高中数学专题1.3简单的逻辑联结词2练习含解析2_1170720136
高二数学简单的逻辑联结词试题答案及解析
高二数学简单的逻辑联结词试题答案及解析1.已知命题，则的否定形式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】命题为特称命题，它的否定形式为，故选B.【考点】全称命题与特称命题.2.已知命题：复数，复数，是虚数；命题：关于的方程的两根之差的绝对值小于；若为真命题，求实数的取值范围.【答案】的取值范围为.【解析】对于，为虚数的条件是且，然后将的范围求出来；对于，利用二次方程根与系数的关系并结合不等式求解出的取值范围；由为真命题可知，都为真命题，故求出为真时的的取值范围的集合的交集即可.试题解析：由题意知，2分若命题为真，是虚数，则有且所以的取值范围为且且 4分若命题为真，则有 7分而所以有或 10分由题意知，都是真命题，实数的取值范围为 12分.【考点】1.复数的概念；2.二次方程根与系数的关系；3.逻辑联结词.3.已知命题,;命题,,则下列命题中为真命题的是( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】命题是假命题，命题是真命题，故是真命题，选B.【考点】逻辑连接词.4.(本小题满分10分)已知命题p:函数在R上是减函数；命题q：在平面直角坐标系中，点在直线的左下方。
若为假，为真，求实数的取值范围【答案】(－3，4)【解析】解：f′(x)＝3ax2＋6x－1，∵函数f(x)在R上是减函数，∴f′(x)≤0即3ax2＋6x－1≤0(x∈R)．(1)当a＝0时，f′(x)≤0，对x∈R不恒成立，故a≠0.(2)当a≠0时，要使3ax2＋6x－1≤0对x∈R恒成立，应满足，即，∴p：a≤－3. …………5分由在平面直角坐标系中，点在直线的左下方，得∴q：，…………7分：a≤－3；：综上所述，a的取值范围是(－3，4)．…………10分【考点】本试题考查了命题的真值，函数性质。
点评：解决该试题的关键是利用函数单调性和二元一次不等式的表示的区域可知a的范围。
细节是理解且为真，或为假，得到必有一真一假，得到参数的范围，属于中档题。
2021秋高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词练习(含解析)新人教A版选修2_1
1.3 简单的逻辑联结词A 级 根底稳固一、选择题1．假设命题“¬p 〞与命题“p ∨q 〞都是真命题，那么( )A ．命题p 与命题q 的真假一样B ．命题p 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题q 一定是真命题解析：命题¬p 是真命题，那么p 是假命题．又命题p ∨q 是真命题，所以必有q 是真命题.答案：D2．p ，q 为两个命题，那么“p ∨q 是假命题〞是“¬p 为真命题〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：“p ∨q 〞为假，那么p 与q 均是假命题，¬p 为真命题，又因为¬p 为真命题，那么p 为假命题．但假设q 为真命题，那么推不出p ∨q 是假命题．答案：A3．如果命题“¬(p ∨q )〞为真命题，那么( )A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．p ，q 中至少有一个为真命题D ．p ，q 中一个为真命题，一个为假命题解析：由¬(p ∨q )为真等价于(¬p )∧(¬q )为真命题，故¬p 和¬q 均为真命题，可得p 和q 均为假命题.答案：B4．设a ，b ，c 是非零向量．命题p ：假设a·b ＝0，b·c ＝0，那么a·c ＝0；命题q ：假设a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c .那么以下命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．p ∨(¬q )答案：A5．给定命题p ：函数y ＝ln[(1－x )(x ＋1)]为偶函数；命题q ：函数y ＝e x －1e x ＋1为偶函数，以下说法正确的选项是( )A ．p ∨q 是假命题B ．(¬p )∧q 是假命题C ．p ∧q 是真命题D ．(¬p )∨q 是真命题答案：B二、填空题6．命题p ：方向一样的两个向量共线，q ：方向相反的两个向量共线，那么命题“p ∨q 〞为________________．解析：方向一样的两个向量共线或方向相反的两个向量共线，即“方向一样或相反的两个向量共线〞．答案：方向一样或相反的两个向量共线7．命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x>1，假设“¬q 且p 〞为真，那么x 的取值范围是________．解析：因为“¬q 且p 〞为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，即2<x <3，所以q 假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或x <－3，所以x 的取值范围是(－∞，－3)∪[3，＋∞)．答案：(－∞，－3)∪(1，2]∪[3，＋∞)8．命题p ：假设平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，那么有平面α∥平面γ.命题q ：假设平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，那么有平面α∥平面β.对以上两个命题，有以下结论：①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(¬p )∨(¬q )为假．其中，正确的选项是________(填序号)．答案：②三、解答题9．p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z ，假设p ∧q 和¬q 都是假命题，求x 的取值集合．解：因为¬q 是假命题，所以q 为真命题．又p ∧q 为假命题，所以p 为假命题．因此x 2－x <6且x ∈Z ，解之得－2<x <3且x ∈Z ，故x ＝－1，0，1，2，所以x 的取值集合是{－1，0，1，2}．10．命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1，1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0.假设p ∨q 为假命题，求a 的取值范围．解：命题p ：由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a )(x ＋a )＝0，所以x ＝a 2或x ＝－a . 所以当p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1， 所以|a |≤2，所以－2≤a ≤2.命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，所以抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，所以Δ＝4a 2－8a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.所以a ＝0或a ＝2.因为p ∨q 为假命题，所以p 为假命题，q 为假命题，所以a >2或a <－2，且a ≠0，a ≠2，所以a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．B 级 能力提升1．在备战2021年北京冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p 是“甲落地站稳〞；q 是“乙落地站稳〞，那么命题“至少有一位队员落地没有站稳〞可表示为( )A ．p ∨qB ．p ∨(¬q )C ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∨(¬q ) 解析：“至少有一位队员落地没有站稳〞即“甲落地没有站稳或乙落地没有站稳或两位队员落地都没有站稳〞，可知选D.答案：D2．设p ：关于x 的不等式a x >1的解集为{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，假设p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，那么a 的取值范围是________． 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[)1，＋∞。
2019_2020版高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词练习(含解析)新人教A版选修2_1
