人教版第二册数学复习题五
人教版五年级下册数学复习题(总复习)
图形的变换一、判断：1、直角梯形是轴对称图形。
（）2、平行四边形有两条对称轴。
（）3、长方形和正方形都有4条对称轴。
（）4、数学书的封面是一个轴对称图形。
（）5、三角形是轴对称图形。
（）6、圆有无数条对称轴。
（）7、汽车方向盘的运动不是旋转现象。
（）8、等腰梯形只有一条对称轴。
（）9、两个图形能够完全重合，这两个图形就是轴对称图形。
（）二、填空：1、在轴对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴的距离（）。
2、等腰三角形有（）条对称轴，等边三角形有（）条对称轴。
圆有（）条对称轴，椭圆有（）条对称轴，半圆有（）条对称轴，长方形有（）条对称轴，正方形有（）条对称轴，菱形有（）条对称轴，等腰梯形有（）条对称轴，正五边形有（）条对称轴，正六边形有（）条对称轴。
3、旋转不改变图形的（）和（），只改变图形的（）。
三、下面大写字母那些是轴对称图形，在括号里打“√”。
A（）B（）F（）K（）M（）W（）S（）O（）E（）N（）四、画出下列图形的所有对称轴。
90度的图形；图3：画出绕点o逆时针旋转90度的图形；图4：画出向下平移3格的图形；图6：画出绕点o逆时针旋转90度、180度、270度的图形。
六、填一填：1、这些现象哪些是“平移”现象，哪些是“旋转”现象：（1）张叔叔在笔直的公路上开车，汽车的运动是（）现象，方向盘的运动是（）现象。
（2）升国旗时，国旗的升降运动是（）现象。
（3）妈妈用拖布擦地，是（）现象。
（4）自行车的车轮转了一圈又一圈是（）现象。
（5）索道上运行的观光缆车。
（）。
（6）推开窗户。
（）（7）钟面上的分针。
（）（8）飞机的螺旋桨。
（）（9）工作中的电风扇。
（）（10）拉动抽屉。
（）2、（1）图形1绕A点（）旋转90。
到图形2。
（2）图形2绕A点（）旋转90。
到图形3。
（3）图形4绕A点顺时针旋转（）到图形2。
（4）图形3绕A点顺时针旋转（）到图形1。
3、看右图填空。
（1）指针从“12”绕点A顺时针旋转600到“2”；（2）指针从“12”绕点A顺时针旋转（0）到“3”；（3）指针从“1”绕点A顺时针旋转（0）到“6”；（4）指针从“3”绕点A顺时针旋转300到“（）”；（5）指针从“5”绕点A顺时针旋转600到“（）”；（6）指针从“7”绕点A顺时针旋转（0）到“12”。
高中人教B版数学必修第二册精练：第五章 统计与概率 5.1 5.1.1 第3课时
A级：“四基”巩固训练一、选择题1．将A，B，C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，若抽取的样本容量为21，则A，B，C三种性质的个体分别抽取()A．12,6,3 B．12,3,6C．3,6,12 D．3,12,6答案 C解析由分层抽样的概念，知A，B，C三种性质的个体应分别抽取21×1 7＝3,21×27＝6,21×47＝12.2．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件，那么此样本的容量n等于()A．60 B．70C．80 D．90答案 C解析由题意知，总体中A种型号产品所占的比例是22＋3＋5＝15，因样本中A种型号产品有16件，则15·n＝16，解得n＝80.故选C.3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是() A．4 B．5C ．6D ．7答案 C解析 分层抽样中，分层抽取时都按相同的抽样比来抽取，本题中抽样比为2040＋10＋30＋20＝15，因此植物油类食品应抽取10×15＝2(种)，果蔬类食品应抽取20×15＝4(种)，因此从植物油类和果蔬类食品中抽取的种数之和为2＋4＝6.4．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( )A ．90 C ．180 D ．300答案 C解析 设样本中的老年教师人数为x ，则3201600＝x900，解得x ＝180.5．某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3600件产品，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且满足a ＋c ＝2b ，则二车间在12月份生产的产品数为( )A ．800B ．1000C ．1200D ．1500 答案 C解析 因为2b ＝a ＋c ，所以二车间抽取的产品数占抽取产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为3600×13＝1200.二、填空题6．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．答案 1800解析 设乙设备生产的产品总数为x 件，则甲设备生产的产品总数为(4800－x )件．由题意，得5080＝4800－x4800，解得x ＝1800.7．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，则这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________．答案 6,30,10解析 设三种型号的轿车依次抽取x 辆，y 辆，z 辆，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1200＝y 6000＝z 2000，x ＋y ＋z ＝46，解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝30，z ＝10.故填6,30,10.8．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．答案 20解析 由题意知，分层抽样时，由于40岁以下年龄段占总数的50%，故容量为40的样本中在40岁以下年龄段中应抽取40×50%＝20(人)．三、解答题9．某网站欲调查网民对当前网页的满意程度，在登录的所有网民中收回有效贴子共50000份，其中持各种态度的份数如下表所示：为了了解网民的具体想法和意见，以便决定如何更改才能使网页更完美，打算从中抽选500份，为使样本更具有代表性，每类中各应抽选出多少份？解因为50050000＝1100，所以10800100＝108，12400100＝124，15600100＝156，11200100＝112.故应从持四种态度的帖子中分别抽取108份，124份，156份，112份进行调查．10．某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3000名初中生、4000名高中生中作问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估．(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？(2)要从3000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？解(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样．因为样本容量为120，总体个数为500＋3000＋4000＝7500，则抽样比为1207500＝2125，所以有500×2125＝8,3000×2125＝48,4000×2125＝64，所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.分层抽样的步骤是：①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层；②确定每层抽取个体的个数：在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64；③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本；④综合每层抽样，组成样本．这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论．(2)由于简单随机抽样常用的有两种方法：抽签法和随机数表法．如果用抽签法，要作3000个号签，费时费力，因此采用随机数表法抽取样本，步骤是：①编号：将3000份答卷都编上号码：0001,0002,0003， (3000)②在随机数表上随机选取一个起始位置；③规定读数方向：向右连续取数字，以4个数为一组，如果读取的4位数大于3000，则去掉，如果遇到相同号码则只取一个，这样一直到取满48个号码为止．B级：“四能”提升训练1．某企业五月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，请你根据以上信息补全表格中的数据．解根据题意，可设A产品的数量为m件，样本容量为n，则C产品的数量为(1700－m)件，样本容量为n－10.根据分层抽样的特征可得nm＝n－101700－m＝1301300，解得m＝900，n＝90，所以1700－900＝800,90－10＝80.补全表格如下：2．某地区中小学生人数的分布情况如下表所示(单位：人)．请根据上述数据，设计一个样本容量为总体容量千分之一的抽样方案．解第一步，确定城市、县镇、农村应抽取的个体数．城市、县镇、农村的学生数分别为：357000＋226200＋112000＝695200，221600＋134200＋43300＝399100，258100＋11290＋6300＝275690.因为样本容量与总体容量的比为1∶1000，所以样本中包含的各部分个体数分别为695200×11000≈695,399100×11000≈399,275690×11000≈276.第二步，将城市应抽取的个体数按比例分配到小学、初中、高中．因为城市小学、初中、高中的人数比为357000∶226200∶112000＝1785∶1131∶560,1785＋1131＋560＝3476，所以城市小学、初中、高中被抽取的人数分别为695×17853476≈357,695×11313476≈226,695×5603476≈112.第三步，将县镇应抽取的个体数按比例分配到小学、初中、高中．因为县镇小学、初中、高中的人数比为221600∶134200∶43300＝2216∶1342∶433,2216＋1342＋433＝3991，所以县镇小学、初中、高中被抽取的人数分别为399×22163991≈222,399×13423991≈134,399×4333991≈43.第四步，使用同样的方法将农村应抽取的个体数按比例分配到小学、初中、高中．经计算，农村小学、初中、高中被抽取的人数分别为259,11,6.第五步，在各层中应抽取的个体数目如下表所示：按照上表中数目在各层中用合适的方法抽取个体，将抽取的个体合在一起形成所需的一个样本．由Ruize收集整理。
人教版五年级数学下册期末复习专项-解决问题检测试题(51)
人教版五年级数学下册期末复习专项-解决问题检测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________1．一根方钢，横截面是边长3厘米的正方形，长5米，每立方分米钢重7.8千克，这根方钢重多少千克？2．明德小学五年级师生共有96人,准备去海洋馆参观,客运公司准备了以下几种客车。
只租一种客车的话,你认为租哪种客车比较好?为什么?3．傍晚开电灯时，顽皮一口气按了9下开关，你知道现在灯是亮了还是没有亮？第100下呢？4．在九个连续的自然数中，至多有多少个质数？5．一个长方形的周长是40 cm，它的长和宽的厘米数是由一个质数与一个合数组成的，它的面积最大可能是多少？最小可能是多少？6．接五一国际劳动节，工人叔叔要在工人俱乐部的四周装上彩灯（地面的四边不装）。
已知工人俱乐部长90m、宽55m、高22m，工人叔叔至少需要多长的彩灯线？7．做一个长方体的玻璃箱，长8分米，宽4分米，高6分米，至少需要多少平方分米的玻璃？如果每平方分米玻璃4元钱，至少需要多少钱买玻璃？8．一个房间的长6米，宽3.5米，高3米，门窗面积是8平方米。
现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷涂料，粉刷涂料的面积是多少平方米？如果每2平方米需要涂料1千克，一共要涂料多少千克？9．有一个长方体容器（如图），里面的水深7dm。
把一块形状不规则的矿石放入该容器，矿石全部浸没后，从容器里溢出4L水。
这块矿石的体积是多少？10．一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高都是以厘米为单位的质数，这个长方体的体积和表面积各是多少？11．欢欢用同样的小正方体摆了一个几何体，从上面看到的图形是，并且每个位置所用的小正方体的个数是。
（1）欢欢摆的这个几何体，一共用了几个小正方体？（2）请你画出欢欢从正面和左面看到的图形。
12．一块大太阳能板是由6块同样的小太阳能板拼成的,每块小太阳能板长12 dm,宽3 dm,高2.5 dm,在它的四周和上面涂上一层吸热材料。
人教版高中数学必修第二册6.3.4-6.3.5 同步精练(含解析)
人教版高中数学必修第二册6.3.4-6.3.5平面向量数乘运算的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示同步精练【考点梳理】考点一平面向量数乘运算的坐标表示已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.考点二平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.，则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线.注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.考点三：平面向量数量积的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.若表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则a ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|a |＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.技巧：向量夹角问题的方法及注意事项(1)求解方法：由cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22直接求出cos θ.(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝a ·b|a ||b |判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.【题型归纳】题型一：由坐标判断坐标是否共线问题1．（2021·全国·高一课时练习）若a =(6，6)，b =(5，7)，c =(2，4)，则下列结论成立的是（）A ．a c -r r与b 共线B ．b c +r r与a 共线C ．a 与b c -r r共线D ．a b +与c 共线2．（2021·全国·高一课时练习）已知()1,0A -，()3,0B ，()0,1C ，下列点D 的坐标中不能使点A 、B 、C 、D 构成四边形的是（）A ．()2,1D -B ．()4,1D C ．()4,1D -D ．()1,2D 3．（2021·江苏淮安·高一阶段练习）若向量a =(1，2)，b =(2，3)，则与a +b 共线的向量可以是（）A ．(2，1)B ．(6，10)C ．(－1，2)D ．(－6，10)题型二：由向量平行（共线）求参数4．（2021·全国·高一课时练习）设1e ，2e 是两个不共线的向量，若向量12m e ke =-+()k ∈R 与向量212n e e =-共线，则（）A ．0k =B ．1k =C ．2k =D ．12k =5．（2021·全国·高一课时练习）设向量()1,2a →=-，(),1b m →=，如果向量2a b →→+与2a b →→-平行，那么a b →→⋅的值为（）A ．72-B ．12-C ．32D ．526．（2021·云南·昆明八中高一阶段练习）已知()()111(00)a m b n m n =--=>>，，，，，，且//a b ，则12m n+的最小值是（）A ．3B ．322+C ．4D ．422+题型三：由坐标解决三点共线问题7．（2021·上海·高一课时练习）已知()3,1A -、(),1B x -、()2,3C 三点共线，则x 的值为（）A ．-7B ．-8C ．-9D ．-108．（2021·江苏·泰兴市第三高级中学高一阶段练习）已知()1,cos AB α=-，()2,0BC =uu u r，()2,2sin CD α=，若A ，B ，D 三点共线，则tan α=（）A ．2-B ．12-C ．12D ．