四川省成都市双流中学高考数学一模试卷(文科)
四川省双流中学2018届高三第一次模拟考试数学(文)试题(精编含解析)
根据折线图，下列结论正确的是（ ） A. 月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数 B. 月跑步平均里程逐月增加 C. 月跑步平均里程高峰期大致在 8、9 月 D. 1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】D 【解析】 由折线图知，月跑步平均里程的中位数为 5 月份对应的里程数； 月跑步平均里程不是逐月增加的； 月跑步平均里程高峰期大致在 9，l0 月份，故 A，B，C 错. 本题选择 D 选项. 4.4.某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘 坐观光车，则他等待时间不多于 10 分钟的概率为（ ）
A.
为真命题 B.
为真命题
C.
为真命题 D. 为真命题
【答案】A
【解析】
命题 是“第一次射击击中目标”，命题 是“第二次射击击中目标”，则命题 是“第一次射击没击中目
标”，命题 是“第二次射击没击中目标”， 命题 “两次射击至少有一次没有击中目标”是
，
故选 A.
6.6.已知 是公差为 1 的等差数列， 为 的前 项和，若
由正弦定理得
，即
解得 ，
，
所以
.
点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利
用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求
角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经
14.14.设公比不为 1 的等比数列 满足
，且
成等差数列，则数列 的前 4 项和为
__________．
2020年四川省成都市高考数学一模试卷(文科)
2020年四川省成都市高考数学一模试卷（文科）一、单选题（共12小题）1.若复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A．﹣3i B．﹣3+i C．3+i D．3﹣i2.已知集合A＝{﹣l，0，m），B＝{l，2}，若A∪B＝{﹣l，0，1，2}，则实数m的值为（）A．﹣l或0 B．0或1 C．﹣l或2 D．l或23.若，则tan2θ＝（）A．﹣B．C．﹣D．4.已知命题p：∀x∈R，2x﹣x2≥1，则￢p为（）A．∀x∉R，2x﹣x2＜1 B．C．∀x∈R，2x﹣x2＜1 D．5.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A．72.5 B．75 C．77.5 D．806.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则＝（）A．B．C．D．7.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nB．若m∥α，n∥β，且α⊥β，则m∥nC．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥nD．若m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n8.将函数y＝sin（4x﹣）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．9.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A．3 B．C．5 D．10.已知，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a11.已知直线y＝kx与双曲线C：（a＞0，b＞0）相交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．12.已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（2+x），当x≤2时，f（x）＝xe x．若关于x的方程f（x）＝k（x﹣2）+2有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣e，0）∪（0，e）D．（﹣e，0）∪（e，+∞）二、填空题（共4小题）13.已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．14.设正项等比数列{a n}满足a4＝81，a2+a3＝36，则a n＝．15.已知平面向量，满足||＝2，||＝，且⊥（﹣），则向量与的夹角的大小为．16.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，边P1P2，P2P3的中点分别为B，C现将△AP1B，△BP2C，△CP3A分别沿AB，BC，CA折起使点P1，P2，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P﹣ABC．则三棱锥P﹣ABC的外接球体积为三、解答题（共7小题）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求sin A的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，且sin B＝3sin C，求△ABC的周长18.某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．（Ⅰ）完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；属于“追光族”属于“观望族”合计女性员工男性员工合计100（Ⅱ）已知被抽取的这l00名员工中有6名是人事部的员工，这6名中有3名属于“追光族”现从这6名中随机抽取3名，求抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的概率．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，E，F分别为BC，CD的中点．（Ⅰ）证明：BC⊥平面P AE；（Ⅱ）点Q在棱PB上，且，证明：PD∥平面QAF．20.已知函数f（x）＝（a﹣1）lnx+x+，a∈R，f'（x）为函数f（x）的导函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝2时，证明f（x）﹣f'（x）≤x+对任意的x∈[1，2]都成立．21.已知椭圆C：+y2＝1的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x＝2与x轴相交于点H，E为线段FH的中点，直线BF与直线l的交点为D．（Ⅰ）求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；（Ⅱ）证明直线AD与x轴平行．22.在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1：x2+（y﹣2）2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90°得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，点M（3，），射线≥0）与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．23.已知函数f（x）＝|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥4﹣|2x+l|；（Ⅱ）若＝2（m＞0，n＞0），求证：m+n≥|x+|﹣f（x）．2020年四川省成都市高考数学一模试卷（文科）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】由已知可得复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1可求．【解答】解：∵复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1＝﹣3+i．故选：B．【知识点】复数代数形式的乘除运算2.【分析】因为A∪B＝{﹣l，0，1，2}，A，B本身含有元素﹣1，0，1，2，根据元素的互异性m≠﹣1，0，求出m即可．【解答】解：集合A＝{﹣l，0，m），B＝{l，2}，A∪B＝{﹣l，0，1，2}，因为A，B本身含有元素﹣1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠﹣1，0即可，故m＝1或2，故选：D．【知识点】并集及其运算3.【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：若，则tanθ＝，则tan2θ＝＝﹣，故选：C．【知识点】二倍角的正弦4.【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题p：∀x∈R，2x﹣x2≥1，则￢p为．，故选：D．【知识点】命题的否定5.【分析】由频率分布直方图求出[50，70）的频率为0.4，[70，80）的频率为0.4，由此能求出这100名同学的得分的中位数．【解答】解：由频率分布直方图得：[50，70）的频率为：（0.010+0.030）×10＝0.4，[70，80）的频率为：0.040×10＝0.4，∴这100名同学的得分的中位数为：70+＝72.5．故选：A．【知识点】频率分布直方图6.【分析】将S9，S5转化为用a5，a3表达的算式即可得到结论．【解答】解：依题意，＝＝，又＝3，∴＝×3＝，故选：D．【知识点】等差数列7.【分析】由考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：由m∥α，n∥β，且α∥β，得m∥n或m与n异面，故A错误；由m∥α，n∥β，且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又n∥β，则m⊥n，故C正确；由m⊥α，n∥β且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故D错误．故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用8.【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【解答】解：函数y＝sin（4x﹣）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y＝sin（2x﹣）的图象，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）＝sin（2x+）的图象，故选：A．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换9.【分析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可．【解答】解：由抛物线方程得，准线方程为：x＝﹣1，设M（x，y），N（x'，y'），由抛物线的性质得，MF+NF＝x+x'+p＝x+x'+2＝5，中点的横坐标为，线段MN的中点到y轴的距离为：，故选：B．【知识点】抛物线的简单性质10.【分析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a，b的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c＜1．【解答】解：∵a＝＝，b＝＝，∴1＜a＜b．c＝ln＜1．∴c＜a＜b．故选：C．【知识点】对数值大小的比较11.【分析】取双曲线的右焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AF'BF为平行四边形，运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，以及离心率公式可得所求值．【解答】解：设|BF|＝m，则|AF|＝3|BF|＝3m，取双曲线的右焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AF'BF为平行四边形，可得|AF'|＝|BF|＝m，设A在第一象限，可得3m﹣m＝2a，即m＝a，由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得（2b）2+（2c）2＝2（a2+9a2），化为c2＝3a2，则e＝＝．故选：B．【知识点】双曲线的简单性质12.【分析】本题根据题意先利用一阶导数分析当x≤2时，f（x）＝xe x．的函数单调性及图象，然后根据f（2﹣x）＝f（2+x）可知函数f（x）关于x＝2对称．即可画出函数y＝f（x）的大致图象．一次函数y＝k（x﹣2）+2很明显是恒过定点（2，2），则只要考查斜率k的变动情况，当k＝1时，y＝f（x）与y＝k（x﹣2）+2正好在原点处相切，再根据数形结合法可得k的取值范围，当x＞2时也同理可得．【解答】解：由题意，当x≤2时，f（x）＝xe x．f′（x）＝（x+1）e x．①令f′（x）＝0，解得x＝﹣1；②令f′（x）＜0，解得x＜﹣1；③令f′（x）＞0，解得﹣1＜x≤2．∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，2]上单调递增，在x＝﹣1处取得极小值f（﹣1）＝﹣．且f（0）＝0；x→﹣∞，f（x）→0．又∵函数f（x）在R上满足f（2﹣x）＝f（2+x），∴函数f（x）的图象关于x＝2对称．∴函数y＝f（x）的大致图象如下：而一次函数y＝k（x﹣2）+2很明显是恒过定点（2，2）．结合图象，当k＝0时，有两个交点，不符合题意，当k＝1时，有两个交点，其中一个是（0，0）．此时y＝f（x）与y＝k（x﹣2）+2正好相切．∴当0＜k＜1时，有三个交点．同理可得当﹣1＜k＜0时，也有三个交点．实数k的取值范围为：（﹣1，0）∪（0，1）．故选：A．【知识点】函数的零点与方程根的关系二、填空题（共4小题）13.【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）由z＝x+2y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（2，2），代入目标函数z＝x+2y得z＝2×2+2＝6故答案为：6．【知识点】简单线性规划14.【分析】将已知条件转化为基本量a1，q的方程组，解方程组得到a1，q，进而可以得到a n．【解答】解：依题意，解得，∴a n＝＝3•3n﹣1＝3n，故答案为：3n．【知识点】等比数列的通项公式15.【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出向量与的夹角的大小．【解答】解：∵平面向量，满足||＝2，＝，且⊥（﹣），∴•（﹣）＝•﹣＝0，∴＝．设向量与的夹角的大小为θ，则2••cosθ＝3，求得cosθ＝，故θ＝，故答案为：．【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系、数量积表示两个向量的夹角16.【分析】根据题意，得折叠成的三棱锥P﹣ABC三条侧棱P A、PB、PC两两互相垂直，可得三棱锥P﹣ABC的外接球的直径等于以P A、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP＝2、BP＝CP＝1算出外接球的半径R＝，结合球的体积公式即可算出三棱锥P﹣ABC的外接球的体积．