二次函数与几何综合(1)
二次函数与几何综合典题(含答案详解)
二次函数(h ánsh ù)与几何(j ǐ h é)综合典题题例1．已知抛物线的顶点(d ǐngdi ǎn)坐标为（3，-2），且与轴两交点(ji āodi ǎn)间的距离为4，求其解析(ji ě x ī)式。
例2.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像与x 轴交于不同的两点A 、B ，点A 在点B 的左边，与轴交于点C ，若△AOC 与△BOC 的面积之和为6，且这个二次函数的图像的顶点坐标为（2，-a ），求这个二次函数的解析式。
例3.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像过点E （2，3），对称轴为x ＝1，它的图像与x 轴交于两点A 。
（1）求二次函数的解析式；（2）在（1）中抛物线上是否存在点P ，使△POA 的面积等于△EOB 的面积？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
例4.如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴、轴分别相交于A （-1，0）、B （3，0）、C(0，3)三点，其顶点为D 。
（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC 的面积；（3）试判断△BCD与△COA是否相似？若相似写出证明过程；若不相似请说明理由。
例5：如图，已知抛物线的图像(tú xiànɡ)与X轴交于A、C两点。
l的解析(jiě xī)式；（1）若抛物线与关于(guānyú)x轴对称，求2l上一动(yīdòng)点（B不与A,C重合(chónghé)），以（2）若点B是抛物线1AC为对角线，A，B，C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点记为D，求l上；证：点D在2l在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形（3）探索：当点B分别位于1ABCD的面积是否存在最大值或最小值？若存在，判断它们是何种特殊平行四边形并求出它的面积；若不存在，请说明理由。
二次函数与几何综合(讲义和习题)含答案
二次函数与几何综合（讲义）➢ 课前预习1. 如图，直线112y x =+经过点A (1，m )，B (4，n )，点C 的坐标为(2，5)，则△ABC 的面积为__________．提示：利用点坐标求面积，需要将点坐标转化为横平竖直的线段长，常考虑作横平竖直的线来对图形进行割补． 具体操作：①过点C 作CD ∥y 轴，交AB 于点D ； ②借助C ，D 坐标求解CD 长；③以CD 为底，则A ，B 两点间的水平距离为高，即1()2ABC ADC DBC B A S S S CD x x =+=⋅⋅-△△△2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线334y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点C 的坐标为(0，-2)．若点D 在直线AB 上运动，点E 在直线AC 上运动，当以O ，A ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形时，点D 的坐标为__________．y xCB AO提示：（1）分析定点（A ，O ），动点（D ，E ），属于两定两动的平行四边形存在性问题．（2）连接两定点得定线段，考虑：①若定线段作为平行四边形的边，则通过平移确定点的坐标；②若定线段作为平行四边形的对角线，则绕定线段中点旋转，利用中点坐标公式确定点的坐标． （3）利用函数特征和几何特征求解后，结合图形进行验证．➢ 知识点睛1. “函数与几何综合”问题的处理原则：_________________，_____________________． 2. 研究背景图形：①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________．②___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息． 3. 二次函数之面积问题的常见模型①割补法——铅垂法求面积：1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△ 1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ，若S △ABP =S △ABQ ， 当P ，Q 在AB 同侧时， 当P ，Q 在AB 异侧时， PQ ∥AB ．AB 平分PQ ．➢ 精讲精练1. 如图，抛物线y =-x 2+2x +3经过A ，B ，C 三点．点M 是直线BC 上方抛物线上的点（不与B ，C 重合），过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，连接MB ，MC ．（1）若设点M 的横坐标为m ，四边形OBMC 的面积为S ，则S 与m 的函数关系式为________________．（2）四边形OBMC 的最大面积为________，此时点M 的坐标为____________．2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3经过A，B，C三点，点D的坐标为(0，1)，直线AD与抛物线交于另一点E．（1）若M是直线AD上方抛物线上的一个动点，则△AME面积的最大值为__________．=6时，点G的坐标为_______________．（2）在直线AD下方的抛物线上有一动点G，当S△AEG3.如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a＞0）与x轴交于A，B两点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(-1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC，CD，∠ACD=90°．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）若点M在抛物线上，且以点M，A，C以及另一点N为顶点的平行四边形ACNM的面积为12，设M的横坐标为m，求m的值．4.如图，已知二次函数y=x2-3x-4的图象与x轴交于点A，B，且经过点C(2，-6)，连接AC，二次函数图象的对称轴记为l．（1）点D(m，n)（-1＜m＜2）是二次函数图象上一动点，当△ACD关于l的对称点为E，求点E的坐标．（2）在（1）的条件下，能否在二次函数图象和直线l上分别找到点P，Q，使得以点D，E，P，Q为顶点的四边形为平行四边形．若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．5. 如图，抛物线y =ax 2-5ax+4（a ＜0）经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC =BC ． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点D 在抛物线对称轴上，点E 在抛物线上，且以A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，求点E 的坐标；（3）已知点F 是抛物线上的动点，点G 是直线y =-x 上的动点，且以O ，C ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，求点G 的横坐标．【参考答案】➢课前预习1.9 22.1126 () 55D，，2286 () 55D，➢知识点睛1.利用横平竖直的线段长，函数特征与几何特征互转2.①四点一线；k，b②坐标转线段长➢精讲精练（2）(3，0)或(-2，-5)3.（1）y=x2-2x-3；（2）m=4或m=-1．二次函数与几何综合（习题）➢例题示范例1：如图，抛物线y=ax2+2ax-3a与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OA=OC，连接AC．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P是直线AC下方抛物线上一动点，求△ACP面积的最大值．