ''(x )存在, 求下列函数y 的二阶导数
2
2dx y
d : (1) y =f (x 2) ; (2) y =ln[f (x )] .
7.验证函数y =e x sin x 满足关系式: y ''-2y '+2y =0 .
第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
1. ⎩
⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x ，（其中为参数），求22dx y d
2. 已知⎩⎨⎧==.cos ,sin t e y t e x t t 求当3π=t 时dx dy 的值.
3. x
x
y )11(+=，求y '
4. ⎩⎨⎧==3
2bt
y at x ，求22dx y d
5. x
x y 1=，求y '
6. 设函数y =y (x )由方程e y +xy =e 所确定, 求y ''(0).
7. 求由方程y =1+xe y 所确定的隐函数y 的二阶导数2
2dx y
d :
8. 求由方程b 2x 2
+a 2y 2
=a 2b 2
所确定的隐函数y 的二阶导数22dx
y
d :
9. 求 参数方程⎩
⎨⎧-=-=3
2
1t t y t x 所确定的函数的三阶导数33dx y d
10. 求曲线2
22a y x =+在点)4
2 ,42(a a 处的切线方程和法线方程.
第五节 函数的微分
1. 已知y =x 3-x , 计算在x =2处当∆x 分别等于1, 0.1, 0.01时的∆y 及dy .
2. 将适当的函数填入下列括号内, 使等式成立: (1) d ( )=2dx ; (2) d ( )=3xdx ; (3) d ( )=cos tdt ; (4) d ( )=sin ωxdx ; (5) d ( )dx
x 1
1+=
; (6) d ( )=e -2x dx ; (7) d ( )dx x
1=; (8) d ( )=sec 23xdx .
3. )(cos )(sin 2
2x f x f y +=，求dy
4. 设x x
y 21+=，求dy
5. 设y =x sin 2x ， 求dy
6.设 y =ln 2(1-x )，求dy
7. 0cos sin =-x e y e y
x
，求dy
8. 计算 三角函数cos29︒值的近似值:
9.利用函数的微分代替函数的增量求302.1的近似值.。