拉氏变换与Z变换.
拉氏变换表(包含计算公式)
拉氏变换及反变换公式3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- )()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）。
第七讲拉氏变换傅氏变换与Z变换
jω)决定。
故称H(ejω)
为线性时不变系统的频率响应。线性时不变系统的
频率响应是其单位脉冲响应的傅里叶变换。
线性时不变系统的频率响应 H(ejω) 是以 2π 为周期的连续周
期函数, 是复函数。它可以写成模和相位的形式
H (e ) | H (e ) | e
j
j
j arg[ H ( e j )]
1 2k Xa j T k T
单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换 数字频谱是其被采样的连续信号频谱周期延拓后再对采样 频率的归一化。
2.6 序列的傅氏变换 因单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换，用ejω代替z， 得到序列傅里叶变换的定义为
求系统的单位脉冲响应及系统性质。
1 | z | 2 2
解 收敛域包括单位圆但不包括∞点，因此系统是稳定的但
是非因果的。由系统函数的Z反变换可得
1 n h(n) u(n) 2 u(n 1) 2
由于存在2nu(-n-1)项， 因此系统是非因果的。
n
2.10.3 系统频率响应的意义
利用傅里叶变换性质得到
F［y(n)］=F［x(n) * h(n)］
即
Y(ejω)=X(ejω)H(ejω)
对于线性时不变系统，其输出序列的傅里叶变换等于输入序
列的傅里叶变换与系统频率响应的乘积。
|Y(ejω)|=|H(ejω)|·|X(ejω)| arg［Y(ejω)］=arg［H(ejω)］+arg［X(ejω)］
式中:
m
h(m)e
jn
H (e
j
)
y(n)=ejωnH(ejω)
上式表明，当线性时不变系统输入是频率为ω的复正弦序列
DSP第二章Z变换与拉氏变换傅氏变换的关系.
n
nT )e
nsT
st
dt
理想抽样后的信号的 Z变换与L变换的关系
令抽样序列为：
其z变换为：
x(n) xa (nT )
X ( z)
sT
n
x ( n) z
n
由此看出：当z e 时，抽样序列的z变换 等于其理想抽样信号的拉氏变换。
引言
上节我们讨论了连续信号的理想抽样， 这节我们利用它来讨论离散信号的z变换 与连续信号的拉普拉斯变换、付里叶变 换的关系。
理想抽样后的信号的拉氏变换
ˆa (t )， 设连续信号xa (t ), 理想抽样后的抽样信号x 它们的拉氏变换为：
st ˆ ˆ a (t )e dt X a (s) x a
ˆ ( s) X ( z ) z e sT X (e ) X a
sT
Z平面与S平面的映射关系
z平面与s平面的映射关系 z e z平面用极坐标表示：
sT
s平面用直角坐标表示： s j
z re
T
jw
则可得 因而
z re e e e T re w T
1 jw
n
x ( n )e
jw
jwn
X (e )e dw
jwn
单位圆上的序列的z变换即为序 列的付里叶变换
X ( z ) z e jw 1 w 2k X (e ) X a ( j ) T k T
jw jw
序列的付里叶变换（即离散序列的频谱）为：
DTFT [ x(n)] X (e )
1 DTFT [ X (e )] x(n) 2
拉氏变换和z变换表
附录A拉普拉斯变换及反变换1 •拉氏变换的基本性质常用函数的拉氏变换和变换表附表A-2常用函数的拉氏变换和z变换表3.用査表法进行拉氏反变换用査表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设F(s)是s 的有理真分式，即F(s)_ 3G) _勺”卍+也严+…+加+仇A(s) a n s11 + 心-is" + ・•・ + qs + a。
式中.系数心仆…'心“和…九亠叽都是实常数S是正整数。
按代数定理可将F(s)展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
(1)4(5)= 0无重根：这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式，即F(s)= -^+_Ea_ + ...+_^+…+_S^_ = £_S_ (F-i)s — s —s — S)s — S fj j=| s — s i式中，51,52,---,5…是特征方程A(s)= 0的根：Cj为待肚常数，称为F(s)在耳处的留数，可按下列两式计算: c i =lim(5 一5Z)F(5)(F-2)f式中，A f(s)为4(s)对s的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式(F-1)可求得原函数为■/(r) = L-1[F(5)] = r,乞丄严(F-4)■】S一S： /-1(2) A(5)= 0有重根：设4($) = 0有r重根$厂F(s)可写为皿巾卷FC r C r_|Cl C r+| c+・・• + ——!— + —+・——-—+ ——-―・・ + —:($ —山)‘ (s-S|)L (s-g) S 一片+1 S —式中,S]为F(s)的r重根,常I，…，召为F(s)的n-r个单根;其中,c r+I,…，c“仍按式(F-2)或式(F-3) 计算，c r, c“…，5则按下式计算:c r = lim(s-y])「F($) fij =limf [(s-y) F(s)] f asds }(s-s{ y F(s)(F-5)B(s)(F-3) Si _ T Hi j(r-i)帆科(_"弘)原函数/(/)为/(r) = r*[F(5)]__ £-1 I『+ I —1 __ | ____ p ( [ + —J _| ________ p Cj______ p(几L(y-g)「(y-$i)z (s-yj y-»+] s-»s_s“=[ —t r~' + (— t r~2 + -• ■ + cJ + c.严+ £cf (F-6) L(r-1)! (r-2)! J $。