（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形【思路分析】读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a，0)，对称轴为直线x=-1；结合题中给出的OA=OC，可得C(0，-3)析式．再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 【过程示范】解：（1）由y=ax2+2ax-3a=a(x+3)(x-1)可知A(-3，0)，B(1，0)，∵OA=OC，∴C(0，-3)，将C(0，-3)代入y=ax2+2ax-3a，解得，a=1，∴y=x2+2x-3．(2+2x-3第二问：铅垂法求面积 【思路分析】（1）整合信息，分析特征：由所求的目标入手分析，目标为S △ACP 的最大值，分析A ，C 为定点，P 为动点且P 在直线AC 下方的抛物线上运动，即 -3＜x P ＜0； （2）设计方案：注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达S △ACP ． 【过程示范】如图，过点P 作PQ ∥y 轴，交AC 于点Q ， 易得l AC ：y =-x -3设点P 的横坐标为t ，则P (t ，t 2+2t -3)， ∵PQ ∥y 轴， ∴Q (t ，-t -3)，∴PQ =y Q -y P =-t -3-(t 2+2t -3)=-t 2-3t （-3＜t ＜0）， ∴2139()222ACP C A S PQ x x t t =⋅-=--△（-3＜t ＜0） ∵302-<， ∴抛物线开口向下，且对称轴为直线32t =-，∴当32t =-时，S △ACP 最大，为278．第三问：平行四边形的存在性 【思路分析】 分析不变特征：以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形中，A ，B 为定点，E ，F 为动点，定点A ，B 连接成为定线段AB ．分析形成因素：要使这个四边形为平行四边形．首先考虑AB在平行四边形中的作用，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，则AB既可以作边，也可以作对角线．画图求解：先根据平行四边形的判定来确定EF和AB之间应满足的条件，再通过平移和旋转来尝试画图，确定图形后设计方案求解．①AB作为边时，依据平行四边形的判定，需满足EF∥AB且EF=AB，要找EF，可借助平移．点E在对称轴上，沿直线容易平移，故将线段AB拿出来沿对称轴上下方向平移，确保点E在对称轴上，来找抛物线上的点F．注意：在对称轴的左、右两侧分别平移．找出点之后，设出对称轴上E点坐标，利用平行且相等表达抛物线上F点坐标，代入抛物线解析式求解．②AB作为对角线时，依据平行四边形的判定，需满足AB，EF互相平分，先找到定线段AB的中点，在旋转过程中找到EF恰好被AB中点平分的位置，因为E和AB中点都在抛物线对称轴上，说明EF所在直线即为抛物线对称轴，则与抛物线的交点（抛物线顶点）即为F点坐标．结果验证：画图或推理，根据运动范围考虑是否找全各种情形．【过程示范】（3）①当AB为边时，AB∥EF且AB=EF，如图所示，设E点坐标为(-1，m)，当四边形是□ABFE时，由A(-3，0)，B(1，0)可知，F1(3，m)，代入抛物线解析式，可得，m=12，∴F1(3，12)；当四边形是□ABEF时，由A(-3，0)，B(1，0)可知，F2(-5，m)，代入抛物线解析式，可得，m=12，∴F2(-5，12)．②当AB为对角线时，AB与EF互相平分，AB的中点D(-1，0)，设E(-1，m)，则F(-1，-m)，代入抛物线解析式，可得，m=4，∴F3(-1，-4)．综上：F1(3，12)，F2(-5，12)，F3(-1，-4)．➢巩固练习1.如图，直线12y x=-与抛物线2164y x=-+交于A，B两点，C是抛物线的顶点．（1）在直线AB上方的抛物线上有一动点P，当△ABP的面积最大时，点P的坐标为__________________．（2）若点M在抛物线上，且以点M，A，B以及另一点N为顶点的平行四边形ABNM的面积为240，则M，N两点的坐标为_______________．2.已知抛物线y=-mx2+4x+2m与x轴交于点A(α，0)，B(β，0)，且112αβ+=-．抛物线的对称轴为直线l，与y轴的交点为点C，顶点为点D，点C关于l的对称点为点E．（1）抛物线的解析式为_________．（2）连接CD，在直线CD下方的抛物线上有一动点G，当S△CDG=3，点G的坐标为______________．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，点Q的坐标为_______．3.已知抛物线y=ax2-4ax+b的对称轴为直线x=2，顶点为P，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(1，0)，连接BC，PB，得到∠PBC=90°．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线上是否存在异于点P的一点Q，使△BCQ与△BCP的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E是抛物线上一动点，点F是x轴上一动点，是否存在以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A(1，0)，B(0，2)．抛物线y=ax2-ax-b与y轴交于点D，且经过点C，连接AD，可得AB=AD．（1）求抛物线的解析式．（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，点Q是抛物线对称轴l上一动点，是否存在点P，使以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【参考答案】1.（1）23 (1)4，；（2）M1(-10，-19)，N1(-20，-14)；M2(12，-30)，N2(2，-25) 2.（1）y=-x2+4x+2；（2）G1(-1，-3)，G2(3，5)；（3）1(40)Q，2(40)Q，3(0)Q，40)Q3.（1）y=-x2+4x-3；（2）存在，Q1(1，0)，237 (22Q --，，337(22Q+-+，；（3）存在，F1(7，0)，F2(-1，0)．4. （1）211222y x x =--；（2）3x =（3）存在，1313()28P -，，2113()28P --，，3117()28P -，．。
2024年四川省巴中中学中考数学第一轮复习课件：二次函数与几何综合题 类型一：线段与面积问题
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(3)【角度 3】如图③，求线段 PE 的最大值及点 P 的坐标；
③
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解：设 E(m，m－3)，P(m，m2－2m－3)，则
3
93
PE＝－－mm22＋＋33mm(0<m<3)，∵a<0，∴当 m＝12 时，PE 最大为14 ，此时点 P
在 Rt△PEF 中，
EF∶PF∶EP＝1∶1∶ 2 ，当 PE 最大时，△PEF 的周长最大，此时 PF＝
9 EF＝1 8
32
，
9 ∴△EPF 周长的最大值为1 4
23＋94
，此时点 P 的坐标为123，－3 145 .
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(5)【角度 5】如图⑤，当 CE＋PE 最大时，求 m 的值．
2023版 物理 云南专版Biblioteka 第八节 二次函数与几何综合题
本节内容分三阶复习：“一阶 方法技巧突破练”、“二阶 考向多维设问 练”、
“三阶 综合提升练”(见第三轮“重难题型九”)
类型一：线段与面积问题
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如图①，抛物线 y＝－x2＋2x＋3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 点 C，点 P 是抛物线第一象限内一动点，过点 P 作 PH⊥x 轴于点 H，交直 线 BC 于点 Q，顶点为点 D.
