2021年广东省专插本考试《高等数学》真题+答案

广东省2021年普通高等学校本科插班生招生考试
《高等数学》试题
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分。

每小题只有一个符合题目要求)
1.极限lim x→0
tan 6x 2x
的值是（ ）
A.1
B.2 B.3
D.4
2.点3=x 是函数3
6
)(2---=x x x x f 的（ ）
A.连续点
B.可去间断点 B.无穷间断点
D.跳跃间断点
3.设)(x F 是)(x f 的一个原函数，C 为任意常数，则以下正确的是（ ） A.∫F(x)dx =f(x) B.C x f x F +=)()(' B.C x F x f +=)()('
D.∫f(x)dx =F(x)+C
4.设常数项级数∑∞
=1
n n u 收敛，则下列级数收敛的是（ ）
A.)31
(1∑∞
=+n n n u
B.)21
(1
∑∞
=+n n u
B.)1
(1
∑∞
=+n n n u
D.)1(1
∑∞
=-
n n n
u 5.设50
6243)(,sin )(2x x x g dt t x f x +==⎰，当0→x 时,以下结论正确的是（ ） A.)(x f 是比)(x g 低阶的无穷小 B.)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小 B.)(x f 是比)(x g 等阶的无穷小
D.)(x f 是比)(x g 非等阶的无穷小
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
6.曲线{x =2t 3+3
y =t 2−4
，在1=t 相应的点处的切线斜率为 。

7.二元函数z =x 2
y 的全微分=dz 。

8.微分方程dy dx
=y +2满足条件10-==x y 的特解为=y 。

9.设平面区域}{
x y x y x D -≤≤≤≤=30,10),(，则⎰⎰D
d σ的值为 。

10.设连续函数)(x f 满足12)(31
20
+-=⎰+x dt t f x ，则)3(f = 。

三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 11.求极限
lim x →+∞
x (√x 2+3−x ) 的值。

12.设dx dy x x y x
x ，求)0(2>+=
13.求不定积分∫(2x +5)cos 3xdx
14.求定积分⎰-++2
2
2
2021.1
dx x x x
15.设.1),(y
z x z xz e y x z z yz
∂∂+∂∂=-=所确定的隐函数，求
是由方程 16.设闭区域D 是圆⎰⎰+≤+D
y x d e y x σ2
2
42
2二重积分在第一象限的部分，求
17.判定级数的收敛性n
n n n )1
2(
1
∑∞
=+ 18.设⎰=⎩⎨⎧>-≤=x dt t f x F x x x x x f 0
2)()(.
2,6,
2,)(的表达式求，并讨论)(x F 在2=x 的连续性。

四、综合题(本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分) 19.做一个容积为64π立方米的无盖圆柱形容器，其底面与侧面所用材质相同且厚度不计问底面半径为何值时，才能使所用的材料最省?
20.过坐标原点作曲线y =lnx 的切线L ,该切线与直线x =l 及y =lnx 围成平面图形D .
（1）求切线L 的方程： （2）求平面图形D 的面积
参考答案
一、单项选择题。

（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1.C 2.B 3.D 4.A 5.B
二、填空题。

（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6.31 7.dy x xydx 22+ 8.2-x e 9.2
5
10.-3 三、计算题。

（本大题共8小题，每小题共6分，共48分） 11.解：原式
=lim
22√x 2+3+x
=lim
√x 2+3+x
=lim
√1+3x 2
+1
=3
2
12.解：设z =x x ，则lnz =xlinx 上式两边对x 求导得z ′
z =lnx +1， 则z ′=z(lnx +1)=x x (lnx +1). 因此，dy
dx =
d2x dx
+
dx x dx
=2x ln2+x x (lnx +1)
13.解：原式=13∫(2x +5)d(sin 3x)
=1
3(2x +5)sin 3x −2
3∫sin 3xdx =13(2x +5)sin 3x +2
9cos 3x +C
14.解：122021
+x x 为奇函数且积分区间关于原点对称，
;01
2
222021
=+∴⎰-dx x x
1
2+x x
为偶函数且积分区间关于原点对称
故原式.
5ln )1ln(1
201
12
022022222
222021
=+=++=+++=⎰⎰⎰--x dx x x dx x x dx x x
15.解：令1),,(--=xz e z y x F yz
x
ye e z y z x z x ye ze F F y z x
ye z F F x z yz yz yz yz
z x yz z x --=
∂∂+∂∂--==∂∂-==∂∂)1(.
因此，；则
16.解：由极坐标变换公式，
⎰⎰=2π0
2
2dr re d r θ原式
).1(4π4π4
202-==
e e r 17.解：由于则,2
1
212=<+n n n n
∑∑∞
=∞
=+<+11)1
2(
)2
1
(.)2
1()12(n n
n n n n n n n n 收敛可得较审敛法，收敛，根据正项级数比又由于
18.解：；时，当3
)(23
02
x dt t x F x x ==≤⎰
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-≤=-+-=-+=>⎰⎰232262
23)(.
322
62)6()(22
3
2202
x x x x x x F x x dt t dt t x F x
x ，，所以，时，当 由于lim x→2
−F(x)=lim x→2−
x 33
=8
3；
lim x→2
+F(x)=lim x→2
+
(x 22
+6x −223
)=8
3
.
所以，lim x→2
−F(x)=lim x→2
+
F(x)=F(2)，故F(x)在点x =2连续. 四、综合题。

（本大题共2小题，第19小题10分，第20题12分，共22分）
19.解：设该容器的底面半径为r 米，高为h 米， 由题设知64π=πr 2h ，从而ℎ=64r 2
.
该容器的表面积S =πr 2+π
128r
.令S ′=2πr −π
128r 2
=0,解得r =4
当,0404''<>>>S r S r 时，；当时，
从而.4的最小值点
为S r = 故底面半径为4米时，所用的材料最省.
20.解：（1）设切点为
),00y x （，其中y 0=lnx 0，则： 切线L 的方程为y −lnx 0=1
x 0(x −x 0)，
由于L 过原点，从而0−lnx 0=1
x 0
(0−x 0)，故.0e x =
因此，切线L 的方程为.1x e y -= （2）平面图形D 的面积为∫(e −1x −lnx)dx e
1 =1
2e x 2|e 1
−∫lnxdx e 1
=e 2−1
2e −(xlnx |e 1
−e +1)
.1212)1(21
2--=+---=
e
e e e e
e。