数学分析 第十章 定积分应用
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章第十章 定积分的应用一、 填空题 1． 求曲线8,2222=+=y x x y 所围成图形面积A （上半平面部分），则A =2． 曲线xxe y e y -==,及1=x 所围面积A =3． 曲线θθcos 1,cos 3+==r r 所围面积A = 4． 曲线)0(>=λλθae r 从0=θ到αθ=一段弧长S =5． 曲线⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x 从0=t 到π=t 一段弧长S =6． 均匀摆线)0(cos 1sin π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t y tt x ，弧长4=S ，则其重心坐标是 7． 曲线0,0),0(==≤=y x x ey x所围图形绕Ox 轴旋转所得旋转体的体积为 ；而绕Oy 轴旋转所得旋转体的体积为 8． 抛物线)(a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为9． 在抛物线24x y =上有一点P ，已知该点的法线与抛物线所围成的弓形面积为最小，则P 点的坐标是 10．设有一内壁形状为抛物面22y xz +=的容器，原来盛有)(83cm π的水，后来又入注)(643cm π的水，设此时水面比原来提高了hcm ，则h =11．由曲线,2,1=+=x x x y 及2=y 所围图形的面积S = 曲线xx xy 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =二、选择填空题1． 曲线)0(ln ,ln b a a y x y <<==与y 轴所围成图形的面积为A ，则A =（ ） （A ）⎰baxdxln ln ln （B ）⎰bae ex dxe （C）⎰b ay dye ln ln（D ）⎰b a e e xdxln2．曲线x y x y ==,1，2=x 所围成的图形面积为A ，则A =（ ） （A ）dx x x)1(21-⎰（B ）dx x x )1(21-⎰ （C ）⎰⎰-+-2121)2()12(dyy dy y（D ）⎰⎰-+-2121)2()12(dxx dx x3．曲线xe y =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A =（ ）（A ）dxex ex)(10-⎰（B ）dy y y y e )ln (ln 1-⎰（C ）dxxe e ex x )(1⎰-（D ）dy y y y )ln (ln 10-⎰4．曲线)0(cos 2>=a a r θ所围图形面积A =（ ） （A）()θθπd a 220cos 221⎰（B ）θθππd a ⎰-2cos 221（C）()θθπd a 220cos 221⎰（D ）()θθπd a 220cos 2212⎰5．曲线πθπθθ=-==,,ae r 所围图形面积A =（ ）（A）⎰πθθ02221d e a（B ）⎰πθθ20222d e a （C）⎰-ππθθd e a 22（D ）⎰-ππθθd e a 2226．曲线θθ2cos ,sin 22==r r 所围图形面积A =（ ）（A ）()()⎰⎰+-222121212cos 2sin 2θθθθd d（B ）()()⎰⎰+46262cos sin 2πππθθθθd d （C ）()()⎰⎰+462602cos 21sin 221πππθθθθd d（D ）()()⎰⎰+462602cos sin 22πππθθθθd d7．曲线()21ln x y -=上210≤≤x 一段弧长S =（ ） （A）dx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2102111（B ）⎰-+212211dx x x（C ）dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2102121 （D ）dxx ⎰-+21022])1[ln(18．摆线)0()cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 一拱与x 轴所围图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积=V （ ） （A ）()⎰-ππ2022cos 1dt t a（B ）())]sin ([cos 12202t t a d t a a--⎰ππ（C ）()⎰--ππ2022)]sin ([cos 1t t a d t a（D ）()⎰-adt t a ππ2022cos 19．星形线⎪⎩⎪⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 的全长S =（ ）（A ）⎰-⋅202)sin (cos 3sec 4πdtt t a t（B ）⎰-⋅022)sin (cos3sec 4πdtt t a t （C ）⎰-⋅π02)sin (cos 3sec 2dtt t a t （D ）⎰-⋅02)sin (cos 3sec 2πdtt t a t10．