2018-2019学年上海市建平中学高二(下)期中数学试卷

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上海市2018-2019学年建平中学高三上学期数学期中考试(解析版)

2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三（上）期中数学试卷一.填空题1．（3分）设函数，则f（f（2））=2．（3分）在各项为实数的等比数列{a n}中，a5+8a2=0，则公比q的值为3．（3分）若，，，，则tanα= 4．（3分）设集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|2x﹣1≤1}，则（∁R A）∩B=5．（3分）某校邀请5位同学的父母共10人中的4位来学校介绍经验，如果这4位来自4个不同的家庭，那么不同的邀请方案的种数是6．（3分）从原点O向圆x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为．7．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：对于任意m，n∈N*，都有S n+S m=S n+2mn，若a1=1，则a2018=+m8．（3分）已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣），则f（6）=．9．（3分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，若实数a满足f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2），则a的取值范围是10．（3分）在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，a2+b2=6abcosC，则=11．（3分）已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，则（其中a+c≠0）的取值范围为．12．（3分）若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是．二.选择题13．（3分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y314．（3分）已知点A（﹣2，0）、B（3，0），动点P（x，y）满足，则点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线15．（3分）已知数列{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，则数列：①{2an}；②{a n2}；③；④{a n a n+1}；⑤{a n+a n+1}；等比数列的个数为（）A．2B．3C．4D．516．（3分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k （a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）A．I1＜I2＜I3B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2D．I3＜I2＜I1三.解答题17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC=45°，PA⊥平面ABCD，AB=AP=1，AD=3．（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；（2）求点D到平面PBC的距离．18．设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．19．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．20．对于函数，定义f1（x）=f（x），f n（x）=f[f n（x）]（n∈N*），+1已知偶函数g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（1）=0，当x＞0且x≠1时，g（x）=f2018（x）．（1）求f2（x），f3（x），f4（x），f2018（x）；（2）求出函数y=g（x）的解析式；（3）若存在实数a、b（a＜b），使得函数g（x）在[a，b]上的值域为[mb，ma]，求实数m的取值范围．21．对于无穷数列{a n}，记T={x|x=a j﹣a i，i＜j}，若数列{a n}满足：“存在t∈T，使得只要a m﹣a k=t（m，k∈N*，m＞k），必有a m+1﹣a k+1=t”，则称数列具有性质P（t）．（1）若数列{a n}满足，判断数列{a n}是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？说明理由；（2）求证：“T是有限集”是“数列{a n}具有性质P（0）”的必要不充分条件；（3）已知{b n}是各项均为正整数的数列，且{b n}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在正整数N，使得a N，a N+1，a N+2，…，a N+K，…是等差数列．2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）设函数，则f（f（2））=﹣1【分析】推导出f（2）=π（4﹣5）=﹣π，从而f（f（2））=f（﹣π）=cos（﹣π）=cosπ，由此能求出结果．【解答】解：∵函数，∴f（2）=π（4﹣5）=﹣π，f（f（2））=f（﹣π）=cos（﹣π）=cosπ=﹣1．故答案为：﹣1．2．（3分）在各项为实数的等比数列{a n}中，a5+8a2=0，则公比q的值为﹣2【分析】由等比数列的性质知q3=﹣8，从而解得．【解答】解：∵a5+8a2=0，∴a2q3+8a2=0，即q3=﹣8，解得q=﹣2．故答案为：﹣2．3．（3分）若，，，，则tanα= 7【分析】利用向量的数量积和三角函数同角公式可得．【解答】解：因为•=（1，2）•（cosα，sinα）=cosα+2sinα，3•=3（﹣2，1）•（cosα，sinα）=﹣6cosα+3sinα，∴cosα+2sinα=﹣6cosα+3sinα，∴sinα=7cosα，tanα=7，故答案为：7．4．（3分）设集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|2x﹣1≤1}，则（∁R A）∩B=（0，1] 【分析】化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x≥0}={x|x≤0或x≥2}，集合B={x|2x﹣1≤1}={x|x﹣1≤0}={x|x≤1}，∴∁R A={x|0＜x＜2}，∴（∁R A）∩B={x|0＜x≤1}=（0，1]．故答案为：（0，1]．5．（3分）某校邀请5位同学的父母共10人中的4位来学校介绍经验，如果这4位来自4个不同的家庭，那么不同的邀请方案的种数是80【分析】用分步计数原理：①从5个家庭中选4个家庭；②从每个家庭中选出1个．然后相乘可得．【解答】解：分步进行：第一步：从5个家庭中选出4个家庭，有C=5种；第二步：从选出的4个家庭的每个家庭的父母亲中选出1位来，有C×C×C×C=16；根据分步计数原理得：不同的邀请方案的种数数：5×16=80．故答案为：80．6．（3分）从原点O向圆x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为2π．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心C的坐标和圆的半径r，根据AC 与BC为圆的半径等于3，OC的长度等于6，利用直角三角形中一直角边等于斜边的一半得到角AOB等于2×30°，然后根据四边形的内角和定理求出角BCA 的度数，然后由角BCA的度数和圆的半径，利用弧长公式即可求出该圆夹在两条切线间的劣弧长．【解答】解：把圆的方程化为标准方程为：x2+（y﹣6）2=9，得到圆心C的坐标为（0，6），圆的半径r=3，由圆切线的性质可知，∠CBO=∠CAO=90°，且AC=BC=3，OC=6，则∠AOB=∠BOC+∠AOC=60°，所以∠ACB=120°，所以该圆夹在两条切线间的劣弧长l==2π．故答案为：2π7．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：对于任意m，n∈N*，都有S n+S m=S n+m+2mn，若a1=1，则a2018=﹣4033【分析】根据题意，在S n+S m=S n+m+2mn中，用特殊值法分析：令m=1可得：S n+S1=S n+1+2n，变形可得S n+1﹣S n=1﹣2n，再令n=2018计算可得答案．【解答】解：根据题意，在S n+S m=S n+m+2mn中，令m=1可得：S n+S1=S n+1+2n，又由a1=1，即S1=a1=1，则有S n+1=S n+1+2n，变形可得：S n+1﹣S n=1﹣2n，则a2018=S2018﹣S2017=1﹣2×2017=﹣4033；故答案为：﹣4033．8．（3分）已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣），则f（6）= 2．【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0时，f（x）=x3﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论．【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．∴f（6）=f（1），∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，∴f（﹣1）=﹣2，∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，∴f（6）=2；故答案为：29．（3分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，若实数a满足f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2），则a的取值范围是（3，）∪（，5）【分析】根据题意，分析可得f（x）在[0，+∞）上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2）可以转化为﹣2＜log2|a﹣1|＜2，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，则f（x）在[0，+∞）上为减函数，则f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2）⇒f（|log2|a﹣1||）＞f（2）⇒|log2|a﹣1||＜2⇒﹣2＜log2|a﹣1|＜2，变形可得：＜|a﹣1|＜4，解可得：﹣3＜a＜或＜x＜5；即不等式的解集为（﹣3，）∪（，5）；故答案为：（﹣3，）∪（，5）．10．（3分）在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，a2+b2=6abcosC，则=4【分析】由题意利用余弦定理可得c2=（a2+b2），再利用行列式的运算、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：在锐角三角形ABC中，∵a2+b2=6abcosC=6ab•，∴c2=（a2+b2）．则=+=tanC（+）=•（+）=•====4，故答案为：4．11．（3分）已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，则（其中a+c≠0）的取值范围为（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1，ab=1，再根据则=（a﹣b）+，利用基本不等式求得它的范围．【解答】解：根据关于x的一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，可得a＞0，对应的二次函数的图象的对称轴为x=﹣=c，△=4﹣4ab=0，∴ac=﹣1，ab=1，∴c=﹣，b=．则==（a﹣b）+，当a﹣b＞0时，由基本不等式求得（a﹣b）+≥6，当a﹣b＜0时，由基本不等式求得﹣（a﹣b）﹣≥6，即（a﹣b）+≤﹣6故（其中a+c≠0）的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．12．（3分）若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是[，+∞）．【分析】根据对称函数的定义，结合h（x）≥g（x）恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：解：∵x∈D，点（x，g（x））与点（x，h（x））都关于点（x，f（x））对称，∴g（x）+h（x）=2f（x），∵h（x）≥g（x）恒成立，∴2f（x）=g（x）+h（x）≥g（x）+g（x）=2g（x），即f（x）≥g（x）恒成立，作出g（x）和f（x）的图象，若h（x）≥g（x）恒成立，则h（x）在直线f（x）的上方，即g（x）在直线f（x）的下方，则直线f（x）的截距b＞0，且原点到直线y=2x+b的距离d≥1，d=⇒b≥或b（舍去）即实数b的取值范围是[，+∞），二.