河南文科高考数学试卷
1998年河南高考文科数学真题及答案
1998年河南高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的 (1) sin600º( )(A)(B) － (C) (D) － 21212323(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 已知直线x =a (a ＞0)和圆(x －1)2＋y 2=4相切，那么a 的值是( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)(D) 12121-=B B A A 12121=A A BB (5) 函数f (x )=( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) x1(A) x (x ≠0) (B) (x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －(x ≠0)x 1x 1(6) 已知点P(sin α－cos α，tg α)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是 ( )(A) ()∪() (B) ()∪() 432ππ，45ππ，24ππ，45ππ，(C) ()∪() (D) ()∪()432ππ，2325ππ，24ππ，ππ，43(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)I (B) －I (C) ±I (D) ±i 2123±2123±2123+2123-(9) 如果棱台的两底面积是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2 (B) S 0=S S S '+=0S S '(C) 2S 0=S ＋S ′ (D)S SS '=22(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共( )(A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种 (11) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是( )(12) 椭圆=1的焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么31222y x +点M 的纵坐标是( )(A) ±(B) ± (C) ± (D) ± 43232243(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为，经过这3个点的小61圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 4 (B)2 (C) 2 (D) 333(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为( )(A)(B) (C) (D)251-2252-215-2252+(15) 等比数列{a n }的公比为－，前n 项的和S n 满足S n =，那么的值为21∞→n lim 11a 11a( )(A) (B)±(C) (D) 3±232±26±二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16) 设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆116922=-y x心到双曲线中心距离是__________(17) (x ＋2)10(x 2－1)的展开的x 10系数为____________（用数字作答） (18) 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形)(19) 关于函数f (x )=4sin(2x ＋)(x ∈R )，有下列命题3π①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －)；②y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；6π③y =f (x )的图像关于点对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－对称．⎪⎭⎫⎝⎛-06，π6π其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都填上．) 三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20) (本小题满分10分)设a ≠b ，解关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．21) (本小题满分11分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=，求sin B 的3π值．以下公式供解题时参考：， ，2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-， ．2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-(22) (本小题满分12分)如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐17标系，求曲线C 的方程．(23) (本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=2，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C 1．3(Ⅰ)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；(Ⅱ)求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； (Ⅲ)求侧棱B 1B 和侧面A 1 ACC 1的距离．(24) (本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．(25) (本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=100． (Ⅰ)求数列{b n }的能项b n ； (Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =lg(1＋)，记S n 是数列{a n }的前n 项的和．试比较S n 与nb 1lg b n +1的大小，并证明你的结论． 211998年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)(17) －5120 316(18) AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分． 三．解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分． 解：将原不等式化为(a 2－b 2)x +b 2≥(a －b )2x 2＋2(a －b )bx ＋b 2， 移项，整理后得 (a －b )2(x 2－x ) ≤0， ∵ a ≠b 即 (a －b )2＞0， ∴ x 2－x ≤0， 即 x (x －1) ≤0．解此不等式，得解集 {x |0≤x ≤1}．(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．解：由正弦定理和已知条件a ＋c =2b 得sin A ＋sin C =2sin B ．由和差化积公式得． B CA C A sin 22cos 2sin 2=-+由A ＋B ＋C =π，得 =，2)sin(C A +2cos B又A －C =，得cos =sin B ，3π232B∴cos =2sin cos ．232B 2B 2B ∵ 0＜＜， ≠0， 2B 2π2cos B ∴sin=， 2B 43从而cos== 2B 2sin 12B -413∴ sin B == ⨯23413839(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，P =|MN |．所以 M (－，0)，N (，0)． 2P 2P由 |AM |=，|AN |=3得17(x A ＋)2＋2Px A =17， ① 2P (x A －)2＋2Px A =9． ②2P由①、②两式联立解得x A =，再将其代入①式并由p ＞0解得P4或． ⎩⎨⎧==14A x p ⎩⎨⎧==22Ax p因为△AMN 是锐角三角形，所以＞x A ，故舍去． 2P⎩⎨⎧==22A x p ∴ P =4，x A =1．由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－=4． 2P综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0)．解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ． 设 A (x A ，y A )、B (x B ，y B )、N (x N ，0)． 依题意有x A =|ME|=|DA|=|AN|=3， y A =|DM |==2，由于△AMN 为锐角三角形，故22DA AM -2有x N =|AE |+|EN |=4．=|ME |+=422AE AN -X B =|BF |=|BN |=6．设点P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，y )|(x －x N )2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}． 