希尔伯特变换与傅立叶变换
希尔伯特变换实现包络检波
希尔伯特变换实现包络检波引言：包络检波是一种常用的信号处理技术，用于提取原始信号的包络。
在很多领域，如通信、地震学、医学等，包络检波都发挥着重要的作用。
本文将介绍一种利用希尔伯特变换实现包络检波的方法，并探讨其原理和应用。
一、希尔伯特变换的基本原理希尔伯特变换是一种在信号处理中常用的数学工具，用于将实函数转换为复函数。
它的基本原理是通过对信号进行频域处理，得到信号的解析信号，从而提取出信号的包络。
在数学上，希尔伯特变换可以通过对信号的傅里叶变换来实现。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，而希尔伯特变换则在频域对信号进行处理，得到信号的解析信号。
解析信号由原始信号和原始信号的希尔伯特变换构成，其中希尔伯特变换的虚部表示了原始信号的包络。
二、利用希尔伯特变换实现包络检波的方法在实际应用中，可以通过以下步骤利用希尔伯特变换实现包络检波：1. 对原始信号进行希尔伯特变换，得到信号的解析信号。
2. 从解析信号中提取出包络信号，即取解析信号的模。
3. 对包络信号进行滤波，以去除高频噪声和不相关的分量。
4. 得到最终的包络信号，即原始信号的包络。
三、希尔伯特变换在包络检波中的应用希尔伯特变换在包络检波中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 通信领域：在调制解调过程中，可以利用希尔伯特变换提取出调制信号的包络，从而实现信号的解调。
2. 地震学：在地震勘探中，可以利用希尔伯特变换提取地震信号的包络，用于地震波形分析和勘探目标的识别。
3. 医学领域：在心电图分析和脑电图分析中，可以利用希尔伯特变换提取出心电信号和脑电信号的包络，用于疾病诊断和治疗。
四、希尔伯特变换实现包络检波的优缺点希尔伯特变换实现包络检波具有以下优点：1. 简单易实现：希尔伯特变换的计算方法相对简单，可以通过傅里叶变换等常用的信号处理方法实现。
2. 有效提取包络：希尔伯特变换可以提取出信号的包络，对于信号的包络分析具有很好的效果。
3. 广泛应用：希尔伯特变换在多个领域都有广泛的应用，如通信、地震学、医学等。
(整理)希尔伯特变换与傅立叶变换
在数学与信号处理的领域中，一个实数值函数的希尔伯特转换(Hilbert transform)——在此标示为——是将信号与做卷积，以得到。
因此，希尔伯特转换结果可以被解读为输入是的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出，而此一系统的脉冲响应为。
这是一项有用的数学，用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope)，出现在通讯理论（应用方面的详述请见下文。
）希尔伯特转换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。
希尔伯特转换定义如下：其中并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在以及等处的奇点。
另外要指出的是：若，则可被定义，且属于；其中。
频率响应希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出：,其中∙是傅立叶变换，∙i (有时写作j )是虚数单位，∙是角频率，以及∙即为符号函数。
既然：,希尔伯特转换会将负频率成分偏移+90°，而正频率成分偏移−90°。
反（逆）希尔伯特转换我们也注意到：。
因此将上面方程式乘上，可得到：从中，可以看出反（逆）希尔伯特转换傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。
因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。
例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。
∙傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。
希尔伯特变换与傅立叶变换
在数学与信号处理的领域中，一个实数值函数的希尔伯特转换(Hilbert transform)——在此标示为——是将信号与做卷积，以得到。
因此，希尔伯特转换结果可以被解读为输入是的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出，而此一系统的脉冲响应为。
这是一项有用的数学，用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope)，出现在通讯理论（应用方面的详述请见下文。
）希尔伯特转换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。
希尔伯特转换定义如下：其中并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在以及等处的奇点。
另外要指出的是：若，则可被定义，且属于；其中。
频率响应希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出：,其中•是傅立叶变换，•i (有时写作j )是虚数单位，•是角频率，以及•即为符号函数。