选择题13．（3分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y3【分析】实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），可得x＞y，对于A．B．C分别举反例即可否定，对于D：由于y=x3在R上单调递增，即可判断出正误．【解答】解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A．取x=2，y=﹣1，不成立；B．取x=0，y=﹣1，不成立C．取x=π，y=﹣π，不成立；D．由于y=x3在R上单调递增，因此正确故选：D．14．（3分）已知点A（﹣2，0）、B（3，0），动点P（x，y）满足，则点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【分析】由题意知（﹣2﹣x，y）•（3﹣x，y）=x2，化简可得点P的轨迹．【解答】解：∵动点P（x，y）满足，∴（﹣2﹣x，﹣y）•（3﹣x，﹣y）=x2，∴（﹣2﹣x）（3﹣x）+y2=x2，解得y2=x+6．∴点P的轨迹方程是抛物线．故选：D．15．（3分）已知数列{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，则数列：①{2an}；②{a n2}；③；④{a n a n+1}；⑤{a n+a n+1}；等比数列的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】利用等比数列的定义通项公式即可得出．【解答】解：数列{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，则①=，不是等比数列；②=q2；③是公比为的等比数列；④{a n a n+1}是公比为q2的等比数列；}不一定是等比数列，例如（﹣1）n．⑤{a n+a n+1综上：等比数列的个数为3．故选：B．16．（3分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k （a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）A．I1＜I2＜I3B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2D．I3＜I2＜I1【分析】根据记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k （a98）|，分别求出I1，I2，I3与1的关系，继而得到答案【解答】解：由，故==1，由，故×=×＜1，+=，故I2＜I1＜I3，故选：B．三.解答题17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC=45°，PA⊥平面ABCD，AB=AP=1，AD=3．（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；（2）求点D 到平面PBC 的距离．【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PB 与CD 所成角大小．（2）求出平面PBC 的一个法向量，利用向量法能求出点D 到平面PBC 的距离．【解答】解：（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则P （0，0，1），B （1，0，0），C （1，2，0）D （0，3，0），∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，1，0），……（3分）设异面直线PB 与CD 所成角为θ，则cosθ==，……（6分）所以异面直线PB 与CD 所成角大小为．……（7分）（2）设平面PBC 的一个法向量为=（x ，y ，z ），=（1，0，﹣1），=（0，2，0），=（﹣1，1，0），则，取x=1，得=（1，0，1），……（4分）∴点D 到平面PBC 的距离d==．……（7分）18．设函数f （x ）=sin （ωx ﹣）+sin （ωx ﹣），其中0＜ω＜3，已知f （）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣，]时g（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）=sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣），又f（）=sin（ω﹣）=0，∴ω﹣=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x﹣），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+﹣）的图象，∴函数y=g（x）=sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x=﹣时，g（x）取得最小值是﹣×=﹣．19．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．【分析】（1）由题意得M（1，8），则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为，可得其定义域；（2），设与联立求出A，B的坐标，即可求出最短长度p的取值范围．【解答】解：（1）由题意得M（1，8），则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为，（4分）又得，所以定义域为[1，10]．…（6分）（2），设由得kpx2+（8﹣kp2）x﹣8p=0，△=（8﹣kp2）2+32kp2=（kp2+8）2=0，…（8分）∴kp2+8=0，∴，得直线AB方程为，…（10分）得，故点P为AB线段的中点，由即p2﹣8＞0…（12分）得时，OA＜OB，所以，当时，经点A至P路程最近．（14分）20．对于函数，定义f1（x）=f（x），f n（x）=f[f n（x）]（n∈N*），+1已知偶函数g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（1）=0，当x＞0且x≠1时，g（x）=f2018（x）．（1）求f2（x），f3（x），f4（x），f2018（x）；（2）求出函数y=g（x）的解析式；（3）若存在实数a、b（a＜b），使得函数g（x）在[a，b]上的值域为[mb，ma]，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据函数关系代入计算进行求解即可；（2）由偶函数的定义，计算可得所求解析式；（3）根据函数奇偶性和单调性的性质，结合函数的值域关系进行求解即可．【解答】解：（1）因为函数，（x）=f[f n（x）]（n∈N*），f1（x）=，定义f1（x）=f（x），f n+1f2（x）=f[f1（x）]==，（x≠0且x≠1），f3（x）=f[f2（x）]==x，（x≠0且x≠1），f4（x）=f[f3（x）]=，（x≠0且x≠1），（x）=f i（x）（i=2，3，4），故对任意的n∈N•，有f3n+i=f2（x）=1﹣，（x≠0且x≠1）；于是f2018（x）=f3×672+2（2）当x＞0且x≠1时，g（x）=f2018（x）=1﹣，又g（1）=0，由g（x）为偶函数，当x＜0时，﹣x＞0，g（x）=g（﹣x）=1+，可得g（x）=；（3）由于y=g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），又a＜b，mb＜ma，可知a与b同号，且m＜0，进而g（x）在[a，b]递减，且a＜b＜0，当a，b∈（0，1）时，g（x）=1﹣为增函数，故，即m==，得a﹣1=b﹣1，即a=b，与a＜b矛盾，∴此时a，b不存在；函数y=g（x）的图象，如图所示．由题意，有，故a，b是方程1+=mx的两个不相等的负实数根，即方程mx2﹣x﹣1=0在（﹣∞，0）上有两个不相等的实根，于是，解得﹣＜m＜0．综合上述，得实数m的取值范围为（﹣，0）．21．对于无穷数列{a n}，记T={x|x=a j﹣a i，i＜j}，若数列{a n}满足：“存在t∈T，使得只要a m﹣a k=t（m，k∈N*，m＞k），必有a m+1﹣a k+1=t”，则称数列具有性质P（t）．（1）若数列{a n}满足，判断数列{a n}是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？说明理由；（2）求证：“T是有限集”是“数列{a n}具有性质P（0）”的必要不充分条件；（3）已知{b n}是各项均为正整数的数列，且{b n}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在正整数N，使得a N，a N+1，a N+2，…，a N+K，…是等差数列．【分析】（1）由，可得a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，数列{a n}不具有性质P（2）；同理可判断数列{a n}具有性质P（4）；（2）举例“周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，利用新定义可证数列{a n}不具有性质P（0），即不充分性成立；再证明其必要性即可；（3）依题意，数列{b n}是各项为正整数的数列，且{b n}既具有性质P（2），又具有性质P（5），可证得存在整数N，使得b N，b N+1，b N+2，…，b N+k，…是等差数列．【解答】解：（1）∵，a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，数列{a n}不具有性质P（2）；同理可得，数列{a n}具有性质P（4）．（2）证明：（不充分性）对于周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，但是由于a2﹣a1=0，a3﹣a2=1，所以不具有性质P（0）；（必要性）因为数列{a n}具有性质P（0），所以一定存在一组最小的且m＞k，满足a m﹣a k=0，即a m=a k由性质P（0）的含义可得a m+1=a k+1，a m+2=a k+2，…，a2m﹣k﹣1=a m﹣1，a2m﹣k=a m，…所以数列{a n}中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：a k，a k+1，…，a m﹣1为一个周期中的各项，所以数列{a n}中最多有m﹣1个不同的项，所以T 最多有个元素，即T 是有限集；（3）证明：因为数列{b n }具有性质P （2），数列{b n }具有性质P （5），所以存在M′、N′，使得b M'+p ﹣b M '=2，b N'+q ﹣b N '=5，其中p ，q 分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质P （2），P （5）的含义可得，b M'+p +k ﹣b M'+k =2，b N'+q +k ﹣b N'+k =5，若M'＜N'，则取k=N'﹣M'，可得b N'+p ﹣b N '=2；若M'＞N'，则取k=M'﹣N'，可得b M'+q ﹣b M '=5．记M=max {M'，N'}，则对于b M ，有b M +p ﹣b M =2，b M +q ﹣b M =5，显然p ≠q ，由性质P （2），P （5）的含义可得，b M +p +k ﹣b M +k =2，b N +q +k ﹣b N +k =5，所以b M +qp ﹣b M =（b M +qp ﹣b M +（q ﹣1）p ）+（b M +（q ﹣1）p ﹣b M +（q ﹣2）p ） +…+（b M +p ﹣b M ）=2qb M +qp ﹣b M =（b M +pq ﹣b M +（p ﹣1）q ）+ （b M +（p ﹣1）q ﹣b M +（p ﹣2）q ）+…+（b M +q ﹣b M ）=5p 所以b M +qp =b M +2q=b M +5p ．所以2q=5p ，又p ，q 是满足b M +p ﹣b M =2，b M +q ﹣b M =5的最小的正整数，所以q=5，p=2，b M +2﹣b M =2，b M +5﹣b M =5，所以，b M +2+k ﹣b M +k =2，b M +5+k ﹣b M +k =5，所以，b M +2k =b M +2（k ﹣1）+2=…=b M +2k ，b M +5k =b M +5（k ﹣1）+5=…=b M +5k ，取N=M +5，若k 是偶数，则b N +k =b N +k ；若k 是奇数，则b N +k =b N +5+（k ﹣5）=b N +5+（k ﹣5）=b N +5+（k ﹣5）=b N +k ，所以，b N +k =b N +k ，所以b N ，b N +1，b N +2，…，b N +k ，…是公差为1的等差数列。