故曲线段C 的方程y 2=8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0)．(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分． 解：(Ⅰ)作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，∴ ∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角． ∵ AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，∴ ∠A 1AD=45º为所求．(Ⅱ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ．∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角． 由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC =2，AC =2， 3∴ DE =1，AD =A 1D =，tg A 1ED==． 3DEDA 13故∠A 1ED=60º为所求．(Ⅲ) 作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵ B 1B ∥面A 1ACC 1，∴ BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离． 在Rt △ABC 中，，2222=-=BC AC AB ∴ 为所求． 362=⋅=AC BC AB BF (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =，其中k ＞0为比例系数，依题abk意，即所求的a ，b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a =60(a ＞0，b ＞0)， 得 (0＜a ＜30＝， ① aab +-=230于是 aaa kab k y +-==230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k()2642234+⋅+-≥a a k18k =当a ＋2=时取等号，y 达最小值．264+a 这时a =6，a =－10(舍去)． 将a =6代入①式得b =3．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大． 由题设知 4a ＋2ab ＋2a =60 (a ＞0，b ＞0) 即 a ＋2b ＋ab =30 (a ＞0，b ＞0)． ∵ a ＋2b ≥2， ab ∴ 2＋ab ≤30，2ab 当且仅当a =2b 时，上式取等号． 由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18．即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值18． ∴ 2b 2=18．解得b =3，a =6．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．解：(Ⅰ)设数列工{b n }的公差为d ，由题意得b 1=1，10b 1＋=100．d2)110(10-解得 b 1=1，d =2．∴ b n =2n －1． (Ⅱ)由b n =2n －1，知S n =lg(1＋1)＋lg(1＋)＋…＋lg(1＋) 31121-n =lg[(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)]，31121-n lg b n ＋1=lg ． 2112+n因此要比较S n 与lg b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)与2131121-n 的大小．12+n 取n =1有(1＋1)＞，112+⋅取n =2有(1＋1)(1＋)> 31112+⋅由此推测(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞． ①31121-n 12+n 若①式成立，则由对数函数性质可判定：S n ＞lgb n ＋1． 21下面用数学归纳法证明①式． (i)当n =1时已验证①式成立．(ii)假设当n =k (k ≥1)时，①式成立，即 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞， 31121-k 12+k 那么，当n =k ＋1时， (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋) 31121-k 1)1(21-+k ＞(1＋) 12+k 121+k =(2k ＋2)．1212++k k ∵ [(2k ＋2)]2－[]21212++k k 32+k =123848422+++++k k k k k =＞0， 121+k ∴(2k ＋2) ＞=．1212++k k 32+k ()112++k 因而 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋)＞． 31121-k 121+k 1)1(2++k 这就是说①式当n =k ＋1时也成立．1由(i)，（ii）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：S n>lg b n＋1．2。
2024年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)[含答案]
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2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，则 {1A =9}{|1}B x x A =+∈(A B = )A ．，2，3，B ．，2，C ．，D ．，2，{14}{13}{34}{19}2．设，则 z =(z z ⋅=)A ．B ．1C ．D ．2i-1-3．若实数，满足约束条件则的最小值为 x y 4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩ 5z x y =-()A ．5B ．C ．D ．122-72-4．等差数列的前项和为，若， {}n a n n S 91S =37(a a +=)A ．B ．C ．1D ．2-73295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 ()A ．B ．C ．D ．141312236．已知双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，则双曲线的离心率是 1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -C ()A ．4B ．3C ．2D 7．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为 6()31f x x x =+-(0,1)-()A ．BC ．D ．16128．函数的区间，的图像大致为 2()()sin xx f x x e ex -=-+-[ 2.8- 2.8]()A ．B ．C ．D ．9．已知 cos cos sin ααα=-tan()(4πα+=)A ．B ．CD．1+1-1-10．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为 20ax y a ++-=22:410C x y y ++-=A B ||AB ()A ．2B ．3C ．4D ．611．已知、是两个平面，、是两条直线，．下列四个命题：αβm n m αβ= ①若，则或//m n //n α//n β②若，则，m n ⊥n α⊥n β⊥③若，且，则//n α//n β//m n ④若与和所成的角相等，则n αβm n ⊥其中，所有真命题的编号是 ()A ．①③B ．②③C ．①②③D ．①③④12．在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则 ABC ∆A B C a b c 3B π=294b ac =sin sin (A C +=)A ．BCD32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数在，上的最大值是 ()sin f x x x =[0]π14．已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的2r 1r 122()r r -123()r r -体积之比 ．V V =甲乙15．已知，，则 ．1a >8115log log 42a a -=-a =16．曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．33y x x =-2(1)y x a =--+(0,)+∞a 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知等比数列的前项和为，且．{}n a n n S 1233n n S a +=-（1）求的通项公式；{}n a （2）求数列的通项公式．{}n S 18．（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲、乙两车间产95%99%品的估级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率．