既然：,希尔伯特转换会将负频率成分偏移+90°，而正频率成分偏移−90°。
反（逆）希尔伯特转换我们也注意到：。
因此将上面方程式乘上，可得到：从中，可以看出反（逆）希尔伯特转换傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。
因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。
例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。
•傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。
希尔伯特变换的一些理解
希尔伯特变换的⼀些理解
对时域信号进⾏希尔伯特变换就相当于使通过⼀个冲激响应为的滤波器。
需要注意的是此变换和傅⾥叶变换虽然都称变换，但本质是不⼀样的：傅⽒变换是同⼀个信号本⾝的另⼀种解读⽅法（在频域描述），⽽前者是将该信号在时域做了处理，信号已经变了，⽽且看到的仍然是时域的信号（在时域描述）。
即
的傅⽒变换是, 和在时域卷积，相当于在频域相乘。
我们可以看到，对于x(t)
的频谱X(w) ，乘上H(w) 的结果是：正频率相移负90度，⽽负频率相移正90度，幅值没有变化。
⽆论是相移正还是负相位，原信号与希尔伯特变换信号都是相差90度，即得到的变换结果都和原来的信号正交。
⽽对希尔伯特变换再做希尔伯特变换得到的是原信号的相反信号，因为正负频率都相移了180度，⽆论是正还是负的180度，都是原来的信号的取反（这可从傅⾥叶变换的综合公式看出来）。
希尔伯特变换⼀个重要的应⽤在构造实信号的解析信号。
希尔伯特变换原理及应用
希尔伯特变换原理及应用
希尔伯特变换是一种数学工具，用于将一个时间域信号转换为频率域信号。
它是一种线性变换，可以将一个实数函数f(t)转换为另一个实数函数F(ω)，其中ω是频率。
希尔伯特变换的原理是将一个实数函数f(t)与一个复数函数h(t)进行卷积，得到另一个实数函数g(t)，然后将g(t)进行傅里叶变换，得到频率域信号F(ω)。
希尔伯特变换的应用非常广泛，特别是在信号处理领域。
它可以用于分析和处理各种类型的信号，包括音频信号、图像信号、视频信号等。
在音频信号处理中，希尔伯特变换可以用于提取信号的包络，从而实现音频信号的压缩和降噪。
在图像处理中，希尔伯特变换可以用于提取图像的边缘和纹理信息，从而实现图像的分割和识别。
在视频处理中，希尔伯特变换可以用于提取视频的运动信息和纹理信息，从而实现视频的压缩和分析。
除了在信号处理领域，希尔伯特变换还有许多其他的应用。
在物理学中，希尔伯特变换可以用于描述量子力学中的波函数。
在工程学中，希尔伯特变换可以用于分析和设计滤波器和控制系统。
在金融学中，希尔伯特变换可以用于分析和预测股票价格和汇率变动。
希尔伯特变换是一种非常有用的数学工具，可以用于分析和处理各种类型的信号和数据。
它的应用范围非常广泛，涉及到许多不同的领域。
因此，学习和掌握希尔伯特变换的原理和应用是非常重要的，
对于提高我们的数学和工程能力有很大的帮助。
利用Hilbert变换提高傅里叶变换轮廓术的测量范围和精度
Ｌ ｕ ｏ Ｆ ｅ ｎ ｇ Ｃｈ ｅ ｎ Ｗｅ ｎ ｊ ｉ ｎ ｇ Ｓ ｕ Ｘ ｉ ａ ｎ ｙ ｕ
Ｏ ｐｔ ｏ — Ｅｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎ ｉ ｃ Ｄｅ ｐａ ｒ ｔ ｍｅ ｎｔ ， Ｃｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆＥｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎｉ ｃ ｓ ａ ｎｄ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｅｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ， Ｓｉ ｃ ｈ ｕａ ｎ Ｕｎｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，
ｏｆ ｔ ｈｅ ｄｅ ｆ ｏｒ ｍ ｅｄ ｒｉ ｆ ｎｇｅ ｐａｔ ｔ ｅ ｒ ｎ ｈａｓ ａ ｎ ｉ ｎｆ ｌｕｅ ｎｃｅ ｏｎ ｔ ｈｅ ｍ ｅａ ｓ ｕｒ ｅ ｍｅ ｎｔ ｒ ａ ｎｇ ｅ ａ ｎｄ ａ ｃｃ ｕｒ ａ ｃ ｙ ｏ ｆ Ｆｏｕｒ ｉ ｅｒ ｔ ｒ ａ ｎｓ ｆ ｏ ｒ ｍ ｐｒ ｏｆ ｉｌ ｏ ｍｅ ｔ ｒ ｙ． Ａｆ ｔ ｅ ｒ ｅ ｌ ｉ ｍｉ ｎａ ｔ ｉ ｎｇ ｔ ｈｅ ｚ ｅ ｒ ｏ ｒｅｑ ｆ ｕｅ ｎｃ ｙ ｃｏ ｍ ｐｏ ｎｅ ｎｔ ｏｆ ｔ ｈｅ ｄｅ ｆ ｏ ｒ ｍｅ ｄ ｒｉ ｆ ｎｇ ｅ． ｔ ｈｅ ｍｅ ａ ｓ ｕｒ ｅ ｍ ｅｎ ｔ ｒ ａ ｎｇｅ ｏｆ ＦＴＰ ｗｉ ｌ ｌ ｂｅ ｔ ｈｒ ｅｅ ｔ ｉ ｍｅ ｓ ｏｆ ｔ ｈａ ｔ ｏ ｆ ｔ ｈｅ ｔ ｒ ａ ｄｉ ｔ ｉ ｏｎａ ｌ ＦＴＰ． Ａｃ ｃｏ ｒ ｄｉ ｎｇ ｔ ｏ Ｈｉ ｌ ｂｅｒ ｔ ｔ ｒ ａ ｎｓ ｆ ｏｒ ｍ ｈａ ｖｉ ｎｇ ｔ ｈｅ ｎａｔ ｕｒ ｅ ０ ｆ ９０ 。 ｐｈａｓ ｅ ｓ ｈｉ ｔ ｆ
