M02初等模型xfc

“公平”分配方 公平” 公平 法 人数 席位
A方 方 B方 方 p1 p2 n1 n2
衡量公平分配的数量指标 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度 的 p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p1/n1– p2/n2=5 虽二者的 虽二者的绝对 不公平度相同 p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p1/n1– p2/n2=5 但后者对A的 但后者对 的不公平 程度已大大降低! 程度已大大降低!
系别 学生 比例 比 例 加 惯 例 甲 乙 丙 103 51.5 63 34 31.5 17.0 100.0
席的分配 20席的分配 21席的分配 席的分配 10.3 6.3 3.4 20.0 10 6 4 20
人数 （%） 比例 结果 ）
总和 200
对 比例 结果 丙 10.815 11 系 6.615 7 公 3.570 3 平 吗 21.000 21
“公平”分配方 公平” 公平 法
将绝对度量改为相对度量
若 p1/n1> p2/n2 ，定义
p1 / n1 − p2 / n2 的 = rA (n1 , n2 ) ~ 对A的相对不公平度 p2 / n2
类似地定义 rB(n1,n2) 公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配 即 已分别有n 若增加1席 问应分给A, 还是B 设A, B已分别有 1, n2 席，若增加 席，问应分给 还是 已分别有 即对A不公平 不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对 不公平
若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
该席给A 当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给 rA, rB的定义
n 2 ( n 2 + 1)
2 p2
<
n1 ( n 1 + 1 )
第二章
2.6 实物交换 2.6 服药问题
初等模型
2.1 公平的席位分配
2.1
问 题
公平的席位分配
三个系学生共200名（甲系100，乙系 ，丙系 ），代表 名 甲系 ），代表 三个系学生共 ，乙系60，丙系40）， 会议共20席 按比例分配，三个系分别为10， ， 席 会议共 席，按比例分配，三个系分别为 ，6，4席。 席如何分配。 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 席如何分配 现因学生转系，三系人数为 若增加为21席 又如何分配。 若增加为 席，又如何分配。
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 不全为整数时， 应满足的准则： 不全为整数时 方向取整； 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 ≤ qi方向取整； 方向取整. [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 ≥ qi方向取整 1) [qi]– ≤ ni ≤ [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取 i]– , [qi]+ 之一 必取[q 2) ni (N, p1, … , pm ) ≤ ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， 即当总席位增加时， ni不应减少 “比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） 比例加惯例” ），但不满足 ） 比例加惯例 ）， Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！ 值方法满足 ） ） 令人遗憾！
Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 个席位 三系用 值方法重新分配 21个席位 按人数比例的整数部分已将19席分配完毕 按人数比例的整数部分已将 席分配完毕
甲系： 甲系：p1=103, n1=10 乙系： 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系： 丙系：p3= 34, n3= 3
用Q值方法分配 值方法分配 席和第21席 第20席和第 席 席和第
1032 632 342 = 96.4, Q2 = = 94.5, Q3 = = 96.3 第20席 Q1 = 席 10 ×11 6× 7 3× 4
Q1最大，第20席给甲系 最大， 席
103 2 = 80.4, Q2 , Q3 同上 第21席 Q1 = 席 11 × 12
Q值方法 值方法 分配结果
Q3最大，第 最大， 21席给丙系 席 公平吗？ 公平吗？
M
. .
p1
M1
p3(x3,y3)
.
p2
N1
Hale Waihona Puke Nx2xo x
线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度， 的偏爱程度， 线上各点的满意度相同 线的形状反映对 的偏爱程度 各点满意度更高的点如p 在另一条无差别曲线M 比MN各点满意度更高的点如 3，在另一条无差别曲线 1N1上。 各点满意度更高的点如 于是形成一族无差别曲线（无数条）。 于是形成一族无差别曲线（无数条）。
g=c2
交换方案的进一步确定
交换方案 ~ 交换后甲的占有量 (x,y) 0≤x≤x0, 0≤y≤y0矩 ≤ ≤ ≤ ≤ 形内任一点 交换路 径AB 等价交 换原则
y yo
AB与CD的 与 的 交点p 交点
双方的无差别曲线族 X,Y用货币衡量其价值，设交换 用货币衡量其价值， 用货币衡量其价值 价值相同， 前x0,y0价值相同，则等价交换原 则下交换路径为 (x0,0), (0,y0) 两点的连线 两点的连线CD
应讨论以下几种情况
初始 p1/n1> p2/n2
1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A ） 2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算 B(n1+1, n2) ） 应计算r 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算 A(n1, n2+1) ） ， 应计算r 是否会出现？ 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否!
y
甲的无差别曲线族记作 f(x,y)=c1 c1~满意度 满意度
∆y
f(x,y)=c1
.
∆x
p1
c1↑
等满意度曲线） （f ~等满意度曲线） 等满意度曲线 无差别曲线族的性质： 无差别曲线族的性质：
0
∆y
∆x
.
p2
x
• 单调减 增加 y减小 • 下凸 凸向原点 单调减(x增加 减小 增加, 减小) 下凸(凸向原点 凸向原点) 点占有x少 多 在p1点占有 少、y多， 宁愿以较多的∆ 换取 宁愿以较多的∆ y换取 较少的∆ 较少的∆ x;
2 p1
该席给A 该席给 否则, 该席给B 否则 该席给
p i2 , i = 1, 2 , 该席给 值较大的一方 定义 Q i = 该席给Q值 ni ( ni + 1)
推广到m方 推广到 方 分配席位
p i2 , i = 1, 2， , m ⋯ 计算 Q i = ni ( n i + 1)
该席给Q值最大的一方 该席给 值最大的一方
2.6
实物交换
甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要， 问 甲有物品 乙有物品 双方为满足更高的需要， 商定相互交换一部分。研究实物交换方案。 题 商定相互交换一部分。研究实物交换方案。 分别表示甲(乙 占有 用x,y分别表示甲 乙)占有 分别表示甲 X,Y的数量。设交换前甲占 的数量。 的数量 有X的数量为 0, 乙占有Y的 的数量为x 乙占有 的 的数量为 数量为y 作图： 数量为 0, 作图： y yo•
O
x
两族曲线切点连线记作AB 两族曲线切点连线记作 y ’ x O‘ y
o
双方满意的交换方案必 在AB（交换路径）上 （交换路径）
因为在AB外的任一点 因为在 外的任一点p’, 外的任一点 (双方 满意度低于 上的点 双方)满意度低于 上的点p 双方 满意度低于AB上的点
O
•p
A
B
P’
•
f=c1 xo x y’
甲系11席 乙系6 丙系4 甲系11席，乙系6席，丙系4席 11
进一步的讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？ 值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？ 值方法比 席位分配的理想化准则 已知: 方人数分别为 已知 m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为 。 待分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为 设理想情况下 方分配的席位分别为n1,n2,… , nm 方分配的席位分别为 (自然应有 1+n2+…+nm=N)， 自然应有n 自然应有 ， ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm ) 的函数， 和 均为整数， 记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
.
D
B
p
0
A
.
C
xo x
单价a, 单价 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0) 单价b, 设X单价 Y单价 则等价交换下 单价
y
.
p
x • 0 xo x 若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y) 的偏爱， 若不考虑双方对 的偏爱 都是一种交换方案：甲占有 乙占有(x 都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有 0 -x, y0 -y)