专题_拉氏变换与Z变换
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k 0
k 0
f (k T) (t k T)e st dt
st
(t k T)e dt f (k T)e kTs
k 0
e kTs 是超越函数，不好计算，于是令 z eTs
则有
F ( z ) F * (s)
ln z s T
f () lim(1 z 1 ) F ( z ) lim
z 1
1 1.25 z 1 1 0.2 z 1
专题1 拉氏变换与Z变换
2 Z变换及其性质
（8）偏微分定理
若
Z[ f (t , a)] F ( z, a)
，其中a是一个独立变量或者常数，则有
L(
( f (t , a))) F ( z, a) a a
1 z 1
z z 1
1 满足： z 1
（2）单位斜坡函数f(t)=t 单位斜坡函数f(t)=t所对应当序列为f(kT)=kT k=0,1,2,… 因此 z 1 k k 1 2 3
Z [t ] f (k T) z
k 0
k Tz
k 0
T (z 2z
的z变换
( z 1)2 T e aT z at Z [te ] aT (e z 1)2
复位移定理表明，若函数f(t)在时域乘以位移因子 e±at ，则在频域中，其相应的Z变换的自变量Z 应乘以比例因子 e aT
专题1 拉氏变换与Z变换
2 Z变换及其性质
（5）初值定理 若 Z [ f (kT)] F ( z ) ，且极限
专题1 拉氏变换与Z变换
2 Z变换及其性质
例1 试求 e a ( t T ) 的z变换 解 根据实数位移定理，有
Z [e
a ( t T )
] z Z [e
1
at
z 1 ] z aT z e z e aT
1
（4）复数位移定理 若 Z [ f (t )] F ( z ) 证明：Z [e
at
，则
akT
Z [e at f (t )] F (e aT z )
k
f (t )] e
k 0
f (kT ) z
f (kT )(e aT z ) k F (e aT z )
k 0
例2 求 f (t ) te at Tz 解：
Z [t ]
k 0
(k n)
令mLeabharlann Baiduk+n，则
Z [ f (t nT )] z
n 1
n
mn
f (mT ) z
m
z ( f (mT ) z
n m 0
m
f (mT ) z m )
m 0
n 1
z n F ( z ) f (mT ) z n m
m 0
cost
e j cos j sin e j cos j sin
则
e j e j e j e j sin , cos 2j 2
那么利用上面的指数函数的拉氏变换结果，得出正弦函数和余弦函数的拉氏变换。
L[sin t ] sin te dt
n个
F ( s) f (0) s s
1
1 拉氏变换及其性质
f 2 (0) f n (0) n 1 s s
n
② 若 f (0) f (0) 则 L[ f (t )( dt) n ] F (ns)
n个
1
2
f
3
(0) f
(0) 0
s
（4）位移定理 L[ f (t a) 1(t a)] e as F ( s) （5）延时定理 lim f (t ) lim sF (s) （6）初值定理 t 0 s （7）终值定理 lim f (t ) lim sF (s) t s 0 （8）卷积定理 L[ f (t ) * g (t )] F (s) G(s)
比较：
Z [ f (t nT )] f (( k n)T ) z k
延迟定理
0 0z
1
f (0) z n f (T ) z ( n1) f (2T ) z ( n 2)
k 0
z n ( f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2 ) z n F ( z )
z 1
1 F ( z) 例3 已知 1 1.2 z 1 0.2 z 2
，求终值 f () 1 1 z 1 1 解： 1 1 (1 z ) F ( z ) (1 z ) 1 2 1 0.2 z 1 1 1.2 z 1 0.2 z 2 1 1.2 z 0.2 z 极点为0.2，位于单位圆内，所以有
专题1 拉氏变换与Z变换 1 拉氏变换及其性质
1.3 拉氏变换的性质 （1）叠加性质 若 L[ f1 (t )] F1 (s) ， L[ f 2 (t )] F2 (s) 则 L[af1 (t ) bf 2 (t )] aF1 (s) bF2 (s) 证明：略 d L[ f (t )] sF ( s) f (0) （2）微分定理 dt 推论 dn ① L[ n f (t )] s n F (s) s n1 f (0) s n2 f (0) sf ( n2) (0) f ( n1) (0)
z
lim F ( z)
k
存在，则
lim
k 0
f (kT) lim F ( z)
（6）终值定理 若 Z[ f (kT)] F ( z) ，且 (1 z 1 ) F ( z) 在复平面的单位圆上或外没有极 点，那么