1.3简单的逻辑联结词课后篇巩固提升基础巩固1.在命题“2是3的约数或2是4的约数”中,使用的逻辑联结词的情况是()A.没有使用逻辑联结词B.使用了逻辑联结词“且”C.使用了逻辑联结词“或”D.使用了逻辑联结词“非”答案C2.已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;q:x=1是方程x+2=0的根,则下列命题为真命题的是()A.p∧(q)B.(p)∧qC.(p)∧(q)D.p∧q解析由题意知,命题p是真命题,命题q是假命题,所以q是真命题,故p∧(q)是真命题.答案A3.下列为假命题的是()A.3≥4B.两非零向量平行,其所在直线平行或重合C.菱形的对角线相等且互相垂直D.若x2+y2=0,则x=0且y=0解析菱形的对角线互相垂直但不一定相等.答案C4.“p∨q为真”是“p为真”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若“p∨q为真”可能p假q真,不一定有“p为真”,充分性不成立;若“p为真”,则一定有“p∨q为真”,必要性成立,综上可得:“p∨q为真”是“p为真”的必要不充分条件.答案B5.若命题“(p)∨(q)”是假命题,给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧q”是假命题;③命题“p∨q”是真命题;④命题“p∨q”是假命题,其中正确的是()A.①③B.②④C.②③D.①④解析因为(p)∨(q)为假,所以(p)与(q)均为假,所以p与q均为真,所以①③正确.答案A6.在一次数学测试中,成绩在区间[125,150]上为优秀,有甲、乙两名同学,设命题p是“甲测试成绩优秀”,q是“乙测试成绩优秀”,则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为()A.(p)∨(q)B.p∨(q)C.(p)∧(q)D.p∨q解析“甲测试成绩不优秀”可表示为p,“乙测试成绩不优秀”可表示为q,“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”即“甲测试成绩不优秀”或“乙测试成绩不优秀”或“甲、乙的测试成绩都不优秀”,表示形式为(p)∨(q).答案A7.已知命题p:1∈{x|x2<a},q:2∈{x|x2<a},则当p∧q为真命题时,a的取值范围是.解析由1∈{x|x2<a},得a>1;由2∈{x|x2<a},得a>4.当p∧q为真命题时,有p真q真,所以a>4.答案(4,+∞)8.分别写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”及“p ”形式,并判断真假:(1)p :2n-1(n ∈Z )是奇数,q :2n-1(n ∈Z )是偶数.(2)p :a 2+b 2<0(a ∈R ,b ∈R ),q :a 2+b 2≥0.(3)p :集合中的元素是确定的,q :集合中的元素是无序的.解(1)p ∨q :2n-1(n ∈Z )是奇数或是偶数,是真命题. p ∧q :2n-1(n ∈Z )既是奇数又是偶数,是假命题.p :2n-1(n ∈Z )不是奇数,是假命题.(2)p ∨q :a 2+b 2<0(a ∈R ,b ∈R )或a 2+b 2≥0,是真命题. p ∧q :a 2+b 2<0(a ∈R ,b ∈R )且a 2+b 2≥0,是假命题.p :a 2+b 2≥0(a ∈R ,b ∈R ),是真命题.(3)p ∨q :集合中的元素是确定的或是无序的,是真命题. p ∧q :集合中的元素是确定的且是无序的,是真命题.p :集合中的元素是不确定的,是假命题.9.给定命题p :关于x 的方程x 2+ax+a=0无实根;命题q :函数y=-4 在(0,+∞)上单调递减.已知p ∨q是真命题,p ∧q 是假命题,求实数a 的取值范围.解由方程x 2+ax+a=0无实根,可得Δ=a 2-4a<0,解得0<a<4,即命题p :0<a<4;由函数y= -4 在(0,+∞)上单调递减,可得1-4a>0,解得a< 4,即命题q :a< 4.∵p ∨q 是真命题,p ∧q 是假命题,∴p 、q 两个命题真假性相反,∴ 0 4, 4或 0或 4, 4,解得 4≤a<4或a ≤0, ∴实数a 的取值范围为(-∞,0]∪ 4,4.能力提升。
高二数学简单的逻辑联结词试题答案及解析
高二数学简单的逻辑联结词试题答案及解析1.命题:“方程表示双曲线”()；命题:定义域为.若命题为真命题，为假命题，求实数的取值范围.【答案】或【解析】先求出命题和命题的各自对应的范围，再对已知条件中的“命题为真命题，为假命题”进行判断，得出命题一个为真,一个为假，在进行分类讨论，得出结论.试题解析：: 由得： 2分: 令，由对恒成立. 3分（1）当时, ,符合题意. 4分（2）当时，，由得，解得：. 6分综上得：:. 7分因为为真命题，为假命题，所以命题一个为真,一个为假. 8分∴或 10分∴或 12分.【考点】命题的真假性.2.下列命题：①动点到两定点的距离之比为常数，则动点的轨迹是圆；②椭圆的离心率是；③双曲线的焦点到渐近线的距离是b；④已知抛物线上两点，且OA⊥OB (O是坐标原点)，则．所有正确命题的序号是_______________.【答案】①②③【解析】对于①动点到两定点的距离之比为常数，则动点的轨迹是圆；当比值等于1时，是圆，正确。
对于②椭圆的离心率是成立。
；对于③双曲线的焦点到渐近线的距离是b；根据点到奥直线的距离公式可知成立，对于④已知抛物线上两点，且OA⊥OB (O是坐标原点)，则，错误。
故填写①②③【考点】圆锥曲线的性质点评：主要是考查了圆锥曲线的性质的运用，以及直线与抛物线的位置关系运用，属于基础题。
3.已知命题p：，则为（）。
A．,B．,C．,D．：，【答案】C【解析】由“≤”的否定为>得为,。
故选C【考点】本题考查了全称命题的否定点评：全称命题的否定是特称命题4.(本小题满分14分)命题：函数在上是增函数；命题：，使得 .（1）若命题“且”为真，求实数的取值范围；（2）若命题“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】（1）命题为真：；命题为真：，命题“且”为真，则（2）命题“或”为真，“且”为假，则命题，命题一真一假，命题为真，命题为假时；命题为假，命题为真时或【考点】复合命题真假的判定点评：命题“且”为真，则,需同时为真，命题“或”为真，则至少一个为真5.已知命题“或”为真，“非”为假，则必有（）A．真假B．真假C．真真D．真，可真可假【答案】D【解析】命题“或”为真，说明与中至少有一个是真命题，“非”为假说明为真命题，所以可真可假.【考点】本小题主要考查了由复合命题的真假判断命题的真假.点评：解决此类问题的关键是掌握复合命题的真值表并能熟练应用.6.(本小题满分13分)设命题:关于x的函数为增函数;命题:不等式对一切正实数均成立.(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；(2)命题“或”为真命题，且“且”为假命题，求实数的取值范围.【答案】(1)实数的取值范围是； (2)实数的取值范围是.【解析】(1)q真,由x>0得,所以,所以.(2) 由命题“或q”为真，且“且q”为假，得命题、q一真一假,然后按照两种情况求解,再求并集即可.解：(1)当命题为真命时，由得，∴，不等式对一切正实数均成立，∴∴实数的取值范围是；………6分(2)由命题“或q”为真，且“且q”为假，得命题、q一真一假………8分①当真假时，则，无解；………10分②当假真时，则，得，………12分∴实数的取值范围是.………13分7.若则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为所以.8.已知是定义在上的函数，，那么“对任意的，恒成立”的充要条件是（）A．对任意的，或恒成立B．对任意的，恒成立或对任意的，恒成立C．对任意的，或恒成立D．对任意的，恒成立且对任意的，恒成立【答案】A【解析】解：因为是定义在上的函数，，那么“对任意的，恒成立”的充要条件是对任意的，或恒成立，选A9.下列命题错误的是( )A．对于命题p：B．命题“若”是正确的C．若p是假命题，则均为假命题D．“”是“”的充分不必要条件【答案】B【解析】命题“若”是错误命题.若才是真命题.10.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】原命题的否定为“”是真命题，所以.11.设命题：函数在上单调递减，命题：不等式的解集为，若为真，为假，求实数的取值范围．【答案】由函数在R上单调递减知0＜c＜1，所以命题p为真命题时c的取值范围是0＜c＜1，令y=x+|x-2c|，则.＞1即可，而函数y在R上的最小值为2c，不等式x+|x-2a|＞1的解集为R，只要ymin所以2c＞1，即．⑴真假则⑵假真则综上.【解析】先通过指数函数的单调性求出p为真命题的c的范围，再通过构造函数求绝对值函数的最值进一步求出命题q为真命题的c的范围，分p真q假与p假q真两类求出c的范围即可．12.已知p:方程x2＋mx＋1=0有两个不等的负根；q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．【答案】若方程x2＋mx＋1=0有两不等的负根，则解得m＞2,即p：m＞2;若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0解得：1＜m＜3.即q：1＜m＜3.因“p或q”为真，所以p、q至少有一为真，又“p且q”为假，所以p、q至少有一为假，因此，p、q两命题应一真一假，即p为真，q为假或p为假，q为真.∴解得：m≥3或1＜m≤2.【解析】略13.下列命题中，是真命题的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若函数式偶函数，则恒成立.即恒成立.所以恒成立.于是若函数式奇函数，则恒成立.即恒成立.即恒成立.矛盾.故选A14.下列有关命题的说法正确的是（）命题P：“若，则”，命题q是 p的否命题.A．是真命题B．q是假命题C．p是真命题D．是真命题【答案】D【解析】命题P：若，则是假命题命题q : 若，则是真命题∴是真命题15.命题：，则命题p的否定为【答案】存在x R，使得 cosx >1【解析】不是所有的x都有cosx1，即存在x R，使得 cosx >116.（本小题满分8分）已知命题函数在区间上是单调递增函数；命题不等式对任意实数恒成立.若是真命题，求实数的取值范围.【答案】解：若P是假，可得或若Q是真，可得或得：，所以Q若是假，得或得由是真命题可得【解析】略17.设有两个命题，p：关于x的不等式（a>0，且a≠1）的解集是{x|x<0}；q：函数的定义域为R。