【解答】解：根据题意，得三棱锥P﹣ABC中，AP＝2，BP＝CP＝1∵P A、PB、PC两两互相垂直，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的直径2R＝＝可得三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R＝根据球的表面积公式，得三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为＝＝故答案为．【知识点】球的体积和表面积三、解答题（共7小题）17.【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可求cos A的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sin A的值．（Ⅱ）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴由余弦定理可得2bc cos A＝bc，∴cos A＝，∴在△ABC中，sin A＝＝．（Ⅱ）∵△ABC的面积为，即bc sin A＝bc＝，∴bc＝6，又∵sin B＝3sin C，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝6，∴a＝，∴△ABC的周长为2+3+．【知识点】余弦定理18.【分析】（Ⅰ）由题意填写列联表．计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅱ）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意填写2×2列联表如下；属于“追光族”属于“观望族”合计女性员工204060男性员工202040合计4060100由表中数据，计算K2＝＝≈2.778＜3.841，所以没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（Ⅱ）设人事部的这6名员工3名“追光族”分别为“a、b、c”，3名“观望族”分别为“D、E、F”；现从这6名中随机抽取3名，所有可能事件为：abc、abD、abE、abF、acD、acE、acF、aDE、aDF、aEF、bcD、bcE、bcF、bDE、bDF、bEF、cDE、cDF、cEF、DEF共20种；其中抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的事件为：aDE、aDF、aEF、bDE、bDF、bEF、cDE、cDF、cEF共9种；故所求的概率为P＝．【知识点】独立性检验19.【分析】（Ⅰ）连接AC，先证明BC⊥AE，再利用线面垂直的性质可证BC⊥AP，进而根据线面垂直的判定定理即可证明BC⊥平面P AE；（Ⅱ）连接BD交AF于点M，连接QM，由，根据已知可求，可证PD∥QM，进而根据线面平行的判定定理即可证明PD∥平面QAF．【解答】证明：（Ⅰ）如图，连接AC，∵底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形，∵E为BC的中点．∴BC⊥AE，又∵AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，∴BC⊥AP，∵AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面P AE，∴BC⊥平面P AE；（Ⅱ）连接BD交AF于点M，连接QM，∵F为CD的中点，∴在底面ABCD中，，∴，∴，∴在△BPD中，PD∥QM，又∵QM⊂平面QAF，PD⊄平面QAF，∴PD∥平面QAF．【知识点】直线与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定20.【分析】（Ⅰ）求出导数，讨论a的取值范围，求出单调区间；（Ⅱ）a＝2时，令h（x）＝lnx﹣，根据导数求出h（x）的单调性，即可证明．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝＝＝，因为x＞0，a∈R，所以当a≥0时，x+a＞0，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当﹣1＜a＜0时，0＜﹣a＜1，函数f（x）在（0，﹣a）上单调递增，在（﹣a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当a＝﹣1时，f′（x）＝≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜﹣1时，﹣a＞1，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增．（Ⅱ）当a＝2时，f（x）＝lnx+x+，则f′（x）＝，x∈[1，2]，所以f（x）﹣f′（x）﹣x﹣＝lnx﹣，令h（x）＝lnx﹣，则h′（x）＝＝，令u（x）＝x2+x﹣4，因为函数u（x）在[1，2]上单调递增，u（1）＜0，u（2）＞0，所以存在唯一的x0∈（1，2），使得h′（x0）＝0，因为当x∈（1，x0）时，h′（x0）＜0，当x∈（x0，2）时，h′（x0）＞0，所以函数h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，2）上单调递增，又因为h（1）＝0，h（2）＝ln2﹣1＜0，所以h（x）max＝0，即f（x）﹣f′（x）≤x+对任意的x∈[1，2]都成立．【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值21.【分析】（I）令直线AB：x＝my+1（m∈R），联立解方程组，代入四边形OAHB面积S，利用基本不等式求出范围；（II）求出直线BE的方程y＝，求出y D，根据（I）的韦达定理，代入求出y D＝y1，得到证明．【解答】解：（I）由F（1，0），令直线AB：x＝my+1（m∈R），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x，得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，因为△＝4m2+4（m2+2）＞0，，，所以＝＝，所以四边形OAHB面积S＝，令t＝，∴S＝，当且仅当t＝1，即m＝0时，取等号，所以四边形OAHB面积S∈（0，]；（II）证明：∵H（2，0），F（1，0），∴E（，0），∴直线BE的斜率k＝，直线BE的方程为y＝，令x＝2得，，由（I）得，，，所以y1+y2＝2my，，代入得：＝，∴直线AD与x轴平行．【知识点】直线与椭圆的位置关系22.【分析】（Ⅰ）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，求得|AB|＝|ρ1﹣ρ2|，再求出M（3，）到射线≥0）的距离h＝，代入三角形面积公式求△MAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，则曲线C2：（x﹣2）2+y2＝4，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ；（Ⅱ）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝4||＝．又∵M（3，）到射线≥0）的距离h＝．∴△MAB的面积S＝．【知识点】简单曲线的极坐标方程23.【分析】（I）原不等式可化为：|x﹣3|≥4﹣|2x+1|，即|2x+1|+|x﹣3|≥4，分段讨论求出即可；（II）根据绝对值的性质求出|x+|﹣f（x）≤，m+n，证明即可．【解答】解：（I）原不等式可化为：|x﹣3|≥4﹣|2x+1|，即|2x+1|+|x﹣3|≥4，当x≤时，不等式﹣2x﹣1﹣x+3≥4，解得x，故x；当﹣＜x＜3时，不等式2x+1﹣x+3≥4，解得x≥0，故0≤x＜3；当x≥3时，不等式2x+1+x﹣3≥4，解得x≥0，故x≥3；综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）；（II）因为f（x）＝|x﹣3|，所以|x+|﹣f（x）＝||x+|﹣|x﹣3|≤|x+﹣x+3|＝，当且仅当（x+）（x+3）≥0，且|x+|≥|x﹣3|时，取等号，又＝2（m＞0，n＞0），所以（m+n）（）≥（1+2）2＝9，当且仅当m＝2n时，取得等号，故m+n，所以m+n≥|x+|﹣f（x）成立．【知识点】绝对值不等式的解法、不等式的证明。
2020年四川省成都市双流中学高考数学模拟试卷(文科)(5月份)
2020年四川省成都市双流中学高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1. 已知集合A ={x||x|<2}，集合B ={−1, 0, 1, 2, 3}，则A ∩B =( ) A.{0, 1} B.{0, 1, 2} C.{−1, 0, 1} D.{−1, 0, 1, 2}2. 设复数z 满足(1−i)z ＝3+i ，则|z|＝（ ） A.√2 B.√3C.√5D.√63. 已知a →,b →均为单位向量，若|2a →−b →|=√3，则a →与b →的夹角为（ ） A.π6B.π3C.π2D.2π34. 若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝−1，a 4＝b 4＝8，a2b 2=( )A.−4B.−1C.1D.45. 命题“若△ABC 的三个内角构成等差数列，则△ABC 必有一内角为π3”的否命题（ ） A.与原命题真假相异B.与原命题真假相同C.与原命题的逆否命题的真假不同D.与原命题的逆命题真假相异6. 已知实数x ，y 满足线性约束条件{x ≥1x +y ≥0x −y +2≥0，则z ＝2x +y 的最小值为（ ）A.−1B.1C.−5D.57. 中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法．古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币（如图1）做统计，现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm ，正方形的边长为1cm ，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是P ，则圆周率π的近似值为（ ）A.14(1−p) B.11−pC.11−4pD.41−p8. 将函数y ＝sin ωx （其中ω>0）的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(3π4,0)，则ω的最小值是（ ）A.13B.1C.53 D.29. 在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC =π2，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE ⊥BD ，则AE →⋅BC →=( ) A.16 B.12C.8D.−410. 直线l 是圆x 2+y 2＝4在(−1, −√3)处的切线，点P 是圆x 2−4x +y 2+3＝0上的动点，则P 到l 的距离的最小值等于（ ） A.√3 B.2C.3D.411. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF // 平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（ ）A.[√2,√3]B.[√2,√5]C.[√2,√6]D.[√2,√7]12. 已知点F 1，F 2分别是双曲线C:x 2−y 2b 2=1(b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|F 1F 2|＝2|OP|，tan ∠PF 2F 1≥3，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A.(1, √102] B.[√102,+∞) C.(1, √102) D.(√102, 2] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡上的相应位置.13. 设曲线y ＝ax +e x 在点(0, 1)处的切线方程为3x −y +1＝0，则a ＝________．14. 若4sin α−3cos α＝0，则sin 2α+2cos 2α＝________．15. 若椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与圆C 1:x 2+y 2＝9和圆C 2:x 2+y 2＝8均有且只有两个公共点，则椭圆C的标准方程是________x 29+y 28=1 ．16. 已知三棱锥S −ABC 的各顶点都在同一个球面上，△ABC 所在截面圆的圆心O 在AB 上，SO ⊥面ABC ，AC＝1，BC =√3，若三棱锥的体积是√33，则该球体的球心到棱AC 的距离是________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，a 2⋅a 4＝8，S 5＝15；等比数列{b n }的前n 项和T n =2n −1． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）当{a n }各项为正时，设c n ＝a n ⋅b n ，求数列{c n }的前n 项和．18. 如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形AB // CD，∠ABC＝∠BCD＝90∘，BC＝CD=AB2=2．（1）证明：BD⊥PD；（2）若△PAD为正三角形，求C点到平面PBD的距离．19. 为了了解居民的家庭收人情况，某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了n户家庭进行问卷调查．经调查发现，这些家庭的月收人在5000元到8000元之间，根据统计数据作出如图所示的频率分布直方图．已知图中从左至右第一、三、四小组的频率之比为1:3:6，且第四小组的频数为18．（1）求n；（2）求这n户家庭月收人的众数与中位数（结果精确到0.1）；（3）这n户家庭月收入在第一、二、三小组的家庭中，用分层抽样的方法任意抽取6户家庭，并从这6户家庭中随机抽取2户家庭进行慰问，求这2户家庭月收入都不超过6000元的概率．20. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴顶点分别为A，B，且短轴长为2，T为椭圆上异于A，B的任意一点，直线TA，TB的斜率之积为−13．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，圆O:x2+y2=34的切线l与椭圆C相交于P，Q两点，求△POQ面积的最大值．21. 函数f(x)＝a2ln x−a2+a2x2+ax(a≠0)．（1）当a＝−1时，求f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+2cosαy=√3+2sinα（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝4sinθ（1）写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若射线OM:θ＝α0(ρ≥0)平分曲线C1，且与曲线C2交于点A，曲线C2上的点B满足∠AOB=π2，求|AB|．23. 已知a>0，b>0，且a2+b2＝1．（1）证明：(1a+1b)(a5+b5)≥1；（2）若1a2+4b2≥|2x−1|−|x−1|恒成立，求x的取值范围．参考答案与试题解析2020年四川省成都市双流中学高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1.【答案】 C【考点】 交集及其运算 【解析】先求出集合A 和B ，由此利用交集的定义能求出A ∩B ． 