29．（2021·全国·高一课时练习）已知向量(),12OA k =uu r ，()4,5OB =uu u r ，(),10OC k =-uuu r，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是（）A ．23-B ．43C ．12D ．13题型四：由坐标解决线段平行和长度问题10．（2021·辽宁丹东·高一期末）已知向量()cos ,sin a θθ=，()2,1b =-，若//a b ，则πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．3-B ．13-C ．13D ．311．（2021·江苏·星海实验中学高一期中）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若向量(),3m a b=u r与()cos ,sin n A B =r平行，则A =（）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π312．（2018·广东·仲元中学高一期中）已知(1,3)a =-，下列向量中，与a 反向的单位向量是（）A ．(122)3-，B ．13(,)22-C ．13(,)22--D ．13(,)22题型五：数量积和模的向量坐标运算13．（2021·全国·高一课时练习）已知向量()2,a m =，()2,4b =，若a b ⊥则a b -=（）A ．5B ．5C ．25D ．4514．（2021·全国·高一课时练习）已知向量()=1,2a ，()=3,1b ，则向量2a b +与2a b -的夹角的余弦值为（）A ．55B ．1313C ．26565D ．262615．（2021·吉林·延边二中高一期中）在ABC 中，AB AC AB AC +=-， 4, 2AB AC =＝，, E F 为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅＝()A ．109B ．4C ．409D ．569题型六：向量垂直的坐标表示问题16．（2021·全国·高一课时练习）设向量()3,1a =，(),3b x =-，()1,3c =-．若b c ⊥，则a b -与c 的夹角为（）A ．0°B ．30°C ．60°D ．90°17．（2021·重庆第二外国语学校高一阶段练习）已知,x y R ∈，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-，且,//a c b c ⊥，则x y +=（）A ．2B ．0C ．4D ．4-18．（2021·安徽·合肥市第八中学高一期中）已知向量(,1)a x =，(,4)b x =-，其中x ∈R ，则“x =2”是“a b ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要题型七：向量垂直中的参数问题19．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学高一期末）已知向量(3,1)a =，(1,0)b =，c a kb =+.若a c ⊥，则k =（）A ．103-B ．53-C ．103D ．5320．（2021·江苏·南京市第一中学高一阶段练习）设,x y R ∈，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-，且a b ⊥，b ‖c ，则|a b +=（）A ．5B ．10C ．25D ．1021．（2021·全国·高一课时练习）“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD 中，△ABC 满足“勾3股4弦5”，且AB =3，E 为AD 上一点，BE ⊥AC .若BA =λBE +μAC ，则λ+μ的值为（）A ．925-B ．725C ．1625D ．1题型八：向量坐标中的夹角计算问题22．（2021·全国·高一课时练习）已知a ，b 是单位向量，且1,12a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则向量a 与b 夹角的余弦值为（）A ．38-B ．34-C ．544-D ．3223．（2021·全国·高一课时练习）已知()3,1a =-，()1,2b =，则下列结论中正确的个数为（）①与b 同向共线的单位向量是525,55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭②a 与b 的夹角余弦值为25③向量a 在向量b 上的投影向量为12,55⎛⎫⎪⎝⎭④15a b b⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个24．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）在ABC 中，2AB AC ==，23BC =，动点P 位于直线BC 上，当AP PB ⋅取得最小值时，向量AP 与PB 夹角的余弦值为（）A ．377B ．377-C ．217D ．217-【双基达标】一、单选题25．（2021·福建省宁化第一中学）在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，23AC =，102BM CB →→→+=，DC DN λ→→=，若29AM AN →→⋅=，则λ=（）A ．18B ．17C ．16D ．1526．（2022·全国·）已知平面向量,,a b c 满足24b a a b ==⋅=，()()3c a c b -⋅+=-，则c a -的最小值为（）A ．21-B ．712-C ．52-D ．72-27．（2021·全国·）已知向量()2,1a =，()3,4b =，(),2c k =，若()2//a b c -，则实数k 的值为（）A ．-8B ．-6C ．-1D ．628．（2022·全国·）如图，在平面四边形ABCD 中，1202AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=︒==,,,.若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为（）A ．78B ．2C ．218D ．21429．（2021·福建省福州格致中学）骑自行车是一种既环保又健康的运动，如图是某自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为3，ABE △、BEC △、ECD 均是边长为4的等边三角形.设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC AP ⋅的最大值为（）A ．48B ．36C ．72D ．60【高分突破】一：单选题30．（2021·北京石景山·）如图所示，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，则OB OC ⋅的最大值是（）A ．2B ．12+C ．3D ．431．（2021·宁夏·青铜峡市高级中学（理））若点A (-2，-3)､B (0，y )､C (2，5)共线，则y 的值等于()A ．-4B ．-1C ．1D ．432．（2022·全国·）已知ABC 是边长为3的等边三角形，点D 在边BC 上，且满足||2||BD CD =，点P 在ABC 边上及其内部运动，则AD AP ⋅的最大值为（）A ．6B ．132C ．152D ．29433．（2021·全国·（文））在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，点P 在CD 上，3DP PC =，点Q 在BP 上，14AQ AB ⋅=，则AP AQ ⋅=（）A ．6B ．8C ．10D ．1234．（2021·北京市第二十二中学）已知向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a ，b 的夹角为（）A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°35．（2021·河北邢台·）已知向量(2,1),(1,)a b t =-=，则下列说法不正确的是（）A ．若//a b r r ，则t 的值为12-B ．若||||a b a b +=-，则t 的值为2C ．||a b +的最小值为1D ．若a 与b 的夹角为钝角，则t 的取值范围是2t <36．（2021·重庆市江津中学校）若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则122a e e =+与1232b e e =-+的夹角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒37．（2021·河南·）已知向量()1,3a =，()2,4b =-，则下列结论正确的是（）A ．()//a b a+B ．25a b +=C ．向量a ，b 的夹角为34πD ．b 在a 方向上的投影是1038．（2021·广西桂林·（理））已知a 、b 、c 为ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，向量(3,1)m =-，(tan ,1)n A =，若m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A 、B 的大小分别为（）A ．6π，3πB ．23π，6πC ．3π，6πD ．3π，3π39．（2021·河北巨鹿中学）已知向量()3,9a =，()1,b k =，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是（）A ．1(,)3-+∞B ．1(,3)3-C ．1(,)3-∞-D ．1(,3)(3,)3-+∞40．（2021·黑龙江大庆·（理））已知向量()1,3a =，(),1b m =r，下列说法正确的是（）A ．[)0,m ∀∈+∞，a 与b 的夹角不小于3πB ．[)0,m ∀∈+∞，237a b ->C ．(),0m ∃∈-∞，使得()//a b b+D ．(),0m ∃∈-∞，使得()a b b-⊥二、多选题41．（2021·浙江·杭州市富阳区场口中学）已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，P 为平面ABCD 内一点，则()()PA PB PC PD +⋅+（）A ．最小值为4-B ．最大值为4-C ．无最小值D ．无最大值42．（2021·吉林·梅河口市第五中学）若向量(3,3)a =，(,3)b n =，下列结论正确的是（）A ．若,a b 同向，则1n =B ．与a 垂直的单位向量一定是3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．若b 在a 上的投影向量为3e （e 是与向量a 同向的单位向量），则3n =D ．若a 与b 所成角为锐角，则n 的取值范围是3n >-43．（2021·湖北·）已知()3,1a =-，()1,2b =-r，则下列说法正确的有（）A ．a 在b 方向上的投影为5B ．与a 同向的单位向量是31010,1010⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．π,4a b =D ．a 与b 平行44．（2021·广东·仲元中学）已知向量()2,1a =r，()3,1b =-，则（）A ．a 与a b -的夹角余弦值为255B ．()//a b a+C ．向量a 在向量b 上的投影向量的模为102D ．若525,55c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则a c ⊥45．（2021·全国全国·）已知向量()3,2a =-，()2,1b =r，(),1c λ=-，R λ∈，则（）A ．若()2a b c +⊥，则4λ=B ．若a tb c =+，则6t λ+=-C ．a b μ+的最小值为755D ．若向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角，则λ的取值范围是(),1-∞-三、填空题46．（2021·四川·绵阳中学（理））已知1m =，向量n 满足n m n m -=⋅，当向量m ，n 夹角最大时，n =r _________．47．（2021·全国·）设向量,a b 的夹角为θ，且(5,5),2(1,1)a b a =-=-，则cos θ=___________.48．（2021·河北保定·）已知向量(),1a λ=，()3,5b =-，且a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是___________.49．（2021·全国·）已知()11,6OP =--，()23,0OP =，点P 在21P P 延长线上，且11213PP PP =，则OP 的坐标为______．四、解答题50．（2020·广东·东莞五中）已知半圆圆心为O ，直径4AB =，C 为半圆弧上靠近点A 的三等分点，若P 为半径OC 上的动点，以O 点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示.（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）若3144PA CA CB =-，求PA 与CB 夹角的大小；（3）试确定点P 的位置，使PA PO ⋅取得最小值，并求此最小值.51．（2021·北京景山学校远洋分校）已知向量(1,2)a =，向量(3,2)b =-．（Ⅰ）求a r和b ；（Ⅱ）求()()2a b a b +⋅-；（Ⅲ）当k 为何值时，向量a kb +与向量3a b -平行？并说明它们是同向还是反向．52．（2021·安徽·蚌埠二中）已知ABC 中，()2,5A -，()1,1B ，21877OC OA OB =+.（1）求cos ABC ∠；（2）求ABC 的面积.53．（2021·江苏·金陵中学）设向量(3cos ,sin ),(sin ,3cos ),(cos ,3sin )a b c ααββββ===-．（1）若a 与b c -垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c -的最小值．【答案详解】1．C解：()4,2a c -=，因为4752180⨯-⨯=≠，所以a c -r r与b 不共线；()7,11b c +=，因为76611240⨯-⨯=-≠，所以b c +r r与a 不共线；()3,3b c -=，因为36630⨯-⨯=，所以a 与b c -r r共线；()11,13a b +=，因为114213180⨯-⨯=≠，所以a b +与c 不共线.故选：C .2．D 【详解】因为()1,0A -，()3,0B ，()0,1C ，显然三点不共线，如图在坐标系中可得选项ABC 能构成四边形，当()1,2D 时，()()1,1,2,22AC AD AC ===，即此时A 、C 、D 共线，不能使点A 、B 、C 、D 构成四边形.故选：D 3．B 【详解】由已知(3,5)a b +=，只有(6,10)2(3,5)=，即只有(6,10)与a b +平行．故选：B ．4．D 【详解】因为1e ，2e 是两个不共线的向量，且向量12m e ke =-+()k ∈R 与向量212n e e =-共线，所以λ=m n ，即()12212e ke e e λ-+=-，所以12k λλ-=-⎧⎨=⎩，解得12k =，故选：D 5．D 【详解】解：()()212,4,22,3a b m a b m →→→→+=-+-=--，所以1(12)34(2)0,2m m m -+⨯---=∴=-.所以151()222a b →→⋅=-⨯-+=.故选：D 6．B 【详解】根据向量平行的坐标表示，//a b 时，1111m nm n -=∴+=-()121223322n mm n m n m n m n⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当2n mm n=，即21,22m n =-=-时取等号，所以选项B 正确.故选：B.7．B 【详解】解：因为()3,1A -、(),1B x -、()2,3C 所以()5,2AC =，()2,4CB x =--，因为()3,1A -、(),1B x -、()2,3C 三点共线，所以//AC CB ，即()2245x -=-⨯，解得8x =-故选：B 8．A 【详解】由题意得(4,2sin )BD BC CD α=+=，()1,cos AB α=-，又A ，B ，D 三点共线，所以//AB BD ，即()4cos 2sin 10αα-⋅-=，即sin 2cos αα=-，所以tan 2α=-.故选：A.9．A 【详解】()4,7AB OB OA k =-=--，()2,2AC OC OA k =-=--.