心形线)cos 1(4θ+=r 与直线2,0πθθ==围成图形绕极轴旋转的旋转体体积 =V （ ） （A ）⎰+202)cos 1(16πθθπd（B ）⎰+2022sin )cos 1(16πθθθπd（C ）⎰++2022]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd（D ）⎰++0222]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd11．两个半径为a 的直交圆柱体所围的体积为V=（ ）（A ）⎰-adxx a 022)(4 （B ）⎰-adx x a 022)(8（C ）⎰-a dxx a 022)(16 （D ）⎰-adx x a 022)(212．矩形闸门宽a 米，高h 米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力p =（ ） （A ）⎰h ahdh 0（B ）⎰a ahdh 0（C ）⎰hahdh 021（D ）⎰h ahdh 0213．横截面为S ，深为h 的水池装满水，把水全部抽到高为H 的水塔上，所作功=W （ ）（A ）⎰-+h dy y h H S 0)( （B ）⎰-+H dy y h H S 0)(（C ）⎰-h dy y H S 0)( （D ）⎰+-+H h dy y h H S 0)(14．半径为a 的半球形容器，每秒灌水b ，水深)0(a h h <<，则水面上升速度是（ ）（A ）⎰hdy y dh d2π （B ）⎰--h dy a y a dhd 022])([π（C ）⎰h dy y dh d b2π （D ）⎰-h dy y ay dhd b02)2(15．设)(),(x g x f 在区间[]b a ,上连续，且m x g x f <<)()(（m为常数），则曲线b x a x x f y x g y ====,),(),(所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为（ ）（A ）⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（B ）⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（C ）⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π（D ）⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π三、计算题1．求抛物线2x y =与2x 2y -=所围图形的面积。
华东师范大学数学系《数学分析》(上)笔记和课后习题(含真题)详解(定积分的应用)
第10章 定积分的应用10.1 复习笔记一、平面图形的面积由连续曲线()(0)y f x =≥，以及直线,()x a x b a b ==<和x 轴所围曲边梯形的面积为()b baaA f x dx ydx ==⎰⎰如果()f x 在[,]a b 上不都是非负的，则所围图形的面积为()b baaA f x dx y dx ==⎰⎰一般地，由上、下两条连续曲线2()y f x =与1()y f x =以及两条直线,()x a x b a b ==<所围的平面图形(图l0-1)，它的面积计算公式为21[()()]baA f x f x dx =⎰－图10-1二、由平行截面面积求体积 1．立体体积的一般计算公式 设为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x 轴的两平面x ＝a 与x ＝b 之间（a ＜b ），称为位于[a，b]上的立体，若在任意一点x∈[a，b]处作垂直于x轴的平面，它截得的截面面积是关于x的函数，记为A（x），并称之为的截面面积函数（见图10-2），设A（x）是连续函数．图10-2 图10-3对[a，b]作分割过各个分点作垂直于x轴的平面x＝xi，i＝1,2,…，n，它们把分割成n个薄片,i＝1，2，…，n任取那么每一薄片的体积（见图10-3）于是由定积分的定义和连续函数的可积性，当时，上式右边的极限存在，即为函数A （x）在[a，b]上的定积分，于是立体的体积定义为2．旋转体的体积a b上的连续函数，Ω是由平面图形设f是[,]≤≤≤≤0|||f(x)|,ay x b绕x轴旋转一周所得的旋转体，那么易知截面面积函数为2()[()],[,]A x f x x a b π=∈得到旋转体Ω的体积公式为2=[()]baV f x dxπ⎰三、平面曲线的弧长与曲率 1．平面曲线的弧长 （1）定义①如果存在有限极限ss T T =→0||||lim即任给0ε>，恒存在0δ>，使得对C 的任意分割T ，只要||||T δ<，就有|s |T s ε-<则称曲线C 是可求长的，并把极限s 定义为曲线C 的弧长．②设曲线AB 是一条没有自交点的闭的平面曲线．在AB 上任取点P ,将AB 分成两段非闭曲线，如果AP 和PB 都是可求长的，则称AB 是可求长的，并把AP 的弧长和PB 的弧长的和定义为AB 的弧长．③设曲线C 由参数方程(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈给出．如果(t)x 与()y t 在[,]αβ上连续可微，且'()x t 与'()y t 不同时为零,即''()()0x t y t +≠，],[βα∈t ，则称C 为一条光滑曲线．（2）定理设曲线C 是一条没有自交点的非闭的平面曲线，由参数方程(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈ （10-1）给出．