第三章 傅里叶变换
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第三章傅里叶变换的性质.ppt
0
f (t)奇函数：X ()
f (t)sin tdt 2
f (t)sin tdt
0
X () 0
R() 0
可见，R()=R(- )为偶函数； X()= -X(- )为奇函数； 若 f (t)是实偶函数，F(j )=R() 必为实偶函数。 若 f (t)是实奇函数，F(j )=jX() 必为虚奇函数。
1 T
(t
T
)
F( j)
T
根据时域微分特性：
( j)2 F ( j) 1 e jT 2 1 e jT ,
0 2
T
TT
T
F(
j )
2
2T
(1
cosT )
4
2T
sin
2 (T
2
)
TSa2 (T
2
)
第三章第1讲
12
频域微分和积分特性
公式：
( jt)n f (t) F (n) ( j) f (0) (t) 1 f (t) F (1) ( j)
表明信号过延程时都了是t0在秒频并谱不搬会移改的变基其础频上谱完的成幅的度。，但是 使其相位变化了 - t0
频移特性： f (t)e j0 t F[ j( 0 )]
表明信号 f (t)乘以 e j0 t，等效于其频谱 F(j)沿频率右移 0
因为： cos 0 t
1 2
(e
j0 t
e
j0 t
)
sin
0t
1 2j
(e
j0 t
经典傅里叶变换讲解ppt课件
)dt
t2 t1
t2 t1
f (t) sin(n1t)dt
6
或
f
(t )
a0 2
(an
n 1
cos n1t
bn
sin n1t)
傅里叶级数的 三角展开式
2
an t2 t1
t2 t1
f (t )cos(n1t )dt
同上式
另一种形式
f
(t )
a0 2
cn
n 1
cos(n1t
n )
t
T 4
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 4
Sa( n
4
)
第一个过零点为n =4 。 Fn 在 2π/ 有 4值1（谱线）
T
f (t)
1
2
o
2
谱线间隔 2π T
1 Fn
4
2
O
T
t
第一个过零点：
Sa(
2
)
0
π 2
2π
23
情况2：
T 8
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 8
Sa( n
8
)
第一个过零点n=8
2
)
21
（2）双边频谱：
1
Fn T
/2
e jn1 tdt
1
e jn1 t
/2
2
sin
n1 2
b
b2 4ac
/ 2
T jn1 / 2 T n1
2a
T
sin
n1 2
n1
2
T
Sa( n1
2
信号与系统第三章：傅里叶变换
bn
n1
sin(n1t)
其中
an
,
bn
称为傅里叶系数，
1
2
T
。
16
傅里叶系数如何求得
Ci
t2 t1
f
(t
)
i
(t
)dt
t2
t1
i
2
(
t
)dt
1 Ki
t2 t1
f
(t
)
i
(t
)dt
式中： Ki
t2
t1
i
2
(t
)dt
an
2 T
T
2 T
f (t) cos(n1t)dt
2
a0 2
,
1 T
0 T
2
(1)
cos(n1t
)dt
2 T
T
2 0
cos(n1t
)dt
23
0
T
1
n1
2 T
sin(n1t
)
T 2
2 T
1
n1
sin(n1t
)
2 0
1
2
T
an
0
n 0,1, 2,3,L
24
bn
2 T
T
2 T
f (t) sin(n1t)dt
2
2 T
0 T
2
(1)
sin(n1t
)dt
2 T
T
2 0
26
T
T
0
T/ 2
t
0
T/ 2
t
(a)基波
(b)基波+三次谐波
0
T/ 2
Tt
第3章离散时间傅里叶变换
第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换
t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
第3章 连续信号的频谱——傅里叶变换
• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波
器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。 • 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。 • 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。 • 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数）， 它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径 和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域 中唯一的变换域方法。
nw1 nw1
0
w
nw1
w1 0 w1
nw1
w
正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。
