z变换与拉氏变换的比较分析
§8.6 z变换与拉氏变换的关系
这就是直接由连续函数的拉氏变换式求抽样后的
离散序列z变换式的关系式。
该积分式当然也可以用留数定理来计算。即：
Xz Rsezz-X essTX(s)的诸极点
例如：当X(s)有一单阶极点s1时
R s z e z - e X s sT s s 1 zs z - - s 1 e s X T ss s 1 z- k 1 e z s 1 T z k - 1 z z 1
• 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
例如，阶跃信号u(t)在t=0点定义为1/2; 阶跃序列u(n)在点n=0定义为1。
注意跳变值
例8-6-1 例8-6-2
返回
注意跳变值
0
xˆi tA2i
Ai epit
t <0 t 0 t >0
0
xinTAi
Ai epint
t <0 t 0 t >0
按抽样规律系 建时 立必 0 二 点 须 者 补 在 Ai联 2 足 ,即
幅角: =T=2p
s
z平 面
式中T是序列的时间间隔，重复频率s=2p/ T
s~z平面映射关系
这两个等式表明：z的模r仅对应于s的实部 ；
z的幅角仅对应于s的虚部 。
（1）s平面的原点
，== 00
z平面
r
=，= 10即z=1。
s平面(s= +j
拉氏变换与Z变换的基本公式及性质
拉氏变换与Z变换的基本公式及性质拉氏变换（Laplace Transform）是一种重要的信号分析工具，它将时域函数转换为复域函数，使得分析和处理复杂的差分方程、微分方程、线性时不变系统等问题变得更加简单。
拉氏变换的定义如下：对于一个定义在半轴t≥0上的实值函数f(t)，它的拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中s是一个复变量，e^(-st)是一个复数系数。
拉氏变换的基本公式：1.映射常数L{1}=1/s2. $L{e^{at}}=\frac{1}{s-a}, Re(s)>a$3.时间平移L{f(t-a)u(t-a)} = e^(-as)F(s)4.频域平移L{e^(as)f(t)} = F(s-a)5.合并函数L{f(t)+g(t)}=F(s)+G(s)6.乘法L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)7.单位冲激函数L{δ(t-a)} = e^(-as)拉氏变换的性质：1.线性性质L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)2.积分性质L{∫[0,t]f(τ)dτ}=1/s*F(s)3.拉氏变换的导数性质L{f'(t)}=sF(s)-f(0)4.初始值定理f(0+) = lim(s->∞) sF(s)5.最终值定理lim(t->∞) f(t) = lim(s->0) sF(s)Z变换是一种由离散信号而来的变换，它将离散序列变换到复平面上。
Z变换的定义如下：对于一个离散序列x[n]，它的Z变换X(z)定义为：X(z)=Z{x[n]}=∑[-∞,∞]x[n]z^(-n)其中z是一个复变量。
Z变换的基本公式：1.映射常数Z{1}=12.单位序列Z{δ[n]}=13.线性性质Z{ax[n] + by[n]} = aX(z) + bY(z)4.平移Z{x[n-a]}=z^(-a)X(z)5.单位冲激响应函数Z{h[n]}=H(z)6.时域乘法Z{x[n]y[n]}=X(z)Y(z)Z变换的性质：1.线性性质Z{ax[n] + by[n]} = aX(z) + bY(z)2.移位性质Z{x[n-k]}=z^(-k)X(z)3.初始值定理x[0] = lim(z->∞) X(z)4.最终值定理lim(n->∞) x[n] = lim(z->1) (1-z^(-1))*X(z)5.时域卷积性质Z{x[n]*y[n]}=X(z)Y(z)6.时域乘法性质Z{x[n]y[n]}=X(z)Y(z)总结：拉氏变换和Z变换都是用于信号分析和处理的重要工具。
对傅里叶变换、拉氏变换、z变换详细剖析
对傅里叶变换、拉氏变换、z变换详细剖析变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别，你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的。
所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密度。
对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示。
已经说过，傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。
这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。
所以说，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。
傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的——实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。
我的语言可能比较晦涩，但我已尽我所能向你讲述我的一点理解——真心希望能对你有用。
我已经很久没在知道上回答过问题了，之所以回答这个问题，是因为我本人在学习傅里叶变换及拉普拉斯变换的过程中着实受益匪浅——它们几乎改变了我对世界的认识。
傅里叶变换值得你用心去理解——哪怕苦苦思索几个月也是值得的——我当初也想过：只要会算题就行。
但浙大校训“求是”时时刻刻鞭策着我追求对理论的理解——最终经过很痛苦的一番思索才恍然大悟。
建议你看一下我们信号与系统课程的教材：化学工业出版社的《信号与系统》，会有所帮助。
（另一种说法）对于周期函数f，傅立叶变换就是把这个函数分解成很多个正弦函数fn的和，每个fn的频率是f的n倍。
傅里叶变换、拉氏变换、z变换的含义到底是什么
1。
关于傅里叶变换变换？（来自百度知道）答：fourier变换是将连续的时间域信号转变到频率域；它可以说是laplace变换的特例，laplace变换是fourier变换的推广，存在条件比fourier变换要宽，是将连续的时间域信号变换到复频率域（整个复平面，而fourier变换此时可看成仅在jΩ轴）；z变换则是连续信号经过理想采样之后的离散信号的laplace变换，再令z=e^sT时的变换结果（T为采样周期），所对应的域为数字复频率域，此时数字频率ω=ΩT。
——参考郑君里的《信号与系统》。
傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别，你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的。
所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密度。
对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示。
已经说过，傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。
这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。
所以说，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。
傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的——实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。
我的语言可能比较晦涩，但我已尽我所能向你讲述我的一点理解——真心希望能对你有用。
我已经很久没在知道上回答过问题了，之所以回答这个问题，是因为我本人在学习傅里叶变换及拉普拉斯变换的过程中着实受益匪浅——它们几乎改变了我对世界的认识。
z变换与拉普拉斯变换的关系
z变换与拉普拉斯变换的关系在信号处理领域中，z变换和拉普拉斯变换是两个非常重要的数学工具。
它们在数字信号处理和模拟信号处理中都有广泛的应用。
虽然它们看起来非常不同，但它们之间有着密切的联系。
本文将介绍z 变换和拉普拉斯变换的定义、性质以及它们之间的关系。
一、z变换z变换是一种离散时间信号的变换方法，它将一个离散时间信号转换成一个复变量函数。
z变换定义如下：$$X(z)=sum_{n=-infty}^{infty}x(n)z^{-n}$$其中，$x(n)$是一个离散时间信号，$z$是一个复变量。
$X(z)$是一个复变量函数，称为$x(n)$的z变换。
可以看出，z变换是将离散时间信号$x(n)$映射到复平面上。
它的收敛域是一圆形或一个环形区域。
z变换具有一些重要的性质，包括线性性、时移性、频移性、共轭对称性等。
这些性质使得z变换在信号处理中有着广泛的应用。
二、拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种连续时间信号的变换方法，它将一个连续时间信号转换成一个复变量函数。
拉普拉斯变换定义如下：$$X(s)=int_{0}^{infty}x(t)e^{-st}dt$$其中，$x(t)$是一个连续时间信号，$s$是一个复变量。
$X(s)$是一个复变量函数，称为$x(t)$的拉普拉斯变换。
可以看出，拉普拉斯变换是将连续时间信号$x(t)$映射到复平面上。
它的收敛域是一条垂直于虚轴的带状区域。
与z变换类似，拉普拉斯变换也具有一些重要的性质，包括线性性、时移性、频移性、共轭对称性等。
这些性质使得拉普拉斯变换在信号处理中有着广泛的应用。
三、z变换与拉普拉斯变换的关系虽然z变换和拉普拉斯变换看起来非常不同，但它们之间有着密切的联系。
实际上，z变换可以看作是拉普拉斯变换在离散时间上的推广。
具体来说，我们可以通过将拉普拉斯变换中的$s$替换成$z$来得到z变换：$$s=frac{1}{T}ln z$$其中，$T$是采样周期。