设为升级改造后抽取的件产品的优级品率．如0.5p =p n 果，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认p p >+12.247)≈附：，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()P K k 0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均A B C D E F ABCD CDEF 为等腰梯形，，，，，，，//AB CD //CD EF 2AB DE EF CF ====4CD =AD BC ==AE =为的中点．M CD （1）证明：平面；//EM BCF （2）求点到的距离．M ADE20．（12分）已知函数．()(1)1f x a x lnx =--+（1）求的单调区间；()f x （2）若时，证明：当时，恒成立．2a 1x >1()x f x e -<21．（12分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴．2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 3(1,2M C MF x ⊥（1）求椭圆的方程；C （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，直线与交于，证明：(4,0)P C A B N FP NB MF Q 轴．AQ y ⊥（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线xOy O x 的极坐标方程为．C cos 1ρρθ=+（1）写出的直角坐标方程；C （2）直线为参数），若与交于、两点，，求的值．:(x tl t y t a =⎧⎨=+⎩C l A B ||2AB =a [选修4-5：不等式选讲]23．实数，满足．a b 3a b + （1）证明：；2222a b a b +>+（2）证明：．22|2||2|6a b b a -+-2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，则 {1A =9}{|1}B x x A =+∈(A B = )A ．，2，3，B ．，2，C ．，D ．，2，{14}{13}{34}{19}【解析】：，2，3，4，5，，，1，2，3，4，，{1A =9}{|1}{0B x x A =+∈=8}则，2，3，．故选：．{1A B = 4}A 2．设，则 z =(z z ⋅=)A ．B ．1C ．D ．2i-1-解法一：，则．故选：．z =z =()2z z ⋅=⋅=D 解法二：22z z z ⋅==3．若实数，满足约束条件则的最小值为 x y 4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩5z x y =-()A ．5B ．C ．D ．122-72-【解析】：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示：4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩将约束条件两两联立可得3个交点：，，，(0,1)C -3(,1)2A 1(3,)2B 由得，则可看作直线在轴上的截距，5z x y =-1155y x z =-15z -1155y x z =-y 经检验可知，当直线经过点，时，最小，代入目标函数可得：．3(2A 1)z 72min z =-故选：．D 4．等差数列的前项和为，若， {}n a n n S 91S =37(a a +=)A ．B ．C ．1D ．2-7329解法一：，则，解得．故选：．91S =193799()9()122a a a a S ++===3729a a +=D 解法二：利用等差数列的基本量由，根据等差数列的求和公式，，91S =9119891,93612dS a a d ⨯=+=∴+=.()37111122262893699a a a d a d a d a d +=+++=+=+=解法三：特殊值法不妨取等差数列公差，则，则.故选：D0d =9111199S a a ==⇒=371229a a a +==解法四：【构造法】：设的公差为，利用结论是首项为，公差为的等差数列，{}n a d n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1a 2d 则，，()911118428922S d a a d a d =+=+=+371112628a a a d a d a d +=+++=+则，所以.故选：D ()()9111371118428==92229S d a a d a d a a =+=+=++3729a a +=解法五：根据题意，故选：D375922299a a a S +===5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 ()A ．B ．C ．D ．14131223【解析】：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有种可能，4424A =丙不在排头，且甲或乙在排尾的情况有种可能，故．故选：．1122228C C A=81243P ==B 6．已知双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，则双曲线的离心率是 1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -C ()A ．4B ．3C．2D 解法一：因为双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -所以，，，12||8F F =1||6PF =2||10PF ==则双曲线的离心率．故选：．C 2822106c e a ===-C 解法二：点纵坐标相同，所以是通径的一半即1P F 、1||PF 21||6b PF a ==则即，则双曲线的离心率．故选：．2166a a -=2a =C 224c e a ===C 解法三：双曲线的离心率C 121221086F F e PF PF ===--解法四 ：根据焦点坐标可知4c =，根据焦点在y 轴上设双曲线方程为22221y xa b -=，则22221636116a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，则2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩2c e a ==7．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为 6()31f x x x =+-(0,1)-()A ．BC ．D ．1612【解析】：因为，所以，曲线在处的切线斜率，6()3f x x x =+5()63f x x '=+(0,1)-3k =故曲线在处的切线方程为，即，(0,1)-13y x +=31y x =-则其与坐标轴围成的面积．故选：．1111236S =⨯⨯=A 8．函数的区间，的图像大致为 2()()sin x x f x x ee x -=-+-[ 2.8-2.8]()A ．B ．C ．D ．解法一：，2()()sin x x f x x e e x -=-+-则，故为偶函数，故错误；22()()()sin()()sin ()x x x x f x x e e x x e e x f x ---=--+--=-+-=()f x AC （1），故错误，正确．f 1111111()sin11()sin 1062242e e e e e e eπ-=-+->-+-=-->->D B 故选：．B 解法二：函数为偶函数。
2021年河南省高考文科数学真题及参考答案
2021年河南省高考文科数学真题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集{}54321，，，，=U ，集合{}21，=M ，{}43，=N ，则()=N M C U （）A .{}5B .{}2,1C .{}4,3D .{}4,3,2,12.设i iz 34+=，则=z （）A .i 43--B .i 43+-C .i43-D .i43+3.已知命题p ：1sin ,<∈∃x R x ；命题q ：1,≥∈∀xe R x ，则下列命题中为真命题的是（）A .qp ∧B .q p ∧⌝C .qp ⌝∧D .()q p ∧⌝4.函数()3cos 3sinxx x f +=的最小正周期和最大值分别是（）A .π3和2B .π3和2C .π6和2D .π6和25.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+324y y x y x ，则y x z +=3的最小值为（）A .18B .10C .6D .46.=-125cos 12cos22ππ（）A .21B .33C .22D .237.在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛210，随机取1个数，则取到的数小于31的概率为（）A .43B .32C .31D .618.下列函数的最小值为4的是（）A .422++=x x yB .xx y sin 4sin +=C .xx y -+=222D .xx y ln 4ln +=9.设函数()xxx f +-=11，则下列函数中为奇函数的是（）A .()11--x fB .()11+-x f C .()11-+x f D .()11++x f 10.在正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D B 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A .2πB .3πC .4πD .6π11.