2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷一、填空题1．设全集∪＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4，6}，则∁U A＝．2．不等式＜0的解集是．3．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{a2+1}，若B⊄A，则实数a的值为．4．用列举法写出集合A＝{y|y＝x2﹣1，x∈Z，|x|≤1}＝5．已知不等式x2﹣ax+b≤0的解集为[2，3]，则a+b＝6．命题“如果a≠0，那么a2＞0”的逆否命题为．7．已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，x∈R}，B＝{（x，y）|y＝3﹣x．x∈R}，则A∩B＝．8．若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件，则a的取值范围为．9．已知集合A＝{x||x﹣1|≤1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，则实数a的取值集合为10．已知集合{x|（x﹣2）（x2﹣2x+a）＝0，x∈R}中的所有元素之和为2，则实数a的取值集合为．11．已知正实数x，y满足x+y＝1，则﹣的最小值是12．若不等式x+4≤a（x+y）对任意x＞0，y＞0恒成立，则a的取值范围是．二、选择题13．“x＞1”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．若实数a、b满足条件a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＜B．a2＞b2C．ab＞b2D．a3＞b315．设集合P＝{m|﹣1＜m≤0}，Q＝{m|mx2+2mx﹣1＜0}对任意x∈R恒成立，则P与Q的关系是（）A．P⊄Q B．Q⊄P C．P＝Q D．P∩Q＝∅16．已知集合A＝{1，2，3，…n）（n∈N*}，集合B＝{j1，j2，…j k）（k≥2，k∈N*）是集合A的子集，若1≤j1＜j2＜…＜j m≤n且j i+1﹣j i≥m（i＝1，2，……，k﹣1），满足集合B的个数记为n（k⊕m），则7（3⊕2）＝（）A．9B．10C．11D．12三、解答题17．已知x，y是实数，求证：x2+y2≥2x+2y﹣2．18．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣12＜0}，B＝{y|y＝，x∈R}，求A∩B，A∪（∁U B）．19．已知命题p：关于x的一元二次方程x2﹣2x+|m﹣2|＝0有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程x2﹣mx+|a+1|+|a﹣3|＝0对于任意实数a都没有实数根．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．20．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，集合B＝{x|（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0，m∈R}．（1）当m＝2时，求集合∁R A和集合B；（2）若集合B∩Z为单元素集，求实数m的取值集合；（3）若集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N*）个，求实数m的取值集合．21．已知集合P的元素个数为3n（n∈N*）个且元素为正整数，将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，即P＝A∪B∪C，A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，其中A＝{a1，a2，…，a n}，B＝{b1，b2，…b n}，C＝{c1，c2，…，c n}．若集合A、B、C中的元素满足c1＜c2＜…＜c n，a k+b k＝c k，k＝1，2，…n，则称集合P为“完美集合”．（1）若集合P＝{1，2，3}，Q＝{1，2，3，4，5，6}，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合P＝{1，x，3，4，5，6}为“完美集合”，求正整数x的值；（3）设集合P＝{x|1≤x≤3n，n≥2，n∈N*}①证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是n＝4k或n＝4k+1（k∈N*）②判断当n＝4时，集合P是否为“完美集合”，如果是，求出所有符合条件的集合C；如果不是，请说明理由．2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试卷解析一、填空题1．【解答】解：全集∪＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4，6}，则∁U A＝{1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．2．【解答】解：∵＜0，∴（x﹣1）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜1，故不等式的解集是（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．3．【解答】解：若B⊂A，则①a2+1＝﹣1，a∈∅；②a2+1＝0，a∈∅；③a2+1＝2，a＝±1；∵B⊄A，∴a≠±1．故答案为：a≠±1．4．【解答】解：∵|x|≤1，且x∈Z；∴x＝﹣1，0，或1；∴x2＝0，或1；∴y＝﹣1，或0；∴A＝{﹣1，0}．故答案为：{﹣1，0}．5．【解答】解：不等式x2﹣ax+b≤0的解集为[2，3]，∴方程x2﹣ax+b＝0的实数根为2和3，∴，a＝5，b＝6；∴a+b＝11．故答案为：11．6．【解答】解：原命题“如果a≠0，那么a2＞0”，∴其逆否命题为：“若a2≤0，则a＝0”．故答案为：若a2≤0，则a＝0．7．【解答】解：A∩B＝{（x，y）|}＝{（1，2）}．故答案为：{（1，2）}．8．【解答】解：若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件，则a≤1，故答案为：a≤19．【解答】解：A＝{x|0≤x≤2}，①B＝∅，a＝0，②B≠∅，B＝{}，0＜≤2，≥，∴a≥1，故实数a的取值集合为[1，+∞）∪{0}．故答案为：[1，+∞）∪{0}．10．【解答】解：∵集合{x|（x﹣2）（x2﹣2x+a）＝0，x∈R}中的所有元素之和为2，∴x2﹣2x+a＝0的解为x＝0或无解，∴a＝0或Δ＝4﹣4a＜0，解得a＞1．∴实数a的取值集合为{a|a＝0或a＞1}．故答案为：{a|a＝0或a＞1}．11．【解答】解：正实数x，y满足x+y＝1，则﹣＝＝＝（）[x+（y+1）]﹣4＝（5+）﹣4＝当且仅当且x+y＝1即y＝，x＝时取得最小值是/故答案为：12．【解答】解：∵不等式x+4≤a（x+y），x＞0，y＞0，∴a≥＝，令＝t＞0，可得：f（t）＝．f′（t）＝＝＝．可知：t＝时函数f（t）取得最大值，＝4．f（0）＝0．∴0＜f（t）≤4．∵不等式x+4≤a（x+y）对任意x＞0，y＞0恒成立，∴a的取值范围是a≥4．故答案为：[4，+∞）．二、选择题13．【解答】解：若x＞1，则0＜，则成立，即充分性成立，若当x＜0时，成立，但x＞1不成立，即必要性不成立，即“x＞1”是“”成立的充分不必要条件，故选：A．14．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、a＝1，b＝﹣1时，有＞成立，故A错误；对于B、a＝1，b＝﹣2时，有a2＜b2成立，故B错误；对于C、a＝1，b＝﹣2时，有ab＜b2成立，故C错误；对于D、由不等式的性质分析可得若a＞b，必有a3＞b3成立，则D正确；故选：D．15．【解答】解：∵集合P＝{m|﹣1＜m≤0}，Q＝{m|mx2+2mx﹣1＜0}对任意x∈R恒成立，∴Q＝{m|﹣1＜m≤0}．∴P与Q的关系是P＝Q．故选：C．16．【解答】解：由题意可得n＝7，k＝3，m＝2，那么集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}；集合B＝{j1，j2，j3}，1≤j1＜j2≤7，j i+1﹣j i≥2满足集合B的个数列罗出来，可得：{1，3，5}，{1，3，6}，{1，3，7}，{1，4，6}，{1，4，7}；{1，5，7}，{2，4，6}，{2，4，7}，{2，5，7}，{3，5，7}，故选：B．三、解答题17．【解答】证明：因为x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0，可得x2≥2x﹣1，y2﹣2y+1＝（y﹣1）2≥0，可得y2≥2y﹣1，所以x2+y2≥2x+2y﹣2．18．【解答】解：A＝{x|﹣3＜x＜4}；∵x4+1≥2x2；∴；∴B＝{y|y≥2}；∴A∩B＝[2，4），∁U B＝{y|y＜2}；∴A∪（∁U B）＝（﹣∞，4）．19．【解答】解：（1）命题p：关于x的一元二次方程x2﹣2x+|m﹣2|＝0有两个不相等的实数根，可得Δ＝12﹣4|m﹣2|＞0，解得﹣1＜m＜5；（2）命题q：关于x的一元二次方程x2﹣mx+|a+1|+|a﹣3|＝0对于任意实数a都没有实数根，可得﹣x2+mx＝|a+1|+|a﹣3|，由|a+1|+|a﹣3|≥|a+1﹣a+3|＝4，可得﹣x2+mx﹣4≥0无实数解，可得Δ＝m2﹣16＜0，即﹣4＜m＜4，命题p和命题q中有且只有一个为真命题，可得或，即有4≤m＜5或﹣4＜m≤﹣1．20．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}＝{x|x≥2或x≤﹣1}，集合{x|（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0，m∈R}＝{x|[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＜0}（1）当m＝2时，集合∁R A＝{x|﹣1＜x＜2}；集合B＝{x|x＞1或x＜}；（2）因为集合B∩Z为单元素集，且0∈B，所以，解得m＝0，当m＝0时，经验证，满足题意．故实数m的取值集合为{0}（3）集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N*）个，等价于（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0在（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）上有整数解，所以令f（x）＝（1﹣m2）x2+2mx﹣1，依题意有1﹣m2≤0或或，解得m＜﹣或m＞0．21．【解答】解：（1）将P分为集合{1}、{2}、{3}，满足条件，是完美集合．将Q分成3个，每个中有两个元素，若为完美集合，则a1+b1＝c1、a2+b2＝c2，Q中所有元素之和为21，21÷2＝c1+c2＝10.5，不符合要求；（2）若集合A＝{1，4}，B＝{3，5}，根据完美集合的概念知集合C＝{6，7}，若集合A＝{1，5}，B＝{3，6}，根据完并集合的概念知集合C＝{4，11}，若集合A＝{1，3}，B＝{4，6}，根据完并集合的概念知集合C＝{5，9}，故x的一个可能值为7，9，11中任一个；（3）①证明：P中所有元素之和为1+2+…+3n＝＝a1+b1+c1+a2+b2+c2+…+a n+b n+c n＝2（c1+c2+…+c n﹣1+c n），∵c n＝3n，∴＝c1+c2+…+c n﹣1+3n，∴＝c1+c2+…+c n﹣1，等号右边为正整数，则等式左边9n（n﹣1）可以被4整除，∴n＝4k或n﹣1＝4k，即n＝4k或n＝4k+1；②p是完美集合，A＝{1，4，3，2}，B＝{6，5，8，10}，C＝{7，9，11，12}或A＝{1，2，4，3}，B＝{5，8，7，9}，C＝{6，10，11，12}或A＝{2，4，3，1}，B＝{6，5，7，11}，C＝{8，9，10，12}．。

