傅氏级数与傅氏变换
傅里叶变换与傅里叶级数
傅里叶级数和傅里叶变换的区别与联系以上我们分别讨论了傅里叶级数和傅里叶变换的定义及其存在条件，现简要讨论一下二者的区别。
前已述及，傅里叶级数对应的是周期信号，而傅里叶变换对应的是非周期信号；前者要求信号在一个周期内的能量是有限的，而后者要求信号在整个时间区间内的能量是有此外，傅里叶级数的系数X(k Q2o )是离散的，而傅里叶变换x(jn)是Q的连续函数。
由此可见，傅里叶级数与傅里叶变换二者的物理含义不同，因而量纲也不同。
X(k Q。
)代表了周期信号x(t)的第k次谐波幅度的大小，而x(js2)是频谱密度的概念为说明这一点，我们可将一个非周期信号视为周期丁趋于无穷大的周期信号。
由Q o=2 n /!可知，若T TS则必有Qo TO, k Qo 将(3. 1. 3)式两边同乘以T,并取时的极限，可得hm7'A (if)r ) - lim —- = X(jn) (3. t 13) 瞬以•从童姻上于IWift幅度除以類率显见*它是義墙麼度的If念.比较01翥】■ I, M 3. L2A(3, L5)W(3.1/12)^式；菱们看到•周期倩号的傅里叶系数和用谏倩号的一牛周期所求出的傅塑叶童换的黄索为只厲仏)=\a…^这一Jt累也可由图3. I, 1和图龙L 2曹岀，由(L2*飭)式可側周期值号了仃)的功率■= S= £ i xun)i f于垦有时".r{ t) |:d/ :一£W “我们*用同样的方注可&.导出匕厂J I 之〔門 a 匕| X(jjQ) dD (3t L 16)© 1.15)#(3* L 16)Xin .1i 的两t JtSft 为pfirwval 关系或Par^eval 定理.前# 反映的是劝率Jt 系，痞帰反映的是能H关累.现住•我I订不考慮(乳1.羅试的约电及Dirichlet条件,立接求鮮周期佰号的傅曬叶变换「将G I)式代人佩1.门式*有该式表明，一个周期信号的傅里叶变换是由频率轴上间距为Q。
最新傅里叶级数和傅里叶变换
傅里叶级数和傅里叶变换第九章傅里叶级数和傅里叶变换在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动（即相隔一定时间间隔往复循返的过程）。
例如，日月星球的运动，海洋潮汐的运动，电磁波与声波的运动，工厂里机器部件的往复运动，时钟摆的摆动以及人体心脏的跳动等等，都是周期性运动。
为了描述周期性的运动过程，数学上是借助某类函数来描述的。
当然这类函数也要体现出周期性。
这类函数称为周期函数。
在前面几章中，为了研究函数的性质，常常采用分析表示法，将这些函数在某区域展开成幂级数的形式，如泰勒级数或罗朗级数。
但是，这种幂级数形式的展开式是体现不出周期性来的，那么，对于周期性函数应采取怎样的分析表示法呢？这就是本章要讨论的内容。
9.1周期函数和傅里叶级数9.1.1 周期函数凡满足以下关系式：«Skip Record If...»（T为常数）（9.1.1）的函数，都称为周期函数。
周期的定义（1）满足式（9.1.1）的T值中的最小正数，即为该函数的周期；（2）一个常数以任何正数为周期。
9.1.2基本三角函数系按某一规律确定的函数序列称为函数系。
如下形式的函数系：1，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…（9.1.2）称为基本三角函数系。
所有这些函数具有各自的周期，例如«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的周期为«Skip Record If...»，但它们的共有周期为«Skip Record If...»（即所有周期的最小公倍数）。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是现代数学以及工程学领域中非常重要的概念。
它们广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统、电子电路等方面。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、原理和应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是一种用正弦函数和余弦函数的线性组合来表示周期函数的方法。
对于任意周期为T的函数f(t)，其傅里叶级数表示为：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0为零频率分量的系数，an和bn为一系列傅里叶系数，n为正整数，ω=2π/T为基本频率。