设B 是椭圆1522=+y x 的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为（）A .25B .6C .5D .212.设0≠a ，若a x =为函数()()()b x a x a x f --=2的极大值点，则（）A .b a <B .b a >C .2a ab <D .2a ab >二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()5,2=a，()4,λ=b ，若b a ∥，则=λ.14.双曲线15422=-y x 的右焦点到直线082=-+y x 的距离为.15.记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，面积为3，︒=60B ，ac c a 322=+，则=b .16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号一次为.（写出符合要求的一组答案即可）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别为x ，y ，样本方差分别为21s ，22s .（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果1022221s s x y +≥-，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高.）18.（12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面是矩形，⊥PD 底面ABCD ，M 为BC 的中点，且AM PB ⊥.（1）证明：平面⊥P AM 平面PBD ；（2）若1==DC PD ，求四棱锥ABCD P -的体积.19.（12分）设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =.已知3219,3,a a a 成等差数列.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n n T S ，分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和.证明：2nn S T <.20.（12分）已知抛物线C ：()022>=p px y 的焦点F 到准线的距离为2.（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足QF PQ 9=，求直线OQ 斜率的最大值.旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.521.（12分）已知函数()123++-=ax x x x f （1）讨论()x f 的单调性；（2）求曲线()x f y =过坐标原点的切线与曲线()x f y =的公共点的坐标.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，☉C 的圆心为()12，C ，半径为1.（1）写出☉C 的一个参数方程；（2）过点()14，F 作☉C 的两条切线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()3++-=x a x x f .（1）当1=a 时，求不等式()6≥x f 的解集；（2）若()a x f ->，求a 的取值范围.参考答案一、选择题1.A解析：由题意可得{}4,3,2,1=N M ，∴(){}5=N M C U 2.C 解析：在等式i iz 34+=两边同时乘i 得，34-=-i z ，∴i z 43-=.3.A 解析：p 真，q 真，∴选A 4.D解析：由题可得()⎪⎭⎫⎝⎛+=43sin 2πx x f ，故周期为πωπ62==T ，最大值为2.5.C 解析：由约束条件可得可行域如图所示，当直线y x z +=3过点()31，B 时，z 取最小值为6.6.D解析：原式236cos 12sin 12cos22==-=πππ7.B 解析：本题为集合概型，测度为长度，()32021031=--=A P .8.C 解析：由题意可知A 的最小值为3，B 等号成立条件不成立，D 无最小值.9.B解析：()xx f ++-=121关于()11--，中心对称，向右1个单位，向上1个单位后关于()0,0中心对称，∴()11+-=x f y 为奇函数.10.D解析：如图，1PBC ∠为直线PB 与1AD 所成的角的平面角.易知11BC A ∆为正三角形，又P 为11C A 的中点，∴61π=∠PBC .11.A 解析：由P 在C 上，设()00,y x P ，且152020=+y x ，()10，B ，因此()202021-+=y x PB，由152020=+y x 可得[]1,1,5502020-∈-=y y x ，代入上式得()20202155-+-=y y PB，化简得[]1,14254140202-∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=y y PB .因此当且仅当410-=y 时，PB 的最大值为25.12.D解析：若0>a ，其图象如图（1），此时，b a <<0；若0<a ，其图象如图（2），此时，0<<a b .综上，2a ab >.二、填空题13.58解析：由已知，b a ∥，则λ542=⨯，故58=λ.14.5解析有题意可知，双曲线的右焦点坐标为()0,3，由点到直线的距离公式得521802322=+-⨯+=d .15.22解析：343sin 21===∆ac B ac S ABC ，∴4=ac .由余弦定理，823222==-=-+=ac ac ac ac c a b ，∴22=b .16.②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面P AC ⊥平面ABC ，2==PC P A ，5==BC BA ，2=AC .俯视图为⑤；侧视图为③，如图（2），P A ⊥平面ABC ，1=P A ，5==AB AC ，2=BC ，俯视图为④.三、解答题17.解：（1）()0.107.92.101.100.108.99.92.100.103.108.9101=+++++++++=x ()3.105.104.105.106.103.101.100.101.104.101.10101=+++++++++=y ，()()()()2222210.100.1020.109.90.108.920.107.9[101-⨯+-+-⨯+-⨯=s ()()()036.0]0.103.100.102.1020.101.10222=-+-⨯+-+，()()()()2222223.104.1023.103.103.101.1033.100.10[101-⨯+-+-⨯+-⨯=s ()()04.0]3.106.103.105.10222=-+-⨯+.（2）由（1）中数据得3.0=-x y ，0304.00076.021022221==+s s .则0304.009.03.0>=，显然>-x y 1022221s s +，∴可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18.解：（1）∵⊥PD 底面ABCD ，⊂AM 平面ABCD ，∴AM PD ⊥，∵AM PD ⊥，AM PB ⊥，P PD PB = ，⊂PB 平面PBD ，⊂PD 平面PBD ，∴⊥AM 平面PBD又∵⊂AM 平面P AM ，∴平面P AM 平面PBD .（2）∵M 为BC 的中点，∴AD BM 21=且1==DC AB ……①∵⊥AM 平面PBD ，⊂BD 平面PBD ，∴BD AM ⊥.则有︒=∠+∠90MAD BAM ，︒=∠+∠90ADB MAD ，即ADB BAM ∠=∠，则有ADB BAM ∆∆~，则有DAABAB BM =，即将①代入得2=AD .212=⨯=⋅=DC AD S ABCD ，32123131=⨯⨯=⋅=-PD S V ABCD ABCD P .19.解：（1）设{}n a 的公比为q ，则1-=n n qa ，∵3219,3,a a a 成等差数列，∴q q 32912⨯=+，解得31=q故131-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=n n n S 31123311311.又n n n b 3=，则n n n nn T 3313332311321+-++++=- ，两边同乘31，则143233133323131++-++++=n n n nn T ，两式相减得132133131313132+-++++=n n n nT ，即1133112133113113132++-⎪⎭⎫⎝⎛-=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n nn nn n n T ，整理得nn n n n n T 3232433231143⨯+-=⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-=，∴032343112332324322<⨯+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛⨯+-=-n n n n n n n S T ，故2nn S T <.20.解：（1）在抛物线中，焦点F 到准线的距离为p ，故2=p ，∴x y 42=.设()()()01,,2211，，，F y x Q y x P ，则()1212,y y x x PQ --=，()22,1y x QF --=，∵QF PQ 9=，∴()21219x x x -=-，1129y y y -=-，∴91021-=x x ，2110y y =，又∵点P 在抛物线上，1214x y =，∴()()910410222-=x y ，则点Q 的轨迹方程为259522-=x y .