z变换与拉氏变换的比较分析

z 变换与拉氏变换的比较分析

一． z 平面与s 平面的映射关系

1.一个信号的抽样取拉氏变换与相应的离散信号与Z 变换的作用是等效的。

在引入z 变换的定义时，引入符号 z=sT e

s （直角坐标）：s=σ+j Ω z,s 关系 z=sT e

z(极坐标)： z=r θj e 比较 z=T j e ）（Ω+σ=T j e e Ω⋅T σ

2.几种情况

（1）s 平面的原点 z 平面 ，即z=1。 （2） （4）z~s 映射不是单值的。Ω=±2

s Ω→θ=π 二． z 变换与拉式变换表达式之对应

s 平面z 平面⎪⎩⎪⎨⎧===s T ΩΩΩ T θr π2:e : 幅角半径所以σ⎩⎨⎧==00Ωσ⎨⎧==0

1θr

z 变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。

z 变换法存在的局限性

z 变换法是研究线性定常离散系统的一种有效工具，但是z 变换法也有其本身的局限性，使用时应注意其适用的范围。

⑴ 输出z 变换函数C(z)只确定了时间函数)(t c 在采样瞬时的数值，不能反映)(t c 在采样点间的信息。

⑵ 用z 变换法分析离散系统时，系统连续部分传递函数)(0s G 的极点数至

少应比其零点数多两个，即)(s G 的脉冲响应)(t k 在0=t 时必须没有跳跃，或者满足

0)(lim =∞

→s G s z 变换则是连续信号经过理想采样之后的离散信号的拉普拉斯变换，否则，用z 变换法得到的系统采样输出)(*t c 与实际连续输出)(t c 差别较大，甚至完全不符。 我们总可以容易地画出实变函数的图像（绝大多数函数的确如此），但我们难以画出一个复变函数的图象，这也许是拉普拉斯变换比较抽象的原因之一；而另外一个原因，就是拉普拉斯变换中的复频率s 没有明确的物理意义。

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换提供了一种变换定义域的方法，把定义在时域上的信号（函数）映射到复频域上（要理解这句话，需要了解一下函数空间的概念--我们知道，函数定义了一种“从一个集合的元素到另一个集合的元素”的关系，而两个或以上的函数组合成的集合，就是函数空间，即函数空间也是一个集合；拉普拉斯变换的“定义域”，就是函数空间，可以说，拉普拉斯变换就是一种处理函数的函数。由于拉普拉斯变换定义得相当巧妙，所以它就具有一些奇特的特质），而且，这是一种一一对应的关系（只要给定复频域的收敛域），故只要给定一个时域函数（信号），它就能通过拉普拉斯变换变换到一个复频域信号（不管这个信号是实信号还是复信号），因而，只要我们对这个复频域信号进行处理，也就相当于对时域信号进行处理

我们总可以容易地画出实变函数的图像（绝大多数函数的确如此），但我们难以画出一个复变函数的图象，这也许是拉普拉斯变换比较抽象的原因之一；而另外一个原因，就是拉普拉斯变换中的复频率s 没有明确的物理意义。

三．应用方面

z变换主要是为解决离散问题

用来处理差分方程

拉氏变换针对的是连续的问题

用来处理微分方程

1：拉普拉斯变换使电路中广泛涉及了微分方程。2：拉氏变换处理的是时间上连续的问题。