傅里叶级数展开式中的每一项都代表了函数f(t)中具有不同频率的分量。
通过计算适当的系数an和bn，我们可以将任意周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。
这使得我们能够分析、合成和处理不同频率的信号。
二、傅里叶变换傅里叶变换是将一个时域函数转换为频域函数的过程。
对于非周期函数f(t)，它的傅里叶变换表示为：F(ω) = ∫[f(t)e^(-jωt)]dt其中，F(ω)为频域函数，ω为连续频率参数，e为自然对数的底，j为虚数单位。
傅里叶变换将时域函数转换为频域函数，可以帮助我们理解和分析信号在不同频率上的能量分布。
频域函数F(ω)表示了原始信号中不同频率的幅度和相位信息。
通过傅里叶变换，我们可以在频域对信号进行滤波、调制、解调等操作，从而实现对信号的处理和传输。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换在数学上是相互关联的。
傅里叶级数是对周期函数进行频谱分析的方法，而傅里叶变换则适用于各种非周期信号的频谱分析。
当周期T趋于无穷大时，傅里叶级数就变成了傅里叶变换的极限形式。
傅里叶变换可以看作是傅里叶级数的一个推广，将其应用于非周期信号的频谱分析。
四、傅里叶级数与傅里叶变换的应用傅里叶级数和傅里叶变换在信号处理和通信领域有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 信号滤波：通过傅里叶变换，我们可以在频域对信号进行滤波操作，以去除不需要的频率成分或者保留感兴趣的频率成分。
傅里叶级数与傅里叶变换的关系
傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的工具，它们在信号处理、图像处理和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的概念，并探讨它们之间的关系。
一、傅里叶级数的概念傅里叶级数是一种将周期信号分解为一系列正弦和余弦函数的方法。
它基于傅里叶分析的原理，将一个周期为T的周期信号f(t)表示为：f(t) = a0 + Σ[an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t)]其中，a0是信号直流分量的系数，an和bn是信号的谐波分量的系数，n为谐波的阶数，ω0为基频的角频率。
傅里叶级数可以理解为将一个周期信号分解为不同频率成分的叠加。
二、傅里叶变换的概念傅里叶变换是一种将非周期信号分解为不同频率成分的方法。
它的基本思想是将信号f(t)在整个实数轴上进行积分变换，得到频率域上的表示。
傅里叶变换的定义如下：F(ω) = ∫[f(t)*e^(-jωt)]dt其中，F(ω)表示信号在频率域上的表示，f(t)为原始信号，e^(-jωt)为旋转因子。
傅里叶变换将一个时域上的信号转换为频域上的表示，以便更好地分析信号的频谱特性。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数可以看作是傅里叶变换在周期信号上的特殊情况。
当一个信号f(t)为周期信号时，其傅里叶变换和傅里叶级数之间存在着对应关系。
具体而言，傅里叶级数是傅里叶变换在周期为T的周期信号上的反离散化。
通过傅里叶级数，我们可以将一个周期信号分解为多个谐波成分，每个谐波成分对应着傅里叶变换的频谱。
四、应用实例傅里叶级数和傅里叶变换在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。
以音频信号为例，我们可以通过傅里叶级数将音频信号分解为不同频率的音调，进而进行声音合成和音乐分析。
而傅里叶变换则可以将非周期信号的频谱特性表示出来，如在图像处理中可以用于图像压缩和特征提取。
傅里叶级数和傅里叶变换的关系使得我们能够更好地理解和处理信号和图像。
总结傅里叶级数和傅里叶变换是处理周期信号和非周期信号的有效工具，它们在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。
傅里叶级数和傅里叶变换的数学性质
傅里叶级数和傅里叶变换的数学性质傅里叶级数和傅里叶变换是数学中很重要的概念，它们在物理学、通信工程、信号处理等领域中得到广泛的应用。
傅里叶级数是将周期函数分解为无穷多个简单的正弦函数和余弦函数的和，而傅里叶变换则是将信号在频域上分解为各个频率分量的和。
本文将从数学的角度探讨傅里叶级数和傅里叶变换的数学性质。
