DSP第二章Z变换与拉氏变换傅氏变换的关系.
数字信号处理第2章
Z变换与拉氏变换的关系:
这一关系实际上是通过 到了Z平面。
若将Z平面用极坐标表示
标表示
，代入
将S平面的函数映射
，S平面用直角坐 ，得：
上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应， z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。
映射关系：
Z变换与拉氏变换的关系
0 0,2 (S平面实轴映射到Z平面的正实轴)
解：
，求它的傅立叶变换。
其幅度谱和相位谱分别为：
典型例题
❖ 例2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。
解：
显然序列 h(n)不是绝对可和的，而是平方可和 的 ，但其依然存在傅立叶变换。 Parseval定理
典型例题
❖ 例3 证明复指数序列 x(n) e j0n 的傅立叶变换为：
证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函 数 的性质，有：
即序列绝对可和
某的有 立些序些叶既列序变不，列换满若虽依足引然然绝入不存对频满在可 域足。和的以见的冲上后条击条例件函件。也数，不但满满，足足其平平傅方方立可可叶和和变条，换件其傅
也存在。如
、某些周期序列，见后例。
序列傅立叶变换的定义
5．常用序列的傅立叶变换
序列
(n)
傅立叶变换
1
1
典型例题
❖ 例1 已知
A形k(式k=求0,X取1(…：z),N)B，(此z) A( z )
时
为了方bi 便z i通常利用
i0
N
1 ai z i
X(z)/z的
i 1
若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
则其逆Z变换为：
DSP09离散时间信号-Z变换与拉氏变换关系
T
T
有w ，因此，W从 增加到 时，w由 增加到
T
T
即辐角旋转一周，或将整个Z平面映射一次。当W再增加
2 时(一个取样频率)时，则w相应地又增加2，即辐角
T 再旋转一周，或将整个Z平面再映射一次。
2020/3/30
6
S平面到Z平面的映射
由上述讨论总结得出从Z平面到S平面的映射关系如下
1 S平面上宽度为2 的水平带映射成整个Z平面，左半带
变换，系统函数定义为
H z
Y z X z
hn zn
n
即系统函数是单位取样响应 hn 的Z变换。
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12
由差分方程求系统函数
设一个线性非移变系统的输入和输出满足下列差分方程
N
M
ak yn k br xn r
k 0
r0
对上式两边求Z变换得
N
M
ak zkY z br zr X z
系统的稳定性与系统函数 H z 的收敛域有密切的关系。我
们知道，为了使 hn 的Z变换存在，就要求
hnzn
n
当
z 1
时，上式变成
hn
n
这就是系统稳定的充要条件。因此，若系统函数在单位圆上收 敛，则系统是稳定的。或者说，系统稳定的充要条件是系统函
数 H z 的收敛域包括单位圆。
2020/3/30
n
T n
所以
n
X s
s
xs t
estdt
xa t
1
e j nWs t e stdt
T n
1
T n
xa
t
es j nWs t
dt
1 T
Z变换与F、L变换的关系
Ω= 0，S平面的实轴， ω= 0，Z平面正实轴；
Ω=Ω0(常数)，S:平行实轴的直线， ω= Ω0T,Z:始于
原点的射线；
Ω ( , ), S:宽 2的水平条带， ω ( , ) 整个z平面.
TT
T
j 3
jIm[Z]
Tபைடு நூலகம்
T
T
3
T
ω
0
Re[Z]
S平面到Z平面的映射是多值映射，不是单一映射。
总结：z 变 换 的 本 质 是 理 想 冲 激 抽 样 的 拉 普 拉 斯 变
二.Z变换和傅氏变换的关系
连续信号经理想取样后,其频谱产生周期延拓，
即
Xˆ a (
j)
1 T
k
Xa(
j
jk
2
T
)
我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=jΩ
的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此,
X (z)ze jT X (e jT ) Xˆ a ( j)
这就是说,（取样）序列在单位圆上的Z变换,就等
σ 0, s jΩ
H jΩ H s s jΩ
4. z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏 变换（DTFT）
z 1, z ejω
X e jω X z zejω
四.序列的傅氏变换
1.正变换:
F[x(n)] x(e j ) X (z)ze j x(n)e jn , n
收敛条件为： x(n) n
即X (z) zesT X (esT ) Xˆ a (s)
2.Z变换与拉氏变换的关系( S、Z平面映射关系）
S平面用直角坐标表示为：s j
Z平面用极坐标表示为： z re j
又由于 z esT
傅氏变换和拉氏变换的关系
傅氏变换和拉氏变换的关系1. 傅氏变换（Fourier Transform）和拉氏变换（Laplace Transform）是两种常见的数学工具，用于处理信号和系统的分析和处理。