因为A ，B ，C 三点共线，所以,AB AC 共线，所以()()2472k k -⨯-=-⨯-，解得23k =-.故选：A 10．C 【详解】因为//a b →→，所以cos 2sin θθ-=，易知cos 0θ≠，所以1tan 2θ=-，所以πtan 11tan 41tan 3θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭.故选：C.11．B解：因为向量(),3m a b =u r 与()cos ,sin n A B =r平行，所以sin 3cos a B b A =，由正弦定理得，sin sin 3sin cos A B B A =，因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，所以sin 3cos A A =，因为cos 0A ≠，所以tan 3A =，因为(0,)A π∈，所以A =π3，故选：B 12．B因为与a 反向，所以舍去A,C,D 因为13(,)22-的模为1，故选：B.13．B 【详解】由向量()2,a m =，()2,4b =，a b ⊥∴2240m ⨯+⨯=，所以1m =-，∴()2,1a =-，∴(0,5)a b =--，即5a b -=.故选：B 14．D 【详解】()=1,2a ，()=3,1b 2(7,4),2(1,3)a b a b ∴+=-=-，()()()22=71435a b a b ∴+⋅-⨯-+⨯=2222274=652(1)3=10a b a b ∴+=+-=-+，∴cos 2,2a b a b +-()()2222a b a b a b a b⋅=+-+-＝5526266510526==⨯．故选：D ．15．C 【详解】ABC 中，|AB AC +|＝|AB AC -|，∴2AB +2AB ⋅22AC AC AB +=-2AB ⋅2AC AC +，∴AB ⋅AC =0，∴AB ⊥AC ，建立如图所示的平面直角坐标系，由E ，F 为BC 边的三等分点，则A （0，0），B （0，4），C （2，0），E （23，83），F （43，43），∴AE =（23，83），AF =（43，43），∴A E 2433AF ⋅=⨯+3398440⨯=．故选：C 16．D 【分析】根据题意，b c ⊥求出x 的值，即可得b 的坐标，进而可得a b -的坐标，即可求解．【详解】根据题意，设a b -与c 的夹角为θ，(),3b x =-，()1,3c =-，b c ⊥，则b c ⋅=330x +=，解得33x =-，则()33,3b =--，()43,4a b -=，则()()()43,41,343430a b c -⋅=⋅-=-=，所以()a b c -⊥，故90θ=︒，故选：D ．17．B 【分析】根据,//a c b c ⊥，利用向量坐标运算求解.【详解】因为向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-，且,//a c b c ⊥，所以向量240,240x y -=+=，解得2,2-==y x ，所以0x y +=，故选：B 18．A 【分析】根据(,1)a x =，(,4)b x =-，由a b ⊥，求得x ，再利用充分、必要条件的定义判断.【详解】已知(,1)a x =，(,4)b x =-，若a b ⊥，则240x -+=，解得2x =-或2x =，所以“x =2”是“a b ⊥”的充分不必要条件，故选：A 19．A 【分析】依题意首先求出c 的坐标，再根据a c ⊥，得到0a c ⋅=，即可得到方程，解得即可；【详解】解：因为(3,1)a =，(1,0)b =，c a kb =+，所以()()()3,11,03,1c a kb k k =+=+=+，因为a c ⊥，所以()33110a c k ⋅=++⨯=，解得103k =-，故选：A 20．B 【分析】先由a b ⊥，b ‖c ，列方程求出,x y ，从而可求出a b +的坐标，进而可求出a b +【详解】解：因为a b ⊥，b ‖c ，所以0x y +=，1(4)2y ⨯-=⨯，则2,2-==y x ，所以(2,1),(1,2)a b ==-，则22||3(1)10a b +=+-=，故选：B ．21．B 【分析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设(,3)BE a =，由0AC BE ⋅=可得94a =，再由BA BE AC λμ=+，利用坐标表示建立方程组求解即可.【详解】解：由题意建立如图所示直角坐标系因为AB =3，BC =4，则B (0，0)，A (0，3)，C (4，0)，(0,3)BA =，(4,3)AC =-，设(,3)BE a =，因为BE ⊥AC ，所以490AC BE a ⋅=-=，解得94a =.由BA BE AC λμ=+，得9(0,3)(,3)(4,3)4λμ=+-，所以940,4333,λμλμ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩解得16,259,25λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以725λμ+=，故选：B .【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示，属于基础题.22．A 【分析】根据平面向量夹角坐标公式求解即可．【详解】由题意可知，2221521211cos ,1124a b a a b b a b ⎛⎫+=+⋅+=+⨯⨯⋅+=+= ⎪⎝⎭，则解得3cos ,8a b =-故选：A 23．C 【分析】根据单位向量、向量夹角的余弦值、投影以及向量垂直的定义逐个验证即可.【详解】解：525,55bb ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故①正确；12cos ,10105a b a b a b⋅===⋅⋅，故②错误；向量a 在向量b 上的投影向量为252512cos ,10,,105555b a b b a ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯⨯= ⎪ ⎪⋅ ⎪⎝⎭⎝⎭，故③正确；11231120555a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅=-⨯+--⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故④正确；故选:C.24．D 【分析】以BC 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设(,0),[3,3]P a a ∈-，结合向量的坐标运算得出当32a =-时，AP PB ⋅取得最小值，再由数量积运算得出向量AP 与PB 夹角的余弦值.【详解】以BC 的中点为坐标原点建立如下图所示的平面直角坐标系(0,1),(3,,0)(3,0)A B C =-，设(,0),[3,3]P a a ∈-(,1),(3,0)AP a PB a =-=+2233324AP PB a a a ⎛⎫∴⋅=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭，当32a =-时，AP PB ⋅取得最小值为34-此时237122AP ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，23322PB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭3214cos ,77322AP PB AP PB AP PB-⋅∴===-⋅⨯故选：D25．D 【分析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设(,)N x y ,得到M 是BC 的中点，根据已知求出31(,1),N λλ-再根据29AM AN →→⋅=即得解.【详解】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设(,)N x y ，因为23,120,1,AC ABC BO =∠=∴=因为102BM CB →→→+=，所以12BM BC →→=,即M 是BC 的中点，所以31(3,0),(,),(0,1),(3,0),22A M D C --所以31(3,),(3,1)(,1)22AM DC DN x y λλ→→→====+，由题知0λ≠.故3151(,1),429,.5N AM AN λλλλ→→-∴⋅=+=∴=故选：D 26．D 【分析】根据已知条件可得4b =，2a =，π,3a b =，设()2,0OA a ==，()2,23OB b ==，(),OC x y c ==uuu r r，可得点(),C x y 的轨迹为圆，由圆的性质即可求解.【详解】因为24b a a b ==⋅=，所以4b =，2a =，41cos ,242a b a b a b⋅===⨯⋅，因为0,πa b ≤≤，所以π,3a b =，设()2,0OA a ==，()2,23OB b ==，(),OC x y c ==uuu r r，()2,c a x y -=-，()2,23c b x y +=++，所以()()()()()22233c a c b x x y y -⋅+=-+++=-，即()2234x y ++=，所以点(),C x y 在以()0,3M -为圆心，半径2r =的圆上，()222c a x y -=-+表示圆()2234x y ++=上的点(),x y 与定点()2,0A 的距离，所以c a -的最小值为()()220230272MA r -=-+---=-，故选：D.27．C 【分析】先求出2(1,2)a b -=-，再解方程12(2)0k ⨯--⨯=即得解.【详解】由题得2(4,2)(3,4)(1,2)a b -=-=-，因为()2//a b c -，所以12(2)0,1k k ⨯--⨯=∴=-.故选：C 28．D 【分析】以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，求出各点坐标，设(0,)E m ，用数量积的坐标表示求出数量积，结合二次函数性质得最小值．【详解】如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图，过点B 做BN x ⊥轴，过点B 做BM y ⊥轴，∵1202AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=︒==，，，，∴cos 601sin 603AN AB BN AB =︒==︒=，∴213DN =+=，∴3BM =，∵tan 303CM MB =︒=，∴23DC DM MC =+=，∴()()()2,083,30,23A C ，，，设()0,E m ，∴()()2,,3,3AE m BE m =-=--.023m ≤≤；∴222333216362444AE BE m m m m ⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当32m =时.取得最小值为214.故选：D ．29．D 【分析】以点A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点()83cos ,3sin P θθ+，利用平面向量数量积的坐标运算以及辅助角公式可求得AC AP ⋅的最大值.【详解】以点A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如下图所示：因为ABE △、BEC △、ECD 均是边长为4的等边三角形，则()0,0A 、()2,23B 、()6,23C 、()8,0D ，设点()83cos ,3sin P θθ+，则()6,23AC =，()83cos ,3sin AP θθ=+，所以，[]·4863cos 6sin 12sin 4836,603AC AP πθθθ⎛⎫=++=++∈ ⎪⎝⎭.故选：D.30．A 【分析】令OAD θ∠=，由边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴上，可得出B ，C 的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．【详解】解：令OAD θ∠=，由于1AD =，故cos OA θ=，sin OD θ=，BA ∠2x πθ=-，1AB =，故cos cos cos sin 2B x πθθθθ⎛⎫=+-=+⎪⎝⎭，sin cos 2B y πθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故(cos sin ,cos )OB θθθ=+，同理可求得(sin ,cos sin )C θθθ+，即(sin ,cos sin )OC θθθ=+，∴(cos sin OB OC θθ=+,cos )(sin θθ⋅,cos sin )1sin 2θθθ+=+，1sin 2OB OC θ⋅=+的最大值是2，故选：A ．31．C 【分析】首先根据已知条件，首先求出AB →，AC →的坐标表示，然后利用三点共线的向量表示即可求解.【详解】由题意可知，(2,3)AB y →=+，(4,8)AC →=，因为A (-2，-3)､B (0，y )､C (2，5)共线，故AB AC λ→→=，即(2,3)(4,8)y λλ+=，解得，12λ=，1y =.故选：C.32．C 【分析】建立适当的坐标系，然后用向量数量积公式得AD AP ⋅，最后用线性规划的知识求得最大值.【详解】如图，以A 为坐标原点，AB 所在的方向为x 轴正方向，建立直角坐标系，所以，(0,0)A ，(3,0)B ，333(,)22C ，()2,3D ，设(,)P x y ，则()2,3AD =，(,)=AP x y uu u r，所以23AD AP x y ⋅=+，由直线AD ：3y x =，直线BC ：333y x =-+，因为点P 在ABC 边上及其内部运动，由线性规划可得，当点P 与C 重合时，AD AP ⋅取值最大为152.33．D 【分析】画出图形，建立坐标系，求出P 的坐标，然后求解Q 的坐标，然后求解向量的数量积即可.【详解】建立如下图的坐标系，在矩形ABCD 中，AB =4，3AD =，又点P 在CD 上，3DP PC =，由已知得(3,3),(4,0),P B ()00A ，，点Q 在BP 上，过点Q 作⊥QE AB 于点E ，又14AQ AB ⋅=，所以14AE AB ⋅=，即14AE AB ⋅=，所以72AE =，12EB =，3QBA π∠=，所以32QE =，所以7322Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，所以73331222AP AQ ⋅=⨯+⨯=.故选：D.34．A 【分析】设小正方形边长为1，则()3,1a =r，()1,2b =，由夹角公式可求得结果.【详解】设小正方形边长为1，由平面向量的坐标表示可得()3,1a =r，()1,2b =，设两向量夹角为θ，则31122cos 2105a b a bθ⋅⨯+⨯===⨯⋅，又[]0,θπ∈，所以45θ=.故选：A.35．D 【分析】根据向量平行、模、夹角等知识确定说法不正确的选项.【详解】A 选项，若//a b r r ，则12112t t -⨯=⨯⇒=-，A 选项说法正确.B 选项，若||||a b a b +=-，两边平方并化简得0a b ⋅=，即202t t -+=⇒=，B 选项说法正确.C 选项，()()2||1,111a b t t +=-+=++，当1t =-时，有最小值为1，C 选项说法正确.D 选项，若a 与b 的夹角为钝角，则20201121122t t a b t t t -+<<⎧⎧⎧⋅<⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨≠-≠--⨯≠⨯⎩⎪⎪⎩⎩，D 选项说法不正确.故选：D 36．C 【分析】不妨设()11,0e =u r ，213,22e ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则53,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()2,3b =-，进而由夹角公式可求得结果.【详解】不妨设()11,0e =u r ，213,22e ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则12532,22a e e ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，()12322,3b e e =-+=-，所以()537,2,3222a b ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭，2253722a ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()22237b =-+=，设,a b 的夹角为θ，则712cos 277a b a bθ-⋅===-⨯⋅，又[]0,θπ∈，所以120θ=.