【解答】解：∵ 集合A ={x||x|<2}={x|−2<x <2}， B ={−1, 0, 1, 2, 3}， ∴ A ∩B ={−1, 0, 1}． 故选C . 2.【答案】 C【考点】 复数的模 【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案． 【解答】由(1−i)z ＝3+i ， 得z =3+i1−i =(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2+4i 2=1+2i ，则|z|=√1+22=√5． 3.【答案】 B【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】根据平面向量的数量积，利用模长公式和两向量的夹角公式，计算即可． 【解答】由a →,b →为单位向量，且|2a →−b →|=√3， 所以(2a →−b →)2=3， 即4a →2−4a →⋅b →+b →2=3； 设a →与b →的夹角为θ， 则4−4cos θ+1＝3，解得cos θ=12；又θ∈[0, π]， 所以θ=π3． 4.【答案】 C【考点】等差数列与等比数列的综合 【解析】等差数列{a n }的公差设为d 和等比数列{b n }的公比设为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d ，q ，计算可得所求值． 【解答】等差数列{a n }的公差设为d 和等比数列{b n }的公比设为q ， 由a 1＝b 1＝−1，a 4＝b 4＝8， 可得−1+3d ＝−q 3＝8， 可得d ＝3，q ＝−2， 则a 2b 2=−1+3−(−2)=1，5.【答案】 B【考点】四种命题间的逆否关系 【解析】根据命题的否命题与原命题的关系，写出否命题，并判断逆命题的真假即可得到结论． 【解答】原命题“若△ABC 的三个内角构成等差数列，则△ABC 必有一内角为π3”；若A ，B ，C 成等差数列，则A +C ＝2B ，又A +C +B ＝3B ＝π；解得B =π3；故其为真命题； 否命题：“若△ABC 的三个内角不能构成等差数列，则△ABC 任意内角均不为π3”根据互为逆否命题的两命题同真假，否命题与逆命题互为逆否命题，即可以研究其逆命题的真假； 逆命题为：若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三个内角构成等差数列”； 若△ABC 有一内角为π3，不妨设B =π3，则A +C ＝π−B =2π3=2B ；所以A +C ＝2B ；即△ABC 的三个内角构成等差数列；所以其逆命题为真； 则否命题为真； 6.【答案】 B【考点】简单线性规划 【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可． 【解答】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：z ＝2x +y ，其中z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值， 联立直线方程：{x =1x +y =1，可得点的坐标为：A(1, −1)，据此可知目标函数的最小值为：z ＝2x +y ＝2−1＝1． 7.【答案】 A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】计算圆形钱币的面积和正方形的面积，求出对应面积比得P ，则π可求． 【解答】圆形钱币的半径为2cm ，面积为S 圆＝π⋅22＝4π； 正方形边长为1cm ，面积为S 正方形＝12＝1． 在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是 P =S−S S=1−14π，则π=14(1−p)．8.【答案】 D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】图象变换后所得图象对应的函数为y ＝sin ω(x −π4)，再由所得图象经过点(3π4,0)可得sin ω(3π4−π4)＝sin (ωπ2)＝0，故ω⋅π2=kπ，由此求得ω的最小值． 【解答】将函数y ＝sin ωx （其中ω>0）的图象向右平移π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝sin ω(x −π4)．再由所得图象经过点(3π4,0)可得sin ω(3π4−π4)＝sin (ωπ2)＝0，∴ ω⋅π2=kπ，k ∈z ． 故ω的最小值是2， 9.【答案】 A【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】由题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量AE →、BD →和BC →，计算即可． 【解答】建立平面直角坐标系，如图所示；则A(0, 4)，B(0, 0)，C(6, 0)，D(3, 2)， 设E(x, 0)，则AE →=(x, −4)，BD →=(3, 2)， 由AE ⊥BD ，得AE →⋅BD →=3x −8＝0，解得x=83，∴ AE →=(83, −4)； 又BC →=(6, 0)，∴ AE →⋅BC →=83×6−4×0＝16．10.【答案】 B【考点】直线与圆的位置关系 圆的切线方程 【解析】根据题意，由圆的切线方程可得直线l 的方程，由圆的方程分析圆的圆心与半径，进而求出圆心到直线l 的距离，结合直线与圆的位置关系分析可得答案． 【解答】根据题意，直线l 是圆x 2+y 2＝4在(−1, −√3)处的切线，则直线l 的方程为−x −√3y ＝4，变形可得x +√3y +4＝0，圆x2−4x+y2+3＝0，即(x−2)2+y2＝1，其圆心为(2, 0)，半径r＝1，点P是圆x2−4x+y2+3＝0上的动点，则圆心到直线l的距离d=1+3=3，则P到l的距离的最小值d−r＝3−1＝2；11.【答案】C【考点】棱柱的结构特征【解析】过E作出与平面BB1D1D平行的截面，得出F的轨迹，从而得出EF的长度范围．【解答】取AD的中点N，A1D1的中点M，连结MN，NE，ME，则NE // BD，MN // DD1，∴平面MNE // 平面BDD1B1，∴当F在线段MN上时，EF始终与平面BB1D1D平行，故EF的最小值为NE=√2，最大值为ME=√4+2=√6．12.【答案】A【考点】双曲线的离心率【解析】由|F1F2|＝2|OP|，可得PF1⊥PF2，利用勾股定理及双曲线的定义，结合tan∠PF2F1≥3列式求解双曲线C的离心率的取值范围．【解答】∵|F1F2|＝2|OP|，∴|OP|＝c，根据三角形的性质可知，△PF1F2为直角三角形，则PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，①由双曲线的定义可得：|PF1|−|PF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|+2a，②将②代入①得：(|PF2|+2a)2+|PF2|2＝4c2，整理可得|PF2|2+2a|PF2|＝2c2−2a2，配方可得(|PF2|+a)2＝2c2−a2，又tan∠PF2F1=|PF1||PF2|≥3，③，则|PF1|≥3|PF2|，结合②得0<|PF2|≤a，则两边同时加上a得：a<|PF2|+a≤2a，即有a2<(|PF2|+a)2≤4a2，所以a2<2c2−a2≤4a2，解得a<c≤√102a即1<e≤√102二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡上的相应位置.13.【答案】2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】先对原函数求导数，然后分别求出切点处的导数值，利用斜率为3，求出a的值．【解答】由已知得f′(x)＝a+e x，∴f′(0)＝a+1．因为切线斜率为3．∴a+1＝3，所以a＝2．14.【答案】5625【考点】二倍角的三角函数【解析】由已知等式利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算求值得解．【解答】∵4sinα−3cosα＝0，∴可得tanα=sinαcosα=34，∴sin2α+2cos2α=2sinαcosα+2cos2αsinα+cosα=2tanα+2tanα+1=2×34+2916+1=5625．15.【答案】x29+y28=1【考点】椭圆的离心率【解析】利用已知条件求出椭圆的半长轴与半短轴的长，即可得到椭圆方程．【解答】椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与圆C1:x2+y2＝9和圆C2:x2+y2＝8均有且只有两个公共点，所以a＝3，b＝2√2，所以椭圆方程为：x29+y28=1，16.【答案】√214【考点】点、线、面间的距离计算【解析】作图，分析可知O1D为球心到棱AC的距离，再求解即可．【解答】∵，△ABC所在截面圆的圆心O在AB上，SO⊥面ABC，AC＝1，BC=√3，若三棱锥的体积是√33，∴ △ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90∘，△ABC 外接圆的半径为12AB =12×√1+3=1，设球心为O 1，半径为R ，过O 作OD ⊥AC 于点D ，连接O 1D ，∵ SO ⊥面ABC ，AD 在平面ABC 内， ∴ SO ⊥AD ，又OD ⊥AD ，OD 在平面SOD 内，SO 在平面SOD 内，SO ∩OD ＝O ， ∴ AD ⊥平面SOD ， ∵ O 1D 在平面SOD 内， ∴ AD ⊥O 1D ，则O 1D 为球心到棱AC 的距离，依题意可得OD =12BC =√32， ∴ 13×12×√3×1×SO =√33， ∴ SO ＝2，则R =√1+(2−R)2， ∴ R =54，∴ OO 1=SO −R =2−54=34，O 1D =√OO 12+OD 2=√214． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【答案】由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则 {(a 1+d)(a 1+3d)=85a 1+5×42⋅d =15 ，解得{a 1=1d =1 ，或{a 1=5d =−1 ． ∴ 数列{a n }的通项公式为a n ＝n ，或a n ＝6−n ．对于等比数列{b n }，当n ＝1时，b 1＝21−1＝1，当n ≥2时，b n ＝T n −T n−1＝2n −1−2n−1−1＝2n−1． ∴ 数列{b n }的通项公式为b n ＝2n−1． 由题意即（1）知，a n ＝n ， 则c n ＝a n ⋅b n ＝n ⋅2n−1．设数列{c n }的前n 项和为X n ，则X n ＝c 1+c 2+...+c n ＝1⋅1+2⋅2+3⋅22+...+n ⋅2n−1． 2X n ＝1⋅2+2⋅22+...+(n −1)⋅2n−1+n ⋅2n 两式相减，可得−X n ＝1+2+22+...+2n−1−n ⋅2n =1−2n 1−2−n ⋅2n ＝(1−n)⋅2n −1，∴ X n ＝(n −1)⋅2n +1． 【考点】 数列的求和 【解析】本题第（1）题根据等差数列的通项公式和求和公式进行代入计算可得数列{a n }的通项公式，再运用b n ={T 1,n =1T n −T n−1,n ≥2，可得数列{b n }的通项公式；第（2）题先计算出数列{c n }的通项公式，然后运用错位相减法求出前n 项和． 【解答】由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则{(a 1+d)(a 1+3d)=85a 1+5×42⋅d =15 ，解得{a 1=1d =1 ，或{a 1=5d =−1．∴ 数列{a n }的通项公式为a n ＝n ，或a n ＝6−n ．对于等比数列{b n }，当n ＝1时，b 1＝21−1＝1，当n ≥2时，b n ＝T n −T n−1＝2n −1−2n−1−1＝2n−1． ∴ 数列{b n }的通项公式为b n ＝2n−1． 由题意即（1）知，a n ＝n ， 则c n ＝a n ⋅b n ＝n ⋅2n−1．设数列{c n }的前n 项和为X n ，则X n ＝c 1+c 2+...+c n ＝1⋅1+2⋅2+3⋅22+...+n ⋅2n−1． 2X n ＝1⋅2+2⋅22+...+(n −1)⋅2n−1+n ⋅2n 两式相减，可得 −X n ＝1+2+22+...+2n−1−n ⋅2n=1−2n 1−2−n ⋅2n ＝(1−n)⋅2n −1，∴ X n ＝(n −1)⋅2n +1．18.【答案】证明：因为BC ＝CD ＝2，AB ＝4，又底面ABCD 为直角梯形，∴ AD =2√2,BD =2√2,AD 2+BD 2=AB 2， ∴ BD ⊥AD ，又侧面PAD ⊥底面ABCD ， ∴ BD ⊥平面PAD ， 又PD 在平面PAD 内， ∴ BD ⊥PD ；因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，△PAD 为等边三角形，取AD 的中点M ，连接PM ， ∴ PM ⊥平面ABCD ，PM =√6，∴ V P−BCD =13PM ⋅S △BCD =13×√6×12×2×2=2√63， 设 C 点到 面PBD 的距离为为 d ，则V P−BCD =13dS △PBD =13d ⋅12⋅2√2⋅2√2=2√63， ∴ d =√62．【考点】点、线、面间的距离计算 【解析】（1）利用面面垂直的性质定理即可证出． （2）利用等体法即可求解． 【解答】证明：因为BC ＝CD ＝2，AB ＝4，又底面ABCD 为直角梯形，∴AD=2√2,BD=2√2,AD2+BD2=AB2，∴BD⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，∴BD⊥平面PAD，又PD在平面PAD内，∴BD⊥PD；因为侧面PAD⊥底面ABCD，△PAD为等边三角形，取AD的中点M，连接PM，∴PM⊥平面ABCD，PM=√6，∴V P−BCD=13PM⋅S△BCD=13×√6×12×2×2=2√63，设C点到面PBD的距离为为d，则V P−BCD=13dS△PBD=13d⋅12⋅2√2⋅2√2=2√63，∴d=√62．19.【答案】设从左至右第一、三、四小组的频率分别为p1，p2，p3，则由题意可知：{p2=3p1p3=6p1p1+p2+p3+(0.02+0.04+0.04)×5=1，解得：{p1=0.05p2=0.15p3=0.3，从而n=180.3=60；由于第四小组的频率最大，故这n户家庭月收入的众数为65+702=67.5，由于前4组的频率之和为：0.05+0.1+0.15+0.3＝0.6>0.5，故这n户家庭月收入的中位数应落在第四小组，设中位数为x，则0.05+0.1+0.15+x−652×0.3=0.5，解得：x＝66.3；因为家庭月收入在第一、二、三小组的家庭分别有3，6，9户，按照分层抽样的方法分别抽取1，2，3户，第一组记为a，第二组记为b，c，第三组记为d，e，f，从中随机抽取2户家庭的方法共有(a, b)，(a, c)，(a, d)，(a, e)，(a, f)，(b, c)，(b, d)，(b, e)，(b, f)，(c, d)，(c, e)，(c, f)，(d, e)，(d, f)，(e, f)共有15种，其中这2户家庭月收入都不超过6000元的有：(a, b)，(a, c)，(a, d)，(a, e)，(a, f)，(b, c)，(b, d)，(b, e)，(b, f)，(c, d)，(c, e)，(c, f)，共12种，所以这2户家庭月收入都不超过6000元的概率为P=1215=45．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率频率分布直方图【解析】（1）根据从左至右第一、三、四小组的频率之比为1:3:6，求出第四小组的频率，再由频率=，即可求解；（2）由频率分布直方图第四小组矩形底边中点的横坐标为众数，中位数等于各个小矩形面积与其小矩形底边中点横坐标之积的和；（3）根据分层抽样得出第一、二、三小组应分别抽取1，2，3，分别记为a，b，c，d，e，f，依次列出基本事件个数，由古典概型的概率公式即可求解．