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(2)【角度 2】如图②，若 PE＝2，求点 P 的坐标；
② 解：直线 BC 的解析式为 y＝x－3，设 P(m，m2－2m－3)，E(m，m－3)，则 PE＝yE－yP＝－－mm22＋3m(0<m<3)，∵PE＝2，∴－－mm22＋＋33m＝2，解得 m＝11或或2 2 ，∴点 P 的坐标为((11，，－－44))或(2，－3)．
第八讲 二次函数与几何图形的综合运用1(含答案)
第八讲 二次函数与几何图形的运用一、知识梳理二次函数与三角形的综合运用：1、求面积及最值2、与三角形的综合运用3、与相似三角形的综合运用4、与四边形的综合运用二、例题例1：如图，已知抛物线y=﹣x 2+mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0）（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标．变式 1 如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0). （1）求该抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标.例2、如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．例3：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．例4：已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B 两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3（1）求A、B两点的坐标；（2）若tan∠PDB=，求这个二次函数的关系式．例5、如图1，二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．（1）写出点D的坐标．（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c （a≠0）的图象过点A．①试说明二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B；②点R在二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为时，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；③如图2，已知0＜m＜2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y1=（x﹣2）（x ﹣4）、y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象于点E、F、G、H（点E、G在对称轴l左侧），过点H 作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．三、课堂练习1、如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE.设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是 ( )A．y＝32x2 B．y＝3x2 C．y＝23x2 D．y＝33x22、已知抛物线y=2x2+bx+c与直线y=﹣1只有一个公共点，且经过A（m﹣1，n）和B（m+3，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足记为M，N，则四边形AMNB的周长为．3、直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB 恒过一个定点，该定点坐标为．4、如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A （0，5），与x 轴交于点E 、B ． （1）求二次函数y=ax 2+bx+c 的表达式；（2）过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点（点P 在AC 上方），作PD 平行与y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M 在抛物线上，点N 在其对称轴上，使得以A 、E 、N 、M 为顶点的四边形是平行四边形，且AE 为其一边，求点M 、N 的坐标．六、课后作业1、已知抛物线y=ax 2﹣3x+c （a ≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c ﹣1= ．2、a 、b 、c 是实数，点A （a+1、b ）、B （a+2，c ）在二次函数y=x 2﹣2ax+3的图象上，则b 、c 的大小关系是b c （用“＞”或“＜”号填空）3、已知二次函数n mx x y ++=2的图像经过点()1,3-P ，对称轴是经过()0,1-且平行于y轴的直线。
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二次函数与几何图形综合题类型 1二次函数与相似三角形的存在性问题1． (2015 ·明西山区一模昆)如图，已知抛物线y＝ ax2＋bx＋ c(a≠0)经过 A(－ 1， 0)， B(4， 0)， C(0 ，2) 三点．(1)求这条抛物线的解析式；(2)P 为线段 BC 上的一个动点，过P 作 PE 垂直于 x 轴与抛物线交于点 E，设 P 点横坐标为 m， PE 长度为 y，请写出 y 与 m 的函数关系式，并求出PE 的最大值；(3)D 为抛物线上一动点，是否存在点 D 使以 A、B、D 为顶点的三角形与△ COB 相似？若存在，试求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．2． (2013 ·靖曲 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝ x＋ 4 与坐标轴分别交于A， B 两点，过A，B 两点的抛物线为y＝－ x2＋ bx＋ c.点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D 作 CD⊥ x 轴于点 C，交抛物线于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)当 DE＝ 4 时，求四边形CAEB 的面积；(3)连接 BE，是否存在点 D ，使得△ DBE 和△ DAC 相似？若存在，求出 D 点坐标；若不存在，说明理由．3．(2015 襄·阳 )边长为 2 的正方形O ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接 CD ，点 E 在第一象限，且DE⊥ DC ， DE ＝DC.以直线 AB 为对称轴的抛物线过C， E 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 从点 C 出发，沿射线 CB 以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．过点 P 作 PF ⊥ CD 于点 F .当 t 为何值时，以点P， F ，D 为顶点的三角形与△COD 相似？(3)点 M 为直线 AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M， N，使得以点M，N， D， E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．类型 2二次函数与平行四边形的存在性问题1． (2014 ·靖曲 )如图，抛物线y＝ax2＋bx＋ c 与坐标轴分别交于A(－ 3， 0)， B(1， 0)， C(0， 3)三点， D 是抛物线顶点， E 是对称轴与 x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)F 是抛物线对称轴上一点，且1，求点 O 到直线 AF 的距离；tan∠ AFE ＝2(3)点 P 是 x 轴上的一个动点，过P 作 PQ∥ OF 交抛物线于点Q，是否存在以点O， F， P，Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．2． (2013 ·明昆 )如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上， OA＝ 4， OC＝3，若抛物线的顶点在 BC 边上，且抛物线经过 O，A 两点，直线 AC 交抛物线于点D .(1)求抛物线的解析式；(2)求点 D 的坐标；(3)若点 M 在抛物线上，点 N 在 x 轴上，是否存在以点A，D ，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3． (2015 昆·明西山区二模 )如图，抛物线 y＝ x2－ 2x－3 与 x 轴交于 A、B 两点 (A 点在 B 点左侧 ) ，直线l 与抛物线交于A、 C 两点，其中 C 点的横坐标为 2.(1)求 A、B、 C 三点的坐标；(2)在抛物线的对称轴上找到点P，使得△ PBC 的周长最小，并求出点P 的坐标；(3)点 G 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F ，使 A、C、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由．类型 3二次函数与直角三角形的存在性问题1． (2015 ·南云 )如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c( a≠0)与 x 轴相交于A、 B 两点，与y 轴相交于点C，直线 y＝ kx＋n( k≠ 0)经过 B、 C 两点，已知 A(1， 0)， C(0， 3)，且 BC＝5.(1)分别求直线BC 和抛物线的解析式(关系式 )；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以 B、C、P 三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．2． (2015 ·贡自 )如图，已知抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0) 的对称轴为x＝－ 1，且抛物线经过A(1， 0)，C(0， 3)两点，与x 轴交于点 B.