【2020年高考必备】河南安阳高考数学一模试卷理科及解析
河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.x﹣1，x∈R}，则y=3A∩B=（）25分）设集合A={x|﹣≤x≤2}，B={y|（1．A．（﹣1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣1，2] D．（﹣1，2]，则在复平面内所对应的点位于（分）已知复数2．（5）C．第三象限D．第四象限B．第二象限A．第一象限3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x，x∈（0，+∞）且x≠x，都有2112；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（）2．C．f（x）=ln|x+1|）A．f（x=xD+|x|+1 B．f（x）=cosx，则分）若cosα﹣2sinα=（54．（）或1 1．﹣A1 B．CD．．﹣5．（5分）已知等比数列{a}中，a=1，a+a=6，则a+a=（）75n351．D．B．10 C 12 A．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.99，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．97．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）．D4+Bπ．C．A．4+2π8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）．D．B ．AC．9．（5分）已知{a}为等差数列，S为其前n项和，若a+7=2a，则S=（）133nn5A．49 B．91 C．98 D．182分）已知函数，要得到g（x）=cosx10．（5的图象，只需将函）y=f（x）的图象（数个单位个单位．向右平移BA．向右平移个单位．向左平移个单位CD．向左平移分别是椭圆，F的左、右焦点，P为椭圆F．（5分）已知1121，若为坐标原点）（上一点，且O，则椭圆）的离心率为（．DC．A．B．分）已知函数，（5e为自然对数的底数），则函数12．（的零点个数为（）A．8 B．6 C．4 D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.分）展开式中的常数项为13．（5．满足y，则，且变量x，，=（x，y14．（52分）已知向量=（，3））?的最大值为z=．22﹣2y=0的直径，点P为直线+yy=x﹣115．（5分）已知AB为圆C：x上任意一22的最小值为+|PB| 点，则|PA|．16．（5分）在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，则小球可以经过的空间的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100）内，且销的分布频率x．售量（Ⅰ）求a的值并估计销售量的平均数；（Ⅱ）若销售量大于等于70，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X个组，求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率）．19．（12分）如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，正四面体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD的顶点A，B，C分别在x轴，y轴，z轴上．（Ⅰ）求证：CD∥平面OAB；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x与直线l：y=﹣x之21间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l，l的距离之积为1．21（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l，l于A，B两点，若直线l与轨迹C21有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．已知函数，g（x）分）=3elnx，其中e为自然对数的底数．21．（12）的单调性．（Ⅰ）讨论函数f（x（Ⅱ）是否存在实数a，b，使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立？若存在，试求出a，b的值；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系l．22（10分）设直线xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲2θ=4cos θ．的极坐标方程为线Cρsin（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．时，若对任意x∈R恒成立，求m+n（Ⅰ）当的最小值；的取值范围．[|﹣|xf（Ⅱ）若（）≥x2的解集包含﹣a，求实数2，1]2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.x﹣1，x∈R}，则Ay|y=3∩B=（）21．（5分）设集合A={x|﹣≤x≤2}，B={ A．（﹣1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣1，2] D．（﹣1，2]【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2}，x﹣1，x∈R}={y|y＞﹣yB={|y=31}，∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1，2]．故选：D．，则在复平面内所对应的点位于（．（5）分）已知复数2C．第三象限D．第四象限A．第一象限B．第二象限=【解答】，解：∵，∴，﹣）在复平面内所对应的点的坐标为（﹣则，位于第三象限角．故选：C．3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x，x∈（0，+∞）且x≠x，都有2211；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（）2．C．f（x）=ln|x+1| D．）．Af（x=xx+||+1 Bf（x）=cosx【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数，在（0，+∞）递增，2+x+1，f′=xxf0x）（）（﹣，对于Afx=fx，是偶函数，且＞时，（）（x）=2x+1＞0，故f（x）在（0，+∞）递增，符合题意；对于B，函数f（x）是奇函数，不合题意；对于C，由x+1=0，解得：x≠﹣1，定义域不关于原点对称，故函数f（x）不是偶函数，不合题意；对于D，函数f（x）在（0，+∞）无单调性，不合题意；故选：A．分）若，则cosα﹣2sinα=（4．（5）或1 D．﹣1 B．1 C．A．﹣22α=1，α+1+cosα=3sinα，又sin【解答】cos解：若，则﹣，﹣2sinα=cosα=3sinα﹣1=，∴∴cosαsinα=，∴故选：C．5．（5分）已知等比数列{a}中，a=1，a+a=6，则a+a=（）715n35．CD．A．12 B．10【解答】解：∵，a=1，a+a=6，51324=6，+a∴a+=qq5342﹣6=0q得q，+22+3）q=0，即（q2﹣）（2=2，则q4623=4+8=12+2+则aa=q+q=2，75故选：A6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.99，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．9+可得程序框图的功能是计算S=+…的值．【解答】解：模拟程序的运行，+k≥100，解得：k≥S=0.99+，可得：++=1…=2﹣由题意，≥7，即当n=8时，S的值不满足条件，退出循环．故选：C．7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）．Dπ+ 2πB ．C．4+．A4【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体，其中长方体的长为4，宽为1，高为1，半圆柱的底面半径为r=1，高为h=1，如图，∴该几何体的体积：+=4×11．+V=4×．故选：D8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）．D． B ．AC．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：边长AB=a，22；=?sina其中正三角形ABC的面积S=?a三角形C、满足到正三角形ABC的顶点A、B的平面区域，的距离至少有一个小于1的半圆，如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为，?π?∴S==阴影的距离都大于的概率是：、CB∴使取到的点到三个顶点A、﹣π﹣=1．P=1故选：B．9．（5分）已知{a}为等差数列，S为其前n项和，若a+7=2a，则S=（）133nn5A．49 B．91 C．98 D．182【解答】解：设等差数列{a}的公差为d，∵a+7=2a，53n∴a+2d+7=2（a+4d），化为：a+6d=7=a．7111==13a=13×则S7=91．713．B故选：的图象，只需将函分）已知函数x）=cosx，要得到g（10．（5）数y=f（x）的图象（个单位个单位．向右平移B．向右平移A个单位．向左平移．向左平移个单位CD﹣（x（x）=sin）的图象向左平移个单位，y=f【解答】解：将函数﹣）x=cosx+的图象，可得y=sin（．D故选：的左、右焦点，PF分别是椭圆为椭圆F．11（5分）已知，21，若O，则椭圆（上一点，且为坐标原点））的离心率为（．B A．．．CD【解答】解：如图，取PF的中点A，连接OA，1=2=，+∴，，=+∴，∵，?∴=0，⊥∴，∵=PF||=m，则|m，|不妨设PF12+m，PF|=2a=m|+|∵|PF12﹣1∴）m=a=2a（，∵|FF2|=2c，1222222）﹣4a4c∴，=m（+2m3=3m=3×2，（﹣6=）﹣=9∴，﹣∴e=故选：A分）已知函数，（e为自然对数的底数），则函数（12．5的零点个数为（）A．8B．6C．4D．3．+）1=t（x）=t可得f（t【解答】解：令f）的函数图象如图所示：x作出f（x，，则，y+1与y=e）相切，切点为（x设直线y=kx00．=0，k=1解得x0，，则相切，切点为（与y=lnxx，y）设直线y=kx+1112．，x=ek=解得1个交点，4（∴直线ty=）的图象有t+1与f，tt＜t＜t＜，不妨设4个交点横坐标为t，t，tt，且431342122．=e＜1，t0，t=0，0＜t由图象可知t＜4213f解，有3）解，f（x=t=t）x）的函数图象可知f（x=t无解，f（x）有1由f（321解．2=t有（x）4个零点．）有6∴F（x．故选：B.分5分，共20小题，每小题二、填空题：本题共4（5展开式中的常数项为分）．．13展开式的通项公式为解：二项式【解答】?，==?x?T?1r+r6﹣；r=4﹣=0令6，解得∴展开式中的常数项为．?=故答案为：．，则y满足），且变量x，，3）（，=x，y14．（5（分）已知向量=2z=的最大值为?．解：由约束条件【解答】作出可行域如图，（），联立，解得A，=（x，32，）y），∵=（y=过A3y，化为时，y=∴，由图可知，当直线z=?=2x+有最小值为轴上的截距最大，z直线在．y故答案为：．22﹣2y=0的直径，点P为直线y=x﹣1上任意一：分）已知15．（5AB为圆Cxy+22的最小值为6．|点，则PA|+|PB|22﹣2y=0y：解：圆【解答】Cx+，22=1），（y﹣转化为：x1+d=的距离，）到直线y=x﹣1则：圆心（0，1为圆的直径，AB由于．则：点A到直线的最小距离为：．到直线的距离为点B22，=PB|PA则：||=6+|6故答案为：的小球，晃动此正的密封正方体容器内有一个半径为1（16．5分）在棱长为4．方体，则小球可以经过的空间的体积为【解答】解：∵在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，∴小球可以经过的空间的体积：=．V=．故答案为：题为第17-21证明过程或演算步骤三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、..23题为选考题，考生根据要求作答必考题，每个试题考生都必须作答.第22，，且满足cB，C所对的边分别为a，b，（17．12分）已知在△ABC中，内角A，．a+2acosB=c；（Ⅰ）求证：B=2A的取值范围．（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a，2acosB=c+ABC中，a【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意，在△，=sinAcosB+cosAsinB（由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sinA+B）．）﹣即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin（BA，BA，∈（0，π）因为，A）≠π﹣（A），∈（）﹣（A），∈（﹣﹣所以BAππ，且+BA=B0π，所以+B．所以A=B，A﹣B=2A．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，由△ABC为锐角三角形得，＜cosB＜得，则0得a+2acosB=2，由，cosB＜又由0＜．则分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调12．（18）内，且销10050，天，统计发现每天的销售量x分布在[查：先销售该产品50．的分布频率x售量的值并估计销售量的平均数；（Ⅰ）求a，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中用分层（Ⅱ）若销售量大于等于70天来自设这3天中随机抽取3天进行统计，8抽样的方法随机抽取8天，再从这．X的分布列及数学期望（将频率视为概率）X个组，求随机变量，87，可取5，6，n，解得【解答】解：（Ⅰ）由题知5≤n≤9n，，9中，代入．a=0.15得，）内的频率分10090，[[80，90），）[，）[销售量在50，60，[6070），70，80，，，0.3，0.2，0.30.1别是0.1，．0.3=81950.3850.2750.1650.155销售量的平均数为×+×+×+×+×（Ⅱ）销售量在[70，80），[80，90），[90，100）内的频率之比为2：3：3，所以各组抽取的天数分别为2，3，3．X的所有可能值为1，2，3，，，．P．数学期望中，正四面体（各条棱均相等的﹣xyz．19（12分）如图，在空间直角坐标系O 轴上．zx轴，y轴，分别在三棱锥）ABCD的顶点A，B，C；（Ⅰ）求证：CD∥平面OAB的余弦值．DAB﹣﹣（Ⅱ）求二面角C【解答】（Ⅰ）证明：由AB=BC=CA，可得OA=OB=OC．设OA=a，则，A（a，0，0），B（0，a，0），C（0，0，a），，设D点的坐标为（x，y，z），则由2222222222，=2az（﹣a）y）﹣（yax可得（﹣）++z=x+ya+z=x++解得x=y=z=a，∴．又平面OAB的一个法向量为，，∴∴CD∥平面OAB；（Ⅱ）解：设F为AB的中点，连接CF，DF，则CF⊥AB，DF⊥AB，∠CFD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．，中，由（Ⅰ）知，在△CFD，，则由余弦定理知．D的余弦值为C﹣AB﹣即二面角20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x与直线l：y=﹣x之21间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l，l的距离之积为1．21（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l，l于A，B两点，若直线l与轨迹C21有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．（Ⅰ）由题意得，|（x+y）（【解答】解：x﹣y）|=2．22=2，﹣y）=xyy同号，得（x+y）（x﹣内，所以因为点P在区域Wx+y与x﹣的方程为．