2018-2019学年上海市建平中学高二上学期期中数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市建平中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．三阶行列式816357492中，元素9的代数余子式的值为（）A.38B.-38C.360D.-360【答案】B【解析】元素9为32a ，先求得32M ，然后由()1i jij M +-求得代数余子式.【详解】依题意329a =，32863837M ==，所以元素9的代数余子式的值为()3232138M +-=-.故选：B. 【点睛】本小题主要考查三阶行列式的代数余子式的求法，属于基础题. 2．ABC △中，2cot AB AC A ⋅=，则ABC △的面积为（） A.1 B.2C.3D.4【答案】A【解析】将2cot AB AC A ⋅=化简后，求得三角形ABC 的面积. 【详解】由2cot AB AC A ⋅=得cos cos 2sin A AB AC A A ⋅⋅=⋅，故1sin 12AB AC A ⋅⋅=，也即三角形ABC 的面积为1. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查余切函数，考查向量数量积的运算，考查三角形面积公式，属于基础题. 3．已知直线:10l x y --=，2:220l x y --=，若直线2l 与1l 关于l 对称，则1l 的方程是（） A.210x y -+=B.210x y --=C.10x y +-=D.210x y +-=【答案】B【解析】画出l 和2l 的图像，确定两者的交点，结合直线1l 的斜率，确定正确选项. 【详解】由10220x y x y --=⎧⎨--=⎩解得l 和2l 的图像的交点为()1,0，由于l 的斜率为1，2l 的斜率为2，故1l 的斜率为正数，由此排除C,D 选项.结合1l 过()1,0，排除A 选项. 故选：B.【点睛】本小题主要考查直线关于直线对称的直线方程的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.4．设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t .b ta +的最小值为1.则（） A ．若θ确定，则b 唯一确定 B ．若b 确定，则θ唯一确定 C ．若θ确定，则a 唯一确定 D ．若a 确定，则θ唯一确定【答案】A【解析】根据向量的数量积的运算，得2222||2b ta b ta b t a +=+⋅+，令()2222g t a t a b t b =⋅+⋅⋅+，利用二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】由题意，根据向量的运算可得2222||2b ta b ta b t a +=+⋅+，令()22222222g t b ta b t a a t a b t b =+⋅+=⋅+⋅⋅+，则()22222222222444cos 44sin 0a ba b a b a b a b θθ∆=⋅-=⋅-=-≤，由二次函数的性质，可得()0g t >恒成立，且当22cos 2b a bt a aθ⋅=-=-时，()g t 最小，且最小值为1，即22222cos cos sin 1b g b b b a θθθ⎛⎫ ⎪-=-+== ⎪⎝⎭，所以当θ唯一确定时，b 唯一确定，故选A. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中根据向量的数量积的运算，构造关于t 的二次函数，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以运算与求解能力，属于基础题.二、填空题5．线性方程组23431x y x y +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是________________．【答案】123431⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据增广矩阵的概念，直接写出增广矩阵. 【详解】根据增广矩阵的概念可知增广矩阵为123431⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：123431⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查增广矩阵的概念，属于基础题.6．若向量()2a =1，，()4b x =，能构成平面上的一组基底，则实数x 的取值范围是________________．【答案】{}|2x x ≠【解析】不共线的两个向量可以作为基底，由此列不等式，解不等式求得x 的取值范围. 【详解】要使向量()2a =1，，()4b x =，能构成平面上的一组基底，则,a b 不共线，即142x ⨯≠，解得2x ≠.故答案为：{}|2x x ≠. 【点睛】本小题主要考查能够作为基底的条件，考查平面向量的坐标运算，属于基础题. 7．直线l 的倾斜角为2arctan 3π-，则l 的一个方向向量为________________．【答案】()3,2-【解析】先求得直线l 倾斜角的正切值，由此求得l 的方向向量. 【详解】设直线l 的倾斜角为θ，由于直线l 的倾斜角为2arctan 3π-，所以2tan 3θ=-，由于倾斜角θ为钝角，所以直线l 的一个方向向量为()3,2-. 故答案为：()3,2-. 【点睛】本小题主要考查反正切函数，考查直线方向向量的求法，属于基础题.8．向量()21a =，在向量()32b =-，方向上的投影为________________．【答案】【解析】根据投影公式直接计算出所求的投影. 【详解】依题意向量()21a =，在向量()32b =-，方向上的投影为1394a b b⋅==-+.故答案为：13-. 【点睛】本小题主要考查向量投影的概念和运算，属于基础题. 9．ABC △中，D 是边AC 的中点，点P 满足12BP PC =，则向量DP 用向量AB ，AC 表示为____________．【答案】2136AB AC - 【解析】利用向量加法和减法的运算，将DP 用AB ，AC 表示出来. 【详解】依题意()12122323DP DC CP AC CB AC AB AC =+=+=+-2136AB AC =-. 故答案为：2136AB AC -.【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算，考查平面向量基本定理，属于基础题.10．已知点()01A ，，()13B ，，()C x y ，，若以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为2，则y 关于x 的函数解析式为________________．【答案】21y x =-或23y x =+【解析】求得,AB AC ，然后求得cos ,ABAC ，进而求得sin ,AB AC ，利用平行四边形的面积列方程，化简后求得y 关于x 的函数解析式. 【详解】依题意()()1,2,,1AB AC x y ==-，所以25,AB AC x ==cos ,AB AC AB AC AB AC ⋅=⋅=，由于[],0,πAB AC ∈，所以2sin ,1cos ,1AB AC AB AC =-=所以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积sin ,2AB AC AB AC ⋅⋅=，化简得()()23210x y x y -+--=，所以21y x =-或23y x =+.故答案为：21y x =-或23y x =+. 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查平面向量夹角的计算，考查同角三角函数的基本关系式，考查平行四边形面积的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 11．已知为圆上的三点，若，则与的夹角为_______．【答案】【解析】根据条件,可知BC 为圆O 的直径,因而由直径所对圆心角为可知,.【详解】由，故三点共线，且是线段中点，故是圆的直径，从而，因此与的夹角为所以答案为【点睛】本题考查了平面向量基本定理及圆的性质,属于基础题.12．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()12A -，，()34B ，．若存在实数αβ，使OC OA OB αβ=+，且2αβ+=，则点C 的轨迹方程为________________．【答案】2100x y -+=【解析】将OC OA OB αβ=+转化为''222222OC OA OB OA OB αβαβ=⋅+⋅=⋅+⋅，其中''2,2OA OA OB OB ==，根据122αβ+=，判断出'',,A B C 三点共线，由此求得C的轨迹方程. 【详解】设()()''22,4,26,8OA OA OB OB ==-==，则OC OA OB αβ=+''222222OA OB OA OB αβαβ=⋅+⋅=⋅+⋅.由于122αβ+=，所以'',,A B C 三点共线，即点(),C x y 在直线''A B 上.直线''A B 的方程为()()848662y x --=⋅---，化简得2100x y -+=.所以点C 的轨迹方程为2100x y -+=.故答案为：2100x y -+=. 【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查三点共线的条件与应用，考查直线方程的求法，属于中档题.13．等边三角形ABC 中，2AB =．点P 在三角形ABC 的边上运动，则PA PB ⋅的最大值为_______________．【答案】2【解析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算表示出PA PB ⋅，进而求得PA PB ⋅的最大值.【详解】以线段BC 的中点O 为原点，,OC OA 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(()(),1,0,1,0A B C -，设(),P x y ，则()(),3,1,PA x y PB x y =--=---，22PA PB x y x ⋅=++221122x y ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，表示(),P x y 到点12D ⎛- ⎝⎭的距离的平方再减去1.由于(),P x y 在ABC ∆三边上运动,12D ⎛- ⎝⎭恰是线段AB 的中点.所以PA PB ⋅的最大值，也即ABC ∆三边上的点到D 点距离的最大值的平方再减去1.由图可知ABC ∆三边上点()1,0C 与D 的距离最大，所以PA PB ⋅的最大值为21312-=-=.故答案为：2.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.14．给出以下关于线性方程组解的个数的命题．111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩①，111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩②，11112222a x b y c z d a x b y c z d +++=⎧⎨+++=⎩③，111222333a x b y c a x b y c a x b y c+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩④，（1）方程组①可能有无穷多组解；（2）方程组②可能有且只有两组不同的解；（3）方程组③可能有且只有唯一一组解；（4）方程组④可能有且只有唯一一组解．其中真命题的序号为________________．【答案】①④【解析】将①④的解看作平面上直线交点，将②③的解看作空间平面相交，由此判断出正确命题的序号. 【详解】将①④的解看作平面上直线交点，将②③的解看作空间平面相交. 对于①，当平面两条直线重合时，方程组①有有无穷多组解，①正确；对于②，空间三个平面相交，如果有两组不同的解，则三个平面必有一条公共直线，即方程组②的解有无数个，故②错误.对于③，空间两个平面相交，则两个平面有一条公共直线，即方程组③的解有无数个，故③错误.对于④，当平面三条直线相交于一点时，方程组④有且只有唯一一组解，正确. 故真命题的序号为：①④. 故答案为：①④. 【点睛】本小题主要考查线性方程组解的个数问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15．对于直线l 上任意一点()A x y ，，点()423B x y x y ++，仍在直线l 上，则直线l 的方程为___________．【答案】y x =-或2x y =. 【解析】设出直线的点斜式方程，将点,A B 的坐标代入直线方程，由此列方程组，解方程组求出直线l 的方程. 【详解】依题意可知直线l 的斜率存在，设直线方程为y kx b =+，将,A B 两点坐标代入得y kx b =+①和()342x y k x y b +=++②. ②可化为413232k by x k k-=+--③，由于①③是相同的，故413232k k k b bk-⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，解得0b =，1k =-或12k =.