第十六讲希尔伯特变换和过程介绍
希尔伯特变换
§5.6 希尔伯特(Hilbert )变换•希尔伯特变换的引入 • 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换一．由傅里叶变换到希尔伯特变换正负号函数的傅里叶变换 根据对称性得到那么假设系统函数为那么冲激响应系统框图:系统的零状态响应利用卷积定理具有系统函数为 － 的网络是一个使相位滞后 弧度的宽带相移全通网络同理可得到: 假设系统冲激响应为()[]ωj t F 2sgn =()jt 221sgn ⋅↔-πω()ωπ-↔sgn 1j t ()为奇函数ωsgn ()ωπsgn 1j t -↔()⎩⎨⎧<>--=-=090 0 90sgn )(00ωωωωj j j j H ()()[]t j H F t h πω11==-()()ωF t f ˆˆ ()()ωF t f ()ωsgn j -()()()()t t f t h t f t f π1ˆ*=*=()[]()()()[]()()⎩⎨⎧<>-=-⋅== 0 0 sgn ˆˆωωωωωωωjF jF j F F t f F ()t t h π1-=2π()ωsgn j其网络的系统函数为该系统框图为输出信号利用卷积定理具有系统函数为 的网络是一个使相位滞后 弧度的宽带相移全通网络 希尔伯波特变换二． 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换可实现系统是因果系统，其冲激响应()[]()⎩⎨⎧<->===090 0 90 sgn )(00ωωωωj j j t h FH ()()ωt f ()(ωF t f ˆˆ ()ωsgn j ()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-*=*=t t f t h t f t f π1ˆˆ()()()()()⎩⎨⎧<->=⋅= 0 0 sgn ˆωωωωωωωjF jF j FF 2π()ωsgn j ()[]()()τττπd 1ˆ⎰∞∞--==t f t f tf H ()()t t f t f π1ˆ*=()[]()()τττπd 1ˆ1⎰∞∞----==t f t f tf H ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-*=t t f t f π1ˆ即:其傅里叶变换又那么根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得因果系统系统函数 的实部与虚部满足希尔伯特变换约束关系三．常用希尔伯特变换对作为一种数学工具在通信系统中得到了广泛的应用()()()t u t h t h ⋅=()00<=t t h()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+*=ωωπδωπωj j H j H 121()()())()(ωωωωωϕj jX j R e j H j H j +==()ωωj jX j R +)(()()[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+*+=ωωπδωωπj j jX j R 121()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡*+=ωωωππ121j X j R ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡*-+ωωωππ12j R j X j ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+∴⎰∞∞-λλωλπωωωd 2121j X j R j jX j R ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎰∞∞-λλωλπωd 212j R j X j ()λλωλπωd 1)(⎰∞∞--=j X j R ()()λλωλπωd 1⎰∞∞---=j R j X )(ωj H例5-6-1用三种方法求解此题：方法1 :方法2：那么希尔伯特变换的频谱函数为即：方法3：直接用希尔伯特变换定义式例5-6-2因为即系统函数式中实部虚部[]的实部与虚部满足希尔，证明)()()(thFtueth tα-=().ˆtft的希尔伯特变换ω()()弧度，即滞后比希尔伯特变换2ˆπtftf()()[]tttfHtfsin4cosˆωπω=⎪⎭⎫⎝⎛-==()[]()()cosωωπδωωπδωω-++==tFF因()()()[]()()()sgnˆωωπδωωπδωωω--++=-⋅=jjjFF()()()[]()ttfjFsinˆˆωωωδωωδπω=↔--+=[]tttHsindcos1cosωτττωπω=-=⎰∞∞-()[][]ωααjtueFthF t+==-1)(()()()ωωωαωωααωjjXjRjjH+=+-+=2222()22ωααω+=jR()22ωαωω+-=jX现在求 的希尔伯特变换可求出各分式系数那么()ωj X ()[]()λλωλπωd 1⎰∞∞--=j X j X H ()()λλωαλλπd 