故选：C.37．C 【分析】利用向量数量积、模、夹角、投影等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对选项A ，()3,1+=-a b ，因为()()3,11,3330-⋅=-=，所以()a b a +⊥r r r，故A 错误；对选项B ，()25,5a b +=-，所以()2225552a b +=+-=，故B 错误；对选项C ，2c 212210os ,20a b a b a b⋅-=⨯⋅==-，所以向量a ，b 的夹角为34π，故C 正确；对选项D ，b 在a 方向上的投影是2251s 0o ,2c b a b ⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：C 38．A 【分析】根据m n ⊥可得6A π=，再化简cos cos sin a B b A c C +=可得2C π=，进而得出B 即可【详解】由m n ⊥可得0m n ⋅=，即3tan 10A -=，即3tan 3A =，又A 为ABC 的内角，所以角6A π=，因为cos cos sin a B b A c C +=，由正弦定理得()2sin cos sin cos sin sin sin sin A B B A C C A B C +=⇒+=，又()sin sin 0A B C +=≠，故sin 1C =，2C π=所以3B AC ππ=-=-故选：A 【点睛】（1）平面向量m n ⊥可得0m n ⋅=；（2）关于解三角形的化简，常用正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换与内角和、诱导公式化简39．D 【分析】由已知得>0a b ⋅且a 与b 不平行，根据向量的坐标运算可得选项.【详解】因为a 与b 的夹角为锐角，所以>0a b ⋅且a 与b 不平行，即31+9>0k ⨯⨯且39k ≠，解得1>3k -且3k ≠，所以实数k 的取值范围是1(,3)(3,)3-+∞，故选：D.40．D 【分析】根据向量坐标运算的知识，对选项逐一分析即可.【详解】因为向量()1,3a =，(),1b m =r，对于A 选项，23cos 21a b m a bm θ⋅+==+，若a 与b 的夹角小于3π，则1cos 12θ<≤，即2131221m m +<≤+，解得33m >-，[)30,,3⎛⎫+∞⊆-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B 选项，因为()2323,3a b m -=-，所以2233437a b m m -=-+设23437y m m =-+其对称轴为233x =，因为[)0,m ∀∈+∞，所以230,3m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，23437y m m =-+单调递减，当23,3m ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎪⎣⎭时，23437y m m =-+单调递增，所以当233x =时，2min 23233437333y ⎛⎫=⨯-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以233a b -≥，故B 错误；对于C 选项，()()1,31a b m +=++，因为()//a b b +，所以130m m m +--=，解得303m =>，所以C 错误；对于D 选项，()()1,31a b m -=--，因为()a b b -⊥，所以2310m m -++-=，()()2141314330∆=-⨯-⨯-=->，1210m m +=>，12130m m =-<，所以12,m m 异号，故(),0m ∃∈-∞，使得()a b b -⊥，因此D 正确.故选：D 41．AD 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设(,)P x y ，用坐标表示出数量积()()PA PB PC PD +⋅+，通过函数分析出其最值情况．【详解】建立如图所示的直角坐标系则()0,0A ，()2,0B ，()2,2C ，()0,2D .设(),P x y ，则(),PA x y =--，()2,PB x y =--，()2,2PC x y =--，(),2PD x y =--，所以()()()()()()2222,222,4222224PA PB PC PD x y x y x y +⋅+=--⋅--=-+--，所以当1x =，1y =时，()()PA PB PC PD +⋅+取得最小值4-，无最大值.故选：AD ．【点睛】本题考查平面向量数量积，求平面向量数量积的最值，一种方法直接用数量积的定义表示出数量积求解，一种方法是建立平面直角坐标系，把数量积用坐标表示，然后用函数的知识求解．42．AC 【分析】A ．先根据,a b 共线确定出n 的可取值，然后根据,a b 同向确定出n 的值；B ．分析3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的相反向量与a 的位置关系并进行判断；C ．根据3a b a⋅=求解出n 的值；D ．根据0a b ⋅>且,a b 不同向即可求解出n 的取值范围.【详解】A ．设a kb =，所以333kn k ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以3,1k n ==，即3a b =，所以1n =满足，故正确；B ．因为313+3022⎛⎫⋅⋅-= ⎪⎝⎭，所以3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭也是与a 垂直的单位向量，故错误；C ．因为b 在a 上的投影向量为3e ，所以3a b a⋅=，所以()22333333n +=+，所以3n =，故正确；D ．因为a 与b 所成角为锐角，所以0a b ⋅>且,a b 不同向，所以33301n n ⎧+>⎪⎨≠⎪⎩，所以()()3,11,n ∈-+∞，故错误；故选：AC.【点睛】思路点睛：已知向量的夹角为锐角或者钝角，求解参数范围的步骤：（1）根据两个向量的夹角为锐角或钝角，得到0a b ⋅>或0a b ⋅<，求解出n 的范围；（2）特殊分析：当两个向量共线时，计算出参数的取值；（3）排除两个向量共线时参数的取值，确定出参数的取值范围.43．ABC 【分析】根据投影的计算公式可判断A ；根据单位向量和数乘向量的概念可判断B ；根据向量夹角公式可判断C ；根据向量平行的坐标表示可判断D.【详解】对于A ：因为()3,1a =-，()1,2b =-r ，所以()22125b =+-=r，()()31125a b ⋅=⨯+-⨯-=，所以a 在b 方向上的投影为555a b b⋅==，故选项A 正确；对于B ：()223110a =+-=，所以与a 同向的单位向量是31,1010-⎛⎫ ⎪⎝⎭，即31010,1010⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故选项B 正确；对于C ：由52cos 2510a b a b a b⋅⋅===⋅，因为[0,π]a b ⋅∈，所以π,4a b =故选项C 正确；对于D ：因为()()3211⨯-≠-⨯，所以a 与b 不平行，故选项D 错误，故选：ABC.44．ACD 【分析】对于A ：由已知得()50a b -=，，根据向量夹角的计算公式计算可判断；对于B ：由已知得()+a b a ⊥，由此可判断；对于C ：由已知得向量a 在向量b 上的投影，从而可判断；对于D ：由5252+1055a c ⎛⎫⋅=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，可判断.【详解】解：对于A ：因为向量()2,1a =r，()3,1b =-，所以()50a b -=，，所以a 与a b -的夹角余弦值为2225+10255215⨯⨯=+⨯，故A 正确；对于B ：因为()+12a b =-，，所以()+12+120a b a ⋅=-⨯⨯=，所以()+a b a ⊥，故B 不正确；对于C ：向量a 在向量b 上的投影为()()2223+1151021031a b b ⨯-⨯-===--+⋅，所以向量a 在向量b 上的投影向量的模为102，故C 正确；对于D ：因为525,55c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以5252+1055a c ⎛⎫⋅=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以a c ⊥，故D 正确，故选：ACD.45．ABC 【分析】对于A ，根据两向量垂直时其数量积为0可求得λ的值；对于B ，根据向量相等建立方程组可求得λ、t 的值，即可得t λ+的值；对于C ，由模的计算公式求出a b μ+，然后利用二次函数的性质求解即可；对于D ，由两向量的夹角为锐角时其数量积大于0且两向量不共线即可求出λ的范围．【详解】对于A ，因为()21,4a b +=，(),1c λ=-，()2a b c +⊥，所以()()21410a b c λ+⋅=⨯+⨯-=，解得4λ=，所以A 正确；对于B ，由a tb c =+，得()()()()3,22,1,12,1t t t λλ-=+-=+-，则3221t t λ-=+⎧⎨=-⎩，解得93t λ=-⎧⎨=⎩，故6t λ+=-，所以B 正确；对于C ，因为()()()3,22,123,2a b μμμμ+=-+=-+，所以()()22224492325813555a b μμμμμμ⎛⎫+=-++=-+=-+ ⎪⎝⎭，则当45μ=时，a b μ+取得最小值为755，所以C 正确；对于D ，因为()1,3a b +=-，()24,1b c λ+=+，因为向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角，所以()()()214310a b b c λ+⋅+=-⨯++⨯>，解得1λ<-；由题意知向量a b +与向量2b c +不共线，()11340λ-⨯-⨯+≠，解得133λ≠-．所以λ的取值范围是1313,,133⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 不正确．综上可知，选ABC ．故选：ABC.46．2【分析】设m =（1，0），n =（x ，y ），把已知等式用坐标表示得出,x y 的关系，从而把n r用x 表示，再求出两向量夹角的余弦值，由换元法和函数的性质得出最小值即得向量夹角的最大值，由此可得n r.【详解】设m =（1，0），n =（x ，y ），∵n m n m -=⋅，∴()221x y x -+=，化简后可得221y x =-，12x ≥，∴()22212n x y x =+=+-，∴2222221cos 2121211xx x m n x x x y x x x x<>====+-++-+-,设t =1x，即0<t ≤2，则()2211cos 1212m n t t t <>==+---+，，当t =1，即x =1时，cos m n <>，取得最小值，即向量m ，n 夹角最大，∴2222n =-=．故答案为：247．52626【分析】先求解向量的数量积，再运用数量积的定义是计算夹角即可.【详解】()()5,5211a b a =-=-，，，()()()()21,15,51,14,6b a ∴=+-=+-=.即(2,3)b =.52,13a b ∴==，且(5,5)(2,3)25a b ⋅=⋅=.从而有，25526cos 26||||5213a b a b θ⋅===⨯.故答案为：52626.48．5{|3λλ<，且3}5λ≠-.【分析】考虑0a b ⋅>和a ，b 同向两种情况可得结果.【详解】由350a b λ⋅=-+>得53λ<，又当35λ=-时，a ，b 同向，故λ的取值范围是53λλ⎧<⎨⎩，且35λ⎫≠-⎬⎭.故答案为：53λλ⎧<⎨⎩，且35λ⎫≠-⎬⎭.49．7,83⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】由向量的减法法则及向量的坐标运算即得.【详解】∵点P 在21P P 延长线上，且11213PP PP =，∴11213PP PP =，∴()12113OP OP OP OP -=-即124133OP OP OP =-，又()11,6OP =--，()23,0OP =，∴()()4171,63,0,8333OP ⎛⎫=---=-- ⎪⎝⎭.故答案为：7,83⎛⎫-- ⎪⎝⎭.50．（1）()2,0A -，()2,0B ，()1,3C -；（2）23π；（3）P 的坐标为13,44⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，14-.【分析】（1）根据题意可得出A 、B 的坐标，根据2OC =，23BOC π∠=可得出C 点的坐标.（2）利用向量坐标运算求出PA 与CB ，再利用夹角公式cos PA CB PA CB α⋅=uu r uu r uu r uu r 即可得出结论.（3）设()01OP tOC t =≤≤uu u r uuu r ，得出PO ，PA ，由向量的数量积运算将PA PO ⋅转化为关于t 的二次函数，由二次函数的性质即可求得PA PO ⋅的最小值【详解】解:（1）因为半圆的直径4AB =，由题易知：()2,0A -、()2,0B 又2OC =，23BOC π∠=，易得：()1,3C -.（2）由（1）知，()1,3CA =--uu r ，()3,3CB =-uu r，所以3131(,3)4422PA CA CB =-=--uu r uu r uu r .设PA 与CB 夹角为α，则31cos 2323PA CB PA CB α⋅-===-⋅uu r uu r uu r uu r ，又因为[]0,απ∈，所以23πα=，即PA 与CB 的夹角为23π.（3）设()01OP tOC t =≤≤uu u r uuu r ，由（1）知，()()1,3,3OP t t t =-=-uu u r ，(),3PO t t =-uu u r ，()2,3PA t t =-+-uu r ，所以22211(2)3424()44PA PO t t t t t t ⋅=-++=-=--，又因为01t ≤≤，所以当14t =时，PA PO ⋅有最小值为14-，此时点P 的坐标为13,44⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭51．（Ⅰ）5a =r ，13b =；（Ⅱ）4-；（Ⅲ）3-，反向【分析】（Ⅰ）由模的坐标表示计算；（Ⅱ）由数量积的运算律计算；（Ⅲ）根据向量平行的坐标表示求解．【详解】（Ⅰ）22125a =+=r ，22(3)213b =-+=；（Ⅱ）22(2)()2251134a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=⨯--=-；（Ⅲ）由已知(13,22)a kb k k +=-+，3(10,4)a b -=-，向量a kb +与向量3a b -平行，则4(13)10(22)0k k ---+=，3k =-，反向52．(1)91050；(2)132.【分析】(1)由给定条件求出OC 坐标，进而求出,BA BC ，再利用数量积即可得解；(2)由(1)及结论求出sin ABC ∠即可作答.【详解】(1)在ABC 中，因()2,5A -，()1,1B ，即()2,5OA =-，()1,1OB =，则218(2,5)(1,1)(2,4)77OC =-+=，于是得(3,4),(1,3)BA BC =-=，22223143910cos 50||||(3)413BA BC ABC BA BC ⋅-⋅+⋅∠===⋅-+⋅+；(2)在ABC 中，由(1)知，21310sin 1cos 50ABC ABC ∠=-∠=，||5,||10BA BC ==，于是得ABC 的边BC 上的高13101310||sin 55010h BA ABC =∠=⋅=，所以ABC 的面积为11310131||2102102ABC BC h S ⋅=⋅==⋅.53．（1）tan()1αβ+=；（2）2.【分析】（1）根据向量垂直的条件结合和差公式即可求得；（2）先求出b c -的坐标，然后再计算2||b c -，最后根据三角函数求最值的方法求||b c -的最小值．【详解】解：（1）因为a 与b c -垂直，所以()0a b c ⋅-=，即0a b a c ⋅-⋅=，所以()()3cos sin cos sin 3cos cos sin sin 0αββααββα+--=，所以()()3sin 3cos 0βααβ+-+=，所以tan()1αβ+=；（2）因为()sin cos ,3cos 3sin b c ββββ-=-+()()()2222||sin cos 3cos 3sin b c b c ββββ-=-=-++1016sin cos 108sin 2βββ=+=+，所以当222k k Z πβπ=-+∈，，即4k k Z πβπ=-+∈，时2||b c -取最小值2，所以||b c -的最小值为2.。