若()x t 与()y t 在[,]αβ上连续可微，则C 是可求长的，且弧长为'2'2[()][()]s x t y t dt βα=+⎰ （10-2）（3）性质设AB 是一条没有自交点的非闭的可求长的平面曲线．如果D 是AB 上一点，则和AD 和DB 也是可求长的，并且AB 的弧长等于AD 的弧长与DB 的弧长的和．2．曲率 （1）定义如图10-4，设()t α表示曲线在点((),())P x t y t 处切线的倾角，==()()t t t ααα∆+∆-表示动点由P 沿曲线移至))(),((t t y x t x Q ∆+∆+时切线倾角的增量，若PQ 之长为s ∆，则称||K sα-∆=∆为弧段PQ 的平均曲率．如果存在有限极限|||lim ||lim |00dsd s s K s t ααα=∆∆=∆∆=→∆→∆则称此极限K 为曲线C 在点P 处的曲率．图10-4（2）计算公式设曲线C 是一条光滑的平面曲线，由参数方程（10-1）给出，则曲率的计算公式为2322)(||''''''''y x y x y x K +-=若曲线由()y f x =表示,则相应的曲率公式为2''3'2||(1+y )y K =四、旋转曲面的面积1．设平面光滑曲线C 的方程为(),[,]y f x x a b =∈（不妨设()0f x ≥），这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面的面积为2(baS f x π=⎰2．如果光滑曲线C 由参数方程(),(),[,]x x ty y t t αβ==∈给出，且()0y t ≥，那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为2(S y t βαπ=⎰五、定积分的近似计算 1．梯形法公式121()(...)22bn n ay y b a f x dx y y y n --=+++++⎰2．抛物线法公式（辛普森Simpsom 公式）021*******()[4(...y )2(...)]6bn n n ab af x dx y y y y y y y n---≈+++++++++⎰10.2 课后习题详解§1 平面图形的面积1．求由抛物线y ＝x 2与y ＝2－x 2所围图形的面积．解：该平面图形如图10-1所示．两条曲线的交点为（－1，1）和（1，1），所围图形的面积为图10-12．求由曲线与直线所围图形的面积．解：该平面图形如图10-2所示．所围图形的面积为。
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分中的重要内容之一，经常被应用于实际问题的解决中。
本文将从三个方面来论述定积分的应用。
一、定积分在几何中的应用首先，定积分可以用于求曲线下面的面积。
以 y=f(x) 为例，若f(x)>0，则曲线 y=f(x) 与 x 轴的两点 a、b 组成的图形的面积为S=∫baf(x)dx这时，可以将曲线 y=f(x) 分成许多小块，每块宽度为Δx，高度为 f(xi)，从而可以得到其面积为ΔS=f(xi)Δx因此，当Δx 趋于 0 时，所有小块的面积之和就等于图形的面积，即∑ΔS→S因此，用定积分就可以求出图形的面积。
其次，定积分还可以用于求旋转体的体积。
以曲线 y=f(x) 在 x 轴上旋转360°为例，其体积为V=π∫baf(x)^2dx这里，π为圆周率。
最后，定积分还可以用于求某些奇特图形的长、面积等等。
二、定积分在物理中的应用物理中也有许多问题可以通过定积分来解决。
比如，运动问题中的速度、加速度，可以通过位移的变化来求得。
若某运动物体的速度为 v(t)，则其位移 s(t) 为s(t)=∫v(t)dt同样，若某运动物体的加速度为 a(t)，速度为 v(t)，则其位移为s(t)=∫v(t)dt=∫a(t)dt最后，定积分还可以用于求密度、质量等物理量。
三、定积分在工程中的应用定积分在工程中的应用也非常广泛。
比如，在流体力学中，对于一条管道中的液体，可以通过惯性和重力等因素，求出其中液体的流量和压力。
而这些流量和压力可以通过定积分计算得出。
在电学中，电量、电荷、电流和电势等都可以通过定积分来求解。
在结构设计中，定积分也常常被用来计算约束力、杠杆比例等。
总之，定积分在几何、物理和工程等领域中都有着广泛应用。
熟练地掌握定积分的方法和应用，对于科学研究和实际问题的解决都有着非常积极的帮助。
定积分的简单应用 课件
物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)
所做的功为W＝
b
aF(x)dx
.
[点睛] 变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系
如果做变速直线运动物体的速度－时间函数为v＝v(t)，
b
则物体在区间[a，b]上的位移为定积分
a
v(t)dt；物体在区间
b
[a，b]上的路程为a|v(t)|dt.
即4t2－23t3＝0，解得t＝0或t＝6， 因为t＝0对应于点P刚开始从原点出发的情况，所以t＝6为所求．
有关路程、位移计算公式 路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b 所经过的路程s和位移s1分别为 (1)若v(t)≥0(a≤t≤b)，
b
则s＝av(t)dt；
b
s1＝av(t)dt.
