3：傅氏变换
常用的傅里叶变换+定理+各种变换的规律(推荐)
਼ᰦ F ^g x exp j 2Sf a x ` G f x f a ࠭ᮠ൘オฏѝⲴ〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴᒣ〫
㪉
[ f ( x)] F (P ) ᷍ x0 㬨⤜㸋㒄⭥㬖⧄㭞᷍䋓䇱
[ f ( x r x0 )] exp(r j 2SP x0 ) F (P ) ᷉㠞䄧㾵䐫᷊ [exp p(r j 2SP0 x) f ( x)] F (P P0 ) ᷉㼁䄧㾵䐫᷊
重 要
名称
连续傅里叶变换对 傅里叶变换 F (ω ) 连续时间函数 f (t )
= sinc ( u)
2
结论: 三角形函数的傅里叶变换是 sinc 函数的平方
9
七、符号函数的傅里叶变换
1 F [sgn( x )] = jπ u
二维 留待推算
1 1 F [sgn( x )sgn( y )] = • jπ u jπ v
八、exp[ jπx ] 函数的傅里叶变换 1 F {exp[ jπx ]} = δ ( u − ) 2
3
二、梳状函数的傅里叶变换
F [comb( x )] = comb( u)
普遍型
x F comb = a comb( au) a
结论
comb 函数的
傅里叶变换 仍是
二维情况
x y F comb comb a b = ab comb( au) comb( bv )
= sinc( u)
−1 / 2
∫ exp(− j 2πux )ห้องสมุดไป่ตู้x
a x ≤ 2 其它
rect（x）
F.T.
sinc（u）
5
普遍型
x F rect a
§1、2 傅氏变换
∫
+∞
−∞
f (t )e − j( −ω )t d t = ∫
+∞
−∞
f (t )e − jω ( −t ) d t
令τ =− t
=
∫
+∞
−∞
f (−τ )e − jωτ
⎧ +∞ f (τ )e − jωτ d τ = F (ω ), 若f (t )为偶函数； ⎪ ∫−∞ d τ = ⎨ +∞ ⎪− ∫ f (τ )e − jωτ d τ = − F (ω ), 若f (t )为奇函数． ⎩ −∞
π∫
2
+∞
0
Fc (ω ) cos ωt d ω
（c2）
称为 Fc (ω ) 的傅氏余弦逆变换式（简称为余弦逆变换） ，即
f (t ) = ℱc −1[ Fc (ω )] ．
例 1、求 f (t ) = ⎨
⎧2, 0 ≤ t ≤ 1; 的傅氏变换． 其它 ⎩0,
解： F (ω ) = ℱ [ f (t )] =
=∫ e
0
+∞
−βt
⋅e
− jωt
dt = ∫ e
0
（β + jω ) t e− 1 β − jω dt = ． = = 2 β + jω β + ω 2 − （β + jω ) 0
+∞
（2）傅氏积分公式： f (t ) = ℱ
−1
[ F (ω )] =
1 2π
∫
+∞
−∞
F (ω )e jωt d ω =
δ －函数是一个广义函数，它没有普通意义下的“函数值” ，所以，它不能用通常意义下“值的 对应关系”来定义．在广义函数论中， δ －函数定义为某基本函数空间上的线性连续泛函，但要讲
复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换
解. 由Fourier变换的定义
F (w) F [ f (t)] f (t) e-iw td t -
1 e-iw t d t e-iwt 1 2sinw
-1
-iw -1
w
再求F(w)的Fourier逆变换即得 f(t)的积分表达式,
f (t) F -1[F (w)] 1 F (w) eiwtd w
1
1/2
t
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程技术中，除了连续分布量之外， 还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、 质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处的单位脉冲.