它们在数学上有一定的联系和相似之处，但又有一些重要的区别。
2. 傅氏变换主要用于分析连续时间信号，将信号从时域（时间域）表示转换为频域（频率域）表示。
它通过将一个信号表示为不同频率的正弦和余弦函数的叠加来实现。
傅氏变换可以将一个信号分解为不同频率的成分，从而可以更容易地分析信号的频谱特性。
3. 拉氏变换是傅氏变换的一种扩展，主要用于分析连续时间系统的响应。
它将一个函数从时域表示转换为复平面上的函数表示，通过引入一个复变量s，其中s具有实部和虚部。
拉氏变换可以将系统的时间域特性转换为频率域特性，从而更容易地分析和设计系统的稳定性和响应。
4. 傅氏变换和拉氏变换之间的关系可以通过对比它们的定义和使用方式来理解。
傅氏变换是拉氏变换的一种特例，当拉氏变换中的复变量s取纯虚数时，即s = jω（其中j表示虚数单位），拉氏变换就变成了傅氏变换。
5. 从定义上来看，傅氏变换和拉氏变换都是对函数进行积分变换，但在积分的路径和区域选择上有所不同。
傅氏变换对应于周期信号和非平稳信号的频谱分析，而拉氏变换对应于连续时间系统的稳态响应分析。
6. 实际应用中，傅氏变换在信号处理、通信系统、图像处理等领域中广泛应用，可以用于信号滤波、频谱分析、信号重构等。
而拉氏变换在控制系统理论、电路分析、信号处理等领域中常用于分析系统的稳定性、传递函数、频率响应等。
7. 总体而言，傅氏变换和拉氏变换在数学上有一定的联系和相似之处，但在应用和使用上有所区别。
傅氏变换主要用于分析信号的频域特性，而拉氏变换主要用于分析系统的频率响应和稳态响应。
它们是解决不同问题的有力工具，可以相互补充和应用。
§8.6 z变换与拉氏变换的关系
这就是直接由连续函数的拉氏变换式求抽样后的
离散序列z变换式的关系式。
该积分式当然也可以用留数定理来计算。即：
Xz Rsezz-X essTX(s)的诸极点
例如：当X(s)有一单阶极点s1时
R s z e z - e X s sT s s 1 zs z - - s 1 e s X T ss s 1 z- k 1 e z s 1 T z k - 1 z z 1
• 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
例如，阶跃信号u(t)在t=0点定义为1/2; 阶跃序列u(n)在点n=0定义为1。
注意跳变值
例8-6-1 例8-6-2
返回
注意跳变值
0
xˆi tA2i
Ai epit
t <0 t 0 t >0
0
xinTAi
Ai epint
t <0 t 0 t >0
按抽样规律系 建时 立必 0 二 点 须 者 补 在 Ai联 2 足 ,即
幅角: =T=2p
s
z平 面
式中T是序列的时间间隔，重复频率s=2p/ T
s~z平面映射关系
这两个等式表明：z的模r仅对应于s的实部 ；
z的幅角仅对应于s的虚部 。
（1）s平面的原点
，== 00
z平面
r
=，= 10即z=1。
s平面(s= +j
傅里叶变换,拉普拉斯变换和Z变换的意义_百度文库.
傅里叶变换，拉普拉斯变换和Z变换的意义傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。
理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。
我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。
傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。
傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。
这都是一个信号的不同表示形式。
它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。
对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。
幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。
傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。
也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。
§6.10 傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换之间的关系
邮
院
X
二．z变换与拉普拉斯变换的关系
Ai ˆ t L x s p i 1 i ˆ ( nT ) 也 ˆ ( t ) 进行理想抽样，得到的离散时间序列 x 对x 由N 项指数序列相加组合而成。 ˆ nT x ˆ 1 nT x ˆ 2 nT x ˆ N nT x
jω
n
电
子 工
X z
n x n z
北
程 学
院
逆变换 x n
2 j 1 2 j 1
1
z 1
X z z
n 1
dz
第 5 页
北
京
1 IDTFT X e x n 2
学
n
电
x n e jn
j K2 K 2
* 1
北
程 学
K1 K2 ω0 解： xt sinω0 t ut X s 2 2 s j ω0 s j ω0 s ω0 两个一阶极点分别为 p1 j ω0，p2 j ω0 。
电
大 学