设直线OQ 的方程为kx y =，当直线OQ 和曲线259522-=x y 相切时，斜率最大，联立直线与曲线方程，得02595222=+-x x k ，相切时，0=∆，即025945222=⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-k ，解得31=k 或31-=k （舍去）∴直线OQ 斜率的最大值为31.21.解：（1）函数()x f 的定义域为R ，其导数为()a x x x f +-='232.①当31≥a 时，()0='x f 至多有一解，即()0≥'x f ，∴()x f 在R 上单调递增；②当31<a 时，令()0='x f ，即0232=+-a x x ，解得3311,331121ax a x -+=--=.()0>'x f 时，1x x <或2x x >；()0<'x f 时，21x x x <<∴()x f 在()1x ，∞-上单调递增，在()21,x x 上单调递减，在()+∞,2x 上单调递增.∴当31≥a 时，()x f 在R 上单调递增；当31<a 时，()x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞-3311a ，上单调递增，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--33113311a a ，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+-+，3311a 上单调递增.（2）记曲线()x f y =过坐标原点的切线为l ，切点为()1,020300++-ax x x x P .()a x x x f +-='020023.∴切线l 的方程为()()()002002030231x x a x x ax x x y -+-=++--，又切线l 过坐标原点，则0122030=--x x ，解得10=x ∴切线l 的方程为()xa y +=1若()x a ax x x +=++-1123，则有方程0123=+--x x x ，解得1=x 或1-=x ∴曲线()x f y =过坐标原点的切线与曲线()x f y =的公共点的坐标为()a +1,1和()a ---1,1.（二）选考题22.解：（1）∵☉C 的圆心为()12，C ，半径为1，故☉C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，（θ为参数）.（2）设切线()14+-=x k y ，即014=+--k y kx ，故1114122=++--kk k ，即212k k +=，∴2214k k +=，解得33±=k .故直线方程为()1433+-=x y ，()1433+--=x y .故两条切线的极坐标方程为1334cos 33sin +-=θθρ或1334cos 33sin ++=θθρ.23.解：（1）当1=a 时，()31++-=x x x f ，即求631≥++-x x 的解集.当1≥x 时，622≥+x ，得2≥x ；当13<<-x 时，64≥，此时没有x 满足条件；当3-≤x 时，622≥--x ，解得4-≤x .综上，解集为(][)∞+-∞-，，24 .（2）()a x f ->min ，而由绝对值的几何意义，即求x 到a 和3-距离的最小值.当x 在a 和3-之间时最小，此时()x f 最小值为3+a ，即a a ->+3.3-≥a 时，032>++a ，得23->a ；当3-<a 时，a a ->--3，此时a 不存在.综上，23->a .。
2023年河南省普高联考高考数学测评试卷(文科)(四)+答案解析(附后)
2023年河南省普高联考高考数学测评试卷（文科）（四）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数的共轭复数为，且，则( )A. B. 1 C. 2 D. 33. 已知向量，，且，则( )A. B. C. D.4. 已知为等差数列的前n项和，若，那么( )A. 40B. 45C. 50D. 555. 塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑.最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建筑，称“佛塔”.如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同现测得，一水平面内的两个测量基点C与D，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度约为参考数据：，( )A. 13米B. 24米C. 39米D. 45米6. 函数的大致图象是( )A. B.C. D.7. 记不等式组的解集为D，现有下面四个命题：：，；：，；：，；：，其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 函数是定义在R上的奇函数，且在区间上单调递增，若关于实数t的不等式恒成立，则t的取值范围是( )A. B. C. D.9. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于点A，B，与抛物线的准线交于点M，且点A位于第一象限，F恰好为AM的中点，，则( )A. B. C. D.10. 任意写出一个正整数m，并且按照以下的规律进行变换：如果m是个奇数，则下一步变成，如果m是个偶数，则下一步变成，无论m是怎样一个数字，最终必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.它可以表示为数列：为正整数，若，则m的所有可能取值之和为( )A. 188B. 190C. 192D. 20111. 若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是( )A. B. C. D.12. 已知双曲线E：的上焦点为，点P在双曲线的下支上，若，且的最小值为7，则双曲线E的离心率为( )A. 2或B. 3或C. 2D. 313. 在正项等比数列中，，，则______ .14. 已知点和，点M满足，直线t：与点M 的轨迹相切，则直线l的倾斜角为______ .15. 在菱形ABCD中，，，AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段AD，CD上，且，，将沿MN折叠到，使，则三棱锥的外接球的表面积为______ .16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求A；点D在线段AC上，且，若的面积为，，求BD的长.17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，，，点M在底面ABCD上的射形为CD的中点O，E为线段AD上的点含端点若E为线段AD的中点，证明：平面平面MAD；若，且三棱锥的体积为，求实数的值.18. 某公司为了解年营销费用单位：万元对年销售量单位：万件的影响，统计了近5年的年营销费用和年销售量，得到的散点图如图所示，对数据进行初步处理后，得到一些统计量的值如下表所示.表中，，，已知可以作为年销售量y关于年营销费用x的回归方程.求y关于x的回归方程；若公司每件产品的销售利润为4元，固定成本为每年120万元，用所求的回归方程估计该公司每年投入多少营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大？收益=销售利润-营销费用-固定成本参考数据：，参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，19. 已知椭圆的右焦点为F，离心率为，且点在㮋圆上.求椭圆C的标准方程；过右焦点F且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为Q，经过坐标原点O和点Q的直线m与椭圆C交于M，N两点，求四边形AMBN的面积的取值范围.20. 已知函数当时，求在点处的切线方程；证明：当时，对任意的，恒成立.21. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为其中t为参数，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，其中为参数.求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程，并画出曲线C的简图无需写出作图过程；直线与曲线C相交于A，B两点，且，求的值.22. 已知函数的最小值为在直角坐标系中画出的图象，并求出m的值；若a，b，c均为正数，且，求的最小值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：由已知可得，，所以A，C，D错误，B正确，故选：求出集合A，B的交集，并集，然后对各个选项逐个分析即可判断求解．本题考查了集合的交集，并集运算，考查了元素与集合的关系，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：复数的共轭复数为，则，因为，所以，即，解得，故故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：已知向量，，，，，又，则，则，故选：由平面向量数量积的运算，结合三角函数求值问题求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数求值问题，属基础题．4.