位脉冲函数(广义傅里叶积分)
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第八章傅氏变换
并称F(ω)为f (t)的象函数
或傅里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或傅里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
傅氏变换对的物理意义
• 1. f (t) 与 F（）构成一个傅氏变换对，它们是由
许多频率的正、余弦分量合成，且非周期函数包
含 0 - - 分量；
• 2. f (t) 是 F（）中各频率分量的分布密度，
即
lim
T
fT (t)
f
(t)
f (t) 1
2
f
( )e-j d e jtd
这个公式称为函数f (t)的傅里叶积分公式
• 余弦傅氏积分公式
f (t) 2
0 0
f
( ) cos
d
cost
d
• 正弦傅氏积分公式
f (t) 2
0
f
(
)
sin
d
sin
t
d
f
(t)
a0 2
n1
(an
cos nwt
bn
sin
nwt)
an cosnwt bn sin nwt an2 bn2 sin(nwt n )
An an2 bn2
n 1,2,;
f (t) Cne jwnt n
Cn
an
jbn 2
,
Cn
an
jbn 2
Cn Cn
an2 bn2 2
称为频谱密度函数 F（） 为振幅谱
arg F()为相位谱
正弦、余弦傅氏变换
余弦傅氏变换
f (t) 2
0 0
f
(
) cos
d
cost
7.3单位脉冲函数(广义傅里叶积分)
有了δ-函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 函数 例如质点的线密度、瞬时作用力及脉冲技术中的 非常窄的脉冲电流等都可以借助于δ-函数 函数来表示. 函数
eg1： 在坐标x=x 处有一质量为m的质点,则该质点 0 的线密度分布函数为：ρ ( x ) = mδ ( x − x0 ) eg2： 在t=t0时刻作用一冲量为I的瞬时力可表示为：
F ( t ) = I δ (t -t0 )
eg2： 在t=t 时刻产生一电量为q的脉冲电流可表示为： 0
i ( t ) = qδ (t -t0 )
3、δ-函数的筛选性：
∫
பைடு நூலகம்
+∞
−∞
δ (t) f (t)dt = f (0)
或 δ (t −t0 ) f (t)dt = f (t0 ). ∫ （ (t)为 续 数 f 连 函 ）
§7.3 7. 单位脉冲函数（δ-函数） 函数） 函数
7.3 单位脉冲函数（δ-函数）及其傅氏变换 函数） 函数 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲 函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在 电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势 作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统 受瞬时冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问 题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
⇒ 广义积分 ∫ e − i (ω −ω0 )t d t = 2πδ (ω − ω0 )
−∞ +∞
作业： 作业：
P142 7.6 （2） 7.8
1、 δ-函数的定义 函数的定义 函数的定义——广义函数 广义函数
0 t ≠ 0 δ (t ) = ∞ t = 0
且 ∫ δ ( t )dt = 1
-∞
第七章 傅立叶变换
T p j( n - m ) d 0 -T2 e (e ) d t 2p -p e 2p t 2p d t T 其中 wt , 则d ,dt d T T 2p
T 2
j nwt
j mwt *
pe
-
p 这是因为
j( n - m )
1 j( n - m ) d e j( n - m) -p 1 j( n - m )p - j( n - m )p [e -e ] j( n - m) 1 - j( n - m )p j 2 ( n - m )p e [e - 1] 0 j( n - m)
为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即 a
T 2 T 2
fT (t ) cos nwt d t T
-
T 2
0
2
2
cos nwt d t
am T cos mwt cos nwt d t
m 1 n
2
T 2