的轨迹C即点P的斜率不存在时，l轴相交于点D，当直线，，（Ⅱ）设直线l与x得．，则0，m，显然k≠当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+22222，m2=0）x+﹣l的方程与C：x2kmx﹣y+=2联立得（k1﹣把直线2222+2）=0，﹣1）l由直线与轨迹C有且只有一个公共点，知△=4k（mm﹣4（k 22﹣1）＞0，得k＞1或得mk=2（k＜﹣1．，同理，得得y），由．x，y），B（x，（设A2212．所以=综上，△OAB的面积恒为定值2．已知函数，g（x）分）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（21．12）的单调性．x（Ⅰ）讨论函数f（∞）恒成，+x（x）对任意∈（0gaxfa（Ⅱ）是否存在实数，b，使（x）≥+b≥的值；若不存在，请说明理由．b立？若存在，试求出a，，（Ⅰ）根据题意，函数【解答】解：，得．x）=0令f'（；当时，f'（x）＜f'（x0）＞0．时，≠且当x0上单调递减，在）上单调递减，在）在（﹣∞，（所以fx0上单调递增．（Ⅱ）根据题意，注意到f（e）=g（e）=3e，则ae+b=3e，b=3e﹣ae①．于是，ax+b≥g（x）即a（x﹣e）﹣3e（1﹣lnx）≥0，，，lnx）+3e（1﹣h（x）=a（x﹣e）则记若a≤0，则h'（x）＜0，得h（x）在（0，+∞）上单调递减，则当x＞e时，有h（x）＜h（e）=0，不合题意；上单调递减，在）在h（x上单调递增，若a＞0，易知∞）上的最小值，+x）在（0h．得（，则记=0，即，得m（a）有最大值m（3），）=0m（3m（a）≤．，代入①得b=00，故a=3又m（a）≥32x即x）≥ax+b?当a=3，b=0时，f（32．+e0≥﹣3ex323，则φ'（x）=6x（x﹣e），得φ（x）在（0φ记（x）=2x，﹣3ex+e+∞）上有最小值φ（e）=0，即φ（x）≥0，符合题意．综上，存在a=3，b=0，使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】的参数方程为，（tl为参数），若以直角坐标系xOy．22（10分）设直线的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲2θ=4cos θρsin．线C的极坐标方程为（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．2θ=4cosθ，（Ⅰ）由于【解答】解：ρsin222=4x，sin，即θ=4ρcosθy所以ρ因此曲线C表示顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线．，﹣1，化为普通方程为（Ⅱ）y=2x2，代入y=4x2，+4x1=0﹣8x并整理得，所以，=．=：不等式选讲】4-5【选修．2x﹣1|x23．已知函数f（）=|x+1|+a|的最小恒成立，求对任意（Ⅰ）当时，若x∈Rm+n值；的取值范围．a2]，求实数[x（Ⅱ）若f（）≥|x﹣2|的解集包含﹣1，，（Ⅰ）当【解答】解：时，，．∴，∴∴时等号成立，∴，当且仅当m=n时等号成立，m=n，当且仅当，∵mn＞0，解得．n的最小值为+故m，x（（Ⅱ）∵fx）≥|﹣2|2]，的解集包含[﹣1，2x﹣1﹣x2|≥|++21[当x∈﹣，]时，有x1a恒成立，对﹣12x|﹣|≥12xx]，﹣12∈[a∴；≥，∴﹣）≥﹣（时，当a12x12xa1．2x﹣112xa时，（﹣）≥，∴≥﹣当a1．1a≥综上：．+∞），[a故实数的取值范围是1。
2020届河南省安阳市高三年级第一次模拟数学(理)试题(解析版)
2020届河南省安阳市高三年级第一次模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{| 3 3}A x x x =≥≤-或，{}|2,1xB y y x ==≥，则()R A B =I ð（ ） A ．{|23}x x ≤< B ．{|2}x x > C ．{|3}x x ≥ D ．{|23}x x <≤【答案】A【解析】对集合进行,A B 进行化简，再进行集合运算，即可得答案. 【详解】由题意得(3,3),{|2}R A B y y =-=≥ð，故()[2,3)R A B ⋂=ð. 故选：A. 【点睛】本题考查集合的补集、交集运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2．已知复数z 满足(3)1i z i +=+，则z 的虚部为（ ） A ．i - B ．iC ．–1D ．1【答案】C【解析】利用复数的四则运算可得2z i =--，即可得答案. 【详解】∵(3)1i z i +=+，∴131iz i i++==-， ∴2z i =--，∴复数z 的虚部为1-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部概念，考查运算求解能力，属于基础题.3．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A ．221111a b <++ B C ．2a ab <D ．()()22ln 1ln 1a b +>+【解析】利用函数的单调性得到,a b 的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案. 【详解】∵()f x 在R 上单调递增，且()()f a f b >，∴a b >.∵,a b 的符号无法判断，故2a 与2b ，2a 与ab 的大小不确定， 对A ，当1,1a b ==-时，221111a b =++，故A 错误； 对C ，当1,1a b ==-时，21,1a ab ==-，故C 错误； 对D ，当1,1a b ==-时，()()22ln 1ln 1a b +=+，故D 错误； 对B ，对a b >，则33a b >，故B 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.4．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 【答案】D【解析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.对A ，从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为41123=，故A 正确； 对B ，由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，故B 正确； 对C ，12个月的PMI 值的众数为49.4%，故C 正确，； 对D ，12个月的PMI 值的中位数为49.6%，故D 错误 故选：D. 【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题. 5．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10 B ．14- C ．–18 D ．–20【答案】D【解析】利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得n S ，再利用二次函数的性质，可得当4n =或5时，n S 取到最小值. 【详解】根据题意，可知{}n a 为等差数列，公差2d =，由134,,a a a 成等比数列，可得2314a a a =，∴1112()4(6)a a a ++=，解得18a =-.∴22(1)981829()224n n n S n n n n -=-+⨯=-=--. 根据单调性，可知当4n =或5时，n S 取到最小值，最小值为20-. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n 项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当4n =或5时同时取到最值.6．已知cos(2019)3πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-【答案】C【解析】利用诱导公式得cos(2019)cos παα+=-，sin(2)cos 22παα-=，再利用倍角公式，即可得答案. 【详解】由cos(2019)πα+=可得cos()πα+=∴cos α=，∴225sin(2)cos22cos 121299πααα-==-=⨯-=-. 故选：C. 【点睛】本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号.7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M 点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A1 BCD【答案】A【解析】设(,)M a b ，则MF 的中点坐标为(,)22a c b+，代入双曲线的方程可得,,a b c 的关系，再转化成关于,a c 的齐次方程，求出ca的值，即可得答案. 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为(,0)A a ，右焦点为(c,0)F ，M 所在直线为x a =，不妨设(,)M a b ，∴MF 的中点坐标为(,)22a cb +.代入方程可得2222221a c b a b+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=， ∴22()544a c a +=，∴2240e e +-=，∴1e =（负值舍去）.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造,a c 的齐次方程.8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（ ）A ．1?S >-B ．0?S <C ．–1?S <D ．0?S >【答案】B【解析】根据程序框图知当11=i 时，循环终止，此时1lg110S =-<，即可得答案. 【详解】1i =，1S =.运行第一次，11lg 1lg30,33S i =+=->=，不成立，运行第二次，131lg lg 1lg50,535S i =++=->=，不成立，运行第三次，1351lg lg lg 1lg70,7357S i =+++=->=，不成立，运行第四次，13571lg lg lg lg 1lg90,93579S i =++++=->=，不成立，运行第五次，135791lg lg lg lg lg 1lg110,11357911S i =+++++=-<=，成立，输出i 的值为11，结束. 故选：B. 【点睛】本题考查补充程序框图判断框的条件，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意模拟程序一步一步执行的求解策略. 9．已知各项都是正数的数列{}n a 满足()*12n n a Na n n +-=∈，若当且仅当4n =时，na n取得最小值，则（ ） A ．1012a << B ．11220a <<C ．112a =D ．120a =【答案】B【解析】根据递推关系，利用累加法求出21n a n n a =-+，进而得到11n a a n n n=-+，再利用对勾函数的单调性，即可得答案. 【详解】由题意得当2n ≥时，122n n a a n --=-，122124,,2n n a a n a a ---=--=L ，累加得21n a a n n -=-，故21n a n n a =-+，当1n =时，该式也成立，则11n a an n n=-+ 因为当且仅当4n =时，na n取得最小值， 10a >， 所以由“对勾两数”的单调性可知4343a a <且4545a a <， ∴11413143a a -+<-+且11415145a a-+<-+，解得11220a <<. 故选：B. 【点睛】本题考查累加法求数列通项公式、对勾函数的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意n 为整数的特殊性.10．过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=，由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，从而得到()2||21AB p k =+，同理可得21||2(1)CD p k=+，再利用111||||4AB CD +=求得p 的值，当Q ，P ，M 三点共线时，即可得答案. 【详解】根据题意，可知抛物线的焦点为(0,)2p，则直线AB 的斜率存在且不为0， 设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=. 由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，所以()2||21AB p k=+.又直线CD 的方程为12p y x k =-+，同理21||2(1)CD p k=+， 所以221111111||||2(1)242(1)AB C p k p kD p +=+==++，所以24p =.故24x y =.过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足， 则由抛物线的定义可得||||PF PM =.所以||||||||||3PF PQ PM PQ MQ +=+≥=，当Q ，P ，M 三点共线时，等号成立. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.11．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A．6B ．13C．3D ．1【答案】B【解析】过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF .因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离h .设(0)2CDE πθθ∠=<≤，将h 表示成关于θ的函数，再求函数的最值，即可得答案.【详解】过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF .因为平面ECD ⊥平面ABCD ，所以EH ⊥平面ABCD ， 所以EH HF ⊥.因为底面ABCD 是边长为1的正方形，//HF AD ，所以1HFAD ==.因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离. 易证平面EFH⊥平面ABE ，所以点H 到平面ABE 的距离，即为H 到EF 的距离h . 不妨设(0)2CDE πθθ∠=<≤，则sin EH θ=，21sin EF θ=+.因为1122EHF S EF h EH FH =⋅⋅=⋅⋅V ，所以21sin sin h θθ⋅+=， 所以22211sin 1sin h θθ==≤++，当2πθ=时，等号成立. 此时EH 与ED 重合，所以1EH =，2111133E ABCD V -=⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意辅助线及面面垂直的应用.12．已知不等式ln (ln4)0x x x k k +-+<的解集中仅有2个整数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．20,ln 23⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．342ln ,ln 2433⎛⎫⎪⎝⎭ C ．34ln,43⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．342ln,ln 2433⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】原不等式等价于(1)ln4ln k x x x x +<-，设()(1),()ln4ln g x k x f x x x x =+=-，利用导数研究函数()f x 的图象特征，再利用图象可得0k >，且(2)(2)(3)(3)g f g f <⎧⎨≥⎩，解不等式，即可得答案.【详解】原不等式等价于(1)ln4ln k x x x x +<-，设()(1),()ln4ln g x k x f x x x x =+=-，4()ln 4(1ln )ln 1f x x x'∴=-+=-，令()0f x '=，得4x e=. 当40x e<<时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当4ex >时，()0f x '<，()f x 单调递减. 