高中数学总复习四十三讲-第二讲 简易逻辑

第二讲简易逻辑最新命题特点对本部分内容的考查呈现以下特点：1．逻辑是研究思维的方式及规律的基础学科，逻辑知识是认识问题、研究问题不可缺少的工具，在高考题中，几乎每一题都要用到逻辑知识；2．高考中多以选择题和填空题出现，在难度上以易题为主，若以函数、数列、立体几何知识为载体，也考查解答题；另外，逻辑推理知识是一个新的命题背景；3．高考中主要考查逻辑连接词及其判断复合命题的真假，命题的四种形式及相互关系；充要条件；反证法．4．预计：典型例题中仍然以真空或选择题形式出现．逻辑推理知识是新的命题背景．应试高分瓶颈1．对某些概念理解不清，有关定义不能熟记，因而不能正确判断命题的真伪而导致丢分；2．不能准确地进行四种命题的转换，导致丢分；3．判断两个命题的充分、必要关系时方向不清．内容命题点1 真假命题及四种命题的概念命题点2 充要条件命题点1 真假命题及四种命题的概念本类考题解答锦囊解答“真假命题及四种命题的概念”一类试题，主要掌握以下几点：1．对数学概念要有准确的记忆和深层次的理解；2．掌握真值表是判断真假的前提；3．判断一个命题真假，可根据定义直接判断，也可利用原命题与其逆否命题的等价关系求解；证明一个结论成立时，也常转化为证明其逆否命题成立．4．解这类问题要弄清逻辑连结词和简单命题及复合命题的构成形式，准确地运用真值表进行判断．Ⅰ高考最新热门题1(2005·上海)设数列{a n }的前n 项和为s n (n ∈N *)，则关于数列{a n }有下列三个命题：(1)若{a n }既是等差数列又是等比数列，则a n =a n+1(n ∈N *)；(2)若s n =an 2+bn(a ，b ∈R)，则{a n }为等差数列；(3)s n =1-(-1)n ，则{a n }是等比数列．这些命题中正确命题的序号是_________命题目的与解题技巧：本题以“命题”为工具，主要考查等差、等比数列的基础知识．解决本题的关键是准确掌握等差、等比数列的定义，a n 和s n 的关系等知识．说明命题为真命题需要证明，说明一个命题为假命题只需单一个反例．[解析] (1)∵{a n }为等差数列，设公差为d ，则由题意a n -d,a n ，a n +d 为等比数列，∴a 2n =(a n -d)(a n +d)，所以d=0正确,∴(1)正确．(2)当n=1时，a 1=s 1=a+b ；当n ≥2时，a n =s n -s n-1=2an -a+b ；因n=1适合上式，所以a n =s n -s n-1=2an-a+b 而a n+1-a n =2a(常数)，所以{a n }为等差数列．(3)同(2)得a n = (-1)n-1·2，而 n n a a 1 =-1(常数)．所以{a n }为等比数列． [答案] (1)2(典型例题)在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________答案：② 指导：①中的逆命题是：若四点任何三点都不共线，则这四点不共面．用正方体AC 1做模型来观察：上底面A 1B 1C 1D 1中任何三点都不共线，但A 1、B 1、C 1、D 1四点共面，所以①中逆命题不真．②中逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点，所以②中逆命题是真命题．3(典型例题)已知函数y=f(x)(定义域为D ，值城为A)有反函数y=f -1(x)，则f(x)=0有根为a 且f(x)>x(x ∈D)的充要条件是y=f -1(x)满足________答案： f -1(0)=a ，且f -1(x)<x(x ∈A)，或y=f -1(x)图象在直线y=x 的下方，且与y 轴的交点为(0，a)指导：因为y=f(x)有反函数，则y=f(x)必为单调函数，由方程y=f(x)=0有解x=a ，则y=f(a)=0．又y=f(x)>x ，说明在定义域D 内，函数y=f(x)的图象在直线y=x 的上方．而y=f(x)的反函数y=f -1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x 对称．因此，从代数角度回答有y=f -l (0)=a ，且y=f -1(x)<x(x ∈A)；从几何角度回答有y=f -1(x)图象在直线y=x 的下方，且与y 轴的交点为(0，a)．4(典型例题)α,β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线．给出四个论断：①m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论 断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________答案：指导：以m 上n 作为结论，其余S 个论断作为前提条件，检查命题是否正确：因为ββα⊥⊥n ,所以n//α或n ⊂α.当n ⊂α时,α⊥m 得n m ⊥当n//α时，过作一平面与平面a 相交于直线n’,则由前证知，根据线面平行性质这时n//n’故得n m ⊥..,,n m m n ⊥⇒⊥⊥⊥αββα5(典型例题)命题p ：若a 、b ∈R 则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件．命题q 函数y=2|1|--x 的 定义域是(-∞，-1]∪[3，+∞)．则A ．“P 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．“p 真q 假”D ．“p 假q 真”答案： D 指导：∵|a+b|≤|a|+|b|,∴|a|+|b|>1是|a+b|>1的必要而不充分条件，即p 假；由|x-1|-2≥0，得x ≤-1，或x ≥3，即q 真．∴选D ．