拉氏傅氏变换变换的区别物理解释
§4-8 拉氏变换与傅氏变换的关系
《Signals & Systems》
电子技术教研室
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§4-8 拉氏变换与傅氏变换的关系
三、拉普拉斯变换的极点位于虚轴上
例如：单位阶跃信号u(t)
1 u (t ) ←⎯→ s
LT
1 u (t ) ←⎯→ πδ(Ω) + jΩ
FT
显然，当信号的拉普拉斯变换的极点是位于s平面虚轴上的极 点，不能简单地将jΩ代替s已得到它的傅里叶变换。 设信号x(t)的拉普拉斯变换为X(s)，它有虚轴上的单极点:jΩi
jΩ
此时，由其拉氏变换将s代以jΩ求 得其傅里叶变换。
σ
−α
负实轴上的重极点的例子：
te
− αt
1 u (t ) ←⎯→ ( jΩ + α ) 2
FT
e − α t u ( t ) 拉氏变换收敛域
LT te − αt u (t ) ←⎯→
负实部的共轭复数极点的例子：
e
− αt
1 ( s + α) 2
Ai X ( s) = X 1 ( s) + ∑ i =1 s − jΩ i
N
N
x(t ) = x1 (t ) + ∑ Ai e jΩi t u (t )
i =1
N
X ( jΩ) = X 1 ( jΩ) + ∑ Ai δ(Ω − ΩHale Waihona Puke i ) ∗ [πδ(Ω) +
i =1
1 ] jΩ
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§4-8 拉氏变换与傅氏变换的关系
傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换之间最本质地区别
傅立叶变换就是将任一个函数展开成一系列正弦函数的形式，从而能够在频域进行频谱分析。
而拉普拉斯变换是复频域，它的的引进主要是对微分方程起到了简便的变换作用，试想2阶的微分方程就够麻烦的了，高阶就别指望手动解了，数学系的牛人别见怪。
所以拉式变换就将时域的微分方程变换成代数方程。
而到了离散系统中，又出现了差分方程，因此人们就想既然连续系统中有拉式变换，那么是不是离散系统中也会有一个方法能够起到相同的简化作用呢？于是Z变化就提了出来。
傅立叶变换：时域变到实频域，主要是想得到频率信息，而且只能得到频域信息。
主要用于信号处理。
拉普拉斯变换：复频域，处理微分方程是一把好手，古典控制就是一个典型的应用。
z变换：现代控制理论的东西，相当于把微分方程离散化了。
第四章Z变换1 Z变换的定义(1) 序列的ZT：(2) 复变函数的IZT：，是复变量。
(3) 称与为一对Z变换对。
简记为或(4) 序列的ZT是的幂级数。
代表了时延，是单位时延。
(5) 单边ZT：(6) 双边ZT：2 ZT收敛域ROC定义：使给定序列的Z变换中的求和级数收敛的z的集合。
收敛的充要条件是它(3) 有限长序列的ROC序列在或(其中)时。
收敛域至少是。
序列的左右端点只会影响其在0和处的收敛情况：当时，收敛域为( 除外)当时，收敛域为( 除外)当时，收敛域为( 除外)右边序列的ROC序列在时。
如果，则序列为因果序列。
ROC的情况：当时，ROC为；当时，ROC为。
左边序列的ROC序列在时。
如果，则序列为反因果序列。
ROC的情况：当时，ROC为；当时，ROC为。
双边序列的ROC序列在整个区间都有定义。
双边序列可以看成是左边序列和右边序列的组合，于是如果存在且，则双边序列的ROC为，否则，ROC为空集，即双边序列不存在ZT。
注意：求得的是级数收敛的充分而非必要条件，实际收敛域可能会更大；实际的离散信号通常都是因果序列，此时单边ZT与双边ZT是一致的，收敛域也相同，都是z平面上的某个圆外面的区域。
傅里叶变换和拉氏变换的区别
傅里叶变换和拉氏变换的区别
傅里叶变换和拉氏变换是数学中两个非常重要的变换。
它们在信号处理、控制理论、电路分析等领域中有着广泛的应用。
虽然它们有一些相似之处，但是它们的本质区别还是很大的。
傅里叶变换主要用来分析周期信号。
它将一个周期为T的函数
f(t)分解成频率为整数倍的正弦和余弦函数的线性组合。
这意味着通过傅里叶变换，我们可以将时域的信号转换到频域中，从而更好地理解信号的频率特性。
而拉氏变换则是用于分析非周期信号。
它将一个函数f(t)转换成一个复数函数F(s)，其中s是复数域中的一个变量。