lim
k
f (kT) lim (1 z 1 ) F ( z)
st 0
0
e jt e jt st 1 1 1 e dt ( ) 2 2j 2 j s j s j s 2
L[cos t ] cos te dt
st 0
0
e jt e jt st 1 1 1 s e dt ( ) 2 2 2 s j s j s 2
专题1 拉氏变换与Z变换 1 拉氏变换及其性质
1.1 拉氏变换的基本概念 定义: 对于函数f(t)如果满足下列条件： （1）当t<0时，f(t)=0； 当t>0时，f(t)在每个有限区间上是分段连续的。
（2） 0 ，其中σ是正实数，也就是说f(t) 是指数级； 那么定义f(t)的拉氏变换F(s)为
k 0
2 Z变换及其性质
f 1 (t ) z
k 0
k
f 2 (t )z k F1 ( z ) F2 ( z )
k 0
（2）延迟定理（滞后定理右移定理）
设 kT 0 时， y(kT) 0 n 若 Z[ f (t )] F ( z) ，则 Z [ f (t nT )] z F ( z ) 即离散信号在时域内延迟采样周期T，则等价于它的z变换乘以z-1，所以 z-1可看成是滞后一个采样周期的滞后算子。 证明： 注意证明的前提条件 f (t ) 0 t0
1 ( s a ) t 1 dt e 0 sa sa
（3）单位脉冲函数 (t )
L[ (t )] (t ) e st dt 1
0
1 t 0 0 t 0
专题1 拉氏变换与Z变换
1 拉氏变换及其性质 1.2 简单函数的拉氏变换 （4）正弦函数 sin t 和余弦函数 根据欧拉公式，有
1 2
f (kT) z k
k 0
2.2 几类典型函数的z变换 （1）单位阶跃函数1(t) 1 * (t ) (t k T) k 0 单位阶跃函数1(t)的采样函数 故有： 1 k 1 2
Z [1(t )] z
k 0
1 z z
3z
) T
(1 z 1 ) 2
Tz ( z 1) 2
专题1 拉氏变换与Z变换
2 Z变换及其性质 （3）指数函数 f (t ) e at 指数函数对应的序列 f (kT) e akT
at
k 0,1,2,
所以 Z [e ] e akT z k 1 e aT z 1 e2 aT z 2
专题1 拉氏变换与Z变换
2 Z变换及其性质
(3)超前定理（左移定理）
若 Z[ f (t )] F ( z) ，则 Z [ f (t nT )] z
n
( F ( z ) f (mT ) z
m 0
n 1
m
) z F ( z ) f (mT ) z n m
n m 0
k 0
1 1 e aT z 1
z z e aT
由此，有课本P18页表2.1，Z变换表
专题1 拉氏变换与Z变换
4） z变换的性质 （1）线性性质 若 Z[ f1 (t )] F1 ( z), Z[ f 2 (t )] F2 ( z) ，有 Z[f1 (t ) f 2 (t )] F1 ( z) F2 ( z) 其中αβ常数。 证明： Z [f1 (t ) f 2 (t )] (f1 (t ) f 2 (t )) z k
f (k T) z k
k 0
F(z)与f*(t)或{f(kT)}构成变换对，它不是连续时间函数f(t)的Z变换。
专题1 拉氏变换与Z变换
2 Z变换及其性质 对于序列{f(kT)}（也就是采样信号），可以定义它的z变换为
F ( z ) Z { f (kT)} f (0) f (T ) z f (2T ) z
f (t )e t dt
F (s) L[ f (t )] f (t )e st dt 0 式中，s—复变量，且 Re(s)
；
f(t)—原函数； F(s)—象函数
专题1 拉氏变换与Z变换 1 拉氏变换及其性质
1.2 简单函数的拉氏变换 （1）单位阶跃函数1(t)
n 1
特别地，若初始条件 f (0) f (T ) f (2T ) f ((n 1)T ) 0
则
Z [ f (t nT )] z n F ( z )
k
证明： Z [ f (t nT )] f ((k n)T ) z
k 0
z
n
f ((k n)T ) z
0 t 0 1(t ) 1 t 0
1 1 L[1(t )] 1(t )e st dt e st dt e st 0 0 0 s s
（2）指数函数eat
L[e ] e e dt e
at at st 0 0 ( s a ) t
dt
②若 dn 则 L[ n
dt
f (0) f (0) f (0) f ( n2) (0) f ( n1) (0) 0
f (t )] s n F ( s)
专题1 拉氏变换与Z变换
L[ f (t )dt] （3）积分定理 1 式中， f (t ) f (t )dt 推论 F ( s) f 1 (0) n ① L[ f (t )(dt) ] s n s n
L[e at f (t )] F ( s a)
专题1 拉氏变换与Z变换
2 Z变换及其性质 2.1 Z变换的定义 采样信号的数学表达式为 f * (t ) f (t ) (t k T)
k 0
对采样信号两边进行拉氏变换，得