又(4)0,0f x =→时，()0f x →因此()f x 与()g x 的图像如下， 当0k ≤时，显然不满足条件，当0k >时，只需满足(2)(2)(3)(3)g f g f <⎧⎨≥⎩，(21)2ln 42ln 2(31)3ln 43ln 3k k +<-⎧∴⎨+≥-⎩，342ln ln 2433k ∴≤<.故选：D.【点睛】本题考查根据不等式的整数解个数求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意借助函数图象的直观性进行分析问题.二、填空题13．已知向量(1,1)a =r，||b =r(2)2a b a +⋅=r r r，则||a b -=r r__________. 【答案】3【解析】由题意得2a b ⋅=-r r ，a r ||=，再代入||a b -==r r 中，计算即可得答案. 【详解】由题意可得a r ||=2(2)24a b a a b a a b ⋅=+=++⋅⋅r r r r r r r r，∴42a b =⋅+r r ，解得2a b ⋅=-r r，∴||3a b =-===r r.故答案为：3. 【点睛】本题考查向量模的计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意向量数量积公式的运用.14．5(1)(1)ax x +-的展开式中，3x 的系数是20，则a =_________. 【答案】1-【解析】对多项式展开得55(1)(1)ax x x -+-，再研究5(1)x -的通项得，当3r =和2r =时，可得3x 的系数为332255(1)(1)aC C -+-，再解关于a 的方程，即可得答案.【详解】因为555(1)(1)(1)(1)ax x ax x x +-=-+-，而5(1)x -展开式的通项公式为展开式的通项公式为515,05C (,1,),1r r r r T x r -+==-L . 所以5(1)(1)ax x +-的展开式中3x 的系数为332255(1)(1)20aC C -+-=，解得1a =-.故答案为：1-. 【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意系数的符号.15．将底面直径为4大值为__________.【解析】由题意欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h ，底面半径为r2r=，将侧面积表示成关于r 的函数，再利用一元二次函数的性质求最值. 【详解】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h ，底面半径为r ，则2r=，所以h =.∴222(1)12S rh r r r ππ⎫⎡⎤===--+≤⎪⎣⎦⎭侧，当1r =时，S 侧.. 【点睛】本题考查圆柱的侧面积的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意将问题转化为函数的最值问题.16．2019年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为1114，从第二次看到广告起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是13，若前一次来此景区，则这次来此景区的概率是25.记观众甲第n 次看到广告后不来此景区的概率为n P ，若当2n ≥时，n P M ≤恒成立，则M 的最小值为__________. 【答案】137210【解析】设n P 为观众甲第n 次看到广告后不来此景区的概率，根据题意可得914n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为1914P -，公比为115的等比数列，求出{}n P 的通项公式，再判断其单调性，即可得答案. 【详解】根据题意，n P 为观众甲第n 次看到广告后不来此景区的概率， 则()1112313135155n n n n P P P P ---=⋅+-⋅=+， 所以1919141514n n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以914n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为1914P -，公比为115的等比数列， 所以11199111141415715n n n P P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即191114715n n P -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，显然数列{}n P 单调递减， 所以当2n ≥时，291113714715210n P P ≤=+⨯=， 所以137210M ≥，所以M 的最小值为137210. 【点睛】本题考查概率与数列的综合题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意寻找递推关系是解题的关键.三、解答题17．如图，在平面四边形ABCD 中，45DCB ∠=︒，120ABD ∠=︒，ABC α∠=，103AD =.（1）求ABD △的面积的最大值，（2）在ABD △的面积取得最大值的条件下，若52BC =tan 2α的值.【答案】（1）2532）12【解析】（1）利用余弦定理、结合基本不等式可得·100BA BD ≤，再利用三角形的面积公式，即可得答案；（2）利用正弦定理求出105CBD ∠=︒，进而得到α的值，再利用半角公式，即可求得tan2α的值.【详解】(1)在ABD △中，由余弦定理可得2222cos120AD BA BD BA BD =+-⋅︒， 所以223003BA BD BA BD BA BD =++⋅≥⋅，所以·100BA BD ≤，当且仅当10BA BD ==时，等号成立. 所以1sin1202532ABD S BA BD =⋅︒≤V ， 故ABD △的面积的最大值为253.（2）在BCD V 中，由题意可得45BCD ∠=︒，10BD =.由正弦定理可得sin sin BC BDCDB BCD=∠∠，所以252sin 12sin 102BC BCD CDB BD ⨯⋅∠∠===. 又BD BC >，所以CDB ∠为锐角，所以30CDB ∠=︒，所以105CBD ∠=︒， 所以135α=︒.所以tantan67.52α=︒因为22tan67.5tan13511tan 67.5︒︒==--︒，所以tantan67.5122α=︒=+（负值舍去）.【点睛】本题考查正余弦定理的应用、三角恒等变换中的半角公式、基本不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.18．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11A ACC ，12CC =，ABC V ，1ACC △，均为正三角形，E 为AB 的中点.（1）证明:1//AC 平面1B CE ，（2）求直线1AC 与平面11B BAA 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】（1）如图，连接1BC ，交1B C 于点M ，连接ME ，则1//ME AC ，再利用线面平行的判定定理，即可证明线面平行；（2）设O 是AC 的中点，连接1OC ，OB ，分别以射线OB ，OA ，1OC 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面11B BAA的一个法向量为1)m =-r，设直线1AC 与平面11B BAA 所成的角为θ，代入公式1||sin ||||AC m AC m θ⋅=⋅u u u r ru u u r r 运算，即可得答案. 【详解】（1）如图，连接1BC ，交1B C 于点M ，连接ME ，则1//ME AC . 因为1AC ⊄平面1B CE ，ME ⊂平面1B CE ，所以1//AC 平面1B CE . （2）设O 是AC 的中点，连接1OC ，OB .因为1ACC △为正三角形，所以1OC AC ⊥，又平面ABC ⊥平面11A ACC ，平面ABC I 平面11A ACC AC =， 所以1OC ⊥平面ABC .由已知得2AC =.如图，分别以射线OB ，OA ，1OC 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有(0,1,0)A，B，1C，1A ，故1(0,1AC =-u u u u r，1,0)AB =-u u u r，1AA =u u u r ， 设平面11B BAA 的一个法向量为(, , )m x y z =r ，则100AB m AA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v vu u u v v ，所以00y y -=+=⎪⎩令1x =，则1)m =-r.设直线1AC 与平面11B BAA 所成的角为θ，则1||sin ||||AC m AC m θ⋅===⋅u u u r ru u u r r， 故直线1AC 与平面11B BAA所成角的正弦值为5.【点睛】本题考查线面平行的证明、线面角的向量求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意在建系之前，要证明三条直线两两互相垂直.19．近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益.根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x （单位:十箱）与成本y （单位:千元）的关系如下: x 1 3 4 6 7 y 56.577.58y 与x 可用回归方程$$ˆlg y bx a =+(其中$a ，b $为常数)进行模拟. （1）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元.（利润=售价-成本）（2）据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地可配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.一个运输户拟购置n 辆小货车专门运输该农户为甲地配送的该新奇水果，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该新奇水果，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利500元，若未发车，则每辆车每天平均亏损200元｡试比较3n =和4n =时此项业务每天的利润平均值的大小.参考数据与公式:设lg t x =，则线性回归直线$$ˆlg y bx a =+中，()()()121ˆnii i ni i tty y b t t ==--=-∑∑，$ˆay bt =-. 【答案】（1）6636（2）概率见解析，购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值【解析】（1）根据题意，先求出y 关于t 的线性回归方程，进而求得y 关于x 的线性回归方程，再将10x =代入回归方程，即可得答案；（2）根据频率分布直方图，可得该农户每天可配送的该新奇水果的箱数的概率分情况，再设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为1Y ，2Y 元，写出两个随机变量的分布列，并求出期望进行大小比较，即可得答案. 【详解】（1）根据题意，()()()515211.53ˆ 3.40.45i i i i i tt y y bt t ==--===-∑∑， 所以ˆˆ 6.8 3.40.54 4.964ay bt =-=-⨯=，所以ˆ 3.4 4.964y t =+. 又lg t x =，所以ˆ 3.4lg 4.964yx =+. 所以10x =时，ˆ 3.4 4.9648.364y =+=（千元），即该新奇水果100箱的成本为8364元，故该新奇水果100箱的利润1500083646636-=.（2）根据频率分布直方图，可知该农户每天可配送的该新奇水果的箱数的概率分布表为:设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为1Y ，2Y 元.则1Y 的可能取值为1500，800，100，其分布列为故()1511920015008001008488E Y =⨯+⨯+⨯=. 则2Y 的可能取值为2000，1300，600，100-，其分布列为故()21111830020001300600(100)82488E Y =⨯+⨯+⨯+⨯-=. 故()()21E Y E Y <，即购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值. 【点睛】本题考查最小二乘法和换元法求回归方程、离菜型随机变量的分布列和均值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查数据处理能力，求解时注意对题意的理解和非线性回归方程的求解方法.20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，12||2F F =，M是椭圆E 上的一个动点，且12MF F △ （1）求椭圆E 的标准方程，（2）若(,0)A a ，(0,)B b ，四边形ABCD 内接于椭圆E ，//AB CD ，记直线AD ，BC 的斜率分别为1k ，2k ，求证:12k k 为定值.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】（1）设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可知，当M 为椭圆E 的上顶点或下顶点时，12MF F △,,a b c ，即可得答案；（2）根据题意可知(2,0)A，B ，因为//AB CD ，所以可设直线CD的方程为()()1122(,,,2y x m m D x y C x y =-+≠，将直线代入曲线的方程，利用韦达定理得到12,x x 的关系，再代入斜率公式可证得12k k 为定值. 【详解】（1）设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可知，当M 为椭圆E 的上顶点或下顶点时，12MF F △所以2221122c c b a b c =⎧⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩，所以2a =，b =故椭圆E 的标准方程为22143x y +=.（2）根据题意可知(2,0)A，B ，因为//AB CD ，所以可设直线CD的方程为()()1122(,,,2y x m m D x y C x y =-+≠.由221432x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y可得2264120x m -+-=，所以123x x +=，即123x x =-.直线AD的斜率11111222x my k x x +==--， 直线BC的斜率222222x m y k x x +--==， 所以121212222x m x m k k x x ++-=⋅-()()121211233(4222x x x x x m m x x +++=-()1221233(422x x x m m x x ⎫-+-+-⎪⎝⎭=- ()1221233422x x x x x -=-34=，故12k k 为定值. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的运用. 21．已知直线–1y x =是曲线()ln f x a x =的切线. （1）求函数()f x 的解析式，（2）若34ln2t ≤-，证明:对于任意0m >，()()h x mx f x t =+有且仅有一个零点.【答案】（1）()ln f x x =（2）证明见解析【解析】（1）对函数求导，并设切点()000,P x y ，利用点既在曲线上、又在切线上，列出方程组，解得01x a ==，即可得答案；（2）当x 充分小时()0h x <，当x 充分大时()0h x >，可得()h x 至少有一个零点. 再证明零点的唯一性，即对函数求导得211()164h x m ⎫'=-+⎪⎭，对m 分116m ≥和1016m <<两种情况讨论，即可得答案. 【详解】（1）根据题意，()af x x'=，设直线1y x =-与曲线()ln f x a x =相切于点()000,P x y . 