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圆的参数方程与椭圆的参数方程
1、合法而稳定的权力在使用得当时很少ห้องสมุดไป่ตู้到抵抗。 ——塞 ·约翰逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感；权力不易确定之处始终存在着危险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金子可以拉着它的鼻子走。— —莎士比
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利

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圆的参数方程讲课文档

(2)把圆x 方 2y程 22x4y10化为参数方程为
x 12cos y 22sin
第10页，共30页。
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
第11页，共30页。
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,
所以椭圆 x 2 y 2 1的参数方程是 94
{ x 3 cos ( 为参数 ) y 2 sin
第26页，共30页。
（2）把y 2t代入椭圆方程，得 x2 4t 2 1 94
于是x2 9(1 t 2 ), x 3 1 t 2
所以，椭圆 x2 y2 1的参数方程是 94
x 3
（1）写出定义域（x的范围）（2）消去参数(代入消元，三角变换消元）注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y
前后的取值范围保持一致。
2、普通方程化为参数方程的步骤
把含有参数等式代入即可
第30页，共30页。
y
(1,-1)
o
x
代入消元法
第21页，共30页。
(2)x sin cos 2 sin( ),
4 所以x[ 2, 2],
把x sin cos平方后减去y 1 sin2
得到x2 y, x[ 2, 2]. 这是抛物线的一部分。 y
三角变换消元法
第22页，共30页。
2 o
2
参数方程化为普通方程的步骤
步骤：
1、写出定义域（x的范围）
2、消去参数(代入消元，三角变换消元)
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y前后的取值范围保持一致。

2.1 椭圆的参数方程课件 (北师大选修4-4)

l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1： P( 8 8y 2 , y), 设
则d | 8 8y 2 y 4 | 2
O x
分析2：设P(2 2 cos, sin ),
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
P
分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一
2
2
y A
B O M N
φ
x
a b x a cos (为参数) 椭圆的参数方程: y b sin
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
y
P θ
x r cos 圆的参数方程: (为参数) y r sin θ的几何意义是 ∠AOP=θ
x a cos y b sin 是椭圆的参
另外, 称为离心角,规定参数的取值范围是 [0, 2 )
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 2 2 1
(3)
x 9
2
1 (4)
y 25
2
x 64
2

y 100
2
1
x 2cos 练习2：已知椭圆的参数方程为 ( 是 y sin
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 ），短轴长为
（ 2 ），焦点坐标是（( 3 , 0)），离心率是（
3 2
）。
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线

圆和椭圆的参数方程

圆和椭圆的参数方程知识点：1.圆的参数方程圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角，如下图：（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。

（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

（2）圆222()()x a y b r -+-=的常用参数方程为：cos ,[0,2π)sin x a r y b r θθθ=+⎧∈⎨=+⎩为参数.2.椭圆的参数方程（1）设点M 的坐标(x,y)，ϕ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取ϕ为参数，那么 x=ON=|OA|cos ϕ， y=NM=|OB|sin ϕ 即⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ①，引为点M 的轨迹参数方程，ϕ为参数。

（2）椭圆的参数方程也可由12222=+b y a x （a>b>0）三角换元直接得出，即令ϕcos =a x，ϕsin =by。

（3）椭圆参数方程⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ为参数），参数有明显几何意义，但是离心角ϕ与∠MOX 一般不同。

