傅里叶变换及拉普拉斯变换的比较研究
拉普拉斯变换和傅里叶变换频谱的区别
拉普拉斯变换和傅里叶变换频谱的区别拉普拉斯变换和傅里叶变换是信号处理中常用的两种变换方法，它们可以将复杂的时域信号转化为频域信号，用于信号的分析和处理。
下面将详细介绍拉普拉斯变换和傅里叶变换频谱的区别。
1. 定义区别拉普拉斯变换是一种对信号进行复数变换的方法，其定义具有连续性，包含对实数信号和复数信号的处理。
傅里叶变换是一种虚数变换，对信号进行分解和求和，其定义也是连续的。
2. 变换域的不同拉普拉斯变换的变换域为复平面，变换结果是一个复数函数。
傅里叶变换的变换域为实数轴，变换结果是一个实数函数，且傅里叶变换可以通过反变换得到时域信号的精确表示，而拉普拉斯变换不行。
3. 变换对象的不同拉普拉斯变换通常被用于对连续的时域信号进行变换，而傅里叶变换则更加适用于对离散的信号序列进行处理。
4. 技术应用的差异拉普拉斯变换在信号处理和系统控制等方面应用广泛，可以用于滤波、建立控制系统模型，以及稳定性分析等任务。
傅里叶变换则主要用于信号分析和图像处理，可以在时间和频率域内进行信号的分析，是数字信号处理中不可或缺的分析工具。
5. 傅里叶变换的两种形式傅里叶变换有两种形式，一种是傅里叶正变换，把时域信号转换为频域信号，另一种是傅里叶反变换，把频域信号还原为时域信号。
而拉普拉斯变换只有一种形式。
在信号处理领域中，选择采用哪种变换方法，主要取决于所处理的信号和具体的任务要求。
若要对时域信号进行振幅和相位分析，那么傅里叶变换是比较适合的。
而如果需要对连续信号进行系统模型建立或者控制系统设计，那么拉普拉斯变换所提供的分析工具就更加适合。
傅里叶变换拉普拉斯变换的物理解释及区别
傅里叶变换拉普拉斯变换的物理解释及区别 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。
理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。
我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。
傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。
傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。
这都是一个信号的不同表示形式。
它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。
对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。
幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义频域的相位与时域的相位有关系吗信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。
拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系以及推导
拉普拉斯变换与傅⾥叶变换的关系以及推导接着前⾯傅⾥叶变换继续往后说（虽然傅⾥叶变换写得很乱），讨论拉普拉斯变换与傅⾥叶变换的关系已经知道傅⽒变换是建⽴在傅⾥叶积分的基础上，⼀个函数除了要满⾜狄⽒条件之外，还要在（-∞，+∞）区间上绝对可积，即积分的值不能等于⽆限⼤。
⽽绝对可积是⼀个相当强的条件，及时⼀些很简单的函数（如线性函数，正余弦函数等）都不满⾜这个条件，因此傅⽒变换存在着以下两个缺陷⼀：在引⼊δ函数之后，傅⽒变换的适⽤范围拓宽了许多，使得“缓增”函数也能进⾏傅⽒变换，但是对于指数及增长的函数仍⽆能为⼒。
⼆：傅⽒变换必须在整个实轴上有定义，但是在实际⼯程中，是不存在时间t<0这个概念的，通常都是由t=0开始计时，只需要t>0对应的这部分函数。
假设存在函数f(t),满⾜傅⽒变换的条件，则有傅⽒变换L[f(t)]=∫+∞−∞f(t)e−jwt dt式1为了解决上⾯两个存在的缺陷，可以分别对傅⽒变换做如下两个处理：为解决问题⼀，我们可以再给函数f(t)乘上⼀个衰减因⼦（⼀个很⼩很⼩的分数）e-βt, 可得f(t)e-βt。
为解决问题⼆，我们可以给函数f(t)乘上⼀个单位阶跃函数u(t)，当t<0时，u(t)=0，t>0时，u(t)=1。