(1)若直线 y＝mx＋ n 经过 B、 C 两点，求线段BC 所在直线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－ 1 上找一点M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求出此点M的坐标；(3)设点 P 为抛物线的对称轴x＝－ 1 上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．3． (2015 益·阳 )已知抛物线 E 1： y ＝ x 2 经过点 A(1， m)，以原点为顶点的抛物线E经过点 B(2， 2)，点2 A 、 B 关于 y 轴的对称点分别为点A ′，B ′.(1)求 m 的值及抛物线E 2 所表示的二次函数的表达式；(2)如图，在第一象限内，抛物线E 1 上是否存在点 Q ，使得以点 Q 、B 、 B ′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图， P 为第一象限内的抛物线E 1 上与点 A 不重合的一点，连接OP 并延长与抛物线E 2 相交于点P ′，求△ PAA ′与△ P ′BB ′的面积之比．类型 4二次函数与等腰三角形的存在性问题1． (2015 ·东南黔 )如图，已知二次函数y 1＝－ x2＋134x＋c 的图象与x 轴的一个交点为A(4，0) ，与 y 轴的交点为 B，过 A、 B 的直线为y2＝ kx＋b.(1)求二次函数y1的解析式及点 B 的坐标；(2)由图象写出满足y1<y2的自变量x 的取值范围；(3)在两坐标轴上是否存在点P，使得△ ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．- 10 -2．如图，抛物线与x 轴交于 A， B 两点，直线y＝kx－ 1 与抛物线交于A， C 两点，其中A(－ 1， 0)，B(3， 0)，点 C 的纵坐标为－ 3.(1)求 k 值；(2)求抛物线的解析式；(3)抛物线上是否存在点P，使得△ ACP 是以 AC 为底边的等腰三角形？如果存在，写出所有满足条件的点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．3．(2015 ·明官渡区二模昆)如图，已知抛物线y＝ax2＋ bx＋ c(a≠0)交于 x 轴于 A(－ 1，0) ，B(5，0)两点，与 y 轴交于点C(0， 2)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点 M 为抛物线的顶点，连接BC、 CM 、BM ，求△ BCM 的面积；(3)连接 AC，在 x 轴上是否存在点P，使△ ACP 为等腰三角形；若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．类型 5二次函数与图形面积问题1．(2014 ·明昆 )如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)与x轴交于点A(－ 2，0)，B(4，0)两点，与 y 轴交于点 C.(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 从 A 点出发，在线段AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点Q 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△ PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？(3)当△ PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K，使 S△CBK∶ S△PBQ＝ 5∶ 2，求 K 点坐标．2．(2015 云·南二模 )如图所示，抛物线 y＝ ax2＋ bx(a＜ 0)与双曲线 y＝k相交于点 A、B，点 A 的坐标为x(－ 2， 2)，点 B 在第四象限内，过点 B 作直线 BC∥x 轴，直线 BC 与抛物线的另一交点为点C，已知直线BC 与 x 轴之间的距离是点 B 到 y 轴的距离的 4 倍，记抛物线的顶点为 E.(1)求双曲线和抛物线的解析式；(2)计算△ ABC 与△ ABE 的面积；(3)在抛物线上是否存在点 D ，使△ ABD 的面积等于△ABE 的面积的8 倍？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．类型 6 二次函数与最值问题1． (2015 ·明盘龙区一模昆)如图，对称轴为直线x＝ 2 的抛物线经过A(－1， 0)， C(0， 5)两点，与x 轴另一交点为B，已知 M(0， 1)， E(a， 0)，F(a＋ 1， 0)，点 P 是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当 a＝ 1 时，求四边形MEFP 的面积最大值，并求此时点P 的坐标；(3)若△ PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形，求 a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．2． (2013 ·溪玉 )如图，顶点为 A 的抛物线 y＝a(x＋ 2)2－4 交 x 轴于点 B(1， 0)，连接 AB，过原点 O 作射线OM ∥ AB ，过点 A 作 AD∥ x 轴交 OM 于点 D，点 C 为抛物线与 x 轴的另一个交点，连接 CD .(1)求抛物线的解析式(关系式 )；(2)求点 A，B 所在的直线的解析式(关系式 )；(3)若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着射线OM 运动，设点P 运动的时间为t 秒，问：当 t 为何值时，四边形ABOP 分别为平行四边形？(4)若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段OD 向点 D 运动，同时动点Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿线段CO 向点 O 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t 秒，连接PQ.问：当 t 为何值时，四边形CDPQ 的面积最小？并求此时PQ 的长．类型 7二次函数与根的判别式问题1． (2015 ·阳衡 )如图，顶点M 在 y 轴上的抛物线与直线y＝ x＋ 1 相交于 A、 B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为2，连接 AM 、 BM .(1)求抛物线的函数关系式；(2)判断△ ABM 的形状，并说明理由；(3)把抛物线与直线y＝x 的交点称为抛物线的不动点．若将(1)中抛物线平移，使其顶点为(m，2m)，当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？类型 8二次函数与圆1．(2015 ·明盘龙区二模昆)如图，已知以E(3 ，0)为圆心，以 5 为半径的⊙ E 与 x 轴交于点A， B 两点，与 y 轴交于 C 点，抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c 经过 A， B， C 三点，顶点为 F .(1)求 A， B， C 三点的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点 F 的坐标；(3)已知 M 为抛物线上一动点(不与 C 点重合 )．试探究：①使得以A，B， M 为顶点的三角形面积与△ABC 的面积相等，求所有符合条件的点M 的坐标；②若探究①中的M 点位于第四象限，连接M 点与抛物线顶点 F ，试判断直线MF 与⊙ E 的位置关系，并说明理由．2． (2015 ·靖曲 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ⊥ y 轴于点 B(0，－ 2)， A 为 OB 的中点，以 A为顶点的抛物线 y＝ ax2＋ c(a≠0)与 x 轴分别交于 C、D 两点，且 CD＝ 4.点 P 为抛物线上的一个动点，以 P 为圆心， PO 为半径画圆．(1)求抛物线的解析式；(2)若⊙ P 与 y 轴的另一交点为E，且 OE＝ 2，求点 P 的坐标；(3)判断直线l 与⊙ P 的位置关系，并说明理由．。
几何与二次函数综合题
几何与二次函数综合题1. 设直线 y = mx + b 与抛物线 y = ax^2 + cx + d 相交于点 A 和 B，且 A、B 的横坐标差为 h，求这两个函数之间的夹角。
解：设x坐标轴的正方向为右，y坐标轴的正方向为上。
设点A的坐标为(x1,y1)，点B的坐标为(x2,y2)。
由于A、B是直线与抛物线的交点，所以它们同时满足两个函数的方程，即：y1 = mx1 + b (1)y2 = mx2 + b (2)y1 = ax1^2 + cx1 + d (3)y2 = ax2^2 + cx2 + d (4)由于横坐标差为h，所以x1-x2=h，将它代入(1)、(2)式中，得：y1 = mh + b (5)y2 = -mh + b (6)将(5)式和(6)式代入(3)式、(4)式中，得：mh + b = ah^2 + ch + d (7)-mh + b = ah^2 - ch + d (8)将(7)式和(8)式相减，消去b和d，得：2mh = 2chmh = ch由此可得，这两个函数的斜率相等，即m=a。
夹角的余弦等于两个函数的斜率的商的倒数，即cosα = 1/m = 1/a。
所以，这两个函数之间的夹角α的 cos 值等于 1/a。
2. 在二维直角坐标系中，设 y = ax^2 + bx + c 是一个抛物线，且其对称轴与 x 轴的夹角为θ，求 a、b、c 与θ 的关系。
解：对称轴与 x 轴夹角为θ，即抛物线方程的顶点在 y 轴的坐标为tanθ。
设顶点坐标为(0, tanθ)。
由于对称轴是抛物线的轴线，所以顶点的横坐标为–b/(2a)，纵坐标为a(-b/(2a))^2+b(-b/(2a))+c，即c-b^2/(4a)+b^2/(2a)+c=2c-b^2/(4a)。
由此可得，tanθ = 2c - b^2/(4a)。
又因为抛物线的一般方程为 y = ax^2 + bx + c，所以抛物线的导数为 y' = 2ax + b。
二次函数与几何图形综合题
【例1】如图，已知抛物线y＝ax2－2ax＋a－4与x轴交于A，B两点(A在B的 左侧)，交y轴于点C(0，－3)，顶点为M，连接CB. (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)若点P是抛物线上不同于点C的一点，S△ABC＝S△ABP，求点P的坐标；
图14-4
练习 如图14-4,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l 是抛物线的对称轴. (3)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小 时,求点P的坐标.
