拉氏变换和傅里叶变换的关系
拉氏变换和傅里叶变换的关系
拉氏变换和傅里叶变换的关系一、拉氏变换1、拉氏变换的定义：如果有一个以时间t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，，那么()t f 的的拉普拉斯变换定义为()()()0e d st F s L f t f t t ∞-=∆⎡⎤⎣⎦⎰ (2.10) s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ⎰∞-0e st 称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数)(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。
2、拉氏变换的意义工程数学中常用的一种积分变换。
它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。
对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。
拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s 域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用二、傅里叶变换1、傅里叶变换的定义：f(t ）是t 的函数，如果t 满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。
则有下图①式成立。
称为积分运算f(t ）的傅立叶变换，②式的积分运算叫做F （ω）的傅立叶逆变换。
F （ω）叫做f(t ）的像函数，f(t ）叫做 F （ω）的像原函数。
F （ω）是f(t ）的像。
f(t ）是F （ω）原像。
§4-8 拉氏变换与傅氏变换的关系
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§4-8 拉氏变换与傅氏变换的关系
三、拉普拉斯变换的极点位于虚轴上
例如：单位阶跃信号u(t)
1 u (t ) ←⎯→ s
LT
1 u (t ) ←⎯→ πδ(Ω) + jΩ
FT
显然，当信号的拉普拉斯变换的极点是位于s平面虚轴上的极 点，不能简单地将jΩ代替s已得到它的傅里叶变换。 设信号x(t)的拉普拉斯变换为X(s)，它有虚轴上的单极点:jΩi
jΩ
此时，由其拉氏变换将s代以jΩ求 得其傅里叶变换。
σ
−α
负实轴上的重极点的例子：
te
− αt
1 u (t ) ←⎯→ ( jΩ + α ) 2
FT
e − α t u ( t ) 拉氏变换收敛域
LT te − αt u (t ) ←⎯→
负实部的共轭复数极点的例子：
e
− αt
1 ( s + α) 2
Ai X ( s) = X 1 ( s) + ∑ i =1 s − jΩ i
N
N
x(t ) = x1 (t ) + ∑ Ai e jΩi t u (t )
i =1
N
X ( jΩ) = X 1 ( jΩ) + ∑ Ai δ(Ω − ΩHale Waihona Puke i ) ∗ [πδ(Ω) +
i =1
1 ] jΩ
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§4-8 拉氏变换与傅氏变换的关系
§6.10 傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换之间的关系
邮
院
X
二．z变换与拉普拉斯变换的关系
Ai ˆ t L x s p i 1 i ˆ ( nT ) 也 ˆ ( t ) 进行理想抽样，得到的离散时间序列 x 对x 由N 项指数序列相加组合而成。 ˆ nT x ˆ 1 nT x ˆ 2 nT x ˆ N nT x
jω
n
电
子 工
X z
n x n z
北
程 学
院
逆变换 x n
2 j 1 2 j 1
1
z 1
X z z
n 1
dz
第 5 页
北
京
1 IDTFT X e x n 2
学
n
电
x n e jn
j K2 K 2
* 1
北
程 学
K1 K2 ω0 解： xt sinω0 t ut X s 2 2 s j ω0 s j ω0 s ω0 两个一阶极点分别为 p1 j ω0，p2 j ω0 。
电
大 学
电
子 工
序列sinω0 nT unT 的z变换。
第 7 页
大 学
北
i 1
i 1
其拉式变换为
N
北
京
邮 电