一、圆的参数方程的应用①距离和最值问题（22）（2017广州一测理）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数.在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 (Ⅰ) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程; (Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最大值.解： (Ⅰ) 由消去得,所以直线的普通方程为. 由,得.将代入上式,得曲线的直角坐标方程为, 即.(Ⅱ) 法1:设曲线上的点为,则点到直线的距离为xOy l 3,(1,=-⎧⎨=+⎩x t t y t )x :.4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθC l C C l 3,1,=-⎧⎨=+⎩x t y t t 40+-=x y l 40+-=x y 4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ22cos 2sin =+ρρθρθ222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y C 2222+=+x y x y ()()22112-+-=x y C ()1,1ααP P l =d =当时, , 所以曲线上的点到直线的距离的最大值为法2: 设与直线平行的直线为, 当直线与圆相切时,解得或(舍去),所以直线的方程为. 所以直线与直线的距离为所以曲线上的点到直线的距离的最大值为2/.圆()()22124x y -++=上的点到直线210x y -+=的最短距离是_______.4．若实数,x y 满足22240x y x y +-+=，则2x y -的最大值为 .22222.(1,0),(1,0)(3)(4)4.A B x y P PA PB P --+-=+（三星）平面上两点，在圆上取一点，求使取得最小值时点的坐标备注：注意P 点的坐标的求法，三角函数问题=sin 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭παmax =d C l l :0l x y b '++=l 'C =0b =4b =-l '0x y +=l l 'd ==C l2223.5,4,3.ABC AB BC AC P ABC PA PB PC ∆===∆++（三星）已知的三边长，点是内切圆上一点，求的最小值与最大值备注：也可以用三角函数来做②参数的几何意义2. （二星）（2014年高考新课标Ⅱ）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标. 备注：参数方程的应用解：（1）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤可得C 的参数方程为1cos sin x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t π≤≤）（2）设(1c o s ,s i n )D t t+由（Ⅰ）知C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l的斜率相同。

椭圆的参数方程课件

y P
θ
O
A x
别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
另外, 称为离心角,规定参数的取值范围是 [0, 2 )
焦点在x轴xy
a b
cos, sin.
焦点在y轴xy
b cos, a sin .
知识归纳椭圆的标准方程:
x2 y2 1
a2 b2
椭圆的参数方程:
x y
acos bsin
(为参数)
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
（ 3 ）。 2
M B
A
利用几何画板动画演示,理解椭圆规工作原理.
图2 9
探究椭圆规是用来画椭圆的一种器械,它的构造如图2 9 所示.在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽,在直尺上有两个固定滑块A, B,它们可分别在纵槽和横槽中滑动,在直尺上的点M处用套管装上铅笔, 使直尺转动一周就画出一个椭圆.你能说明它的构造原理吗?(提示:可以用直尺AB和横槽所成的角为参数,求出点M的轨迹的参数方程.)
d
|
3
cos
4 sin
5
10
|
|
5
cos
3 5
sin 5
4 5
10
|
1 5
|
5 cos
0
10
|,
其中0满足cos0
3 5
, sin 0
4 5.
由三角函数性质知,当 0 0, d取最小值 5.

2.1 椭圆的参数方程课件 (北师大选修4-4)

l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1： P( 8 8y 2 , y), 设
则d | 8 8y 2 y 4 | 2
O x
分析2：设P(2 2 cos, sin ),
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
P
分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一
x a cos y b sin 是椭圆的参
另外, 称为离心角,规定参数的取值范围是 [0, 2 )
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 2 2 1
点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。
x2 y2 1有一内接矩形ABCD，例3、已知椭圆 100 64
求矩形ABCD的最大面积。
Y y D
解 : 设A 10cos ,8sin
AD 20cos , AB 16sin S 20 16sin cos 160sin 2
(3)
x 9
2
1 (4)
y 25
2
x 64
2

y 100
2
1
x 2cos 练习2：已知椭圆的参数方程为 ( 是 y sin
参数) ，则此椭圆的, 0)），离心率是（
3 2
）。
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
O
A x
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 1 (2) x 1 (1) 4 9 16 x 2 cos x cos (1) (2) y 3sin y 4sin

椭圆的参数方程

知识总结
1.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ圆的参数方程
x a cos (为参数) y b sin
2 .在椭圆的参数方程中，a>b>0常数a、 b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.
另外, 称为离心角,规定参数的取值范围是 [0, 2 )
作业：课时训练9《椭圆的参数方程》
2 2
b tan a
cos sin
a a2 b2 b a 2 b2
b tan a
a b
2
2
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥OX，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为 M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系. 设∠XOA=θ
2
2
(2)
y x 1 16
2
2
x cos (2) ( 为参数) y 4sin
把下列参数方程化为普通方程
x 3cos x 8cos (3) (是参数) (4) (是参数) y 5sin y 10sin
(3)
2
y2 4
解：设点P(3cos , 2sin ) (0

2
)
SAOB面积一定, 需求SAPB最大即可
即求点P到线AB的距离最大值 O x y 线AB的方程为 1 2 x 3 y 6 0 3 2 | 6cos 6sin 6 | 6 d | 2 sin( ) 1|

