《极坐标与参数方程》综合测试题(含答案)

1 《极坐标与参数方程》综合测试题 1．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，又已知直线l过点P（1,0），倾斜角为3，且直线l与曲线C1交于A，B两点． （1）求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （2）求+．

2．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C的极坐标方程； （2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长． 2

3．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系． （Ⅰ）求圆C的参数方程； （Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．

4．若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是ρ=．

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； （2）若直线l的参数方程为（t为参数），3P,02，当直线l与曲线C

相交于A，B两点，求2ABPAPB. 3

5．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为3cos(2sinxy为参数），曲线C2的极坐标方程为． （1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程； （2）设P为曲线C1上一点，Q曲线C2上一点，求|PQ|的最小值及此时P点极坐标．

6．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）． （Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标； （Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值． 4

7．已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ． （Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．

8．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0）． （1）设t为参数，若x=﹣2+t，求直线l的参数方程； （2） 已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数p的值． 5

9．在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy （Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程； （Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．

10．已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（φ为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=． （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由． 6

11．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为． （ I）求曲线C2的直角坐标系方程； （ II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．

12．设点A为曲线C：ρ=2cosθ在极轴Ox上方的一点，且0≤θ≤，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy， （1）求曲线C的参数方程； （2）以A为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求B点轨迹的极坐标方程． 7

13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．

14．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后，曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建极坐标系． （Ⅰ）求C2的极坐标方程； （Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值． 8

15．已知半圆C的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，]． （Ⅰ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T是半圆C上一点，且OT=，试写出T点的极坐标．

16．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ． （Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π） 9

《极坐标与参数方程》综合测试题答案 一．解答题（共16小题） 1．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，又已知直线l过点P（1,0），倾斜角为3，且直线l与曲线C1交于A，B两点． （1）求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （2）求+．

【解答】解：（1）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x=0即（x﹣1）2+y2=1． ∴曲线C1的直角坐标方程为=1， ∴曲线C表示焦点坐标为（﹣，0），（，0），长轴长为4的椭圆 （2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程=1中，得2134120tt． 设A、B两点对应的参数分别为t1，t2， ∴+=2103．

2．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C的极坐标方程； （2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长． 【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1， ∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．

（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得． 10

设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得． ∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2． ∴|PQ|=2．

3．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系． （Ⅰ）求圆C的参数方程； （Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标． 【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6， 所以x2+y2=4x+4y﹣6， 所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0， 即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…（4分）

所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…（7分） 当 时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…（9分）x+y取到最大值为6．…（10分）

4．若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是ρ=．

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； （2）若直线l的参数方程为（t为参数），3P,02，当直线l与曲线C

相交于A，B两点，求2ABPAPB. 11

【解答】解：（1）∵ρ=，∴ρ2sin2θ=6ρcosθ， ∴曲线C的直角坐标方程为y2=6x．曲线为以（，0）为焦点，开口向右的抛物线．

（2）直线l的参数方程可化为，代入y2=6x得t2﹣4t﹣12=0． 解得t1=﹣2，t2=6． ∴||=|t1﹣t2|=8．2AB2

PAPB3

5．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为3cos(2sinxy为参数），曲线C2的极坐标方程为． （1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程； （2）设P为曲线C1上一点，Q曲线C2上一点，求|PQ|的最小值及此时P点极坐标．

【解答】解：（1）由消去参数α，得曲线C1的普通方程为． 由得，曲线C2的直角坐标方程为． （2）设P（2cosα，2sinα），则 点P到曲线C2的距离为

． 当时，d有最小值，所以|PQ|的最小值为．

6．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．