∴将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功
0.15
W＝ 2 0
000xdx＝1
000x200.15
＝22.5(J)．
求变力做功的方法步骤 (1)要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向 上的位移． (2)利用变力做功的公式W＝bF(x)dx计算．
a
[注意] 将力与位移的单位换算为牛顿(N)与米(m)， 功的单位才为焦耳(J)．
＝1
0
x＋13xdx＋132－23xdx
＝23x
3 2
＋16x210
＋2x－13x213
＝23＋16＋6－13×9－2＋13＝163.
利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形． (2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上 限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素： ①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和 积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式． (5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．
数学分析第十章 定积分的应用
（4） 求极限，得A的精确值 i1
n
A
lim
T 0
i 1
f (i )xi
b
f ( x)dx a
精品文档
n
比较
lim
T 0
i 1
f (i )xi
与 b a
f
( x)dx
两式，我们发现一个事实，左边的极限式子与右边
的定积分表达式有很好的对应。我们让
n
lim
对应 b
T 0 i1
a
而使f (i )xi 对应f ( x)dx
a2
(1 2cos cos2 )d
0
a
2
3 2
2 sin
1 sin 2
4
0
3 2
a2 .
精品文档
例 4 求双纽线 2 a2 cos 2 所围平面图形
的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第
一象限部分面积
y x
A 4A1
A1
A 4 4 0
1 a2 cos 2d
2
a2.
精品文档
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二 由y f (x), y g(x)及x a, x b所围 平面图形的面积
若f (x) g(x), x [a,b]
则A
b a
f
(
x)dx
b a
g
(
x)dx
b a
[
f
(
x)
g
(
x)]dx
y y=f(x)
y=g(x)
0a
bx
精品文档
一般地,由两条曲线y=f(x)与y=g(x)以及 两条直线x=a与x=b(a<b)所围平面图形的面 积计算公式为
《数学定积分的应用》课件
线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差 的积分，可以分别对每个函数进行积分后再求和 或求差。
区间可加性
定积分具有区间可加性，即对于任意两个不重叠 的区间[a, b]和[b, c]，有 ∫(a,c)f(x)dx=∫(a,b)f(x)dx+∫(b,c)f(x)dx。
积分中值定理
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么至少存在 一个点ξ∈[a, b]，使得∫(a,b)f(x)dx=f(ξ)(b-a)。
电路中的电流和电压
要点一
总结词
定积分在电路分析中用于计算电流和电压，通过求解电路 中的微分方程，可以得到电流和电压的分布。
要点二
详细描述
在电路分析中，电流和电压的变化规律通常由微分方程描 述。通过应用定积分，可以将电路中的电压和电流表示为 时间的函数。然后通过求解这个微分方程，可以得到电流 和电压在整个电路中的分布情况。
详细描述
对于曲线形构件，其质量可以通过定积分计算。首先，确定构件的材料密度分 布，然后对密度函数在构件的体积上进行积分，得到构件的总质量。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度
详细描述
在引力场中，物体受到的引力大小与物体质 量成正比，与物体之间的距离的平方成反比 。通过定积分计算在某一空间区域内的引力 场强度，即在该区域内所有物体产生的引力 对该点的合力。具体地，将引力函数在空间 区域上进行积分，得到该区域内的引力场强 度。
dx进行计算。
功和压力
总结词
定积分可以用于计算变力做功和压力。
详细描述
对于一个质点在力F(x)=f(x)*dx的作用下沿直线运动 ，力F所做的功可以通过计算定积分得出，公式为 ∫(b a) f(x) dx。
定积分的应用课件
2 信号处理
定积分可以计算信号的功 率、频谱和通量。
3 流体力学
通过定积分可以计算流体 的压力、速度和流率。
定积分在地理学中的应用
地形测量
通过定积分可以计算地球表面和 地质构造的高程。
气象学
定积分可以计算气象参数在空气 层中的分布和变化。
人口地理学
通过定积分可以计算人口密度和 城市发展的空间格局。
将面积概念应用于实际场 景，如教室布置和园艺规 划。
3 面积游戏
通过面积游戏和竞赛激发 学生学习兴趣和动力。
和混合效果。
3
创意表达
定积分可以用于艺术家和设计师的创意 表达和构思。
定积分在社会科学中的应用
社会学
定积分可以用于计算人口统计数 据和社会发展指标。
心理学
通过定积分可以建模心理过程和 行为变化。
经济学
定积分可以用于经济模型和政策 的评估和预测。
小学生学习面积时的应用