122⎰∞∞-=+-=()()λωαλαλλωαλλ-+++-==+-C j B j A 22令22,21,21αωωαωαω+=+-=--=C j B j A ()[]()()()()()()λωλαωωαλαωαλαωπωd 2121122⎰∞∞-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++++-+---=j j j j j X H ()[]()()()()()()λωλαωωαλαωαλαωπωd 2121122⎰∞∞-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++++-+---=j j j j j X H ()λωλωαλωλααωπd 122222⎰∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+=()λωλωαλωλαλααωπd 12222222⎰∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++=()()()∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+=ωλωαλαωαλααωπln ln arctg 12222()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=0022122ππααωπ22αωα+=()ωR =例5-6-3试分析下面系统可以产生单边带信号信号 是带限信号，其频谱函数为图中系统函数 载频由调制定理可知 为带通信号其频谱函数 是的希尔伯特变换信号其频谱那么其频谱函数即输出信号其频谱为()t y 2m m()t g ()ωG ()()ωωsgn j j H -=m ωω>>0()()t t g t y 01cos ω=()[]()()()00112121ωωωωω-++==G G Y t y F ()t g ˆ()t g ()[]()()()ωωωsgn ˆˆj jG G t g F -==()()()t t g t y 02sin ˆω-⋅=()[]()()()()[]0022ˆ21ωωδωωδπωπω+--*==j G Y t y F ()()()()[]0000sgn sgn 2ωωωωωωωω+++---=jG jG j ()()()()()00002sgn 21sgn 21ωωωωωωωωω++---=G G Y ()()()t y t y t y 21+=()()()ωωω21Y Y Y +=频谱图如下所示是带通信号〔上边带调幅信号〕的频谱 00m 0m 000m 0m 0()ωY。
希尔伯特变换的定义和性质
1 希尔伯特变换的定义 1) 卷积积分设实值函数)(t f ,其中),(+∞-∞∈t ，它的希尔伯特变换为ττπτd t f t f ⎰+∞∞-∧-=)()()(， (1) 常记为)]([)(t f H t f =∧(2)由于)(t f ∧是函数)(t f 与πt 1的卷积积分，故可写成 )(t f ∧=)(t f *πt 1(3)2) 2π相位设])([)(∧∧=t f F f F ，根据(3)式和傅里叶变换性质可知，)(f F ∧是)(t f ∧的傅里叶变换)(f F 和πt 1的傅里叶变换的乘积。
由⎩⎨⎧<>-=-=.0,,0,)sgn(]1[f j f j f j t F π (4)得).()]sgn([)(f F f j f F -=∧)sgn(f j -可表达为⎪⎩⎪⎨⎧<>=-=--.0,0,)sgn()(22f f f j f B e e jj ππ或者ef jf B )sgn(2)(π-=所以)(f B 是一个2π相移系统，即希尔伯特变换等效于2π±的相移，对正频率产生2π-的相移，对负频率产生2π相移，或者说，在时域信号中每一频率成分移位41波长。
因此，希尔伯特变换又称为90度移相器。
3) 解析信号的虚部为进一步理解希尔伯特变换的意义，引入解析函数)(t Z :∧+=)()()(t f j t f t Z (5)也可以写成)()()(t j e t A t Z φ-= (6)其中，)(t A 称为希尔伯特变换的包络；)(t φ称为瞬时响应信号。
希尔伯特变换包络)(t A 定义为)()()(22t f t f t A ∧+=(7)相位定义为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=∧)()(arctan )(t f t f t φ (8)瞬时频率定义为dtf d f )(210φπ=(9)根据傅里叶变换式)]([)(1f Z F t Z -=)()(t f j t f ∧+=⎩⎨⎧==∧)](Im[)()](Re[)(t Z t f t Z t f (10) 为计算)(f Z ，由).()]sgn([)(f F f j f F -=∧知)()]sgn(1[)(f F f f Z +=)()(1f F f B = (11)其中⎩⎨⎧<>=0,00,2)(1f f f B因此，可以简单地从)(f F 得到)(t Z ，而)(t Z 的虚部即)(t f ∧。
常见函数的希尔伯特变换
常见函数的希尔伯特变换希尔伯特变换（Hilbert Transform）是一种非常常见的空间变换，经常被用来处理数字信号、图像、数据驱动系统，以及许多其他应用领域。
