第十六讲 希尔伯特变换和解析过程分析
(完整版)Hilbert希尔伯特环变换
黄锷院士在《On Holo-Hilbert spectral analysis: a full informational spectral representation for nonlinear and non-stationary dat》a 中提出一种高维全息谱分析理论HHSA(Holo-Hilbert spectral analysis) 要理解HHSA 方法，首先要了解希尔伯特变换、经验模态分解(EMD) 、与希尔伯特-黄变换(HHT) 。
学术背景：在信号处理与频谱分析的目的是要描述信号的频谱含量在时间上变化，以便能在时间和频谱上同时表示信号的能量或者强度。
傅里叶频谱并没有告诉我们哪些频率在什么时候出现。
因此傅里叶变换无法表现信号频率成分的时变性，因此学术界先后发展出了短时傅里叶变换、窗口傅里叶变换、小波等手段，近似的求信号某一时刻的瞬时频率。
希尔伯特变换：希尔伯特变换是以著名数学家大卫•希尔伯特(David Hilbert)来命名。
通过希尔伯特变换，使得我们对短信号和复杂信号的瞬时参数的定义及计算成为可能，能够实现真正意义上的瞬时频率的提取，因而希尔伯特变换在信号处理上具有十分重要的地位，使得希尔伯特变换具有广泛的工程应用。
但在进一步的工程应用中，希尔伯特变换具有以下缺陷：(1) 希尔伯特变换只能近似应用于窄带信号。
但实际应用中，存在许多非窄带信号，希尔伯特变换对这些信号无能为力。
即便是窄带信号，如果不能完全满足希尔伯特变换条件，也会使结果发生错误。
而实际信号中由于噪声的存在，会使很多原来满足 希尔伯特变换条件的信号无法完全满足；(2) 对于任意给定时刻，通过希尔伯特变换运算后的结果只能在 一个频率值，即只能处理任何时刻为单一频率的信号；(3) 对于一个非平稳的数据序列，希尔伯特变换得到的结果很大 程度上失去了原有的物理意义。
图1傅立叶、小波与希尔伯特-黄变换对瞬时频率的分辨率 希尔伯特-黄变换：针对上述的三个问题，黄铐院士在 1998年提出希尔伯特-黄变换 (HHT)。
希尔伯特变换的定义和性质
1 希尔伯特变换的定义 1) 卷积积分设实值函数)(t f ,其中),(+∞-∞∈t ，它的希尔伯特变换为ττπτd t f t f ⎰+∞∞-∧-=)()()(， (1) 常记为)]([)(t f H t f =∧(2)由于)(t f ∧是函数)(t f 与πt 1的卷积积分，故可写成 )(t f ∧=)(t f *πt 1(3)2) 2π相位设])([)(∧∧=t f F f F ，根据(3)式和傅里叶变换性质可知，)(f F ∧是)(t f ∧的傅里叶变换)(f F 和πt 1的傅里叶变换的乘积。
由⎩⎨⎧<>-=-=.0,,0,)sgn(]1[f j f j f j t F π (4)得).()]sgn([)(f F f j f F -=∧)sgn(f j -可表达为⎪⎩⎪⎨⎧<>=-=--.0,0,)sgn()(22f f f j f B e e jj ππ或者ef jf B )sgn(2)(π-=所以)(f B 是一个2π相移系统，即希尔伯特变换等效于2π±的相移，对正频率产生2π-的相移，对负频率产生2π相移，或者说，在时域信号中每一频率成分移位41波长。
因此，希尔伯特变换又称为90度移相器。
3) 解析信号的虚部为进一步理解希尔伯特变换的意义，引入解析函数)(t Z :∧+=)()()(t f j t f t Z (5)也可以写成)()()(t j e t A t Z φ-= (6)其中，)(t A 称为希尔伯特变换的包络；)(t φ称为瞬时响应信号。
希尔伯特变换包络)(t A 定义为)()()(22t f t f t A ∧+=(7)相位定义为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=∧)()(arctan )(t f t f t φ (8)瞬时频率定义为dtf d f )(210φπ=(9)根据傅里叶变换式)]([)(1f Z F t Z -=)()(t f j t f ∧+=⎩⎨⎧==∧)](Im[)()](Re[)(t Z t f t Z t f (10) 为计算)(f Z ，由).()]sgn([)(f F f j f F -=∧知)()]sgn(1[)(f F f f Z +=)()(1f F f B = (11)其中⎩⎨⎧<>=0,00,2)(1f f f B因此，可以简单地从)(f F 得到)(t Z ，而)(t Z 的虚部即)(t f ∧。
常见函数的希尔伯特变换