【解答】设从左至右第一、三、四小组的频率分别为p1，p2，p3，则由题意可知：{p2=3p1p3=6p1p1+p2+p3+(0.02+0.04+0.04)×5=1，解得：{p1=0.05p2=0.15p3=0.3，从而n=180.3=60；由于第四小组的频率最大，故这n户家庭月收入的众数为65+702=67.5，由于前4组的频率之和为：0.05+0.1+0.15+0.3＝0.6>0.5，故这n户家庭月收入的中位数应落在第四小组，设中位数为x，则0.05+0.1+0.15+x−652×0.3=0.5，解得：x＝66.3；因为家庭月收入在第一、二、三小组的家庭分别有3，6，9户，按照分层抽样的方法分别抽取1，2，3户，第一组记为a，第二组记为b，c，第三组记为d，e，f，从中随机抽取2户家庭的方法共有(a, b)，(a, c)，(a, d)，(a, e)，(a, f)，(b, c)，(b, d)，(b, e)，(b, f)，(c, d)，(c, e)，(c, f)，(d, e)，(d, f)，(e, f)共有15种，其中这2户家庭月收入都不超过6000元的有：(a, b)，(a, c)，(a, d)，(a, e)，(a, f)，(b, c)，(b, d)，(b, e)，(b, f)，(c, d)，(c, e)，(c, f)，共12种，所以这2户家庭月收入都不超过6000元的概率为P=1215=45．20.【答案】由题意可知2b＝2，b＝1，A(0, 1)，B(0, −1)，设T(x0, y0)，满足x02a2+y02=1，由k TA⋅k TB=y0−1x0⋅y0+1x0=y02−1x02=−1a2=−13，则a2＝3，所以椭圆C的方程：x23+y2=1；设直线PQ的方程：x＝my+t，P(x1, y1)，Q(x2, y2)，由O到直线PQ的距离d=2=√32，即t2=34(1+m2)，联立方程组{x=my+tx23+y2=1，消去x，整理得(m2+3)y2+2mty+t2−3＝0，则△＝(2mt)2−4(m2+3)(t2−3)＝12(m2−t2+3)＝3(m2+9)>0，y1+y2=−2mtm2+3，y1y2=t2−3m2+3，则|PQ|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√3×√(1+m 2)(m 2+9)(m 2+3)2，由(1+m 2)(m 2+9)(m 2+3)2=13×(3+3m 2)(m 2+9)(m 2+3)2≤13×(3+3m 2+m 2+92)2(m 2+3)2=43，当且仅当3+3m 2＝m 2+9，即m 2＝3，m =±√3时取等号， 所以|PQ|=√3×√(1+m 2)(m 2+9)(m 2+3)2≤√3×3=2， 所以△POQ 面积S =12×|PQ|×√32≤12×2×√32=√32， 所以△POQ 面积的最大值√32．【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 椭圆的标准方程 【解析】（1）根据直线的斜率公式及b ＝1，求得椭圆方程；（2）设直线PQ 的方程x ＝my +t ，根据点到直线的距离公式求得t 与m 的关系，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式，根据基本不等式构造，求得|PQ|的最大值，即可求得△POQ 面积的最大值． 【解答】由题意可知2b ＝2，b ＝1，A(0, 1)，B(0, −1)， 设T(x 0, y 0)，满足x 02a2+y 02=1，由k TA ⋅k TB =y 0−1x 0⋅y 0+1x 0=y 02−1x 02=−1a 2=−13，则a 2＝3，所以椭圆C 的方程：x 23+y 2=1；设直线PQ 的方程：x ＝my +t ，P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)， 由O 到直线PQ 的距离d =2=√32，即t 2=34(1+m 2)，联立方程组{x =my +tx 23+y 2=1，消去x ，整理得(m 2+3)y 2+2mty +t 2−3＝0，则△＝(2mt)2−4(m 2+3)(t 2−3)＝12(m 2−t 2+3)＝3(m 2+9)>0， y 1+y 2=−2mt m 2+3，y 1y 2=t 2−3m 2+3，则|PQ|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√3×√(1+m 2)(m 2+9)(m 2+3)2，由(1+m 2)(m 2+9)(m +3)=13×(3+3m 2)(m 2+9)(m +3)≤13×(3+3m 2+m 2+92)2(m +3)=43，当且仅当3+3m 2＝m 2+9，即m 2＝3，m =±√3时取等号， 所以|PQ|=√3×√(1+m 2)(m 2+9)(m 2+3)2≤√3×√3=2，所以△POQ 面积S =12×|PQ|×√32≤12×2×√32=√32， 所以△POQ 面积的最大值√32． 21.【答案】f(x)的定义域是(0, +∞)， a ＝−1时，f(x)＝ln x −x ，f′(x)=1−x x，令f′(x)>0，解得：x <1，令f′(x)<0，解得：x >1，故f(x)在(0, 1)递增，在(1, +∞)递减； f′(x)=a 2x−(a 2+a)x +a =−a(x−1)[(a+1)x+a]x，①a >0时，(a +1)x +a >0，令f′(x)>0，解得：0<x <1，令f′(x)<0，解得：x >1， 故f(x)在x ＝1处取极大值；②a ≤−1时，(a +1)x +a <0， f′(x)=−a(x−1)[(a+1)x+a]x，令f′(x)>0，解得：0<x <1，令f′(x)<0，解得：x >1， 故f(x)在x ＝1处取极大值； ③a =−12时，f′(x)=(x−1)24x≥0，则f(x)无极值；④−1<a <−12时，令f′(x)>0，解得：0<x <1或x >−a a+1，令f′(x)<0，解得：1<x <−aa+1， 故f(x)在x ＝1处取极大值； ⑤−12<a <0时，令f′(x)>0，解得：0<x <−aa+1或x >1， 令f′(x)<0，解得：−a a+1<x <1，故f(x)在x ＝1处取极小值；综上，a 的范围是(−∞, −12)∪(0, +∞)．【考点】利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）代入a 的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值，确定a 的范围即可． 【解答】f(x)的定义域是(0, +∞)，a ＝−1时，f(x)＝ln x −x ，f′(x)=1−x x，令f′(x)>0，解得：x <1，令f′(x)<0，解得：x >1， 故f(x)在(0, 1)递增，在(1, +∞)递减； f′(x)=a 2x−(a 2+a)x +a =−a(x−1)[(a+1)x+a]x，①a >0时，(a +1)x +a >0，令f′(x)>0，解得：0<x <1，令f′(x)<0，解得：x >1， 故f(x)在x ＝1处取极大值；②a ≤−1时，(a +1)x +a <0， f′(x)=−a(x−1)[(a+1)x+a]x，令f′(x)>0，解得：0<x <1，令f′(x)<0，解得：x >1， 故f(x)在x ＝1处取极大值； ③a =−12时，f′(x)=(x−1)24x≥0，则f(x)无极值；④−1<a <−12时，令f′(x)>0，解得：0<x <1或x >−aa+1， 令f′(x)<0，解得：1<x <−aa+1， 故f(x)在x ＝1处取极大值； ⑤−12<a <0时，令f′(x)>0，解得：0<x <−aa+1或x >1， 令f′(x)<0，解得：−a a+1<x <1，故f(x)在x ＝1处取极小值；综上，a 的范围是(−∞, −12)∪(0, +∞)．选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 【答案】由曲线C 1的参数方程为{x =1+2cos αy =√3+2sin α （α为参数），得(x −1)2+(y −√3)2=4，整理得：x 2+y 2−2x −2√3y =0，∴ ρ2−2ρcos θ−2√3ρsin θ=0，即ρ−2cos θ−2√3sin θ=0； 由ρcos 2θ＝4sin θ，得ρ2cos 2θ＝4ρsin θ， 即x 2＝4y ；曲线C 1是圆，射线OM 过圆心，∴ 射线OM 方程是θ=π3(ρ≥0)， 代入ρcos 2θ＝4sin θ，得ρA =4sinπ3cos 2π3=8√3，又∠AOB =π2，∴ ρB =4sin5π6cos 25π6=83．∴ |AB|=√ρA 2+ρB 2=√(8√3)2+(83)2=16√73．【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】（1）曲线C 1的参数方程消去参数，能求出曲线C 1的直角坐标方程，由此能求出曲线C 1的极坐标方程；把曲线C 2的极坐标方程两边同时乘以ρ，即可得到曲线C 2的直角坐标方程；（2）射线OM 方程是θ=π3(ρ≥0)，代入曲线C 2的极坐标方程求得A 的极径，再求出B 的极径，再由勾股定理求|AB|． 【解答】由曲线C 1的参数方程为{x =1+2cos αy =√3+2sin α （α为参数），得(x −1)2+(y −√3)2=4，整理得：x 2+y 2−2x −2√3y =0，∴ ρ2−2ρcos θ−2√3ρsin θ=0，即ρ−2cos θ−2√3sin θ=0； 由ρcos 2θ＝4sin θ，得ρ2cos 2θ＝4ρsin θ， 即x 2＝4y ；曲线C 1是圆，射线OM 过圆心，∴ 射线OM 方程是θ=π3(ρ≥0)， 代入ρcos 2θ＝4sin θ，得ρA =4sinπ3cos 2π3=8√3，又∠AOB =π2，∴ ρB =4sin5π6cos 25π6=83．∴ |AB|=√ρA 2+ρB 2=√(8√3)2+(83)2=16√73．23.【答案】证明：(1a+1b )(a 5+b 5)=a 4+b 4+b 5a +a 5b ≥a 4+b 4+2√a 4b 4=(a 2+b 2)2=1；由a 2+b 2＝1得1a 2+4b 2=(1a 2+4b 2)(a 2+b 2)=5+b 2a 2+4a 2b 2≥9，当且仅当“2a 2＝b 2”时取等号，∴ |2x −1|−|x −1|≤9恒成立，当x ≥1时，|2x −1|−|x −1|＝x ≤9，解得1≤x ≤9； 当12≤x <1时，|2x −1|−|x −1|＝3x −2≤9，解得12≤x <1；当x <12时，|2x −1|−|x −1|＝−x ≤9，解得−9≤x <12； 综上，x 的取值范围[−9, 9]． 【考点】 不等式的证明 【解析】（1）利用基本不等式即可证出．（2）利用基本不等式求出1a2+4b2最小值，然后再分类讨论解不等式即可求解．【解答】证明：(1a +1b)(a5+b5)=a4+b4+b5a+a5b≥a4+b4+2√a4b4=(a2+b2)2=1；由a2+b2＝1得1a2+4b2=(1a2+4b2)(a2+b2)=5+b2a2+4a2b2≥9，当且仅当“2a2＝b2”时取等号，∴|2x−1|−|x−1|≤9恒成立，当x≥1时，|2x−1|−|x−1|＝x≤9，解得1≤x≤9；当12≤x<1时，|2x−1|−|x−1|＝3x−2≤9，解得12≤x<1；当x<12时，|2x−1|−|x−1|＝−x≤9，解得−9≤x<12；综上，x的取值范围[−9, 9]．。
四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）含答案解析
四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}，则∁U A=（）A．（一∞，﹣1）∪（2，+∞） B．[﹣l，2]C．（一∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（一1，2）2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c3．双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．4．已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（）A．一B．C．﹣D．5．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l6．已知x与y之间的一组数据：x1234y m 3.2 4.87.5若y关于x的线性回归方程为=2.1x﹣1.25，则m的值为（）A．l B．0.85 C．0.7 D．0.57．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），且当x∈[0，）时，f（x）=一x3．则f（）=（）A．﹣B．C．﹣D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为（）A．B．C．5 D．39．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（，0）10．在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③11．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣312．已知曲线C1：y2=tx （y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+l﹣1也相切，则t的值为（）A．4e2B．4e C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z=（i为虚数单位）的虚部为．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为．15．若实数x，y满足约束条件，则3x﹣y的最大值为．16．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某省高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．18．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．20．已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．（I）若直线l1的倾斜角为，|AB|的值；（Ⅱ）设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l．21．已知函数f（x）=xlnx+（l﹣k）x+k，k∈R．（I）当k=l时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，求使不等式f（x）＞0恒成立的最大整数k的值．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}，则∁U A=（）A．（一∞，﹣1）∪（2，+∞） B．[﹣l，2]C．（一∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（一1，2）【考点】补集及其运算．【分析】解不等式求出集合A，根据补集的定义写出∁U A．【解答】解：集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}={x|﹣1＜x＜2}，则∁U A={x|x≤﹣1或x≥2}=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．故选：C．2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c【考点】四种命题．