数学分析不定积分

8.1 不定积分概念与基本积分公式(2学时)

【教学目的】深刻理解原函数与不定积分的概念；牢记基本积分表；掌握不定积分的线形运算法则。

【教学重点】不定积分的概念，基本积分表，不定积分的线形运算法则。

【教学难点】求不定积分的技巧。

【教学过程】

一、原函数与不定积分

(一) 原函数

定义1 设函数与在区间)(x f )(x F I 上有定义。若

)()(x f x F =′， I x ∈，

则称为在区间)(x F )(x f I 上的一个原函数。 如：331x 是在R 上的一个原函数；2x x 2cos 21−， 12cos 2

1+x ，，等都有是在R 上的原函数——若函数存在原函数，则其原函数不是唯一的。

x 2sin x 2cos −x 2sin )(x f 问题1 在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则有多少个？

)(x f 问题 2 若函数的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）。

)(x f 定理1 若在区间)(x f I 上连续，则在)(x f I 上存在原函数。

)(x F （证明在第九章中进行。）

说明：（1）由于初等函数在其定义域内都是连续的，故初等函数在其定义域内必存在原函数（但其原函数不一定仍是初等函数）。（2）连续是存在原函数的充分条件，并非必要条件。

定理2 设是在在区间)(x F )(x f I 上的一个原函数，则（1）设是在在区间C x F +)()(x f I 上的原函数，其中C 为任意常量（若存在原函数，则其个)(x f

数必为无穷多个）。（2）在)(x f I 上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数（揭示了原函数间的关系）。

证：(i)这是因为[]

.),()()(I x x f x F C x F ∈=′=′+(ii)设F 和G 是f 在I 上的任意两个原函数，则有

[]

I x x f x f x G x F C x F ∈=−=′−′=′+,0)()()()()(根据第六章拉格朗日中值定理的推论，知道I x C x G x F ∈≡−,)()(． 口

（二） 不定积分

定义 2 函数在区间)(x f I 上的原函数的全体称为在)(x f I 上的不定积分，记作：

∫dx x f )(

其中∫积分号；被积函数； −−−−)(x f −−dx x f )(被积表达式；−−x 积分变量。

注1： 是一个整体记号；

∫dx x f )(注2：不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若是的一个原函数，则的不定积分是一个函数族)(x F )(x f )(x f {}C x F +)(，其中是任意常数，于是，记为：∫=。

C dx x f )(C x F +)(此时称C 为积分常数，它可取任意实数。故有

——先积后导正好还原；

∫=′)(])([x f dx x f 或 。

∫=dx x f dx x f d )()( ∫——先导后积还原后需加上一个常数（不能完全还原）。 +=′C x f dx x f )()(或 ∫。

+=C x f x df )()(如： C x dx x +=∫332， C x xdx +−=∫2cos 212sin 。 不定积分的风何意义： 若是的一个原函数，则称的图象为的一条积分曲线。于是，的不定积分在几何上表示的某一条)(x F )(x f )(x F y =)(x f )(x f )(x f

积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一载积分曲线组成的曲线族，曲线和在点C x F +)(2)(C x F +x 有相同切线斜率。如下图。

)(x f

注：在求原函数的具体问题中，往往是先求出全体原函数，然后从中确定一个满足条件00)(y x F =（称之为初始条件，一般由具体问题确定）的原函数，它就是积分曲线族中通过点的那条积分曲线。

),(00y x

二、基本积分表

由于不定积分的定义不象导数定义那样具有构造性，这就使得求原函数的问题要比求导数难得多，因此，我们只能先按照微分法的已知结果去试探。首先，我们把基本导数公式改写成基本积分公式：

1.；

∫=C dx 02.∫∫；

+==C x dx dx 13.C x dx x ++=∫+11

ααα

，)0,1(>−≠x α； 4.C x dx x

+=∫ln 1，； )0(≠x 5.∫；

+=C e dx e x x 6.C a a dx a x

x

+=∫ln ， )1,0(≠>a a ； 7.C ax a

axdx +=∫sin 1cos ，)0(≠a ； 8.C ax a axdx +−=∫cos 1sin ，)0(≠a ；

9.∫；

+=C x xdx tan sec 210.∫；

+−=C x xdx cot csc 211.∫；

+=⋅C x xdx x sec tan sec 12.∫；

+−=⋅C x xdx x csc cot csc 13.

12arccos arcsin 1C x C x x dx +−=+−∫； 14.12cot arctan 1C x arc C x x

dx +−=+=+∫。 注意：上述基本积分公式一定要牢记，因为其它函数的不定积分经运算变形后，最终归结为这些基本不定积分。另外，还须借助一些积分法则才能求出更多函数的不定积分。

定理3 若函数与在区间)(x f )(x g I 上都存在原函数， 为两个任意常数，也存在原函数，且

21,k k )()(21x g k x f k + ∫∫∫+=+dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121（积分的线性性质）。

证明：可由微分法直接验证，因为

[]()()′

+′=′+∫∫∫∫dx x g k dx x f k dx x g k dx x f k )()()()(2121 ).()(21x g k x f k += 口

注：线性法则的一般形式为： 。

∫∑∑∫===n i n

i i i i i dx x f k dx x f k 11)()(根据上述线性运算法则和基本积分公式，可求得一些简单函数的不定积分．

例1、 ,

n n n n a x a x a x a x p ++++=−−1110)(" 则C x a x a x n a x n a dx x p n n n n ++++++=−+∫211102

1)("。 例2、 C x x x dx x x dx x x ++−=++−=++∫∫arctan 23)1

21(113

2224。 例3、 ∫∫∫+=+=dx x x dx x

x x x x x dx )sec (csc sin cos sin cos sin cos 22222222