立体几何证明方法总结及经典3例(可编辑修改word版)

立体几何证明方法总结及典例
例1：平行类证明
【平行类证明方法总结】
线线平行的证明方法：
三线间平行的传递性，三角形中位线，平行四边形对边平行且相等，梯形的上下底平行，棱
柱圆柱的侧棱平行且相等，两平行面被第三面所截交线平行，成比例（相似）证平行等等。

线面平行的证明方法：
面外线与面内线平行，两面平行则面内一线与另面平行等等
面面平行的证明方法：
面内相交线与另面平行则面面平行，三面间平行的传递性等等。

【例】正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ. 求证：PQ∥面BCE.
证法一：
如图（1），作PM∥AB交BE于M，
作QN∥AB交BC于N,连接MN,
因为面ABCD∩面ABEF=AB,
则AE=DB.
又∵AP=DQ,
∴PE=QB.
又∵PM∥AB∥QN,
∴ PM =PE , QN =BQ .
AB AE DC BD
∴ PM =QN .
AB DC
∴PM∥QN.
四边形PMNQ为平行四边形.
∴PQ∥MN.
又∵MN ⊂面BCE，PQ ⊄面BCE，
∴PQ∥面BCE.
证法二：
如图(2)，连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K，连结EK.
∵AD∥BC,
∴ DQ =AQ .
QB QK
又∵正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，且AP=DQ，
∴ AQ =AP .则PQ∥EK.
QK PE
∴EK ⊂面BCE，PQ ⊄面BCE.
∴PQ∥面BCE.
例2：垂直类证明
【垂直类证明方法总结】
证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90o、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等
【例】如图所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G ．
求证：AE ⊥SB ，AG ⊥SD ．
证明：∵ SA ⊥平面ABCD，
∴ SA ⊥BC ．
∵ AB ⊥BC ，
x 2 + y 2 + z 2 2 2 2 ∴ BC ⊥ 平 面
SAB ． 又∵ AE ⊂ 平面
SAB ，
∴ BC ⊥ AE ．
∵ SC ⊥ 平面 AEFG ，
∴ SC ⊥ AE ．
∴ AE ⊥ 平面 SBC ．
∴ AE ⊥ SB ．
同理证 AG ⊥
SD ． 例3：向量法解立
体几何类
【量法解立体几何类公式总结】
基本公式
若 a = (x 1 , y 1 , z 1
), b = (x 2 , y 2 , z 2 ) ，则 ① a ⋅ = x x + y y + z z ； b 1 2 1 2 1 2
②| a |=
x 2 + y 2 + z 2 ,| b |= ；
1 1 1 ③ a ⋅ = x x + y y + z z b 1
2 1 2 1 2
④ cos < a , b >=
夹角公式： cos
= -
n 1 ⋅ n 2 . 1 2 距离公式：
d =| CD |= | AB ⋅ n |
| n | 【例】已知两个正四棱锥 P －ABCD
与 Q －ABCD 的高都为 2，AB ＝4．
（1） 证明：PQ ⊥平面 ABCD ；
x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ x 2 + y 2 + z 2 1 1 1 2 2 2
⎧⎪ 得 2x 2 AD PQ ⎧n （2） 求异面直线 AQ 与 PB 所成的角；
（3） 求点 P 到面 QAD 的距离．
简解：（1）略；
（2）由题设知，ABCD 是正方形，且 AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面 ABCD ，故可分别以直 线CA ， DB ， QP 为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图 1），易得
AQ = (-2 2， 0， - 2)， PB = (0， 2 2， - 2) ， cos < AQ ， PB >= AQ PB = 1 ．
所求异面直线所成的角是arccos 1
． 3
AQ PB （3）由（2）知，点 D (0， - 2 2，0)， = (-2 2， - 2 2，0)，
= (0，0， - 4) 设 n =（x ，y ，z ）是平 面 QAD 的一个法向量，则 ⎨n = 0， ⎨ + z = 0， x + y = 0， 取 x ＝1，得 n = (1， -1， - 2) ． 点 P ⎪⎩ AD
⎪⎩ 到平面 QAD 的距离 d = = 2 ．
3