【分析】根据命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，写出即可．【解答】解：命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是“若a+c＞b+c，则a＞b”．故选：C．3．双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】通过双曲线方程求出a，b，c的值然后求出离心率即可．【解答】解：因为双曲线，所以a=，b=2，所以c=3，所以双曲线的离心率为：e==．故选B．4．已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（）A．一B．C．﹣D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据α为锐角，且sinα=，可得cosα=，利用诱导公式化简cos（π+α）=﹣cosα可得答案．【解答】解：∵α为锐角，sinα=，∴cosα=，那么cos（π+α）=﹣cosα=﹣．故选A．5．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的结果为0，得出输入的x．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，x≤0，y=﹣x2+1=0，∴x=﹣1，x＞0，y=3x+2=0，无解，故选：C．6．已知x与y之间的一组数据：x1234y m 3.2 4.87.5若y关于x的线性回归方程为=2.1x﹣1.25，则m的值为（）A．l B．0.85 C．0.7 D．0.5【考点】线性回归方程．【分析】根据回归直线经过样本数据中心点，求出y的平均数，进而可求出m 值．【解答】解：∵=2.5，=2.1x﹣1.25，∴=4，∴m+3.2+4.8+7.5=16，解得m=0.5，故选：D．7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），且当x∈[0，）时，f（x）=一x3．则f（）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性和条件求出函数是周期为3的周期函数，利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化即可得到结论．【解答】解：∵奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），∴函数f（x）是周期为3的函数，∵当x∈[0，）时，f（x）=﹣x3，∴f（）=f（﹣6）=f（﹣）=﹣f（）=，故选：B．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为（）A．B．C．5 D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面是边长为3的正方形，高PA=4．可得最长的棱长为PC．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面是边长为3的正方形，高PA=4．连接AC，则最长的棱长为PC===．故选：B．9．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（，0）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得g（x）图象的一个对称中心．【解答】解：将函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+sin2x）=2sin（2x+）图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）=2sin2x的图象，令2x=kπ，求得x=，k∈Z，令k=1，可得g（x）图象的一个对称中心为（，0），故选：D．10．在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】棱柱的结构特征．【分析】在①中，由AA1EH GF，知四边形EFGH是平行四边形；在②中，平面α与平面BCC1B1平行或相交；在③中，EH⊥平面BCEF，从而平面α⊥平面BCFE．【解答】解：如图，∵在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．∴AA1EH GF，∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确；∵EF与BC不一定平行，∴平面α与平面BCC1B1平行或相交，故②错误；∵AA1EH GF，且AA1⊥平面BCEF，∴EH⊥平面BCEF，∵EH⊂平面α，∴平面α⊥平面BCFE，故③正确．故选：C．11．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，得到与的夹角为，再根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可．【解答】解：A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，∴与的夹角为，∴•=||•||•cos=2×2×=2，∵M是线段AB的中点，∴=（+），∵=﹣，∴•=（+）•（﹣）=（5||2+3••﹣2||2）=（20+6﹣8）=3，故选：A12．已知曲线C1：y2=tx （y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+l﹣1也相切，则t的值为（）A．4e2B．4e C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=的导数，求出斜率，由点斜式方程可得切线的方程，设切点为（m，n），求出y=e x+1﹣1的导数，可得切线的斜率，得到t的方程，解方程可得．【解答】解：曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0），即有y=，y′=•，在点M（，2）处的切线斜率为•=，可得切线方程为y﹣2=（x﹣），即y=x+1，设切点为（m，n），则曲线C2：y=e x+1﹣1，y′=e x+1，e m+1=，∴m=ln﹣1，n=m•﹣1，n=e m+1﹣1，可得（ln﹣1）•﹣1=e﹣1，即有（ln﹣1）•=，可得=e2，即有t=4e2．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z=（i为虚数单位）的虚部为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：z==i+1的虚部为1．故答案为：1．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为8．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】根据祖暅原理，可得图1的面积=矩形的面积，即可得出结论．【解答】解：根据祖暅原理，可得图1的面积为4×2=8．故答案为8．15．若实数x，y满足约束条件，则3x﹣y的最大值为6．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x可得结论．【解答】解：作出约束条件，所对应的可行域如图，变形目标函数可得y=3x﹣z，平移直线y=3x可知当直线经过点A（2，0）时，直线的截距最小，z取最大值，代值计算可得z=3x﹣y的最大值为6，故答案为：616．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD=．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求sin∠ACB=，从而可求∠ACB=，在△ABC中，由余弦定理可得AB，进而可求∠B，在△BCD中，由正弦定理可得CD的值．【解答】解：∵AC=，BC=，△ABC的面积为=AC•BC•sin∠ACB=sin∠ACB，∴sin∠ACB=，∴∠ACB=，或，∵若∠ACB=，∠BDC=＜∠BAC，可得：∠BAC+∠ACB＞+＞π，与三角形内角和定理矛盾，∴∠ACB=，∴在△ABC中，由余弦定理可得：AB===，∴∠B=，∴在△BCD中，由正弦定理可得：CD===．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某省高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出x=0.004，从而得到甲学校的合格率，由此能求出结果．（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，由此利用列举法能求出随机抽取2名学生，抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意知10x+0.012×10+0.056×10+0.018×10+0.010×10=1，解得x=0.004，∴甲学校的合格率为1﹣10×0.004=0.96，而乙学校的合格率为：1﹣=0.96，故甲乙两校的合格率相同．（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，则随机抽取2名学生的基本事件有：{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，C4}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共15个，其中“抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D”包含的基本事件有9个，∴抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率p=．18．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，a4=8a1，可得=8a1，解得q．又a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）=a1+a3，当然解得a1，利用等比数列的通项公式即可得出．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，可得S1=2．当n≥2时，a n﹣4≥0．数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4），再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a4=8a1，∴=8a1，a1≠0，解得q=2．又a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1（1+22），解得a1=2．∴a n=2n．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，∴S1=2．当n≥2时，a n﹣4≥0．∴数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4）=2+22+23+…+2n﹣4（n﹣1）=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2．∴S n=．19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．【考点】球的体积和表面积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出PD⊥平面PEF，RG∥PD，由此能证明GR⊥平面PEF．（Ⅱ）设三棱锥P﹣DEF的内切球半径为r，由三棱锥的体积V=，能求出棱锥P﹣DEF的内切球的半径．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，∠A、∠B、∠C均为直角，∴在三棱锥P﹣DEF中，PE，PF，PD三条线段两两垂直，∴PD ⊥平面PEF ， ∵=，即，∴在△PDH 中，RG ∥PD ，∴GR ⊥平面PEF ．解：（Ⅱ）正方形ABCD 边长为4， 由题意PE=PF=2，PD=4，EF=2，DF=2，∴S △PDF =2，S △DEF =S △DPE =4，=6，设三棱锥P ﹣DEF 的内切球半径为r ， 则三棱锥的体积：=，解得r=，∴三棱锥P ﹣DEF 的内切球的半径为．20．已知椭圆的右焦点为F ，设直线l ：x=5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点． （I ）若直线l 1的倾斜角为，|AB |的值；（Ⅱ）设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l ．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（I ）设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|AB |的值；（Ⅱ）设直线l 1的方程为y=k （x ﹣1），代入椭圆方程，由A ，M ，N 三点共线，求得N点坐标，y0﹣y2=﹣y2=﹣k（x2﹣1），代入，利用韦达定理即可求得y0=y2，则直线BN⊥l．【解答】解：（I）由题意可知：椭圆，a=，b=2，c=1，则F（1，0），E（5，0），M（3，0），由直线l1的倾斜角为，则k=1，直线l的方程y=x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：9x2﹣10x﹣15=0，则x1+x2=，x1x2=﹣，则丨AB丨=•=，|AB|的值；（Ⅱ）设直线l1的方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20=0，则x1+x2=，x1x2=，设N（5，y0），由A，M，N三点共线，有=，则y0=，由y0﹣y2=﹣y2=﹣k（x2﹣1）=，==0，∴直线BN∥x轴，∴BN⊥l．21．已知函数f（x）=xlnx+（l﹣k）x+k，k∈R．（I）当k=l时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，求使不等式f（x）＞0恒成立的最大整数k的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当k=1时，f（x）=xlnx+1，f′（x）=lnx+1，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．（Ⅱ）由f（x）＞0恒成立，得xlnx+（1﹣k）x+k＞0，推导出k＜恒成立，设g（x）=，则g′（x）=，令μ（x）=﹣lnx+x﹣2，则，由此利用导数秘技能求出k的最大整数值．【解答】解：（Ⅰ）当k=1时，f（x）=xlnx+1，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x）＞0，得x＞；由f′（x）＜0，得0＜x＜，∴f（x）的单调递增区间为（，+∞），单调减区间为（0，）．（Ⅱ）由f（x）＞0恒成立，得xlnx+（1﹣k）x+k＞0，∴（x﹣1）k＜xlnx+x，∵x＞1，∴k＜恒成立，设g（x）=，则g′（x）=，令μ（x）=﹣lnx+x﹣2，则，∵x＞0，∴μ′（x）＞0，μ（x）在（1，+∞）上单调递增，而μ（3）=1﹣ln3＜0，μ（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4），使μ（x0）=0，即x0﹣2=lnx0，∴当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，g′（x0）＞0，此时函数g（x）单调递增，∴g（x）在x=x0处有极小值（也是最小值），∴==x0∈（3，4），又由k＜g（x）恒成立，即k＜g（x）min=x0，∴k的最大整数值为3．