常见函数的希尔伯特变换希尔伯特变换（Hilbert Transform）是一种非常常见的空间变换，经常被用来处理数字信号、图像、数据驱动系统，以及许多其他应用领域。
它是一种大小取决于源信号数据的差分运算，用以将空间信号转换为时间信号，最终产生特殊的效果。
希尔伯特变换的目的是创建一个具有更深层次理解和更广阔视野的空间信号。
它也可以在某些情况下用于提取信息，如图像特征，以及在有模式的环境中区分信号的不同组件（如语音识别的分离）等。
当输入信号被变换成希尔伯特变换时，产生的特殊效果导致从源数据中获得地面实况图像，分离不同频谱（低频段、高频段），并根据用户请求提供图像锐化，掩膜等功能。
希尔伯特变换也可以用于数字信号处理，如滤波、分析和压缩。
它将输入信号转换为另一种更高维度的信号，以便充分利用周围空间的所有信息，并充分提取信息。
例如，其中一种可行的方法是采用Hilbert变换将音频信号转换为功率频谱或有效功率，从而使得信号分析和滤波计算变得更加容易。
在数据驱动系统中，希尔伯特变换可用于动态数据分析，即空间变换-时间变换-空间变换这一过程，其中最后的空间变换把所有时间空间的失真，噪声，脉冲和抖动都转换为频率信号，从而有效地消除它们，最终得到用于分析或模拟系统支持的输出。
另外，希尔伯特变换还可以用于支持压缩，拍摄电影或视频时，将空间图像变换成更小的图像，然后恢复出原图像，即可以利用它以获取更多信息，从而以更小的带宽压缩视频数据。
总而言之，希尔伯特变换在处理多种数据驱动系统的时候都会派上用场，因为它的转换和处理方式都不一样，且可以有效有效地消除噪声、抖动和失真。
而且，它还可以用于许多其他不同的应用领域，以便提取出一些独特和新颖的信息以及提升图像和视频的品质。
希尔伯特黄变换和经验模态分解
希尔伯特黄变换和经验模态分解下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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希尔伯特 相位解调
希尔伯特相位解调一、希尔伯特变换及其意义希尔伯特变换是一种数学工具，用于将一个实数函数转换为解析信号，即同时具有幅度和相位信息的复数信号。
在信号处理中，希尔伯特变换具有重要的意义，因为它能够提供原始信号的完全解析表示，使得信号的相位信息和幅度信息得以分离。
这种解析表示形式使得信号处理算法更加灵活和高效，因此在通信、雷达、声呐、振动分析等领域有着广泛的应用。
二、希尔伯特相位解调方法希尔伯特相位解调是一种基于希尔伯特变换的信号处理方法。
其基本原理是将一个调相信号（相位调制信号）通过希尔伯特变换转换为解析信号，从而方便地提取出原始相位信息。
具体步骤如下：1.对接收到的调相信号进行希尔伯特变换，得到解析信号。
2.从解析信号中提取相位信息，即得到原始的相位调制信号的相位。
3.根据需要，可以对相位信息进行进一步的处理，如解调、滤波等。
希尔伯特相位解调方法的主要优势在于其简单、有效的特性，同时能够实现相位信息的精确提取。
在许多应用场景中，希尔伯特相位解调是一种非常重要的信号处理手段。
三、希尔伯特相位解调的应用领域希尔伯特相位解调方法在许多领域都有着广泛的应用，以下是其中一些主要的领域：1.通信系统：在通信系统中，相位调制是一种常见的调制方式。
通过希尔伯特相位解调，可以实现对接收信号的相位提取和解调，从而恢复出原始的信息。
2.雷达和声呐：在雷达和声呐领域，目标回波通常包含丰富的相位信息。
通过希尔伯特相位解调，可以实现对这些相位信息的提取和分析，进而实现对目标距离、速度等参数的测量。
3.振动分析：在机械振动分析中，振动信号通常包含丰富的相位信息。
通过希尔伯特相位解调，可以实现对这些相位信息的提取和分析，进而实现对机械状态的监测和故障诊断。
4.光学成像：在光学成像领域，光的干涉和衍射现象产生的相位信息对于图像质量有着重要的影响。
通过希尔伯特相位解调，可以实现对这些相位信息的提取和控制，进而提高成像质量。
5.生物医学工程：在生物医学工程领域，生理信号如心电、脑电等通常包含丰富的相位信息。
第十六讲希尔伯特变换和过程介绍
信号的Hilbert变换原理
4）调制信号（s(t)+n(t)）进行频谱分析
figure(3) xt=st+n_1; subplot(2,1,1); plot(t,xt); title('调制信号x(t)=s(t)+n(t)（初始信号+噪声）'); xlabel('t/s'); ylabel('幅度/v');grid on;
fc=4000;%载波频率
Lt=length(t);%时间序列长度 L=2*min(at); R=2*max(abs(at));