设矩形电流脉冲：
(t
)
1
/
0
0t
其它
- (t)dt 1
(t)
1/
O
t
lim
0
(
t
)
0
t 0 t 0
引进狄拉克(Dirac)的函数,
i
-
f
( ) sin w(t
-
)d
dw
1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
由
f (t) 1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
可得
f (t) 1
p
0
-
f ( ) cosw(t
-
)
d
d
w
(1.6)
傅氏积分公式的三角形式
-
)
d
d
信号课件第三章傅里叶变换
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
傅氏变换公式
傅氏变换公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：傅氏变换公式，又称傅里叶变换公式，是数学中一种非常重要的变换公式，它在信号处理、图像处理、物理学、工程等领域都有广泛应用。
傅氏变换公式的提出，来源于法国数学家傅里叶的研究成果，其贡献被誉为“物理学之母”。
傅氏变换公式的核心思想是将一个函数表示为频域中的若干个不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而实现对信号的频域分析。
简单来说，就是将时域的函数转换为频域的函数。
通过傅氏变换，我们可以了解信号的频率成分，进而对信号进行分析和处理。
傅里叶变换的数学表达式如下：\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t} dt\]\(f(t)\)表示原始信号函数，\(F(\omega)\)表示信号在频域中的表示，\(\omega\)为频率，\(e\)为自然对数的底，\(j\)为虚数单位。
在实际应用中，傅氏变换公式经常与傅里叶逆变换公式相对应使用。
傅里叶逆变换公式可以将频域中的函数恢复到时域中，实现频域到时域的转换。
傅氏变换公式在信号处理领域有着广泛的应用。
利用傅氏变换可以将时域中的信号转换为频域中的频谱图，从而对信号的频率成分进行分析。
在音频处理和图像处理中，傅氏变换也被广泛应用。
在通信系统中，傅氏变换有助于信号的调制和解调，提高信号传输的效率。
除了傅里叶变换外，还有一种相关的变换称为离散傅里叶变换（DFT）。
离散傅里叶变换是将离散信号转换为频域中的频谱图，通常应用于数字信号处理和通信系统中。
傅里叶变换公式是一种非常重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、物理学和工程等领域都有着广泛的应用。
通过傅氏变换，我们可以实现对信号的频域分析，了解信号的频率成分和特征，为信号处理和系统设计提供有力支持。
希望通过本文的介绍，读者对傅里叶变换有一个初步的了解，并深入学习其更多的应用和理论知识。
【字数已超2000字】第二篇示例：傅氏变换公式，又称为傅立叶变换，是数学中常见的一个重要工具，用于描述一个信号在频域上的分解和重建。
第7章3傅氏变换性质
例2
1 +πδ (ω ) F[H ( t ) = ] iω 1 +πδ (ω )] i t0 ω [ F[H ( t + t0 ) = e ] iω − i t0 ω 1 [ +πδ (ω )] F[H ( t − t0 ) = e ] iω
2
象函数的位移性质的应用1 象函数的位移性质的应用1 如果 F[ f ( t ) = F (ω ) 则 F[ e iω 0 t f ( t ) ] = F (ω − ω 0 ) ]
−∞ +∞
如果 F[ f ( t )]= F (ω )
a≠0
x = at + b f ( at +F[)f =t ∫−∞ f]= e iωb )F (ω )t d t b ] ( + b ) ( at + b e − iω F[ x−b t= x ωb 1 −∞ − iω a i a < 0 b = 0 得相似性质( x ) e a e a dx 令 时 ∫+∞ f a 1 ωx ω i −( t) f ω at +∞ = (b ) F a F[ i ] 1 t ta = − e a ∫ f (|x )| e a d x −∞ a ω 1 i ωab 1 i ωb ω F( ) = − e a F( ) = e a a |a| a 6 若 a > 0 则也正确
n
−∞
t n f ( t )] = i n F ( n ) (ω ) F[
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10