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）求出点M的直角坐标为（0，1），从而直线l的倾斜角为，由此能求出直线l的参数方程，代入x2=4y，得，由此利用韦达定理和两点间距离公式能求出|PQ|．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数）．∴直线l的普通方程为y=tanα•（x﹣1），由曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0，得ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，∴x2﹣4y=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y．（Ⅱ）∵点M的极坐标为（1，），∴点M的直角坐标为（0，1），∴tanα=﹣1，直线l的倾斜角为，∴直线l的参数方程为，代入x2=4y，得，设A，B两点对应的参数为t1，t2，∵Q为线段AB的中点，∴点Q对应的参数值为，又P（1，0），则|PQ|=||=3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据题意，由绝对值的性质可以将f（x）≤6转化可得或，解可得x的范围，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；进而可得正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，将2a+b变形可得2a+b=（++5），由基本不等式的性质可得2a+b的最小值，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．若f（x）≤6，则有或，解可得﹣1≤x≤4，故原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤4}；（Ⅱ）函数f（x）=x+1+|3﹣x|=，分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；则正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，2a+b=（+）（2a+b）=（++5）≥（5+2）=；即2a+b的最小值为．4月5日。
2019年四川省成都市双流中学高考数学一模试卷及参考答案(文科)
两式相减可得
+
由 x1+x2＝4．y1+y2＝2，
可得 k＝
＝﹣ ，
由﹣2≤k≤﹣1， 即有 ≤ ≤1，
＝0，
则椭圆的离心率 e＝ ＝
∈（0， ]．
故选：C． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其离心率的范围，注意运用直线恒过圆心，以及 点差法求直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．【解答】解：若 f（x）为“区域 D 上的三角形函数”． 则在区间 D 上，函数的最大值 M 和最小值 m 应满足：M＜2m， ∵函数 f（x）＝xlnx+m 在区间[ ，e]上是“三角形函数”，
故 g（x）＝sin3x＝sin[3（x﹣ ）+ ]
∴函数的图形要向右平移 个单位， 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角函数的函数图象，根据函数图象求解析式时，注意应用正 弦函数图象的关键点进行求解，考查了读图能力和图象变换法则． 9．【解答】解：0＜a＜b＜1，不妨取 a＝ ，b＝
ab＝ ，logba＝2，
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D．8 （a＞b＞0）交于 A、B 两
点，与圆 C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1 交于 C、D 两点．若存在 k∈[﹣2，﹣1]，使得 ＝
，则椭圆 C1 的离心率的取值范围是（ ）
A．（0， ]
B．[
）
C．（0， ]
D．[
）
12．（5 分）若函数 f（x）在区间 A 上，对∀a，b，c∈A，f（a），f（b），f（c）为一个三角形 的三边长，则称函数 f（x）为“三角形函数”．已知函数 f（x）＝xlnx+m 在区间[ ，e]
2024年四川省成都市双流中学中考数学一模试卷及参考答案
2024年四川省成都市双流中学中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（4分）﹣2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．2．（4分）如图所示的几何体由5个大小相同的立方块搭成，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．（4分）2023年是不平凡的一年，在严峻的经济环境下，中国经济增速达到了8.1%，令世界瞩目．人均GDP是一个地区经济发展水平的重要指标，2023年成都市的人均GDP 约为89535元，将数据89535用科学记数法表示为（）A．89.535×103B．8.9535×104C．8.9535×106D．0.89535×104 4．（4分）下列运算中正确的是（）A．a5•a3＝a15B．（2a2+a）÷a＝2aC．2a+3b＝5ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b25．（4分）六名同学的数学成绩分别为83，91，91，78，94，89．这组数据的众数和中位数分别是（）A．91，89B．94，90C．91，90D．91，916．（4分）若关于x的分式方程的解为x＝3，则m的值为（）A．1B．2C．3D．57．（4分）往直径为60cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB ＝48cm，则水的最大深度为（）A．10cm B．11cm C．12cm D．20cm8．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法不正确的是（）A．abc＜0B．a+b+c＝2C．b2﹣4ac＞0D．当x＞﹣1时，y随x增大而减小二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．（4分）分解因式4xy﹣6xz＝．10．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于原点O中心对称的点P'的坐标为．11．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O．已知OA：OD＝1：3，若△ABC 的周长等于4，则△DEF的周长等于．12．（4分）已知点A的坐标为（a，y1）和点B的坐标为（a+1，y2）都在一次函数y＝3x ﹣2图象上，则y2﹣y1的值为．13．（4分）如图，在▱ABCD中，以点A为圆心AB长为半径作弧交AD于点F，分别以点B、F为圆心，大于BF的长度为半径作弧，交于点G，连接AG并延长交BC于点E，若BF＝8，AB＝6，则AE的长为．三、解答题：（本大题共5个小题，共48分）14．（12分）（1）计算：（）﹣1+﹣6sin45°+|﹣2|．（2）解不等式组：．15．（8分）2024年，教育部先后印发对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理的通知，简称五项管理，是教育部旨在推进立德树人，促进学生身体健康、全面发展的重大举措．成都立格实验学校高度重视并积极推进五项管理．为了解立格学子手机使用情况，学校调查了部分学生寒假每天手机使用平均时长．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）参加这次调查的学生人数为，图①中m的值为；（2）求参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数；（3）通过调查分析发现，手机使用时长和学习成绩成负相关，为此，学校准备在参与调查的每天手机使用平均时长为1小时的四位同学（三男一女）中任选两位同学在全校做分享交流，请用列表或画树状图的方法，求选中两男的概率．16．（8分）凤翔湖是双流区规划建设“五湖四海”公园之一，如图，为测量双流凤翔湖规划厅A到湖心小岛C的距离，某校数学兴趣小组选择了观察点B进行了如下测量，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝70°，AB之间的距离约为1.5km，请计算出双流凤翔湖规划厅A 到湖心岛C的距离．（结果精确到0.1km）（参考数据：tan70°≈2.75，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，≈1.41）17．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD为⊙O的切线，且AC平分∠BAD．（1）求证：AD⊥DC；（2）若，AC＝，求CD的长．18．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（0，4），直线AB与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限相交于点C（a，6），（1）求反比例函数的解析式；（2）如图2，点E（6，m）是反比例函数y＝（k≠0）图象上一点，连接CE，AE，试问在x轴上是否存在一点D，使△ACD的面积与△ACE的面积相等，若存在，请求点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）新定义：如图3，在平面内，如果三角形的一边等于另一边的3倍，这两条边中较长的边称为“麒麟边”，两条边所夹的角称为“麒麟角”，则称该三角形为“麒麟三角形”，如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC为“麒麟三角形”，AB为“麒麟边”，∠BAC 为“麒麟角”，其中A，B两点在反比例函数图象上，且A点横坐标为﹣1，点C坐标为（0，2），当△ABC为直角三角形时，求n的值．四、填空题（每小题4分，共20分）19．（4分）若α、β是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则α2+2α﹣β＝．20．（4分）若有六张完全一样的卡片正面分别写有﹣1，﹣2，﹣3，0，1，2，3，现背面向上，任意抽取一张卡片，其上面的数字作为k的值能使关于x的分式方程的解为正数，且使反比例函数图象过第一、三象限的概率为．21．（4分）定义：如果三角形中有两个角的差为90°，则称这个三角形为互融三角形．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝10，点D是BC延长线上一点．若△ABD是“互融三角形”，则CD的长为．22．（4分）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，…，如此作下去，则△B2025A2025B2024的顶点A2025的坐标是．23．（4分）如图，正方形ABCD中，M、N分别是AD、BC边上的点，将四边形ABNM沿直线MN翻折，使得点A、B分别落在点A′、B′处，且点B′恰好为线段CD的中点，A'B′交AD于点G，作DP⊥MN于点P，交A'B'于点Q．若AG＝8，则PQ＝．五、解答题（本题共3个小题，共30分）24．（8分）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商场以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件．设售价为x（x≥50）元，日销售量为y件．（1）直接写出日销售量为y（件）与每件售价x（元）之间的函数关系式；（2）为了让顾客得到更大的实惠，当该吉祥物售价定为多少元时，日销售利润达7500元？（3）该商场如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴交AC于点E，求PE的最大值及此时点P的坐标；（3）将该抛物线沿x轴向右平移4个单位长度得到新抛物线y'，点N是原抛物线上一点，在新抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得以B，C，N，M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由．26．（12分）【问题背景】：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，∠BAC＝30°，点E是斜边AC的中点，过点E作ED⊥AB交AB于点D．【实验探究】（1）数学活动课中，小明同学将图1中的△ADE绕点A按顺时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①＝；②直线BD与CE所夹锐角的度数为；（2）若我们继续将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．【拓展延伸】（3）在以上探究中，当△ADE旋转至D、E、C三点共线时，则△BCD的面积为多少？（请直接写出答案）2024年四川省成都市双流中学中考数学一模试卷参考答案一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．A；2．A；3．B；4．D；5．C；6．A；7．C；8．D二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．2x（2y﹣3z）；10．（3，﹣2）；11．12；12．3；13．4三、解答题：（本大题共5个小题，共48分）14．（1）7﹣4；（2）﹣3≤x＜1．；15．40人；15；16．双流凤翔湖规划厅A到湖心岛C的距离为1.6km．；17．（1）见解析；（2）2．；18．（1）y＝；（2）存在，点D的坐标为：（4，0）或（﹣12，0）；（3）n＝．四、填空题（每小题4分，共20分）19．8；20．；21．6或；22．（4049，）；23．；五、解答题（本题共3个小题，共30分）24．y＝﹣20x+1800（x≥50）；25．（1）y＝x2+2x﹣3；（2）PE有最大值，此时P（﹣，）；（3）存在，M点坐标为（3，0）或（3，10）或（3，8）．；26．；30°。
四川省双流中学2019届高三数学第一次模拟考试试题文(含解析)
C. -11
D. -13
【答案】
C
【分析】
【剖析】
由x＞0时，函数
f（x）的图象与函数
y＝log2x的图象对于
y＝x对称可得出，
x＞0时，f（x）
＝2x，进而得出
x＞0时，g（x）＝2x+x2，再依据
g（x）是奇函数即可求出
g（﹣1）+g（﹣2）
的值．
【详解】∵x＞0时，f（x）的图象与函数y＝log2x的图象对于y＝x对称；
又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED
（Ⅱ）AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120°，可得AG=GC=,GB=GD= .
因AEEC，所以在AEC中，可得EG=.
由BE平面ABCD，知EBG直角三角形，可得BE=.
由已知得，三棱E-ACD的体.故=2
进而可得AE=EC=ED= .
所以EAC的面3，EAD的面 与ECD的面 均.
4.直线
与圆
有两个不一样交点的一个充足不用要条件是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【分析】
【剖析】
直线与圆有两不一样交点，即是直线与圆订交，依据圆心到直线的距离小于半径，即可求出结
果.