综上所述可以得到f(t)u(t)e-βt,然后对f(t)u(t)e-βt做傅⾥叶变换可得：L[f(t)]=∫+∞−∞f(t)u(t)e−βt e−jwt dt由于乘⼊了单位阶跃函数u(t)，可以将其分为两部分计算∫+∞0f(t)∗1∗e−βt e−jwt dt=∫+∞0f(t)e−(β+jw)t dt∫0−∞f(t)∗0∗e−βt e−jwt dt=0由于在（0，−∞）区间上的积分以上便是拉普拉斯变换公式和拉普拉斯变换和傅⾥叶变换之间的关系。
Processing math: 100%。
傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换之间最本质地区别
傅立叶变换就是将任一个函数展开成一系列正弦函数的形式，从而能够在频域进行频谱分析。
而拉普拉斯变换是复频域，它的的引进主要是对微分方程起到了简便的变换作用，试想2阶的微分方程就够麻烦的了，高阶就别指望手动解了，数学系的牛人别见怪。
所以拉式变换就将时域的微分方程变换成代数方程。
而到了离散系统中，又出现了差分方程，因此人们就想既然连续系统中有拉式变换，那么是不是离散系统中也会有一个方法能够起到相同的简化作用呢？于是Z变化就提了出来。
傅立叶变换：时域变到实频域，主要是想得到频率信息，而且只能得到频域信息。
主要用于信号处理。
拉普拉斯变换：复频域，处理微分方程是一把好手，古典控制就是一个典型的应用。
z变换：现代控制理论的东西，相当于把微分方程离散化了。
第四章Z变换1 Z变换的定义(1) 序列的ZT：(2) 复变函数的IZT：，是复变量。
(3) 称与为一对Z变换对。
简记为或(4) 序列的ZT是的幂级数。
代表了时延，是单位时延。
(5) 单边ZT：(6) 双边ZT：2 ZT收敛域ROC定义：使给定序列的Z变换中的求和级数收敛的z的集合。
收敛的充要条件是它(3) 有限长序列的ROC序列在或(其中)时。
收敛域至少是。
序列的左右端点只会影响其在0和处的收敛情况：当时，收敛域为( 除外)当时，收敛域为( 除外)当时，收敛域为( 除外)右边序列的ROC序列在时。
如果，则序列为因果序列。
ROC的情况：当时，ROC为；当时，ROC为。
左边序列的ROC序列在时。
如果，则序列为反因果序列。
ROC的情况：当时，ROC为；当时，ROC为。
双边序列的ROC序列在整个区间都有定义。
双边序列可以看成是左边序列和右边序列的组合，于是如果存在且，则双边序列的ROC为，否则，ROC为空集，即双边序列不存在ZT。
注意：求得的是级数收敛的充分而非必要条件，实际收敛域可能会更大；实际的离散信号通常都是因果序列，此时单边ZT与双边ZT是一致的，收敛域也相同，都是z平面上的某个圆外面的区域。
傅里叶变换和拉普拉斯变换
傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别，你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密度对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示已经说过，傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。
这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。
所以说，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。
傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的——实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。
我的语言可能比较晦涩，但我已尽我所能向你讲述我的一点理解——真心希望能对你有用。
我已经很久没在知道上回答过问题了，之所以回答这个问题，是因为我本人在学习傅里叶变换及拉普拉斯变换的过程中着实受益匪浅——它们几乎改变了我对世界的认识。
傅里叶变换值得你用心去理解——哪怕苦苦思索几个月也是值得的——我当初也想过：只要会算题就行。
但浙大校训“求是”时时刻刻鞭策着我追求对理论的理解——最终经过很痛苦的一番思索才恍然大悟。