bm T sin mwt cos nwt d t
1复变函数与积分变换第七章傅立叶变换第七章傅立叶变换71傅立叶积分与傅立叶积分定理72傅氏变换与傅氏逆变换73单位脉冲函数75傅氏变换的性质一傅里叶fourier级数展开71傅立叶积分与傅立叶积分定理在工程计算中无论是电学还是力学经常要和随时间而变的周期函数ftt打交道
复变函数与积分变换
第七章 傅立叶变换
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期 内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内 函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都 可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷 (Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上
T 2
j nwt
j mwt *
pe
-
p 这是因为
j( n - m )
1 j( n - m ) d e j( n - m) -p 1 j( n - m )p - j( n - m )p [e -e ] j( n - m) 1 - j( n - m )p j 2 ( n - m )p e [e - 1] 0 j( n - m)
为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即 a
T 2 T 2
fT (t ) cos nwt d t T
-
T 2
0
2
2
cos nwt d t
am T cos mwt cos nwt d t
m 1 n
2
T 2
bm T sin mwt cos nwt d t
1复变函数与积分变换第七章傅立叶变换第七章傅立叶变换71傅立叶积分与傅立叶积分定理72傅氏变换与傅氏逆变换73单位脉冲函数75傅氏变换的性质一傅里叶fourier级数展开71傅立叶积分与傅立叶积分定理在工程计算中无论是电学还是力学经常要和随时间而变的周期函数ftt打交道
复变函数与积分变换
第七章 傅立叶变换
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期 内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内 函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都 可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷 (Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上
傅里叶变换(1)
ℱ 1 F1() F2 () f1(t) f2(t)
1.4.2 对称性质
若 F() =ℱ f (t) 则以 t 为自变量的函数 F(t)
的象函数为 2 f
即 ℱF(t) 2 f
1.4.3 相似性质
ℱ
1
f
1
2
F (t )
若F() =ℱ f (t) a 0 则
ℱ
f (at)
t c
解 F () f (t)e jtdt
c e jt dt 2 c e jtdt
c
0
2sin c
0
2c
0
例4 求函数
0 f (t) e t
和傅氏积分表达式.
t 0 ( 0) 的傅氏变换
t0
解 F () f (t)e jt dt ete jtdt
0
e( j)t dt 1 e( jt)
ℱ [ t]=1, ℱ -1[1]= . t
t 1
t t0 与 e jt0 也构成了一个傅氏变换对,即 t t0 e jt0
1.4 傅立叶变换的性质
1.4.1 线性性质
设 F1() =ℱ f1(t) F2 () =ℱ f2(t) , 为常数则
ℱ f1(t) f2 (t) F1() F2 ()
1.4.6 积分性质
若 F () =ℱ f (t)
则
ℱ [ t f ( )d ] 1 F ()
j
在这里 t
f ( )d
必须满足傅氏积分存在定理的条件,
若不满足,则这个广义积分应改为
ℱ
[
t
f ( )d ]
1 F () F(0) () j
1.4.7 傅氏变换的卷积与卷积定理
1.4.2 对称性质
若 F() =ℱ f (t) 则以 t 为自变量的函数 F(t)
的象函数为 2 f
即 ℱF(t) 2 f
1.4.3 相似性质
ℱ
1
f
1
2
F (t )
若F() =ℱ f (t) a 0 则
ℱ
f (at)
t c
解 F () f (t)e jtdt
c e jt dt 2 c e jtdt
c
0
2sin c
0
2c
0
例4 求函数
0 f (t) e t
和傅氏积分表达式.