【详解】圆的圆心为，半径为；
因为直线与圆有两个不一样交点，
所以直线与圆订交，
所以，圆心到直线的距离，所以，解得；
求其充足条件即是求其子集，依据选项易得，只有A切合；
四川省双流中学高2019届高考模拟考试（一）
数学（文史类）试题
一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一
项是切合题目要求的.
四川省双流县高三数学下学期第一次模拟考试试题文(扫描版)
四川省双流县2017届高三数学下学期第一次模拟考试试题文(扫描版）
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四川省成都市(新版)2024高考数学人教版模拟(提分卷)完整试卷
四川省成都市（新版）2024高考数学人教版模拟(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知为递增的等比数列，且满足，，则（）A．B．1C．16D．32第(2)题杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算法》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．若用表示三角形数阵中的第m行第n个数，则（）A．5050B．4851C．4950D．5000第(3)题有张奖券，其中张可以中奖，现有个人从中不放回地依次各随机抽取一张，设每张奖券被抽到的可能性相同，记事件“第个人抽中中奖券”，则下列结论正确的是（）A．事件与互斥B．C．D．第(4)题已知，则（）A．B．C．D．第(5)题现有含甲在内的5名游客来到江西旅游，分别准备从井冈山、庐山、龙虎山这3个5A级景区中随机选择1个景区游玩.在这5名游客中，甲不去井冈山，但每个景区均有人选择，则这5名游客不同的选择方案种数为（）A．52B．72C．76D．100第(6)题已知函数，若方程恰有三个不同实数根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．第(7)题将正整数n分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为12的最优分解，当，是n的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为（）A．B．C．D．第(8)题设是虚数单位，则复数对应的点在平面内位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示：编号12345678910身高/cm165168170172173174175177179182体重/kg55896165677075757880由表中数据制作成如下所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为；经过残差分析确定为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．则以下结论中正确的有（）A．B．C．D．第(2)题下列说法中正确的是（）A ．若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限B．已知复数z满足，则C．是关于x的方程（m，n为实数）在复数集内的一个根，则实数n的值为26D．若复数z满足若，且，则的最小值为4第(3)题若实数，满足，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长. 清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味. 下面的几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体，则的体积为__________; 的外接球的表面积为__________.第(2)题已知向量与共线且方向相同，则_____.第(3)题已知圆关于直线对称，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则圆心到直线的距离为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知，其中．(1)当时，分别求和的的单调性；(2)求证：当时，有唯一实数解；(3)若对任意的，都有恒成立，求a的取值范围．第(2)题在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．(1)求曲线和直线的直角坐标方程；(2)已知点，直线和曲线相交于、两点，求的值第(3)题如图所示，椭圆C：（）的离心率为，左、右焦点分别为，，椭圆C过点，T为直线上的动点，过点T作椭圆C的切线，，A，B为切点.（1）求证：A，，B三点共线；（2）过点作一条直线与曲线C交于P，Q两点.过P，Q作直线的垂线，垂足依次为M，N.求证：直线与交于定点.第(4)题在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(2)若直线与曲线只有一个公共点，求的值.第(5)题已知函数．(1)若，求曲线在x＝0处的切线方程；(2)若，求a的取值范围．。
四川省成都市双流中学2020年高三数学文联考试卷含解析
四川省成都市双流中学2020年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若向量，，则（）A. (－1,1)B. (0,6)C. (－2,2)D. (0,3)参考答案：D【分析】求得，由此求得.【详解】依题意，所以，两式相加得，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查向量加法和减法的坐标运算，属于基础题.2. 已知集合，，则（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A3. 给出如下四个命题①若“且”为假命题，则、均为假命题②命题“若，则”的否命题为“若，则”③“”的否定是“”④在ABC中，“”是“”的充要条件其中不正确的命题的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1 参考答案：C若“且”为假命题，则、至少有一个为假命题，所以①不正确。
②正确。
“”的否定是，所以③不正确。
在ABC中，若，则，根据正弦定理可得，所以④正确，所以不正确的个数为2个，选C.4. （5分）已知直线（t为参数）与曲线M：ρ=2cosθ交于P，Q两点，则|PQ|=（）A． 1 B． C． 2 D．参考答案：C【考点】：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】：直线与圆；坐标系和参数方程．【分析】：运用代入法和x=ρcosθ，x2+y2=ρ2，将参数方程和极坐标方程，化为普通方程，由于圆心在直线上，可得弦长即为直径．解：直线（t为参数）即为直线y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0，由x=ρcosθ，x2+y2=ρ2，曲线M：ρ=2cosθ，可化为x2+y2﹣2x=0，即圆心为（1，0），半径r=1，由圆心在直线上，则|PQ|=2r=2，故选C．【点评】：本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，主要考查直线和圆的位置关系，属于基础题．5. 已知三棱锥的主视图与俯视图如下图，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的左视图可能为（）参考答案：B略6. 在中，，，，的面积为，则A． B． C． D．参考答案：C7. 已知集合，，则（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D，所以，即，选D. 8. 已知集合，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )A.33B.34C.35D.36参考答案：略9. 如果执行下面的框图，运行结果为( )A．B．3 C．D．4参考答案：B考点：循环结构．专题：计算题．分析：先由流程图判断其作用，即求数列=的前9项和，再对数列进行裂项求和即可解答：解：本框图的作用即求s=1++++…+=1+（﹣1）+（﹣）+…+（）==3故选B点评：本题考察了算法的表示方法，程序框图的认识和意义，循环结构的流程规则10. 已知{a n} 为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．-5D．-7参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为_______．参考答案：【知识点】极差、方差与标准差；茎叶图．I2解析：由已知可得甲的平均成绩为，方差为；乙的平均成绩为，方差为，所以方差较小的那组同学成绩的方差为．故答案为：.【思路点拨】由茎叶图数据分别求出甲乙两组的方差，比较大小．12. 已知定义域是的函数满足；（1）对任意成立；（2）当给出下列结论：①对任意；②函数的值域为；③存在；④“函数在区间上单调递减”的充要条件是“.”其中正确结论的序号是__________.参考答案：①②④13. 过点(－2，0)的直线l与抛物线相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l的斜率k等于( )参考答案：C略14. 我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为R的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是．参考答案：15. 已知函数的最大值为3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则参考答案：【知识点】二倍角的余弦；余弦函数的图象．C3 C64030 解析：∵函数=A?+1=cos（2ωx+2φ）+1+（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，∴+1+=3，∴A=2．根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即=4，∴ω=．再根据f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），可得 cos（2φ）+1+1=2，∴cos2φ=0，2φ=，∴φ=．故函数的解析式为 f（x）=cos（x+）+2=﹣sin x+2，∴f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）=﹣（sin+sin+sin+…+sin+sin）+2×2015=503×0﹣sin﹣sin﹣sin+4030=0+4030=4030，故答案为：4030．【思路点拨】由条件利用二倍角的余弦公式可得f（x）=cos（2ωx+2φ）+1+，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性求得所求式子的值．16. 若的最大值是3，则的值是.参考答案：117. 的内角的对边为，已知，则的面积为参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U =，集合A ={-2，-1，0，1，2}，B ={x |x 2≥4}，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {-2，-1，0，1}B. {0}C. {-1，0}D. {-1，0，1}2. 如果复数（1-ai ）的实部和虚部互为相反数，那么a 等于（ ）A. -B. -1C.D. 13. 若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图．该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A. 6500元B. 7000元C. 7500元D. 8000元4. 直线x -y +m =0与圆x 2+y 2-2x -1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）A. 0＜m ＜1B. -4＜m ＜2C. m ＜1D. -3＜m ＜15. 已知直线l 1：x •sinα+y -1=0，直线l 2：x -3y •cosα+1=0，若l 1⊥l 2，则sin2α=（ ）A. B.C.D.6. 一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（ ）A. 1-B. C.D.7. 已知函数g （x ）=f （x ）+x 2是奇函数，当x ＞0时，函数f （x ）的图象与函数y =log 2x的图象关于y =x 对称，则g （-1）+g （-2）=（ ） A. -7 B. -9 C. -11 D. -138. 函数f （x ）=A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g （x ）=sin3x 的图象，只需将f （x ）的图象（ ）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位9.已知0＜a＜b＜1，则a b，log b a，的关系是（）A. ＜a b＜log b aB. ＜log b a＜a bC. log b a＜＜a bD. a b＜＜log b a10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A. 20πB. 16πC. 12D. 811.已知直线与椭圆交于A，B两点,与圆交于C，D两点若存在,使得,则椭圆的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.12.若函数在区间A上,对,b,,,,为一个三角形的三边长,则称函数为“三角形函数”已知函数在区间上是“三角形函数”,则实数m的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为______．14.已知向量=（1，），=（3，m），且在上的投影为3，则向量与夹角为______．15.设变量x，y满足约束条件，目标函数z=3x-2y的最小值为-4，则a的值是______．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，C是锐角，且a=2，cos A=，则△ABC的面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.设数列{a n}的前n项之和为S n=-，数列{b n}满足b n=+32n-1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}前n项之和T n．18.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．19.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D（单位：分贝）与声音能量I（单位：W/cm2）之间的关系，将测量得到的声音强度D i和声音能量I i（i=1，2，…，10）数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值．表中W i=lg I i，．（1）根据散点图判断，D=a1+b1I与D=a2+b2lg I哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量I的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程；（3）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且．已知点P的声音能量等于声音能量I1与I2之和．请根据（1）中的回归方程，判断P点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由．附：对于一组数据（μ1，v1），（μ2，v2），…，（μn，v n），其回归直线v=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．20.如图所示，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F垂直于x轴的直线与抛物线C相交于A，B两点，抛物线C在A，B两点处的切线及直线AB所围成的三角形面积为4．（1）求抛物线C的方程；（2）设M，N是抛物线C上异于原点O的两个动点，且满足k OM•k ON=k OA•k OB，求△OMN面积的取值范围．21.已知函数f（x）=ax2-x-ln x，（a∈R，ln x≤x-1）．（1）若时，求函数f（x）的最小值；（2）若-1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为）（t为参数，0≤α＜π），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设点M的坐标为（1，0），直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．由图象可知阴影部分对应的集合为A∩（U B），然后根据集合的基本运算求解即可. 【解答】解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为A∩（U B），∵B={x|x2≥4}={x|x≥2或x≤-2}，A={-2，-1，0，1，2}，∴U B={x|-2＜x＜2}，即A∩（U B）={-1，0，1}，故选：D．