它是一种大小取决于源信号数据的差分运算，用以将空间信号转换为时间信号，最终产生特殊的效果。
希尔伯特变换的目的是创建一个具有更深层次理解和更广阔视野的空间信号。
它也可以在某些情况下用于提取信息，如图像特征，以及在有模式的环境中区分信号的不同组件（如语音识别的分离）等。
当输入信号被变换成希尔伯特变换时，产生的特殊效果导致从源数据中获得地面实况图像，分离不同频谱（低频段、高频段），并根据用户请求提供图像锐化，掩膜等功能。
希尔伯特变换也可以用于数字信号处理，如滤波、分析和压缩。
它将输入信号转换为另一种更高维度的信号，以便充分利用周围空间的所有信息，并充分提取信息。
例如，其中一种可行的方法是采用Hilbert变换将音频信号转换为功率频谱或有效功率，从而使得信号分析和滤波计算变得更加容易。
在数据驱动系统中，希尔伯特变换可用于动态数据分析，即空间变换-时间变换-空间变换这一过程，其中最后的空间变换把所有时间空间的失真，噪声，脉冲和抖动都转换为频率信号，从而有效地消除它们，最终得到用于分析或模拟系统支持的输出。
另外，希尔伯特变换还可以用于支持压缩，拍摄电影或视频时，将空间图像变换成更小的图像，然后恢复出原图像，即可以利用它以获取更多信息，从而以更小的带宽压缩视频数据。
总而言之，希尔伯特变换在处理多种数据驱动系统的时候都会派上用场，因为它的转换和处理方式都不一样，且可以有效有效地消除噪声、抖动和失真。
而且，它还可以用于许多其他不同的应用领域，以便提取出一些独特和新颖的信息以及提升图像和视频的品质。
希尔伯特变换原理及应用
希尔伯特变换原理及应用一、引言希尔伯特变换是一种经典的数学工具，具有广泛的应用领域。
本文将深入介绍希尔伯特变换的原理及其在不同领域的应用。
二、希尔伯特变换原理希尔伯特变换是一种线性积分变换，它是将一个实函数转换为另一个复函数的过程。
希尔伯特变换的主要思想是通过引入一种称为“解析信号”的复函数，来描述原始信号的相位和幅度信息。
希尔伯特变换可表示为：H(f)(t)=1π⋅P.V.∫f(x)t−x∞−∞dx其中，H(f)(t)表示函数f(t)的希尔伯特变换，P.V.表示柯西主值，∫表示积分。
三、希尔伯特变换的应用希尔伯特变换在信号处理、图像处理、通信等领域有着重要的应用。
下面将具体介绍希尔伯特变换在不同领域的应用。
3.1 信号处理在信号处理中，希尔伯特变换常用于提取原始信号的包络信息。
通过对原始信号进行希尔伯特变换，可以得到解析信号，然后从解析信号中提取包络。
这在音频处理、振动分析等领域有着重要的应用。
3.2 图像处理希尔伯特变换在图像处理中也有广泛的应用。
通过对图像进行希尔伯特变换，可以提取图像的边缘信息，并用于图像分割、目标识别等任务。
希尔伯特变换在图像处理中的具体应用包括图像增强、边缘检测等。
3.3 通信在通信领域，希尔伯特变换常被用于信号调制和解调中。
通过对信号进行希尔伯特变换，可以得到解调信号的相位信息，从而实现信号的解调。
希尔伯特变换在调频调相通信系统中具有重要的作用。
四、希尔伯特变换的优缺点希尔伯特变换作为一种强大的数学工具，有着许多优点，但也存在一些缺点。
4.1 优点•希尔伯特变换能够提取出信号的相位和幅度信息，对于研究信号的时频特性非常有用。
•希尔伯特变换具有线性性质，可以方便地与其他信号处理算法结合使用。
•希尔伯特变换可以应用于各种类型的信号，具有较广泛的适用性。
4.2 缺点•希尔伯特变换对噪声比较敏感，当信号中存在较强的噪声时，变换结果可能会受到严重干扰。
•希尔伯特变换计算量较大，对于大规模信号处理任务，可能需要较长的计算时间。
信号的Hilbert变换原理
4）调制信号（s(t)+n(t)）进行频谱分析
figure(3) xt=st+n_1; subplot(2,1,1); plot(t,xt); title('调制信号x(t)=s(t)+n(t)（初始信号+噪声）'); xlabel('t/s'); ylabel('幅度/v');grid on;
fc=4000;%载波频率
Lt=length(t);%时间序列长度 L=2*min(at); R=2*max(abs(at));
（2）产生高斯白噪声n（t）并进行频谱分析
nt = wgn(1,length(t),0.1); %wgn(m,n,p)产生一个m行n列强度为p的高斯白噪声的矩阵 n_1=nt/max(abs(nt)); %噪声 figure(1); subplot(2,1,1); plot(t,n_1); title('高斯白噪声n(t)信号'); xlabel('t/s'); ylabel('幅度/v');grid on; n=0:M-1; %t=n/fs; %时间序列 y0=fft(n_1,M); mag0=(abs(y0)); f=n*fs/(1000*M); subplot(2,1,2); plot(f,mag0); title('高斯白噪声频谱分析'); xlabel('f/KHz'); ylabel('幅度/v'); axis([0 10 0 20]);grid on;
信号的Hilbert变换原 理
组长：范荣贵
副组长：杨智东 组员：韦鹏、高世杰
一、Hilbert变换简介
希尔伯特变换