根据题意，可得0001ln 1a x a x x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解之得01x a ==，所以()ln f x x =.（2）由（1）可知()ln (0)h x mx x t x =-+>，则当x 充分小时()0h x <，当x 充分大时()0h x >，∴()h x 至少有一个零点.∵2111()164h x m m x ⎫'=+=-+-⎪⎭， ①若116m ≥，则()0h x '≥，()h x 在(0,)+∞上单调递增，∴()h x 有唯一零点. ②若1016m <<令211()0416h x m ⎫'=-+-=⎪⎭，得()h x 有两个极值点，∵()1212,x x x x <，14>，∴1016x <<. ∴()h x 在1(0,)x 上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增. ∴极大值为()1111111ln ln h x mx x t x x t x ⎛⎫=+=--+⎪⎪⎭.11ln x t =-++，又()11110h x x '=+=>， ∴()1h x 在(0，16)上单调递增，∴()1(16)ln163ln16334ln20h x h t <=-+≤-+-=， ∴()h x 有唯一零点.综上可知，对于任意0m >，()()h x mx f x t =-++有且仅有一个零点.【点睛】本题考查导数的几何意义的运用、利用导数证明函数的零点个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意零点存在定理的运用.22．以直角坐标系xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴.已知曲线1C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+，P 是1C 上一动点，2OP OQ =u u u r u u u r，Q 的轨迹为2C .（1）求曲线2C 的极坐标方程，并化为直角坐标方程，（2）若点(0,1)M ，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线l 与曲线2C 的交点为A ，B ，当||||MA MB +取最小值时，求直线l 的普通方程.【答案】（1）2cos 4sin ρθθ=+，22(1)(2)5x y -+-=（2）–10x y +=【解析】（1）设点P ，Q 的极坐标分别为()0,ρθ，(,)ρθ)，利用012ρρ=这一关系，可得Q 的极坐标方程，再化成普通方程，即可得答案； （2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则12||,||MA t MB t ==，将直线l 的参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，（t 为参数），代入2C 的直角坐标方程，利用韦达定理，从而将问题转化为三角函数的最值问题，求出此时的α值，即可得答案.【详解】（1）设点P ，Q 的极坐标分别为()0,ρθ，(,)ρθ)， 因为012cos 4sin 2ρρθθ==+， 所以曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+，两边同乘以ρ，得224cos sin ρρθρθ=+，所以2C 的直角坐标方程为2224x y x y +=+，即22(1)(2)5x y -+-=. （2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则12||,||MA t MB t ==，将直线l 的参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，（t 为参数）， 代入2C 的直角坐标方程()()22–125x y +-=中，整理得22(cos sin )30t t αα-+-=.由根与系数的关系得12122(cos sin ),3t t t t αα+=+=-.∴1212||||MA MB t t t t +=+=-===≥( 当且仅当sin 21α=-时，等号成立)∴当||||MA MB +取得最小值时，直线l 的普通方程为–10x y +=.【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程的互化、直线参数方程的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.23．已知,,a b c R +∈，x R ∀∈，不等式|1||2|x x a b c ---≤++恒成立. （1）求证:22213a b c ++≥（2）求证≥【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）先根据绝对值不等式求得|1||2|x x ---的最大值，从而得到1a b c ++≥，再利用基本不等式进行证明；（2）利用基本不等式222a b ab +≥变形得222()2a b a b ++≥，两边开平方得到新的不等式，利用同理可得另外两个不等式，再进行不等式相加，即可得答案.【详解】（1）∵|1||2||12|1x x x x ---≤--+=，∴1a b c ++≥.∵222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ac +≥，∴222222222a b c ab bc ac ≥++++，∴2222222333222()1a b c a b c ab bc ac a b c ++≥+++++=++≥， ∴22213a b c ++≥. （2）∵222a b ab +≥，()2222222()a ba ab b a b +≥++=+，即222()2a b a b ++≥||()22a b a b ≥+=+.)2b c ≥+)2c a ≥+.)a b c ≥++≥【点睛】 本题考查绝对值不等式、应用基本不等式证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和推理论证能力.。
2020届河南省安阳市高三毕业班第一次调研考试数学(理)试题(解析版)
2020届河南省安阳市高三毕业班第一次调研考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}12M x x =-<，{N x y ==，则M N ⋂＝（ ）A.{}13x x -≤<B.{}13x x -<< C.{}13x x -<≤ D.{}23x x -<<【答案】B【解析】首先求两个集合，再求交集. 【详解】{}{}1213M x x x x =-<=-<<,{N x y =={}260x x x =+-…{}260x x x =--…{}{}2313x x M N x x =-∴⋂=-<<剟。
【点睛】本题考查了两个集合的交集，属于简单题型. 2．设复数z 满足()25z i +=，则z i -=( )B.2C. D.4【答案】C 【解析】首先52z i=+，并且化简z ，然后求z i -，并且求z i -. 【详解】55(2)(2)5,22(2)(2)i z i z i i i i -+=∴===-++-，22z i i -=- ，|i |z ∴-=【点睛】本题考查了复数的代数运算，以及模的求法，属于基础计算问题.3．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）A.甲所得分数的极差为22B.乙所得分数的中位数为18C.两人所得分数的众数相等D.甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 【答案】D【解析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果. 【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A 正确；乙所得分数的中位数为18，B 正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C 正确；甲的平均分为11151720222224323319699x ++++++++==甲，乙的平均分为8111216182022223116099x ++++++++==乙 ，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D 错误，故选D. 【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.4．已知函数()sin ,0,621,0.x x x f x x ππ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+>⎩则()()21f f -+=( )A．62+ B．62- C ．72D ．52【答案】C【解析】结合分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可． 【详解】解：1(2)sin(2)sin 662f πππ-=-+==，f （1）1213=+=，∴17(2)(1)322f f -+=+=，故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用代入法是解决本题的关键．属于基础题．5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A.1 B.3 C.6 D.9【答案】D【解析】首先根据对数运算法则，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值. 【详解】由3132312log log log 12a a a +++= ，可得31212log 12a a a =，进而可得()6121212673a a a a a == ，679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.6．已知向量(sin a θ=，()1,cos b θ=，||3πθ…，则a b -的最大值为（ ）A.2 C.3D.5【答案】B【解析】首先求()sin cos a b θθ-=-，()2254sin 3a b a bπθ⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭，根据θ的取值范围求函数的最大值. 【详解】()sin cos a b θθ-=-由已知可得222||(sin 1)cos )54sin 3a b πθθθ⎛⎫-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为||3πθ…，所以2033ππθ+剟，所以当3πθ=-时，2||a b -的最大值为505-=，故||a b -.【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示，以及三角函数函数求最值，本题的关键是正确求出2a b -.7．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为（ ）A.9B.7C.5D.3【答案】A【解析】依次代入循环结构，得到正确结果. 【详解】 第一次循环：11,31(12)3S n ===⨯+ ；第二次循环：112,533(32)5S n =+==⨯+ ； 第三次循环：213,755(52)7S n =+==⨯+； 第四次循环：314,977(72)9S n =+==⨯+，此时输出9n = . 【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，这类题型在退出循环结构，计算结果时，注意是当型还是直到型，条件是不同的.8．已知函数()()sin f x A x =+ωϕA 0,0,||2πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，如果将()y f x =的图象向左平移4π个单位长度，则得到图象对应的函数为（ ）A.2y sinx =-B.12cos2y x = C.2y cosx = D.22y cos x =【答案】C【解析】首先根据最值计算A ，根据周期计算ω，最后根据4x π=时，函数取得最大值，求解ϕ，再根据“左＋右-”求平移后的解析式. 【详解】 由图知322,4444T A πππ==-=, 2,1T πω∴=∴=,又2,||42f ππϕ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，,()2sin 44f x x ππϕ⎛⎫∴=∴=+ ⎪⎝⎭，向左平移4π个单位长度后得到2sin 2cos 2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ .【点睛】本题考查了根据图象求三角函数的解析式，属于基础题型，一般根据最值求A ，由图象中的极值点或零点间的距离求周期，根据公式2T ωπ=求ω，最后根据“五点法”中的某个点求ϕ.9．已知函数()()221xf x x a x e =++，则“a =是“函数()f x 在-1x =处取得极小值”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求出原函数的导函数，分析函数()f x 在1x =-处取得极小值时的a 的范围，再由充分必要条件的判定得答案． 【详解】解：若()f x 在1x =-取得极小值，2222()[(2)1](1)(1)x x f x x a x a e x x a e '=++++=+++．令()0f x '=，得1x =-或21x a =--． ①当0a =时，2()(1)0x f x x e '=+…． 故()f x 在R 上单调递增，()f x 无最小值；②当0a ≠时，211a --<-，故当21x a <--时，()0f x '>，()f x 单调递增；当211a x --<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增． 故()f x 在1x =-处取得极小值．综上，函数()f x 在1x =-处取得极小值0a ⇔≠．∴“a =是“函数()f x 在1x =-处取得极小值”的充分不必要条件．故选：A ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查充分必要条件的判定，属于中档题． 10．已知数列{}n a 是递增的等差数列，且2a ，3a 是函数()256f x x x -=+的两个零点．设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若不等式1log (1)3na T a >-对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.10,4⎛⎫⎪⎝⎭B.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()01，【答案】C【解析】首先根据23,a a 求等差数列的通项公式，n a n =，再将恒成立问题转化为()()min 1log 13a n a T -<，最后解对数不等式. 【详解】数列{}n a 是递增的等差数列，23,a a 是函数()256f x x x -=+的两个零点，232,3,n a a a n ∴==∴=,211(2)n n a a n n +=+ ，易知数列{}n T 单调递增()1min 13n T T ∴== .要使不等式1log (1)3n a T a >-对任意正整数n 恒成立，只要11log (1)33a a >-即可10,01a a ->∴<<.解1a a ->，得102a <<，∴实数a 的取值10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查数列和函数的零点，以及恒成立，不等式的综合问题，属于中档题型， 中间有个步骤是求n T 的最小值，不用裂项相消法求n T ，而是直接求n T 的最小值.11．已知双曲线2222C :1(0,b 0)x y a a b-=>>的左、右焦点分别为()10F c－，，()20F c ，，点N 的坐标为23c,2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b >+，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A.⎝B.C.(5,)⎛+∞ ⎝⎭D.(13,)+∞【答案】C【解析】首先根据双曲线的定义，212MF MF a =+，转化为124MF MN a b ++>，即()1min24MF MNa b ++>，根据数形结合可知，当点1,,M F N 三点共线时，1MF MN +最小，转化为不等式23242b a b a+>，最后求离心率的范围.