所以直线l 的方程为y x =-或2x y =. 故答案为：y x =-或2xy =. 【点睛】本小题主要考查直线方程的主要求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 16．给定平面上四点O A B C ，，,，满足5OA =，4OB =，3OC =，6OB OC ⋅=．则ABC △面积的最大值为_______________．【答案】(12【解析】通过题意分析可知，三角形OBC 三边确定，A 是在以O 为圆心，半径为5的圆上运动，由此求得三角形ABC 面积的最大值. 【详解】由于43cos 6OB OC BOC ⋅=⨯⨯∠=，所以1πcos ,23BOC BOC ∠=∠=.所以BC ==设O 到BC 的距离为h ，在三角形OBC 中，由等面积公式得11sin 6022BC h OB OC ⋅⋅=⋅⋅，解得h =由于5OA =，故O 在以O 为圆心，半径为5的圆上运动，当A 到BC 的距离最远时，三角形ABC 的面积取得最大值.根据圆的几何性质可知，A 到BC 的最远距离为55h +=+ABC 面积的最大值为(11522⎛= ⎝.故答案为：(12.【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查三角形面积最大值的计算，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．已知直线1:330l mx y m +++=，直线()2:220l x m y +-+=．求当m 为何值时，直线1l 与2l 分别有如下位置关系：（1）平行；（2）垂直．【答案】（1）1m =-；（2）32. 【解析】（1）根据两条直线平行的条件列式，由此求得m 的值；（2）根据两条直线垂直的条件列式，由此求得m 的值；【详解】（1）当两直线平行时， ()230m m ⋅--=，解得1m =-或3m =.当3m =时，两直线重合.所以1m =-.（2）当两直线垂直时，故()1320m m ⋅+⋅-=，解得32m =. 【点睛】本小题主要考查两条直线平行和垂直的条件，考查方程的思想，属于基础题.18．已知两个向量()221log log a x x =+，，()2log 1b x ，．（1）若a b ⊥，求实数x 的值；（2）求函数()f x a b =⋅，124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，的值域．【答案】（1）14x =或1x =；（2）[]1,3-. 【解析】（1）根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得x 的值.（2）利用向量数量积的坐标运算，利用配方法，结合二次函数的性质求得函数()f x 的值域. 【详解】（1）由于a b ⊥，所以0a b ⋅=，即()2222221log log log log 2log x x x x x +⋅+=+()22log 2log 0x x =+⋅=，解得14x =或1x =.（2）依题意()()22222log 2log log 11f x x x x =+=+-，由于124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以[]2log 2,1x ∈-，根据二次函数的性质可知：当2log 1x =-时，()f x 取得最小值为1-；当2log 1x =时，()f x 取得最大值为3，所以函数()f x 的值域为[]1,3-. 【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查两个向量垂直的坐标表示，考查二次函数的性质，属于基础题.19．在平面直角坐标系中，给定非零向量b ，对任意向量a ，定义()22'a b a a bb⋅=-⋅．（1）若()2a =1，，()11b =-,，求'a ；（2）设()12b =，．证明：若位置向量a 的终点在直线3450x y ++=上，则位置向量'a 的终点轨迹是一条直线，并求此直线的方程．【答案】（1）()2,1；（2）证明见解析，直线方程为724250x y +-=.【解析】（1）根据'a 的定义，利用向量数量积、模、数乘的坐标运算，计算出'a 的值. （2）设出a 的坐标，求得'a ，通过坐标变换的知识，结合a 的终点在直线3450x y ++=上列方程，化简后证得'a 的终点轨迹是一条直线并求出此直线的方程. 【详解】（1）依题意，()()()()()222212'1,21,1a ba ab b ⋅⨯-+=-⋅=-⋅-()()()1,21,12,1=--=.（2）设(),a x y =r，则()22'a b a a bb⋅=-⋅()()2,21,25x y x y +=-⋅⋅()2448,,5555x y x y x y ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭3443,5555x y x y ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭.令()''3443,,5555x y x y x y ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，即34554355x x y y x y⎧'=-⎪⎪⎨='⎪--⎪⎩，解得34554355x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--'''⎩'⎪，由于(),a x y =r 的终点在直线3450x y ++=上，所以''''334544355550x y x y ⎛⎫--⎛⎫⋅++= -⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，化简得''724250x y +-=.所以位置向量'a 的终点轨迹是一条直线，且直线方程为724250x y +-=.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积、模和数乘的坐标运算，考查坐标变换的知识，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20．足球比赛中，攻方队员在守方队员的逼抢下，其行进路线可看作一条直线l ，已如球门两根立柱的坐标分别为()30A -，，()30B ，，直线l 过两点()2020-，-，()1025--，．球场的长度、宽度分别100，60（单位：米）．现攻方队员在行进过程中寻求机会射门，其位置用点P 表示，（1）若以攻方队员与球门中心O （O 为坐标原点）的距离最近为标准，求点P 的坐标；（2）若以攻方队员对球门范围的视角最大（即APB ∠最大）为标准，求点P 的坐标．（结果保留一位小数）【答案】（1）()12,24P --；（2）()6.4,26.8P --. 【解析】建立平面直角坐标系，求得直线l 的方程.（1）设出P 点坐标，根据OP l ⊥列方程，解方程求得P 点的坐标.（2）设出P 点坐标，通过计算tan APB ∠的最大值，求得此时对应的点P 的坐标. 【详解】建立平面直角坐标系如下图所示，由于直线l 过两点()2020-，-，()1025--，，故直线l 的方程为()202520202010y x -++=+-+，化简得2600x y ++=.（1）当直线OP l ⊥时，攻防队员与球门中心O 的距离最近，直线OP 的方程为2y x =.由22600y x x y =⎧⎨++=⎩解得()12,24P --.（1）设()()260,450P a a a ---≤<，则()()572,,632,PA a a PB a a =+-=+-，①当5720a +=，572a =-时，PA x ⊥轴，4tan 19APB ∠=. ②当6320a +=，632a =-时，PB x ⊥轴，4tan 21APB ∠=. ③当572a ≠-且632a ≠-时，,257263PA PB a ak k a a ==----，tan 1PA PB PA PBk k APB k k -∠=+⋅61003591467 5240aa=≤=≈---.当且仅当35915aa-=-，即26.8a≈-时，tan APB∠取得最大值，也即APB∠取得最大值，此时()6.4,26.8P--.【点睛】本小题主要考查已知直线上两点的坐标求直线方程，考查点与直线的距离的理解，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.21．已知矩形的四个项点()00A，，()20B，，()21C，和()01D，，光线从边AB（不含A B，）上一点()00P x，沿与AB的夹角θ的方向射到边BC上的点1P后，依次反射到CD、DA和AB上的点2P、3P和4P（入射角等于反射角）．（1）若1x=，arctan3θ=，求直线01P P与23P P的距离；（2）设4P的坐标为()4x，，若1x=，且()401x∈，，求θ的取值范围；（3）设光线第()n n N∈次反射时的入射点为nP．证明：若1arctan2θ=，则()01234nP n=，，，，…必按AB BC CD DA AB-----…的顺序循环出现在矩形的边上，并求由直线1n nP P+，12n nP P++，23n nP P++，34n nP P++()n N∈围成的四边形面积的取值范围．【答案】（11；（2）12arctan ,arctan 23⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）证明见解析，四边形面积的取值范围(]0,1.【解析】（1）根据入射角等于反射角，求得直线01P P 和直线23P P 的方程，再根据两条平行线间的距离公式，求得两条直线的距离.（2）设1PB x =，则tan x θ=，依次求得1234,,,CP CP DP AP ，由此求得4x 的表达式，根据()401x ∈，求得x 的取值范围，也即求得tan θ的取值范围，进而求得θ的取值范围. （3）先通过计算证明证得四边形0123P PP P 为平行四边形，进而证得光线沿平行四边形()40123P P PP P 从AB BC CD DA AB ----的顺序循环出现在矩形的边上.求得四边形0123P PP P 面积的表达式，由此求得当四边形0123P PP P 为菱形时，面积取得最大值，并求得这个最大值. 【详解】（1）依题意可知01P P的斜率为3k =()01,0P ，所以直线01P P的方程为033x y --=，由入射角等于反射角可知：0123//P P P P ，所以直线23P P的斜率为由于arctan θ=，所以103PB P B =，1PB =，所以11CP =.由入射角等于反射角可知：2110CP P PP B ∠=∠，所以123CP CP =，即21CP -,所以2223DP CP =-=所以直线23P P的方程为203x y -+=，所以直线01P P 与23P P1=.（2）设1PB x =，由题意可知10123243PP B PP C P P D AP P θ∠=∠=∠=∠=，所以11CP x =-.所以10tan PB x P B θ==，又1221tan CP x x CP CP θ-===，所以2111x CP x x -==-.而3322tan 2P D P D x P D CP θ===-，所以331DP x =-，又33441tan AP DP x AP AP θ-===，所以423AP x =-，即423x x=-.因为()40,1x ∈，所以2031x <-<，解得1223x <<，所以12tan 23θ<<，即12arctan ,arctan 23θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（3）若1ar c t a n 2θ=，则0123////PP A C PP ，1234////PP BD P P .因为0P 不与,A B 重合，10123243PP B PP C P P D AP P θ∠=∠=∠=∠=，设1PB a =，则02P B a =，所以()1221,21,2PC a CP a DP a =-=-=，02P B DP =，所以四边形0123P PP P 为平行四边形，且0P 与4P 重合.当1arctan2θ=，光线沿平行四边形()40123P P PP P 从AB BC CD DA AB ----的顺序循环出现在矩形的边上，由于012π2arctan P PP θ∠=-，所以平行四边形()40123P P PP P 的面积20110112012012sin sin 2P P PP P P PP P PP P PP+⎛⎫=⋅⋅∠≤⋅∠ ⎪⎝⎭，当且仅当0112P P PP =，即四边形()40123P P PP P 是菱形时，等号成立，此时面积为12112⨯⨯=.所以直线1n n P P +，12n n P P ++，23n n P P ++，34n n P P ++()n N ∈围成的四边形面积的取值范围是(]0,1.【点睛】本小题主要考查直线方程的求解，考查两条平行线间的距离公式，考查反三角函数，考查四边形面积的取值范围的求法，考查分析与推理的能力，综合性很强，属于难题.。