Ai ˆ t L x s p i 1 i
大
学
电
子 工
程 学
京
ˆ i t Ai e pi t u t x
电
N
电
子 工
程
学 院
N
匀抽样 x t 均 x n ,
由拉氏变换可以直接写出傅氏变换
由拉氏变换可以直接写出傅氏变换拉氏变换和傅里叶变换是两种常见的数学变换方法，在信号处理和控制系统中经常被使用。
拉氏变换和傅里叶变换之间有着密切的联系，可以通过拉氏变换来推导出傅里叶变换。
拉氏变换是一种将一个时域函数转换为复平面上的一个复数函数的变换方法。
它在信号处理和系统控制中被广泛应用，可以将时域中的微分和积分运算转换为复平面上的乘法和除法运算。
通过拉氏变换，可以将复杂的微分方程转换为简单的代数方程，从而更容易分析和求解系统的动态特性。
拉氏变换的定义是：L{f(t)} = F(s) = ∫[0, ∞]e^(-st)f(t)dt其中，f(t)是一个定义在t≥0上的函数，F(s)是其拉氏变换。
s是一个复变量，表示复平面上的一个点，其实部和虚部分别表示频域中的频率和阻尼系数。
傅里叶变换是一种将一个时域函数转换为频域函数的变换方法。
它可以将一个信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而分析信号的频谱特性。
傅里叶变换的定义是：F{f(t)} = F(ω) = ∫[-∞, ∞]e^(-jωt)f(t)dt其中，f(t)是一个定义在整个实数轴上的函数，F(ω)是其傅里叶变换。
ω是一个实变量，表示频域中的频率。
由于傅里叶变换是一个复数函数，可以表示幅度和相位信息，因此可以更全面地描述信号的频谱特性。
拉氏变换和傅里叶变换之间存在着紧密的联系。
事实上，拉氏变换可以看作是傅里叶变换在复频域的特殊情况。
通过将s替换为jω，可以将拉氏变换转换为傅里叶变换。
这个关系可以通过拉氏变换的性质和傅里叶变换的定义来推导。
具体而言，可以使用拉氏变换的线性性质、时移性质和频移性质，以及傅里叶变换的定义，将拉氏变换转换为傅里叶变换。
这个过程可以简化信号处理和系统控制中的计算和分析，使得问题的求解更加方便和高效。
在实际应用中，拉氏变换和傅里叶变换经常同时使用。
通过拉氏变换，可以将时域的微分和积分运算转换为复平面上的乘法和除法运算，从而更容易分析和求解系统的动态特性。
双边拉氏变换及拉氏变换与傅氏变换的关系
收敛域没有改变，象函数的极点全部 位于收敛域右侧
2019/2/7 信号与系统
2.双边信号的拉氏变换
例：f (t ) u(t ) et u(t ), 试求BLT
t<0,f(t)=0,双边LT→单边LT，收敛域包括虚轴
F ( j ) F ( s) |s j
若收敛边界在虚轴上，F(s)极点在虚轴上，则信号 的频谱函数中会出现奇异函数项
1 1 例如：f (t ) u (t ) F ( s) F ( ) ( ) s j
2019/2/7 信号与系统
作业
4-45
2019/2/7
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4.12 双边拉氏变换
双边拉氏变换（广义傅里叶变换）：
FB ( s) f (t )e dt
st
对于衰减因子，t>0时的情况与t<0时的情况正 好相反，因此对于双边拉氏变换积分结果不一定存 在，这个与单边拉氏变换不同。要讨论双边拉氏变 换的存在性问题。
F(s) 收敛域 f(t)
1/s
1/s 1/(s+a)
>0
<0 >-a
u(t)
-u(-t) e-at u(t)
1/(s+a)
<-a
-e-at u(-t)
1 1 F ( s) s s 0 f (t ) u( t ) e t u(t )
0
4.11 线性系统的稳定性
1、稳定系统
有限（界）激励，产生有限（界）激励，稳定系统 有限（界）激励，产生无限（界）激励，为不稳定系统
傅里叶变换拉普拉斯变换z变换关系
傅里叶变换拉普拉斯变换z变换关系
傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换是三种不同的信号分析方法。
它们之间的关系如下：
1. 傅里叶变换和拉普拉斯变换
傅里叶变换用于分析连续时间信号，而拉普拉斯变换用于分析连续时间线性时不变系统（LTI系统）。
当对LTI系统的输入信号进行傅里叶变换时，得到的结果是系统的频率响应，即系统在不同频率下的增益和相位差。
当使用拉普拉斯变换对LTI系统的输入信号进行变换时，得到的结果是系统的传递函数，即输入信号和输出信号之间的关系。
2. 傅里叶变换和z变换