PQ n n
6 立体几何证明经典习题
平行题目
1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.
求证：PC∥面BDQ.
2、如图（1），在直角梯形 P1DCB 中，P1D//BC，CD⊥P1D，且 P1D=8，BC=4，DC=4 ，A 是 P1D 的中点，沿 AB 把平面 P1AB 折起到平面 PAB 的位置（如图（2）），使二面角P—CD—B 成45°，设 E、F 分别是线段 AB、PD 的中点.
求证：AF//平面 PEC；
垂直题目
3、如图 2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面
PBC．求证：BC⊥平面PAC．
4、如图 2，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE 于Ｈ．
求证：AH⊥平面 BCD
向量法解立体几何题目
5、在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥
EB1．已知
AB =
正切值．
，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝
π
．求二面角A－EB1－
A1的平面角的
3
2
立体几何证明经典习题答案
1、证明：如图，连结AC交BD于点O.
∵ABCD是平行四边形，
∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内，
且O Q是△APC的中位线，
∴PC∥O Q.
∵PC在平面BDQ外，
∴PC∥平面BDQ.
2、证明：如图，设 PC 中点为 G，连结 FG，
1
CD=AE，
则 FG//CD//AE，且 FG=
2
∴四边形 AEGF 是平行四边形
∴AF//EG，
又∵AF ⊄平面 PEC，EG ⊂平面 PEC，
∴AF//平面 PEC
3、证明：在平面PAC 内作AD⊥PC 交PC 于D．
∵平面PAC⊥平面PBC，且两平面交
于PC，AD ⊂平面PAC，且AD⊥PC，
∴AD⊥平面PBC．
又∵ BC ⊂平面PBC，
∴AD⊥BC．
∵PA⊥平面ABC，BC ⊂平面ABC，
∴PA⊥BC．
∵AD∩PA=A，
∴BC⊥平面PAC．
4、证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF，DF．
∵ AC =BC ，
∴ CF ⊥AB ．
∵ AD =BD ，（等腰三角形三线合一）
2 2
3 3 ∴ DF ⊥ AB ．
又CF DF = F ，
∴ AB ⊥ 平面 CDF ． ∵ CD ⊂ 平面 CDF ，
∴ CD ⊥ AB ．
又CD ⊥ BE ， BE AB = B ，
∴ CD ⊥ 平面 ABE ， CD ⊥ AH ．
∵ AH ⊥ CD ， AH ⊥ BE ，
CD BE = E ，
∴ AH ⊥ 平 面 BCD ．
5、以 B 为原点，分别以 BB 1、BA 所在直线为 y 轴、z 轴，过 B 点垂直于平面 AB 1 的直线为 x
轴建立空间直角坐标系．
由于 BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝ ，∠BCC 1＝ π
， 3
∴在三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，有 B （０，０，０）、A （０，０，
）、
B 1（０，2，０）、 ⎛ 3 1 ⎫ ⎛ 3 ⎫ ⎛ 3 ⎫ 1 3 2 ，- 2 ，0 ⎪ 、
C 1 ， ，0 ⎪ ．设 E 2 ，a ，0 ⎪ 且- 2 < a < 2 ， ⎝ ⎭ ⎝ 2 2 ⎭ ⎝ ⎭
由 EA ⊥EB 1，得 EA EB 1 = 0 ，
⎛ 即 - 3 ⎫ ⎛ 2 ，- a ，2 ⎪ - 3 ⎫ 2 ，2 - a ，0 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭
= 3 + a (a - 2) = a 2 - 2a + 3 = 0 ，∴ ⎛ a - 1 ⎫ ⎛ a - 3 ⎫ = 0 ， 4 4 2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭
1 3
⎛ 1 ⎫ 即 a = 2 或 a = 2 （舍去）．故 E ， ，0 ⎪ ． ⎝ 2 2 ⎭
由已知有 EA ⊥ EB 1 ， B 1 A 1 ⊥ EB 1 ，故二面角 A －EB 1－A 1 的平面角的大小为向量
B 1A 1 与 EA 的夹角．
c
⎛ 3 1 ⎫ 因 B 1 A 1 = BA = (0，0，2) ， EA = - 2 ，- 2 ，2 ⎪ ⎝ ⎭
故cos = 1 1 =，即tan = 2 2 2 3 EA B 1 A 1。