122页例 （ 122页例7.9（1）. 页例7.9 Fourier变换 求函数 t ⋅ H ( t ) 的Fourier变换 1 解 因为 F[ H ( t )]= +πδ (ω ) iω 1 1 所以 F[t ⋅ H ( t ) = i [ +πδ (ω ) ]′ = − 2 + iπδ ′(ω ) ] ω iω Fourier变换 练习 求函数 t n ⋅ H ( t ) 的Fourier变换 1 (n) n n [ ] ] 解 F[t ⋅ H ( t ) = i iω +πδ (ω ) n ( −1) n ! (n) n [ = i iω n+1 +πδ (ω )]
信号与系统第3章 傅里叶变换
P
f
2 (t) 1 T1
t0 T1 t0
f
2 (t)d t
a0 2
1 2
n1
(an
2
bn 2 )
2
Fn _____ 帕塞瓦尔定理
n
结论：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开 式中基波分量及各谐波分量有效值的平方 和，即时域和频域的能量守恒。
五. 周期信f号(t)的频c0 谱 （c三n c角os函(n数1t形 式n )） n1
(1) 偶函数 f (t) f (t)
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
Fn
Fn
an 2
bn 0
傅里叶级数中不会含有正弦项， 只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数 f (t) f (t)
a0 0 , an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)d t
e j n1t
T1 n 2
画频谱图：
c0
a0
E
T1
an
2E
T1
Sa
n1
2
, n
1,2,
cn an
1）令 m
2
得
2
m
即在
2
m，m为整数处有零点。
2）
2
2
T1
T1
零点间谱线个数
3) c n值为正，相位为0，值为负，相位为π
4)谱线间隔为 1 带宽
2
T1
，第一个过零点带宽定义为信号的
1 3
s in31t
1 4
sin41t
E
1 n1
§3-5 傅里叶变换的性质
FT x ( t ) e jΩ 0 t ← ⎯→ X [ j ( Ω − Ω 0 )]
ℱ x ( t ) e jΩ 0 t
{
} = ∫ x (t ) e
−∞
∞
∞
jΩ 0 t
e − j Ω t dt =
−∞
∫
x ( t ) e − j ( Ω − Ω 0 ) t dt
19
设
X ( jΩ) = X ( jΩ) e jϕ( Ω ) = X R (Ω) + jX I (Ω)
X * ( jΩ) = X ( jΩ) e − jϕ( Ω ) = X R (Ω) − jX I (Ω)
于是
X * (− jΩ) = X (− jΩ) e − jϕ( − Ω ) = X R (−Ω) − jX I (−Ω)
jtx ( t ) e
− jΩ t
dt
dX ( j Ω ) tx ( t ) ← ⎯→ j dΩ
FT
例如： du ( t )
dt
= δ (t )
对应的傅里叶变换
jΩ 1 = j 0 ⋅ πδ ( Ω ) + =1 δ(t ) ←⎯→ jΩ[πδ(Ω) + ] jΩ jΩ
FT
再例如：
1 d [πδ ( Ω ) + ] 1 jΩ FT ′ = jπ δ ( Ω ) − 2 tu ( t ) ← ⎯→ j Ω dΩ
x(t )
1
τ −2 τ 2
τ
X ( jΩ )
t
2π τ
Ω
τ
X ( jt )
x (Ω )
2π
若x(t)是偶对称的，则
FT X ( jt ) ←⎯→ 2πx(Ω)
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选择题（每小题可能有一个或几个正确答案，将正确的题号填入（ ）内） 1．已知f （t ）的频带宽度为Δω，则f （2t -4）的频带宽度为—————（ ）（1）2Δω （2）ω∆21（3）2（Δω-4） （4）2（Δω-2）2．已知信号f （t ）的频带宽度为Δω，则f （3t -2）的频带宽度为————（ ）（1）3Δω （2）13Δω （3）13（Δω-2） （4）13（Δω-6） 3．理想不失真传输系统的传输函数H （jω）是 ————————（ ）（1）0j tKe ω- （2）0t j Keω- （3）0t j Keω-[]()()c c u u ωωωω+--（4）00j t Keω- （00,,,c t k ωω为常数）4．理想低通滤波器的传输函数)(ωj H 是——————————（ ）（1）0t j Ke ω- （2）)]()([0C C t j u u Ke ωωωωω--+- （3）)]()([0C C tj u u Keωωωωω--+- （4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+均为常数αωωαω,,,,00K t j KC 5．