（2）产生高斯白噪声n（t）并进行频谱分析
nt = wgn(1,length(t),0.1); %wgn(m,n,p)产生一个m行n列强度为p的高斯白噪声的矩阵 n_1=nt/max(abs(nt)); %噪声 figure(1); subplot(2,1,1); plot(t,n_1); title('高斯白噪声n(t)信号'); xlabel('t/s'); ylabel('幅度/v');grid on; n=0:M-1; %t=n/fs; %时间序列 y0=fft(n_1,M); mag0=(abs(y0)); f=n*fs/(1000*M); subplot(2,1,2); plot(f,mag0); title('高斯白噪声频谱分析'); xlabel('f/KHz'); ylabel('幅度/v'); axis([0 10 0 20]);grid on;
信号的Hilbert变换原 理
组长：范荣贵
副组长：杨智东 组员：韦鹏、高世杰
一、Hilbert变换简介
第十六讲 希尔伯特变换和解析过程
ˆ 输出为 x(t ) = x(t ) * hH −1 (t ) = x(t ) * hH (t ) * hH −1 (t )
信息科学与工程学院
5
希尔伯特变换
正交滤波器
x(t ) 的希尔伯特变换看成是：将 x(t ) 通过一个具有 冲击响应为 h(t ) = 1/ π t 的线性(时不变系统)滤波器。 ⎧ π ⎪− 2 ω ≥ 0 ⎧− j ω ≥ 0 ⎪ H (ω ) = ⎨ | H (ω ) |= 1 ϕ (ω ) = ⎨ ⎩+ j ω < 0 ⎪+ π ω < 0
H [a (t ) cos ω0t ] = a (t ) sin ω0t H [a (t ) sin ω0t ] = a (t ) cos ω0t
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信息科学与工程学院
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证
设 s (t ) = a (t ) cos ω0t 其频谱为：
⎧1 ⎪ 2 [ A(ω − ω0 ) ω ≥ 0 1 S (ω ) = [ A(ω − ω0 ) + A(ω + ω0 )] = ⎨ 1 2 ⎪ A(ω + ω0 ) ω < 0 ⎩2
RXX (0) = − RXX (0) ˆ ˆ
RXX (0) = 0 ˆ
ˆ 表明在同一个时刻t，随机变量 X t 和 X t 正交，即
ˆ E[ X t X t ] = 0 ˆ 注意，上式并不意味着 X t 和 X t 两个随机过程正交。
2012-05-15
信息科学与工程学院
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ˆ （8） RX (τ ) = 2[ RX (τ ) + jRXX (τ )] = 2[ RX (τ ) + jRX (τ )] ˆ
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x(t )
h(t )
1 t
x(t )
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希尔伯特变换的冲击响应及传递函数
j 0 1 hH (t ) H H ( j ) j sgn() t j 0
证明：由对称性性质可知，若 f (t ) F ( j ) ，则
2 sgn( t ) 因为 ，所以 j 2 2 sgn( ) 2 sgn( ) jt
希尔伯特变换
ˆ (t ) x
希尔伯特
设有一个实值函数 x(t ) ，其希尔伯特 ˆ (t ) （或记作 H [ x(t )] ） 变换记作 x
x( ) ˆ (t ) H x(t ) x d t 1
反变换为
x(t ) H
1
ˆ ( ) x ˆ (t ) d x t 1
经傅里叶反变换，得 R ˆ ( ) RX ( ) X
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ˆ （3） RXX ˆ ( ) RX ( )
ˆ RXX ˆ ( ) RX ( )
ˆ (t ) 将X
X ( ) ˆ (t ) X (t )] d 代入 R ( ) E [ X ˆ XX t 1 X ( ) RXX d X (t ) ˆ ( ) E t 令 t 1 X (t ) X (t ) RXX d ˆ ( ) E 1 1 E X (t ) X (t ) d 1 RX ( ) ˆ ( ) d R X 1