这个复数函数包含了函数f(t)的幅度和相位信息。
通过拉氏变换，我们可以更好地了解信号的稳定性、阻尼特性和频率响应等信息。
另外，傅里叶变换和拉氏变换的逆变换也有所不同。
傅里叶变换的逆变换是傅里叶反变换，它将频域的信号转换回时域中。
而拉氏变换的逆变换是拉氏反变换，它将复数函数F(s)转换回原始函数f(t)。
总的来说，傅里叶变换和拉氏变换是两个不同的数学工具，它们分别适用于周期信号和非周期信号的分析。
通过它们的应用，我们可以更好地了解信号的频率特性、稳定性和响应等信息。
- 1 -。
第三章_拉氏变换
激励的初始值为 e(0 ) 0 求响应的拉氏变换。
解： E(s) L[e(t)] R(s) L[r(t)]
对微分方程取拉氏变换：
[s2R(s) sr(0 ) r(0 )] a1[sR(s) r(0 )] a0R(s) b1[sE(s) e(0 )] b0E(s)
R( s )
(sb1 b0 )E(s) s2 a1s a0
拉普拉斯在数学和物理学方面也有重 要贡献，以他的名字命名的拉普拉斯变换 和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域 有着广泛的应用。
拉普拉斯变换的定义
一、拉普拉斯变换的定义
F(s) f (t)estdt 0
f (t) : 时域函数，原函数，t < 0 时等于0。 F(s) : f(t)的拉普拉斯变换，复频域函数，象函数。 s = + jω 复频率
L[ f (t t0 )(t t0 )] est0 F(s)
例3 求e-b(t-a) 的拉氏变换，a,b为任意实数。
5、初值定理和终值定理
（1）初值定理
设 L[ f (t)] F(s) 且 lim sF (s) 存在 s
则
f
(0
)
lim
s
sF
(
s)
（2）终值定理
设
L[ f (t)] F(s)
f (t) L1[F(s)] 拉普拉斯反变换
例1、求单位脉冲函数(t)的拉普拉斯变换。
解：
F (s) L[ (t)] (t)estdt 0
est t0 1
例2、求单位阶跃函数 ε(t) 的拉普拉斯变换。
解:
F ( s) L[(t )] (t )e st dt 0
e st dt e st
s p1 s p2
对傅里叶变换、拉氏变换、z变换详细剖析
对傅里叶变换、拉氏变换、z变换详细剖析变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别，你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的。
所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密度。
对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示。
已经说过，傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。
这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。
所以说，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。
傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的——实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。
我的语言可能比较晦涩，但我已尽我所能向你讲述我的一点理解——真心希望能对你有用。
我已经很久没在知道上回答过问题了，之所以回答这个问题，是因为我本人在学习傅里叶变换及拉普拉斯变换的过程中着实受益匪浅——它们几乎改变了我对世界的认识。
傅里叶变换值得你用心去理解——哪怕苦苦思索几个月也是值得的——我当初也想过：只要会算题就行。
但浙大校训“求是”时时刻刻鞭策着我追求对理论的理解——最终经过很痛苦的一番思索才恍然大悟。
建议你看一下我们信号与系统课程的教材：化学工业出版社的《信号与系统》，会有所帮助。
（另一种说法）对于周期函数f，傅立叶变换就是把这个函数分解成很多个正弦函数fn的和，每个fn的频率是f的n倍。
傅里叶变换和拉普拉斯变换
附录A 傅里叶变换和拉普拉斯变换傅里叶变换（简称傅氏变换）和拉普拉斯变换（简称拉氏变换），是工程实际中用来求解线性常微分方程的简便工具；同时，也是建立系统在复数域和频率域的数学模型——传递函数和频率特性——的数学基础。
