高中数学-常用逻辑用语练习

高中数学-常用逻辑用语练习
能力深化提升
类型一四种命题及其真假判断
【典例1】(·银川高二检测)将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假.
(1)垂直于同一平面的两条直线平行.
(2)当mn<0时,方程mx2-x+n=0有实数根.
【解析】(1)将命题写成“若p,则q”的形式为:若两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行.
它的逆命题、否命题和逆否命题如下:
逆命题:若两条直线平行,则这两条直线垂直于同一个平面.(假)
否命题:若两条直线不垂直于同一个平面,则这两条直线不平行.(假)
逆否命题:若两条直线不平行,则这两条直线不垂直于同一个平面.(真)
(2)将命题写成“若p,则q”的形式为:若mn<0,则方程mx2-x+n=0有实数根.
它的逆命题、否命题和逆否命题如下:
逆命题:若方程mx2-x+n=0有实数根,则mn<0.(假)
否命题:若mn≥0,则方程mx2-x+n=0没有实数根.(假)
逆否命题:若方程mx2-x+n=0没有实数根,则mn≥0.(真)
【方法总结】四种命题的写法及其真假的判断方法
(1)四种命题的写法:
①明确条件和结论:认清命题的条件p和结论q,然后按定义写出命题的逆命题、否命题、逆否命题.
②应注意:原命题中的前提不能作为命题的条件.
(2)简单命题真假的判断方法:
①直接法:判断简单命题的真假,通常用直接法判断.用直接法判断时,应先分清条件和结论,运用命题所涉及的知识进行推理论证.
②间接法:当命题的真假不易判断时,还可以用间接法,转化为等价命题或举反例.用转化法判断时,需要准确地写出所给命题的等价命题.
【巩固训练】(·海南高二检测)有下列四个命题:
①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;
②“相似三角形的周长相等”的否命题;
③“若b≤-1,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题;
④“若A∪B=B,则A⊇B”的逆否命题.
其中是真命题的有( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.③④
【解析】选C.①逆命题是若x,y互为倒数,则xy=1,是真命题;②否命题是不相似的三角形周长不相等,是假命题;③逆否命题是若方程x2-2bx+b2+b=0无实根,则b>-1.因为Δ=4b2-4(b2+b)<0,所以b>0,所以该命题为真命题;④因为A∪B=B,所以A⊆B,所以该命题为假命题.
类型二充分条件与必要条件的判定与应用
【典例2】(1)(·济南高二检测)“a=-1”是“函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的( ) A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(·成都高二检测)已知a,b是不共线的向量,若=λ1a+b,=a+
λ2b(λ1,λ2∈R),则A,B,C三点共线的充要条件是( )
A.λ1=λ2=-1
B.λ1=λ2=1
C.λ1λ2=1
D.λ1λ2=-1
【解析】(1)选B.当a=-1时,函数f(x)=ax2+2x-1=-x2+2x-1只有一个零点x=1;但若函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点,则a=-1或a=0.所以“a=-1”是“函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的充分而不必要条件.
(2)选C.依题意,A,B,C三点共线⇔=λ⇒λ1a+b=λa+λλ2b⇒所以λ1
λ2=1.
【方法总结】对充要条件的理解及证明
(1)理解:对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语:“等价于”“当且仅当”“必须并且只须”“……,反之也真”等.
(2)证明:证明命题条件的充要性时,既要证明原命题成立(即条件的充分性),又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).
【巩固训练】使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件是( )
A.x<0
B.x≥0
C.x∈{-1,3,5}
D.x≤-或x≥3
【解析】选C.由2x2-5x-3≥0得,只有选项C中x的范围为其真子集.
类型三由逻辑联结词“且”“或”“非”构成的命题真假的判断与应用
【典例3】已知命题p1:函数y=2x-2-x在R上为增函数,p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数,则在命题q 1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(p1)∨p2和q4:p1∧(p2)中,真命题是
( ) A.q1,q3 B.q2,q3
C.q1,q4
D.q2,q4
【解析】选C.因为y=2x在R上为增函数,y=2-x在R上为减函数,所以y=2x-2-x在R上为增函数,所以p 1为真命题,p2假命题,故q1:p1∨p2为真命题,q2:p1∧p2为假命题,q3:(p1)∨p2为假命题,q4:p1∧(p2)为真命题.故真命题是q1,q4.
【方法总结】含有逻辑联结词的命题及其真假判断的关键点
(1)先判断简单命题p,q的真假.
(2)根据“p且q”“p或q”“非p”的含义及其真假判断规律,即对于“p且q”有一假即为假;对于“p或q”有一真即为真;对于“非p”真假与p相反进行判断.
【巩固训练】已知命题p:∃x0∈R,m+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-2)
B.[-2,0)
C.(-2,0)
D.(0,2)
【解析】选C.因为p∧q为真命题,所以命题p和命题q均为真命题,若p真,则m<0,①
若q真,则Δ=m2-4<0,所以-2<m<2.②
所以p∧q为真,由①②知-2<m<0.
类型四全称命题与特称命题
【典例4】(1)(·武汉高二检测)下列命题中是假命题的是( )
A.∃α,β∈R,使sin(α+β)=sinα+sinβ
B.∀φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数
C.∃m0∈R,使f(x)=(m0-1)·是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减
D.∀a>0,函数f(x)=ln2x+lnx-a有零点
(2)已知命题p:“∀x∈R,∃m 0∈R,使4x-2x+1+m0=0”,若命题p是假命题,则实数m的取值范围是________.
【解析】(1)选 B.对于A,当α=0时,sin(α+β)=sinα+sinβ成立;对于B,当φ=时,f(x)=sin(2x+φ)=cos2x为偶函数;对于C,当m=2时,f(x)=(m- 1)·=x-1=,
满足条件;对于D,令lnx=t,∀a>0,对于方程t2+t-a=0,
Δ=1-4(-a)>0,方程恒有解,故满足条件.综上可知,选B.
(2)若命题p是假命题,则命题p是真命题,
即关于x的方程4x-2·2x+m=0有实数解,
由于m=-(4x-2·2x)=-(2x-1)2+1≤1,所以m≤1.
答案:(-∞,1]
【方法总结】全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定
(1)全称命题与特称命题的判断:全称命题要对一个范围内的所有对象成立,要否定一个全称命题,只要找到一个反例就行.特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可.
(2)含一个量词的命题的否定:全称命题的否定是特称命题,应含存在量词.特称命题的否定是全称命题,应含全称量词.
【巩固训练】(·中山高二检测)已知命题p:∀x∈R,2x2+2x+<0,命题q:∃x0∈R,sinx0-cosx0=,则下列判断中正确的是( )
A.p是真命题
B.q是假命题
C.p是假命题
D.q是假命题
【解题指南】先判断p,q的真假,再得p,q真假,进而得结论.
【解析】选D.因为2x2+2x+=2≥0,
所以p是假命题,p为真命题.
又sinx 0-cosx0=sin≤,故q是真命题,q为假命题.所以选D.。