t 0 ( 0) 的傅氏变换
t0
解 F () f (t)e jt dt ete jtdt
0
e( j)t dt 1 e( jt)
ℱ [ t]=1, ℱ -1[1]= . t
t 1
t t0 与 e jt0 也构成了一个傅氏变换对,即 t t0 e jt0
1.4 傅立叶变换的性质
1.4.1 线性性质
设 F1() =ℱ f1(t) F2 () =ℱ f2(t) , 为常数则
ℱ f1(t) f2 (t) F1() F2 ()
1.4.6 积分性质
若 F () =ℱ f (t)
则
ℱ [ t f ( )d ] 1 F ()
j
在这里 t
f ( )d
必须满足傅氏积分存在定理的条件,
若不满足,则这个广义积分应改为
ℱ
[
t
f ( )d ]
1 F () F(0) () j
1.4.7 傅氏变换的卷积与卷积定理
傅里叶积分变换
a. 线性性质
F f1 (t) f 2 (t) F1 ( ) F2 ( ) （1）
这个性质表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换 的线性组合。
证明：只需根据定义就可推出。 傅氏逆变换也具有类似的线性性质
F-1 F1() F2 () f1(t) f2 (t)
F ( ) (t) e jt dt 1
所以单位脉冲函数的频谱
F() 1
(t)及其频谱图表示在图1-11中。
图1-11
同样，当 f (t) (时t ，t0 )
F (。 ) e jt0
而f ( t )的振幅频谱为
F() 1
在物理学和工程技术中，将会出现很多非周期函数，它们 的频谱求法，可通过查用傅氏变换（或频谱）表来求得。
f (t) F-1 F ()
1
2
1
j
( )e jt d
1
( )e jt d
1
sin td
2
2
1 1 sin td
2 0
由于
sin
0
t d
0,
t 0;
cos t sin t
0
2 2
d
2
,
t 0;
e t , t 0
4．单位脉冲函数（狄拉克---Dirac函数）
设
0 ,
(t )
1
t 0 或 t , 0t
定义单位脉冲函数为
傅里叶积分
∫
+∞
-∞
f(t)e
-iω t
dt = ∫
+∞
-∞
f(x)e
-iω x
dx = ∫
+∞
0
e − x sin 2 xe -iω x dx
=
2 5 − ω 2 + 2iω
1.1.2 非正弦周期函数的频谱序列 以T为周期的函数的傅里叶级数的复数表达式为
fT (t ) = ∑ c n e
n =1
∞
i
2 nπ t T
求它的傅立叶级数的复指数形式.
1 τ2 1 τ2 Eτ ⇒ c0 = ∫ τ fT (t )dt = ∫ τ Edt = , − − T 2 T 2 T
1 ⇒ cn = T
=
∫τ
2 − 2
τ
fT (t )e
−i
2 nπ t T
E nπ sin τ nπ T
ι 2 nπ n −i t 1 2 E −1 − i 2Tπ t τ2 dt = ∫ τ Ee T dt = [ e ]τ − − 2nπ T 2 T i 2 T
简 单复习高 数知识： 周期为2l的函数f ( x )的傅里叶级数展开式： a0 ∞ nπ x nπ x f ( x ) = + ∑ (an cos ) + bn sin 2 n =1 l l a0 ∞ = + ∑ (an cos wn x +bnC ) 2 n =1 1 l an = ∫ f (ζ )cos wnζ d ζ , l −l nπ π (其 中 w n = , n = 0,1, 2.....∆w = ) l l 1 l bn = ∫ f (ζ )sin wnζ d ζ l −l
第三节(脉冲函数)
f (τ )δ (τ − t0 )dτ
f (τ )δ (τ − t0 )dτ
7
第一和三项为零， 第一和三项为零，对中间一项应用中值定理得
∫
∞
即可。 上的某个值， 其中 ξ 为区间 (t0 − ε ,t0 + ε ) 上的某个值，令 ε → 0 即可。 (4) 连续分布的质量、电荷或持续力也可用 连续分布的质量、 划分为许多小区间段，某个 [τ ,τ 划分为许多小区间段，
ρl ( x)dx = ∫
m dx = m l
∞
∞
−∞
4
如果不求积分，而先求极限， 如果不求积分，而先求极限，则有
m x 0 ρ ( x) = lim ρ l ( x) = lim rect ( ) = l →0 l →0 l l ∞
( x ≠ 0) ( x = 0)
对于质点、点电荷、瞬时力这类集中于空间某一点或时间的 对于质点、点电荷、瞬时力这类集中于空间某一点或时间的 质点 某个瞬时时刻的抽象模型， 某个瞬时时刻的抽象模型，物理学中引入 δ 函数描述
3
（一）
δ
函数
质量m均匀分布在长为 的线段 质量 均匀分布在长为l的线段 均匀分布在长为 的线段[-l/2,l/2]上，则线密度 ρ l (x ) 上
0 ρl ( x)＝ m / l
(|x| > l/ 2) (|x| ≤ l/ 2)
l 2 l − 2
m x ρl ( x) = rect ( ) l l
∫∫∫
1 δ (r − c)e − ik ⋅r dxdydz r
化成球坐标计算，以k的方向作为球坐标系的极轴方向 化成球坐标计算， 的方向作为球坐标系的极轴方向
∞ π 2π 1 1 1 δ (r − c) = δ (r − c)e −ikr cosθ ⋅ r 2 sin θdrdθdϕ 3 ∫r = 0 ∫ = 0 ∫ = 0 r θ ϕ r (2π ) ∞ π 1 = δ (r − c)e −ikr cosθ rd (− cosθ )dr (2π )2 ∫r =0 ∫θ =0 ∞ 1 1 = δ (r − c) (eikr − e −ikr )dr ik (2π )2 ∫r =0 1 1 ikc −ikc = (e − e ) 2 11 (2π ) ik
复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换
证：f t 1 F ejt d
2
1
2
2d
0 ejt d
ejt
0
ej0t
.