已知：1()F j ω=F 1[()]f t ，2()F j ω=F 2[()]f t 其中，1()F j ω的最高频率分量为12,()F j ωω的最高频率分量为2ω，若对12()()f t f t ⋅进行理想取样，则奈奎斯特取样频率s f 应为（21ωω>）————————————（ ）（1）2ω1 （2）ω1+ω2 （3）2（ω1+ω2） （4）12（ω1+ω2） 6．已知信号2()Sa(100)Sa (60)f t t t =+，则奈奎斯特取样频率f s 为——（ ）（1）π50（2）π120（3）π100（4）π607．若=)(1ωj F F =)()],([21ωj F t f 则F =-)]24([1t f —————————（ ）（1）ωω41)(21j e j F - （2）ωω41)2(21j e j F --（3）ωωj e j F --)(1 （4）ωω21)2(21j e j F --8．若对f （t ）进行理想取样，其奈奎斯特取样频率为f s ，则对)231(-t f 进行取样，其奈奎斯特取样频率为————————（ ）（1）3f s （2）s f 31 （3）3（f s -2） （4）)2(31-s f9．信号f （t ）=Sa （100t ），其最低取样频率f s 为—————————（ ）（1）π100（2）π200（3）100π （4）200π10．一非周期连续信号被理想冲激取样后，取样信号的频谱F s （j ω）是——（ ） （1）离散频谱； （2）连续频谱；（3）连续周期频谱； （4）不确定，要依赖于信号而变化 11．图示信号f （t ），其傅氏变换F )()()()]([ωωωjX R j F t f +==，实部R （ω）的表示式为———————————————————（ ）（1）3Sa （2ω） （2）)2(Sa 3ω（3）3Sa （ω） （4）2Sa （ω）t12．连续周期信号f （t ）的频谱)(ωj F 的特点是———————（ ）（1）周期、连续频谱； （2）周期、离散频谱； （3）连续、非周期频谱； （4）离散、非周期频谱。
13．欲使信号通过线性系统不产生失真，则该系统应具有——————（ ）（1）幅频特性为线性，相频特性也为线性； （2）幅频特性为线性，相频特性为常数； （3）幅频特性为常数，相频特性为线性； （4）系统的冲激响应为)()(0t t k t h -=δ。
14．一个阶跃信号通过理想低通滤波器之后，响应波形的前沿建立时间t r 与—————————————————（ ）（1）滤波器的相频特性斜率成正比； （2）滤波器的截止频率成正比； （3）滤波器的相频特性斜率成反比； （4）滤波器的截止频率成反比；（5）滤波器的相频特性斜率和截止频率均有关系。
是非题（下述结论若正确，则在括号内填入√，若错误则填入×）1．若周期信号f （t ）是奇谐函数，则其傅氏级数中不会含有直流分量。
（ ） 2．奇函数加上直流后，傅氏级数中仍含有正弦分量。
（ ） 3．周期性冲激序列的傅里叶变换也是周期性冲激函数 （ ） 4．阶跃信号通过理想低通滤波器后，响应波形的前沿建立时间t r 与滤波器的截 止频率成正比 （ ） 5．周期性的连续时间信号，其频谱是离散的、非周期的 （ ） 6．非周期的取样时间信号，其频谱是离散的、周期的 （ ） 填空题1．已知F )()]([ωj F t f =，则F =-)]33([t f F [f （2t -5）]= F [f （3-2t ）] =F [f （t ）cos200t ]= F =-]cos )([0t t f ωτ F =])([0t j e t f ωF =-∑∞-∞=])()([1n nT t t f δF 0)([t j e j F ωω--1]=F 10[(()]F j ωω--=2．已知=)(1ωj F F =)()],([21ωj F t f F )],([2t f 其中：)(1ωj F 的最高频率分量为,1ω)(2ωj F 的最高频率分量为,2ω且,12ωω>则)()()(221t f t f t f +=的最高频率分量m f = ，若对f （t ）进行取样，则奈奎斯特取样周期T s =3．若理想低通滤波器截止频率KHz f c 1=，则阶跃信号通过该滤波器后响应的上 升时间t r = 。
4．无失真传输系统，其幅频特性为 ，相频特性为 ； 理想低通滤波器的系统函数H （jω）=5．已知=)(ωj F F )()],([ωj F t f 的最高频率为m f ，现对)(t f 进行理想冲激取样， 则取样信号)(t f s 的傅氏变换=)(ωj F s F =)]([t f s ，若要保证能从)(t f s 中恢复出原信号，则最大取样周期T smax = 。