这个公式告诉我们，如果我们将连续时间信号$x(t)$采样成离散时间信号$x(n)$，并且采样周期为$T$，那么我们就可以通过拉普拉斯变换得到$x(t)$的拉普拉斯变换$X(s)$，然后将$s$替换成上面的公式，得到$x(n)$的z变换$X(z)$。
傅立叶变换拉普拉斯变换z变换区别和应用场合
傅立叶变换、拉普拉斯变换和z变换是信号与系统分析中常用的数学工具，它们在不同的应用场合有着各自独特的作用。
下面，我们将分别介绍这三种变换的定义、特点和应用场合。
一、傅立叶变换傅立叶变换是最常用的信号处理工具之一，它将时域信号转换为频域信号，可以用来分析信号的频谱特性。
傅立叶变换的定义如下：设x(t)是一个绝对可积的信号，则其傅立叶变换定义为：X(ω)=∫−∞∞x(t)e−jωtdt其中，X(ω)为频率为ω的复指数信号的系数。
傅立叶变换的特点包括：1. 线性性：傅立叶变换是线性的，即对信号进行线性组合后，其傅立叶变换也可以线性组合。
2. 积分性质：傅立叶变换是通过积分计算得出的，可以将信号在时域上的加权积分变换为频域上的乘积。
傅立叶变换的应用场合包括：1. 信号频谱分析：通过傅立叶变换可以将信号转换为频域上的频谱图，并从中分析信号的频率成分和能量分布。
2. 滤波器设计：在滤波器设计中，傅立叶变换可以用来分析系统的频率响应，从而设计出滤波器的频率特性。
3. 通信系统：在调制解调、频谱分析等通信系统中，傅立叶变换也有着重要的应用。
二、拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种广泛应用于控制系统分析和设计中的数学工具，它可以将时域信号转换为复频域信号，用于分析系统的稳定性和动态特性。
拉普拉斯变换的定义如下：设x(t)是一个绝对可积的信号，则其拉普拉斯变换定义为：X(s)=∫0∞x(t)e−stdt其中，X(s)为复频域上的复指数信号的系数。
拉普拉斯变换的特点包括：1. 收敛性：拉普拉斯变换要求信号在0到∞范围内绝对可积，以确保变换的收敛性。
2. 稳定性：拉普拉斯变换可以判断系统的稳定性，通过判断拉普拉斯变换的极点位置来分析系统的阶跃响应。
拉普拉斯变换的应用场合包括：1. 控制系统分析：在控制系统分析中，拉普拉斯变换可以用来分析系统的稳定性、阶跃响应和频率特性。
2. 信号处理：在滤波器设计和信号处理中，拉普拉斯变换也可以用来分析系统的频率响应和动态特性。
z变换与拉氏变换的比较分析
z 变换与拉氏变换的比较分析一． z 平面与s 平面的映射关系1.一个信号的抽样取拉氏变换与相应的离散信号与Z 变换的作用是等效的。
在引入z 变换的定义时，引入符号 z=sT es （直角坐标）：s=σ+j Ω z,s 关系 z=sT ez(极坐标)： z=r θj e 比较 z=T j e ）（Ω+σ=T j e e Ω⋅T σ2.几种情况（1）s 平面的原点 z 平面 ，即z=1。
（2） （4）z~s 映射不是单值的。
Ω=±2s Ω→θ=π 二． z 变换与拉式变换表达式之对应s 平面z 平面⎪⎩⎪⎨⎧===s T ΩΩΩ T θr π2:e : 幅角半径所以σ⎩⎨⎧==00Ωσ⎨⎧==01θrz 变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。
作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。
z 变换法存在的局限性z 变换法是研究线性定常离散系统的一种有效工具，但是z 变换法也有其本身的局限性，使用时应注意其适用的范围。
⑴ 输出z 变换函数C(z)只确定了时间函数)(t c 在采样瞬时的数值，不能反映)(t c 在采样点间的信息。
⑵ 用z 变换法分析离散系统时，系统连续部分传递函数)(0s G 的极点数至少应比其零点数多两个，即)(s G 的脉冲响应)(t k 在0=t 时必须没有跳跃，或者满足0)(lim =∞→s G s z 变换则是连续信号经过理想采样之后的离散信号的拉普拉斯变换，否则，用z 变换法得到的系统采样输出)(*t c 与实际连续输出)(t c 差别较大，甚至完全不符。
我们总可以容易地画出实变函数的图像（绝大多数函数的确如此），但我们难以画出一个复变函数的图象，这也许是拉普拉斯变换比较抽象的原因之一；而另外一个原因，就是拉普拉斯变换中的复频率s 没有明确的物理意义。
拉普拉斯变换拉普拉斯变换提供了一种变换定义域的方法，把定义在时域上的信号（函数）映射到复频域上（要理解这句话，需要了解一下函数空间的概念--我们知道，函数定义了一种“从一个集合的元素到另一个集合的元素”的关系，而两个或以上的函数组合成的集合，就是函数空间，即函数空间也是一个集合；拉普拉斯变换的“定义域”，就是函数空间，可以说，拉普拉斯变换就是一种处理函数的函数。
拉普拉斯变换和z变换的关系
拉普拉斯变换和z变换的关系拉普拉斯变换和z变换是两种常用的信号处理方法，它们有着密切的联系和相互转换的关系。
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复频域信号的方法，可以将微分方程转化为代数方程。