圆的参数方程与椭圆的参数方程

y

b

r
sin

0,2

圆的参数方程
1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:
x

y

r r
cos sin
(为参数）
2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:
x

y

a b

r r
cos sin
(为参数）
0,2
例1. 如图,已知点P是圆x2+y2=4上的一个动点,
例2 把下列普通方程化为参数方程
（3）x2 y2 1 49
（4）x 2

y2
16

1
例3
已知椭圆
x2 100

y2 64
1
有一内接矩形ABCD，
求矩形ABCD的最大面积
D
y B2 A
A1 F1
O F2 A2 X
C
B
B1
例4 在椭圆 x2 y2 1 上, 到直线 l : 3x 2y 16 0
点A是x轴上的定点,坐标为(6,0).当点P在圆
上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
y
解:设M的坐标为(x,y), 圆x2+y2=4
P
的参数方程为 x =2cosθ y =2sinθ
M
O
Ax
∴可设点P坐标为(2cosθ,2sinθ)
由中点公式得:点M的轨迹方程为
x =3+cosθ y =sinθ
∴点M的轨迹是以(3,0)为圆心、1为半径的圆。
P M
O
Ax
例:如图，已知点P是圆x²+y²=16上的一个动点，点A 是x轴上的定点，坐标是（12，0）。当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么y ？

圆参数方程

圆参数方程1 圆参数方程圆参数方程是描述圆的数学方程，它与直角坐标系统的坐标位置有关。

圆的参数方程的形式为：$x = r\cos \theta$,️$y = r\sin\theta$ 它可以用来描述任意圆，r表示圆的半径，而θ是阶次参数，定义它指向原点（O）和点（x，y）之间的夹角，当θ=0 时，点（x，y）即位于x正轴上，θ + 2π时，会回到原点。

2 三种方程形式圆的参数方程有三种不同的表示形式，分别是间接参数形式、角参数形式和极参数形式。

（1）间接参数形式圆的间接参数形式是圆的参数表示形式中最常用的形式，它的形式如下：$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$，其中，$(x_0,y_0)$是圆心的坐标，$r^2$是给定的圆半径的平方。

（2）角参数形式圆的角参数形式是以圆心为原点，以圆周上一点和圆心夹角θ来表示圆的参数形式，它的形式如下：$x = r\cos \theta$,️$y = r\sin \theta$（3）极参数形式圆的极参数形式是把圆心的坐标$(x_0,y_0)$,圆半径$r$分别代入圆的方程 $ (x-x _0)^2+(y-y _0)^2=r^2，用三角函数式变换，极参数形式为：$x=r_0 \cos \theta$,$y=r_0 \sin \theta+r_0$3 实际应用圆参数方程拥有广泛的应用。

由于它具有旋转对称性，可以用来描述基本的图形，例如椭圆形、圆形等。

借助圆参数方程，可以很容易地在屏幕上绘制各种图形。

此外，它还可用于分析复杂的函数关系，进一步深入探索数学中的有趣知识。

因此，圆参数方程的广泛应用受到科学家和数学家的欢迎与推崇，它将持续成为数学学习中不可或缺的部分，为我们带来更多令人惊叹的数学发现与奇妙探险。

2.1 椭圆的参数方程课件 (北师大选修4-4)

2
2
A
B O N
M
设∠XOA=φ
x
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. y 解：设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A A: (acosφ, a sinφ), B B: (bcosφ, bsinφ), M
O
A x
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 1 (2) x 1 (1) 4 9 16 x 2 cos x cos (1) (2) y 3sin y 4sin
2
2

把下列参数方程化为普通方程 x 3cos x 8cos (3) (4) y 10sin y 5sin
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
Hale Waihona Puke F2X A2 X所以, 矩形ABCD最大面积为 160
y x 练习3:已知A,B两点是椭圆 9 4 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
解 : 椭圆参数方程设点P(3cos ,2sin ) SABC 面积一定, 需求 SABP 最大即可即求点P到线AB的距离最大值
y A
B O M N
φ
x
a b x a cos (为参数) 椭圆的参数方程: y b sin
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2

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2.1 椭圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)

圆和椭圆的参数方程

椭圆的参数方程 课件

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椭圆的参数方程

圆的参数方程与椭圆的参数方程

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