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知能巩固提升(六)/课后巩固作业(六)（时间：30分钟 满分：50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.若命题p ：0是偶数，命题q ：2是3的约数，则下列命题中为真的是( )（A ）p ∧q （B ）p ∨q（C ）⌝p （D ）(⌝p)∧(⌝q)2.（2012·许昌高二检测）已知命题p ：3≥3,q ：3＞4，则下列判断正确的是( )（A ）p ∨q 为真，p ∧q 为真，⌝p 为假（B ）p ∨q 为真，p ∧q 为假，⌝p 为真（C ）p ∨q 为假，p ∧q 为假，⌝p 为假（D ）p ∨q 为真，p ∧q 为假，⌝p 为假3.已知命题p ：函数f(x)=sinxcosx 的最小正周期为π；命题q ：函数g(x)=sin(x+2π)的图象关于原点对称，则下列命题中为真命题的是( ) （A ）⌝p （B ）(⌝p)∨q（C ）p ∧q （D ）p ∨q4.命题p ：函数y=log a (ax+2a)(a ＞0且a ≠1)的图象必过定点(-1,1)；命题q ：如果函数y=f(x)的图象关于(3,0)对称，那么函数y=f(x-3)的图象关于原点对称，则有( )（A ）“p 且q ”为真 （B ）“p 或q ”为假（C ）p 真q 假 （D ）p 假q 真二、填空题（每小题4分，共8分）5.已知命题p ：x 2+2x-3＞0，命题q ：13x-＞1，若⌝q 且p 为真，则x 的取值范围是________.6.（易错题）若“x ∈［2，5］或x ∈{x|x ＜1或x ＞４}”是假命题，则x 的范围是________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的新命题，并判断其真假.(1)p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；(2)p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；(3)p ：方程x 2+x-1=0的两实数根的符号相同，q ：方程x 2+x-1=0的两实数根的绝对值相等.8.（2012·常州高二检测）设命题p ：函数f(x)=（a-32）x 是R 上的减函数,命题q:函数f(x)=x 2-4x+3在［0，a ］上的值域是［-1，3］.若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围.【挑战能力】(10分)已知命题A ：函数f(x)=x 2-4mx+4m 2+2在区间［-1，3］上的最小值为2；命题B ：若()2x m x m,g x m x m -≥⎧=⎨⎩，，＜，且g(x)＞1对任意x ∈R 恒成立；命题C ：{x|m ≤x ≤2m+1}⊆{x|x 2-4≥0}.（1）若A ，B ，C 中至少有一个为真命题，试求实数m 的取值范围；（2）若A ，B ，C 中恰有一个为假命题，试求实数m 的取值范围.答案解析1.【解析】选B.因为p 是真命题，q 是假命题，所以“p ∨q ”是真命题.2.【解析】选D.∵命题p ：3≥3为真命题,q:3＞4为假命题，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，⌝p 为假命题.【变式训练】若命题p ：2m-1(m ∈Z) 是奇数，命题q ：2m+1(m ∈Z)是偶数，则下列说法正确的是( )（A ）p ∨q 为真 （B ）p ∧q 为真（C ）⌝p 为真 （D ）⌝q 为假【解析】选A.命题p ：“2m-1(m ∈Z )是奇数”是真命题，而命题q ：“2m+1(m ∈Z)是偶数”是假命题，所以p ∨q 为真.3.【解析】选D.因为f(x)=sinxcosx=12sin2x ，所以命题p 为真命题.又因为g(x)=sin(x+2π)=cosx ，所以g(x)=sin(x+2π)的图象关于y 轴对称，所以命题q 为假命题，所以命题p ∨q 为真命题.4.【解题指南】首先验证命题p ，q ，然后再根据选项作出判断.【解析】选C.由于将点(-1,1)代入y=log a (ax+2a)成立，故p 真；由y=f(x)的图象关于(3,0)对称，知y=f(x-3)的图象关于(6,0)对称，故q 假.5.【解析】因为x 2+2x-3＞0⇔(x+3)(x-1)＞0⇔x ＜-3或x ＞1.又因为1x 2103x x 3-⇔--＞＜ ⇔2＜x ＜3，所以⌝q ：x ≤2或x ≥3.若⌝q 且p 为真，则x 的取值范围是（-∞,-3）∪(1，2］∪［3，+∞）.答案：（-∞，-3）∪（1，2］∪［3，+∞）6.【解析】因为x∈［2，5］或x∈{x|x＜1或x＞4}，即x∈（-∞，1）∪［2，+∞），由于命题是假命题，所以1≤x＜2，即x∈［1，2）.答案：［1，2）【一题多解】记命题“x∈［2，5］或x∈{x|x＜1或x＞4}”为p，因为p是假命题，所以命题⌝p为真命题，即⌝（x∈［2，5］或x∈{x|x＜1或x＞4}）=⌝（x∈［2，5］）∧⌝（x∈{x|x＜1或x＞4}）=（x∉［2，5］）∧（x∉{x|x＜1或x＞4}）=（x ＜2或x＞5）∧（1≤x≤4），即x∈［1，2）.7.【解析】（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p且q：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；非p：2不是4的约数，假命题.(2)p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非p：矩形的对角线不相等，假命题.(3)p或q：方程x2＋x-1＝0的两实数根的符号相同或绝对值相等，假命题；p且q：方程x2+x-1=0的两个实数根的符号相同且绝对值相等，假命题；非p：方程x2+x-1=0的两实数根符号不同，真命题.8.【解析】若命题p为真，则0＜a-32＜1，得32＜a＜52.若命题q为真，即f(x)=(x-2)2-1在［0，a］上的值域是［-1，3］，得2≤a≤4. ∵p或q为真，p且q为假，得p，q中一真一假.若p 真，q 假，则35a 3a 2222a 2a 4⎧⎪⎨⎪⎩＜＜，得＜＜；＜或＞， 若p 假，q 真，则35a a 5a 42222a 4⎧≤≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩或，得；， 综上，实数a 的取值范围为32＜a ＜2或52≤a ≤4. 【挑战能力】【解析】（1）因为f(x)=x 2-4mx+4m 2+2=(x-2m)2+2，所以只有x=2m 时，f(x)的最小值为2.又因为f(x)在区间［-1, 3］上的最小值为2，所以-1≤2m ≤3, 所以-12≤m ≤32，所以命题A 为真的条件是-12≤m ≤32. 因为()2x m x m g x m,x m -≥⎧=⎨⎩，，＜，当x ≥m 时,g(x)=2x-m 在［m,+∞）上单调递增，g(x)min =g(m)=m ；当x ＜m 时,g(x)=m=g(x)min ,所以x ∈R 时，g(x)的最小值为m,所以命题B 为真的条件是m ＞1.因为{x|m ≤x ≤2m+1}⊆{x|x 2-4≥0},所以m 2m 1m 2m 1m 2m 1m 22m 12≤+≤+⎧⎧+⎨⎨≥+≤-⎩⎩，，＞或或，所以m ＜-1或m ≥2或m ∈∅,所以命题C 为真的条件是m ＜-1或m ≥2.因为命题A ，B ，C 都为假的条件是31m m 221m 11m 21m 2⎧-⎪⎪≤⇒-≤-⎨⎪-≤⎪⎩＞或＜，，＜，＜所以命题A ，B ，C 中至少有一个为真命题的条件是m ＜-1或m ≥-12. （2）当A 假，B ，C 为真时，31m m 22m 1m 2m 1m 2⎧-⎪⎪⇒≥⎨⎪-≥⎪⎩＞或＜，＞，；＜或当A 真，B 假，C 为真时，13m 22m 1m m 1m 2⎧-≤≤⎪⎪≤⇒∈∅⎨⎪-≥⎪⎩，，；＜或当A 真，B 真，C 为假时，13m 223m 11m ,21m 2⎧-≤≤⎪⎪⇒≤⎨⎪-≤⎪⎩，＞，＜＜ 所以A ，B ，C 中恰有一个为假命题的条件是m ≥2或1＜m ≤32.。