它的定义是对于一个函数f(t)，如果它在区间[0,∞)上是绝对可积的，那么它的拉普拉斯变换F(s)为：F(s) = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中，s是一个复数变量，e^(-st)是指数函数。
与拉普拉斯变换相对应的是z变换，它可以将离散时间域信号转化为复频域信号。
z变换的定义是对于一个离散时间信号x[n]，如果它在n的整个范围上是绝对可和的，那么它的z变换X(z)为：X(z) = ∑[n=-∞,∞] z^(-n) x[n]其中，z是一个复数变量，n是整数。
尽管拉普拉斯变换和z变换的定义看起来非常不同，但它们之间存在着密切的联系。
事实上，z变换是拉普拉斯变换在离散时间上的推广。
具体地说，如果我们将拉普拉斯变换中的变量s替换为z^(-1)，那么我们就得到了z变换的公式。
这意味着，通过对拉普拉斯变换的理解，我们可以更好地理解z变换，并在它们之间进行转换。
拉普拉斯变换和z变换在信号处理中有着广泛的应用。
例如，它们都可以用于滤波、系统建模、控制系统设计等方面。
在实践中，我们通常会根据具体应用场景和需求来选择使用哪种变换方法。
如果我们处理的是连续时间信号，那么我们会使用拉普拉斯变换；如果我们处理的是离散时间信号，那么我们会使用z变换。
当需要将一个连续时间信号转化为离散时间信号时，我们也可以使用z变换，它提供了一种将连续时间信号离散化的方法。
拉普拉斯变换和z变换是信号处理中常用的两种方法，它们之间存在着密切的联系和相互转换的关系。
通过深入理解它们的定义和应用，我们可以更好地处理和分析信号，实现更好的信号处理效果。
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z 变换与拉氏变换的比较分析
一． z 平面与s 平面的映射关系
1.一个信号的抽样取拉氏变换与相应的离散信号与Z 变换的作用是等效的。
在引入z 变换的定义时，引入符号 z=sT e
s （直角坐标）：s=σ+j Ω z,s 关系 z=sT e
z(极坐标)： z=r θj e 比较 z=T j e ）（Ω+σ=T j e e Ω⋅T σ
2.几种情况
（1）s 平面的原点 z 平面 ，即z=1。
（2） （4）z~s 映射不是单值的。
Ω=±2
s Ω→θ=π 二． z 变换与拉式变换表达式之对应
s 平面z 平面⎪⎩⎪⎨⎧===s T ΩΩΩ T θr π2:e : 幅角半径所以σ⎩⎨⎧==00Ωσ⎨⎧==0
1θr
z 变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。
作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。
z 变换法存在的局限性
z 变换法是研究线性定常离散系统的一种有效工具，但是z 变换法也有其本身的局限性，使用时应注意其适用的范围。
⑴ 输出z 变换函数C(z)只确定了时间函数)(t c 在采样瞬时的数值，不能反映)(t c 在采样点间的信息。
⑵ 用z 变换法分析离散系统时，系统连续部分传递函数)(0s G 的极点数至
少应比其零点数多两个，即)(s G 的脉冲响应)(t k 在0=t 时必须没有跳跃，或者满足
0)(lim =∞
→s G s z 变换则是连续信号经过理想采样之后的离散信号的拉普拉斯变换，否则，用z 变换法得到的系统采样输出)(*t c 与实际连续输出)(t c 差别较大，甚至完全不符。
我们总可以容易地画出实变函数的图像（绝大多数函数的确如此），但我们难以画出一个复变函数的图象，这也许是拉普拉斯变换比较抽象的原因之一；而另外一个原因，就是拉普拉斯变换中的复频率s 没有明确的物理意义。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换提供了一种变换定义域的方法，把定义在时域上的信号（函数）映射到复频域上（要理解这句话，需要了解一下函数空间的概念--我们知道，函数定义了一种“从一个集合的元素到另一个集合的元素”的关系，而两个或以上的函数组合成的集合，就是函数空间，即函数空间也是一个集合；拉普拉斯变换的“定义域”，就是函数空间，可以说，拉普拉斯变换就是一种处理函数的函数。
由于拉普拉斯变换定义得相当巧妙，所以它就具有一些奇特的特质），而且，这是一种一一对应的关系（只要给定复频域的收敛域），故只要给定一个时域函数（信号），它就能通过拉普拉斯变换变换到一个复频域信号（不管这个信号是实信号还是复信号），因而，只要我们对这个复频域信号进行处理，也就相当于对时域信号进行处理
我们总可以容易地画出实变函数的图像（绝大多数函数的确如此），但我们难以画出一个复变函数的图象，这也许是拉普拉斯变换比较抽象的原因之一；而另外一个原因，就是拉普拉斯变换中的复频率s 没有明确的物理意义。
三．应用方面
z变换主要是为解决离散问题
用来处理差分方程
拉氏变换针对的是连续的问题
用来处理微分方程
1：拉普拉斯变换使电路中广泛涉及了微分方程。
2：拉氏变换处理的是时间上连续的问题。