傅里叶变换和z变换都用于分析离散时间信号。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，而z变换将信号从时域转换到z域。
z变换可以将连续时间信号离散化，这使得它在数字信号处理中非常有用。
当对离散时间信号进行傅里叶变换时，得到的结果是信号的离散频谱，即信号在不同频率下的幅度和相位信息。
当使用z 变换对离散时间信号进行变换时，得到的结果是离散时间系统的传递函数，即输入信号和输出信号之间的关系。
3. 拉普拉斯变换和z变换
拉普拉斯变换和z变换类似，都用于分析离散时间线性时不变系统。
当使用拉普拉斯变换对离散时间LTI系统的输入信号进行变换时，得到的结果是系统的离散时间传递函数。
当使用z变换对连续时间LTI系统的输入信号进行变换时，得到的结果是系统的z域传递函数。
这些函数可以用于分析系统的稳定性、带宽和抗差性等性质。
对傅里叶变换、拉氏变换、z变换详细剖析
对傅里叶变换、拉氏变换、z变换详细剖析变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别，你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的。
所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密度。
对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示。
已经说过，傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。
这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。
所以说，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。
傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的——实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。
我的语言可能比较晦涩，但我已尽我所能向你讲述我的一点理解——真心希望能对你有用。
我已经很久没在知道上回答过问题了，之所以回答这个问题，是因为我本人在学习傅里叶变换及拉普拉斯变换的过程中着实受益匪浅——它们几乎改变了我对世界的认识。
傅里叶变换值得你用心去理解——哪怕苦苦思索几个月也是值得的——我当初也想过：只要会算题就行。
但浙大校训“求是”时时刻刻鞭策着我追求对理论的理解——最终经过很痛苦的一番思索才恍然大悟。
建议你看一下我们信号与系统课程的教材：化学工业出版社的《信号与系统》，会有所帮助。
（另一种说法）对于周期函数f，傅立叶变换就是把这个函数分解成很多个正弦函数fn的和，每个fn的频率是f的n倍。
拉氏变换和傅里叶变换的关系
拉氏变换和傅里叶变换的关系
拉氏变换与傅里叶变换都是信号处理中重要的数学工具，用于分析
系统的性质和频率响应。
尽管它们有不同的定义和使用方式，但它们
之间存在一定的关系和联系。
下面将从不同的角度介绍它们之间的关系。
一、定义
拉氏变换的本质是傅里叶变换的一种推广。
傅里叶变换用于将一个时
域信号转换为频域信号，而拉氏变换则用于将一个复平面上的函数转
换为另一个复平面上的函数。
可以将傅里叶变换看做是拉氏变换在复
平面上取实轴的特例。
二、对复平面的操作
傅里叶变换将时间域信号映射到频率域，也就是将一个信号映射到一
个实数轴上的函数。
而拉氏变换不仅可以将一个信号映射到实数轴上，还可以将其映射到复平面上。
这使得它在处理复杂信号和非线性系统
时更加灵活。
三、收敛条件
傅里叶变换只在有限区间内解析，因此只能处理有限时间长度的信号。
而拉氏变换可以处理更广泛的信号，包括无限长的信号和非周期信号。
它的收敛条件更加宽松。
四、运算性质
傅里叶变换有许多运算性质，如线性性、时间平移性、频带宽度限制等。
这些性质在信号处理中非常有用。
拉氏变换也有类似的运算性质，但与傅里叶变换的性质略有不同。
例如，拉氏变换在复数域内具有复
共轭对称性，这是傅里叶变换所没有的。
综上所述，拉氏变换与傅里叶变换是相关的但不同的数学工具。
它们
在不同的应用场合具有不同的优点和局限性。
在实际应用中，需要根
据具体问题的需要选择合适的变换方法。
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拉氏变换和傅里叶变换的关系
一、拉氏变换