(3)如图,连接 BC,交直线 l 于点 P,
则点 P 为使△PAC 的周长最小的点, 设直线 BC 的解析式为 y=kx+n,
解：作 OC 的垂直平分线 DP，交 OC 于点 D，交 BC 下方抛物线于点 P， 如图①，∴PO＝PC，此时 P 点即为满足条件的点，∵C(0，－4)， ∴D(0，－2)，∴P 点纵坐标为－2，代入抛物线解析式 可得 x2－3x－4＝－2，解得 x＝3＋2 17(小于 0，舍去)或 x＝3＋2 17，
图14-4
将
B(3,0),C(0,3)代入得
3������ + ������ ������ = 3,
=
0,解得
������ ������
= =
-31, ,∴直线
BC
的解析式为
y=-x+3,
∵对称轴为直线 x=1,∴当 x=1 时,y=2,即点 P 的坐标为(1,2).
练习 如图14-4,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l 是抛物线的对称轴. (4)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形? 若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在, 请说明理由.
二次函数与几何综合-特殊三角形存在问题(解析版)
专项12 二次函数与几何综合-特殊三角形存在问题等腰三角形的存在性问题【方法1 几何法】“两圆一线”（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有AB=AC ；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有BA=BC ；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有CA=CB ．注意：若有重合的情况，则需排除．以点 C 1 为例，具体求点坐标：过点A 作AH ⊥x 轴交x 轴于点H ，则AH=1， 又32121131311==-=∴=HC AC ，()03211，坐标为故点-C 类似可求点 C 2 、C 3、C 4 ．关于点 C 5 考虑另一种方法．【方法2 代数法】点-线-方程表示点：设点C 5坐标为(m ,0)，又A （1,1）、B （4,3），表示线段：11-m 225+=）（AC 94-m 225+=）（BC 联立方程：914-m 1-m 22+=+）（）（，623m =解得：，），坐标为（故点06232C直角三角形的存在性【方法1 几何法】“两线一圆”（1）若∠A 为直角，过点 A 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C ；（2）若∠B 为直角，过点 B 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C ；（3）若∠C 为直角，以 AB 为直径作圆，与 x 轴的交点即为所求点 C ．（直径所对的圆周角为直角）如何求得点坐标？以C 2为例：构造三垂直．），坐标为（故代入得：坐标得、由易证0213232222C C C BN AM B A N MBBN AM BN AMB ===∆≈∆()），坐标为（，，坐标为故或故又即代入得：，设，坐标得、由易证求法相同，如下：、040231a ,4a ,3ab ,3ab 1N a,31,4333333343C C C C C C C C C C b bM BN AM B A NBM N AMNB AM ==+=======∆≈∆【方法2 代数法】点-线-方程23m 20352235110,m 135-m 1-m 35-m 11-m 22222122111=+=+=+=+==，解得：）代入得方程（，，，）表示线段：（）；，（）、，（），又坐标为（）表示点：设（：不妨来求下）（）（）（）（BC C C C A AB B A【考点1 等腰角形的存在性】【典例1】（2020•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A （﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝，（2）m＝时，△ADE的面积取得最大值为（3）点P坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得，所以二次函数的解析式为：y＝，（2）y＝的对称轴为x＝﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求P A2＝9+n2，PE2＝1+（n+2）2，AE2＝16+4＝20，当P A2＝PE2时，9+n2＝1+（n+2）2，解得，n＝1，此时P（﹣1，1）；当P A2＝AE2时，9+n2＝20，解得，n＝，此时点P坐标为（﹣1，）；当PE2＝AE2时，1+（n+2）2＝20，解得，n＝﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．综上所述，P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．【变式1-2】（2020•贵港）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC 交于点M，连接PC．当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3 （2）①n＝时，PM最大＝②P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；（2）解法一：当PM＝PC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1＝n2＝0（不符合题意，舍），n3＝2，n2﹣2n﹣3＝﹣3，P（2，﹣3）．当PM＝MC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n﹣3+3）2，解得n1＝0（不符合题意，舍），n2＝3﹣，n3＝3+（不符合题意，舍），n2﹣2n﹣3＝2﹣4，P（3﹣，2﹣4）．综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．解法二：当PM＝PC时，∵BC：y＝x﹣3∴∠ABC＝45°∵PH⊥AB∴∠BMH＝∠CMP＝45°∴PM＝PC时，△CPM为等腰直角三角形，CP∥x轴设P（n，n2﹣2n﹣3），则CP＝nMP＝﹣n2+3n∴n＝﹣n2+3n解得n＝0（舍去）或n＝2，∴P（2，﹣3）当PM＝CM时，设P（n，n2﹣2n﹣3），则＝﹣n2+3n＝﹣n2+3n∵n＞0∴n＝﹣n2+3n解得n＝3﹣∴P（3﹣，2﹣4）综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）【变式1-2】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为x＝1，点B与A（﹣1，0）关于直线x＝1对称，∴B（3，0），设y＝a（x﹣3）（x+1），把C（0，3）代入得：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3，设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，故抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，直线BC的解析式为y＝﹣x+3；（2）存在，设Q（m，﹣m+3）（0＜m＜3），∵A（﹣1，0），C（0，3），∴AC2＝OA2+OC2＝12+32＝10，AQ2＝（m+1）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣4m+10，CQ2＝m2+m2＝2m2，∵以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，∴AC＝AQ或AC＝CQ或AQ＝CQ，当AC＝AQ时，10＝2m2﹣4m+10，解得：m＝0（舍去）或m＝2，∴Q（2，1）；当AC＝CQ时，10＝2m2，解得：m＝﹣（舍去）或m＝，∴Q（，3﹣）；当AQ＝CQ时，2m2﹣4m+10＝2m2，解得：m＝，∴Q（，）；综上所述，点Q的坐标为（2，1）或（，3﹣）或（，）．【考点2 直角三角形的存在性】【典例2】（2021秋•建华区期末）抛物线y＝x2+bx+c经过A、B（1，0）、C（0，﹣3）三点．