4.周期信号的功率特性
—时域和频域能量守恒定理
周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。
1 t0 T1 2 f (t )dt P f (t ) t T1 0 1 1 2 2 2 2 2 a0 ( an bn ) c0 cn 2 n 1 2 n 1
其傅里叶级数三角展开式中 仅含基波和奇次谐波
例子
例如：奇谐函数
f (t )
E 2
T1 2
f (t )
E 2
T 1 2
0
E 2
T1 2
t
0
E 2
T1 2
t
sin( w1t )
E 2
f (t )
E 2
T1 2 T 1 2 T1 2
f (t )
0
E 2
t
0
E 2
T1 2
033第三章 傅里叶变换
T 0
f
2(t)d t
a02
1 2 n1
an2
bn2
a02
1 2
cn2
n1
Fn
n
2
这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现; 表明：
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量 有效值的平方和；
也就是说，时域和频域的能量是守恒的。 Fn 2 ~ 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率 随频率分布的情况，称为功率谱系数。
第三章 傅里叶变换
3.1 引言
X
频域分析
第 2
页
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信 号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之 间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤 波、调制和频分复用等重要概念。
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。
第第 2222
页页
偶函数 奇函数 奇谐函数 偶谐函数
注：指交流分量
X
第第
1．偶函数
2233
页页
信号波形相对于纵轴是对称的
f (t) f (t)
f (t) E
bn 0
4
an T
T
2 0
f (t)cosn1t d t
0
F
n
F (n1 )
1 2
an
jbn
1 2
an
T
O
n 0
T
t
傅里叶级数中不含正弦项，只含直流项和余弦项。
n
Fn1
信号课件第三章傅里叶变换
• 从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中， 首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的 傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而 产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
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三、傅里叶变换的性质
3.2 非周期信号的傅里叶变换
【例】求信号 cos( w0t )和 sin( w0t ) 的频谱函数。 解： ② jw t jw t
sin( w 0 t ) e
0
e
0
2j
1
(1 e
jw 0 t
1e
jw 0 t
)
2j
又 1 2 ( w )
（a1、a2为常数）
三、傅里叶变换的性质
3.2 非周期信号的傅里叶变换
2、对称性 若 f (t ) F ( w) ，则： F (t ) 2f ( w)
【例】求信号 Sa( wct )和1的频谱函数。 w 解： ①
g ( t ) Sa ( )
Sa (
t
f (t )
其中：
n
F e
n
jnw t 1
（n取整数）
jnw t 1
Fn
T
1
t 0 T
f (t )e
dt
t0
二、指数形式
3.1 周期信号的傅里叶级数
f (t )
A0 2
An cos( nw1t n )
n 1
A0 2
An
n 1
式，性质中的微分都是指对t。 【例】若 f (t ) F ( w) ，求信号 数。 解：
1
f (t )e
jwt
dt
-- 傅里叶正变换
f (t ) F T [ F ( w)]
2
1
F ( w)e
jwt
dw
-- 傅里叶逆变换
f(t)与F(w)是一一对应的：
f (t ) F ( w)
FT
一、傅里叶变换的定义
3.2 非周期信号的傅里叶变换
傅里叶变换存在的充分条件：
2 2
jwt
dt
e
jwt
2
jw
2
2
jw
sin(
)
e
e
2 sin( w
w 2
)
jw
w 2
w 2
Sa (
w 2
)
二、典型非周期信号的频谱函数
3.2 非周期信号的傅里叶变换
（2）e-at u(t) 解：
F (w)
(a>0)
（2）谐波性：每一条谱线只出现在基波频率w1的整数
倍频率上。 （3）收敛性：当 nw1 →∞时，An（或|Fn|）→0。
时域周期信号，造成频域离散的谱。
第三章
傅里叶变换