建议你看一下我们信号与系统课程的教材：化学工业出版社的《信号与系统》，会有所帮助。
傅里叶变换和拉普拉斯变换的意义傅里叶变换（Transformée de Fourier）在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系
傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系傅里叶变换(FourierTransform,FT)和拉普拉斯变换(LaplaceTransform,LT)是数学领域中最重要的变换之一，它们的关系也是研究的热点问题。
傅里叶变换是一种重要的计算机图像处理算法，用于变换方程，用于求解复杂的变量关系，在数学上是非常重要的。
而拉普拉斯变换则是一种用于求解常微分方程的数学变换，它能够通过滤波器对信号进行频谱分析，从而对信号进行处理和优化。
这两种变换之间是如何联系在一起呢？本文将讨论两种变换之间的关系。
首先，让我们来看一看傅里叶变换和拉普拉斯变换之间的相似之处。
这两种变换都可以用于求解复杂的变量关系，也都能够变换方程，但是它们之间的重点不一样。
傅里叶变换的重点是对一个函数的时域表达作出变换，把它映射到一个新的“频域”，然后在频域中处理这个函数；而拉普拉斯变换的重点则是把有关时间的函数转换成一个新的“空间”，然后以空间为基础来处理有关时间的关系。
此外，傅里叶变换主要用于信号处理，用来解决信号分析、调制、滤波等问题，而拉普拉斯变换则用来求解常微分方程，这是它们之间的关系。
傅里叶变换和拉普拉斯变换可以相互配合来处理复杂的信号与系统的动态特性，以及运用滤波器来分析和处理不同频率特征的信号。
此外，傅里叶变换和拉普拉斯变换之间还有一个重要的联系，那就是它们之间的变换关系。
拉普拉斯变换可以看做是傅里叶变换的一种特殊形式。
实际上，通过恰当地变换，拉普拉斯变换可以展开为傅里叶变换的线性组合，这就是所谓的拉普拉斯-傅里叶变换。
普拉斯-傅里叶变换主要用于处理时间域中的损耗被称为“偏振”的信号，其特点是可以根据频率特征变换信号，使信号能够以灵活、实时的方式被处理和优化。
由此可见，傅里叶变换和拉普拉斯变换之间有着密切的联系，它们具有明显的相似性，同时又具有独特的特性。
它们可以结合来处理复杂的信号与系统的动态特性，以及分析和处理不同频率变化的信号，这里的结合不仅比单独使用更有效，而且可以节省大量的计算时间。
傅里叶变换与拉普拉斯变换的区别与联系
傅里叶变换与拉普拉斯变换的区别与联系摘要通过对复变函数的学习，我基本上了解了傅里叶变换与拉普拉斯变换的基本理论知识，并且知道了他们在数学、物理以及工程技术等领域中有着广泛的应用，傅氏变换与拉氏变换存在许多类似之处，都能够在解决广义积分、微分积分方程、偏微分方程、电路理论等问题中得到应用。
下面通过对他们做一些比较研究，来更清楚地认识他们。
关键词：两种积分变换积分与微分方程电路理论正文（一）前言：1、傅里叶变换与拉普拉斯变换都属于积分变换，是两种常见的数学变换手段，而所谓的积分变换就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换，其作用就是将复杂的函数运算变成简单的函数运算，当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换，傅里叶变换与拉普拉斯变换就是因取不同的积分域与变换核得来的。
2、傅里叶变换是拉普拉斯变换的特例。
拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与变换的“频域”有所区别。
拉普拉斯变换主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微积分运算转化为乘除运算）。
傅里叶变换则随着FFT算法的发展已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。
（二）提出问题：已知傅里叶变换是拉氏变换的特例，如何用例子进一步说明他们的关系，如何运用它们解决积分与微分方程和电路问题。
（三）解决问题：傅里叶变换与拉普拉斯变换两种变换的性质有许多相似之处，故两者在求解问题时也会有许多类似，另外，由于傅氏变换的积分区间为（-∞，+∞），拉氏变换的积分区间为(0，+∞），两者又 会在不同的领域中有着各自的应用。