ｃａ ｎ ｂｅ ｓ ｕｐｐｒ ｅｓ ｓ ｅｄ ｗ ｅｌ ｌ ｂｅ ｃ ａ ｕｓ ｅ ｔ ｈｅ ｂａ ｃ ｋｇ ｒ ｏ ｕｎｄ ｏ ｆ ｔ ｈｅ ｆ ｒ ｉ ｎｇｅ ｉ ｓ ａ ｓ ｌ ｏ ｗｌ ｙ ｖ ａｒ ｙ ｉ ｎｇ ｆ ｕｎｃ ｔ ｉ ｏｎ ａ ｎｄ ｂａ ｃｋ ｇ ｒ ｏｕ ｎｄ ｄｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ ｅ ａｃ ｈ ｈａ ｌ ｆ ｐｅｒ ｉ ｏｄ ｏｆ ｔ ｈｅ ｒｉ ｆ ｎｇ ｅ ｓ ｈｏｕｌ ｄ ｂｅ ｒ ｅｇ ａ ｒ ｄｅｄ ａｓ ｃ ｏｎｓ ｔ ａｎ ｔ ． Ｓｏ， ｔ ｈｅ ｐｒ ｏｐｏｓ ｅｄ ｍｅ ｔ ｈｏｄ ｃ ａｎ ｓ ｕｐｐｒ ｅ ｓ ｓ ｔ ｈｅ ｚ ｅ ｒ ｏ ￣ｅ ｑ ｕｅｎｃ ｙ ｃ ｏｍ ｐｏ ｎｅｎ ｔ ｏ ｆ ｔ ｈｅ ｒｉ ｆ ｎｇｅ ｗ ｅｌ １ ． Ｔｈｅ ｐｒ ｏ ｐｏｓ ｅ ｄ ｍｅ ｔ ｈｏｄ ｅ ｎｌ ａ ｒ ｇ ｅｓ ｔ ｈｅ ｍｅ ａｓ ｕｒ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｒ ａｎｇ ｅ Ｏｆ ＦＴＰ ａｎｄ ｒ ｅｄｕ ｃｅ ｓ ｉ ｔ ｓ ｍ ｅａ ｓ ｕｒ ｅ ｍｅ ｎｔ ｅｒ ｒ ｏｒ ． Ｉ ｎ ｔ ｈｅ ｐａ ｐｅ ｒ ， ｔ ｈｅ ｔ ｈｅｏ ｒ ｅ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ａｎ ａｌ ｙｓ ｉ ｓ ｉ ｓ ｇ ｉ ｖｅ ｎ．Ｃｏｍ ｐｕｔ ｅ ｒ ｓ ｉ ｍｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ａ ｎｄ ｅ ｘ ｐｅ ｒ ｉ ｍｅ ｎｔ ａｌ ｒ ｅ ｓ ｕｌ ｔ ｓ
正弦信号的希尔伯特变换
正弦信号的希尔伯特变换
正弦信号的希尔伯特变换是一个用于从时域转换到频域的数学工具，它可以描述一个正弦信号的频谱特性。
希尔伯特变换是一种对正弦信号进行频谱分析的方法，是傅里叶变换的改进。
希尔伯特变换的数学公式为：
H(x)=P.V.\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x(t)}{t-x} dt
其中，H(x)为希尔伯特变换后的信号，x(t)为原始正弦信号，P.V.表示柯西主值。
希尔伯特变换将时域信号转换为频域信号，可以得到信号的频谱特性，包括频率、相位和幅度等信息。
它常用于信号处理、通信系统、音频处理等领域。
希尔伯特变换的应用包括：
1. 频谱分析：通过希尔伯特变换可以分析正弦信号的频谱特性，包括频率分布、频率分量等。
2. 相位调节：希尔伯特变换可以用于相位调节，可以改变信号的相位，并产生新的信号。
3. 信号合成：通过希尔伯特变换可以合成新的信号，可以将多个正弦信号合成为一个复杂的信号。
需要注意的是，希尔伯特变换只能用于分析连续信号，对于离散信号需要先进行采样，然后使用离散希尔伯特变换进行分析。
常用的傅里叶变换+定理+各种变换的规律(推荐)
a + jω (a + jω ) 2 + ω 02
e − at sin ω 0tu (t ), Re{a} > 0
te − at u (t ), Re{a} > 0 t k −1e − at u (t ), Re{a} > 0 (k − 1)!
ω0 (a + jω ) 2 + ω 02
1 ( a + jω ) 2 1 ( a + jω ) k 1 ,τ > 0 (τ − jt ) 2 2πωe −τω u (ω )
重 要
名称
连续傅里叶变换对 傅里叶变换 F (ω ) 连续时间函数 f (t )
W
√
⎧ ⎪ 1, t < τ f (t ) = ⎨ ⎪ ⎩0, t > τ ⎧ ⎪1 − t τ , t < τ f (t ) = ⎨ 0, t > τ ⎪ ⎩
τSa (
ωτ
2
)
π
Sa (Wt )
⎧ ⎪ 1, ω < W F (ω ) = ⎨ ⎪ ⎩0, ω > W ⎧ ⎪1 − ω W , ω < W F (ω ) = ⎨ 0, ω > W ⎪ ⎩
㵍㬒⫇䊻㰖⳦巛㠞䄧㬒⭥䊬㰄Ⳟⳉ
㠞䄧巛㰖⳦㉚㬨ⰵ䓵⢅㑠 [ 巛 P 㡑䔘䇤᱄ 㪉
[ f ( x)] F (P ) 䋓
x0 ½ a ® f [ ( x r )]¾ a ¿ ¯ b
ax r x0 [f( )] b
x0 b b exp(r j 2S P ) F ( P ) a a a
= sinc( u)
−1 / 2
∫ exp(− j 2πux )dx
a x ≤ 2 其它
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在数学与信号处理的领域中，一个实数值函数的希尔伯特转换(Hilbert transform)——在此标示为——是将信号与做卷积，以得到。
因此，希尔伯特转换结果可以被解读为输入是的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出，而此一系统的脉冲响应为。
这是一项有用的数学，用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope)，出现在通讯理论（应用方面的详述请见下文。
）希尔伯特转换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。
希尔伯特转换定义如下：其中并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在以及等处的奇点。