上海市建平中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案

2017 学年建平中学高二年级期中试卷2017.11 一、填空题⎛1 3⎫ ⎛5 7⎫1.矩阵A = ⎪,矩阵B = ⎪，则AB = .⎝2 4⎭ ⎝6 8⎭2 2.直线-1y= 3 的倾斜角是. x3.直线l1: ax + 2 y - 6 = 0 和l2 : x +(a+1)y +(a+ 5)= 0 平行，a = .4.直线x +2y - 3 = 0 与直线2x +y + 7 = 0 的夹角大小为（结果用反三角表示）.5.向 a =(2, -1),b =(-1, m ),c =(-3,1)，若(a-b)⊥c ，则m = .6.已知点A (-1,1),B (1, 2),C (-2, -1),D (3, 4),则向AB 在CD 上的投影为.a b c7.行列式d e fg h i中元素f 的代数余子式是.8. ∆ABC 的顶点A (-3, -1),B (-2, 2),C (5, 3),则角A 平分线的斜率是.9.过点M (1, -2)且与点A (-1, 2),B (3, 0)等距离的直线的方程是.⎛n2 10.已知limn→∞⎝n +4-an⎪=b ，则常数a, b 构成的点(a, b )与直线x -2y - 4 = 0 的距离为.⎭11.在向 a =(x, y )的右边乘以一个矩阵A2⨯2,按向的乘法规则相乘以后得到一个新的向a0 ，我们把这个运算过程称为对向 a 实施了一个右矩阵变换.直线l1: y =ax + 2 上任意一点P (x, y )确定向OP （O 为坐标原点），通过⎛0 1⎫矩阵 ⎪对向OP 实施右矩阵变换后得到向OP1 , 点P1的坐标(x0 , y0 )满足y0 = 3x0 -b ，若直线⎝1 0⎭l 2 : a1x +b1y + 1 = 0 和l3: a2x +b2y + 1 = 0 相交于点T (3a, b)，则过点E (a1 , b1 ),F (a2 , b2 )的直线l4 的方程是.12.如图∆ABC 中，BC = 1, D 为BC 中点，AD =1, O1 为AD 中点，取线段DO1中点O2,线段DO2中点O3,线段DO3中点O4 , ,线段DOn-1中点On，（n 为大于1 的自然数），令t=O )，数列{t }的各项和等于.二、选择题13.下列结论中正确的是（）n n n⎛2 -4⎫⎛1-2⎫ A. ⎪=2 ⎪ ⎝3 1 ⎭⎝3 1 ⎭⎨ ⎨ ⎩ B . 起点不同，但方向相同且模相等的几个向是相等的向 .C . 若 a ⎧ 1 = ⎪ 1 n n ≤ 100, n ∈ N *，则 lim a = ⎧1 n ≤ 100 , n ∈ N * . n ⎨⎛ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩⎝ 2 ⎭n ≥ 101n →∞ n ⎩0 n ≥ 101x - my - n D . 若直线 l 的一个方向向 d = ( a , b ) 且过点 (m , n ) ，则其点方向式方程为=.ab14.在 ∆ABC 中， ∠C = 90︒, AB = ( k ,1) , AC = ( 2, 3) ,则k 的值是（）A . 5B . -5C . 32D . - 3215.已知直线 l 过点 P (-1, 2) 且与线段 AB 的延长线有公共点，若 A (-2, -3) , B (3, 0) ，则直线 l 的斜率的取值范围是（）A . ⎡- 1 , 5⎤B . ⎛ - 1 , 3 ⎤C . ⎛ - 1 , 3 ⎫D . ⎛-∞, - 1 ⎤ [5, +∞ ) ⎢ 2 ⎥2 5 ⎥ 2 5 ⎪2 ⎥ ⎣ ⎦⎝ ⎦⎝ ⎭⎝⎦⎧3x - y - 6 ≤ 016.设 x , y 满足约束条件 ⎪ x - y + 2 ≥ 0 ，若目标函数 z = ax + by ( a > 0, b > 0) 的最大值为12 ，则 2 + 3的最小值为⎪ x ≥ 0, y ≥ 0 a b（）A . 25 6三、解答题B . 83C . 113D . 417.如图所示.正方形 OABC 的顶点 A ( 2, 3) .（1）求边 AB 所在直线的点法向式方程；（2）写出点 C 的坐标，并写出边 BC 所在直线的点方向式方程.18.直线 l 1 : mx + y - 1 - m = 0, l 2 : x + my - 2m = 0 试运用行列式的知识讨论当 m 取何值时，直线 l 1 与 l 2 （1）相交；（2）平行；（3）重合.π19.已知 a = 2, b = 1, a 与 b 的夹角为，设m = 2t a + 7b , n = a + tb . 3（1）求a ⋅b 的值；（2）若m 与n 的夹角是钝角，求实数t 的取值范围.20.已知点M (3, 5)，在直线l : x -2y + 2 =0 上找一点P ，在y 轴上找一点Q ,使∆MPQ 的周长最小，试求出∆MPQ 周长的最小值，并求出当∆MPQ 周长最小时点P 和点Q 的坐标.21.如图，在平行四边形ABCD 中，点A (,B (-1, 0),C (1, 0)，对角线AC ,BD 交于点P .（1）求直线CD 的方程；（2）若点E, F 分别在平行四边形ABCD 的边BC 和CD 上运动，且EF BD ,求AE ⋅AF 的取值范围；（3）试写出三角形PCD 区域（包括边界）所满足的线性约束条件，若在该区域上任取一点M ，使AM =λAB +μAD , 试求λ+μ的取值范围.参考答案一、填空题⎛ 23 31 ⎫ 1. ⎪ ⎝ 34 46 ⎭2. π - arctan 23.14. arccos455. -106.27. bg - ah二、选择题8.+ 1 79. x + 2 y + 3 = 0 或 x = 111. x + 6 y + 1 = 012. 3213. B 14. A15. C 16. A三、解答题17.（1） 2 ( x - 2) + 3 ( y - 3) = 0 （2）x + 3 = y - 22 318. m ≠ ±1相交；m = 1 重合； m = -1 平行⎛ 19.（1）1 （2） -7, - ⎫ ⎛ - , - 1 ⎫ ⎪ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 2 ⎭⎛ 5 9 ⎫ ⎛ 7 ⎫20. (C ∆MPQ ) = P , ⎪ , Q 0, ⎪min⎝ 2 4 ⎭ ⎝ 2 ⎭21.（1） y -3 （2）[-2,1] （3）[1, 2]。

精品解析：上海市上海中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题(解析版)

上海中学2019学年第二学期期终考试数学试题一、选择题1.__________.1lim 1n n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】1【解析】【分析】由即可求得1lim =0x n →∞【详解】11lim(1=lim1lim =1-0=1x x x n n →∞→∞→∞--）【点睛】利用和或差的极限等于极限的和或差，此题是一道基础题。

2.等差数列中，若，则___________.{}n a 13,21,2n a a d ===n =【答案】10.【解析】【分析】直接由等差数列的通项公式结合已知条件列式求解的值．n 【详解】在等差数列中，由，，，{}n a 13a =21n a =2d =且，所以，1(1)n a a n d =+-1213192n a a n d ---===所以．10n =故答案为：10.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查用基本量法求．n 3.数列中，已知，50为第________项.{}n a *41322,n n n a n N =-+∈•【答案】4【解析】【分析】方程变为，设，解关于的二次方程可求得。

4132-48=0n n -•2nx =x 【详解】，则，即*41322,n n n a n N =-+∈•5041322n n =-+•4132-48=0n n -•设，则，有或2n x =213480x x --=16x =3x =-取得，，所以是第4项。

16x =216n =4n =【点睛】发现，原方程可通过换元，变为关于的一个二次方程。

对于指数结构，242n n =（）x 242n n =（），等，都可以通过换元变为二次形式研究。

293n n =（）2255n n =（）4.为等比数列，若，则_______.{}n a 1234126,52a a a a a ++=-=n a =【答案】123n -•【解析】【分析】将这两式中的量全部用表示出来，正好有两个方程，两个未知数，解1234126,52a a a a a ++=-=1,a q 方程组即可求出。

上海市2018-2019学年高二下期中数学试卷(合集)