6．信号f （t ）= Sa （60t ），其最高频率分量为ωm = ， 最低取样率f s = 。
7．信号f （t ）=Sa 2（60t ）+Sa （100t ），其最高频率分量为ωm = ， 最低取样率f s = 。
8． 信号f （t ）=Sa 2（100t ），其最高频率分量ωm = ，最低取样频率f s = 。
9．无失真传输系统的系统函数H （j ω）=10．阶跃信号通过理想低通滤波器，其响应的上升时间t r 与滤波器的 成反比。
11．已知f 1（t ）的频谱函数在（-500Hz ，500Hz ）区间内不为零，f 2（t ）的频谱函数在（-1000Hz ，1000Hz ）区间内不为零，现对f 1（t ）与f 2（t ）相乘所得 的信号进行理想取样，则奈奎斯特取样频率为 。
12． 已知f （t ）的最高频率分量f m 为103Hz ，则信号f （t ）的最低取样率 f s = ，则信号f （2t ）的最低取样率f s = 13．已知理想低通滤波器的系统函数为0)]()([)(t j e u u j H ωπωπωω---+=y (t )x (t )若x 1(t )=δ(t )，则y 1(t )=h (t )= 若x 2(t )=sin t +2sin 3t ，则y 2(t )=上述哪些信号通过该系统,实现了不失真传输? 14．已知()()Sa[()]c g t f t d τωττ∞-∞=-⎰和F [f （t ）]=F （j ω）则G （j ω）=F [g （t ）]= 15．图示周期方波信号f （t ）包含有哪些频率分量？粗略画出信号频谱图。
16．F {}=t t 0cos ]1*)([ωδ已知F []2sgn()t j ω=，求 F 1t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦17．已知信号f （t ）的频谱函数在（-500Hz ，500Hz ）区间内不为零，现对f （t ）进行理想取样，则奈奎斯特取样频率为 Hz 。
18．周期信号f （t ）如题图所示，若重复频率f =5KHz ，脉宽s μτ20=，幅度E =10V ，则直流分量= V 。
2219．F 2[()]j te u t =F ][t = 。
20．f （t ）的波形如右图所示，则f （t ）的偶分量f e （t ）= 而f （t ）的奇分量f o （t ）= 其F e （j ω）= F [f e （t ）]= F o （j ω）=F [f o （t ）]=已知某周期信号的傅里叶级数：]5cos 513cos 31[cos 2)(111Λ-+-=t t t E t f ωωω试画出f （t ）的幅度频谱|F n |~ω的图形。
t信号f （t ）如题图所示，求=)(ωj F F )]([t f ，并画出幅度谱)(ωj F 。
t已知周期方波信号f （t ）的傅氏级数为f （t ）=∑∞=11cos 2sin 12n t n n n Eωππ 画出信号f （t ）的频谱图与波形图。
周期信号f （t ）前四分之一周期的波形如题图所示，已知f （t ）的傅氏级数中只含有奇次谐波的余弦分量，且无直流，试绘出f （t ）一个周期（2T -～2T） 的波形。
已知周期性锯齿信号的指数傅里叶级数 ∑∞≠-∞=-+=01122)(n n tjn e njE E t f ωπ 试画出幅度频谱|F n |～ω图与相位频谱φn ～ω图，（频谱为离散谱，级数中ｎ为±1、±2…±∞）。
已知=)(ωj F F ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22sin t t ,画出频率)(ωj F ～ω图形。
周期信号)(t f 的41周期如题图所示，已知)(t f 的傅氏级数中仅含有奇次谐波的余弦分量，无直流，试绘出)(t f 的一个周期（2T -～2T）的波形。
定性判断题图所示周期信号f （t ）的傅氏级数中含有哪些频率分量。
已知)]1()1([)(--+=t u t u E t x ，求t t x t y π200cos )()(=的频谱=)(ωj Y F )]([t y ，并画出y （t ）的频谱图Y （j ω）。
求图示频谱函数F （j ω）的傅里叶反变换，f （t ）=F -1[F （j ω）]，并画出f （t ）的波形图。
ω3.14 f 1（t ）与f 2（t ）的频谱如图所示，分别求f 1（t ）+f 2（t ），f 1（t ）*f 2（t ）及f 1（t ）·f 2（t）的频谱表达式，并画频谱图。
ωω系统如题图（a ）所示，低通滤波器的传输函数如题图（b ）所示，已知()Sa(2)x t t π=，()()3n ns t t δ∞=-∞=-∑ω(t )x （a ）（b ）ω 21．求信号的频谱)(t x =)(ωj X F )()],([ωj X t x 并画出～ω图形； 2．求输出信号y （t ），并粗略画出其波形。