一、傅里叶级数的性质傅里叶级数是将周期函数表示为正弦函数和余弦函数的无限和，因此它具有一些很有趣的性质。
首先，傅里叶级数是周期函数，其周期与原函数相同。
其次，傅里叶级数是线性的，即如果有两个函数的傅里叶级数分别是a_n和b_n，那么它们的线性组合c_n=a_n+b_n的傅里叶级数就是这两个函数的线性组合。
第三，若原函数为偶函数，则傅里叶级数只包含余弦项，若原函数为奇函数，则傅里叶级数只包含正弦项。
傅里叶级数的性质还包括Parseval定理，它是对傅里叶级数的能量守恒原理的定量表述。
具体而言，Parseval定理指出，如果S是傅里叶级数的系数，则原函数在一个周期内的平方积分与各个傅里叶系数的平方和相等，即∫|f(x)|^2 dx=∑|S_n|^2。
二、傅里叶变换的性质傅里叶变换是将信号在频域上分解的方法。
在实际应用中，我们通常将连续时间信号离散化，因此离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）的应用更为广泛。
傅里叶变换也具有许多重要的性质。
首先，傅里叶变换是线性的，它满足叠加原理。
具体而言，若x和y分别是两个信号的傅里叶变换，则它们的线性组合z=ax+by的傅里叶变换就是ax的傅里叶变换和by的傅里叶变换的和。
其次，傅里叶变换具有频移性质。
如果x(t)的傅里叶变换是X(f)，则x(t)cos(2πf0t)的傅里叶变换是X(f-f0)/2+X(f+f0)/2。
这个性质表明，将一个信号乘上一个不同频率的正弦波，等价于将原信号在频域上移动到新的频率处。
最后，傅里叶变换还有卷积定理。
复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换
解. 由Fourier变换的定义
F (w) F [ f (t)] f (t) e-iw td t -
1 e-iw t d t e-iwt 1 2sinw
-1
-iw -1
w
再求F(w)的Fourier逆变换即得 f(t)的积分表达式,
f (t) F -1[F (w)] 1 F (w) eiwtd w
1
1/2
t
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程技术中，除了连续分布量之外， 还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、 质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处的单位脉冲.
设矩形电流脉冲：
(t
)
1
/
0
0t
其它
- (t)dt 1
(t)
1/
O
t
lim
0
(
t
)
0
t 0 t 0
引进狄拉克(Dirac)的函数,
i
-
f
( ) sin w(t
-
)d
dw
1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
由
f (t) 1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
可得
f (t) 1
p
0
-
f ( ) cosw(t
-
)
d
d
w
(1.6)
傅氏积分公式的三角形式
-
)
d
d
傅里叶级数与傅里叶变换
最常见的三角级数是傅立叶级数。
傅立叶级数
直线
y kx b
y x
抛物线 y ax2 bx c
y x
傅立叶级数展开(T=2l)
y
f (x)
a0 2
n x
(an cos
二维Hartley变换
F f (x)eix d x
一维傅立叶变换
FF
,
F f
x, y
f (x, y)ei2 x yd x d y
二维傅立叶变换
傅立叶变换存在问题：核函数中出现了复数，这就意 味着即使在空域中的实序列经过傅立叶变换之后也会 变成复数，如果实序列用复序列来处理，问题本身将 被复杂化。
恩格斯把傅里叶的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔的辩证法 相提并论。他写道：傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证 法的诗。
傅立叶级数
常见的表示函数的工具：幂级数和三角级数。
幂级数简单、方便，但条件苛刻，要求函数在相应的区 间内不仅必须无限次可微，还有其它一些要求（例如收 敛性等），因而从理论上说其使用范围比较有限。
周期函数展开成傅立叶级数的核心思想是：f(x)可以分解 为不同频率的谐波之和。
傅立叶级数 例2：周期为τ =1的方波函数
傅立叶级数
若设f(x)是定义在(-∞,+∞)区间上的非周期函数，它 是否可以表示为不同频率谐波的迭加？