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部和虚部互为相反数求解a值．【解答】解：∵（1-ai）=的实部和虚部互为相反数，∴，即a=-1．故选B．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查该教师目前的月退休金的求法，考查条形图和折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，能求出结果．【解答】解：设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000×15%-x×10%=100．解得x=8000．故选D．4.【答案】A【解析】解：圆方程整理得：（x-1）2+y2=2，∴圆心（1，0），半径r=，∵直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点，∴直线与圆相交，即d＜r，∴＜，即|m+1|＜2，解得：-3＜m＜1，则直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x+1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜m＜1，故选：A．把圆的方程整理为标准方程，找出圆心坐标与半径r，根据直线与圆有两个不同交点得到直线与圆相交，即圆心到直线的距离d小于半径r，求出m的范围，即可作出判断．此题考查了直线与圆相交的性质，直线与圆有两个不同的交点即为直线与圆相交．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了两直线的垂直条件，以及二倍角公式，属于基础题；根据两直线垂直的条件，即可求出tanα=3，再根据二倍角公式即可求出．【解答】解：因为l1⊥l2，所以sinα-3cosα=0，所以tanα=3，所以sin2α=2sinαcosα===．故选D．6.【答案】A【解析】↵【分析】本题考查几何概型的应用，考查运算求解能力，数型结合思想，是基础题.先求出总的三角形的面积，再求出它至少离一个顶点距离小于等于2的区域的面积，根据几何概型即可得到所求概率.【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：其中正三角形ABC的面积=×16=4，满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于等于2的平面区域如图中阴影部分所示，阴影部分的面积为：，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是：P=1-=1-，故选：A．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查奇函数的定义，以及互为反函数的两函数图象关于直线y=x对称，指数函数和对数函数互为反函数，属于中档题.由x＞0时，函数f（x）的图象与函数y=log2x的图象关于y=x对称，可得出，x＞0时，f（x）=2x，g（x）=2x+x2，再根据g（x）是奇函数即可求出g（-1）+g（-2）的值．【解答】解：∵x＞0时，f（x）的图象与函数y=log2x的图象关于y=x对称；∴x＞0时，f（x）=2x；∴x＞0时，g（x）=2x+x2，又g（x）是奇函数；∴g（-1）+g（-2）=-[g（1）+g（2）]=-（2+1+4+4）=-11．故选：C．8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的函数图象，根据函数图象求解析式时，注意应用正弦函数图象的关键点进行求解，考查了读图能力和图象变换法则，属于中档题．根据图象求出φ的值，再由“左加右减”法则判断出函数图象平移的方向和单位长度．【解答】解：∵选项只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故ω=3，又函数的图象的与x轴交于点（，0），根据图象，∴3×+φ=π，于是φ=，则f（x）=sin（3x+），故g（x）=sin3x=sin[3（x-）+]，∴函数的图象要向右平移个单位，故选：B．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查对数的运算性质，对数值大小的比较，特殊值法比较大小，是基础题．由题意不妨a，b取特殊值，求出a b，log b a，的值，得到答案．【解答】解：0＜a＜b＜1，不妨取a=，b=，a b=，logb a=2，==-，显然＜a b＜log b a，故选：A．10.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图，转换为几何体是：故几何体的外接球半径R满足：4R2=4+4+12=20，解得：，故：S=4，故选：A．首项把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程及其离心率的范围，注意运用直线恒过圆心，以及点差法求直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求得直线恒过定点（2，1），即为圆心，CD为直径，由=，可得AB的中点为（2，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），运用点差法和直线的斜率公式、中点坐标公式，即可得到所求离心率的范围．【解答】解：直线l：kx-y-2k+1=0，即为k（x-2）+1-y=0，可得直线恒过定点（2，1），圆C2：（x-2）2+（y-1）2=1的圆心为（2，1），半径为1，且C，D为直径的端点，由=，可得AB的中点为（2，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1，+=1，两式相减可得+=0，由x1+x2=4．y1+y2=2，可得k==-，由-2≤k≤-1，即有≤≤1，则椭圆的离心率e==∈（0，]．故选：C．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是函数的最值，能正确理解f（x）为“三角形函数”的概念是解答的关键，属于中档题.若f（x）为“三角形函数”,则在区间A上，函数的最大值M和最小值m应满足：M＜2m，利用导数求出函数的最值，可得实数m的取值范围．【解答】解：若f（x）为区域A上的“三角形函数”，则在区间A上，函数的最大值M和最小值m应满足：M＜2m，∵f（x）=x lnx+m在区间[，e]上是“三角形函数”，∴f′（x）=ln x+1，当x∈[，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（，e]时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；故当x=时，函数f（x）取最小值-+m，又由f（e）=e+m，f（）=-+m，故当x=e时，函数f（x）取最大值e+m，∴0＜e+m＜2（-+m），解得：m∈，故选D．13.【答案】6【解析】【分析】本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．求出系统抽样的抽取间隔，即可得出结论．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=6，则48-6×7=6，则抽到的最小学号为6，故答案为：6．14.【答案】【解析】解：∵在方向上的投影为3，且||==2，•=3+m；∴||×cosθ=||×==3；解得m=，∴||=2；∴cosθ==，由θ∈[0，π]，∴、的夹角θ为．故答案为：．根据在方向上的投影是||×cosθ，列出方程求出m的值，再计算、的夹角θ的值．本题考查向量在另一个向量上的投影定义及计算公式，向量夹角的应用问题，是基础题目．15.【答案】-1【解析】解：作出约束条件所对应的可行域（如图），目标函数z=3x-2y可化为y=x-z，平移直线y=x-z可知，由，解得x=a-1，y=a，∴A（a-1，a），当直线经过点A截距取最小值，z最小，∴3（a-1）-2a=-4，解得a=-1故答案为：-1．作出可行域，变形目标函数并平移直线y=x-z可得结论．本题考查简单线性规划，准确作图、利用目标函数的几何意义求最值是解决问题的关键，属中档题．16.【答案】7【解析】解：∵=，可得：=，可得：，可得：sin2B=sin2C，∴B=C，或B+C=，又∵cos A=，∴B=C，可得：b=c，∴由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A，可得：2b2-=28，可得：b=c=，∴S△ABC=bc sin A=7．故答案为：7．由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得sin2B=sin2C，可得B=C，或B+C=，由cos A=，可得B=C，可得b=c，由余弦定理可得b=c=，利用三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n}的前n项之和为S n=-，当n=1时，有a1=S1=-=3，当n≥2时，有S n-1=-，则有a n=S n-S n-1=（-）-（-）=3n，a1=3符合该式，则a n=3n，（Ⅱ）根据题意，a n=3n，b n=+32n-1=+32n-1=（-）+32n-1，则T n=[（1-）+（-）+……+（-）]+（3+33+……+32n-1）=+-．【解析】（Ⅰ）根据题意，在S n=-中，令n=1可得a1=S1=-=3，当n≥2时，有S n-1=-，两式相减分析可得a n=S n-S n-1=3n，验证即可得答案；（Ⅱ）根据题意，分析可得b n=+32n-1=+32n-1=（-）+32n-1，由分组求和法分析可得答案．本题考查函数的求和以及数列的递推公式，关键是求出数列的通项公式，属于基础题．18.【答案】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴AC⊥BE，则AC⊥平面BED，∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED；解：（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，得AG=GC=x，GB=GD=，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BG，则△EBG为直角三角形，∴EG=AC=AG=x，则BE==x，∵三棱锥E-ACD的体积V===，解得x=2，即AB=2，∵∠ABC=120°，∴AC2=AB2+BC2-2AB•BC cos ABC=4+4-2×=12，即AC=，在三个直角三角形EBA，EBD，EBC中，斜边AE=EC=ED，∵AE⊥EC，∴△EAC为等腰三角形，则AE2+EC2=AC2=12，即2AE2=12，∴AE2=6，则AE=，∴从而得AE=EC=ED=，∴△EAC的面积S==3，在等腰三角形EAD中，过E作EF⊥AD于F，则AE=，AF==，则EF=，∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S==，故该三棱锥的侧面积为3+2．【解析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可．本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理以及体积公式．19.【答案】解：（1）根据散点图判断，模型D=a2+b2lg I更适合；（2）令W i=lg I i，先建立D关于W的线性回归方程，由于，∴，∴D关于W的线性回归方程是，即D关于I的回归方程是；（3）点P的声音能量为I=I1+I2，∵，∴=，根据（1）中的回归方程知，点P的声音强度D的预报值为，∴点P会受到噪声污染的干扰．【解析】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是中档题．（1）根据散点图中点的分布成非线性形状，判断两变量适合的模型；（2）令W i=lg I i，建立D关于W的线性回归方程，再写出D关于I的回归方程；（3）根据点P的声音能量I=I1+I2，根据（1）中的回归方程计算点P的声音强度D的预报值，比较即可得出结论．20.【答案】解：（1）抛物线的焦点坐标为F（，0），∴，由，得，∴抛物线C在A处的切线斜率为1，由抛物线C的对称性，知抛物线C在B处的切线卸斜率为-1，∴抛物线过A点的切线方程为y-p=x-，令y=0得x=-．∴，解得p=2．∴抛物线C的方程为y2=4x．（2）k OA=2，k OB=-2，∴k OA•k OB=-4，设，则，∴y1y2=-4．令直线MN的方程为x=ty+n，联立方程组消去x得：y2-4ty-4n=0，则y1y2=-4n，y1+y2=4t，∵y1y2=-4，∴n=1．即直线MN过点（1，0）．∴．∵t2≥0，∴S△OMN≥2．综上所示，△OMN面积的取值范围是[2，+∞）．【解析】（1）求出A，B坐标，利用导数解出切线方程，求出切线与x轴的交点，利用三角形的面积列方程解出p；（2）计算k OA•k OB=-4，设出MN方程，求出MN与x轴的交点，联立方程组，根据根与系数的关系计算|y M-y N|，得出△OMN面积S关于t的函数，解出函数的最值．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．21.【答案】解：（1）当时，，∴=．令f′（x）=0，得x=2，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴当x=2时，f（x）有最小值；证明：（2）由f（x）=ax2-x-ln x，得=，∴当a≤0时，，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．∵当-1≤a≤0时，f（1）=a-1＜0，，∴当-1≤a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上有零点．综上，当-1≤a≤0时，函数f（x）有且只有一个零点；解：（3）由（2）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．∵f（x）有两个零点，∴a＞0．由f（x）=ax2-x-ln x，得．令g（x）=2ax2-x-1，∵g（0）=-1＜0，2a＞0，∴g（x）在（0，+∞）上只有一个零点，设这个零点为x0，当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f'（x）＞0；∴函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．要使函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要函数f（x）的极小值f（x0）＜0，即．∵，∴===，可得2ln x0+x0-1＞0，又∵h（x）=2ln x+x-1在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=0，∴x0＞1，，由，得==，∴0＜2a＜2，即0＜a＜1．以下验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．当0＜a＜1时，=，g（1）=2（a-1）＜0，∴．∵=，且f（x0）＜0，∴函数f（x）在上有一个零点．又∵（ln x≤x-1），且f（x0）＜0，f（x）在上有一个零点．∴当0＜a＜1时，函数f（x）在内有两个零点．综上，实数a的取值范围是（0，1）．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数在求函数最值中的应用，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，属难题．（1）把代入函数解析式，求其导函数，由导函数的零点把函数定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号求得函数的单调区间，则最小值可求；（2）由f（x）=ax2-x-ln x，求其导函数，可得当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，则a≤0时，f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．当-1≤a≤0时，由f（1）＜0，f（）＞0，可知函数f（x）在（0，+∞）上有零点；（3）由（2）知，f（x）有两个零点，需a＞0．求出函数的导函数．令g（x）=2ax2-x-1，可知g（x）在（0，+∞）上只有一个零点，设这个零点为x0，可得函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．把函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，转化为函数f（x）的极小值f（x0）＜0，即．再由函数单调性求得0＜a＜1．然后验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点即可．22.【答案】解：（1）曲线C的极坐标方程：，转换为直角坐标方程为：．（2）把直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），代入x2+2y2=2，得到：（2sin2α+cos2α）t2+2cosαt-1=0所以：，，所以：=，=，=2．【解析】（1）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化，（2）利用方程组建立一元二次方程根与系数的关系进行应用．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．。