傅里叶变换拉普拉斯变换z变换关系
傅里叶变换拉普拉斯变换z变换关系
傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换是三种不同的信号分析方法。
它们之间的关系如下：
1. 傅里叶变换和拉普拉斯变换
傅里叶变换用于分析连续时间信号，而拉普拉斯变换用于分析连续时间线性时不变系统（LTI系统）。
当对LTI系统的输入信号进行傅里叶变换时，得到的结果是系统的频率响应，即系统在不同频率下的增益和相位差。
当使用拉普拉斯变换对LTI系统的输入信号进行变换时，得到的结果是系统的传递函数，即输入信号和输出信号之间的关系。
2. 傅里叶变换和z变换
傅里叶变换和z变换都用于分析离散时间信号。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，而z变换将信号从时域转换到z域。
z变换可以将连续时间信号离散化，这使得它在数字信号处理中非常有用。
当对离散时间信号进行傅里叶变换时，得到的结果是信号的离散频谱，即信号在不同频率下的幅度和相位信息。
当使用z 变换对离散时间信号进行变换时，得到的结果是离散时间系统的传递函数，即输入信号和输出信号之间的关系。
3. 拉普拉斯变换和z变换
拉普拉斯变换和z变换类似，都用于分析离散时间线性时不变系统。
当使用拉普拉斯变换对离散时间LTI系统的输入信号进行变换时，得到的结果是系统的离散时间传递函数。
当使用z变换对连续时间LTI系统的输入信号进行变换时，得到的结果是系统的z域传递函数。
这些函数可以用于分析系统的稳定性、带宽和抗差性等性质。
拉氏变换表
附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质__________________________________________________2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表____________________________________________________________________________________________________3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1(F-4)②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+__________________________________________________=nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）。
傅立叶变换拉普拉斯变换z变换区别和应用场合
傅立叶变换、拉普拉斯变换和z变换是信号与系统分析中常用的数学工具，它们在不同的应用场合有着各自独特的作用。
下面，我们将分别介绍这三种变换的定义、特点和应用场合。
一、傅立叶变换傅立叶变换是最常用的信号处理工具之一，它将时域信号转换为频域信号，可以用来分析信号的频谱特性。
傅立叶变换的定义如下：设x(t)是一个绝对可积的信号，则其傅立叶变换定义为：X(ω)=∫−∞∞x(t)e−jωtdt其中，X(ω)为频率为ω的复指数信号的系数。
傅立叶变换的特点包括：1. 线性性：傅立叶变换是线性的，即对信号进行线性组合后，其傅立叶变换也可以线性组合。
2. 积分性质：傅立叶变换是通过积分计算得出的，可以将信号在时域上的加权积分变换为频域上的乘积。
傅立叶变换的应用场合包括：1. 信号频谱分析：通过傅立叶变换可以将信号转换为频域上的频谱图，并从中分析信号的频率成分和能量分布。
2. 滤波器设计：在滤波器设计中，傅立叶变换可以用来分析系统的频率响应，从而设计出滤波器的频率特性。
3. 通信系统：在调制解调、频谱分析等通信系统中，傅立叶变换也有着重要的应用。
二、拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种广泛应用于控制系统分析和设计中的数学工具，它可以将时域信号转换为复频域信号，用于分析系统的稳定性和动态特性。
拉普拉斯变换的定义如下：设x(t)是一个绝对可积的信号，则其拉普拉斯变换定义为：X(s)=∫0∞x(t)e−stdt其中，X(s)为复频域上的复指数信号的系数。
拉普拉斯变换的特点包括：1. 收敛性：拉普拉斯变换要求信号在0到∞范围内绝对可积，以确保变换的收敛性。
2. 稳定性：拉普拉斯变换可以判断系统的稳定性，通过判断拉普拉斯变换的极点位置来分析系统的阶跃响应。
拉普拉斯变换的应用场合包括：1. 控制系统分析：在控制系统分析中，拉普拉斯变换可以用来分析系统的稳定性、阶跃响应和频率特性。
2. 信号处理：在滤波器设计和信号处理中，拉普拉斯变换也可以用来分析系统的频率响应和动态特性。
Z变换与连续时间信号的拉氏变换、傅立叶变换的关系
序列的z变换： x(n ) X ( z ) 连续时间信号的Laplace变换： xa (t ) X a ( s ) 连续时间信号的Fourier变换：xa (t ) X a ( j)
一、序列的z变换&理想抽样信号的 Laplace变换
理想抽样信号： xa (t ) ˆ 其Laplace变换：
n
x (nT ) (t nT )
a
ˆ ˆ X a ( s) xa (t )e st dt
n
xa (nT ) (t nT )e st dt xa (nT )e st (t nT )dt
Fourier变换是Laplace变换在虚轴上的特例。 即: s=jΩ 映射到z平面为单位圆
X ( z)
z e jT
z e jT
ˆ X (e jT ) X a ( j)
ˆ X a ( s)
s j
抽样序列在单位圆上的z变换 =其理想抽样信号的Fourier变换
X (e j ) 序列的Fourier变换
n
n
xa (nT )e snT
抽样序列： x(n) xa (nT )
其z变换： X ( z )
n
xa (nT ) z Nhomakorabea n比较理想抽样信号的Laplace变换：
ˆ X a ( s)
n
xa (nT )e snT
得：
ˆ 当z e sT 时，X ( z ) X a ( s )
S平面 实轴 平行直线