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课时提升作业(六)简单的逻辑联结词(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·重庆高考)已知命题p:对任意x∈R,总有≥0;q:x=1是方程x+2=0的根.则下列命题为真命题的是( )A.p∧qB.p∧qC.p∧qD.p∧q【解题指南】先判断出命题p,q的真假,再利用逻辑联结词进行相关判断.【解析】选A.易知命题p为真命题,q为假命题,故p∧q为真命题,p∧q为假命题,p∧q为假命题,p∧q为假命题.2.(2014·驻马店高二检测)若p∨q是假命题,则( )A.p是真命题,q是假命题B.p,q均为假命题C.p,q至少有一个是假命题D.p,q至少有一个是真命题【解析】选B.只有当p,q均为假命题时,p∨q才是假命题,故选B.3.(2014·广州高二检测)已知命题p:a2+b2<0(a,b∈R);命题q:(a-2)2+|b-3|≥0(a,b∈R),下列结论正确的是( )A.“p∨q”为真B.“p∧q”为真C.“p”为假D.“q”为真【解析】选A.显然p假q真,故“p∨q”为真,“p∧q”为假,“p”为真,“q”为假,故选A.4.命题p:“若a<b,则2a<2b”的否命题及命题p的否定为( )A.否命题:若a≥b,则2a≥2b,否定:若a<b,则2a≥2bB.否命题:若a<b,则2a≥2b,否定:若a≥b,则2a≥2bC.否命题:若2a<2b,则a<b,否定:若2a<2b,则a≥bD.否命题:若a>b,则2a>2b,否定:若a<b,则2a>2b【解析】选A.命题“若a<b,则2a<2b”的否命题为“若a≥b,则2a≥2b”,命题p 的否定为“若a<b,则2a≥2b”.5.在下列结论中,正确的结论为( )①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件;②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件;③“p∨q”为真是“p”为假的必要不充分条件;④“p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件.A.①②B.①③C.②④D.③④【解析】选B.充分理解含逻辑联结词的命题真假的判断方法,对于①,当p∧q为真时,p与q均为真,p∨q为真,但当p∨q为真时,p与q至少有一个为真,但p∧q不一定为真,故是充分不必要条件.对于②,p∧q为假,即p与q中至少有一个为假,则p∨q真假不确定,而当p∨q 为真时,即p与q中至少有一个为真,则p∧q真假不确定,故既不是充分条件也不是必要条件.对于③,p∨q为真,则p与q至少有一个为真,但p真假不确定,但当p为假,即p 为真时,p∨q一定为真,故是必要不充分条件.对于④p为真,即p为假,则p∧q为假,但当p∧q为假,即p与q至少有一个为假时,p真假不确定,故是充分不必要条件.6.命题p:“方程x2+2x+a=0有实数根”;命题q:“函数f(x)=(a2-a)x是增函数”,若“p∧q”为假命题,且“p∨q”为真命题,则实数a的取值范围是( )A.a>0B.a≥0C.a>1D.a≥1【解题指南】先分别求出命题p,q为真的充要条件,再分别求出p,q为假的充要条件,利用分类讨论思想求解.【解析】选B.命题p:“方程x2+2x+a=0有实数根”的充要条件为Δ=4-4a≥0,即a≤1,则p为真时,a>1;命题q:“函数f(x)=(a2-a)x是增函数”的充要条件为a2-a>0,即a<0或a>1, 则“q”为真命题时,0≤a≤1.由“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,得p,q一真一假:若p真q假,则0≤a≤1;若p假q真,则a>1.所以实数a的取值范围是a≥0.【举一反三】若本题变为“q”为假命题且“p∨(q)”为真命题,其余条件不变,则实数a的取值范围是.【解析】由“q”为假命题且“p∨(q)”为真命题,得p真q真,所以实数a的取值范围是a<0.答案:a<0二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·郑州高二检测)设有两个命题:p:|x|+|x-1|≥m的解集为R;q:函数f(x)=-(7-3m)x是减函数,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,实数m的取值范围是.【解析】若p为真命题,则根据绝对值的几何意义可知m≤1.若q为真命题,则7-3m>1,所以m<2,若p真q假,则m∈.若p假q真,则1<m<2. 综上所述,1<m<2.答案:1<m<28.已知全集为R,命题p:0∈N,q:{0}⊆错误！未找到引用源。
高二数学简单的逻辑联结词试题答案及解析
高二数学简单的逻辑联结词试题答案及解析1.已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．【答案】{或}【解析】先化简命题转化为m的范围，再根据“p或q”为真，“p且q”为假可知p与q的真值相反，当p真且q假时解得，当p假且q真时解得，综合两种情况得的取值范围是{或}.试题解析：p：有两个不等的负根．q：无实根．因为p或q为真，p且q为假，所以p与q的真值相反．(ⅰ) 当p真且q假时，有；(ⅱ) 当p假且q真时，有．综合，得的取值范围是{或}．【考点】含逻辑联结词的命题的真假性判断2.设命题命题，如果命题真且命题假，求的取值范围。
【答案】【解析】根据题意，首先求出p为真时和q为假时，a的取值范围，然后去交集即可．试题解析：因为命题为真命题，所以因为命题为假命题，所以所以的取值范围是.【考点】（1）简易逻辑；（2）三个一元二次的关系.3.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0（其中a≠0），q：实数x满足(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】(1) (2,3) (2) (1,2]【解析】(1)当a＝1时，解得1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3. 2分由，得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3. 4分若p∧q为真，则p真且q真，5分所以实数x的取值范围是(2,3)．7分(2)p是q的必要不充分条件，即q⇒p，且p/⇒q，8分设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则A B，又B＝(2,3]，由x2－4ax＋3a2＜0得(x－3a)(x－a)＜0，9分当a＞0时，A＝(a,3a)，有，解得1＜a≤2；11分当a＜0时，A＝(3a，a)，显然A∩B＝∅，不合题意．13分所以实数a的取值范围是(1,2]．15分【考点】解不等式及复合命题，集合包含关系点评：复合命题p∧q的真假由命题p，q共同决定，当两命题中有一个是真命题时复合后为真命题，由若p是q的必要不充分条件可得集合p是集合q的真子集4.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解【答案】C【解析】根据命题的否定命题的解答办法，我们结合至多性问题的否定思路：至多n个的否定为至少n+1个，易根据已知原命题“至多有两个解”得到否定命题. 解：∵至多n个的否定为至少n+1个,∴“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”,故选C【考点】命题的否定点评：本题考查的知识是命题的否定，其中熟练掌握多性问题的否定思路：至多n个的否定为至少n+1个，是解答本题的关键.5.若命题“”为假，且“”为假，则（）A．或为假B．假C．真D．不能判断的真假【答案】B【解析】∵命题“”为假，且“”为假，∴命题p为真，命题q为假，故命题“或”为真，故选B【考点】本题考查了真值表的运用点评：熟练掌握真值表是解决此类问题的关键，属基础题6.命题“x∈R，”的否定是。
2021年高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词学案含解析人教A版选修2_1
