2020年广东省专插本考试《高等数学》真题+答案

广东省2020年普通高等学校本科插班生招生考试
《高等数学》试题
本试卷共2⻚，20⻚题，满分100分。

考试时间120
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分。

每小题只有一个符合题目要求)
1.设lim x→0
[cos x −f(x)]=1, 则下列等式正确的是（ ）
A.lim x→0
f(x)=1 B.lim x→0
f(x)cos x =1
C.lim x→0
f(x)=−1 D.lim x→0
[f(x)+cos x ]=1
2.函数f(x)=2x 3−3x 2的极小值点为（ ） A.x =−1 B.x =0 C.x =1 D.x =2
3.已知3x 是函数f(x)的一个原函数，则f(x)=（ ） A.3x B.3x ln 3 C.x3x
D.
3x ln 3
4.设平⻚区域D ={(x,y )|x 2+y 2≤1，y ≥0},则∬(x 2+y 2)4dσD
（ ） A.π10 B.π
9 C.π
5 D.2π
9
5.设级数∑a n ∞n=1 满⻚0≤a n ≤1
5n ，则下列级数发散的是（ ）
A.∑3a n ∞n=1
B. ∑a n ∞
n=1+3
C.∑(a n ∞n=1+√n
2
3) D.∑(a n ∞n=1−√n
3) 二、填空题。

6.若函数f(x)={(1+a )x 2， x ≤1a (x −2)3
+3, x >1 在x=1处连续，则常数a= . 7.曲线x 2
2+y 2=3在点（2，−1）处的切线方程为y= . 8.微分方程 y n +3y ’−4y =0的通解为y= .
9.设二元函数f (x,y )在点(0,0)的某个邻域内有定义,且当x ≠0时，
f(x,0)−f(0,0)
x
=3x +2，则f ’x (0,0)= 。

10.设函数f(x)在(−∞，+∞)内可导，且满足f(x)=f ‘(x)，f(0)=m ,如果∫f(x)
e x
dx =81−1
,则m=____________。

三、计算题。

11.求极限lim
x→0
∫tarctantdt
x
0x 3
12.已知y 是x
的函数，且y ′=ln √x +√ln x +2ln 2，求
d 2y dx 2
|x =e
13.求不定积分∫(cos x −x sin x 2)dx
14.设函数f(x)={x 3
1+x 2, x ≤1
x, x >1
，求定积分∫f(x +2)dx 0−3
15.求二元函数z =3xy 2
+
x 2y
的全微分dz ，并求ð2z
ðxðy
16.计算∬ydσD ，其中D 是由直线y =x,y =−2与y =0,y =2x 围成的有界闭区域。

17.求微分方程dy
dx =
sec 2x y 2
满足初始条件y |x=0=1的特解。

18.判定级数∑n n
2n n ！∞n=1的收敛性。

四、综合题。

19.设有界平面图形G 由曲线和直线y =e ax 和直线y =e ，x =0围成，其中常数a >0。

若G 面积等于1。

（1）求a 的值；
（2）求G 绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 。

20.设函数f(x)=a
1+e bx ，其中a,b 为常数，且ab ≠0。

（1）判别f(x)在区间(−∞，+∞)内的单调性； （2）求曲线y =f(x)的拐点；
（3）求曲线y =f(x)的水平渐近线方程。

参考答案
一、选择题。

1.D
2.C
3.B
4.A
5.C 二、填空题。

6. 1
7. x −3
8. C 1e x +C 2e −4x
9. 2 10. 4 三、计算题。

11.解析： lim
x→0
∫tarctantdt
x
0x 3
=lim
x→0
xarctanx 3x 2
=lim
x→0
arctanx 3x
=1
3
12.解析：
y ′=ln √x +√ln x +2ln 2=1
2ln x +√ln x +2ln 2
d 2y dx 2=y n =
12x
+
2√ln x ·1x =
12x
+
2x√ln x
d 2y
dx 2|x=e
=1
2e +2e√ln e =1
e
13.解析：
∫(cos2x −xsinx 2)dx =1
2∫cos2xd2x −1
2∫sin x 2dx 2=1
2sin2x +1
2cosx 2+C 14.解析：
令t =x +2，x =t −2,dx =dt ；当x =−3时，t =−1；当x =0时，t =2则
∫f(x +2)dx =∫f(t)dt =∫f(t)dt +1
−12
−10
−3∫f(t)dt 2
1
=
∫t 3
1+t 21−1dt +∫tdt =∫tdt 2
121
=1
2t 2|12
=3
2
x 3
1+x 2 是奇函数，所以∫t 3
1+t 21−1dt =0
15.解析：z =3xy 2
+
x 2y
ðz
ðx =3y 2
+2x y
ðz ðy =6xy −
x 2y 2
dz =(3y 2
+
2x y )dx +(6xy −x 2
y 2)dy
ð2z
ðxðy
=6y −2x
y 2 16.解析：积分次序选择：里面先对x 积分，外⻚再对y 积分： ∬ydσ=∫ydy 2
0∫dx y+2
y D =∫2ydy =y 2|022
0=4
17.解析：
dy dx
=
sec 2x y 2
⟹y 2dy =sec 2xdx ⟹∫y 2dy =∫sec 2xdx ⟹1
3y 3=tanx +C
将x =0，y =1代入的1
3=0+C , 即C =1
3 因此特解为y 3=3tanx +1
18.判定级数∑n n 2n n!∞
n=1
的收敛性。

lim
n→∞u n+1
u n
=lim
n→∞(n+1)n+1
2n+1(n+1)!
∗
2n n!n n
=lim n→∞1
2
∗
(n+1)n n n
=lim n→∞1
2
∗(1+1n
)n
=e
2
>1
因此，根据比值判别法知，原级数发散。

四、综合题。

19.解析：
（1）由y=e ax
y=e
的e ax
=e ⟹ax =1⟹x =1a , 即曲线与直线相交于点(1
a ，e) 因此G 的面积为：
S G =∫(e −e ax )dx =(ex −1
a e ax )|0
1a
=(e a −e a )−(0−1a )=1
a =11
a
因此：a=1
（2）旋转体体积为：
V =π∫(ln y)2dy e
1=πy(ln y)2|−π∫yd e
1
1e (ln y)2=(πe −0)−2π∫ln ydy e
1 =πe −2π(y ln y −y )|1e =πe −2π[(e −e )−(0−1)]=πe −2π=π(e −2)
20.解析：
（1）f ′
(x)=−abe bx
(1+e bx )2 ,其中e bx
(1+e bx )2>0恒成立，因此：
当ab>0时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,+∞)上单调递减；
当ab<0时，f′(x)>0，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增；
（2）f′‘(x)=−ab2e bx(1+e bx)2+abe bx2(1+e bx)b
(1+e bx)4
=−ab2e bx(1+e bx)+2ab2e bx
(1+e bx)3
=ab2e bx(e bx−1)
(1+e bx)3
令f′‘(x)=0，得e bx−1=0⟹x=0,在x=0的左右两侧，f′‘(x)的符号发
生变化，因此，点(0,a
2
)为曲线的拐点。

（3）分类讨论：
当b>0时：
lim
x→+∞
f(x)=lim
x→+∞
a
1+e bx
=0 lim
x→−∞f(x)=lim
x→−∞
a
1+e bx
=a
当b<0时：lim
x→+∞f(x)=lim
x→+∞
a
1+e bx
=a
lim x→−∞f(x)=lim
x→−∞
a
1+e bx
=0
因此，曲线有两条水平渐近线：y=0和y=a。