点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过B（1，0）、C（0，﹣3），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．（4）在y轴上存在点E，使△ADE为直角三角形，理由如下：∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴D（﹣1，﹣4），设E点坐标为（0，m），∴AE2＝m2+9，DE2＝m2+8m+17，AD2＝20，当∠EAD＝90°时，有AE2+AD2＝DE2，∴m2+9+20＝m2+8m+17，解得m＝，∴此时点E的坐标为（0，）；当∠ADE＝90°时，DE2+AD2＝AE2，m2+8m+17+20＝m2+9，解得m＝﹣，∴此时点E的坐标为（0，﹣）；当∠AED＝90°时，AE2+DE2＝AD2，m2+9+m2+8m+17＝20，解得m＝﹣1或m＝﹣3，∴此时点E的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）．综上所述，符合题意的点E的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．【变式2-1】（2022•灞桥区校级模拟）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），将点C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3），∴3a＝3，∴a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点为（2，﹣1）；（2）存在一点E，使△BCE是直角三角形，理由如下：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，设E（2，t），∵△BCE是直角三角形，∴BE⊥CE，∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝3，BE＝，CE＝，①当BC为斜边时，∴18＝（）2+（）2，解得t＝，∴E点坐标为（2，）或（2，）；②当BE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝5，∴E点坐标为（2，5）；③当CE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝﹣1，∴E点坐标为（2，﹣1）；综上所述：E点坐标为（2，）或（2，）或（2，5）或（2，﹣1）．【变式2-2】（2022•碑林区校级四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c 交x轴于点A（﹣5，0），B（﹣1，0），交y轴于点C（0，5）．（1）求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标．（2）将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，点E为抛物线C2上一点若△DOE是以DO为直角边的直角三角形，求点E的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣5，0），B（﹣1，0），C（0，5）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2+6x+5，∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，∴顶点D（﹣3，﹣4）；（2）设抛物线C2上任意一点（x，y），则（x，y）关于y轴对称的点为（﹣x，y），∵点（﹣x，y）在抛物线C1上，∴抛物线记作C2的解析式为y＝x2﹣6x+5，设E（t，t2﹣6t+5），过点D作DG⊥x轴交于点G，过点E作EH⊥x轴交于点H，∵∠DOE＝90°，∴∠GOD+∠HOE＝90°，∵∠GOD+∠GDO＝90°，∴∠HOE＝∠GDO，∴△GDO∽△HOE，∴＝，∵DG＝4，GO＝3，HE＝﹣t2+6t﹣5，OH＝t，∴＝，∴t＝4或t＝，∴E（4，﹣3）或E（，﹣）．【变式2-3】（2022•武功县模拟）如图，经过点A（2，6）的直线y＝x+m与y轴交于点B，以点A为顶点的抛物线经过点B，抛物线的对称轴为直线l．（1）求点B的坐标和抛物线的函数表达式；（2）在l右侧的抛物线上是否存在点P，使得以P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y＝x+m经过点A（2，6），∴2+m＝6，解得m＝4，即y＝x+4．令x＝0，得y＝4，即点B的坐标为（0，4）．∵点A（2，6）为抛物线的顶点，∴可设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣2）2+6（a≠0），将点B（0，4）代入，得4＝4a+6，解得，∴抛物线的函数表达式为．∴点B的坐标为（0，4），抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+4；（2）∵点A（2，6）为抛物线的顶点，∴抛物线的对称轴l：x＝2．①当AB为该等腰三角形的底边时：如图，点P在P2的位置．过点A作AC⊥y轴于点C，过点P2作P2D⊥AC交CA的延长线于点D，作P2E⊥y轴于点E，连接P2A，P2B，则P2A＝P2B，∠D＝∠P2EB＝90°．∵A（2，6），B（0，4），AC⊥BC，∴AC＝BC＝2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA．∵P2A＝P2B，∴∠P2AB＝∠P2BA，∴180°﹣∠CAB﹣∠P2AB＝180°﹣∠CBA﹣∠P2BA，即∠P2AD＝∠P2BE．在△P2AD和△P2BE中，∠D＝∠P2EB，∠P2AD＝∠P2BE，P2A＝P2B，∴△P2AD≌△P2BE（AAS），∴P2D＝P2E．设，则P2E＝m，，∴，解得（舍去）或，∴；②当AB为该等腰三角形的腰时，作点B关于l的对称点P1，由抛物线的对称性可知，AB＝AP1．∵B（0，4），抛物线的对称轴为直线x＝2，∴P1（4，4）．综上可知，在l右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为（4，4）或．【考点3 等腰直角三角形的存在性】【典例3】（2022•黔东南州一模）抛物线y＝ax2+bx﹣经过点（1，﹣1），现将一块等腰直角三角板ABC（∠ACB＝90°）按照如图的方式放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A、C坐标分别为（0，2）、（﹣1，0）．B点在抛物线y＝ax2+bx﹣图象上．（1）求点B的坐标：（2）求抛物的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D．∵∠BCD+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠BCD＝∠CAO，又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，∴△BCD≌△CAO（AAS），∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，∴点B的坐标为（﹣3，1）；（2）抛物线y＝ax2+bx﹣经过点（1，﹣1），点B（﹣3，1），则，解得，所以抛物线的解析式为y＝x2+x﹣；（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C＝BC，得到等腰直角三角形△ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1＝BC，∠MCP1＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90°，∴△MP1C≌△DBC（AAS），∴CM＝CD＝2，P1M＝BD＝1，∵OC＝1，∴OM＝1，∴P1（1，﹣1）；②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2＝AC，得到等腰直角三角形△ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2＝OA＝2，AN＝OC＝1，∴点P2（2，1），③以A为直角顶点的等腰Rt△ACP的顶点P有两种情况．