新人教版五年级小学数学下册期末复习应用题(50题)
新人教版五年级小学数学下册期末复习应用题(50题)一、人教五年级下册数学应用题1．一个长10cm，宽10cm的长方体容器中有一些水，水深8.5cm。
小明将一块石头放入这个容器中，并完全浸没在水中，这时量得水深10cm。
这块石头的体积是多少立方厘米？2．一块长方体形状的大理石，体积为30立方米，底面是面积为6平方米的长方形，这块大理石的高是多少米？3．一个长方体水缸，长10分米，宽8分米，水深4.5分米，放入一块石头，这时水面上升到6分米，这块石头的体积是多少？4．青少年每天的睡眠时间不能少于全天时间的。
（1）它是把________看作“1”。
（2）画出线段图表示这个分数的意义。
（3）青少年每天睡眠的时间不能少于________小时。
5．把下面的平面图折成一个长方体。
（1）如果C面在底面，那么________面在上面。
（2）这个长方体的表面积是多少平方厘米？6．在一个长60cm，宽40cm的玻璃缸中放入一块石块，石块浸没于水中，这时水深20cm，取出石块后水深17cm，石块的体积是多少？7．有一堆苹果，如果按每6个一份或每8个一份进行分，结果都多1个，这堆苹果最少有多少个？8．某校五年级一共有四个班，每班的学生在31人至39人之间。
（1）在一次捐书活动中，五（1）班捐助的书占总数的，五（2）班捐的书占总数的，五（3）班捐的书占总数的。
五（4）班捐助的书占总数的几分之几？（2）在一次学农活动中，把五年级四个班所有的学生平均分成8个组，或者平均分成12个组，都恰好分完没有剩余。
五年级四个班一共有多少名学生？9．一种盒装纸巾长20cm，宽10cm，高12cm。
想要把2盒纸巾包装在一起，最少需要多少平方厘米包装纸？10．如图，从长方体上挖去棱长为2cm的小正方体，求这个立体图形的表面积。
11．新华书店新到了三百本多本书打算分发给各个学校，每18本捆成一捆少1本；每24本捆成一捆也少1本。
这批书共有多少本？12．35名学生分成甲、乙两队。
人教A版高中数学必修第二册强化练习题-专题强化练5-复数四则运算的综合应用(含答案)
人教A版高中数学必修第二册专题强化练5 复数四则运算的综合应用1.(2024山东菏泽月考)已知i为虚数单位,复数z满足|z+2i|=|z|,则z的虚部为( )A.-1B.1C.iD.-i2.(2024福建福州期中)已知复数z满足|z|=2,则|z+3+4i|的最小值是( )A.3B.4C.5D.68.(2024河北张家口期中)已知在复数范围内,关于x的一元二次方程x2-2x+k=0(k∈R)有两个虚数根z1和z2,若|z1-z2|=2,且z1的虚部为正数.(1)求实数k的值;(2)求z1z2+的值.答案与分层梯度式解析专题强化练5 复数四则运算的综合应用1.B2.A3.ACD4.BCD5.BC1.B 设z=a+bi(a,b ∈R),则z =a-bi,因为|z+2i|=|z|,所以|a+(b+2)i|=|a+bi|,可得a 2+(b+2)2=a 2+b 2,解得b=-1,所以复数z 的虚部为-b=1.故选B.2.A |z|=2表示复数z 在复平面内对应的点的集合是以原点O 为圆心,2为半径的圆,|z+3+4i|=|z-(-3-4i)|表示圆上的点到点(-3,-4)(记为A)的距离,易得|OA|=32+42=5>2,所以|z+3+4i|的最小值是|OA|-2=3.故选A.3.ACD ∵-2<b<2,∴Δ=b 2-4<0,∴方程x 2+bx+1=0的根为x=-b ±4−b 2i2,不妨设z 1=-b2+4−b 22i,z 2=-b 2-4−b 22i,则z 1=z 2,A正确;|z 1|=|z 2正确;易得z 1z 2=1,∴z 1z 2=z 21z1z 2=z 21=b 2-22-b 4−b22i,当b≠0时,z 1z 2∉R,B 错误;当b=1时,z 1=-12+32i,z 2=-12-32i,计算得z 21=-12-32i=z 2,z 22=z 1,∴z 31=z 1z 2=1,z 32=z 1z 2=1,D 正确.故选ACD.4.BCD 设z 1=a+bi,z 2=c+di,a,b,c,d ∈R,则z 21=(a+bi)2=a 2-b 2+2abi,|z 1|2=a 2+b 2,当b≠0时,z 21≠|z 1|2,A 不正确;因为z 1·z 2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,所以z 1·z 2=(ac-bd)-(ad+bc)i,又z 1·z 2=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i,所以z 1·z 2=z 1·z 2,B 正确;|z 1z 2|=|(a+bi)(c+di)|=|(ac-bd)+(ad+bc)i|=(ac -bd )2+(ad +bc )2=a 2c 2+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2,|z 1|·|z 2|=a 2+b 2·c 2+d 2=(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2,所以|z 1z 2|=|z 1|·|z 2|,C 正确;z 1z 1=a +b i a -b i =(a +b i)2(a -b i)(a +b i)=a 2-b 2+2abi a 2+b 2,z 21|z 1|2=(a +b i)2a 2+b 2=a 2-b 2+2abi a 2+b 2,所以z 1z 1=z 21|z 1|2,D正确.故选BCD.规律总结 关于复数有以下几个常用结论,在小题中可以直接使用,提高解题速度.(1)z1·z2=z1·z2=z1z2(z2≠0);(3)|z1z2|=|z1||z2|;(4)zz=z2|z|2(z≠0).5.BC 设z=a+bi(a,b∈R),由z2+z+1=0得(a+bi)2+(a+bi)+1=0,即(a2-b2+a+1)+(2ab+b)i=0,所以a2-b2+a+1=0,2ab+b=0,解得a=−12,b=32或a=−12,b=−32, z=-1+3i z=-1-3i,6.7.z1因为∠AOB∈[0,π],所以∠AOB=π4.8.解析 (1)设z1=a+bi(a,b∈R,b>0),则z2=a-bi,故z1+z2=2a=2,所以a=1,因为|z1-z2|=2,所以|2bi|=2,即4b2=4,解得b=1或b=-1(舍去).故z1=1+i,z2=1-i,所以k=z1z2=2.(2)因为z1z2=1+i1−i=i,i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,n∈N,所以z1z2+=i+i2+i3+…+i2 025=(i-1-i+1)×506+i=i.。
人教版高中数学必修第二册6.4.1-6.4.2 同步精练(含解析)
人教版高中数学必修第二册6.4.1-6.4.2平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例同步精练【考点梳理】考点一向量方法解决平面几何问题的步骤用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.(3)把运算结果“翻译”成几何关系.考点二向量方法解决物理问题的步骤用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.技巧：(1)用向量法求长度的策略①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解.②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解.②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.【题型归纳】题型一：用向量证明线段垂直问题1．（2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一阶段练习）在△ABC中，若||||+=-，则△ABCAB AC AB AC的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形2．（2021·四川省内江市第六中学高一期中）已知非零向量AB 与AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，且2AB AB CB =⋅，则ABC 为（）A ．等腰非直角三角形B ．直角非等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形题型二：用向量解决夹角问题3．（2021·广东·佛山市南海区里水高级中学（待删除学校不要竞拍）高一阶段练习）在OAB 中，2OA OB ==，23AB =，动点P 位于直线OA 上，当PA PB →→⋅取得最小值时，PBA ∠的正弦值为（）A ．377B ．277C ．2114D ．2134．（2019·四川·绵阳中学高一阶段练习）直角三角形OAB 中，2AOB π∠=，3OA =，2OB =，M 为OB 的中点，2AN ON =-，且P 为AM 与BN 的交点，则cos MPN ∠=（）A ．13B ．13-C ．22-D ．22题型三：用向量解决线段的长度问题5．（2021·江西·九江一中高一期中）在ABC 中，2AB AC ==，点M 满足20BM CM +=，若23BC AM ⋅=，则BC的值为（）A ．1B ．32C ．2D ．36．（2021·重庆南开中学高一期中）如图所示在四边形ABCD 中，ABD △是边长为4的等边三角形，213AC =，(2)CA tCB t CD =+-，(1)t >，则OD =（）A ．52B ．22C ．3D ．13题型四：向量与几何最值问题7．（2021·江西·九江一中高一期中）在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，4AB =，=23AD ，3CAB π∠=，点F 是线段AB 上的一点，M 为直线BC 上的动点，若2BC CE =，AF AB λ=，且=17AE DF －，则MF DM 的最大值为（）A ．14B ．6316－C ．1－D ．2316－8．（2021·河北邢台·高一阶段练习）在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB =，2AD =，若点P 为边BC 上的动点，则AP PD ⋅的最大值为（）A ．12B ．12-C ．54-D ．2-题型五：向量在物理中的应用9．（2021·山东潍坊·高一期中）在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G ，两个拉力分别为1F ，2F ，且12F F =，1F 与2F 夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（）A ．12G F F =+B ．当π2θ=时，122F G =C ．当θ角越大时，用力越省D ．当1F G =时，π3θ=10．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A 地出发，向河对岸航行．已知船的速度1v 的大小为18km/h v =，水流速度2v 的大小为22km/h v =，船的速度与水流速度的合速度为v ，那么当航程最短时，下列说法正确的是（）A ．船头方向与水流方向垂直B ．121cos ,4v v <>=-C ．217km/hv =D ．该船到达对岸所需时间为3分钟题型六：平面向量应用的综合问题11．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知正方形ABCD 中,E ,F 分别是CD ,AD 的中点,BE ,CF 交于点P .求证：（1）BE ⊥CF ;（2）AP =AB .12．（2021·江苏·高一课时练习）如图，在ABC ∆中，36,4,cos 4AB AC BAC ==∠=，5AD DB =，点M 在CD 的延长线上，点P 是边BC 上的一点，且存在非零实数λ，使()AB AC MP MA ABACλ=++.（Ⅰ）求AB 与BC 的数量积；（Ⅱ）求AP 与CD 的数量积.13．（2018·全国·高一单元测试）如图,M是矩形ABCD的边CD上的一点,AC与BM交于点N,BN=23 BM.(1)求证:M是CD的中点;(2)若AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求AH·HB的最小值.【双基达标】一、单选题14．（2021·全国·高一课前预习）在ABC中，0AB CB⋅<，则ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定15．（2021·全国·高一课时练习）物体受到一个水平向右的力1F及与它成60°角的另一个力2F的作用.已知1F的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则2F的大小为（）A．3N B．3N C．2N D．1N 216．（2021·全国·高一课时练习）平面上有三点A ，B ，C ，设m AB BC =+，n AB BC =-，若,m n 的长度恰好相等，则有（）A ．A ，B ，C 三点必在同一条直线上B ．ABC 必为等腰三角形，且∠B 为顶角C ．ABC 必为直角三角形，且∠B=90°D ．ABC 必为等腰直角三角形17．（2021·吉林·延边二中高一期中）在Rt ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 外一点，点P 满足1()2OP OA AB AC =++，则||AP 等于（）A ．2B ．1C ．12D ．418．（2021·江西·九江一中高一阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF 的边长为2，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM PN →→⋅的取值范围是（）A ．[]2,4B ．[]2,3C ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．（2021·全国·高一课时练习）用力F 推动一物体水平运动m s ，设F 与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为（）A ．||F s⋅B ．cos F θC ．sin F s θ⋅⋅D ．||cos F s θ⋅20．（2021·浙江省兰溪市第三中学高一阶段练习）扇形OAB 的半径为1，圆心角为23π，P 是AB 上的动点，则AP BP ⋅的最小值为（）A ．2-B ．0C ．12-D ．1221．（2021·湖南省邵东市第三中学高一期中）在ABC 中，0AB AC ⋅<，则ABC 一定是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形22．（2021·全国·高一期中）已知矩形ABCD 的一边AB 的长为4，点M ，N 分别在边BC ，DC 上，当M ，N 分别是边BC ，DC 的中点时，有()0AM AN BD +⋅=.若AM AN xAB y AD +=+，x +y ＝3，则线段MN 的最短长度为（）A ．3B ．2C ．23D ．22【高分突破】一：单选题23．（2021·福建·福州三中高一期中）已知O 是ABC 所在平面内的一点，若|2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 一定为（）A ．以BC 为底边的等腰三角形B ．AB 为底边的等腰三角形C ．以BC 为斜边的直角三角形D ．以AB 为斜边的直角三角形24．（2021·全国·高一课时练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中重要组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为500N ，则该学生的体重（单位：kg ）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g =102m/s ，3≈1.732）A ．81B ．87C ．89D ．9125．（2021·浙江省诸暨市第二高级中学高一期中）已知点N O P 、、满足0NA NB NC ++=，OA OB OC ==，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅uu u r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r，则点N O P 、、依次是ABC 的（）A ．