【详解】由已知可得212MF MF a -=，若2||4MF MN b +>，即1|||24MF MN a b ++>‖，左支上的点M 均满足2||4MF MN b +>， 如图所示，当点M 位于H 点时，1||MF MN +最小，故23242b a b a +>，即22348b a ab +>, 223840,(2)(23)0b ab a a b a b ∴-+>∴-->,23a b ∴>或222,49a b a b <∴>或22224,913a b c a <∴<或225,13c c a a >∴<<或ca >∴双曲线C 的离心率的取值范围为(5,)⎛+∞ ⎝⎭.【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键是根据几何关系分析1|||MF MN +‖的最小值，转化为,a b 的代数关系，最后求ca的范围.12．在三棱锥P ABC －中，点P A B C ，，，均在球O 的球面上，且86AB BC AB BC ⊥==，，，若此三棱锥体积的最大值为则球O 的表面积为( ) A.90π B.120π C.160π D.180π【答案】D【解析】根据条件可知，当球心在三棱锥P ABC -的高上时，此三棱锥的体积最大.根据数形结合，设半径为R ，1OO A ∆是直角三角形，满足22211AO AO OO =+，建立关于R 的方程,最后24S R π=计算表面积. 【详解】因为三棱锥P ABC -的底面积一定，所以当球心在三棱锥P ABC -的高上时， 此三棱锥的体积最大.设球O 的半径为R ，顶点P 在底面内的射影为1O .因为AB BC ⊥，所以1O 为斜边AC 的中点，则1522AC AO ===，如图所示.由三楼锥P ABC -的体积113ABC V S PO ∆=⋅得1118632PO =⨯⨯⨯⨯ ，解得1PO =在1Rt AOO ∆中，有22211AO AO OO =+，即2225)R R =+，解得R =O 的表面积2244180S R πππ===球 .【点睛】本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为,,a b c ，那么外接球的直径2R =（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立R 的方程.二、填空题13．已知实数x y ， 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩,则目标函数3z x y =-的最小值为______．【答案】1【解析】首先画出可行域，然后作出初始目标函数，最后求3z x y =-的最小值. 【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图可得(1,2),(3,1),(4,2)A B C ，平移直线30x y -=，可知过A 、C 时分别取得最小值与最大值，所以1310x y -剟，所以min 1z =.【点睛】本题考查了线性规划，考查了目标函数的几何意义，考查了分析问题解决问题的能力，属于简单题型. 14．已知()4121x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 的项的系数为5，则a =_________． 【答案】2【解析】首先原式展开为()()()44412111x x x a x x⋅-+⋅-+-，然后分别求每一项中含有3x 的系数，最后求a . 【详解】由题意知原式展开为()()()44412111x x x a x x⋅-+⋅-+-， 所以412(1)x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 的项为224334412C ()()C ()x x x a x x ⋅-+-+-，即3(134)a x -，由已知条件知1345a -=，解得2a = . 【点睛】本题考查了二项式定理的综合问题，意在考查二项式定理指定项的求法，属于基础题.15．已知()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数，其导函数为()f x '，8f π⎛⎫=⎪⎝⎭当x 0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 22()cos 20f x x f x x '+>，则不等式()21f x sin x ＜的解集为______．【答案】,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】首先根据已知构造函数，()()sin 2g x f x x =⋅ ，根据导数可知函数()g x 单调递增，即()()sin 218f x x g x g π⎛⎫⋅<⇔< ⎪⎝⎭，再结合奇偶性得到不等式的解集. 【详解】令()() 2g x f x sin x =，则()()()' 22 2g x f x sin x f x cos x =+当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0g x g x >， 单调递增，且sin 18842g f πππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为()sin 21f x x <等价于()sin 2sin 288f x x f ππ⎛⎫⎛⎫<⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即g(x)<g(8π)， 又()()sin 2g x f x x =为偶函数，所以8x π<，故88x ππ-<<，故不等式()21f x sin x <的解集为,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数与方程，函数与不等式，导数的应用，涉及函数与方程思想，数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力，等价转化能力，运算求解能力，综合性较强，本题的关键是构造函数()() 2g x f x sin x =，根据导数分析函数的单调性，并且判断()g x 是偶函数.16．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l 。
2020年河南省六市高三数学第一次联考(理科)试题【含答案】
2a
理科数学答案 第 3 页 （共 6 页）
（2）方法一：由（1）知，
x1,
x2
是方程
x 1 ex
2a
的两根，
∴ 1
x1
0
x2
，则
x1
x2
0
x2
x1
0
因为
h(x)
在（0，
）单减，
h( x2
)
h(
x1
), 又h( x2
23. 解：(1)当 a 1时，
2x 1, x 1 f (x) 3,1 x 2
2x 1, x 2
…………………………2 分
当 x 1时，由 f (x) 7 得 2x 1 7 ，解得 x 3 ；
当 1 x 2 时， f (x) 7 无解；
当 x 2 时，由 f (x) 7 得 2x 1 7 ，解得 x 4 ，
1)
即 t ln t t 1 (ln t t 1) 0恒成立 ................................8 分
令 g(t) t ln t t 1 (ln t t 1)
理科数学答案 第 4 页 （共 6 页）
g ' (t)
ln t
1 t t
, g '' (t)
1 t t2
t t2
.............................9 分
当 1 时， g '' (t) 0 ， g ' (t) 单减，故 g ' (t) g ' (1) 0
故 g(t)在(0,1)上为增函数 ， g(t) g(1) 0 ........................10 分
2020届河南省安阳一中、安阳正一中学高三第十一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2020届河南省安阳一中、安阳正一中学高三第十一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，则为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分别求出集合M，N，和，然后计算.【详解】解：由，得，故集合由，得，故集合，所以故选：C.【点睛】本题考查了指数函数的值域，对数函数的定义域，集合的交集和补集运算，属于基础题. 2．设，则是为纯虚数的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】设，则，，分充分性和必要性进行讨论即可.【详解】解：设，则，若，则，，当，则，不是纯虚数若为纯虚数，则，，此时成立所以是为纯虚数的必要不充分条件故选：B.【点睛】本题考查了复数的有关概念，充分必要条件的判断，属于基础题.3．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且.下列关系中正确的是（）A．B．C．D．【答案】A4．定义行列式运算，将函数的图像向左平移个单位，以下是所得函数图像的一个对称中心是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】y=2sin(2x-)，向左平移后得到y=2sin2x．所以函数y=2sin2x图象的对称中心为(，0)(k∈Z)，令k=1时，得到(，0)．故选B5．在平面直角坐标系中，已知，动点满足，其中，则所有点构成的图形面积为（）A．B．．C．D．【答案】C6．已知数列是首项为，公差为的等差数列，数列满足关系，数列的前项和为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B7．已知椭圆为其左、右焦点，为椭圆上任意一点，的重心为，内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 8．设函数定义在上，给出下述三个命题：①满足条件的函数图像关于点对称； ②满足条件的函数图像关于直线对称；③函数与在同一坐标系中，其图像关于直线对称.其中，真命题的个数是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D9．一个算法的程序框图如下，则其输出结果是（ ）A ．21+B ．21+C ．2D ．0 【答案】B10．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以,OA OB 为直径作两个半圆。
河南省安阳市2020届高三年级第一次模拟考试数学理科试题
2020届高三年级第一次模拟考试数学（理科）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{| 3 3}A x x x =≥≤-或，{}|2,1xB y y x ==≥，则()RA B ⋂=（ ）A ．||23|x x ≤<B ．{|2}x x >C ．||3|x x ≥D ．{|23|x x <≤2．已知复数z 满足(3)1i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．–1D ．13．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()a f f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A221111a b <++B >C ．2a ab <D ．()()22ln 1ln 1a b +>+4．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个 月的中国制造业采购经理指数（PMI ）如下图所示．则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3%5．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列．若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10B ．14-C ．–18D ． –206．已知cos(2019)3πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ） A ．79B ．59C ．59-D ． 79-7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M 点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ）A 1-BC D8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（ ）A ．1?S >-B ．0?S <C ．–1?S <D ．0?S >9．已知各项都是正数的数列{}n a 满足()*12n n a a n n +-=∈N，若当且仅当4n =时，na n取得最小值，则（ ） A ．1012a <<B ．11220a <<C ．112a =D ．120a =10．过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，()1,2Q ，若111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ）A ．6B ．13C ．3D ．112．已知不等式ln (ln4)0x x x k k +-+<的解集中仅有2个整数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．20,ln 23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．342ln ,ln 2433⎛⎫⎪⎝⎭ C ．34ln,43⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．342ln,ln 2433⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量),1(1a =，||3b =，(2)2a b a +⋅=，则||a b -=__________．14．5(1)(1)ax x +-的展开式中，3x 的系数是20，则a =_________．15．将底面直径为4的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为__________．16．2019年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为1114，从第二次看到广告起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是13；若前一次来此景区，则这次来此景区的概率是25.记观众甲第n 次看到广告后不来此景区的概率为n P ，若当2n ≥时，n P M ≤恒成立，则M 的最小值为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）如图，在平面四边形ABCD 中，45DCB ∠=︒，120ABD ∠=︒，AD = （I ）求ABD 的面积的最大值；（Ⅱ）在ABD 的面积取得最大值的条件下，若BC =tan 2α的值.18．（12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11A ACC ，12CC =，ABC ，1ACC ，均为正三角形，E 为AB 的中点．（Ⅰ）证明：1//AC 平面1B CE ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面11B BAA 所成角的正弦值．19．（12分）近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x （单位：十箱）与成本y （单位：千元）的关系如下：y 与x 可用回归方程ˆlg y bx a =+（其中a ，b 为常数）进行模拟． （Ⅰ）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元．（利润=售价-成本）（Ⅱ）据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地可配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率。