1 绘图和标注
2 实际场景
通过绘制图形和标注边长， 引导学生进行面积计算。
3
经济增长
通过计算国民收入的定积分，可以评估经济的增长率。
定积分在生物学中的应用
种群动态
定积分可以计算物种数量和 种群生长率。
生态系统
通过定积分可以计算能量流 量和物质循环。
药物浓度
定积分可以计算药物在体内 的浓度和释放速率。
定积分在工程学中的应用
1 结构分析
定积分可以计算结构的强 度、刚度和变形。
定积分在计算机科学中的应用
1 图像处理
定积分可以计算图像的亮 度、对比度和边缘检测。
2 数据挖掘
通过计算定积分，可以评 估数据的分布和模式。
数学分析-定积分应用
2018/8/27
6
微元法 (Element Method)
例1. 写出长为 l 的非均匀细直棒质量的积分表达式，
任一点的线密度是长度的函数。 解:建立坐标如图, 设任意点x的密度为 ( x ) o
x x+dx
l
x
( x ) C
关键 ( x ) 变量！
step2. 质量 M ( x)dx
2018/8/27 9
一、直角坐标系情形
y
y f ( x)
y
y f2 ( x) y f1 ( x )
o
a
x x x
b x
o
a x
x x
b x
曲边梯形的面积
由y=f1(x)和y=f2(x)围成的面积:
dA f ( x )dx
A2018/8/27 a f ( x )dx
第十章 定积分应用
y
y=f (x)
0
a
x x+dx
b
x
2018/8/27
1
第一节 定积分的元素法
一、问题的提出 定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和 推动的。因此定积分的应用也非常广泛。本书主要介
绍几何、物理上的应用问题，例如：平面图形面积，
曲线弧长，旋转体体积，水压力，抽水做功，引力等。
如何应用定积分解决实际问题_____微元法：
2
a
0
4ab sin2 tdt ab.
0
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2
二、极坐标系情形
曲边扇形是由曲 线rj()及射线 , 所围成 的图形
dA
d
图形是曲边扇(梯)形
r =j( )
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o
. . .
r
17
2015-2-11
r =j ( )
+d
积分变量 [, ]
面积元素
以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积，得到 面积元素：
dA
o
d
.
r
1 2 dA j ( ) d 2
1
曲边扇形的面积
2015-2-11
. .
A
2
[j ( )]2 d
(3) 求和.
(4) 求极限.
b a
则 A f ( x )dx
0
a
x x+dx b x
4
这种方法通常称为 微元法或元素法 2015-2-11
可用微元法的条件
1. 若总量U非均匀分布在变量 x的某个区间[a, b]上; 2. 总量U有可加性.
步 骤
(1) 求微元
局部近似得 dU = f (x)dx
2015-2-11
6
微元法 (Element Method)
例1. 写出长为 l 的非均匀细直棒质量的积分表达式，
任一点的线密度是长度的函数。 解:建立坐标如图, 设任意点x的密度为 ( x ) o
x x+dx
l
x
( x ) C
关键 ( x ) 变量！
step2. 质量 M ( x)dx
x j (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t )
曲边梯形的面积 A ydx
a b
f ( x )dx ydx
a a
b
b
t2
t1
(t )j(t )dt.
（其中 t 1和 t 2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[ t 1, t 2（或 ] [ t 2 , t 1 ]） 上 x j ( t ) 具有连续导数，
2 2 2 3 3 y a x 3
2 3 2 3 2 3
2 3
2 3
2 3
星形线也称：圆内旋轮线
y
x [ a , a ]
a o
a x
旋转体的体积
V a x a
a 2 3
2015-2-11
2 3
32 3 dx a . 105
1 2
3
1
11
S a[ f上 (x) f下(x)]dx S c [j右 ( y) j左 ( y)]dy
b
d
讨论：由左右两条曲线xj左(y)
与xj右(y)及上下两条直线yd
与yc所围成的平面图形的面积
如何表示为定积分？
提示： 选积分变量, 面积元素 dA=[j右(y)j左(y)]dy, 面积 为2015-2-11
2015-2-11 9
一、直角坐标系情形
y
y f ( x)
y
y f2 ( x) y f1 ( x )
o
a
x x x
b x
o
a x
x x
b x
曲边梯形的面积
由y=f1(x)和y=f2(x)围成的面积:
dA f ( x )dx
A2015-2-11 a f ( x )dx
y 2 x ( 2,2), (8,4). y x4
2
22 yy 22 xx
选 y 为积分变量
y [2, 4]
y2 A (y 4 )dy 18. 2 2
y2 dy dA y 4 2
2015-2-11
4
14
A
(2) 求全量
应用方向：
微元积分得 U f ( x )dx a
b
2015-2-11
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
5
微元法的实质 (1) 整体问题转化为局部问题； (2) 在局部范围内，以常代变，以直代曲； (3) 取极限 (定积分) 由近似值变为精确值。
y ( t )连续.