【答案】B【解析】解：由等差数列的性质及其，，那么故选：由等差数列的性质及其，可得，再利用等差数列的前n项和公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：在中，由于，，米，所以，利用正弦定理，整理得，在中，，解得：米．故选：直接利用正弦定理和三角函数的值求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理，三角函数值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．6.【答案】A【解析】解：因为，，所以，所以为R上的奇函数，排除B，D；又因为，故排除C，只有A满足．故选：先判断出函数为奇函数，排除B，D；再判断的正负即可得答案．本题考查了函数的奇偶性、数形结合思想，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：不等式组的解集为D，作出平面区域：由图可知，在阴影区域ABC中，对于：，，正确；：，，错误；：，，代入不成立，错误；：，，正确．故选：依题意，作出线性规划图，对、、、四个选项逐一判断分析即可．本题考查命题的真假判断与应用，作出平面区域是关键，考查分析与作图能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：因为函数是定义在R上的奇函数，所以是定义域R上的偶函数，又因为在区间上单调递增，且，所以，即，解得或，所以或，所以t的取值范围是故选：根据函数是定义在R上的奇函数得出是偶函数，把不等式化为，即，求解不等式即可．本题考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．9.【答案】A【解析】解：抛物线C：的焦点为，过点F的直线与抛物线交于点A，B，与抛物线的准线交于点M，且点A位于第一象限，F恰好为AM的中点，所以M的纵坐标为：，则A的纵坐标：，A的横坐标为：，M的横坐标为：，FA的斜率为：，AF的方程为：，代入抛物线方程可得：，可得，，可得，可得故选：利用已知条件求解A的坐标，得到M的坐标，然后求解B的坐标，即可求解的值．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．10.【答案】B【解析】解：由题意，的可能情况有：①：②；③：④：⑤：⑥的所有可能取值为2，16，20，3，128，21，所有可能取值的和为故选：根据“冰雹猜想”，一一列举出所有可能的情况即可．本题考查数列的递推式，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：函数在上恰有两个零点，，解得；①又在上单调递增，，解得；②联立①②得的取值范围是故选：利用正弦函数性质，结合题意可求得的取值范围．本题考查正弦型函数的单调性质的应用，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：设下焦点为，则，，，，，解得或，经检验，不符合题意，舍去，，，故选：设下焦点为，利用，求解即可．本题考查求双曲线的离心率，考查运算求解能力，属中档题．13.【答案】24【解析】解：由等比数列的性质可知，，，又等比数列的各项都为正数，故答案为：根据等比数列的性质可得，从而求出的值．本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．14.【答案】【解析】解：根据题意，设，由于点M满足，则有，变形可得，即，则点M的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，若直线t：与点M的轨迹相切，则有，解可得：，设直线l的倾斜角为，则，故；故答案为：根据题意，设，分析M的轨迹，可得点M的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及轨迹方程的求法，属于中档题．15.【答案】【解析】解：在菱形ABCD中，，，AC与BD的交点为G，则，设，又点M，N分别在线段AD，CD上，且，，则，，将沿MN折叠到，使，设在平面ABC内的射影为F，则点F在BG直线上，又，，，由可得点F与点G重合，即在平面ABC内的射影为G，又为直角三角形，且，则，，则，设的外接圆的圆心为，半径为r，则，即，即，，设三棱锥的外接球的球心为O，半径为R，则平面ABC，设H为的外心，则四边形为矩形，设，则，则，，即三棱锥的外接球的表面积为，故答案为：由已知可得在平面ABC内的射影为G，由正弦定理可得的外接圆的半径为，设三棱锥的外接球的球心为O，半径为R，H为的外心，且，则，然后结合球的表面积公式求解即可．本题考查了正弦定理及勾股定理，重点考查了球的表面积公式，属中档题．16.【答案】解：因为，即，所以由正弦定理可得，又，所以，可得，因为C为三角形内角，，所以，可得，又，所以；因为点D在线段AC上，且，的面积为，所以，又，所以，因为，所以，可得，所以，所以【解析】利用正弦定理以及三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合，即可求解A的值．由题意，利用三角形的面积公式可求，结合，可求b 和c的值，进而可求AD的值，利用余弦定理即可求解BD的值．本题考查了正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式以及三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.【答案】证明：由点M在底面ABCD上的射影为CD的中点O，知平面ABCD，因为平面ABCD，所以，在中，，，，由余弦定理知，，所以，即，因为，OM、平面MOE，所以平面MOE，又平面MAD，所以平面平面解：由可得，，，三棱锥的体积为，可得，解得，，，可得【解析】由平面ABCD，知，在中，结合余弦定理与勾股定理，可证，从而知平面MOE，再由面面垂直的判定定理，得证；求解OA，MO，利用三棱锥的体积为，求解AE，即可实数的值．本题考查点到平面的距离、线面垂直的判定与性质、正四面体的体积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：由表可知，，，所以，，所以，因为，，所以，所以，即y关于x的回归方程为年收益，所以，令，则，即，当时，，递增；当时，，递减，所以当时，年收益取得最大值，故估计该公司每年投入万元的营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大．【解析】结合表中数据与参考公式，可求得和的值，再利用，，根据对数的运算法则，即可得解；年收益，利用导数研究其单调性，进而知其最大值，得解．本题考查回归方程的求法及其实际应用，利用导数求函数的最值，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：因为，可得，设椭圆的方程为：，将点代入椭圆的方程：，解得，所以椭圆的方程为：；由可得右焦点，由题意设直线l的方程为，设，，联立，整理可得：，显然成立，，，，可得AB的中点，可得弦长，可得直线OQ的方程为，设，，联立，整理可得，可得，设，，所以M到直线l的距离，N到直线l的距离，因为M，N在直线l的两侧，所以，所以，因为所以四边形的面积的范围【解析】由离心率的值可得a，b的关系，再将点的坐标，代入椭圆的方程，可得a，b的值，可得椭圆的方程；设直线l的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，可得弦长的代数式，可得AB的中点Q的坐标，可得直线OQ的方程，与椭圆联立，可得M，N的坐标，可得M，N到直线l的距离，由M，N在直线的两侧，可得M，N到直线l的距离之和的代数式，可得四边形的面积的表达式，由自变量的范围，可得四边形的面积的范围．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，四边形的面积的求法，属于中档题．20.【答案】解：当时，，，，，在点处的切线方程为，即为证明：函数，要证明当时，对任意的，恒成立当时，对任意的，恒成立．令，，，，令，，①时，，此时函数单调递增，，即，函数在上单调递增，；②时，，此时函数单调递减，而，，存在，使得，时，，函数单调递增；时，，函数单调递减．时，函数取得极大值即最大值，，，令，，，令，解得，且为函数的极小值点，此时函数取得最小值．，综上可得：当时，对任意的，恒成立，即当时，对任意的，恒成立．【解析】当时，，，利用导数的运算法则可得，，利用点斜式即可得出在点处的切线方程．函数，要证明当时，对任意的，恒成立当时，对任意的，恒成立．令，，，，令，，通过对x分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：直线l的参数方程为其中t为参数，转换为普通方程为；曲线C的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为故曲线C 的简图为：直线与曲线C 相交于A ，B 两点，所以，解得，同理，所以，故，整理得：，由于，所以【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用极径的关系式和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径关系式，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．22.【答案】解：，由图知，的最小值为，即；由可得，因为a ，b ，c 都为正数，由柯西不等式可得：，当且仅当时取等号，所以，即的最小值为【解析】去掉绝对值，可得分段函数的解析式，如图所示，可得函数的最小值；由柯西不等式可得代数式的最小值．本题考查分段函数的图像求函数的最小值及柯西不等式的应用，属于基础题．。