重心､外心､垂心B ．重心､外心､内心C ．外心､重心､垂心D ．外心､重心､内心26．（2021·江苏通州·高一期中）如图所示，在ABC 中，O 为BC 中点，过O 点的直线分别交,AB AC 于不同的两点,E F ，设AB AE λ=，AC AF μ=，则λμ+的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．不确定27．（2021·山西太原·高一期中）已知||2||23,3a b a b ==⋅=-，若||1c a b --=，则||c 的取值范围是（）A ．(2,4)B ．[2,4]C ．[31,31]-+D ．[231,231]-+28．（2021·山西运城·高一期末）已知向量a ，b ，c 满足4a =，22b =，a 与b 的夹角为4π，()()0c a c b -⋅-=，则c r 的最大值为（）A ．22B ．102+C ．10D ．102-29．（2021·全国·高一课前预习）一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A 处出发到河对岸．已知船在静水中的速度1v 的大小为110m /s v =，水流速度2v 的大小为22m /s v =．设船行驶方向与水流方向的夹角为θ，若船的航程最短，则（）A ．3πθ=B ．2πθ=C ．223ππθ<<D ．23034ππ<<30．（2021·河南驻马店·高一期末（文））在菱形ABCD 中，2AB AB AD =⋅=，AM MD =，2DN DA DB =+，P 是菱形ABCD 内部及边界上一点，则PM PN ⋅的最大值是（）A ．134B ．132C ．13D ．23431．（2021·江苏泰州·高一期末）已知ABC 外接圆的圆心为O ，半径为1.设点O 到边BC ，CA ，AB 的距离分别为1d ，2d ，3d .若1OA OB OB OC OC OA →→→→→→⋅+⋅+⋅=-，则222123d d d ++=（）A ．34B ．1C ．32D ．3二、多选题32．（2021·山东邹城·高一期中）已知ABC 外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，OA AB =，则有（）A ．OC OA OB =-B ．OA AB OA AC⋅=⋅C ．点O 是ABC 的垂心D ．CA 在CB 方向上的投影向量的长度为333．（2021·重庆·西南大学附中高一阶段练习）已知a 、b 是平面上夹角为3π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()0a c b c -⋅-=，则下列结论中正确的有（）A ．1a b +=B ．1a b -=r rC ．3c <D ．a b +与c 的夹角是钝角34．（2021·浙江省兰溪市第三中学高一阶段练习）设10AB =，若平面上点P 满足对任意的R λ∈，恒有28AP AB λ-≥，则下列一定正确的是（）A ．4PA ≥B ．10PA PB +≥C ．9PA PB ⋅-≥D ．90APB ∠≥︒35．（2021·江苏常州·高一期末）如图，在等腰直角三角形ABC 中，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，E ，F 分别为AB ，AC 上的动点，设AE AB λ=，AF AC μ=，其中,(0,1)λμ∈，则下列说法正确的是（）A ．若BE AF =，则1λμ+=B ．若λμ=，则EF 与BC 不共线C ．若1λμ+=，记三角形AEF 的面积为S ，则S 的最大值为12D ．若221λμ+=，且M ，N 分别是EF ，BC 边的中点，则||MN 的最小值为21-36．（2021·广东广州·高一期末）ABC 中，2A π=，2AB AC ==，则下列结论中正确的是（）A ．若G 为ABC 的重心，则2233AG AB AC =+B ．若P 为BC 边上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+为定值4C ．若M 、N 为BC 边上的两个动点，且2MN =则AM AN ⋅的最小值为32D ．已知Q 是ABC 内部（含边界）一点，若1=AQ ，且AQ AB AC λμ=+，则λμ+的最大值是1三、填空题37．（2021·全国·高一课时练习）已知向量a ，b ，c 满足0a b ⋅=，1c =，13a c b c -=-=，则a b -r r的最大值是______________.38．（2021·全国·高一课时练习）已知O 为ABC 的外心，且12OA OB OC =+，则cos ∠=BOC ________.39．（2021·全国·高一课时练习）如图，墙上三角架的一端C 处悬挂一个重为10N 的物体，则边BC 上点B 处的受力情况是___________.40．（2021·全国·高一课时练习）已知()15,4f =，()21,2f =作用于同一质点，使其由原点移动到点()6,4A ，则合力fr 对质点所做的功为___________.41．（2021·四川·成都外国语学校高一阶段练习（文））设O 为ABC 内一点，且满足关系式2332OA OB OC AB BC CA →→→→→→++=++，则::BOCAOBCOASSS=__．四、解答题42．（2021·全国·高一课时练习）如图，重为4N 的匀质球，半径为6cm R =，放在墙与均匀的木板AB 之间，A 端固定在墙上，B 端用水平绳索BC 拉住，板长10cm l =，木板AB 与墙夹角为α，如果不计木板重，当α为60时，求绳的拉力大小.43．（2021·全国·高一课时练习）如图，正方形ABCD 的边长为a ，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，求证：DE ⊥AF .44．（2021·全国·高一课时练习）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度1km d =．一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度1v 的大小为110km/h v =，水流的速度2v 的大小为24km/h v =．设1v 和2v 的夹角为()0180θθ︒<<︒，北岸的点A '在A 的正北方向．（1）当120θ=°时，试判断游船航行到达北岸的位置是在A '的左侧还是右侧，并说明理由．（2）当cos θ多大时，游船能到达A '处？需要航行多长时间？（不必近似计算）（3）当120θ=°时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？45．（2021·广东·仲元中学高一期末）如图所示，AD 是ABC 的一条中线，点O 满足2AO OD =，过点O 的直线分别与射线AB ，射线AC 交于M ，N 两点.（1）求证：1133AO AB AC =+；（2）设AM mAB =，AN nAC =，0m >，0n >，求11m n +的值；（3）如果ABC 是边长为()0a a >的等边三角形，求22OM ON +的取值范围.【答案详解】1．B【分析】由已知平方可得0AB AC ⋅=，得出AB AC ⊥可判断.【详解】||||AB AC AB AC +=-，22||||AB AC AB AC +=∴-，则222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+，0AB AC ∴⋅=，AB AC ∴⊥，则△ABC 为直角三角形.故选：B.2．C【分析】由2AB AB CB =⋅推出0AB AC ⋅=，由0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭推出||||AB AC =，则可得答案.【详解】由2AB AB CB =⋅，得()0AB AB CB ⋅-=，得()0AB AB BC ⋅+=，得0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，因为0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，所以()0||||AB AC AC AB AB AC ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，所以22||||0||||||||AB AC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅⋅-+-=，所以||||0AB AC -+=，即||||AB AC =，所以ABC 为等腰直角三角形.故选：C3．C【分析】建立平面直角坐标系，写出坐标表示PA PB →→⋅，利用二次函数求出最小值时P 的坐标，最后利用向量的夹角公式求解即可.【详解】建立如图所示平面直角坐标系：则(3,0),(3,0),(0,1)A B O -,设(,)P x y ，因为动点P 位于直线OA 上，直线OA 的方程为：313y x =+，所以22(3,)(3,)3PA PB x y x y x y→→⋅=---⋅--=-+222234234393(1)2()333344x x x x x =-++=+-=+-，当34x =-时，PA PB →→⋅取得最小值94-，此时33(,)44P -，533(,),(23,0)44BP BA →→=-=-，所以155572cos 148427234BP BAPBA BP BA →→→→⋅∠====⋅⨯，又因为(0,)PBA π∠∈，所以21sin 14PBA ∠=，故选：C.4．C【解析】【分析】设OA a =，OB b =且AM 与BN 的夹角为θ，由此可表示出OM 和ON ；结合已知可求出AM 和BN ，由此可求出AM BN ⋅，接下来根据向量数量积的运算公式即可解答.【详解】设OA a =，OB b =，则0,|3,||2a b a b ⋅===，12OM b =，13ON a =，设AM 与BN 的夹角为θ，∵12AM OM OA b a =-=-，13BN ON OB a b =-=-，∴221111()()=52332AM BN b a a b a b ⋅=-⋅-=---，∴|10AM =，5BN =，∴522510cos θ-==-⋅，.∵0[]θπ∈，，∴34πθ=.∵MPN ∠即为向量AM 与BN 的夹角，∴34MPN π∠=，故2c s 2o MPN =-∠.故选：C.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的计算，掌握向量数量积的运算公式是关键，属于常考题.5．C【分析】取BC 中点O ，由已知可确定2BM MC =，利用向量的运算和长度关系将BC AM ⋅转化为216BC ，由此构造方程求得2BC =.【详解】取BC 中点O ，连接AO ，20BM CM +=，即2BM MC =，∴M 为BC 边上靠近C 的三等分点，()BC AM BC AO OM BC AO BC OM ⋅=⋅+=⋅+⋅，AB AC =，AO BC ∴⊥，0BC AO ∴⋅=，又16OM BC =，21263BC AM BC OM BC ∴⋅=⋅==，2BC ∴=.故选：C .6．C【分析】根据(2)CA tCB t CD =+-可得CO OA =，再利用余弦定理可求OD 的长度.【详解】取AC 的中点为M ，因为(2)CA tCB t CD =+-，故2CA CD tDB -=即22CM CD tDB -=，故2DM tDB =，所以,,D M B 三点共线，故M 与O 重合，所以13AO =，故21316+24cos 3OD OD π=-⨯⨯，解得1OD =或3OD =，因为1t >且2DO tDB =，故OD OB >，故3OD =，故选：C.7．D【分析】如图建立直角坐标系，设(,)E m n ，则由已知条件可求出点E 的坐标，再由AF AB λ=，求出λ的值，则可得点F 的坐标，BM xBC =，则可表示(24,2323)DM x x =-+-，(23,23)MF x x =--，从而可得2162612MF DM x x ⋅=-+-，进而利用二次函数的性质可求得答案【详解】如图，以A 为原点，,AB AD 所在的直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系，因为直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，4AB =，=23AD ，3CAB π∠=，所以2DC =，则(0,0)A ，(0,23)D ，(,0)F λ，(4,0)B ，(2,23)C ，所以(4,23)BD =-，(2,23)BC =-，设(,)E m n ，则(2,23)CE m n =--，因为2BC CE =，所以(2,23)2(2,23)m n -=--，解得1,33m n ==，所以(1,33)E ，则(1,33)AE =，(,23)DF λ=-，因为=17AE DF －，所以1817λ-=-，得1λ=，则(1,0)F ，设BM xBC =，则(24,2323)DM BM BD xBC BD x x =-=-=-+-，(23,23)MF BF BM BF xBC x x =-=-=--，所以2(24)(23)(2323)(23)162612MF DM x x x x x x ⋅=-+-+--=-+-，当1316x =时，MF DM 取得最大值2316－，故选：D8．C【分析】作图，以B 为原点，BA 、BC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系；由题意可得点A 、D 的坐标，设()0,P t (5303t ≤≤)，利用向量数量积的坐标表示得出232AP PD t t ⋅=-+-，结合二次函数的性质求出最大值即可.【详解】如图，以B 为原点，BA ，BC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系．作DE AB ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E ，F ，在ADE ∆中，因为2AD =，所以1AE =，3DE =．在CDF ∆中，因为2OF BE ==，C 60∠=︒，所以233CF =，533BC =，则()1,0A ，()2,3D ．设()0,P t ，5303t ≤≤，则()1,AP t =-，()2,3PD t =-，所以232AP PD t t ⋅=-+-，当32t =时，AP PD ⋅取得最大值，且max 5()4AP PD ⋅=-.故选：C9．B【分析】根据题意可得12G F F =+，则221122cos G F F θ=+⋅，再根据各个选项分析即可得出答案.【详解】解：根据题意可得：12G F F =+，则222221212121211222cos G F F F F F F F F F F θ=+=+=++⋅=+⋅，当0θ=时，1122G F F F ==+，故A 错误；当π2θ=时，221122cos 2G F F F θ=+⋅=，及122F G =，故B 正确；221122cos G F F θ=+⋅，因为cos y θ=在()0,π上递减，又因行李包所受的重力为G 不变，所以当θ角越大时，用力越大，故C 错误；当1F G =时，即2211122cos G F F F θ=+⋅=，解得1cos 2θ=-，又因()0,θπ∈，所以2π3θ=，故D 错误.故选：B.10．B【分析】分析可知12v v v =+，当船的航程最短时，2v v ⊥，利用平面向量数量积可判断ABC 选项的正误，利用路程除以速度可得航行时间，可判断D 选项的正误.【详解】由题意可知，12v v v =+，当船的航程最短时，2v v ⊥，而船头的方向与1v 同向，由()221221220v v v v v v v v ⋅=+⋅=⋅+=，可得21224v v v ⋅=-=-，1212121cos ,4v v v v v v ⋅<>==-⋅，A 选项错误，B 选项正确；()()22212121122242464215km /h v v v v v v v v v =+=+=+⋅+=-⨯+=，C 选项错误；该船到达对岸所需时间为0.4415605215⨯=（分钟），D 选项错误.故选：B.11．（1）见试题解析；（2）见试题解析【分析】(1)如图建立平面直角坐标系xOy ,其中A 为原点,不妨设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1)，再求出BE 和CF 的坐标，再计算得BE·CF =0即证BE ⊥CF.(2)设P(x,y),再根据已知求出P 68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，再求22268AP 55⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=4=2AB ，即证明AP=AB.