1.3 简单的逻辑联结词[目标] 1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假．[重点] 1.了解“或”，“且”，“非”的含义；2.能判断命题“p∧q”，“p∨q”，“非p”的真假．[难点] 1.应用逻辑联结词表述命题；2.含参数问题的讨论．知识点一逻辑联结词“且”“或”“非”[填一填][答一答]1．逻辑联结词“或”与生活中的“或”有什么区别？提示：逻辑中的“或”与日常生活中的“或”是有区别的，前者包括“或此、或彼、或兼”三种情形，后者只包括“或此、或彼”两种情形．2．命题“綈p”与命题“p的否命题”有何不同？提示：命题“綈p”与“p的否命题”完全不同，前者是对命题的结论否定，后者是既否定条件又否定结论．如：若命题p为“若s则t”，则綈p：若s则綈t，否命题：若綈s则綈t.知识点二含有逻辑联结词的命题的真假判断[填一填][答一答]3．不等式5≥3是否成立？提示：这是“p∨q”类型的命题，其中p：5>3，是真命题，q：5＝3，是假命题，所以p∨q是真命题，故5≥3成立．4．为什么命题“方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1或x＝2”不是“p或q”形式的命题？提示：此命题是真命题．假设它是由命题p：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1和命题q：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝2用“或”联结而成的，因为命题p：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1是假命题，同理可知，命题q也是假命题，所以p或q是假命题，与原命题是真命题矛盾，所以原命题不是“p或q”形式的命题，原命题中的“或”不是逻辑联结词．1．含有“且”“或”“非”的命题的构成分析用“且”“或”“非”联结的命题称为复合命题，但判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题．如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，而是一个复合条件的简单命题．2．常见词语的否定对简单命题的否定要注意一些常见否定词的使用，下面是常用的正面叙述词语和它的否定词语.原词语等于大于(>)小于(<)是都是否定词语不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是原词语至多有一个至少有一个至多有n个否定词语至少有两个一个也没有至少有n＋1个原词语任意的任意两个所有的能否定词语某个某两个某些不能3.(1)对于“p∧q”，简称为“一假则假”，即p，q中只要有一个为假，则“p∧q”为假；(2)对于“p∨q”，简称为“一真则真”，即p，q中只要有一个为真，则“p∨q”为真．类型一用逻辑联结词构造命题【例1】指出下列命题的构成形式，以及构成它的简单命题：(1)1是质数或合数；(2)他是运动员兼教练；(3)不等式|x－2|≤0没有实数解；(4)要么周长相等的两个三角形全等，要么面积相等的两个三角形全等；(5)这部作品不仅艺术上有缺点，而且政治上也有错误．【分析】根据命题中所使用的逻辑联结词，或者命题所表达的实际意义判断命题的结构．【解】(1)这个命题是p∨q形式，其中p：1是质数，q：1是合数．(2)这个命题是p∧q形式，其中p：他是运动员，q：他是教练．(3)这个命题是¬p形式，其中p：不等式|x－2|≤0有实数解．(4)这个命题是p∨q形式，其中p：周长相等的两个三角形全等，q：面积相等的两个三角形全等．(5)这个命题是p∧q形式，其中p：这部作品艺术上有缺点，q：这部作品政治上有错误．1辨别含逻辑联结词的命题的构成形式时，应根据组成含逻辑联结词的命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定含逻辑联结词的命题的形式，准确理解语义应注意抓住一些关键词.如“是……也是……”，“兼”，“不但……而且……”，“既……又……”，“要么……，要么……”等.2要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式.如a≥3是a>3或a＝3，xy＝0是x＝0或y＝0，x2＋y2＝0是x＝0且y＝0.指出下列命题的构成形式，以及构成它的简单命题：(1)48是16与12的公倍数；(2)方程x2＋x＋3＝0没有实数根；(3)相似三角形的周长相等或对应角相等；(4)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两段弧．解：(1)这个命题是p∧q形式，其中p：48是16的倍数，q：48是12的倍数．(2)这个命题是¬p形式，其中p：方程x2＋x＋3＝0有实数根．(3)这个命题是p∨q形式，其中p：相似三角形周长相等，q：相似三角形对应角相等．(4)这个命题是p∧q形式，其中p：垂直于弦的直径平分这条弦，q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧．类型二 含逻辑联结词的命题的真假 【例2】 指出下列命题的真假． (1)不等式|x ＋2|≤0没有实数解； (2)－1是偶数或奇数；(3)2属于集合Q ，也属于集合R .【解】 (1)此命题是“綈p ”的形式，其中p ：不等式|x ＋2|≤0有实数解，因为x ＝－2是该不等式的一个解，所以命题p 为真命题，即綈p 为假命题，所以原命题为假命题．(2)此命题是“p ∨q ”的形式，其中p ：－1是偶数；q ：－1是奇数．因为命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以“p ∨q ”为真命题，故原命题为真命题．(3)此命题是“p ∧q ”的形式，其中p ：2属于集合Q ；q ：2属于集合R .因为命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以“p ∧q ”为假命题，故原命题为假命题．判断复合命题的真假的步骤：1确定复合命题的构成形式；2判断其中简单命题的真假；3根据真值表判断复合命题的真假.分别写出下列含有逻辑联结词的命题的形式，并判断其真假． (1)等腰三角形顶角的平分线平分且垂直于底边； (2)1或－1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根； (3)A(A ∪B )．解：(1)这个命题是“p ∧q ”的形式，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p 真，q 真，则“p ∧q ”真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p ∨q ”的形式，其中p ：1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，q ：－1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，因为p 假，q 真，则“p ∨q ”真，所以该命题是真命题．(3)这个命题是“綈p ”的形式，其中p ：A ⊆(A ∪B )，因为p 真，则“綈p ”假，所以该命题是假命题．类型三 利用命题的真假求参数的取值范围【例3】 已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在区间(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．【解】 当0<a <1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a >1时，函数y ＝log a (x ＋1)在区间(0，＋∞)内不是单调递减；曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点等价于Δ＝(2a －3)2－4>0，即0<a <12或a >52.∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， ∴命题p 与命题q 恰好一真一假，当p 真，q 假时，函数y ＝log a (x ＋1)在区间(0，＋∞)内单调递减，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于一点或没有交点，因此a ∈(0,1)∩([12，1)∪(1，52])，即a ∈[12，1)；当p 假，q 真时，函数y ＝log a (x ＋1)在区间(0，＋∞)内不是单调递减，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，因此，a ∈(1，＋∞)∩((0，12)∪(52，＋∞))，即a ∈(52，＋∞)．综上可知，a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞)．解决此类问题的方法，一般是先假设p ，q 分别为真，求出其中的参数取值范围，然后当它们为假时取其补集，最后确定参数的取值范围.当p ，q 中参数的范围不易求出时，也可以利用綈p 与p ，綈q 与q 不能同真同假的特点，先求綈p ，綈q 中参数的范围.已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若命题“p ∧q ”与命题“綈q ”都是假命题，求实数m 的取值范围．解：p 满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0m >0，解得m >2；q 满足Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0，解得1<m <3.∵命题“綈q ”是假命题， ∴命题q 是真命题， 又∵命题“p ∧q ”是假命题， ∴命题p 是假命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤21<m <3，解得1<m ≤2. 类型四 素养提升命题的否定与否命题【例4】 写出下列命题的否定形式和否命题： (1)若abc ＝0，则a 、b 、c 中至少有一个为零；(2)若x2＋y2＝0，则x、y全为零；(3)等腰三角形有两个内角相等．【精解详析】(1)否定形式：若abc＝0，则a、b、c全不为零；否命题：若abc≠0，则a、b、c全不为零．