即ej0t 和2d 0 构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
e jt dt 2d
1
2
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是 的偶函数,
定义
d
t
lim
0
d
t
0
t 0。 t 0
O
d t dt
lim 0
d t dt
lim 0
1 dt
0
1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
22
d -函数的筛选性质：
若f(t)为无限次可微的函数,则有
2 3
19
3.单位脉冲函数及其傅里叶积分变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数.
从 f t 1
2
f
2
1
2
2d
0 ejt d
ejt
0
ej0t
.
即ej0t 和2d 0 构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
e jt dt 2d
1
2
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是 的偶函数,
定义
d
t
lim
0
d
t
0
t 0。 t 0
O
d t dt
lim 0
d t dt
lim 0
1 dt
0
1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
22
d -函数的筛选性质：
若f(t)为无限次可微的函数,则有
2 3
19
3.单位脉冲函数及其傅里叶积分变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数.
从 f t 1
2
f
傅里叶变换基础知识
傅里叶变换基础知识1。
傅里叶级数展开最简单有最常用的信号是谐波信号，一般周期信号利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号，即一般周期信号是由多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号线性叠加而成。
1。
1 周期信号的傅里叶级数在有限区间上，任何周期信号()x t 只要满足狄利克雷（dirichlet ）条件，都可以展开成傅里叶级数。
1.1。
1 狄利克雷（dirichlet ）条件狄利克雷(dirichlet ）条件为：（1）信号()x t 在一个周期内只有有限个第一类间断点(当t 从左或右趋向于这个间断点时，函数有左极限值和右极限值)；（2)信号()x t 在一周期内只有有限个极大值和极小值；（3）信号在一个周期内是绝对可积分的，即00/2/2()dt T T x t -⎰应为有限值。
1.1.2 间断点在非连续函数()y f x =中某点处0x 处有中断现象,那么，0x 就称为函数的不连续点。
（1）第一类间断点（有限型间断点）：a. 可去间断点:函数在该点左极限、右极限存在且相等,但不等于该点函数值或函数在该点无定义(0x 令分母为零时等情况）；b. 跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在,但不相等（0/y x x =在点0x =处等情况）。
（2）第二类间断点:除第一类间断点的间断点。
1。
1。
3 傅里叶级数三角函数表达式傅里叶级数三角函数表达式为0001()(cos sin )n n n x t a a n t b n t ωω∞==++∑式中：0a 为信号的常值分量；n a 为信号的余弦信号幅值;n b 为信号的正弦信号幅值。
0a 、n a 、n b 分别表示为: 000000/20/20/20/20/20/201()2()cos 2()sin T T T n T T n T a x t dtT a x t n tdt T b x t n tdtT ωω---===⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰ 式中：0T 为信号的周期；0ω为信号的基频，即角频率，002/T ωπ=，1,2,3...n =。
傅里叶变换
(2-2)
其中
2 an T
T / .2
T / .2
fT ( t ) cos n 0 tdt ( n 0,1,2,)
2 bn T
T / .2
T / .2
fT ( t ) sinn 0 tdt ( n 1,2,3,)
2.1.1
傅里叶级数（续十五）
例2-3 设f(x)是周期为4的函数，它在[－ 2,＋2)上的表达式为
cos n 0 t e
in 0 t
e 2
in 0 t
sinn 0 t
e
in 0 t
e 2i
in 0 t