即过点A作直线L⊥AC，在直线L上截取AP＝AC时，点P可能在y轴右侧，即现在解答情况②的点P2；点P也可能在y轴左侧，即还有第③种情况的点P3．因此，然后过P3作P3G⊥y轴于G，同理：△AGP3≌△CAO，∴GP3＝OA＝2，AG＝OC＝1，∴P3为（﹣2，3）；经检验，点P1（1，﹣1）与在抛物线y＝x2+x﹣上，点P2（2，1）点P3（﹣2，3）都不在抛物线y＝x2+x﹣上．综上，存在，点P的坐标为（1，﹣1）．【变式1-1】（2022•兴宁区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），点A为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由；【解答】解：（1）由题意，解得：，∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x；（2）过点A作直线AF⊥x轴于点F，由（1）得y＝（x﹣4）2﹣4，∴抛物线的顶点A（4，﹣4），①AM＝BM，∵B（8，0），∴BF＝4，∵∠AFB＝90°，AF＝BF＝4，∴△ABF是等腰直角三角形，∴M在点F处，△ABM是等腰直角三角形，此时M为（4，0），②AB＝AM，由①得△ABF是等腰直角三角形，BF＝4，∴AB＝＝＝4，∴M为（4，﹣4﹣4）或（4，﹣4+4），③AB＝BM，∵AB＝BM，BF⊥AM，∴MF＝AF，∴M为（4，4），综上所述，M为（4，0），（4，﹣4﹣4）或（4，﹣4+4）或（4，4）；【变式3-2】（2022•禅城区二模）如图，抛物线经过原点O，对称轴为直线x＝2且与x轴交于点D，直线l：y＝﹣2x﹣1与y轴交于点A，与抛物线有且只有一个公共点B，并且点B在第四象限，直线l与直线x＝2交于点C．（1）连接AD，求证：AD⊥AC．（2）求抛物线的函数关系式．（3）在直线l上有一点动点P，抛物线上有一动点Q，当△PBQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形时，直接写出此时点P的坐标．【解答】解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，则∠AEC＝∠DOA＝90°，∵直线y＝﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线x＝2交于点C，∴A（0，﹣1），C（2，﹣5），∴E（0，﹣5），∴OA＝1，OD＝2，CE＝2，AE＝4，∴＝，＝＝，∴＝，∵∠AEC＝∠DOA，∴△AEC∽△DOA，∴∠CAE＝∠ADO，∵∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠CAE+∠DAO＝90°，∴∠DAC＝180°﹣（∠CAE+∠DAO）＝180°﹣90°＝90°，∴AD⊥AC．（2）设抛物线的函数关系式为y＝ax2+bx，∵对称轴为直线x＝2，∴＝2，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax，由ax2﹣4ax＝﹣2x﹣1，整理得ax2+（2﹣4a）x+1＝0，∵直线y＝﹣2x﹣1与抛物线有且只有一个公共点B，∴Δ＝（2﹣4a）2﹣4a＝0，解得：a1＝，a2＝1，当a＝时，抛物线解析式为y＝x2﹣x，联立得x2﹣x＝﹣2x﹣1，解得：x1＝x2＝﹣2，∴B（﹣2，3）与点B在第四象限矛盾，故a＝不符合题意，舍去，当a＝1时，y＝x2﹣4x，联立得x2﹣4x＝﹣2x﹣1，解得：x1＝x2＝1，∴B（1，﹣3），点B在第四象限符合题意，∴a＝1，∴该抛物线的函数关系式为y＝x2﹣4x．（3）如图2，过点B作BQ⊥AB交抛物线于点Q，作GH∥x轴交y轴于点G，过点Q 作QH⊥GH，则∠AGB＝∠BHQ＝∠ABQ＝90°，∴∠ABG+∠QBH＝∠ABG+∠BAG＝90°，∴∠QBH＝∠BAG，∴△ABG∽△BQH，∴＝，设Q（t，t2﹣4t），∵A（0，﹣1），B（1，﹣3），∴AG＝2，BG＝1，BH＝t﹣1，QH＝t2﹣4t+3，∴＝，解得：t＝1（舍去）或t＝，∴BH＝﹣1＝，QH＝（）2﹣4×+3＝，过点B作EF∥y轴，过点P1作P1E⊥EF，过点P2作P2F⊥EF，∵△PBQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形，∴P1B＝BQ＝P2B，∵∠P1BE+∠EBQ＝∠EBQ+∠QBH＝90°，∴∠P1BE＝∠QBH，∵∠BEP1＝∠BHQ＝90°，∴△BEP1≌△BHQ（AAS），∴EP1＝QH＝，BE＝BH＝，∴P1（﹣，﹣），同理可得：P2（，﹣），综上，点P的坐标为P1（﹣，﹣），P2（，﹣）．1．（2022•榆阳区一模）如图，已知抛物线y＝mx2+4x+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣3经过B，C两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的顶点为M，在该抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）y＝x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，则x＝3，∴B（3，0），将C（0，﹣3），B（3，0）代入y＝mx2+4x+n中，∴，解得，∴y＝﹣x2+4x﹣3；（2）存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴M（2，1），对称轴为直线x＝2，设P（2，t），∴MP＝|t﹣1|，MC＝2，CP＝，①当MP＝MC时，|t﹣1|＝2，∴t＝2+1或t＝﹣2+1，∴P（2，2+1）或（2，﹣2+1）；②当MP＝CP时，|t﹣1|＝，解得t＝﹣，∴P（2，﹣）；③当MC＝CP时，2＝，解得t＝1（舍）或t＝﹣7，∴P（2，7）；综上所述：P点坐标为（2，2+1）或（2，﹣2+1）或（2，﹣）或（2，7）．2．（2022•岚山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使△BMD是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；（3）易证线BC的解析式为y＝﹣x+8，向下平移5个单位得到y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝3，∴M（3，0），当x＝0时，y＝3，∴N（0，3），由题意得PD⊥MB，∵MB＝8﹣3＝5，D（m，﹣m+3），∴MD2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，BD2＝（8﹣m）2+（﹣m+3）2，若△BMD是等腰三角形，可分三种情况：①当MB＝MD时，∴（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝25，解得m1＝3+，m2＝3﹣，②当MB＝BD时，∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝25，解得，m1＝3（舍去），m2＝8（舍去），③当MD+BD时，∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，解得，m＝5.5．综上所述，m的值为3+或3﹣或5.5时，△BMD是等腰三角形．3．（2022•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A、B，抛物线的对称轴交x 轴于点D，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）对于直线y＝﹣x+3，令y＝0，即﹣x+3＝0，解得：x＝3，令x＝0，得y＝3，∴B（3，0），C（0，3），∵A为x轴负半轴上一点，且OA＝OB，∴A（﹣1，0）．将点A、B的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（3）存在．如图2，∵点P在x轴上，∴设P（m，0）．