2020年河南省安阳市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ＝{x |x ≥3或x ≤﹣3}，B ＝{y |y ＝2x ，x ≥1}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．{x |2≤x ＜3}B ．{x |x ＞2}C ．{x |x ≥3}D ．{x |2＜x ≤3}【解答】解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤﹣3}，B ＝{y |y ≥2}， ∴∁R A ＝{x |﹣3＜x ＜3}， ∴（∁R A ）∩B ＝{x |2≤x ＜3}． 故选：A ．2．（5分）已知复数z 满足i （3+z ）＝1+i ，则z 的虚部为（ ） A ．﹣iB ．iC ．﹣1D ．1【解答】解∵i （3+z ）＝1+i ，∴3+z =1+ii=1−i ， ∴z ＝﹣2﹣i ，∴复数z 的虚部为﹣1． 故选：C ．3．（5分）已知函数f(x)={(x −1)3，x ≤1lnx ，x ＞1，若f （a ）＞f （b ），则下列不等关系正确的是（ ） A ．1a 2+1＜1b 2+1B ．√a 3＞√b 3C ．a 2＜abD ．ln （a 2+1）＞ln （b 2+1）【解答】解：易知f （x ）在R 上单调递增，故a ＞b ．因为a ，b 的符号无法判断，故a 2与b 2，a 2与ab 的大小不确定， 所以A ，C ，D 不一定正确；B 中√a 3＞√b 3正确． 故选：B ．4．（5分）国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数（PMI ）如图所示．则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3%【解答】解：从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个， 所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为412=13，所以A 正确；由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，所以B 正确； 12个月的PMI 值的众数为49.4%，所以C 正确； 12个月的PMI 值的中位数为49.6%，所以D 错误． 故选：D ．5．（5分）已知数列{a n }满足a n +1﹣a n ＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列．若{a n }的前n 项和为S n ，则S n 的最小值为（ ） A ．﹣10B ．﹣14C ．﹣18D ．﹣20【解答】解：根据题意，可知{a n }为等差数列，公差d ＝2． 由a 1，a 3，a 4成等比数列，可得(a 1+4)2=a 1（a 1+6），解得a 1＝8． 所以S n ＝﹣8n +n(n−1)2×2=(n −92)2−814． 根据单调性，可知当n ＝4或5时，S n 取到最小值，最小值为﹣20． 故选：D ．6．（5分）已知cos （2019π+α）=−√23，则sin （π2−2α）＝（ ）A ．79B ．59C ．−59D ．−79【解答】解：由cos （2019π+α）=−√23，可得cos （π+α）=−√23， ∴cos α=√23，∴sin （π2−2α）＝cos2α＝2cos 2α﹣1＝2×29−1=−59．故选：C ．7．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M 点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A ．√5−1B ．√2C ．√3D ．√5【解答】解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1，a ＞0，b ＞0的右顶点为A （a ，0），右焦点为F（c ，0），M 所在直线为x ＝a ，不妨设M （a ，b ）， ∴MF 的中点坐标为（a+c 2，b2）．代入方程可得(a+c 2)2a 2−(b 2)2b 2=1，∴(a+c)24a 2=54，∴e 2+2e ﹣4＝0，∴e =√5−1（负值舍去）．故选：A ．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（ ）A ．S ＞﹣1？B ．S ＜0？C ．S ＜﹣1？D ．S ＞0？【解答】解：i ＝1，S ＝1．运行第一次，S ＝1+lg 13=1﹣lg 3＞0，i ＝3，不成立；运行第二次，S ＝1+lg 13+lg 35=1﹣lg 5＞0，i ＝5，不成立；运行第三次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57=1﹣lg 7＞0，i ＝7，不成立；运行第四次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57+lg 79=1﹣lg 9＞0，i ＝9，不成立；运行第五次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57+lg 79+lg 911=1﹣lg 11＜0，i ＝11，成立，输出i 的值为11，结束， 故选：B ．9．（5分）已知各项都是正数的数列{a n }满足a n +1﹣a n ＝2n （n ∈N *），若当且仅当n ＝4时，a n n取得最小值，则（ ）A ．0＜a 1＜12B ．12＜a 1＜20C ．a 1＝12D ．a 1＝20【解答】解：由题意得当n ≥2时，各项都是正数的数列{a n }满足a n +1﹣a n ＝2n ， 所以a n ﹣a n ﹣1＝2n ﹣2，a n ﹣1﹣a n ﹣2＝2n ﹣4，…，a 2﹣a 1＝2， 累加得a n −a 1=n 2−n ，故a n =n 2−n +a 1， 当n ＝1，该式也成立，则a n n=n −1+a 1n．因为当且仅当n ＝4时，a n n取得最小值，当a 1＞0，所以由“对勾两数”的单调性可知a 44＜a 33，a 44＜a 55，即4−1+a14＜3−1+a13，且4−1+a14＜5−1+a15，解得12＜a 1＜20． 故选：B ．10．（5分）过抛物线E ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，Q （1，2）．若1|AB|+1|CD|=14，则|PF |+|PQ |的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：显然直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝kx +p2，联立方程{y =kx +p2x 2=2py ，消去y 得：x 2﹣2pkx ﹣p 2＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∴x 1+x 2＝2pk ，∴y 1+y 2=k(x 1+x 2)+p =2pk 2+p ， 由抛物线的性质可知：|AB |＝y 1+y 2+p ＝2pk 2+2p ， ∵AB ⊥CD ，∴直线CD 的斜率为：−1k，∴|CD |＝2p （−1k ）2+2p =2p k 2+2p =2p+2pk 2k2， ∴1|AB|+1|CD|=12pk 2+2p+k 22p+2pk 2=k 2+12p+2pk 2=14，∴2p +2pk 2＝4+4k 2， ∴p ＝2，∴抛物线方程为：x 2＝4y ，准线方程为：y ＝﹣1，设点P 到准线y ＝﹣1的距离为d ，由抛物线的性质可知：|PF |+|PQ |＝d +|PQ |， 而当QP 垂直于x 轴时，d +|PQ |的值最小，最小值为2+1＝3，如图所示： ∴|PF |+|PQ |的最小值为3， 故选：C ．11．（5分）已知四棱锥E ﹣ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，ED ＝1，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A ．√26B ．13C ．√23D ．1【解答】解：如图所示，由题意可得：ED ⊥平面ABCD 时，△ADE 的面积最大，可得点C 即点D 到平面ABE 的距离最大．此时该四棱锥的体积=13×12×1=13． 故选：B ．12．（5分）已知不等式xlnx +x （k ﹣ln 4）+k ＜0的解集中仅有2个整数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(0，23ln2) B ．(34ln 43，23ln2) C ．[34ln 43，+∞)D ．[34ln 43，23ln2)【解答】解：原不等式等价于，k （x +1）＜xln 4﹣xlnx ， 设g （x ）＝k （x +1），f （x ）＝ln 4﹣xlnx 所以f （x ）＝ln 4﹣（1+lnx ）＝ln 4x −1，令f ′（x ）＝0，得x =4e ．当0＜x ＜4x时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x ＞4e 时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减． 又f （4）＝0，x →0时，f （x ）→0， 因此f （x ）与g （x ）的图象如下，当k ≤0时，显然不满足条件，当k ＞0时，只需满足{g(2)＜f(2)g(3)≥f(3)，∴{3k ＜2ln4−2ln24k ≥3ln4−3ln3 解可得，34ln43≤k ＜23ln2．故选：D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量a →=（1，1），|b →|=√3，（2a →+b →）•a →=2，则|a →−b →|＝ 3 ． 【解答】解：由题意可得|a →|=√2，(2a →+b →)⋅a →=a →⋅b →+2a →2=a →⋅b →+4， ∴a →⋅b →+4=2，解得a →⋅b →=−2， ∴|a →−b →|=√a →2−2a →⋅b →+b →2=3． 故答案为：3．14．（5分）（ax +1）（x ﹣1）5的展开式中，x 3的系数是20，则a ＝ ﹣1 ． 【解答】解：因为（ax +1）（x ﹣1）5＝ax （x ﹣1）5+（x ﹣1）5，而（x ﹣1）5的展开式的通项公式为T r +1=C 5r •x 5﹣r•（﹣1）r ，所以，原展开式中x 3的系数为a •C 53•（﹣1）3+C 52•（﹣1）2＝20， ∴a ＝﹣1， 故答案为：﹣1．15．（5分）将底面直径为4，高为√3的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为 √3π ．【解答】解：欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为h ，底面半径为r ， 则√3−ℎ√3=r 2，解得h =√3−√32r ． 故S 侧＝2πrh ＝2πr （√3−√32r ）=√3πr （2﹣r ）≤√3π(r+2−r 2)2=√3π．当r ＝1时，S 侧的最大值为√3π． 故答案为：√3π．16．（5分）2019年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为1114，从第二次看到广告起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是13；若前一次来此景区，则这次来此景区的概率是25．记观众甲第n 次看到广告后不来此景区的概率为P n ，若当n ≥2时，P n ≤M 恒成立，则M 的最小值为137210．【解答】解：根据题意，P n 为观众甲第n 次看到广告后不来此景区的概率， 则P n =P n−1⋅23+(1−P n−1)⋅35=115P n−1+35， 所以P n −914=115(P n−1−914)， 所以数列{P n −914}是首项为P 1−914，公比为115的等比数列，所以P n −914=(P 1−914)×(115)n−1=17×(115)n−1， P n =914+17×(115)n−1，显然数列{P n }单调递减， 所以当n ≥2时，P n ≤P 2=914+17×115=137210， 所以M ≥137210，所以M 的最小值为137210． 故答案为：137210三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，在平面四边形ABCD 中，∠DCB ＝45°，∠ABD ＝120°，AD =10√3． （Ⅰ）求△ABD 的面积的最大值；（Ⅱ）在△ABD 的面积取得最大值的条件下，若BC =5√2，求tan α2的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD 中，由余弦定理可得AD 2＝AB 2+BD 2﹣2AB •BD cos120°， 所以300＝BA 2+BD 2+BA •BD ≥3BA •BD ，所以BA •BD ≤100，当且仅当BA ＝BD ＝10时，等号成立． 所以S △ABD =12BA ⋅BD ⋅sin120°≤25√3， 故△ABD 的面积的最大值为25√3．（Ⅱ）在△BCD 中，由题意可得∠BCD ＝45°，DB ＝10． 由正弦定理可得BCsin∠CDB=BD sin∠BCD，所以sin ∠CDB =5√2×√2210=12．又BD ＞BC ，所以∠CDB 为锐角，所以∠CDB ＝30°，所以∠CBD ＝105°，所以α＝135°， 所以tanα2=tan67.5°，因为tan135°=2tan67．5°1−tan 267．5°=−1，所以tanα2=tan67.5°＝1+√2（负值舍去）．18．（12分）如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面A 1ACC 1，CC 1＝2，△ABC ，△ACC 1，均为正三角形，E 为AB 的中点． （Ⅰ）证明：AC 1∥平面B 1CE ；（Ⅱ）求直线AC 1与平面B 1BAA 1所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，连接BC ₁，交B 1C 于点M ，连接ME ，则ME ∥AC 1，因为AC 1⊄平面B ₁CE ，ME ⊂平面B 1CE ，所以AC 1∥平面B 1CE ，（Ⅱ）设O 是AC 的中点，连接OC 1中，OB ， 因为△ACC 1为正三角形，所以OC 1⊥AC ，又平面ABC ⊥平面A 1ACC 1，平面ABC ∩平面A 1ACC 1＝AC ， 所以OC 1⊥平面ABC ，分别以射线OB ，OA ，OC 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则有A （0，1，0），B （√3，1，0），B （√3，0，0），C 1(0，0，√3)，A 1(0，2，√3)， AC 1→=(0，−1，√3)，AB →=(√3，−1，0)AA 1→=(0，1，√3)， 设平面B 1BAA 1的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则 {m →⋅AB →=√3x −y =0m →⋅AA 1→=y +√3z =0， 令x ＝1，则m →=(1，√3，−1)，设直线AC ₁与平面B 1BAA 1所成的角为θ，则 sin θ＝|cos ＜AC 1→，m →＞|=2√32⋅√5=√155，故直线AC 1与平面B 1BAA 1所成角的正弦值为√155．19．（12分）近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x （单位：十箱）与成本y （单位：千元）的关系如下：x 1 3 4 6 7 y56.577.58y 与x 可用回归方程y ^=b lgx +a ^（其中a ^，b ^为常数）进行模拟．（Ⅰ）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元．（利润＝售价﹣成本）（Ⅱ）据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地可配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率．一个运输户拟购置n 辆小货车专门运输该农户为甲地配送的该新奇水果，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该新奇水果，满载发车，否则不发车．若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元．试比较n ＝3和n ＝4时此项业务每天的利润平均值的大小．参考数据与公式：设t ＝lgx ，则t y ∑ 5i=1(t i −t)(y i −y)∑ 5i=1(t i −t)20.546.81.530.45线性回归直线y ^=b lgx +a ^中，b =∑ n i=1(t i −t)(y i −y)∑ ni=1(t i −t)2，a ^=y −b t ．