上海市高境一中第二学期高二期中数学试卷2019.4一、填空题1、抛物线y x 42=的焦点到准线的距离为_______ 2、双曲线14922=-y x 的渐近线方程是__________（一般式） 3、已知圆522=+y x 和点)2,1(A ，则过点A 圆的切线方程为___________ 4、双曲线14416922=-y x 的共轭双曲线的焦距长为_______ 5、若方程16422=++-ky k x 的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________ 6、若抛物线px y 22=的焦点与椭圆1522=+y x 的右焦点重合，则p =______ 7、设1F 和2F 为椭圆13422=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足︒=∠6021PF F ，则21PF F ∆的面积是______8、已知抛物线x y 42=的焦点F 和点)1,1(A ，点P 为抛物线上的动点，则||||PF PA +取到最小值时点P 的坐标为_______ 9、椭圆1121622=+y x 上的点到直线0122=--y x 的距离最大值为______ 10、双曲线14222=-by x 的左右焦点分别为21F F 、，P 为右支上一点，且6||1=→--PF ，021=⋅→--→--PF PF ，则双曲线渐近线的夹角为________11、已知定点)0,4(-P 和定圆x y x Q 8:22=+，动圆M 和圆Q 外切，且经过点P ，求圆心M 的轨迹方程___________12、在平面直角坐标系中，已知向量)1,2(=a，O 是坐标原点，M 是曲线2||2||=+y x 上的动点，则→--⋅OM a 的取值范围为________________二、选择题13、若圆042:221=--+y x y x C 与圆2C 关于直线x y =对称，则圆2C 的方程是（）A 、5)1()2(22=-+-y x B 、5)1()2(22=-+-y x C 、5)1()2(22=++-y x D 、5)1()2(22=++-y x 14、已知点)0,3(-A 和)0,3(B ，动点M 满足4||||=-MB MA ，则M 的轨迹方程是（）A 、)0(15422<=-x y xB 、)0(15422>=-x y x C 、)0(15922<=-x y x D 、)0(15922>=-x y x 15、已知椭圆191622=+y x 及以下3个函数：①x x f =)(②x x f sin )(=③x x x f sin )(=，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个16、已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的右焦点为)0,3(F ，过点F 的直线交椭圆于B A 、两点，若AB 的中点坐标为)1,1(-，则E 的方程为（）A 、1364522=+y xB 、1273622=+y xC 、1182722=+y xD 、191822=+y x 三、解答题17、在四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 平面⊥，正方形ABCD 的边长为2，4=PA ，设E 为侧棱PC 的中点（1）求正四棱锥ABCD E -的体积V（2）求直线BE 与平面PCD 所成角θ的大小18、已知抛物线x y C 4:2=与直线l 交于B A 、两点（1）若直线l 的方程为42-=x y ，求弦AB 的长度（2）O 为坐标原点，直线l 过抛物线的焦点，且AOB ∆面积为22，求直线l 的方程19、已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的长轴长是短轴长的两倍，焦距为32 （1）求椭圆C 的标准方程（2）若直线)00(:≠≠+=m k m kx y l 且与椭圆C 交于两点),(),(2211y x N y x M 、，且22211k x y x y =⋅，试求直线l 的斜率，并求m 的取值范围20、已知点)2,1(D 在双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 上，且双曲线的一条渐近线的方程是03=+y x（1）求双曲线C 的方程（2）若过点)1,0(且斜率为k 的直线l 与双曲线C 有两个不同交点，求实数k 的取值范围（3）设（2）中直线l 与双曲线C 交于B A ,两个不同点，若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值21、已知函数x x f k log )(=（k 为常数，0>k 且1≠k ），且数列)}({n a f 是首项为4，公差为2的等差数列（1）求证：数列}{n a 是等比数列（2）若)(n n n a f a b +=，当21=k 时，求数列}{n b 的前n 项和n S 的最小值（3）若n n n a a c lg =，问是否存在实数k ，使得}{n c 是递增数列？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由上海大学市北附属中学2018学年第二学期期中考试高二数学试卷（2019.4）一、填空题1、设ii z +=3，则z Im =______ 2、已知直线α平面//m ，直线n 在α内，则m 与n 所有可能的位置关系是________3、已知复数22)21()3()31(i i i z --+=，则||z =______ 4、已知R b a ∈,，且i b ai ++,2是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根，则pq =_______5、若1|2|≤-i z ，则复数||z 的取值范围是_________6、正四棱锥ABCD P -的底面边长为1，2=PA ，则顶点P 到底面ABCD 的距离为______7、若一圆柱的侧面积为π6，则经过圆柱的轴的截面积为______8、已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，点P 为线段1BC 上一点，Q 是平面ABCD 上一点，那么PQ P D +1的最小值是______二、选择题9、0=x 是),(R y x yi x z ∈+=为纯虚数的（）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、不充分且不必要条件10、下列命题中错误的是（）A 、过平面α外的一点可以作无数条直线与平面α平行B 、与同一个平面所成角相等的两条直线必平行C 、若直线l 垂直于平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直于平面αD 、垂直于同一个平面的两条直线平行11、若b a 、为非零实数，则以下四个命题都成立：①01≠+aa ②2222)(b ab a b a ++=+③若||||b a =，则b a ±=④若ab a =2，则b a = 则对于任意非零复数b a 、，上述命题中仍为真命题的个数为（）A 、1B 、2C 、3D 、4三、解答题12、已知ABC ∆的三边分别是5,4,3===AB BC AC ，以AB 所在直线为轴将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积13、在长方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别是棱AB AA 、1的中点，4==BC AB ，31=AA ，求（1）EF 与11C A 所成的角（2）C A 1与平面ABCD 所成的角14、在复数集中，解方程0||2=+z z 解：0||2=+z z 0)1|(|||0||||2=+=+∴z z z z ，即0,11||0||=≥+=∴z z z 解得）（又0=∴z 方程的解是请你仔细阅读上述解题过程，判断是否有错误，如果有，请指出错误之处，并写出正确的解答过程15、在空间四边形ABCD 中，BCD AB 平面⊥，︒=∠90BCD ，且1==BC AB ，3=BD （1）若AD EF BD CE ⊥⊥,，求证：CEF AD 平面⊥（2）求二面角B AD C --的大小2018-2019学年第二学期高二数学期中测试卷一、填空题1、已知球的半径为3，则它的体积为______2、“两条直线没有公共点”是“两条直线是异面直线”的__________条件3、5个人站成一排，甲必须站在中间，共有______种不同的排法（用数字作答）4、二项式92⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，各项系数之和为_______ 5、一个边长为2的正方形，用斜二测画法得到的直观图的面积为_______6、圆锥的侧面积是底面积的2倍，则它的母线与轴所成角的大小为______7、将边长为2的正方形卷成一个圆柱的侧面，所得圆柱的体积为______8、正四棱锥的底面边长为2，侧面与底面成角为︒45，则它的表面积为_____9、某旅游团要从8个景点中选两个作为当天上午的游览地，若甲、乙两个景点中至少要选一个，不考虑游览顺序，共有_____种游览选择（用数字作答）10、点P 为直三棱柱111C B A ABC -的侧棱1AA 上的一个动点，若四棱锥11B BCC P -的体积为V ，则三棱柱111C B A ABC -的体积为_____ 11、长方体1111D C B A ABCD -的八个顶点均在同一个球面上，2,21===AA BC AB ，则B A ,两点间的球面距离为______ 12、若三棱锥ABC P -中，x PA =，其余各棱长均为2，则三棱锥ABC P -体积的最大值为______二、选择题13、对于平面α和共面直线n m ,，下列命题是真命题的是（）A 、若n m ,与α所成的角相等，则n m //B 、若αα//,//n m ，则n m //C 、若n m m ⊥⊥,α，则α//nD 、若αα//,n m ⊆，则n m //14、一个正方体的内切球的表面积是π4，则这个正方体的体积为（）A 、4B 、6C 、8D 、115、正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，O 为底面1111D C B A 的中心，则点O 到平面11D ABC 的距离为（）A 、42B 、23C 、22D 、2116、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数有（） A 、144个 B 、120个 C 、96个 D 、72个三、解答题17、解方程（1）210410+=x C C （2）3412126n n P P =+18、在二项式121⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中，求（1）第5项（2）常数项P 的底面边长为2，侧棱长为3，E为AB的中点19、正三棱锥ABC（1）求异面直线PE与BC所成角的大小（2）求该三棱锥的体积20、已知圆锥的底面半径为8，点Q为半圆弧AC的中点，点P为母线SA的中点（1）若母线长为10，求圆锥的体积（2）若PQ 与SO 所成角为2arctan ，求Q P ,两点在圆锥侧面上的最短距离21、直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠===90,4,31BAC AA AC AB（1）求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小（2）求直线11C B 与平面11BC A 所成角的大小（3）在线段1BC 上是否存在点D ，使得B A AD 1⊥？若存在，求出1BC BD 的值；若不存在，说明理由高二数学一、填空题1、等差数列}{n a 中，5,343==a a ，则13a =_______2、计算：nn n n 233lim 1++∞→=______ 3、已知：)5,1(),7,3(-=-=→--→--BC AB ，且→--→---=AC OC 43（其中O 是坐标原点），则点C 的坐标为_______4、若复数z 满足014=-z z ，则z =_______5、5名学生报名参加4项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为______6、方程1422=-+my m x 的曲线是双曲线，则m 的取值范围是________ 7、已知直线04)1(:,022:221=+++=-+y a x l a y ax l ，且21//l l ，则a =______8、有8本互不相同的书，其中数学书3本，英语书3本，语文书2本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，英语书也恰好排在一起的排法共有______种（用数值回答）9、三棱锥ABC P -的侧棱PC PB PA 、、两两垂直，侧面面积分别是6、4、3，则三棱锥的体积是________10、已知直线1)1(-+=x a y 与抛物线)0(2≠=a ax y 恰有一个公共点，则a =_______11、点O 是半径为1的球心，点C B A 、、在此球面上，OC OB OA 、、两两垂直，F E 、分别是⋂AB 与⋂AC 的中点，则F E 、在该球面上的球面距离为_______ 12、若平面向量i a 满足)4,3,2,1(1||==i a i ，且)321(01、、==⋅+i a a i i ，则||4321a a a a+++可能的值有______个二、选择题13、从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单，要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有（）A 、14种B 、48种C 、72种D 、120种14、在四面体ABCD 中，N M 、分别是BCD ACD ∆∆、的重心，则EF BF AE AB 、、、中，与MN 平行的直线的条数是（）A 、0条B 、1条C 、2条D 、3条15、已知数列}{n a 是等比数列，11>a ，且前n 项和n S 满足11lim a S n n =∞→，那么1a 的取值范围是（）A 、)2,1(B 、)4,1(C 、)2,1(D 、),1(+∞16、设21x x 、是关于x 的方程0122=+++m mx x 的两个不相等的实数根，那么经过两点),(),(222211x x B x x A 、的直线与圆122=+y x 的位置关系是（）A 、相离B 、相切C 、相交D 、随m 的变化而变化三、解答题 17、已知向量)cos ,(sin ,22,22x x n m =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （1）若n m⊥，求x 的值（2）若m 与n 的夹角为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,03ππx ，，求x 的值18、设虚数z 满足|10||52|+=+z z（1）求||z 的值（2）若z i )21(-在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，求复数z19、在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，2==AB PA ，4=BC ，且A B C D PA 底面⊥，E 是PB 中点（1）求点D 到平面PBC 的距离（2）求直线DE 与平面PBC 所成角的大小20、已知：椭圆C 的焦点在x 轴上，左焦点F 与短轴两顶点围成等腰直角三角形，直线l 与椭圆C 交于不同两点B A 、（B A 、都在x 轴上方），且π=∠+∠OFB OFA（1）求椭圆C 的标准方程（2）当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程（3）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由21、对于数列n n A A A A A ,...,,,:}{321，若不改变1A ，仅改变n A A A ,...,,32中部分项的符号（可以都不改变），得到的新数列}{n a 称为数列}{n A 的一个生成数列，如仅改变数列1，2，3，4，5的第二、三项的符号，可以得到一个生成数列：1，-2，-3，4，5 已知数列}{n a 为数列)(21*∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧N n n 的生成数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和（1）写出3S 的所有可能的值（2）若生成数列}{n a 的通项公式为)(13,2113,21N k k n k n a n n n ∈⎪⎩⎪⎨⎧+≠-+==，求n S（3）用数学归纳法证明：对于给定的*∈N n ，n S 的所有可能值组成的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∈-=-*12,,212|n n m N m m x x上海市通河中学2018学年度第二学期期中考试高二年级数学（学科）试卷一、填空题1、直线013=+-y x 的倾斜角______2、若复数i a a a )1()23(2-++-（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为_____ 3、已知点)2,1(-A 和点)4,3(B ，则线段AB 的垂直平分线l 的点法向式方程是___________4、8210)3()43()1(i i i +---=______ 5、已知正方形边长为1，把该正方形绕着它的一条边旋转一周所形成的几何体的体积为________（结果用反三角函数表示）6、已知i z i 105)21(+=-（i 是虚数单位），则z =______7、圆02622=++-y y x x 关于直线0=-y x 对称的圆方程为___________8、已知正四棱锥侧棱和底面边长均为2，则该几何体的侧面与底面所成的二面角的大小为________ 9、已知方程110422=-+-ky k x 表示椭圆，则实数k 的取值范围为__________ 10、抛物线x y 122-=的准线与双曲线13922=-y x 的两条渐近线所围成的三角形的面积等于______11、i +1是实系数方程02=--b ax x 的一个虚数根，则直线1=+by ax 与圆1:22=+y x C 交点的个数是______ 12、P 是双曲线191622=-y x 的右支上一点，N M 、分别是圆9)5(22=++y x 和4)5(22=+-y x 上的点，则||||PN PM -的最大值为_______二、选择题13、“双曲线的方程为116922=-y x ”是“双曲线的渐近线方程为034=±y x ”的（） A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件14、已知C z ∈，且1||=-i z ，i 为虚数单位，则|53|i z --的最大值是（）A 、4B 、5C 、6D 、715、已知n m 、为两条不同的直线，βα、为两个不同的平面，下列四个命题中正确的是（） A 、若α//m ，且α//n ，则n m //B 、若n m ,在α上，且ββ//,//n m ，则βα//C 、若βα⊥，且m 在α上，则β⊥mD 、若ββα⊥⊥m ,，m 在α外，则α//m16、若正方体43214321B B B B A A A A -的棱长为1，则集合}}4,3,2,1{},4,3,2,1{,|{11∈∈⋅=→--→--j i B A B A x x j i 中元素的个数为（）A 、1B 、2C 、3D 、4三、解答题17、在棱长为4的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是11C D 上的一点且E D EC 113=（1）求直线BE 与平面ABCD 所成角的大小（2）求异面直线BE 与CD 所成角的大小（以上结果均用反三角函数表示）18、已知z 是复数，iz i z -+33、均为实数（i 为虚数单位）（1）求复数z（2）求一个以z 为根的实系数一元二次方程19、已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的两个焦点为)0,2(),0,2(21F F -，点)7,3(A 在双曲线C 上（1）求双曲线C 的方程（2）过点)2,0(Q 的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点F E 、，记O 为坐标原点，若OEF ∆的面积为22，求直线l 的方程20、过圆锥轴的截面为等腰直角三角形SAB ，Q 为底面圆周上一点，已知22=BQ ，圆锥体积为π38，点O 为底面圆的圆心（1）求该圆锥的全面积（2）求异面直线SA 与BQ 所成角的大小（结果用反三角函数表示）（3）求点A 到平面SQB 的距离21、B A 、为半椭圆)0(1422≥=+y x y 的左、右两个顶点，F 为上焦点，将半椭圆和线段AB 合在一起称为曲线C（1）求ABF ∆的外接圆圆心的坐标（2）过焦点F 的直线L 与曲线C 交于Q P 、两点，若2||=PQ ，求所有满足条件的直线L 的方程（3）对于一般的封闭曲线，曲线上任意两点距离的最大值称为该曲线的“直径”，如圆的“直径”就是通常的直径，椭圆的“直径”就是长轴的长，求该曲线C 的“直径”。