F * ( s ) L[ f * (t )] f (k T)
k 0
f (k T) (t k T)e st dt
st
(t k T)e dt f (k T)e kTs
k 0
e kTs 是超越函数，不好计算，于是令 z eTs
则有
F ( z ) F * (s)
ln z s T
f () lim(1 z 1 ) F ( z ) lim
z 1
1 1.25 z 1 1 0.2 z 1
专题1 拉氏变换与Z变换
2 Z变换及其性质
（8）偏微分定理
若
Z[ f (t , a)] F ( z, a)
，其中a是一个独立变量或者常数，则有
L(
( f (t , a))) F ( z, a) a a
1 z 1
z z 1
1 满足： z 1
（2）单位斜坡函数f(t)=t 单位斜坡函数f(t)=t所对应当序列为f(kT)=kT k=0,1,2,… 因此 z 1 k k 1 2 3
Z [t ] f (k T) z
k 0
k Tz
k 0
T (z 2z
的z变换
( z 1)2 T e aT z at Z [te ] aT (e z 1)2
复位移定理表明，若函数f(t)在时域乘以位移因子 e±at ，则在频域中，其相应的Z变换的自变量Z 应乘以比例因子 e aT
专题1 拉氏变换与Z变换
2 Z变换及其性质
（5）初值定理 若 Z [ f (kT)] F ( z ) ，且极限
专题1 拉氏变换与Z变换
2 Z变换及其性质
例1 试求 e a ( t T ) 的z变换 解 根据实数位移定理，有
Z [e
a ( t T )
] z Z [e
1
at
z 1 ] z aT z e z e aT
1
（4）复数位移定理 若 Z [ f (t )] F ( z ) 证明：Z [e
at
，则
akT
Z [e at f (t )] F (e aT z )
k
f (t )] e
k 0
f (kT ) z
f (kT )(e aT z ) k F (e aT z )
k 0
例2 求 f (t ) te at Tz 解：
Z [t ]
k 0
(k n)
令mLeabharlann Baiduk+n，则
Z [ f (t nT )] z
n 1
n
mn
f (mT ) z
m
z ( f (mT ) z
n m 0
m
f (mT ) z m )
m 0
n 1
z n F ( z ) f (mT ) z n m
m 0
cost
e j cos j sin e j cos j sin
则
e j e j e j e j sin , cos 2j 2
那么利用上面的指数函数的拉氏变换结果，得出正弦函数和余弦函数的拉氏变换。
L[sin t ] sin te dt
n个
F ( s) f (0) s s
1
1 拉氏变换及其性质
f 2 (0) f n (0) n 1 s s
n
② 若 f (0) f (0) 则 L[ f (t )( dt) n ] F (ns)
n个
1
2
f
3
(0) f
(0) 0
s
（4）位移定理 L[ f (t a) 1(t a)] e as F ( s) （5）延时定理 lim f (t ) lim sF (s) （6）初值定理 t 0 s （7）终值定理 lim f (t ) lim sF (s) t s 0 （8）卷积定理 L[ f (t ) * g (t )] F (s) G(s)
比较：
Z [ f (t nT )] f (( k n)T ) z k
延迟定理
0 0z
1
f (0) z n f (T ) z ( n1) f (2T ) z ( n 2)
k 0
z n ( f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2 ) z n F ( z )
z 1
1 F ( z) 例3 已知 1 1.2 z 1 0.2 z 2
，求终值 f () 1 1 z 1 1 解： 1 1 (1 z ) F ( z ) (1 z ) 1 2 1 0.2 z 1 1 1.2 z 1 0.2 z 2 1 1.2 z 0.2 z 极点为0.2，位于单位圆内，所以有
专题1 拉氏变换与Z变换 1 拉氏变换及其性质
1.3 拉氏变换的性质 （1）叠加性质 若 L[ f1 (t )] F1 (s) ， L[ f 2 (t )] F2 (s) 则 L[af1 (t ) bf 2 (t )] aF1 (s) bF2 (s) 证明：略 d L[ f (t )] sF ( s) f (0) （2）微分定理 dt 推论 dn ① L[ n f (t )] s n F (s) s n1 f (0) s n2 f (0) sf ( n2) (0) f ( n1) (0)
z
lim F ( z)
k
存在，则
lim
k 0
f (kT) lim F ( z)
（6）终值定理 若 Z[ f (kT)] F ( z) ，且 (1 z 1 ) F ( z) 在复平面的单位圆上或外没有极 点，那么
lim
k
f (kT) lim (1 z 1 ) F ( z)