(2)否定形式：若x2＋y2＝0，则x、y不全为零；否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为零．(3)否定形式：等腰三角形的任意两个内角都不相等；否命题：不是等腰三角形的任意两个内角都不相等．【解后反思】命题的否定(即綈p)与否命题是容易混淆的两个概念，准确把握它们之间的联系与区别．(1)区别：①概念：命题的否定形式是直接对命题进行否定；而否命题则是原命题的条件和结论分别否定后所组成的命题．②构成：对于“若p，则q”形式的命题，其否定形式为“若p，则綈q”，也就是不改变条件，而否定结论；而其否命题则为“若綈p，则綈q”，也就是条件和结论都否定．③真值：否定命题的真值与原命题相反；而否命题的真值与原命题无关．(2)联系：①它们都是把原命题的条件或结论否定后组成的新命题．②它们在否定过程中，对其正面叙述的词语的否定叙述都是一样的(如“至多有一个”的否定为“至少有两个”)．写出下列命题的否定形式和命题的否命题．(1)若a>b，则a－2>b－2；(2)到圆心的距离等于半径的点在圆上．解：(1)否定形式：若a>b，则a－2≤b－2；否命题：若a≤b，则a－2≤b－2.(2)否定形式：到圆心的距离等于半径的点不在圆上；否命题：到圆心的距离不等于半径的点不在圆上．1．命题“梯形的两对角线互相不平分”的形式为( C )A．p∨q B．p∧qC．綈p D．简单命题解析：设p：梯形的两对角线互相平分，则本题是綈p形式．2．命题“xy≠0”是指( A )A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0C．x，y至少有一个为0 D．x，y不都是0解析：在x，y中若有一个为0，则xy＝0，故x，y都不是0，选A.3．选用綈，∧，∨填空，使下列命题成为真命题：(1)x∈(A∪B)，则x∈A∨x∈B；(2)x∈(A∩B)，则x∈A∧x∈B；(3)若ab＝0，则a＝0∨b＝0；(4)a，b∈R，a>0∧b>0，则ab>0.4．由命题p：“矩形有外接圆”，q：“矩形有内切圆”组成的命题“綈p”“p∧q”“p ∨q”形式的命题中真命题是p∨q.解析：命题p为真命题，命题q为假命题，故p∧q为假，p∨q为真，綈p为假．5．分别写出由下列命题构成的“綈p”“p∧q”“p∨q”形式的命题，并判断它们的真假．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：不等式x2－2x＋1>0的解集为R，q：不等式x2－2x＋3≤2的解集为∅.解：(1)綈p：梯形没有对边平行或有两组对边平行．p∧q：梯形有一组对边平行且相等．p∨q：梯形有一组对边平行或相等．∵p真q假，∴“綈p”为假，“p∧q”为假，“p∨q”为真．(2)綈p：不等式x2－2x＋1>0的解集不是R.p∧q：不等式x2－2x＋1>0的解集为R且不等式x2－2x＋3≤2的解集为∅.p∨q：不等式x2－2x＋1>0的解集为R或不等式x2－2x＋3≤2的解集为∅.∵p假q假，∴“綈p”为真，“p∧q”为假，“p∨q”为假．。
高中数学人教版选修2-1教师专用同步作业解析(含答案)第一章 1.3 简单的逻辑联接词
1.13[学习目标] 1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.3.通过学习，明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.知识点一且“p且q”就是用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作p∧q.知识点二或“p或q”就是用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作p∨q.知识点三命题的否定一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”.知识点四含有逻辑联结词的命题的真假判断[思考](1)逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？(2)命题的否定与否命题有什么区别？答案(1)生活用语中的“或”表示不兼有，而在数学中所研究的“或”则表示可兼有但不一定必须兼有.(2)命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论.题型一p∧q命题及p∨q命题例1分别写出下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式，并判断它们的真假.(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；(3)p：3是无理数，q：3是实数；(4)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等.解(1)p∧q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；∵p真，q假，∴p∧q为假.p∨q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数；∵p真，q假，∴p∨q为真.(2)p∧q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p∧q为真.p∨q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p∨q为真.(3)p∧q：3是无理数且是实数；∵p真，q真，∴p∧q为真.p∨q：3是无理数或是实数；∵p真，q真，∴p∨q为真.(4)p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p∧q为真.p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p∨q为真.反思与感悟(1)判断p∧q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断.(2)判断p∨q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，只要有一个为真，即可判定p∨q形式命题为真，而p与q均为假命题时，命题p∨q为假命题，可简记为：有真则真，全假为假.跟踪训练1指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：(1)李明是男生且是高一学生.(2)方程2x2＋1＝0没有实数根.(3)12能被3或4整除.解(1)是“p且q”形式.其中p：李明是男生；q：李明是高一学生.(2)是“非p”形式.其中p：方程2x2＋1＝0有实根.(3)是“p或q”形式.其中p：12能被3整除；q：12能被4整除.题型二綈p命题例2写出下列命题的否定形式.(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解 (1)面积相等的三角形不都是全等三角形. (2)若m 2＋n 2＝0，则实数m 、n 不全为零. (3)若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0.反思与感悟 綈p 是对命题p 的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p 的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p ∧q ”的否定是“綈p ∨綈q ”等.跟踪训练2 写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)p ：y ＝ sin x 是周期函数； (2)p ：3＜2；(3)p ：空集是集合A 的子集； (4)p ：5不是75的约数.解 (1) 綈p ：y ＝ sin x 不是周期函数.命题p 是真命题，綈p 是假命题； (2) 綈p ：3≥2.命题p 是假命题，綈p 是真命题；(3) 綈p ：空集不是集合A 的子集.命题p 是真命题，綈p 是假命题； (4) 綈p ：5是75的约数.命题p 是假命题，綈p 是真命题.题型三 p ∨q 、p ∧q 、綈p 命题的综合应用例3 已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p ∨q ”与“綈q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围. 解 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a >－22－2a >0，，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.由于⎩⎨⎧a >0Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4， 所以0≤a <4.因为“p ∨q ”与“綈q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1].反思与感悟 由真值表可判断p ∨q 、p ∧q 、綈p 命题的真假，反之，由p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假也可判断p 、q 的真假情况.