3.2 非周期信号的傅里叶变换(CTFT)
一、傅里叶变换的定义 频谱函数 F ( w) FT [ f (t )] 原函数
第三章 傅里叶变换
3.1 周期信号的傅里叶级数 3.2 非周期信号的傅里叶变换
3.3 周期信号的傅里叶变换
3.4 抽样定理
第三章
傅里叶变换
3.1 周期信号的傅里叶级数（CFS）
一、三角形式
周期为T的周期信号f(t)在(t0, t0+T)区间的三角形式
傅里叶级数展开式为：
f (t )
a0 2
[an cos( nw1t ) bn sin( nw1t )]
n 1
（n取正整数）
式中：w1=2π/T 称为基波角频率；
a0/2，an和bn为加权系数。
一、三角形式
3.1 周期信号的傅里叶级数
加权系数：
通常取：t0=0或-T/2
t 0 T t0
t 0 T
an
bn
令 A n
T
T
2 n
2
f (t ) cos( nw1t )dt
( n 0 ,1, 2 , )
2
t0
f (t ) sin( nw1t )dt
2 n
a b ， n arctan a ，则： n
bn
An ：称为n次谐波分量的振幅，是n的偶函数。
n ：称为n次谐波分量的相位，是n的奇函数。
一、三角形式
3.1 周期信号的傅里叶级数
f (t )
a0 2
An cos( nw1t n )
1 2 ( w ) 2 ( w )
1 2 ( w)
3、尺度变换
(15)
1 a w a
若 f (t ) F ( w) ，则： f (at ) 4、时移
F(
)
若 f (t ) F ( w) ，则： f (t t0 ) F ( w)e jwt0
e
j ( nw1t n )
e 2
j ( nw1t n )
A0 2
1
A 2
n 1
n
e
j ( nw1t n )
1
A 2
n 1 1
n
e
j ( nw1t n )
A0 2
1
A 2
n 1 n
n
e
j ( nw1t n )
1
2 n
2
e
jw t
0
e
e
jw t
dt
1
e
0
at
e
jw t
dt
2a
0
e
( a jw ) t
dt
e
( a jw ) t
dt
1 a jw
0
a jw
a w
2
2
二、典型非周期信号的频谱函数
3.2 非周期信号的傅里叶变换
（4） (t ) 1 解： F ( w ) ( t ) e jwt dt
o － 1 0° － 1 0°
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
－ 1 5°
－ 1 5°
－ 2 0° － 3 0°
－ 3 0° － 2 0°
－ 3 0°
－ 3 0°
－ 4 5°
－ 4 5°
－ 4 5°
三、周期信号的频谱
3.1 周期信号的傅里叶级数
周期信号频谱的特点
（1）离散性：由不连续的谱线组成，每一条谱线代表 一个正弦分量。
f (t ) dt
（绝对可积）
j ( w)
非周期信号的频谱：
F(w) ～ w 曲线
F ( w) R(w) jX ( w) F ( w) e 其中： 幅度 F ( w) R 2 ( w) X 2 ( w)
相位 ( w) arctan
X ( w) R( w)
1 2
(1 e
jw 0 t
1e
jw 0 t
)
又 1 2 ( w )
cos( w0t ) 1 2 [2 ( w w0 ) 2 ( w w0 )]
则：cos( w0t ) [ ( w w0 ) ( w w0 )]
(17)
( t ) dt 1
三、傅里叶变换的性质（P143：表3-2）
常用信号的傅里叶变换表（P570：附录三）
1、线性 若 f1 (t ) F1 (w) ，f 2 (t ) F2 (w) ，则：
a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1F1 (w) a2 F2 (w)
其余
An 0
三、周期信号的频谱
3.1 周期信号的傅里叶级数
振幅谱：
相位谱：
三、周期信号的频谱
|F n| 2 1 .5
1 .5 2 |F n|
3.1 周期信号的傅里叶级数
振幅谱：
1
1
1 .5
1 .5
1
1
1
1
0 .4
0 .4
0 .4 0 .2
0 .2
2
2
0 .2
0 .4
4
4
0 .2 － 6 － 5 － 4 － 3 － 2 － o － 6 － 5 － 4 － 3 － 2 － o (a )
0 . 4 cos( 3 t 45 ) 0 . 8 cos( 6 t 30 ) ，试画出f(t)的振
幅谱和相位谱。 解： 题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的三角形式傅里 叶级数展开式。
f (t ) A0 2
A n cos( nw 1 t n )
n 1
A0 2
An cos( nw1t n )
n 1
任一周期信号，可以表示为一直流分量和一
系列谐波分量之和。
谐波分量：基波，二次谐波，三次谐波，…。
3.1 周期信号的傅里叶级数
二、指数形式
周期为T的周期信号f(t)在(t0, t0+T)区间的指数形式
傅里叶级数展开式为：
1 a jw
dt
e
at
u (t )e
jwt
0 1
e
( a jw ) t
dt
0
e
( a jw ) t 0
( a jw )