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，b =∑ 5i=1(t i −t)(y i −y)∑ 5i=1(t i −t)2=1.530.45=3.4，所以a =y −b t =6.8﹣3.4×0.54＝4.964， 所以y =3.4t +4.964．又t ＝lgx ，所以y =3.4lgx +4.964．所以x ＝10时，y =3.4+4.964＝8.364（千元），即该新奇水果100箱的成本为8364元，故该新奇水果100箱的利润15000﹣8364＝6636． （Ⅱ）根据频率分布直方图，可知该农户每天可配送的该新奇水果的箱数的概率分布表为：箱数[40，80）[80，120） [120，160）[160，200]P18 14 12 18设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为Y 1，Y 2元． 则Y 1的可能取值为1500，800，100，其分布列为：Y 1 1500800100P58 14 18故E （Y 1）=58×1500+14×800+18×100=1150． Y 2的可能取值为2000，1300，600，﹣100，其分布列为：Y 2 20001300600﹣100P181214 18故E （Y 2）=18×2000+12×1300+14×600+18×(−100)=1037.5．故$E （{Y }_{2}），即购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值． 20．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2，M 是椭圆E 上的一个动点，且△MF 1F 2的面积的最大值为√3． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若A （a ，0），B （0，b ），四边形ABCD 内接于椭圆E ，AB ∥CD ，记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可知，当M 为椭圆E 的上顶点或下顶点时，△MF 1F 2的面积取得最大值√3．所以{c =112×2c ×b =√3a 2=b 2+c 2，所以a ＝2，b =√3，故椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1．（Ⅱ）根据题意可知A （2，0），B （0，√3），k AB =−√32因为AB ∥CD ，设直线CD 的方程为y =−√32x +m ，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）由{x24+y23=1y=−√32x+m，消去y可得6x2﹣4√3mx+4m2﹣12＝0，所以x1+x2=2√3m3，即x1=2√3m3−x2．直线AD的斜率k1=y1x1−2=−√32x1+mx1−2，直线BC的斜率k2=−√32x2+m−√3x2，所以k1k2=−√32x1+mx1−2•−√32x2+m−√3x2，=34x1x2−√32m(x1+x2)+32x1+m(m−√3)(x1−2)x2，=34x1x2−√32m⋅2√3m3+32(2√3m3−x2)+m(m−√3)(x1−2)x2，=34x1x2−32x2(x1−2)x2=34．故k1k2为定值．21．（12分）已知直线y＝x﹣1是曲线f（x）＝alnx的切线．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）证明：方程sin（x﹣1）＝f（x）有且仅有2个实数根．【解答】解（I）f′(x)=a x，设直线y＝x﹣1与曲线f（x）＝alnx相切的切点P（x0，y0），由题意可得，{ax0=1alnx0=x0−1，解可得，x0＝a＝1，f（x）＝lnx，（II）设g（x）＝sin（x﹣1）﹣f（x），x＞0，则g′(x)=cos(x−1)−1 x，①当x∈（0，1]时，g′（x）在（0，1]上单调递增，所以g′（x）≤g′（1）＝0，则g（x）在（0，1]上单调递减，且g（1）＝0，故x＝1为g（x）在（0，1]上唯一的零点，②当x∈(1，12π+1]时，设h（x）=g′(x)=cos(x−1)−1x，则h′（x）＝﹣sin（x﹣1）+1x2在（1，12π+1]上单调递减，因为h′（1）＞0，h′（1+12π）=4(2+π)2−1＜0，故存在x 0∈(1，1+12π]使得h （x 0）＝0，当x ∈（1，x 0）时，h ′（x ）＞0，函数h （x ）单调递增，当x ∈(x 0，1+12π)时，h ′（x ）＜0，函数h （x ）单调递减，故g ′（x ）在（1，x 0）上单调递增，在（x 0，1+12π）上单调递减， 又g ′（1）＝0，故g ′（x 0）＞0，所以g （x ）在（1，x 0）上单调递增，此时g （x ）＞g （1）＝0，不存在零点； 又g′(1+12π)=−22+π＜0，故存在x 1∈(x 0，12π+1)，使得g ′（x 1）＝0，因为在（x 0，x 1）上g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，在（x 1，+∞）上，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，又因为g （x 0）＞g （1）＝0，g （1+12π）＝ln 2e 2+π＞ln 1＝0，故g （x ）＞0在（x 0，1+12π）上恒成立，此时不存在零点，③当x ∈(12π+1，π]时，y ＝sin （x ﹣1）单调递减，y ＝﹣lnx 单调递减， 所以g （x ）在（1+12π，π]上单调递减且g （1+12π）＞0，g （π）＜0， 故g （x ）存在唯一的零点，④当x ∈（π，+∞）时，sin （x ﹣1）∈[﹣1，1]，lnx ＞ln π＞1， 所以sin （x ﹣1）﹣lnx ＜0即g （x ）在R 上不存在零点． 综上可得方程sin （x ﹣1）＝f （x ）有且仅有2个实数根． 综上可得，思念（x ﹣1）＝f （x ）有且仅有2个实数根．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ+8sin θ，P 是C 1上一动点，OP →=2OQ →，Q 的轨迹为C 2． （Ⅰ）求曲线C 2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点M （0，1），直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα（t 为参数），直线l 与曲线C 2的交点为A ，B ，当|MA |+|MB |取最小值时，求直线l 的普通方程．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，设点P ，Q 的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ）， 则有ρ=12ρ0＝2cos θ+4sin θ，故曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ+4sin θ， 变形可得：ρ2＝2ρcos θ+4ρsin θ，故C 2的直角坐标方程为x 2+y 2＝2x +4y ，即（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5； （Ⅱ）设点A ，B 对应的参数分别为t 1、t 2，则|MA |＝t 1，|MB |＝t 2， 设直线l 的参数方程{x =tcosαy =1+tsinα，（t 为参数）， 代入C 2的直角坐标方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5中， 整理得t 2﹣2（cos α+sin α）t ﹣3＝0．由根与系数的关系得t 1+t 2＝2（cos α+sin α），t 1t 2＝﹣3，则|MA |+|MB |＝|t 1|+|t 2|＝|t 1﹣t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√4(cosα+sinα)2+12=√4sin2α+16≥2√3，当且仅当sin2α＝﹣1时，等号成立， 此时l 的普通方程为x +y ﹣1＝0． [选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知a ，b ，c ∈R +，∀x ∈R ，不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣2|≤a +b +c 恒成立． （Ⅰ）求证：a 2+b 2+c 2≥13；（Ⅱ）求证：√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2． 【解答】证明：（Ⅰ）∵|x ﹣1|﹣|x ﹣2|≤|x ﹣1﹣x +2|＝1， ∴a +b +c ≥1．∵a 2+b 2≥2ab ，b 2+c 2≥2bc ，c 2+a 2≥2ac ， ∴2a 2+2b 2+2c 2≥2ab +2bc +2ca ，∴3a 2+3b 2+3c 2≥a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ＝（a +b +c ）2≥1， ∴a 2+b 2+c 2≥13．（Ⅱ）∵a 2+b 2≥2ab ，2（a 2+b 2）≥a 2+2ab +b 2＝（a +b ）2，即a 2+b 2≥(a+b)22两边开平方得√a 2+b 2≥√22|a +b|=√22(a +b)， 同理可得√b 2+c 2≥√22(b +c)，√c 2+a 2≥√22(c +a)， 三式相加，得√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2．。
3.河南省六市2020届高三第一次模拟考试理数试题含答案
注意事项： 1．本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试用时 120 分钟． 2．答题前，考生务必用 0.5 毫来黑色签字笔将自已的姓名、准考证号、考试科目填写在规 定的位置上． 3．第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的 位置，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状
像心形而得名。在极坐标系 Ox 中，方程ρ=a（1-sinθ（a>0）表
示的曲线 C1 就是一条心形线，如图，以极轴 Ox 所在的直线为 x
轴，极点 O 为坐标原点的直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C2 的参
x
1
3t
数方程为 y
3 t （t 为参数）． 3
（2）点 E 在边 AB 上，若 CE 是∠BCA 的角平分线， 求△BCE 的面积.
18．（本小题满分 12 分）
在四棱椎 P ABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，PA=5， PB 43 ，AB=6，PO⊥AD，O，
E 分别为 AD，AB 中点，∠BAD=60° （1）求证：AC⊥PE； （2）求平面 POE 与平面 PBD 所成锐二面角的余弦值.
在 ∆ADB 和 ∆ADC 中由余弦定理，得
AD2 + BD2 − AB2 + AD2 + DC 2 − AC 2 = 0 ，...........................3 分
河南省安阳市2020届高三理数第一次模拟考试试卷
河南省安阳市2020届高三理数第一次模拟考试试卷一、单选题（共12题；共24分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数z满足，则z的虚部为（）A. B. i C. –1 D. 13.已知函数，若，则下列不等关系正确的是（）A. B. C. D.4.国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（）A. 12个月的PMI值不低于50%的频率为B. 12个月的PMI值的平均值低于50%C. 12个月的PMI值的众数为49.4%D. 12个月的PMI值的中位数为50.3%5.已知数列满足，且成等比数列.若的前n项和为，则的最小值为（）A. B. C. D.6.已知，则=（）A. B. C. D.7.已知双曲线的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（）A. B. C. D.8.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（）A. B. C. D.9.已知各项都是正数的数列满足，若当且仅当时，取得最小值，则（）A. B. C. D.10.过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（）A. 1B. 2C. 3D. 411.已知四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，，平面平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为（）A. B. C. D. 112.已知不等式的解集中仅有2个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（共4题；共4分）13.已知向量，，，则________.14.的展开式中，的系数是20，则________.15.将底面直径为4，高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为________.16.2019年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为，从第二次看到广告起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是，若前一次来此景区，则这次来此景区的概率是.记观众甲第n次看到广告后不来此景区的概率为，若当时，恒成立，则M的最小值为________.三、解答题（共7题；共70分）17.如图，在平面四边形ABCD中，，，，.（1）求的面积的最大值，（2）在的面积取得最大值的条件下，若，求的值.18.如图，在斜三棱柱中，平面平面，，，，均为正三角形，E为AB的中点.（1）证明: 平面，（2）求直线与平面所成角的正弦值.19.近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益.根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x（单位:十箱）与成本y（单位:千元）的关系如下:x 1 3 4 6 7y 5 6.5 7 7.5 8y与x可用回归方程(其中，为常数)进行模拟.（1）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元.（利润=售价-成本）（2）据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地可配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.一个运输户拟购置n辆小货车专门运输该农户为甲地配送的该新奇水果，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该新奇水果，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利500元，若未发车，则每辆车每天平均亏损200元｡试比较和时此项业务每天的利润平均值的大小.参考数据与公式:设，则0.54 6.8 1.53 0.45线性回归直线中，，.20.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，M是椭圆E上的一个动点，且的面积的最大值为.（1）求椭圆E的标准方程，（2）若，，四边形ABCD内接于椭圆E，，记直线AD，BC的斜率分别为，，求证: 为定值.21.已知直线是曲线的切线.（1）求函数的解析式，（2）若，证明:对于任意，有且仅有一个零点.22.以直角坐标系xOy的原点为极坐标系的极点，x轴的正半轴为极轴.已知曲线的极坐标方程为，P是上一动点，，Q的轨迹为.（1）求曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程，（2）若点，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线的交点为A，B，当取最小值时，求直线l的普通方程.23.