∵C（0，3），D（1，0），∴由勾股定理，得：CD2＝OC2+OD2＝32+12＝10，PD2＝（m﹣1）2，CP2＝OP2+OC2＝m2+32＝m2+9，分为三种情况讨论：①当CD＝PD时，CD2＝PD2，即10＝（m﹣1）2，解得m1＝1+，m2＝1﹣，此时点P的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）；②当CD＝CP时，CD2＝CP2，即10＝m2+9，解得m1＝﹣1，m2＝1（不符合题意，舍去），此时点P的坐标为（﹣1，0）；③当PC＝PD时，PC2＝PD2，即m2+9＝（m﹣1）2，解得m＝﹣4，此时点P的坐标为（﹣4，0）．综上所述，在x轴上存在点P，使得△PDC为等腰三角形，满足条件的点P的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）或（﹣1，0）或（﹣4，0）．4．（2022•鞍山模拟）抛物线与坐标轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，4），连接AC、BC．（1）求抛物线的解析式；（3）如图2，点E是抛物线上第一象限内对称轴右侧的一点，连接EC，点D是抛物线的对称轴上的一点，连接ED、CD，当△CED是以点E为顶点的等腰直角三角形时，直接写出点E的横坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）三点，∴．解得：．∴抛物线对应的二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4；（2）设G（x，﹣x2+3x+4），∵S△BHG＝S△ABG﹣S△ABH，S△AHC＝S△ABC﹣S△ABH，△BHG与△AHC的面积差为1，∵A（﹣1，0）、B（4，0），∴AB＝5，（3）∵y＝﹣x2+3x+4，∴抛物线对称轴为x＝﹣＝，，点E分别作EM⊥y轴于M，作EN⊥EM，过点D作DN⊥EN，垂足为N，∴∠CME＝∠DNE＝90°，∠MEN＝90°，∵△CED是以点E为顶点的等腰直角三角形，∴∠CED＝90°，∴∠CEM+∠MED＝∠DEN+∠MED＝90°，CE＝DE，∴∠CEM＝∠DEN，∴△EMC≌△END（AAS），∴CM＝DN，设E（m，﹣m2+3m+4）（m＞），∴4﹣（﹣m2+3m+4）＝m﹣，∴m＝或（不合题意，舍去），∴点E的横坐标为．5．（2022•渭滨区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，∴，解得，∴抛物线的表达式为：；（2）存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：令x＝0，则y＝4，∴点C（0，4），∵A（﹣3，0）、C（0，4），∴AC＝5，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+4，设点M（m，0），则点Q（m，﹣m+4），①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AQ，∵CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，解得：舍去负值），∴点；②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或m＝0（舍去0），∴点Q（1，3）；③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：舍去）；综上所述，点Q的坐标为（1，3）或．31。
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二次函数与几何综合
1.已知关于x 的一元二次方程a x 2＋bx ＋1＝0，中，b
+m ＋1； （1）若a ＝4，求b 的值；
（2）若方程a x 2＋bx ＋1＝0有两个相等的实数根，求方程的根．
2.如图，利用一面增(墙EF 最长可利用28米)，围成一个矩形花园ABCD ．与培平行的一边 BC 上要预留2米宽的入口(如图中AN 所示，不用砌墙)用60米长的墙的材料，当矩形 的长BC 为多少米时，矩形花园的面积为30平方米:能否围成430平方米的矩形花为 什么?
3.如图，直线AB ：y ＝kx ＋3过点（－2，4）与抛物线y ＝交于A 、B 两点； （1）直接写出点A 、点B 的坐标；
（2）在直线AB 的下方的抛物线上求点P ，使△ABP 的面积等于5．
N
4.如图，抛物线y＝(x－1) 2＋m的图象与x轴交于A、B两点与y轴交于点C，且AB＝4；（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线沿对称轴向上平移k个单位长度后与线段BC交于D、E两个不同的点，求k 的取值范围；
（3）M为线段QB上一点（不含O、B两点）过点M作y轴的平行线交抛物线于点M，交线段
BC于点P，若△PCN为等腰三角形，求M点的坐标．
图1
图2
图3
5.利用一面长为22米的墙和46米的篱笆围成如图所示的矩形菜地菜地有2个2米宽的门，门用其它材料．
(1)如何搭建使矩形菜地的面积方200平方米？
(2)如何搭建使矩形菜地的面积最大，最大为多少平方米？
6.如图1，边长为4的正方形ABCD 中，点E 在AB 边上(不与点A ，B 重合)，点F 在BC 边上(不与点B 、C 重合)．
第一次操作：将线段EF 绕点F 断时针旋转，当点E 落在正方形上时，记为点G ；
第二次操作：将线段FG 绕点G 顺时针旋转，当点F 落在正方形上时，记为点H ；依此橾作下去…
(1)图2中的△EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为 ，求此时线段EF 的长； (2)若经过三次操作可得到四边形EFGH ．
①请判断四边形EFGH 的形状为 ，此时AE 与BF 的数蜇关系是 ；
②以①中的结论为前提，设AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及面积y 的取值范围．
图1 图2 备用图
E
F A B C
D
E
F
A B C D
H
F A B
C D
E
G
7.如图，一次函数
1
2
2
y x
=+分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线2
y x bx c
=-++过A、B
两点．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)作垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
(3)在(2)的情况下，以A，M、N、D为项点作平行四边形，求第四个项点D的坐标．
8.某商场在1月至12月份经销某种品牌的服装,由于受到时令的影明,该种服装的销售情況 如下:销售价格
1y (元/件)与销售月份
x (月)的关系大致满足如图的函数,销售成本
2y (元/件)与销售月份
x (月)满足
2y ＝10100(16)
14
(612)3
x x x x x x -+⎧⎪
⎨⎪⎩≤＜且为整数≤＜且为整数，月销售量
3y (件)与销售月份x (月)満足3y ＝1Ox －20.
(1)根据图象求出销售价格
1y (元/件)与销售月份x (月)之间的函数关系式:(6≤x ≤12且x 为整数)
(2)求出该服装月销售利润W （元)与月份x (月)之向的函数关系式，并求出哪个月份的销售利润最大?最大利润是多少?(6≤x ≤12且x 为整数)
9.如图，等边△ABC 和等边△DEC ，CE 和AC 重合．CE
B .
（1）求证：AD ＝BE ；
（2）若CE 绕点C 顺时针旋转30°，连BD 交AC 于点G ，取AB 的中点F 连FG ，求证：BE ＝2FG ； （3）在（2）的条件下AB ＝2，则AG ＝________．（直接写出结果）
备用
A
B C D
E
F
G G F
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
10..如图开口向下的抛物线y＝a2x＋bx＋c交x轴于A（−1，0）、B（5，0）两点，交y轴于点C（0，5）（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，求△BCD的面积；
（3）在（2）的条件下，P、Q为线段BC上两点（P左Q右，且P、Q不与B、C重合），PQ＝
，在
第一象限的抛物线上是否存在这样的点R，使△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
备用图2
备用图1。