傅氏变换和拉氏变换有其内在的联系。
但一般来说，对一个函数进行傅氏变换，要求它满足的条件较高，因此有些函数就不能进行傅氏变换，而拉氏变换就比傅氏变换易于实现，所以拉氏变换的应用更为广泛。
1. 傅里叶级数周期函数的傅里叶级数（简称傅氏级数）是由正弦和余弦项组成的三角级数。
周期为T 的任一周期函数()f t ，若满足下列狄里赫莱条件： 1） 在一个周期内只有有限个不连续点；2） 在一个周期内只有有限个极大值和极小值； 3） 积分/2/2()T T f t dt -⎰存在，则()f t 可展开为如下的傅氏级数：011()(cos sin )(1)2nn n f t a an t b n t A ωω∞==++-∑式中系数n a 和n b 由下式给出：/2/2/2/22()cos ;0,1,2,,(2)2()sin ;1,2,,(3)T n T T n T a f t n tdt n A T b f t n tdt n A Tωω--==∞-==∞-⎰⎰式中2/T ωπ=称为角频率。
周期函数()f t 的傅氏级数还可以写为复数形式（或指数形式）：()(4)jn tn n f t eA ωα∞=-∞=-∑式中系数/2/21()(5)T jn tn T f t edt A Tωα--=-⎰如果周期函数()f t 具有某种对称性质，如为偶函数、奇函数，或只有奇次或偶次谐波，则傅氏级数中的某些项为零，系数公式可以简化。
表1A -列出了具有几种对称性质的周期函数()f t 的傅氏级数简化结果。
1.用复数形式进行周期函数()f t 傅氏级数展开并求导01010100/20/2/2/21()(cos sin )21()2221()2221,,,2221(),1()[cos sin nn n in tin tin tin tnn n in tin tn nn nn n nn nn n T T T T n T T f t a an t b n t ee ee a a b i a ib a ib a eea ib a ibc a cd c f t dt T c f t n t i T ωωωωωωωωω∞=--∞=∞-=--=+++-=++-+=++-+=====-∑∑∑⎰⎰令/2in t/2/2/2in t/2/2in t/2in t/21]()11()[cos sin ]()(1,2,)()()1()T T T T T n T T T T n n n n T n T n t dt f t edtT d f t n t i n t dt f t edtTTn c c f t c e c f t edtTωωωωωωω----+∞=-∞--==+===∴==⎰⎰⎰∑⎰其中，例1A - 试求图1A -所示周期方波的傅氏级数展开式。
ch_04_01(拉普拉斯变换)
j
LT存在的条件：
0
若有常数 , 使得当 时， lim f (t )e t
t
收敛轴
则f (t )e t 在 的全部范围内绝对可积， LT积分存在。因此F ( s )的收敛域为: .
lim f (t )e t 0 ( 0 )
设f (t ) sin t
…
sin (t t0 ) …
sin (t t 0)u(t )
t0
sintu(t t 0)
t0
…
sin (t to)u(t t 0)
…
…
0 根据时移特性：LT [sin 0 (t t0 )u(t t0 )] 2 e st 2 s 0
f 2 (t )
at
求两信号微分之后所对应信号的LT
F ( s) F ( s) sa
采用 0
系统
F ( s) F ( s) sa
f1 (t )
df1 s L[ ] sF1 ( s ) f1 (0 ) dt sa
df2 s L[ ] sF2 ( s) f 2 (0 ) 1 dt sa
LT
s F ( s) s
n r 0
n 1
n r 1
f (0 )
(r )
*几点说明
A.如果所处理的函数为有始函数 即 f (t ) 0 则 f (0 ), f ' (0 ), f ( n1) (0 ) t0
df 都为零.那么 L[ dt ] sF ( s) d n f (t ) L[ ] s n F ( s) dt n
若f(t)在t=0有跃变,其微分在t=0处出现冲激. B.为了不使t=0点的冲激丢失,在单边拉氏变 换中一般采用 0 系统.而且采用 0 系统, 对解决实际问题较为方便.