2017年河南省全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B={x|x＜}B．A∩B=∅C．A∪B={x|x＜}D．A∪B=R2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．0B．1C．2D．3 8．（5分）函数y=的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+211．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC ﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（）A．B．C．D．12．（5分）设A，B是椭圆C：+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．（0，]∪[4，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020河南高考数学试卷文科
选择题：1. 以下哪个选项是二次函数的图像形状？A. V形B. 直线C. 正弦曲线D. 反比例函数曲线2. 以下哪个选项是等差数列的通项公式？A. Un = a + (n - 1)dB. Un = a^nC. Un = a * nD. Un = a / n3. 下面哪个选项是对数函数的反函数？A. 幂函数B. 正弦函数C. 一次函数D. 指数函数4. 下列哪个选项是垂直于直线2x - 3y = 6的直线?A. y = 2x + 3B. y = -3x + 2C. y = 3x + 2D. y = -2x + 35. 以下哪个选项是解一元二次方程的公式？A. x = -b ± √(b^2 - 4ac) / 2aB. x = -b ± √(b^2 + 4ac) / 2aC. x = b ± √(b^2 - 4ac) / 2aD. x = b ± √(b^2 + 4ac) / 2a6. 下面哪个选项是立方根的定义？A. a^2 = bB. a^3 = bC. a^4 = bD. a^5 = b7. 已知平行四边形两对边分别平行于坐标轴，且一对边的长度为7，另一对边的长度为3，该平行四边形的面积为多少？A. 10B. 14C. 17D. 218. 以下哪个选项是复数的模？A. 实部B. 虚部C. 系数D. 绝对值填空题：1. 若a = 2，b = 5，则a + b = ____。
2. 二次函数图像的顶点坐标是(3, -4)，对称轴方程是x = ____。
3. 若f(x) = 2x + 3，则f(-2) = ____。
4. 若sinθ = 0.8，则cosθ = ____。
5. 在直角三角形中，边长最长的边被称为____。
6. 若x = 3^2，y = √9，则xy = ____。
7. 若log₂a = 4，则a = ____。
8. 下列哪个选项是等差数列的通项公式：Un = ____。
高考河南文科数学试卷
高考河南文科数学试卷A卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
每小题有4个选项，其中有一个正确答案。
）1.若实数a的平方根是正数，则a的取值范围是A.(0,+∞)B.（-∞,+∞）C.[-1,1]D.(-1,+∞)2.不等式x^2-4x-21<0的解集是A.(-3,7)B.[3,7)C.[3,7]D.(3,7)3.二次函数y=ax^2+bx+c(a>0)的图象是一个抛物线，则a的符号与下列哪个关系正确定义A.抛物线开口朝上B.抛物线开口朝下C.抛物线与x轴相交D.抛物线在一侧4.x^2+px-12的判别式不小于0，则A.p>=-4B.p<=-4C.p>=4D.p<=45.若根号 a +1=3，则 a=（）。
A.4B.8C.3D.96.已知 2x-y=2 ，求 ax+by=7 的几个解中， a:b=（）。
A.1:2B.2:-1C.1:-2D.-1:27.若x,y均为整数且x^2+y^2=2，则 xy=（）A.2B.-2C.1D.-18.函数 y=ax^2+bx+c恒大于0，解得a=3,b=-6,则c=（）。
A.-3B.3C.-4D.49.若函数f(x)=x^2+bx+c恒大于0，解得b=6，则c=（）。
A.9B.18C.21D.3610.记函数y=ax^2+bx+c的最小值为m，则a>0时，m=（）。
A.-b/(4a)B.b/(4a)C.c-b^2/(4a)D.c+b^2/(4a)B卷二、填空题（本题共5小题，每小题6分，共30分）11.数列1，5，9，13，……的第n项为12.若a+b=3 ，则(a^2+b^2)的最小值为13.若x^2-4x+2=0的两根为α,β,则（α/β+β/α）=14.已知点M（2,3），则过点M的平行于x轴的直线方程为15.设函数y=ax^2+bx+c的图象和x轴相交于两点A（1,0）和B （3,0），则a的值为C卷三、简答题（本题共4小题，每小题12分，共48分）16.求函数y=x^2-x的最小值。
2020年河南省高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)
2020年河南省高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合A＝{x|x2−3x−4<0}，B＝{−4, 1, 3, 5}，则A∩B＝（）A.{−4, 1}B.{1, 5}C.{3, 5}D.{1, 3}【答案】D【考点】交集及其运算【解析】求解一元二次不等式得到集合A，再由交集运算得答案．【解答】集合A＝{x|x2−3x−4<0}＝(−1, 4)，B＝{−4, 1, 3, 5}，则A∩B＝{1, 3}，2. 若z＝1+2i+i3，则|z|＝（）A.0B.1C.√2D.2【答案】C【考点】复数的模【解析】根据复数的定义化简原式，并通过模长公式求解即可．【解答】z＝1+2i+i3＝1+2i−i＝1+i，∴|z|=√12+12=√2．3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.√5−14B.√5−12C.√5+14D.√5+12【答案】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．【解答】设正四棱锥的高为ℎ，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为ℎ′，则依题意有：{ℎ2=12aℎℎ2=ℎ2−(a2)2，因此有ℎ′2−(a2)2=12aℎ′⇒4(ℎa)2−2(ℎa)−1＝0⇒ℎa=√5+14（负值舍去）；4. 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A.1 5B.25C.12D.45【答案】A【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】根据古典概率公式即可求出．【解答】O，A，B，C，D中任取3点，共有C53=10种，其中共线为A，O，C和B，O，D两种，故取到的3点共线的概率为P=210=15，5. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：∘C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i, y i)(i＝1, 2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10∘C至40∘C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A.y＝a+bxB.y＝a+bx2C.y＝a+be xD.y＝a+b ln x【答案】求解线性回归方程【解析】直接由散点图结合给出的选项得答案．【解答】由散点图可知，在10∘C至40∘C之间，发芽率y和温度x所对应的点(x, y)在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，y＝a+b ln x可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．6. 已知圆x2+y2−6x＝0，过点(1, 2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】直线与圆相交的性质【解析】由相交弦长|AB|和圆的半径r及圆心C到过D(1, 2)的直线的距离d之间的勾股关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离的最大时，而当直线与CD垂直时d最大，求出d的最大值，进而求出弦长的最小值．【解答】由圆的方程可得圆心坐标C(3, 0)，半径r＝3；设圆心到直线的距离为d，则过D(1, 2)的直线与圆的相交弦长|AB|＝2√r2−d2，当d最大时弦长|AB|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d＝|CD|=√(3−1)2+(2−0)2=2√2，所以最小的弦长|AB|＝2√32−(2√2)2=2，7. 设函数f(x)＝cos(ωx+π6)在[−π, π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为（）A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2【答案】C【考点】三角函数的周期性【解析】由图象观察可得最小正周期小于13π9，大于10π9，排除A，D；再由f(−4π9)＝0，求得ω，对照选项B，C，代入计算，即可得到结论．【解答】由图象可得最小正周期小于π−(−4π9)=13π9，大于2×(π−4π9)=10π9，排除A，D；由图象可得f(−4π9)＝cos(−4π9ω+π6)＝0，即为−4π9ω+π6=kπ+π2，k∈Z，(∗)若选B，即有ω=2π7π6=127，由−4π9×127+π6=kπ+π2，可得k不为整数，排除B；若选C，即有ω=2π4π3=32，由−4π9×32+π6=kπ+π2，可得k＝−1，成立．