Ⅱ 题点经典类型题1(2005·合肥)给出命题：p ：3≥3，命题q ：函数f(x)=⎩⎨⎧-11x ≥0 x<0在R 上是连续函数，则在下列三个复合命题：“p 且q ”“p 或q ”“非p ”中，真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3命题目的与解题技巧：本题主要考查连续函数的概念及复合函数真值表．解决本题的关键是准确连续函数的定义及基本知识．要判断三个复合命题的真假，必须先判断P 与叮的真假，再结合复合函数的真值表进行判断．[解析] 要判断三个复合命题的真假，先必须判断p 与q 的真假，再结合复合命题的真假表作出判断，p:3≥3为真命题，而 q:f(x) 在R 上是连续函数是假命题，则这p 或q 为真，P 且q 为假，p 为假命题．[答案] B2(2005·南开中学)今有命题p 、q ，若命题m 为“p 且q ，则“p 或，q ”是“m ”的A.充分不必要条件 D ．必要而不充分条件C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案： C 指导：∵“p 且q ”的否定为“┐p 或┐q ∴“┐p 或┐q ”是“┐m ”的充要条件．3(典型例题)定义在R 上且不恒为0的函数f(x)，满足f(x)满足f(x+23)+f(x)=0，且函数f(x-43)为奇函数， 给出下列命题：①函数f(x)的最小正周期是23；②函数y =f(x)的图象关于点(-43，0)对称；③函数y=f(x)的图象关于y 轴对称．其中真命题的个数是A ．3B ．2C ．1D ．0答案： B 指导：∵).()23()2323().()23(x f x f x x f x f =+-=++∴-=+ ∴最小正周期为3；∵y=f )43(-x 为奇函数． ∴函数y=f 对称中心为原点，∴函数y=f(x)以点)0,43(-为对称中心．∵y=f(x 43-)为奇函数． )23()(43).43()43(--=-=---=--∴x f x f y x x f x f 代入得以① 又由)23()23()()23()()23(--=+-==+-==+-x f x f x f x f x f x f比较①②得f(-x)=f(x). ∴y=f(x)为偶数.∴命题②、③正确，①错误 ∴选B ．4(典型例题)已知原命题：“若m>0，则关于x 的方程x 2+x-m=0有实根”，下面结论中正确的是A.原命题和逆否命题都是真命题B ．原命题和逆否命题都是假命题C.原命题是真命题，逆否命题是假命题D ．原命题是假命题，逆否命题是假命题答案： A 指导：对于方程x 2+x-m=0的△=4m+1， 当m>0时△>0，∴方程有实根，即原命题是真命题，而逆否命题与原命题是等价命题，故选A.Ⅲ 新高考命题探究1已知命题p=不等式|x|+|x-1|>m 的解集为R ，命题q=函数f(x)=-(5-2m)x 是减函数，若p 或q 为真命题、p 且q 为假命题，则实数m 的取值是______．答案：[1，2] 指导：不等式|x|+|x-1|>m 的解集为R ，则m<1，函数f(x)=-(5-2m)x 是减函数，则m<2，又由p 或q 为真命题、p 且q 为假命题，则实数m 的取值1≤m ≤2．2已知函数f(x)=x 2+(a+1)x+1g|a+2|(a ∈R ，且a ≠-2)．(1)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)和h(x)的解析式；(2)命题P ；函数f(x)在区间[(a+1)2，+∞]上是增函数；命题Q ；函数g(x)是减函数，如果命题p 、0有且仅有一个是真命题，求a 的取值范围；(3)在(2)的条件下，比较f(2)与3-lg2的大小．答案：(1)∵y=f(x)=g(x)+h(x)，g(-x)=-g(x)，h(-x)=h(x)，∴f(-x)=-g(x)+h(x)．⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+-+++-=+∴|2|lg )1()()(|,2|lg )1()()(22a x a x x h x g a x a x x h x g解得g(x)=(a+1)x ，h(x)=x 2+lg|a+2|．(2)∵函数y=f(x)=|2|lg 4)1()2)1()21(222+++-+-++a a a a x 在区间[(a+2)2，+∞]上是增函数，∴(a+1)2≥21+-a , 解得a ≥-1或a ≤23-且a ≠-2．又由函数g(x)=(a+1)x 是减函数，得a+<0，∴a<-1且a ≠-2．命题Q 为真的条件是：a<-l ，∴命题P 为真的条件是：a ≥-1或a ≤23- 且a ≠-2． 又∵命题P 、Q 有且仅有一个是真命题，∴a>23- (3)由题意得f(2)=2a+lg|a+2|+6．又∵a>23- ∴f(2)=2a+lg|a+2|+2|+6． 设函数v(a)=2a+18(a+2)+6，∴v'(a)=2+010ln 11>+a∴函数v(a)在区间[23-,+∞]上为增函数．又∵v(23-)=3-lg2，∴当a>23-时，v(a)>(23-)，即f(2)>3-lg2. 命题点2 充要条件本类考题解答锦囊解答“充要条件”类试题主要掌握以下几点：1．判断充要条件要从两方面考虑：一是：解这类问题必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是再看是由条件推出吉论，还是由结论推出条件，应用充分不必要、必要不充分、充要条件的定义加以征明．2．