希尔伯特变换2.1 共轭Poisson 核在()S ¡中给定一个函数f ，由()(),*t u x t P f x =可将其延伸到上半平面，t P 是Poisson 核.我们同样可以表示成：()()()0220ˆˆ,iz iz u z fe d fe d πξπξξξξξ∞⋅⋅-∞=+⎰⎰.z x it =+定义()()()0220ˆ,iz iz iv z f e d fe d πξπξξξξξ∞⋅⋅-∞=-⎰⎰)则v 在2+¡中也是调和的，若f 是实的，则u 和v 均是实的。
因此, u iv + 是可分的,所以 v 是u 的调和共轭。
显然，v 也可表示为()()()22ˆsgn ,t ix v z i e fe d πξπξξξξ-⋅=-⎰¡等价于（2.1） ()(),*,t u x t Q f x =（2.2） ()()2ˆsgn ,t t Q i e πξξξ-=- 引用傅里叶变换，有（2.3） ()221,t xQ x t x π=+ 容易验证 ()(),t Q x t Q x =在上半平面以及其共轭Poisson 核 ()t P x .更精确地说,()()221,t t t ix iP x iQ x t x zππ++==+在Im 0z >中是可分的。
2.2 1/x 的柯西主值我们定义回火分布称为1/x 的主值,记为 ..1/p v x ，()()01..lim,.x x p v dx S x x εεφφφ→>=∈⎰这种表达即定义了一种回火分布,()()()()1101..;x x x x p v dx dx xx xφφφφ<>-=+⎰⎰由1/x 在1x ε<<上可积且为0.得出()()'1...p v C x xφφφ∞∞≤+命题2.1 在'S 中，011lim ...t t Q p v xπ→=证明：对任意的0ε>，函数(){}1x x x εεϕχ->=是有界的。
希尔伯特变换性质
R d
根据实部、虚部对应相等，可得： 1 X R( ) d ， X 1
R d
因果系统的系统函数，其实部与虚部之间满足 一定的约束关系。实部(虚部)包含全部信息。
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H.T.关系： f t f R t j f R t 实信号（或虚信号）才定义H.T。 定理：乘积调制信号的H.T. 定理：调幅信号的H.T. 定理：最小相位信号的幅度和相位的Bode关系式。 参考书：
– 《信号分析与处理》 – 《信号重构理论及应用》
X
1 1 H H 2 j
X
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1 1 R jX R 2 2
注 非 H(j)
X d
意 应 H()
X 1 j 2 2
j sgn
ˆ t f ˆ F
jF ˆ ˆ F f t F F j sgn jF
0 0
具有系统函数为 j sgn 的网络是一个使相位滞 后 弧度的宽带相移全通网络。
其傅里叶变换：
即: ht 0， t 0
假设 H ( ) H e j R jX ( ) 则： 1 1 R jX R( ) jX 2 j 1 1 j 1 R X X R 2 2
X
四．希尔伯特变换的等价系统
f t F
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ht
j sgn
ˆ t f ˆ F
第十六讲 希尔伯特变换和解析过程
ˆ 输出为 x(t ) = x(t ) * hH −1 (t ) = x(t ) * hH (t ) * hH −1 (t )
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希尔伯特变换
正交滤波器
x(t ) 的希尔伯特变换看成是：将 x(t ) 通过一个具有 冲击响应为 h(t ) = 1/ π t 的线性(时不变系统)滤波器。 ⎧ π ⎪− 2 ω ≥ 0 ⎧− j ω ≥ 0 ⎪ H (ω ) = ⎨ | H (ω ) |= 1 ϕ (ω ) = ⎨ ⎩+ j ω < 0 ⎪+ π ω < 0
H [a (t ) cos ω0t ] = a (t ) sin ω0t H [a (t ) sin ω0t ] = a (t ) cos ω0t
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证
设 s (t ) = a (t ) cos ω0t 其频谱为：
⎧1 ⎪ 2 [ A(ω − ω0 ) ω ≥ 0 1 S (ω ) = [ A(ω − ω0 ) + A(ω + ω0 )] = ⎨ 1 2 ⎪ A(ω + ω0 ) ω < 0 ⎩2
RXX (0) = − RXX (0) ˆ ˆ
RXX (0) = 0 ˆ
ˆ 表明在同一个时刻t，随机变量 X t 和 X t 正交，即
ˆ E[ X t X t ] = 0 ˆ 注意，上式并不意味着 X t 和 X t 两个随机过程正交。
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ˆ （8） RX (τ ) = 2[ RX (τ ) + jRXX (τ )] = 2[ RX (τ ) + jRX (τ )] ˆ
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