设f(x)，及其一阶导数f΄(x)在任意一个有限区间上
分段连续，且
f xd存x 在。
由于
1 1 1 , n
l l
n
lim l
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的概念，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
它们为我们理解和分析周期信号以及非周期信号提供了有效的数学工具。
本文将分别介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、性质和应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是指将一个周期函数表示成一系列正弦和余弦函数的和。
它的基本思想是利用正弦和余弦函数的基本频率，将一个周期函数分解成多个不同频率的谐波分量，从而得到函数的频谱内容。
在数学上，傅里叶级数表示为：\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i \omega_n t}\]其中，$c_n$代表系数，$e^{i \omega_n t}$是正弦和余弦函数的复数形式，$\omega_n$是频率。
将周期函数用傅里叶级数表示的好处是，可以通过调整系数来控制频谱内容，进而实现信号的滤波、合成等操作。
傅里叶级数的性质包括线性性、对称性、频谱零点等。
线性性意味着可以将不同的周期函数的傅里叶级数叠加在一起，得到它们的叠加函数的傅里叶级数。
对称性则表示实函数的傅里叶级数中系数满足一定的对称关系。
频谱零点表示在某些特殊条件下，函数的傅里叶级数中某些频率的系数为零。
傅里叶级数的应用广泛，例如在音频信号处理中，利用它可以进行音乐合成、乐音分析和音频压缩等操作。
此外，在图像处理领域，傅里叶级数被广泛应用于图像滤波、增强、噪声消除等方面。
二、傅里叶变换傅里叶变换是傅里叶级数的推广，用于处理非周期信号。
它将时域的信号转换为频域的信号，从而可以对信号进行频谱分析和处理。
傅里叶变换的定义为：\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt\]其中，$F(\omega)$表示信号的频域表示，$f(t)$为时域信号，$\omega$为连续的角频率。
傅里叶变换可以将时域的信号分解成不同频率的复指数函数，并用复数表示频谱信息。
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傅里叶级数与傅里叶变换
一、对于周期信号离散谱的理解
对于时域非周期函数，其包含(−∞,+∞)的所有频谱信息。
对于时域周期函数，每个周期的时域图像都完全相同，每个周期所包含的频谱信息也相同，因此在(−∞,+∞)范围内对于周期函数其频谱的频率完全由任意一周期的频谱的频率决定；其幅值则为各周期频谱幅值的叠加，其有无穷多个周期因此其幅值为无穷。
而周期信号的一个周期可以看作是在一个非周期信号上截下的一段，因此它一定不能包含所有的频谱信息（包含所有频谱信息即他的频谱在各频率点幅值均不为0）；其频谱表现为一系列离散的谱。
也就是说，周期信号的傅氏变换为其各个周期傅氏级数的叠加，其结果为在一系列离散频率点的冲击。
二、对傅里叶级数的理解
将所有函数看做一个线性空间，在空间内必可找到一组相互正交的基；以正交的三角函数系为基。
在此基的基础上对任意一周期函f 数在一个周期内沿基展开就是傅里叶级数。
基的各个元素的分量就是线性空间内函数f 在正交三角函数系上的的坐标。
而这一正交三角函数系也不能任意选取，其基频由时域信号本身决定，实际上是由有其周期决定。
即，ω=2π/T
三、对傅里叶变换的理解
傅里叶变换反映的是时域信号的幅频特性，仅包含幅值信息。
f t =12π F(j ω)+∞
−∞
e j ωt d ω 其中e j ωt 包含正弦信息，12πF(j ω)d ω包含幅值信息。
因此，F(j ω)描述信号在频域不同频率下的幅度，称其为幅频特性或f(t)的频谱。
频谱仅考虑幅值的大小；与正负、相位无关。
四、周期信号的傅里叶变换
F j ω =2π F n +∞n=−∞δ(ω−n ω1)
其中，F n =1T f(t)e −jn ω1t dt T/2−T/2
f t=1,则，F jω=2πδ(ω)
f t=cos(ω1t),则，F jω=π[δω−ω1+δω+ω1]
上式可利用移频性或者周期函数傅氏变换公式求的。
也可用自己的“理解一”求得。
注意加上幅值系数。
结论：周期函数傅氏变换必含有冲击。
2009-11-24。