st 0
0
e jt e jt st 1 1 1 e dt ( ) 2 2j 2 j s j s j s 2
L[cos t ] cos te dt
st 0
0
e jt e jt st 1 1 1 s e dt ( ) 2 2 2 s j s j s 2
专题1 拉氏变换与Z变换 1 拉氏变换及其性质
1.1 拉氏变换的基本概念 定义: 对于函数f(t)如果满足下列条件： （1）当t<0时，f(t)=0； 当t>0时，f(t)在每个有限区间上是分段连续的。
（2） 0 ，其中σ是正实数，也就是说f(t) 是指数级； 那么定义f(t)的拉氏变换F(s)为
k 0
2 Z变换及其性质
f 1 (t ) z
k 0
k
f 2 (t )z k F1 ( z ) F2 ( z )
k 0
（2）延迟定理（滞后定理右移定理）
设 kT 0 时， y(kT) 0 n 若 Z[ f (t )] F ( z) ，则 Z [ f (t nT )] z F ( z ) 即离散信号在时域内延迟采样周期T，则等价于它的z变换乘以z-1，所以 z-1可看成是滞后一个采样周期的滞后算子。 证明： 注意证明的前提条件 f (t ) 0 t0
1 ( s a ) t 1 dt e 0 sa sa
（3）单位脉冲函数 (t )
L[ (t )] (t ) e st dt 1
0
1 t 0 0 t 0
专题1 拉氏变换与Z变换
1 拉氏变换及其性质 1.2 简单函数的拉氏变换 （4）正弦函数 sin t 和余弦函数 根据欧拉公式，有
1 2
f (kT) z k
k 0
2.2 几类典型函数的z变换 （1）单位阶跃函数1(t) 1 * (t ) (t k T) k 0 单位阶跃函数1(t)的采样函数 故有： 1 k 1 2
Z [1(t )] z
k 0
1 z z
3z
) T
(1 z 1 ) 2
Tz ( z 1) 2
专题1 拉氏变换与Z变换
2 Z变换及其性质 （3）指数函数 f (t ) e at 指数函数对应的序列 f (kT) e akT
at
k 0,1,2,
所以 Z [e ] e akT z k 1 e aT z 1 e2 aT z 2
专题1 拉氏变换与Z变换
2 Z变换及其性质
(3)超前定理（左移定理）
若 Z[ f (t )] F ( z) ，则 Z [ f (t nT )] z
n
( F ( z ) f (mT ) z
m 0
n 1
m
) z F ( z ) f (mT ) z n m
n m 0
k 0
1 1 e aT z 1
z z e aT
由此，有课本P18页表2.1，Z变换表
专题1 拉氏变换与Z变换
4） z变换的性质 （1）线性性质 若 Z[ f1 (t )] F1 ( z), Z[ f 2 (t )] F2 ( z) ，有 Z[f1 (t ) f 2 (t )] F1 ( z) F2 ( z) 其中αβ常数。 证明： Z [f1 (t ) f 2 (t )] (f1 (t ) f 2 (t )) z k
f (k T) z k
k 0
F(z)与f*(t)或{f(kT)}构成变换对，它不是连续时间函数f(t)的Z变换。
专题1 拉氏变换与Z变换
2 Z变换及其性质 对于序列{f(kT)}（也就是采样信号），可以定义它的z变换为
F ( z ) Z { f (kT)} f (0) f (T ) z f (2T ) z
f (t )e t dt
F (s) L[ f (t )] f (t )e st dt 0 式中，s—复变量，且 Re(s)
；
f(t)—原函数； F(s)—象函数
专题1 拉氏变换与Z变换 1 拉氏变换及其性质
1.2 简单函数的拉氏变换 （1）单位阶跃函数1(t)
n 1
特别地，若初始条件 f (0) f (T ) f (2T ) f ((n 1)T ) 0
则
Z [ f (t nT )] z n F ( z )
k
证明： Z [ f (t nT )] f ((k n)T ) z
k 0
z
n
f ((k n)T ) z
0 t 0 1(t ) 1 t 0
1 1 L[1(t )] 1(t )e st dt e st dt e st 0 0 0 s s
（2）指数函数eat
L[e ] e e dt e
at at st 0 0 ( s a ) t
dt
②若 dn 则 L[ n
dt
f (0) f (0) f (0) f ( n2) (0) f ( n1) (0) 0
f (t )] s n F ( s)
专题1 拉氏变换与Z变换
L[ f (t )dt] （3）积分定理 1 式中， f (t ) f (t )dt 推论 F ( s) f 1 (0) n ① L[ f (t )(dt) ] s n s n
L[e at f (t )] F ( s a)
专题1 拉氏变换与Z变换
2 Z变换及其性质 2.1 Z变换的定义 采样信号的数学表达式为 f * (t ) f (t ) (t k T)
k 0
对采样信号两边进行拉氏变换，得
F * ( s ) L[ f * (t )] f (k T)