【详解】如图建立平面直角坐标系xOy ,其中A 为原点,不妨设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)BE OE OB =-=(1,2)-(2,0)=(-1,2),CF OF OC =-=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),∵BE·CF =(-1)×(-2)+2×(-1)=0,∴BE CF ⊥,即BE⊥CF.(2)设P(x,y),则FP =(x,y-1),CF =(-2,-1).∵FP CF ,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.同理由BP BE ,得y=-2x+4,代入x=2y-2,解得x=65,∴y=85,即P 68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.∴22268AP 55⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=4=2AB ,∴|AP |=|AB |,即AP =AB.【点睛】（1）本题主要考查向量的坐标表示和坐标运算，考查向量垂直和平行的坐标表示，考查模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则121212120,||0a b x x y y a b x y x y ⊥⇒+=⇒-=.12．(Ⅰ)-18；(Ⅱ)635-.【详解】试题分析：(Ⅰ)在ABC ∆中由余弦定理得4BC =，从而得到三角形为等腰三角形，可得3cos 4B =，由数量积的定义可得18AB BC ⋅=-．(Ⅱ)根据所给的向量式可得点P 在BAC ∠的角平分线上，故可得4263CP AC PB AB ===，所以25CP CB =，因为5AD DB =，所以得到16AD AB =．设设,AB a AC b ==，则得到2355AP a b =+，16CD CA AD b a =+=-+，根据数量积的定义及运算率可得所求．试题解析：（Ⅰ）在ABC ∆中36,4,cos 4AB AC BAC ==∠=，由余弦定理得222364264164BC =+-⨯⨯⨯=，所以4BC =，所以ABC ∆是等腰三角形，且AC BC =，所以132cos 4AB B BC ==,所以36418.4AB BC ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭（Ⅱ）由AB AC MP MA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭,得AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，所以点P 在BAC ∠的角平分线上，又因为点P 是边BC 上的一点，所以由角平分线性质定理得4263CP AC PB AB ===，所以25CP CB =.因为5AD DB =，所以16AD AB =.设,AB a AC b ==，则6,4a b ==，364184a b ⋅=⨯⨯=．由25CP CB =，得()25AP b a b -=-，所以2355AP a b =+，又16CD CA AD b a =+=-+，所以22231133||55615105AP CD a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13363361816.151055=⨯-⨯-⨯=-点睛：解题时注意在三角形中常见的向量与几何特征的关系：（1）在ABC 中，若||||||OA OB OC ==或222OA OB OC ==，则点O 是ABC 的外心；（2）在ABC 中，若0GA GB GC ++=，则点G 是ABC 的重心；（3）在ABC 中，若1(),[0,)2OP OA AB BC λλ-=+∈+∞，则直线AP 一定过ABC 的重心；（4）在ABC 中，若HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅，则点H 是ABC 的垂心；（5）在ABC 中，若()(0)AB AC OP OA ABACλλ=++>，则直线AP 通过ABC 的内心.13．（1）见解析；（2）0【分析】(1)设CM =m CD,CN =n CA ,再根据向量的线性运算化简2BN BM 3==22BC mCD 33+,再求出BN BC CN =+=(1-n)BC +n CD ,解方程组211-,,3212.,33n m n m n ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩得所以CM =m 1CD CD 2=,即M是CD 的中点.（2）先利用向量的数量积和向量的线性运算求得AH·HB ==-221|BH|-22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭,再利用二次函数求出函数的最小值.【详解】(1)设CM =m CD,CN =n CA ,由题意知22BN BM (BC CM 33==+)=2(BC 3+m CD )=22BC mCD 33+,又BN BC CN BC =+=+n CA BC =+n(CB CD +)=(1-n)BC +n CD ,∴211-,,3212.,33n m n m n ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩解得∴CM =m 1CD CD 2=,即M 是CD 的中点.(2)∵AB=2,BC=1,M 是CD 的中点,∴MB=2,∠ABM=45°,∴AH·HB =(AB BH +)·HB =-(AB BH +)·BH =-AB·BH -|BH |2=-|AB ||BH |cos(180°-∠ABH)-|BH |2=|AB ||BH |cos 45°-|BH |2=2|BH |-|BH |2=-221|BH|-22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭,又0<|BH |≤2,∴当|BH |=2,即H 与M 重合时,AH·HB 取得最小值,且最小值为0.【点睛】(1)本题主要考查向量的线性运算和基底法，考查向量的数量积计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于平面内的不共线的向量12,e e ，则平面的任意一个向量a 总可以表示成12a e ue λ=+，其中12,e e 是基底.14．B 【分析】由||||cos 0AB CB AB CB B ⋅=⋅<，可得cos 0B <，分析即得解【详解】由题意，||||cos ,||||cos 0AB CB AB CB AB CB AB CB B ⋅=⋅<>=⋅<cos 0B ∴<，又(0,)B π∈B ∴为钝角则ABC 的形状是钝角三角形故选：B 15．C 【分析】如图所示，||||OB BC →→=，即得解.【详解】由题得60,30AOB AOC ∠=∠=,所以30BOC BCO ∠=∠=,所以OB BC =,所以||||OB BC →→=,所以2F 和1F 大小相等，都为2N .故选：C 16．C 【分析】根据,m n 的长度相等，由|AC |=|BD |得到ABCD 是矩形判断.【详解】如图：因为,m n 的长度相等，所以|AB BC +|=|AB BC -|，即|AC |=|BD |，所以ABCD 是矩形，故ABC 是直角三角形，且∠B=90°.故选：C 17．B 【分析】利用向量的减法可得1()2AP AB AC =+，从而可得AP 为Rt ABC 斜边BC 的中线，即可求解．【详解】解：1()2OP OA AB AC =++，∴1()2OP OA AB AC -=+，1()2AP AB AC =+，AP ∴为Rt ABC 斜边BC 的中线，∴||1AP =．故选：B ．18．B 【分析】先利用平面向量的线性运算法则，将,PM PN →→用,PO OM →→来表示，然后将所求式子表达成PO →来表示，进而求出范围.【详解】如图，取AF 的中点Q ，根据题意，△AOF 是边长为2的正三角形，易得||3OQ =，又2||PM PN PO OM PO ON PO PO ON PO OM OM ON→→→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22||1||1PO PO ON OM PO →→→→→⎛⎫=+⋅+-=- ⎪⎝⎭.根据图形可知，当点P 位于正六边形各边的中点时||PO 有最小值为3，此时2||12PO →-=，当点P 位于正六边形的顶点时||PO 有最大值为2，此时2||13PO →-=，所以，23PM PN →→≤⋅≤.故选：B.19．D 【分析】直接用向量的数量积即可求得.【详解】力F 对物体所做的功为W cos F s F s θ=⋅=⋅⋅.故选：D .20．C 【分析】由题设有AP OP OA =-，BP OP OB =-，12OA OB ⋅=-，21OP =，即可得1()2OP OA O A B B P P ⋅=-⋅+，分析使AP BP ⋅的最小时,OP OA OB +的位置关系，进而求AP BP ⋅的最小值.【详解】由题设，AP OP OA =-，BP OP OB =-，∴2()()()OP OA OP OB OP OP O AP B B P A O OA OB ⋅=⋅=---⋅++⋅，∴12OA OB ⋅=-，21OP =，∴1()2OP OA O A B B P P ⋅=-⋅+，要使AP BP ⋅的最小，即,OP OA OB +同向共线.又||||1OA OB OP +==，∴min 11()122AP BP -⋅=-=.故选：C 21．C 【分析】由向量数量积的定义式可得cos 0A <，即可判断.【详解】∵cos 0AB AC AB AC A ⋅=⋅<，∴cos 0A <，又∵A 为三角形内角，∴A 是钝角，即ABC 是钝角三角形.故选：C.22．D 【分析】先根据M ，N 满足的条件，将()0AM AN BD +⋅=化成,AD AB 的表达式，从而判断出矩形ABCD 为正方形；再将AM AN xAB y AD +=+，左边用,AD AB 表示出来，结合x +y ＝3，即可得NC +MC ＝4，最后借助于基本不等式求出MN 的最小值.【详解】当M ，N 分别是边BC ，DC 的中点时，有()1122AM AN BD AD AB BDAB AD ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⋅=+++⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()2233022AD AB AB AD AD AB =+⋅-=-=所以AD ＝AB ，则矩形ABCD 为正方形，设,NC AB MC AD λμ==，则()()11AM AN AB AD AB AD xAB y ADμλ+=+-+-+=+则2,2x y λμ=-=-，又x +y ＝3，所以λ+μ＝1.故NC +MC ＝4，则()222162222MC NC MN MC NC +=+≥==（当且仅当MC ＝NC ＝2时取等号）.故线段MN 的最短长度为22故选：D.23．C 【分析】根据向量的线性运算，先得到AB AC AB AC -=+，再由向量数量积的运算，化简整理，即可得出结果.【详解】由2OB OC OB OC OA -=+-得CB AB AC =+uu r uu u r uuu r，则AB AC AB AC -=+，所以22AB AC AB AC -=+，则222222AB AC AB AC AB AC AB AC +-⋅=++⋅，所以0AB AC ⋅=，则AB AC ⊥，所以ABC 是以BC 为斜边的直角三角形.故选：C .24．B可设两只胳膊的拉力分别为1F ，2F ，根据21212||()F F F F +=+，进行数量积的运算即可求出重力mg 的值，进而可得出学生的体重m 的值．【详解】解：设两只胳膊的拉力分别为1F ，2F ，12500F F ==，12,60F F <>=︒，∴222121212121||()2250000250000250050050038662F F F F F F F F +=+=++⋅=++⨯⨯⨯=≈，10866m ∴=，解得86.687()m kg =≈．∴学生的体重约为87kg ．故选：B ．25．A 【分析】将条件分别化简，然后分别根据外心，重心，垂心和内心的定义，判断结论．【详解】解：若0NA NB NC ++=，则NA NB NC +=-，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +==，所以2||||NE CN =，所以点N 是AB 中线上的点，同理可得N 也是AC 、BC 中线上的点，所以N 是ABC 的重心．因为且||||||OA OB OC ==，所以O 到顶点A ，B ，C 的距离相等，所以O 为ABC 的外心．由PA PB PB PC PA PC ==得()0PA PC PB -=，即AC PB ，所以AC PB ⊥．同理可证AB PC ⊥，所以P 为ABC 的垂心．故选：A ．26．C 【分析】根据题意，利用,AE AF →→作为基底表示向量AO→，进而根据向量相等求解即可.【详解】解：因为在ABC 中，O 为BC 中点，AB AE λ=，AC AF μ=，所以1111122222AO AB AC AB AC AE AF λμ→→→→→→→⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，设()1AO AE EO AE x EF AE x AF AE x AE x AF →→→→→→→→→→⎛⎫=+=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，所以111,22x x λμ-==，即11122λμ+=所以2λμ+=.故选：C【分析】利用向量不等式式||||||||||||a b a b a b -±+ ，即可得到答案；【详解】||||||||||||a b a b a b -±+ ，||2||23a b ==，∴||23,||3a b ==，∴||1|()|||||c a b c a b c a b --==-+-+ ，∴||1||c a b ≤++，3,||23,||3a b a b ⋅=-==，222||||2||122339a b a a b b ∴+=+⋅+=-⨯+=，||3a b ∴+=，||134c ∴+= ，|||()|||||c a b c a b a b c --=-++- ，||||1312c a b ∴+-=-= ，2||4c ∴ ，故选：B.28．B 【分析】设OA a =，OB b =，OC c =，以OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量的数量积的坐标表示整理出x ，y 的关系，结合圆的性质及几何意义可求解【详解】设OA a =，OB b =，OC c =，以OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，因为4a =，22b =，a 与b 的夹角为4π，所以()4,0A ，()2,2B ，设(),C x y ，因为()()0c a c b -⋅-=，所以226820x x y y -++-=，即()()22312x y -+-=，圆心坐标为()3,1，半径2r =，c r表示点C 到坐标原点的距离即为圆上的点到坐标原点的距离，因为圆心()3,1到原点的距离为10d =，所以102max c d r =+=+.故选：B .29．C 【分析】利用垂线段最短得到船的行驶方向，结合三角函数的知识求出夹角【详解】解：当航线垂直于河岸时，航程最短，如图，在ABC 中，10,2AB BC ==，所以11sin 0,52BAC ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，所以0,6BAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2,223BAC πππθ⎛⎫=+∠∈ ⎪⎝⎭，故选：C30．B 【分析】根据已知条件得出60A =，M 、N 分别为AD 、AB 的中点，建立平面直角坐标系将PM PN ⋅转化为坐标运算，利用几何意义即可求解.