电
子 工
序列sinω0 nT unT 的z变换。
第 7 页
大 学
北
i 1
i 1
其拉式变换为
N
北
京
邮 电
Ai ˆ t L x s p i 1 i
大
学
电
子 工
程 学
京
ˆ i t Ai e pi t u t x
电
N
电
子 工
程
学 院
N
匀抽样 x t 均 x n ,
初学者-从信号与系统角度浅谈傅里叶变换拉氏变换Z变换三者之间的关系
初学者-从信号与系统角度浅谈傅里叶变换，拉氏变换，Z 变换三者之间的关系一 傅里叶级数展开与傅里叶变换之所以要将一个信号f (t)进行傅里叶级数展开或傅里叶变换是因为一般自然界信号都非常复杂，且表面上并不能直观的表现出频率与幅值的关系，而一个信号的大部分有效信息恰藏于其频谱上，即其幅频关系和相频关系上。
通过傅里叶级数展开或傅里叶变换，可将自然界中复杂的信号分解成简单的，有规律的基本信号之和或积分的形式，并且可以明确表达出周期信号的离散频谱和非周期信号的连续频谱函数。
傅里叶级数展开是对于周期信号而言，如果该周期信号满足狄利克雷条件（在电子和通讯中大部分周期信号均满足），周期信号就能展开成一组正交函数的无穷级数之和，三角函数集在一个周期内是完备的正交函数集，使用三角函数集的周期函数展开就是傅里叶级数展开，而欧拉公式是将三角函数和复指数连接了起来，所以傅里叶级数可展开成三角函数或复指数两种形式，此时就可画出信号的频谱图，便可直观的看到频率与幅值和相位的关系。
既然是级数和展开，则上述频谱图中横轴表示n 倍的角频率，是一个离散频谱图，那么由离散频谱的间隔与周期的反比关系知当f(t)的周期T 趋近于无穷大时，周期信号变成了非周期信号，谱线间隔趋近于无穷小，谱线无限的密集而变成为连续频谱，该连续频谱即为频谱密度函数，简称频谱函数，该表达式即是我们熟悉的傅里叶变换，傅里叶变换将信号的时间函数变为频率函数，则其反变换是将频率函数变为时间函数，所以傅里叶变换建立了信号的时域与频域表示之间的关系，而傅里叶变换的性质则揭示了信号的时域变换相应地引起频域变换的关系。
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n
nT )e
nsT
st
dt
理想抽样后的信号的 Z变换与L变换的关系
令抽样序列为：
其z变换为：
x(n) xa (nT )
X ( z)
sT
n
x ( n) z
n
由此看出：当z e 时，抽样序列的z变换 等于其理想抽样信号的拉氏变换。
引言
上节我们讨论了连续信号的理想抽样， 这节我们利用它来讨论离散信号的z变换 与连续信号的拉普拉斯变换、付里叶变 换的关系。
理想抽样后的信号的拉氏变换
ˆa (t )， 设连续信号xa (t ), 理想抽样后的抽样信号x 它们的拉氏变换为：
st ˆ ˆ a (t )e dt X a (s) x a
ˆ ( s) X ( z ) z e sT X (e ) X a
sT
Z平面与S平面的映射关系
z平面与s平面的映射关系 z e z平面用极坐标表示：
sT
s平面用直角坐标表示： s j
z re
T
jw
则可得 因而
z re e e e T re w T
1 jw
n
x ( n )e
jw
jwn
X (e )e dw
jwn
单位圆上的序列的z变换即为序 列的付里叶变换
X ( z ) z e jw 1 w 2k X (e ) X a ( j ) T k T
jw jw
序列的付里叶变换（即离散序列的频谱）为：
DTFT [ x(n)] X (e )
1 DTFT [ X (e )] x(n) 2
信号的频谱
若已知抽样序列x(n),如何求出输入 信号xa(t)的频谱？ （1）先通过sz的映射关系，去找 抽样序列x(n)的z变换X(z)和连续信号 xa(t)的拉普拉斯Xa(s)的关系。
1 ˆ ( s) X ( s jk ) X a a s T k 1 1 2 X a ( s jk s ) X a ( s j k ) T k T k T
jT
1 2 ) X a ( j j k ) T k T
数字频率和模拟频率的关系
ze
j
在以后的讨论中，我们用数字频率 来作为z平面上单位圆的参数，即
数字频率w表示z平面的辐角，它 和模拟角频率的关系为
f T 2 fs fs
看出：数字频率是模拟角频率对抽样频率的 归一化值，或是模拟频率对抽样频率的相对 比值乘以2.
jw
( j )T
jT
r与的关系
re
T
（1）=0(s平面虚轴)，对应于r=1(z平面 单位圆上)。 （2） <0(s的左半平面)，对应于r<1(z平 面单位圆内)。 （3） >0(s的右半平面)，对应于r>1(z平 面单位圆外)。
数字频率与模拟频率之间关系
T
（1）=0(s平面实轴),对应于=0(z平面正实轴)。 （2）= 0(常数)(s平面平行于实轴的直线),对应于 =0T(z平面始于原点辐角为的辐射线)。 （3）由-T增长到T，对应于由-增长到，即s 平面为2T的一个水平条带相当于z平面辐角转了一 周，也就是覆盖了整个z平面。 （4） 是一个周期函数，2一个周期 。即s平面到z 平面的映射是多值映射。
X ( z ) z e sT
(2)其次，讨论x(n)的z变换X(z)和xa(t) 的付里叶变换Xa(j)的关系。
X ( z ) z e sT X（e
jT
ˆ ( j) ) X a
说明：抽样序列在单位圆上的z变换，就等 于其理想抽样信号的付里叶变换。
X ( z ) z e jT X (e