模态分析原理方法

5。,模态分析方法

模态分析作为动态分析的基础,是动态分析的重要内容。模态分析是解决复杂结构振动问题的主要工具,它所寻求的最终目标在于改变机械结构系统。由经验、类比和静态设计方法为动态、优化设计方法，它与有限元分析技术一起成为

结构动力学的两大支柱。

通常把一个系统(振动结构）模型分成三种：

（l)物理参数模型，即以质量、刚度、阻尼为特征参数的数学模型，这三种参数可完全确定一个振动系统。

(2)模态参数模型，以模态频率、模态矢量（振型)和衰减系数为特征参数的数学模型和以模态质量、模态刚度、模态阻尼、模态矢量（留数)组成的另一类模态参数模型，这两类模态参数都可以完整描述一个振动系统。

（3)非参数模型，频响函数或传递函数、脉冲响应函数是两种反映振动系统特性的非参数模型。本文研究的模态分析是指以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法。更确切地说,模态分析是研究系统物理参数模型、模态参数模型和非参数模型的关系，并通过一定手段确定这些系统模型的理论及其应用的一门学科。根据研究模态分析的手段和方法不同，模态分析分为理论模态分析和实验模态分析，理论模态分析或称模态分析的理论过程,是指以线性振动理论为基础，研究激励、系统、响应三者的关系。

实验模态分析又称模态分析的实验过程，是理论模态分析的逆过程。首先，实验测得激励和响应的时间历程,运用数字信号处理技术求得频响函数（传递函数)或脉冲响应函数，得到系统的非参数模型;其次,运用参数识别方法，求得系统模态参数;最后，如果有必要，进一步确定系统的物理参数。因此，实验模态分析是综合运用线性振动理论、动态测试技术、数字信号处理技术和参数识别

等手段,进行系统识别的过程。

计算模态分析实际上是一种理论建模过程，主要是运用有限元法对振动结构进行离散,建立系统特征值问题的数学模型,用各种近似方法求解系统特征值和特征矢量。由于阻尼难以准确处理，因此通常均不考虑小阻尼系统的阻尼，解得的特征值和特征矢量即系统的固有频率和固有振型矢量(引用）。

5。2模态分析理论基础

在有限元分析程序中,振动方程表示为：

[M]｛｝+[C]｛｝+[K]{｝=0 1.1

该方程作为特征值问题,对无阻尼情况，阻尼项【C】{｝被忽略，方程可简化为：

（［M]-｛u}=0 1.2

其中。（固有频率的平方）表示特征值；{｝表示特征向量，在振动的物理过程中表示振型,指示各个位

置在不同方向振动幅值之间的比例关系,它不随时间变化.

对于有阻尼的情况，振动方程可转化为：

(［M]+t）｛u｝=0 1。3

以上各式中：

[M]为结构的质量矩阵;

[C］为结构的阻尼矩阵；

［K］为结构的刚度矩阵;

｛｝为结构的位移列阵;

｛｝为结构的速度列阵;

{}为结构的加速度列阵;

模态分析就是求解振动方程的特征值即特征方程的根(i=1，2，…,n),进而求得结构的固有频率 (i二

1,2，…,n)和位移列阵｛}即结构的振型。

振动方程的特征方程可表达为:

det

上式即为无阻尼振动系统的特征方程。若质量矩阵和刚度矩阵是实对称正定矩阵,则求得的特征值数量与矩阵的阶次n相等,即有。求解特征值问题的方法很多，如矩阵迭代法、雅可比法、QL法、QR法

等等。

固有频率和振型向量是表示振动系统特征的重要物理量，是进行车架动态机构设计必不可少的参数。对于车架这样多自由度的大型系统,求出其全部固有频率和振型向量是非常困难的。系统较低的若干阶固有频率及其相应的振型向量对其动态响应的贡献最大,故在研究系统的响应时往往只需要了解少数的固有频率和振型向量.

5.3模态提取方法

在有限元分析软件模态分析的模块中提供了多种模态提取方法,选择适当的提取方法对车架进行模态分析是很重要的，它将直接影响到求解的速度和精度。

以下将分析比较几种模态提取方法:

（1）子空间迭代法（subsPace)用于求解特征值对称的大矩阵的问题。

(2）兰索斯法BlockLanczos也可用于以上的问题,收敛速度更快。采用稀疏矩阵求解方法。

(3)PowerDyamic法用于非常大的模型(超过100000个自由度),特别是用在求解前几阶模态。为了解模型特征的问题,可使用子空间叠代法或Block Lanczos法以取得最终的结果。

(4)凝聚法（Reduce House holder法）采用缩减的系统矩阵来求解,较子空间叠代法速度快，但准确性要差一些。在这种方法里，结构可用少量的自由度(称主自由度)来表示，这样就只产生较小的矩阵.在处理完整矩阵时，如遇到内存不足或磁盘空间不够等情况,可以选择凝聚法。使用凝聚法时,必须仔细选择主自由度,因为主自由度选择的不当可导致不正确的质量分布和不正确的特征值。

(5）非对称矩阵法((Unsymmetric 法）用于求解模型生成的刚度矩阵和/或质量矩阵不对称的问题。如在声学及流体结构藕合分析中出现的情况。

（6）阻尼法(Damped）有些问题阻尼不能忽略,如对汽车轮胎的分析,阻尼法允许在结构中包含阻尼因素。比较常用的方法是子空间迭代法和BlockLanczos法，这两种方法能使大部分的模态分析得到很好的解决，非对称矩阵法及阻尼法只应用于某些特殊的场合。

在实际计算时,选取兰索斯法或子空间法，subspace法使用子空间迭代技术,它内部使用广义Jacobi迭代算法。由于该法采用完整的[K］和[M]矩阵，因此精度很高。然而同样因为采用了完整的矩阵，SubsPace法比Reduce法速度要慢,这种方法常用于对计算精度要求高而选择主自由度R不实际的情形。

Block Lanczos方法博采众长，它采用稀疏矩阵方程求解器,是将阶实矩阵经相似变换约化为三对角矩阵以求解特征值问题的一种方法,运算速度快，输入参数少,特征值、特征向量求解精度高。由于它采用了Storm 序列检查,在用户感兴趣的频率范围内,在每个漂移点处如果找不到所有的特征值，Lanzos方法会给出提示信息，弥补了丢根的缺陷.故本文采用BlockLanczos方法提取车架模态。