将上述两式代入式(2-2)，得
a0 ein0t e in0t ein0t e in0t fT ( t ) an bn 2 n 1 2 2i 2.1.1Fra bibliotek傅里叶级数
定义2-1 设f(x)是周期为2的函数，则 称三角级数 a0 f ( x ) (an cosnx bn sinnx ) 2 n 1 其中
1 π ak f ( x ) cos kxdx ( k 0,1,2,) π π 1 π bk f ( x ) sinkxdx ( k 1,2,3,) π π
π π 2
2.1.1
续解
傅里叶级数（续四）
1 π 1 π an f ( x ) cos nxdx x cos nxdx π π π 0 1 x 1 π sinnx 2 cosnx π n n 0 0 (当n为偶数时） 1 2 (cos nx 1) 2 2 (当n为奇数时） n π n π π π 1 1 bn f ( x ) sinnxdx x sinnxdx π π π 0 1 x 1 π cosnx 2 sinnx π n n 0 ( 1) n1 ( n 1,2,3, ) n
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广义积分
e d t i(0 )t
2 (
0 )
作业：
P142 7.6 （2）
7.8
1、 δ-函数的定义——广义函数
t
0
t0 t0
且
+
t
dt
1
-
或
t
-t0
0
t t0 t t0
且
+
-
t-t0 dt
1
2、 δ-函数的应用
有了δ-函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如质点的线密度、瞬时作用力及脉冲技术中的 非常窄的脉冲电流等都可以借助于δ-函数来表示.
(t) F 1[1] 1 eitd
2
广义积分 eitd 2 (t)
5、广义傅氏变换
——利用与-函数相关的广义积分来求傅氏变换
在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅氏 积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件
| f (t) | dt
例如常数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数等, 然而可利用
与单位脉冲函数相关的广义积分就可以求出它们的傅氏
变换，它们的广义傅氏变换也是存在的. 所谓广义是相对 于古典意义的积分而言的, 在广义意义下, 同样可以说,原
像函数f(t) 和像函数F() 构成一个傅氏变换对.
例1 证明：1和2 ()构成一个傅氏变换对.
eg1： 在坐标x=x0处有一质量为m的质点,则该质点
的线密度分布函数为： x m (x x0)
eg2： 在t=t0时刻作用一冲量为I的瞬时力可表示为：
F t I (t-t0)
eg2： 在t=t0时刻产生一电量为q的脉冲电流可表示为：
it q (t-t0)
3、-函数的筛选性：
(t) f (t)dt f (0)
或
(t
t0) f
(t)d t
f
(t0 ) .
（f t 为连续函数）
4、-函数的傅氏变换:
F [ (t)] F () (t) e jtd t e jt 1
t 0
Байду номын сангаас
于是 (t)与常数1构成了一个傅氏变换对.
§7.3 单位脉冲函数（δ-函数）
7.3 单位脉冲函数（δ-函数）及其傅氏变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲 函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在 电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势 作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统 受瞬时冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问 题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
证法1：利用广义积分
F 1
1
eit dt
s
t
eisds 2 .
证法2：利用-函数的筛选性：
若F()=2 (), 由傅氏逆变换可得
f (t) F 1[2 ()] 1 2 ()e jtd e jt 1
2
0
例2 证明ei0t 和2 ( 0 )构成一个傅氏变换对。
证： f (t) F 1[2 ( 0 )]
1
2
2 (
0 ) eitd
eit
0
ei0t .
即ei0t 和2 ( 0 )构成了一个傅氏变换对。