【详解】因为四边形ABCD 为菱形，所以2AD AB ==，由cos 2AB AD AB AD A ⋅=⨯⨯=，所以1cos 2A =，因为0180A <<，所以60A =，因为AM MD =，所以M 为AD 的中点，因为2DN DA DB =+，所以N 为AB 的中点，如图以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则13,22M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()1,0N ，()3,3C ，(),P x y ，则13,22PM x y ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,PN x y =--，所以()()22133********x x y y x y x PM y PN ⎛⎫⎛⎫--+-⋅-=+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝=⎭⋅⎭22331444x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭表示点P 到定点33,44E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭距离的平方减去14，由图知当点P 与点()3,3C 重合时距离的平方减去14最大，即PM PN ⋅最大，所以PM PN ⋅最大为2233113334442⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B 31．B 【分析】根据题意：||1OA →=，则有2OA OB OB OC OC OA OA →→→→→→→⋅+⋅+⋅=-，进而移项进行两两组合，20OA OB OA OB OC OC OA →→→→→→→⋅++⋅+⋅=，进一步可以化简为：0OA OC OA OB →→→→⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设出三边的中点，结合图形，探讨三角形的形状，最后得到答案.【详解】∵ABC 外接圆半径为1，∴||1OA →=，∴22||OA OB OB OC OC OA OA OA →→→→→→→→⋅+⋅+⋅=-=-，∴200OA OB OA OB OC OC OA OA OA OB OC OA OB →→→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅++⋅+⋅=⇒⋅++⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴0OA OC OA OB →→→→⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设边BC ，CA ，AB 的中点分别为M ,N ,P ，∴2200ON OP ON OP →→→→⋅=⇒⋅=,同理：0,0ON OM OM OP →→→→⋅=⋅=，如图1：若点O 不与M ,N ,P 任何一点重合，则ON OP →→⊥，,ON OM OM OP →→→→⊥⊥同时成立，显然不合题意；如图2：不妨设点O 与点M 重合，由ON OP →→⊥，根据中位线定理有由AB ⊥AC ，则2BC =，∴()2222222212311144d d d OP ON AC AB BC ++=+=+==.故选：B.【点睛】类似1OA OB OB OC OC OA →→→→→→⋅+⋅+⋅=-这样的题目，往往需要对式子进行化简，注意发现式子只有三个，组合其中两个则另外一个会被孤立，考虑到外接球半径为1，因此将-1进行代换；在化简式子的过程中尽量结合图形去理解，往往会事半功倍.32．ABD 【分析】由条件可得OC OA OB =-，判断A ，进而可得四边形OBAC 是边长为2的菱形，可判断BC ，然后利用向量的几何意义可判断D.【详解】因为0OA AB AC ++=，所以0OA OB OA OC OA +-+-=，所以OC OA OB =-，故A 正确；由0OA AB AC ++=，可得OB AC CA =-=，所以四边形OBAC 为平行四边形，又O 为ABC 外接圆的圆心，所以OB OA =，又OA AB =，所以OAB 为正三角形，因为ABC 外接圆的半径为2，所以四边形OBAC 是边长为2的菱形，所以OA BC ⊥，所以0OA BC ⋅=，即()0OA AC AB ⋅-=，所以OA AB OA AC ⋅=⋅，故B 正确；由以上分析可得23BAC π∠=，ABC 为钝角三角形，故ABC 的外心O 不是垂心，故C 错误；由四边形OBAC 是边长为2的菱形，可得6ACB π∠=，所以CA 在CB 方向上的投影向量的长度为3cos 2362CA π=⨯=，故D 正确．故选：ABD ．33．BC 【分析】利用平面向量的数量积运算可判断AB 选项的正误；作OA a =，OB b =，OC c =，分析得出点C 的轨迹，求出c r 的最大值，可判断C 选项的正误；以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAEB ，考查EOC ∠取最大值时点C 的位置，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，2222222cos33a b a b a b a b a b π+=++⋅=++⋅=，故3a b +=r r ，A 错；对于B 选项，2222222cos 13a b a b a b a b a b π-=+-⋅=+-⋅=，故1a b -=r r ，B 对；对于CD 选项，作OA a =，OB b =，OC c =，则OA OC a c CA --==，b c OB OC CB -=-=，()()0a c b c CA CB -⋅-=⋅=，所以，CA CB ⊥，故点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，如下图所示：设线段AB 的中点为点D ，则32OD =，1122DC AB ==，所以，3132c OC OD DC OD DC +==+≤+=<，C 对，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAEB ，则OE OA OB a b =+=+，则EOC ∠为向量a b +与c 的夹角，当OC 与圆D 相切时（此时点C 与点C '重合），此时，EOC ∠取得最大值，连接DC ，则DC OC ⊥，则EOC ∠为锐角，即a b +与c 的夹角是锐角，D 错误.故选：BC.34．AC 【分析】以直线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(5,0),(5,0)A B -，设(,)P x y ，由题设不等式恒成立，得出4y ≤-或4y ≥，然后根据所在区域内P 点判断各选项．【详解】以直线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(5,0),(5,0)A B -，设(,)P x y ，则(5,)AP x y =+，(10,0)AB =，2(21010,2)AP AB x y λλ-=+-，由28AP AB λ-≥得22(21010)464x y λ+-+≥，22(55)16x y λ+-+≥，对任意λ，22(55)16x y λ+-+≥恒成立，则216y ≥，即4y ≤-或4y ≥，此时min 4AP =（当5,4x y =-=±时取得），A 正确；若(0,4)P ，则(0,8)PA PB +=，8PA PB +=，B 错；22(5,)(5,)25025169PA PB x y x y x y ⋅=+⋅-=-+≥-+=-（20,4x y ==时等号成立），C 正确；例如P 点坐标是(5,4)-时，90PAB ∠=︒，APB ∠90<︒，D 错，故选：AC．35．ACD 【分析】由BE AF =，得到22(1)μλ=-，即可判定A 正确；当λμ=时，EF BC μ=，可判定B 不正确；由AEF 的面积为11222S AE AF AB AC λμλμ=⋅=⋅=，结合基本不等式，可判定C 正确；建立平面直角坐标系，得到(,)M λμ，(1,1)N ，结合MN AN AM ≥-，即可判定以D 正确.【详解】对于A 中，因为AE AB λ=，AF AC μ=，且BE AF =，可得2222(1)AC AB μλ=-，所以22(1)μλ=-，其中,(0,1)λμ∈，所以(1)μλ=-，即1λμ+=，所以A 正确；对于B 中，当λμ=时，()EF AF AE AC AB AC AB BC μλμμ=-=-=-=，可得EF与BC 为共线向量，所以B 不正确；。
人教版小学二年级下册数学期末复习题7套
⼈教版⼩学⼆年级下册数学期末复习题7套复习题1⼀．填空。
1．8的4倍是（），6⾥⾯有（）个2，6个9相加和是（），9是3的（）倍。
2．⽐720少80的数是（），500⽐230多（），960与370相差（）。
⽐80多70的数是（）。
3．从数位顺序表的右边起，第⼀位是（）位，第四位是（），万位是第（）位。
读数和写数，都从（）起。
6008读作（），2030读作（）。
8090的相邻数是（）和（）。
4．8000前⾯的⼀个数是（），后⾯的⼀个数是（）。
6600⾥有（）个百。
5．⼀台洗⾐机售价945元，约（）元，（）是近似数，（）是准确数.。
⼀台电脑售价5548元，约（）元，（）是准确数，（）是近似数。
6．⼀个三位数，个位数字⽐⼗位数字多3，百位数字⽐⼗位数字少3，这个三位数可能是（）。
7．表⽰物品有多重，可以⽤（）和（）作单位。
你见过的秤有（）。
8.在（）⾥填上合适的单位。
⼩明体重约35（）教学楼⾼约20（）⼀个苹果重160（）⼀个⾜球重约400（）教室宽约6（）数学书长21（）⼀只公鸡重3( )⼀棵⼤树⾼9（） 9.按规律接着填数或画图。
(1)1、3、6、10、（）、（）、（）。
（2）2、3、5、8、12、17、（）、（）、（）。
(3)16、19、22、25、（）、（）、（）。
（4）□?○◇?○◇□○◇□?———(5)90、89、87、84、80、（）、（）、（）。
（6）??○●●??○○●??——10、按从⼩到⼤的顺序排列下列各数。
2700 7020 2070 7002 2007 7200（）＜（）＜（）＜（）＜（）＜（）11. 594+345≈ 903-458≈ 763-551≈341+459≈ 984-218≈ 623+109≈12、计算并填表。
.、年级2008年的棵数2009年的棵数总数⼀年级8棵是去年的3倍⼆年级9棵是去年的4倍27棵三年级是⼀年级2008年植树棵树的6倍四年级29棵⽐三年级2009年植树棵树多6棵36棵五年级⽐三年级2009年植树棵树少8棵六年级是⼀年级2008年植树棵48棵树的4倍1.1000克铁和1000千克棉花同样重。
人教版小学五年级下册数学期末复习试题——解决问题(含答案)
五年级下册数学期末复习——解决问题时间：60分钟 满分:100分一、填空题。
(每空2分，共24分)1.口袋里有0～9十张数字卡片，小丽第一次摸出了5，再摸出（）中的任1张就可以组成2的倍数。
摸出（）就可以组成5的倍数，(2张卡片组成两位数)2.五年级先抽出了105名同学来组成5路彩旗仪仗队。
现在要改为6路仪仗队，最少需要增加（）名同学，或者减少（）名同学。
3.教室里原有9名男同学，6名女同学，女同学占教室总人数的()()，出去了5名男同学，现在教室的女同学占总人数的()()。
4.五年级二班要从贝贝，甜甜、芳芳这三名同学中推选出一名文体委员，每人只能选这三人中的任意一个，最后，贝贝所得票数为总票数的72，甜甜为总票数的114，应推选（）为文体委员。
5.五年级同学去植树，五(1)班有45人，五(2)班有46人，五(3)班有43人，老师想将各班同学每3个人分为一个组，（）班的同学能正好分完。
6.公园内有三只熊猫，恰好一只比一只大一岁、它们的年龄之积是60，则最小的熊猫（）岁7.学校动漫社团有30人，社团指导老师要通知每位上交一幅作品，如果每分钟能通知1人，至少需要（）分钟才能通知到所有成员。
8.有3个乒乓球，其中有2个同样重，在不知道第三个乒乓球是轻或重的情况下，用天平至少称（）次能保证把它找出来;在知道第三个乒乓球较轻时，用天平至少称（）次能保证把它找出来。
二、解决问题。
(共76分)1.把一张长30cm 、宽24cm 的长方形纸片剪成同样大小的正方形，且没有剩余，正方形要尽可能大。
剪成的正方形的边长是多少厘米?可以剪成多少个这样的正方形?(6分)2.有一条长72m 的小路，原来从一端起每隔9m 栽一棵树，现在要改成从一端起每隔6m栽一棵树，为了节省成本，有些位置上的树可以保持不动，保持不动的树有多少棵?(6分)3.有一根长20m 的绳子对折3次，剪成同样长的小段，每小段长多少米?每小段占全长的几分之几?(6分)4.有两根一样长的钢管，第一根截去41米，第二根截去41，哪根钢管剩余的部分长?(6分)5.一张长方形铁皮长是32cm 在它的四个角上分别剪去一个边长是4cm 的正方形后，焊接成一个无盖的长方体铁皮盒。
人教版五年级数学下册期末总复习真题（五下知识点在小学毕业考试中的真题汇总）（2019）（附答案）
适用于人教版、北京课改版（2019）五年级数学下册期末总复习五年级数学下册期末总复习——小学毕业数学考试中的真题——小学毕业数学考试中的真题第一单元第一单元 观察物体（三）观察物体（三）观察物体（三）1.1.（（20192019·朝阳区小学毕业数学真题）下面有·朝阳区小学毕业数学真题）下面有4组立体图形，从左面看与其他3组不同的是（ ）。
A.A.B.C.D.2.2.（（20192019·东城区小学毕业数学真题）有一个立体图形，从左面看是·东城区小学毕业数学真题）有一个立体图形，从左面看是·东城区小学毕业数学真题）有一个立体图形，从左面看是 ，从正面看和上面看都是面看都是 ，这个立体图形是下面的图形（，这个立体图形是下面的图形（ ）。
A.A.B.C.D.3.3.（（20192019·昌平区小学毕业数学真题）右边的三个图形分别是从什么方向看到的，连一连。
·昌平区小学毕业数学真题）右边的三个图形分别是从什么方向看到的，连一连。
·昌平区小学毕业数学真题）右边的三个图形分别是从什么方向看到的，连一连。
从前面看从前面看 从上面看从上面看 从左面看从左面看4.4.（（20162016·东城区小学毕业数学真题）搭出同时符合下面要求的物体，需要（·东城区小学毕业数学真题）搭出同时符合下面要求的物体，需要（·东城区小学毕业数学真题）搭出同时符合下面要求的物体，需要（ ）个小正方体。
方体。
从正面看从正面看 从右面看从右面看 从上面看从上面看① 6 ② 7 ③ 8 ④95.(20165.(2016··西城区小学毕业数学真题） 左图是由6个完全一样的立方体组成的模个完全一样的立方体组成的模型，从左面观察，看到的平面图形是（型，从左面观察，看到的平面图形是（ ）。
A.A.B.C.6.6.（（20152015·朝阳区小学毕业数学真题）由·朝阳区小学毕业数学真题）由6个小正方体分别搭成的立体图形（如下图所示），从（从（ ）看它们的形状是完全相同的。
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84－4=65－6= 30+20=50+9+9=
9+（）=16（）+ 40=46（）－8=80
1元－8角= 10元5角－7元= 7角+6角=
五、在〇里填上>、<或=。（每题1分，共6分）
87〇78 39-4〇35 63〇66-30
99-9〇88+8 7角〇7元1元6角〇16角
3、个位上是5，十位上是8，这个数是58。（）
4、11个位上的1和十位上的1意义相同（）
5、读数和写数都从高位起。（）
三、选择正确答案前面的序号填在（）里。（5分）
1、10比100（）。
A、多一些B、多得多C、少一些D、少得多
2、小红排队，前面有9人，后面有5人，一共有（）人。
A、13 B、14C、15
3、最大的两位数与最大的一位数的差是多少？
九、解决问题
1、有24箱苹果，我每次运8箱。需要几次才能把苹果全部运走？
２、小红买一本《少儿百科》，付了30元，找回7元，一本《少儿百科》多少钱？
４、小丽家养了30只鸡，7只鹅，46只鸭。
（1）鸡比鹅多多少只？（3分）
请你提出一个数学问题并解答。（4分）
？
人教版数学一年级下册数学复习题五
1、填空（每空1分，共20分）
1、Байду номын сангаас个一和9个十合起来是（）。十个10是（）。
2、30比6多（），比70多25是（），比63少10是（）。
3、69读作（），五十七写作（）。
4、一张100元，可以换（）张20元。
5、22十位上的“2”比个位上的“2”多（）
6、“89”这个数中，十位上的数表示（）个（）。
3、 ΔΟ□ΔΟ□ΔΔΟ□ΔΟ□，被挡住的图形是（）。
A、Ο□B、ΔΟC、□Δ
4、68更接近（）。
A、60 B、70 C、80
5、79后面数是（）。
A、80 B、81 C、82
四、计算（每题1分，共22分）
14－6= 18－10= 20+56=47+8－6 =
9+8=86－8= 48+7=5+（46－6）=
7、3个同学折星星，每人折5个，他们一共折了（）个。
8、一个两位数，个位上和十位上的数都是9，这个数是（），比这个数多1的数是（）。
9、40角=（）元1元3角=（）角
11
15
27
40
35
25
10、
二、判断，对的在（）里打“√”，错的打“×”。（5分）
1、一个正方形能剪成两个相同的长方形。（）
2、小朋友排队，小红排第4，小明排第9，他们之间有5人。（）
六、分类整理，完成统计表。（10分）
1、填写统计表。
2、上面一共有（）个图形。
3、有（）个平面图形，（）个立体图形。
七、看图列式。（第1、2题每题2分，第3题3分，共7分）
□〇□=□(支)□〇□=□(个)
八、列式计算。（每题2分，共6分）
1、两个加数是9，和是多少？2、被减数是80，减数是6，差是多少？