另外要指出的是：若，则可被定义，且属于；其中。
频率响应希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出：,其中∙是傅立叶变换，∙i (有时写作j )是虚数单位，∙是角频率，以及∙即为符号函数。
既然：,希尔伯特转换会将负频率成分偏移+90°，而正频率成分偏移−90°。
反（逆）希尔伯特转换我们也注意到：。
因此将上面方程式乘上，可得到：从中，可以看出反（逆）希尔伯特转换傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。
因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。
例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。
∙傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。
∙傅里叶变换属于谐波分析。
∙傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。
∙正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。
在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。
∙卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段。
∙离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的实现（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT））。
线性性质两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。
数学描述是：若函数和的傅里叶变换和都存在，和为任意常系数，则；傅里叶变换算符可经归一化成为幺正算符。
平移性质若函数存在傅里叶变换，则对任意实数，函数也存在傅里叶变换，且有。
式中花体是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e为自然对数的底，i为虚数单位。
微分关系若函数当时的极限为0，而其导函数的傅里叶变换存在，则有，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子。
更一般地，若，且存在，则，即k阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子。
卷积特性若函数及都在上绝对可积，则卷积函数（或者）的傅里叶变换存在，且。
卷积性质的逆形式为，即两个函数卷积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的乘积乘以。
帕塞瓦尔定理若函数可积且平方可积，则。
其中F(ω)是f(x)的傅里叶变换。
更一般化而言，若函数和皆平方可积，则。
其中F(ω)和G(ω)分别是f(x)和g(x)的傅里叶变换, *代表复共轭。
连续傅里叶变换一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”(连续函数的傅里叶变换)。
连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。
这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。
连续傅里叶变换的逆变换(inverse Fourier transform)为即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。
一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。
除此之外，还有其它型式的变换对，以下两种型式亦常被使用。
在通讯或是讯号处理方面，常以来代换，而形成新的变换对:或者是因系数重分配而得到新的变换对：一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。
当f（t）为偶函数（或奇函数）时，其正弦（或余弦）分量将消亡，而可以称这时的变换为余弦转换（cosine transform）或正弦转换（sine transform）.另一个值得注意的性质是，当f（t）为纯实函数时，F(−ω) = F*(ω)成立.傅里叶级数连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数(Fourier series)的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。
对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：其中为复振幅。
对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：其中a n和b n是实频率分量的振幅。
傅里叶分析最初是研究周期性现象，即傅里叶级数的，后来通过傅里叶变换将其推广到了非周期性现象。