拉氏变换
m t 0
[ f ( t )]
de st
e
st
dt
1 m t 0 s
1 m st t e s
0
m m 1 st t e dt s 0
m m 1 st m! st t e dt m e dt 0 s s 0
( n1)T nT
T
f (t ) e
st
f (t ) e st dt
nT
( n1)T
f (t ) e
st
dt t nT
0
T
f ( nT ) e s( nT )d( nT )
T
[ f ( ) e s d ]e snT
f (t )u(t )e t
(β＞0)
（2.1）
只要β值选得适当，式（2.1）就能满足傅立叶变换的条件， f ( t ) 的傅立叶变换存在。 即函数
F [ f (t )u(t )e
t
]
f (t )u(t )e
t j t
e
dt
0
f (t )e ( j ) t dt
F (s )
[sin kt ]
st
1 jkt jkt st sin kte dt (e e )e dt 0 0 2j 1 ( s jkt ) e dt e ( s jkt ) dt 0 2 j 0
第二章 拉普拉斯变换
§1 §2 §3 §4 拉氏变换的概念 拉氏变换的性质 拉氏逆变换 卷积
§1
拉氏变换的概念
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2010-12-07 19:25:26来自: Brad(要理解递归，你先要理解递归)
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。
理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。
我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。
傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。
傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。
这都是一个信号的不同表示形式。
它的公式会用就可以，当然把
证明看懂了更好。
对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。
幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。
傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。
也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。
想一想这个问题：给你很多正弦信号，你怎样才能合成你需要的信号呢？答案是要两个条件，一个是每个正弦波的幅度，另一个就是每个正弦波之间的相位差。
所以现在应该明白了吧，频域上的相位，就是每个正弦波之间的相位。
傅里叶变换用于信号的频率域分析，一般我们把电信号描述成时间域的数学模型，而数字信号处理对信号的频率特性更感兴趣，而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性。
傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。
如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。
拉普拉斯变换，是工程数学中常用的一种积分变换。
它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。
对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯
反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。
拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。
引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。
这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。
拉普拉斯变换在工程学上的应用：应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
在数字信号处理中，Z变换是一种非常重要的分析工具。
但在通常的应用中，我们往往只需要分析信号或系统的频率响应，也即是说通常只需要进行傅里叶变换即可。
那么，为什么还要引进Z变换呢？
Z变换和傅里叶变换之间有存在什么样的关系呢？傅里叶变换的物理意义非常
清晰：将通常在时域表示的信号，分解为多个正弦信号的叠加。
每个正弦信号用幅度、频率、相位就可以完全表征。
傅里叶变换之后的信号通常称为频谱，频谱包括幅度谱和相位谱，分别表示幅度随频率的分布及相位随频率的分布。
在自然界，频率是有明确的物理意义的，比如说声音信号，男同胞声音低沉雄浑，这主要是因为男声中低频分量更多；女同胞多高亢清脆，这主要是因为女声中高频分量更多。
对一个信号来说，就包含的信息量来讲，时域信号及其相应的傅里叶变换之后的信号是完全一样的。
那傅里叶变换有什么作用呢？因为有的信号主要在
时域表现其特性，如电容充放电的过程；而有的信号则主要在频域表现其特性，如机械的振动，人类的语音等。
若信号的特征主要在频域表示的话，则相应的时域信号看起来可能杂乱无章，但在频域则解读非常方便。
在实际中，当我们采集到一段信号之后，在没有任何先验信息的情况下，直觉是试图在时域能发现一些特征，如果在时域无所发现的话，很自然地将信号转换到频域再看看能有什么特征。
信号的时域描述与频域描述，就像一枚硬币的两面，看起来虽然有所不同，但实际上都是同一个东西。
正因为如此，在通常的信号与系统的分析过程中，我们非常关心傅里叶变换。
既然人们只关心信号的频域表示，那么Z变换又是怎么回事呢？要说到Z变换，可能还要先追溯到拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是以法国数学家拉普拉斯命名的一种变换方法，主要是针对连续信号的分析。
拉普拉斯和傅里叶都是同时代的人，他们所处的时代在法国是处于拿破仑时代，国力鼎盛。
在科学上也取代英国成为当时世界的中心，在当时众多的科学大师中，拉普拉斯、拉格朗日、傅里叶就是他们中间最为璀璨的三颗星。
傅里叶关于信号可以分解为正弦信号叠加的论文，其评审人即包括拉普拉斯和拉格朗日。
回到正题，傅里叶变换虽然好用，而且物理意义明确，但有一个最大的问题是其存在的条件比较苛刻，比如时域内绝对可积的信号才可能存在傅里叶变换。
拉普拉斯变换可以说是推广了这以概念。
在自然界，指数信号exp(-x)是衰减最快的信号之一，对信号乘上指数信号之后，很容易满足绝对可积的条件。
因此将原始信号乘上指数信号之后一般都能满足傅里叶变换的条件，这种变换就是拉普拉斯变换。
这种变换能将微分方程转化为代数方程，在18世纪计算机还远未发明的时候，意义非常重大。
从上面的分析可以看出，傅里叶变换可以看做是拉普拉斯的一种特殊形式，即所乘的指数信号为exp(0)。
也即是说拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，是一种更普遍的表达形式。
在进行信号与系统的分析过程中，可以先得到拉普拉斯变换这种更普遍的结果，然后再得到傅里叶变换这种特殊的结
果。
这种由普遍到特殊的解决办法，已经证明在连续信号与系统的分析中能够带来很大的方便。
Z变换可以说是针对离散信号和系统的拉普拉斯变换，由此我们就很容易理解Z 变换的重要性，也很容易理解Z变换和傅里叶变换之间的关系。
Z变换中的Z 平面与拉普拉斯中的S平面存在映射的关系，z=exp(Ts)。
在Z变换中，单位圆上的结果即对应离散时间傅里叶变换的结果。