判断充分条件，必要条件，充要条件，既不充分也不必要条件，最根本的方法是根据定义，运用“⇒”号：若p ⇒q 且p ⇐q ，则p 是q 的充分不必要条件；若p ⇒q 且p ⇐q ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇔ q ，则p 是q 的充要条件；Ⅰ 高考最新热门题1(典型例题)设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0和a 2x 2+b 2x+c 2>0的解集分别出心裁为集合M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的A.充分非必要条件 B ．必要非充分条件C.充要条件 D ．既非充分又非必要条件命题目的与解题技巧：本题主要考察二次不等式的基本知识和充要条件的判定．二次不等式是高考中的热点问题，解决本题的关键是熟练掌握二次不等式的解法及二次不等式恒成立的问题，熟悉充要条件的判定和方法规律．[解析] 如果212121c c b b a a ==>0 则“M=N ”，如果212121c c b b a a ==<0，则“M ≠N ”．∴R反之若M=N=φ，既说明二次不等式的解集为空集，与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，“M=N ”“ 212121c c b b a a == ” ．因此，既非充分又非必要条件．[答案] B2(典型例题)已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N ，点P n (n ，a n )都在直线y=2x+1上”是“{a n }为等差数列”的A.必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案： B 指导：由P ：“对任意的n ∈N*，点P n (n,a n )都在直线y=2x+1上”，即P ：“a n =2n+l ，n ∈N*”，故a n+1-a n =2，∴{a n }是以a 1=3为首项，d=2为公差的等差数列．q:{a n }为等差数列．故p ⇒q ，而qp,∴选B3(典型例题)函数f(x)=x 2-2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是A ．a ∈(-∞，1)B ．a ∈[2，+∞]C ．a ∈[1，2]D ．a ∈(-∞，1)∪[2，+∞]答案： D 指导：∵f(x)=x 2-2ax-3的对称轴为x=a,∴y=f(x)在[1，2]上存在反函数的充要条件为[1,2] (-∞,a)或[1，2] [a ，+∞]，既a ≥2或a ≤1．4(典型例题)“cos2α=Z k k ∈+=-,12523ππα是 的A.必要非充分条件 B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件答案： A 指导：∵óZ k k Z k k ∈±=∴∈±=∴-=,2522.,6522,232cos ππαππααⅡ 题点经典类型题1(典型例题)指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件、”“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p:A>B ，q:BC>AC ；(2)对于实数x ，y ，p:x+y ≠8，q:x ≠2或y ≠6；(3)在△ABC 中，p:sinA>sinB ，q:tanA>tanB ；(4)已知x ，y ∈ R ，p ；(x-1)2+(y-2)2=0，q ；(x-1)(y 一2)=0．命题目的与解题技巧：本题主要考查条件的判定，关键是分清条件和结论，条件→ 结论的充分性，结论→条件的必要性．[解析] (1)在△ABC 中，显然有A>B ⇔BC>AC ，∴p 是q 的充要条件．(2)∵逆否命题：x=2且y=6 x+y=8，∴p 是q 的充分不必要条件．(3)取A=120°，B=30°，p ⇒q ，又取A=30°，B=120°，q ⇒ p ，∴p 是q 的既不充分又不必要条件．(4)∵p={(1，2)}，q={(x ，y)，|x=1或y=2}，pq,∴p 是q 的充分不必要条件．[答案] 略2(典型例题)一元二次方程ax 2+2x+1=0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是答案： C 指导：方程ax 2+2x+1=0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件为x 1x 2=a 1<0 ∴它的一个充分不必要条件为C 选项．3(2005·河南)给出两个命题：p ：|x|=x 的充要条件是x 为正实数；q ：存在反函数的函数一定是单调函数．则下列复合命题中真命题是A.p 且q B ．p 或q C ．p 且q D ．p 或q答案： D 指导：|x|＝x 得x ≥0．∴p 为假命题，q 也为假命题，如：xy1=存在反函数，但不单调．∴选D ．4(2005·西城)已知命题p ：函数y=log(ax+2a)(a>0且a ≠1)的图象必过定点(-1，1)；命题q ：如果函数y=f(x-3)的图象关于原点对称，那么函数y=f(x)的图象关于(3，0)点对称．则A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假 D.P 假q 真答案： C 指导：显然p为真命题，由命题q，得y=f(x)的图象关于(-3，0)点对称．∴选C5(典型例题)设x，y∈R，求证：，|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥O．答案：充分性是证：xy≥0|x+y|=|x|+|y|；必要性是证：|x+y||x|+|y| xy ≥0．先证充分性：如果xy=0，那么①x=0，y≠0；②y=0，x≠0；③x=0，y=0．于是|x+y|=|x|+|y|如果xy>0，即x>0，y>0，或x<0，y<0。