理解这种推广过程的一种方式是将非周期性现象视为周期性现象的一个特例，即其周期为无限长。
离散时间傅里叶变换离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。
DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。
DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆转换。
离散傅里叶变换为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数x n 定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。
这种情况下，使用离散傅里叶变换，将函数x n表示为下面的求和形式：其中是傅里叶振幅。
直接使用这个公式计算的计算复杂度为，而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为。
计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。
在阿贝尔群上的统一描述以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。
这一问题属于调和分析的范畴。
在调和分析中，一个变换从一个群变换到它的对偶群（dual group）。
此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。
傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里亚金对偶性（Pontryagin duality）中的介绍。
时频分析变换小波变换，chirplet转换和分数傅里叶变换试图得到时间信号的频率信息。
同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。
傅里叶变换家族下表列出了傅里叶变换家族的成员。
容易发现，函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性.变换时间频率连续傅里叶变换连续，非周期性连续，非周期性傅里叶级数连续，周期性离散，非周期性离散时间傅里叶变换离散，非周期性连续，周期性离散傅里叶变换离散，周期性离散，周期性常用傅里叶变换表下表列出常用的傅里叶变换对。
和分别代表函数和的傅里叶变换.和可以使可积函数或衰减的分布。
函数关系时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释1 线性2 时域平移3频域平移，变换2的频域对应4如果值较大，则会收缩到原点附近，而会扩散并变得扁平.当趋向无穷时，成为狄拉克δ函数。
5傅里叶变换的二元性性质。
通过交换时域变量和频域变量得到.6傅里叶变换的微分性质7变换6的频域对应8表示和的卷积—这就是卷积定理9 变换8的频域对应。
平方可积函数时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释1矩形脉冲和归一化的sinc函数11变换10的频域对应。
矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。
12tri是三角形函数13变换12的频域对应14高斯函数的傅里叶变换是他本身.只有当时，这是可积的。
15光学领域应用较多161718a>019变换本身就是一个公式2J0(t)是0阶第一类贝塞尔函数。
21上一个变换的推广形式; T n (t)是第一类切比雪夫多项式。
22U n (t)是第二类切比雪夫多项式。
分布时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释23代表狄拉克δ函数分布.这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换24变换23的频域对应25由变换3和24得到.26由变换1和25得到，应用了欧拉公式:27由变换1和25得到28这里, 是一个自然数. 是狄拉克δ函数分布的阶微分。
这个变换是根据变换7和24得到的。
将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。
29此处为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的.3变换29的推广.31变换29的频域对应.32此处是单位阶跃函数;此变换根据变换1和31得到.33是单位阶跃函数，且.34狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.二元函数时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释两个函数都是高斯函数，而且可能都没有单位体积.此圆有单位半径，如果把circ(t)认作阶梯函数u(1-t); Airy分布用J1 (1阶第一类贝塞尔函数)表达; f r是频率矢量的量值{f x,f y}. 三元函数时域信号角频率表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释此球有单位半径；f r是频率矢量的量值{f x,f y,f z}.。