一般求满足p 假成立的参数范围，应先求p 真成立的参数的范围，再求其补集.跟踪训练3 已知命题p ：方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等的实根；命题q ：方程4x 2＋2(a －4)x ＋1＝0无实根，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围. 解 ∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 与q 一真一假， 由a 2－4>0得a >2或a <－2. 由4(a －4)2－4×4<0得2<a <6.①若p 真q 假，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－2，a ≤2或a ≥6，∴a <－2或a ≥6；②若p 假q 真，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤2，2<a <6，通过分析可知不存在这样的a .综上，a <－2或a ≥6.1.命题p ：“x >0”是“x 2>0”的必要不充分条件，命题q ：△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件，则( ) A.p 真q 假 B.p ∧q 为真 C.p ∨q 为假 D.p 假q 真答案 D解析 命题p 假，命题q 真. 2.给出下列命题： ①2>1或1>3；②方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0； ③25是6或5的倍数；④集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集. 其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D解析 ①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；②由于方程x 2－2x －4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；④由于A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆A ∪B ，所以命题“集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集”是真命题.3.已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数.则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，为真命题的是() A.q1，q3 B.q2，q3 C.q1，q4 D.q2，q4答案 C解析p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题.∴为真命题的是q1，q4.4.已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是()A.p假q真B.“p∨q”为真C.“p∧q”为真D.“綈p”为真答案 B解析由(x＋2)(x－3)<0得－2<x<3，∵1∈(－2,3)，∴p真.∵∅≠{0}，∴q为假，∴“p∨q”为真.5.若p是真命题，q是假命题，则()A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题C.綈p是真命题D.綈q是真命题答案 D解析根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确.1.正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.2.判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：(1)逐一判断命题p，q的真假.(2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”，“p∨q”的真假.p∧q为真⇔p和q同时为真，p∨q为真⇔p和q中至少一个为真.3.若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真，类比集合知识，“綈p”就相当于集合p在全集U中的补集∁U p.因此(綈p)∧p为假，(綈p)∨p为真.4.命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别.一、选择题1.已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是()A.“p∨q”为假，“綈q”为假B.“p∨q”为真，“綈q”为假C.“p∧q”为假，“綈p”为假D.“p∧q”为真，“p∨q”为假答案 B解析显然p假q真，故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，“綈q”为假，故选B.2.已知全集S＝R，A⊆S，B⊆S，若p：2∈(A∪B)，则“綈p”是()A.2D∈/AB.2D∈/∁S BC.2D∈/(A∩B)D.2∈(∁S A)∩(∁S B)答案 D解析p：2∈(A∪B)，綈p：2∈∁S(A∪B)，即2∈(∁S A)∩(∁S B).3.“p是真命题”是“p∧q为真命题”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B4.设a，b，c是非零向量.已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是()A.p∨qB.p∧qC.(綈p)∧(綈q)D.p∨(綈q)答案 A解析方法一命题p中，取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题.命题q中，a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝x b，由b∥c知b＝y c，∴a＝xy c，∴a∥c，∴q是真命题.综上可知：p∨q是真命题，p∧q是假命题.又∵綈p 为真命题，綈q 为假命题， ∴(綈p )∧(綈q )，p ∨(綈q )都是假命题. 方法二命题p 中，由于a ，b ，c 都是非零向量，∵a ·b ＝0，∴a ⊥b .∵b ·c ＝0，∴b ⊥c .如图，则可能a ∥c ，∴a ·c ≠0，∴命题p 是假命题，∴綈p 是真命题.命题q 中，a ∥b ，则a 与b 方向相同或相反；b ∥c ，则b 与c 方向相同或相反.故a 与c 方向相同或相反，∴a ∥c ，即q 是真命题，则綈q 是假命题，故p ∨q 是真命题，p ∧q ，(綈p )∧(綈q )，p ∨(綈q )都是假命题.5.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A.(綈p )∨(綈q ) B.p ∨(綈q ) C.(綈p )∧(綈q ) D.p ∨q答案 A解析 至少有一位学员没有降落在指定范围意味着甲或乙没有降落在指定范围.6.命题p ：若a >0，b >0，则ab ＝1是a ＋b ≥2的必要不充分条件，命题q ：函数y ＝log 2x －3x ＋2的定义域是(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则( ) A.“p ∨q ”为假 B.“p ∧q ”为真 C.p 真q 假 D.p 假q 真 答案 D解析 由命题p ：a >0，b >0，ab ＝1得a ＋b ≥2ab ＝2，所以p 为假命题； 命题q ：由x －3x ＋2>0得x <－2或x >3，所以q 为真命题.7.已知命题p ：若a ＝(1,2)与b ＝(－2，λ)共线，则λ＝－4；命题q ：∀k ∈R ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0相交.则下面结论正确的是( ) A.(綈p )∨q 是真命题 B.p ∧(綈q )是真命题 C.p ∧q 是假命题 D.p ∨q 是假命题 答案 A解析 命题p 为真，命题q ：圆心(0,1)到直线kx －y ＋1＝0的距离为d ＝|0|k 2＋1<1，命题q 是真命题.故(綈p )∨q 是真命题.8.给定命题p ：函数y ＝ln [(1－x )(x ＋1)]为偶函数；命题q ：函数y ＝e x －1e x ＋1为偶函数，下列说法正确的是( ) A.p ∨q 是假命题 B.(綈p )∧q 是假命题 C.p ∧q 是真命题 D.(綈p )∨q 是真命题答案 B解析 p 中，f (－x )＝ln [(1＋x )(1－x )]＝f (x )，又定义域关于原点对称，故函数为偶函数，故p 为真；q 中，f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1－e xe x ＋1＝－f (x )，定义域为R ，故函数为奇函数，故q 为假，故(綈p )∧q 为假. 二、填空题9.命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为________________，命题的否定为________________. 