已知，，不等式恒成立.（1）求证:（2）求证: .答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】B9.【答案】B10.【答案】C11.【答案】B12.【答案】D二、填空题13.【答案】314.【答案】15.【答案】16.【答案】三、解答题17.【答案】（1）解：在中，由余弦定理可得，所以，所以，当且仅当时，等号成立.所以，故的面积的最大值为.（2）解：在中，由题意可得，.由正弦定理可得，所以.又，所以为锐角，所以，所以，所以.所以因为，所以（负值舍去）.18.【答案】（1）解：如图，连接，交于点M，连接ME，则.因为平面，平面，所以平面.（2）解：设O是AC的中点，连接，OB.因为为正三角形，所以，又平面平面，平面平面，所以平面ABC.由已知得.如图，分别以射线OB，OA，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有，，，，故，，，设平面的一个法向量为，则，所以令，则.设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.19.【答案】（1）解：根据题意，，所以，所以.又，所以.所以时，（千元），即该新奇水果100箱的成本为8364元，故该新奇水果100箱的利润.（2）解：根据频率分布直方图，可知该农户每天可配送的该新奇水果的箱数的概率分布表为:箱数设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为，元.则的可能取值为1500，800，100，其分布列为1500 800 100故.则的可能取值为2000，1300，600，，其分布列为2000 1300 600故.故，即购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值.20.【答案】（1）解：设椭圆E的半焦距为c，由题意可知，当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值.所以，所以，，故椭圆E的标准方程为.（2）解：根据题意可知，，因为，所以可设直线CD的方程为.由，消去y可得，所以，即.直线AD的斜率，直线BC的斜率，所以，故为定值.21.【答案】（1）解：根据题意，，设直线与曲线相切于点. 根据题意，可得，解之得，所以.（2）解：由（1）可知，则当x充分小时，当x充分大时，∴至少有一个零点.∵，①若，则，在上单调递增，∴有唯一零点.②若令，得有两个极值点，∵，∴，∴.∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.∴极大值为.，又，∴在(0，16)上单调递增，∴，∴有唯一零点.综上可知，对于任意，有且仅有一个零点.22.【答案】（1）解：设点P，Q的极坐标分别为，)，因为，所以曲线的极坐标方程为，两边同乘以ρ，得，所以的直角坐标方程为，即.（2）解：设点A，B对应的参数分别为，，则，将直线l的参数方程，（为参数），代入的直角坐标方程中，整理得.由根与系数的关系得.∴，( 当且仅当时，等号成立)∴当取得最小值时，直线l的普通方程为.23.【答案】（1）解：∵，∴. ∵，，，∴，∴，∴.（2）解：∵，，即两边开平方得.同理可得，.三式相加，得.。
【数学】河南省安阳市2020届高三毕业班第一次调研考试 数学(理)
安阳市2020届高三毕业班第一次调研考试数学（理科）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{｜｜－1｜＜2}，N ＝{x ｜26yx x ＝＋－}，则M ∩N ＝A ．{｜－1≤＜3}B ．{｜－1＜＜3}C ．{｜－1＜≤3}D ．{｜－2＜＜3}2．设复数满足（2＋i ）＝5，则｜－i ｜＝A ．2B ．2C ．22D ．43．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是A ．甲所得分数的极差为22B ．乙所得分数的中位数为18C ．两人所得分数的众数相等D ．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数4．已知函数()sin 06210x x x f x x ππ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩＋，≤，＝＋，＞，则f （－2）＋f （1）＝A ．632＋B ．72C ．52D ．632－ 5．已知等比数列{n a }的各项均为正数，若31log a ＋32log a ＋…＋312log a ＝12，则67a a ＝A ．1B ．3C ．6D ．96．已知向量a ＝（sin θ，3），b ＝（1，cos θ），｜θ｜≤3π，则｜a －b ｜的最大值为 A ．2 B ．5 C ．3 D ．57．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为A ．9B ．7C ．5D ．38．已知函数()()sin f x A x ωϕ＝＋（A ＞0，ω＞0，｜ϕ｜＜2π）的部分图象如图所示，如果将y ＝f （）的图象向左平移4π个单位长度，则得到图象对应的函数为A ．y ＝－2sinB ．12cos2y x ＝ C ．y ＝2cos D ．y ＝2cos29．已知函数f （）＝（2＋a 2＋1）e ，则“a ＝2”是“函数f （）在＝－1处取得极小值”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知数列{n a }是递增的等差数列，且2a ，3a 是函数f （）＝2－5＋6的两个零点．设数列{21n n a a ＋}的前n 项和为n T ，若不等式n T ＞()1log 13a a -对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围为A ．（0，14）B ．（0，13）C ．（0，12） D ．（0，1） 11．已知双曲线C ：22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（－c ，0），F 2（c ，0），点N 的坐标为（－c ，232b a）．若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足｜MF 2｜＋ ｜MN ｜＞4b ，则双曲线C 的离心率的取值范围为A ．（13，5）B ．（5，13）C ．（1，13）∪（5，＋∞）D ．（1，5）∪（13，＋∞） 12．在三棱锥P －ABC 中，点P ，A ，B ，C 均在球O 的球面上，且AB ⊥BC ，AB ＝8，BC ＝6，若此三棱锥体积的最大值为405，则球O 的表面积为A ．90πB ．120πC ．160πD ．180π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数，y 满足2025020x y x y y ⎧⎪⎨⎪⎩－－≤，＋－≥，－≤，则目标函数＝3－y 的最小值为__________．14．已知()4121x a x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋－的展开式中含3的项的系数为5，则a ＝__________．15．已知f （）是定义在（－2π，2π）上的奇函数，其导函数为()f x '，f （8π）＝2，且当∈（0，2π）时，()()sin 22cos2f x x f x x '＋＞0，则不等式f （）sin2＜1的解集为__________． 16．已知抛物线C ：y 2＝2p （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，若位于轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且1AFAF BF －＝，则抛物线C 的标准方程为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～2l 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝4，cos ∠CAB ＝13，点D 在线段BC 上，且BD ＝12CD ，AD ＝833． （Ⅰ）求c 的长；（Ⅱ）求△ABD 的面积．18．（12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD ，AB ＝AD ，PA ⊥PD ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝60°，M ，N 分别为AD ，PA 的中点．（Ⅰ）证明：平面BMN ∥平面PCD ；（Ⅱ）若AD＝6，CD＝3，求平面BMN与平面BCP所成锐二面角的余弦值．19．（12分）2019年某地区初中升学体育考试规定：考生必须参加长跑、掷实心球、1分钟跳绳三项测试．某学校在九年级上学期开始，就为掌握全年级学生1分钟跳绳情况，抽取了100名学生进行测试，得到下面的频率分布直方图．（Ⅰ）规定学生1分钟跳绳个数大于等于185为优秀．若在抽取的100名学生中，女生共有50人，男生1分钟跳绳个数大于等于185的有28人．根据已知条件完成下面的2×2列联表，并根据这100名学生的测试成绩，判断能否有99％的把握认为学生1分钟跳绳成绩是否优秀与性别有关．（Ⅱ）根据往年经验，该校九年级学生经过训练，正式测试时每人1分钟跳绳个数都有明显进步．假设正式测试时每人1分钟跳绳个数都比九年级上学期开始时增加10个，全年级恰有2000名学生，若所有学生的1分钟跳绳个数服从正态分布N（μ，σ2）（用样本数据的平均值和标准差估计μ和σ，各组数据用中点值代替），估计正式测试时1分钟跳绳个数大于183的人数（结果四舍五入到整数）．20．（12分）已知椭圆C ：22221x y a b＋＝（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，0），F 20），且该椭圆过点A12）． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点B （4，0）作一条斜率不为0的直线l ，直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点， 记点P 关于轴对称的点为点P '，若直线P Q '与轴相交于点D ，求△DPQ 面积的最大值．21．（12分）已知函数()2ln 2f x k x x＝＋－．（Ⅰ）若函数f （）的图象在点（1，f （1））处的切线与y 轴垂直，求f （）的极值； （Ⅱ）讨论函数f （）的零点个数．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分） 在平面直角坐标系Oy 中，直线l 的参数方程为21x t y t ⎧⎨⎩＝－－，＝＋（t 为参数），曲线C 1：y ．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4πρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－． （Ⅰ）若直线l 与，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在C 1上，求BA u u u r ·BP u u u r 的取值范围；（Ⅱ）若直线l 与C 2交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为（－2，1），求｜｜QM ｜－｜QN ｜｜．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知函数f （）＝｜＋1｜＋a ｜＋2｜．（Ⅰ）求a ＝1时，f （）≤3的解集；（Ⅱ）若f （）有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值。
2020-2021学年河南省安阳市县第一高级中学高三数学理测试题含解析
2020-2021学年河南省安阳市县第一高级中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列命题正确的是( )A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选C．【点评】本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．2. 已知全集，集合，则为（）A. B. C. D.参考答案：C,所以,选C.3. 如图，是某算法的程序框图，当输出T＞29时，正整数n的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟程序运行的结果，直到输出T的值大于29，确定最小的n值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环k=1，T=2第二次循环k=2，T=6；第三次循环k=3，T=14；第四次循环k=4，T=30；由题意，此时，不满足条件4＜n，跳出循环的T值为30，可得：3＜n≤4．故正整数n的最小值是4．故选：C．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基础题．4. （5分）函数的定义域为（）A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）参考答案：考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式可得log2x≠0，即，由此求得函数的定义域．解答：由函数的解析式可得log2x≠0，∴，故函数的定义域（0，1）∪（1，+∞），故选D．点评：本题主要考查函数的定义域的求法，对数函数的定义域，属于基础题．5. 指数函数y=b·在[b,2]上的最大值与最小值的和为6.则a值为A.2B. -3C.2或-3D.参考答案：A6. 已知是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的体积为（）A． B． C. D．参考答案：A7. 已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中系数最大的项为（）A．270x﹣1 B．270x C．405x3 D．243x5参考答案：B【考点】二项式系数的性质．【分析】根据展开式中各项系数和求出a的值，利用展开式的通项求出r=2时该二项式展开式中系数最大的项．【解答】解：的展开式中各项系数的和为32，∴（a﹣1）5=32，解得a=3；∴展开式的通项为T r+1=?（3x）5﹣r?=（﹣1）r?35﹣r??x5﹣2r，又当r=0时，35=243；当r=2时，33?=270；当r=4时，3?=15；∴r=2时该二项式展开式中系数最大的项为270x．故选：B．8. 若复数z满足(1－2i)z＝1＋3i，则|z|＝()A. 1B.C.D.参考答案：B.，所以.9. 已知，则的值是（）参考答案：A略10. 已知，则与的夹角为 （ ）A.B.C.D.参考答案：C 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若复数，则等于．参考答案：12. 正项数列满足：（），则.参考答案：13. 已知{a n }满足，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得= ．参考答案：【考点】类比推理．【分析】先对S n =a 1+a 2?4+a 3?42+…+a n ?4n ﹣1两边同乘以4，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出5S n ﹣4n a n 的表达式，即可求出．【解答】解：由S n =a 1+a 2?4+a 3?42+…+a n ?4n ﹣1① 得4?s n =4?a 1+a 2?42+a 3?43+…+a n ﹣1?4n ﹣1+a n ?4n ②①+②得：5s n =a 1+4（a 1+a 2）+42?（a 2+a 3）+…+4n ﹣1?（a n ﹣1+a n ）+a n ?4n=a 1+4×++…+4n ?a n=1+1+1+…+1+4n ?a n=n+4n ?a n ． 所以5s n ﹣4n ?a n =n ．故=，故答案为．【点评】本题主要考查数列的求和，用到了类比法，是一道比较新颖的好题目，关键点在于对课本中推导等比数列前n 项和公式的方法的理解和掌握．14. 已知，展开式的常数项为15， ．参考答案：15. 已知：条件A ：，条件B ：，如果条件是条件的充分不必要条件，则实数的取值范围是 .参考答案：由得，即，解得，即A:.因为条件是条件的充分不必要条件，所以，即实数的取值范围是。