下面通过一些具体的例子来对两种变换的应用做一些研究：3.1 两种积分变换在求解积分、微分方程中的应用例1 求解积分方程()()()()g t h t f g t d τττ+∞-∞=+-⎰其中(),()h t f t 都是已知的函数，且()g t 、()h t 和()f t 的傅里叶变换都存在。
分析：该积分方程中的积分区间是()+∞∞-,，故首先应考虑用傅里叶积分变换法求解。
对傅里叶变换、拉氏变换、z变换详细剖析
对傅里叶变换、拉氏变换、z变换详细剖析变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别，你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的。
所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密度。
对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示。
已经说过，傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。
这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。
所以说，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。
傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的——实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。
我的语言可能比较晦涩，但我已尽我所能向你讲述我的一点理解——真心希望能对你有用。
我已经很久没在知道上回答过问题了，之所以回答这个问题，是因为我本人在学习傅里叶变换及拉普拉斯变换的过程中着实受益匪浅——它们几乎改变了我对世界的认识。
傅里叶变换值得你用心去理解——哪怕苦苦思索几个月也是值得的——我当初也想过：只要会算题就行。
但浙大校训“求是”时时刻刻鞭策着我追求对理论的理解——最终经过很痛苦的一番思索才恍然大悟。
建议你看一下我们信号与系统课程的教材：化学工业出版社的《信号与系统》，会有所帮助。
（另一种说法）对于周期函数f，傅立叶变换就是把这个函数分解成很多个正弦函数fn的和，每个fn的频率是f的n倍。
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学号1109141006论文课题：拉氏变换和傅里叶变换的关系学生姓名：陈兴宇院系：电气工程学院专业班级：2011级电气工程及其自动化（1）班指导教师：董德智二0一三年六月1 傅里叶变换与拉普拉斯变换简介 (2)1.1 傅里叶变换 (2)1.1.1 傅里叶变换的历史由来 (2)1.1.2 傅里叶变换的定义 (2)1.1.3 傅里叶变换与逆变换的性质 (3)1.2 拉普拉斯变换 (4)1.2.1 拉普拉斯变换的历史由来 (5)1.2.2 拉普拉斯变换的定义 (5)1.2.3 拉普拉斯变换与逆变换的性质 (6)1.3 小结 (7)2 傅氏变换与拉氏变换的比较研究 (7)2.1 两种积分变换在求解广义积分中的应用 (7)2.2 两种积分变换在求解积分、微分方程中的应用 (10)2.3 两种积分变换在求解偏微分方程中的应用 (12)2.4 两种积分变换在电路理论中的应用 (16)3 总结 (20)参考文献 (23)1 傅里叶变换与拉普拉斯变换简介人们在处理与分析工程实际中的一些问题时，常常采取某种手段将问题进行转换，从另一个角度进行处理与分析，这就是所谓的变换。
在数学、物理、工程技术等领域中应用最多的是傅里叶变换与拉普拉斯变换。
下面对傅氏变换与拉氏变换进行简单的介绍。
1.1 傅里叶变换1.1.1 傅里叶变换的历史由来17世纪和18世纪，在牛顿和莱布尼茨等科学巨人的推动下，数学获得了飞速的发展。
随着函数、极限、微积分和级数理论的创立，法国数学家傅里叶在研究热传导问题时发表了《热的解析理论》的论文[1]，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶变换的理论基础。
其后，泊松、高斯等人最早把这一成果应用到电学中去。