8. 设a log34＝2，则4−a＝（）A.1 16B.19C.18D.16【答案】B【考点】对数的运算性质【解析】直接根据对数和指数的运算性质即可求出．【解答】因为a log34＝2，则log34a＝2，则4a＝32＝9则4−a=14a =19，9. 执行如图的程序框图，则输出的n＝（）A.17B.19C.21D.23【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】n＝1，S＝0，第一次执行循环体后，S＝1，不满足退出循环的条件，n＝3；第二次执行循环体后，S＝4，不满足退出循环的条件，n＝5；第三次执行循环体后，S＝9，不满足退出循环的条件，n＝7；第四次执行循环体后，S＝16，不满足退出循环的条件，n＝9；第五次执行循环体后，S＝25，不满足退出循环的条件，n＝11；第六次执行循环体后，S＝36，不满足退出循环的条件，n＝13；第七次执行循环体后，S＝49，不满足退出循环的条件，n＝15；第八次执行循环体后，S＝64，不满足退出循环的条件，n＝17；第九次执行循环体后，S＝81，不满足退出循环的条件，n＝19；第十次执行循环体后，S＝100，不满足退出循环的条件，n＝21；第十一次执行循环体后，S＝121，满足退出循环的条件，故输出n值为21，10. 设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a6+a7+a8＝（）A.12B.24C.30D.32【答案】D【考点】等比数列的性质【解析】根据等比数列的性质即可求出．【解答】{a n}是等比数列，且a1+a2+a3＝1，则a2+a3+a4＝q(a1+a2+a3)，即q＝2，∴a6+a7+a8＝q5(a1+a2+a3)＝25×1＝32，11. 设F1，F2是双曲线C:x2−y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为（）A.7 2B.3C.52D.2【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】先判断△PF1F2为直角三角形，再根据双曲线的定义和直角三角形的性质即可求出．【解答】由题意可得a＝1，b=√3，c＝2，∴|F1F2|＝2c＝4，∵|OP|＝2，∴|OP|=12|F1F2|，∴△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2＝4c2＝16，∵||PF1|−|PF2||＝2a＝2，∴|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|＝4，∴|PF1|⋅|PF2|＝6，∴△PF1F2的面积为S=12|PF1|⋅|PF2|＝3，12. 已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A.64πB.48πC.36πD.32π【答案】A【考点】球的表面积和体积【解析】画出图形，利用已知条件求出OO1，然后求解球的半径，即可求解球的表面积．【解答】由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π，可得O1A＝2，则3 2AO1＝AB sin60∘，32AO1=√32AB，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝2√3，外接球的半径为：R=√AO12+OO12=4，球O的表面积：4×π×42＝64π．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标I 文科卷）
数学（文科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则M
B =（ ） A. )1,2(- B. )1,1(- C. )3,1( D. )3,2(-
（2）若0tan >α
，则 A. 0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α
（3）设i i z
++=11，则=||z A. 21 B. 2
2 C. 2
3 D. 2 （4）已知双曲线)0(13
2
22>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B.
26 C. 25 D. 1 （5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是
A. )()(x g x f 是偶函数
B. )(|)(|x g x f 是奇函数
C. |)(|)(x g x f 是奇函数
D. |)()(|x g x f 是奇函数
（6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+
A. AD
B. AD 21
C. BC 2
1 D. BC （7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为
A.①②③
B. ①③④
C. ②④
D. ①③
8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A.三棱锥
B.三棱柱
C.四棱锥
D.四棱柱
9.执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( ) A.203 B.72 C.165 D.158
10.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A
00,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8 （11）设x ，y 满足约束条件,1,
x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =
（A ）-5 （B ）3
（C ）-5或3 （D ）5或-3
（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值 范围是
（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-
第II 卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.
（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；
乙说：我没去过C 城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为________.
（15）设函数()113,1,,1,
x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.
（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。
（I ）求{}n a 的通项公式；
（II ）求数列2n n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭的前n 项和. （18）（本小题满分12分）
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数
（II ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （III ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
19(本题满分12分)
如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.
（1）证明：;1AB C B ⊥
（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高.
20.（本小题满分12分）
已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.
（1）求M 的轨迹方程；
（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积
21（12分）
设函数()()21ln 12
a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0 （1）求b;
（2）若存在01,x ≥使得()01
a f x a <-，求a 的取值范围。
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.
（22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲
如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.
（I ）证明：D E ∠=∠；
（II ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ABC ∆为等边三角形.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线194:2
2=+y x C ，直线⎩
⎨⎧-=+=t y t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求
PA 的最大值与最小值. （24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲
若,0,0>>b a 且
ab b a =+11 （I ）求33b a +的最小值；
（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.。