答案 若a ≥b ，则2a ≥2b 若a <b ，则2a ≥2b解析 命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为“若a ≥b ，则2a ≥2b ”，命题的否定为“若a <b ，则2a ≥2b ”.10.若命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为{x |x >－ba }，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，则“p 且q ”“p 或q ”“非p ”中真命题是________. 答案 非p解析 因为命题p ，q 均为假命题，所以“p 或q ”“p 且q ”均为假命题，而“非p ”为真命题.11.已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则有平面α∥平面β.对以上两个命题，下列结论中： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假. 其中，正确的是________(填序号). 答案 ②解析 命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交，命题q 也是假命题，这两个平面α，β也可能相交. 三、解答题12.已知c >0，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减，q ：曲线y ＝4x 2－4c (x ＋12)＋c 2＋1与x 轴交于不同的两点，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求c 的取值范围. 解 方法一 ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减， ∴0<c <1.令A ＝{c |0<c <1}.由y ＝4x 2－4c (x ＋12)＋c 2＋1与x 轴交于不同的两点，可得方程4x 2－4cx ＋c 2－2c ＋1＝0所对应的判别式Δ＝16c 2－16(c 2－2c ＋1)>0. 解得c >12，令B ＝{c |c >12}.根据题意，如果p 真，q 假，则0<c ≤12；如果p 假，q 真，则c ≥1， ∴c 的取值范围为(0，12]∪[1，＋∞).方法二 同方法一，问题等价于求集合 [(∁R B )∩A ]∪[(∁R A )∩B ]＝(0，12]∪[1，＋∞).∴c 的取值范围为(0，12]∪[1，＋∞).13.已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p ∨q ” 是假命题，求实数a 的取值范围. 解 由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0. 显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1a .若命题p 为真，∵x ∈[－1,1]，故⎪⎪⎪⎪－2a ≤1或⎪⎪⎪⎪1a ≤1， ∴|a |≥1. 若命题q 为真，即只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0，即函数y ＝x 2＋2ax ＋2a 的图象与x 轴只有一个交点. ∴Δ＝4a 2－8a ＝0， ∴a ＝0或a ＝2.∵命题“p ∨q ”为假命题，∴a 的取值范围是{a |－1<a <0或0<a <1}.。
简单的逻辑联结词(有答案)
(3)是“p∨q”的形式，其中p：不等式x2－x－2>0的解集是{x|x>2}，q：不等式x2－x－2>0的解集是{x|x<－1}．
类型二 含逻辑联结词的命题真假的判断
例2、分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题，并判断其真假．
(1)方程x2－3＝0没有有理根；
(2)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；
(3)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．
【自主解答】(1)这个命题是“非p”形式的命题，其中p：方程x2－3＝0有有理根．
(2)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．
(1)p：6是自然数，q：6是偶数；
(2)p：等腰梯形的对角线相等，q：等腰梯形的对角线互相平分；
(3)p：函数y＝x2－2x＋2没有零点，q：不等式x2－2x＋1＞0恒成立．
【自主解答】(1)p∨q：6是自然数或是偶数，真命题．
p∧q：6是自然数且是偶数，真命题．
綈p：6不是自然数，假命题．
(2)p∨q：等腰梯形的对角线相等或互相平分，真命题．
p∧q：等腰梯形的对角线相等且互相平分，假命题．
綈p：等腰梯形的对角线不相等，假命题．
(3)p∨q：函数y＝x2－2x＋2没有零点或不等式x2－2x＋1＞0恒成立，真命题．
p∧q：函数y＝x2－2x＋2没有零点且不等式x2－2x＋1＞0恒成立，假命题．
綈p：函数y＝x2－2x＋2有零点，假命题．
1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的步骤：
“綈p”
真假相反
p真，则綈p假；p假，则綈p真
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简单的逻辑联结词（2）
一、选择题
1．“m ＝2”是“f (x )＝x m 为(－∞，＋∞)上的偶函数”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] m ＝2时，f (x )＝x 2为偶函数，但f (x )＝x m
为偶函数时，m ＝2不一定成立，如m ＝4.
2．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2
对称．则下列判断正确的是( )
A ．p 为真
B ．¬q 为假
C ．p ∧q 为假
D ．p ∨q 为真 [答案] C
[解析] 本题考查命题真假的判断．p 为假命题，q 为假命题．所以p ∧q 为假命题．
对“p ∧q ”真假判定：全真为真，一假则假．
3．p ：函数f (x )＝lg x ＋1有零点；q ：存在α、β，使sin(α－β)＝sin α－sin β，在p ∨q ，p ∧q ，¬p ，¬q 中真命题有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 [答案] B [解析] ∵f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫110＝0，∴p 真；∵α＝β时，sin(α－β)＝0＝sin α－sin β，∴q 真，故p ∨q 为真，p ∧q 为真，¬p 为假，¬q 为假．
二、填空题
4．已知a 、b ∈R ，设p ：|a |＋|b |>|a ＋b |，q ：函数y ＝x 2
－x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，那么命题：p ∨q 、p ∧q 、非p 中的真命题是________．
[答案] 非p
5．已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；q ：方程4x 2
＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，若p 或q 为
真，p 且q 为假，m 的取值范围是________．
[答案] m ≥3或1<m ≤2.
解 若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，
则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－4>0，－m <0，
解得m >2，即p ：m >2. 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，
则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0，
解得1<m <3，即q ：1<m <3.
因p 或q 为真，所以p 、q 至少有一个为真．
又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一个为假．
因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假，或p 为假，q 为真．所以⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧
m ≤2，1<m <3.解得m ≥3或1<m ≤2.
三、解答题
6．设命题p ：函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，命题q ：关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 32
＝0的解集只有一个子集．若“p 或q ”为真，“¬p 或¬q ”也为真，求实数a 的取值范围．。