时至今日，傅里叶分析法不仅广泛应用与电力工程、通信和控制领域中，而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关数学、物理和工程技术领域中都得到了广泛而普遍的应用。
1.1.2 傅里叶变换的定义由《数学物理方法》课程的知识可知，对于(),-∞+∞上的非周期函数()f t 有如下的傅里叶积分定理[2]： 设()f t 在(),-∞+∞上有定义，且①在任一有限区间上满足狄利克雷条件[3]（即连续或有有限个第一类间断点，并且只有有限个极值点）；②在无限区间(),-∞+∞上绝对可积，即()f t +∞-∞<+∞⎰则有傅里叶积分公式1()()2i i t f t f e d e d ωτωττωπ+∞+∞--∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (1-1) 在()f t 的连续点x 处成立，而在()f t 的第一类间断点0x 处，右边的积分应以()0010(0)2f x f x ++-⎡⎤⎣⎦代替。
在傅里叶积分公式(1-1)中，若令()()i t F f t e dt ωω+∞--∞=⎰(1-2)则1()()2i t f t F e d ωωωπ+∞-∞=⎰(1-3)从(1-2)、(1-3)两式可以看出()f t 和()F ω可以通过积分运算相互表达。
(1-2)式叫做()f t 的傅里叶变换式，可记为：(ω)=[(t)]F f F(ω)F 叫做()f t 的像函数。
(1-3)式叫做(ω)F 的傅里叶逆变换式，可记为1()[(ω)]f t F -=F()f t 叫做(ω)F 的像原函数。
1.1.3 傅里叶变换与逆变换的性质下面来介绍傅里叶变换的几个基本性质(假定在这些性质中，凡是需要求傅里叶变换的函数都满足傅里叶积分定理中的条件)： 1) 线性性质：设11(ω)[()]F f t =F ，22(ω)[()]F f t =F ，,αβ是常数，则121212[()()][()][()](ω)(ω)f t f t f t f t F F αβαβαβ+=+=+F F F同样，对傅里叶逆变换也有类似的线性性质，即11212[(ω)(ω)]()()F F f t f t αβαβ-+=+F2) 位移性质 设0t 为任意常数，则0ω0[()][()]i t f t t e f t ±±=F F同样，傅里叶逆变换也具有类似的位移性质，即0ω10[(ωω)]()i t F f t e ±-=F3) 延迟性质 设0ω为任意常数，则0ω0[()](ωω)i t e f t F =-F4) 微分性质 若lim ()0t f t →+∞=则[()]ω[()]f t i f t '=F F一般地，若()lim ()0k t f t →+∞= (0,1,2,1)k n =-，则()[()](ω)[()]nn f t i f t =F F同样，像函数的导数公式为(ω)[()]ωdF i tf t d =-F ， 一般地，有(ω)()[()]ωn n nnd F i t f t d =-F 5) 积分性质设()()tg t f t dt -∞=⎰，若t →+∞时()0g t =，则1[()][()]ωg t f t i =F F 6) 卷积定理已知函数1()f t 和2()f t ，则定义积分12()()f f t d τττ+∞-∞*-⎰为函数1()f t 和2()f t 的卷积，记为12()()f t f t *，即1212()()()()f t f t f f t d τττ+∞-∞*=*-⎰假定1()f t ，2()f t 都满足傅里叶积分定理中的条件，且11(ω)[()]F f t =F ，22[()](ω)f t F =F ，则有12121212[()()](ω)(ω)1[()()](ω)(ω)2f t f t F F f t f t F F π*=⋅⎧⎪⎨⋅=*⎪⎩F F 上式称之为卷积定理[4]。
1.2 拉普拉斯变换1.2.1 拉普拉斯变换的历史由来19世纪末，英国工程师赫维赛德发明了“运算法”（算子法）[5]解决电工程计算中遇到的一些基本问题。
他所进行的工作成为拉普拉斯变换方法的先驱。
赫维赛德的方法很快地被许多人采用，但是缺乏严密的数学验证，曾经受到某些数学家的谴责。
而赫维赛德以及另一些追随他的学者（例如卡尔逊、布罗姆维奇……等人）坚信这一方法的正确性，继续坚持不懈地深入研究。
