2.4 Z变换与拉氏变换和傅氏变换的关系

单位圆上序列的z变换 单位圆上序列的 变换 X (e jω ) = X (z) z=e ω 数字域频率：ω = ΩT
j
ˆ = X (e jΩT ) = Xa ( jΩ)
1 ∞ = ∑ Xa ( jΩ− jkΩs ) T k=−∞
1 ∞ ω − 2πk = ∑ Xa j T k=−∞ T
——电子信息工程 电子信息工程
§2.5 z变换与拉氏变换和傅氏变换的关系
本小节通过对Z变换和拉氏变换的分析找出Z 本小节通过对Z变换和拉氏变换的分析找出Z变换和拉 氏变换、 氏变换、傅氏变换之间的关系 ∧ 设连续信号 xa (t ) ，理想抽样信号为 x a (t ) ， 其拉氏变换为
X a (s) = =
ˆ 当z = e 时，X (z) = Xa (s)
sT
1 ∞ 而 ˆ a (s) = ∑ Xa (s − jkΩs ) X T k=−∞
X (z) z=esT
1 ∞ 1 ∞ 2π = ∑ Xa (s − jkΩs ) = ∑ Xa s − j k T k=−∞ T k=−∞ T
——电子信息工程 电子信息工程 4、序列 序列x(n)的z变换与 a(t)的傅里叶变换的关系 变换与x 的傅里叶变换的关系 序列 的 变换与 Fourier变换是 变换是Laplace变换在虚轴上的特例。 变换是 变换在虚轴上的特例
即: s=j z = e jΩT 映射到z平面为单位圆
X (z)
z=e jΩT
令 s = σ ＋ jΩ ∴ r = e σT z = re jω
T → re jω = e (σ + jΩ）
ω = ΩT
表示在 s平面上变量和 z平面上变量之间的关系
——电子信息工程 电子信息工程
1 . r 与 σ 的关系
r=e
σT
jΩ s平面 j Im(z ) z平面
σ <0
σ >0 σ
－1 • 1
ˆ = X (e jΩT ) = Xa ( jΩ)
ˆ = Xa (s) s= jΩ
抽样序列在单位圆上的z变换 抽样序列在单位圆上的 变换 =其理想抽样信号的 其理想抽样信号的Fourier变换 其理想抽样信号的 变换
序列的Fourier变换 序列的 变换
2π Ωs = 为 周期 T
f ω = ΩT = = 2π fs fs
Ω
——电子信息工程 电子信息工程 对于抽样序列 x ( n ) = xa (nT ) 其Z变换为
X ( z) =
n = −∞
x ( n) z − n ∑
+∞
如果有 z
=e
sT
ˆ 则 X ( z ) | sT = X (e sT ) = X a ( s ) z =e
映射关系为 z =e
sT
1 s = ln z T
= =
∧
∫
∞
∞
−∞
ˆ x a ( t ) e − st dt x a ( nT )δ (t − nT ) e − st dt
x a ( nT ) δ ( t − nT ) e − st dt
∫ ∑
−∞
n = −∞
+∞
∑ ∫ ∑
+∞
n = −∞ +∞ +∞
−∞
n = −∞
x a ( nT ) e − snT
•
Re(z )
——电子信息工程 电子信息工程
2 . ω 与 Ω 的关系
ω = ΩT
s平面 jΩ 3π T j Im(z ) z平面
π
T
−
π
T
σ
－1 •
1
•
Re(z )
−
3π T
——电子信息工程 电子信息工程
3、抽样序列 抽样序列x(n)的z变换与连续信号 a(t)的拉氏变 变换与连续信号x 的拉氏变 抽样序列 的 变换与连续信号 换Xa(s)的关系 的关系