1、拉氏变换的定义：
如果有一个以时间t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，，那么()t f 的的拉普拉斯变换定义为
()()()0e d st F s L f t f t t ∞
-=∆⎡⎤⎣⎦⎰ (2.10) s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ⎰∞-0e st 称为拉普拉斯积分；
)(s F 是函数 )(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。
2、拉氏变换的意义
工程数学中常用的一种积分变换。
它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。
对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。
拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s 域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用
二、傅里叶变换
1、傅里叶变换的定义：
f(t ）是t 的函数，如果t 满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。
则有下图①式成立。
称为积分运算f(t ）的傅立叶变换， ②式的积分运算叫做F （ω）的傅立叶逆变换。
F （ω）叫做f(t ）的像函数，f(t ）叫做
F （ω）的像原函数。
F （ω）是f(t ）的像。
f(t ）是F （ω）原像。
①
傅里叶变换
②
傅里叶逆变换
2、傅里叶变换的意义
傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。
如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。
二、拉氏变换和傅里叶变换的关系
傅里叶变换：的物理意义非常清晰：将通常在时域表示的信号，分解为多个正弦信号的叠加。
每个正弦信号用幅度、频率、相位就可以完全表征。
傅里叶变换之后的信号通常称为频谱，频谱包括幅度谱和相位谱，分别表示幅度随频率的分布及相位随频率的分布。
对一个信号来说，就包含的信息量来讲，时域信号及其相应的傅里叶变换之后的信号是完全一样的。
那傅里叶变换有什么作用呢？因为有的信号主要在时域表现其特性，如电容充放电的过程；而有的信号则主要在频域表现其特性，如机械的振动，人类的语音等。
若信号的特征主要在频域表示的话，则相应的时域信号看起来可能杂乱无章，但在频域则解读非常方便。
在实际中，当我们采集到一段信号之后，在没有任何先验信息的情况下，直觉是试图在时域能发现一些特征，如果在时域无所发现的话，很自然地将信号转换到频域再看看能有什么特征。
信号的时域描述与频域描述，就像一枚硬币的两面，看起来虽然有所不同，但实际上都是同一个东西。
正因为如此，在通常的信号与系统的分析过程中，我们非常关心傅里叶变换。
拉普拉斯变换：是以法国数学家拉普拉斯命名的一种变换方法，主要是针对连续信号的分析。
拉普拉斯和傅里叶都是同时代的人，他们所处的时代在法国是处于拿破仑时代，国力鼎盛。
在科学上也取代英国成为当时世界的中心，在当时众多的科学大师中，拉普拉斯、拉格朗日、傅里叶就是他们中间最为璀璨的三颗星。
傅里叶关于信号可以分解为正弦信号叠加的论文，其评审人即包括拉普拉斯和拉格朗日。
傅里叶变换虽然好用，而且物理意义明确，但有一个最大的问题是其存在的条件比较苛刻，比如时域内绝对可积的信号才可能存在傅里叶变换。
拉普拉斯变换可以说是推广了这以概念。
在自然界，指数信号e x是衰减最快的信号之一，对信号乘上指数信号之后，很容易满足绝对可积的条件。
因此将原始信号乘上指数信号之后一般都能满足傅里叶变换的条件，这种变换就是拉普拉斯变换。
这种变换能将微分方程转化为代数方程，在18世纪计算机还远未发明的时候，意义非常重大。
从上面的分析可以看出，傅里叶变换可以看做是拉普拉斯的一种特殊形式，即所乘的指数信号为e0。
也即是说拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，是一种更普遍的表达形式。
在进行信号与系统的分析过程中，可以先得到拉普拉斯变换这种更普遍的结果，然后再得到傅里叶变换这种特殊的结果。
这种由普遍到特殊的解决办法，已经证明在连续信号与系统的分析中能够带来很大的方便。