反变换 hH1 (t )
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t
H H1 ( j ) j sgn( )
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可见，若x(t)若为t的偶函数，则 x(t )为t的奇函数。
同理，可见，若 x(t)若为t的奇函数，则 x(t ) 为t的偶函数。 2018/10/30 10
主要内容
3.1 线性系统基本理论
3.2 随机信号通过连续时间系统的分析 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析 3.4 白噪声通过线性系统和等效噪声带宽 3.5 希尔伯特变换和解析过程 3.6 窄带随机过程表示方法
3.7 窄带随机过程包络和相位的特性
3.8 正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性
1
0 0
正交滤波器的传输函数
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希尔伯特逆变换
x(t ) H
hH1 (t )
1
ˆ (t ) x
1
ˆ (t ) x
d
1
t
ˆ (t ) *x
1 为希尔伯特逆变换的单位冲击响应。 t
ˆ(t ) x(t )* hH (t ) 证明： 若输入信号为 x
X (t ) 为实随机过程 X (t ) 的复解析过程，简称解析过程。
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解析过程的性质
ˆ (t )也是实随 （1）若X (t ) 为实平稳随机过程，则 X 机平稳过程，且联合平稳。
因为希尔伯特变换是线性变换，线性系统 输入为平稳过程，输出也为平稳过程，且联合 平稳。源自2018/10/30
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希尔伯特变换的性质
ˆ (t )的希尔伯特变换为 X (t ) 。 1. X
ˆ (t )] H[ X
1
ˆ ( ) X d X (t ) t
连续两次希尔伯特变换相当于连续两次90度相 移，正好180度相反。
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F ( jt ) 2f ( )
整理得：
1 hH (t ) H H ( j ) j sgn( ) t
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j 0 H ( ) j 0
2 | H ( ) | 1 ( ) 2
通过一个滤波器 hH 1 (t )
输出为 x(t ) x ˆ(t )* hH1 (t ) x(t )* hH (t )* hH1 (t )
显然有 H H ( j) H H1 ( j) 1 1 1 所以 H H1 ( j ) j sgn( ) H H ( j ) j sgn( )
3
希尔伯特变换 ←→ 正交滤波器
x( ) x( ) 1 ˆ (t ) d d x(t )* 由 x t (t ) t
1
可知，
x(t ) 的希尔伯特变换看成是：将 x(t ) 通过一个具有冲 击响应为 h(t ) 1/ t 的线性滤波器（时不变系统） 。
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2 解析过程及其性质
ˆ (t ) 是X (t ) 的希尔伯特变换, 即 定义任一实随机过程 X (t ) ， X
1 ˆ X (t ) H [ X (t )]
X ( ) d t
复随机过程定义为
ˆ (t ) X (t ) X (t ) jX
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2
t
1 x(t ) 1 x(t )
ˆ (t ) x
ˆ (t ) ˆ (t ) 1 x 1 x x(t ) d d
d
d
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（2）实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同
RX SX ˆ ( ) RX ( ), ˆ ( ) S X ( )
ˆ (t ) X (t )* h(t ) X
SX ˆ ( ) S X ( ) H ( j ) S X ( )
2
( H ( j ) 1)
2