2015-2-11 15
x2 y2 例 3 求椭圆 2 2 1的面积. a b
x a cos t 解 椭圆的参数方程 y b sin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
A 40 ydx 4 b sin td ( a cos t )
解 直线 OP方程为
r
o
h
x
在[0, h]上任取小区间[ x , x dx ] ，
2015-2-11 28
r 直线 OP方程为 y x h
在[0, h]上任取小区间[ x , x dx ] ，
以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片 的体积为
r dV x dx h
(1) 绕 x 轴旋转所得旋转体体积
dVx y dx x dx
2 4
V x 0 x
1
4
dx
5
.
(2) 绕 y 轴旋转所得旋转体体积
方 法1 V V1 (圆 柱 ) V2 (旋 转 体)
dV2 x 2 dy ydy
0 l
step1. 取微元[ x, x dx],则 dM ? ( x )dx
下面用微元法讨论定积分在几何，物理中的 2015-2-11 7 一些应用。
第二节 定积分在几何上的应用
一、平面图形的面积 二、体积
三、平面曲线的弧长
2015-2-11
8
平面图形的面积
一、直角坐标系情形
二、极坐标系情形 三、小结 思考题
a b
b
x
2015-2-11
如何计算黄瓜的体积？
27
例 1 连接坐标原点O 及点 P ( h, r )的直线、直线 将它绕 x 轴旋 x h及 x轴围成一个直角三角形． 转构成一个底半径为 r 、高为 h 的圆锥体，计算 圆锥体的体积．
y
P
r y x h 取积分变量为x ，x [0, h]
18
例4: 计算阿基米德螺线 r = a
(a > 0)
上相应于 从0 到 2 的一段弧与极轴所围成 的图形的面积.
解: 取极角为积分变量, 变化区间为[0, 2 ], 取小区间
[, + d ]，则
面积元素
1 2 dA (a ) d 2
2
2 3 2
2a o r = a x
A
f (
i 1
0
b
n
(4) 求极限. A lim
2015-2-11
f ( i ) x i
i i i 1
n
i
)x i
yБайду номын сангаас
y = f (x)
a
f ( x )dx
x0 a x1
0
1 2
i
xi 1 xi
n
3
xn1b xn
x
把上述步骤略去下标，改写为： (1) 分割. 取微元 任取一个具有代表性的小区间 [x, x+dx] (区间微元)， 用A表示[x, x+dx]上的小曲边梯形的面积， (2) 近似. 计算A的近似值 A f ( x ) dx y 面积微元 并记 dA f ( x )dx 称为面积元素 y f x
2
a
0
4ab sin2 tdt ab.
0
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2
二、极坐标系情形
曲边扇形是由曲 线rj()及射线 , 所围成 的图形
dA
d
图形是曲边扇(梯)形
r =j( )
+d
如何化不规则 为规则
以圆扇形面积近 似小曲边扇形的 面积，得到面积 元素：
d
1 2 解 dA a (1 cos )2 d 2
利用对称性知
1 2 A 2 a (1 cos ) 2 d 2 0 2 a (1 2 cos cos 2 )d
0
2a
心形线也称圆外旋轮线
a
2
0
3 2 a . 2 2015-2-11
b
dA [ f 2 ( x) f1 ( x)]dx
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
b
10
例 1 计算由两条抛物线y 2 x 和 y x 2 所围成的 图形的面积.
解 1) 求出两抛物线的交点.
2 y x 解方程组 2 x 0, x 1 y x
3 1 ( 2 cos cos 2 )d 2 2
21
r 2 sin 例6 求 2 所 围 如 图 所 示 图 形 的积 面。 r cos2 y 2 求交点 2 sin cos2
6
6
y
d
o
1 dS1 2
x
2 sin
2015-2-11
2
回顾
曲边梯形面积 A f ( x )dx的计算过程：
a
b
(1) 分割. 把区间[a, b]分成n个小区间, 有 A
A
i 1
n
i
总量A 对于[a, b]具有区间可加性, 即A可以分割成 n个部分量Ai 的和. (2) 近似. 计算Ai的近似值 A f ( )x ( x i 1 i x i ) i i i (3) 求和. 得A的近似值
30
3
y
星形线
(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。