后来，人们终于在法国数学家拉普拉斯的著作中为赫维赛德运算法找到了可靠的数学依据，重新给予严密的数学定义，为之取名拉普拉斯变换（简称拉氏变换）方法。
1.2.2 拉普拉斯变换的定义从《数学物理方法》课程中我们知道，任意函数()f t （在0t <时()0f t ≡），的拉普拉斯变换为[6]：()[()]()st F s f t f t e dt +∞-==⎰L （1-4)其逆变换为：11()[()]()2βi stβi f t F s F s e ds iπ+∞--∞==⎰L （1-5） 函数()F s 称为()f t 的像函数，()f t 称为()F s 的像原函数。
函数() (t 0)f t ≥的拉普拉斯变换实际上是一种特殊的傅里叶变换[7]。
拉氏变换的存在条件，要满足下述拉普拉斯变换的存在定理[8]： 若函数()f t 满足下列条件： 1) 当0t <时，()0f t =；2) 当0t ≥时，()f t 及()f t '除去有限个第一类间断点以外，处处连续； 3) 当t →+∞时， ()f t 的增长速度不超过某一个指数函数，亦即存在常数M 及00β≥，使得0() (0)βt f t Me t ≤<<+∞其中，0β称为()f t 的增长指数。
则()f t 的拉氏变换()F s 在半平面0Re s β>上存在、解析，且当arg 2s πδ≤- （δ是任意小的正数）时，有lim ()0s F s →∞=1.2.3 拉普拉斯变换与逆变换的性质 1) 线性性质设1122[()](),[()]()f t F s f t F s ==L L ，若α、β是常数，则有121212111121212[()()][()][()]()()[()()][()][()]()()f t f t f t f t F s F s F s F s F s F s f t f t αβαβαβαβαβαβ---+=+=+⎧⎨+=+=+⎩L L L L L L 2) 位移性质若[()]()f t F s =L ，00t >，则000[()][()]()st st f t t e f t e F s ---==L L3) 延迟性质若[()]()f t F s =L ，则有[()](), Re()at e f t F s a s a c =-->L4) 微分性质若[()]()f t F s =L ，则有2['()]()(0)[''()]()(0)'(0)f t sF s f f t s F s sf f =-=--L L5) 积分性质若[()]()f t F s =L ，则有01[()]()tf t dt F s s=⎰L此外，由拉普拉斯变换存在定理，还可以得到像函数的积分性质： 若[()]()f t F s =L ，则有()[]()s f t F s ds t+∞=⎰L6) 卷积定理拉氏变换中的卷积还存在着如下的卷积定理[9]：假定1()f t 、2()f t 满足拉普拉斯变换存在定理中的条件，且1122[()](),[()]()f t F s f t F s ==L L ，则12()()f t f t *的拉氏变换一定存在，且1212[()()]()()f t f t F s F s *=⋅L一般地，有1212[()()()]()()()n n f t f t f t F s F s F s **=⋅⋅⋅L1.3 小结由以上可以看出，傅氏变换与拉氏变换有许多相似之处。
但从（1.2）中我们也可以看出，用傅里叶变换在求解问题时，要求所出现的函数必须在(,)-∞+∞内满足绝对可积（()f t +∞-∞<+∞⎰）这个条件。
该条件的限制是非常强的，以致于常见的函数，如常数、多项式以及三角函数等，都不能满足这个条件。
另一方面，从（2.2）的拉氏变换存在定理可以看出，拉氏变换所要求的条件是很弱的，常见的函数都能进行拉氏变换，这使得拉氏变换在许多领域中的应用极其广泛。
下文我们将对两种变换的应用做一介绍。
2 傅氏变换与拉氏变换的比较研究傅立叶变换与拉普拉斯变换在数学、物理以及工程技术等领域中有着极其广泛的应用。
由（一）可知两种变换的性质有很多相似之处，故两者在求解问题时也会有许多类似。
另外，由于傅氏变换的积分区间为()+∞∞-,，拉氏变换的积分区间为()+∞,0，两者又会在不同的领域中有着各自的应用。
下面我们通过一些具体的例子对两种变换的应用做一些比较研究。