上海市建平中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析

上海市建平中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． “1ab >”是“10b a>>”（） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（） A ．33% B ．49% C ．62% D ．88% 3．已知函数()f x 的定义域为[],a b ，函数()y f x =的图象如图甲所示，则函数(||)f x 的图象是图乙中的（）4．集合{}|42,M x x k k Z ==+∈，{}|2,N x x k k Z ==∈，{}|42,P x x k k Z ==-∈，则M ，N ，P 的关系（）A ．M P N =⊆B ．N P M =⊆C ．M N P =⊆D ．M P N == 5．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（） A ． B ．12+ C ．122+ D ．122+ 6．函数f （x ）＝kx ＋bx ＋1，关于点（－1，2）对称，且f （－2）＝3，则b 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．47．满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（）A.()||x f e x =B.2()x x f e e =C.2(ln )ln f x x =D.1(ln )f x x x=+ 【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力.8．下列函数中，与函数()3x xe ef x --=的奇偶性、单调性相同的是（）A ．(ln y x =B ．2y x =C ．tan y x =D ．x y e = 9．执行右面的程序框图，如果输入的[1,1]t ∈-，则输出的S 属于（） A.[0,2]e - B. (,2]e -? C.[0,5] D.[3,5]e -【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用．10．已知直线34110m x y +-=：与圆22(2)4C x y -+=：交于A B 、两点，P 为直线3440n x y ++=：上任意一点，则PAB ∆的面积为（）A ． B.C. D. 11．自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则点P 轨迹方程为（）A ．86210x y --=B ．86210x y +-=C ．68210x y +-=D ．68210x y --=【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．12．设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则的取值范围是（） A ．{|2}a a ≤ B ．{|1}a a ≤ C ．{|1}a a ≥ D ．{|2}a a ≥二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知,a b 为常数，若()()224+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，,则5a b -=_________. 14．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数1212||z z z +在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力． 15．若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤02x －y ＋2≥0x ＋y －2≤0，z ＝3x ＋y ＋m 的最小值为1，则m ＝________．16．将一张坐标纸折叠一次，使点()0,2与点()4,0重合，且点()7,3与点(),m n 重合，则m n +的值是．三、解答题（本大共6小题，共70分。

2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一(上)期中数学试卷

2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）设全集∪={1.2.3.4.5.6}.集合A={2.4.6}.则∁U A=___ ．2.（填空题.3分）不等式x−1x+2＜0的解集是___ ．3.（填空题.3分）已知集合A={-1.0.2}.B={a2+1}.若B⊄A.则实数a的值为___ ．4.（填空题.3分）用列举法写出集合A={y|y=x2-1.x∈Z.|x|≤1}=___5.（填空题.3分）已知不等式x2-ax+b≤0的解集为[2.3].则a+b=___6.（填空题.3分）命题“如果a≠0.那么a2＞0”的逆否命题为___ ．7.（填空题.3分）已知集合A={（x.y）|y=x+1.x∈R}.B={（x.y）|y=3-x．x∈R}.则A∩B=___ ．8.（填空题.3分）若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件.则a的取值范围为___ ．9.（填空题.3分）已知集合A={x||x-1|≤1}.B={x|ax=2}.若A∪B=A.则实数a的取值集合为___10.（填空题.3分）已知集合{x|（x-2）（x2-2x+a）=0.x∈R}中的所有元素之和为2.则实数a 的取值集合为___ ．11.（填空题.3分）已知正实数x.y满足x+y=1.则1x - 4yy+1的最小值是___12.（填空题.3分）若不等式x+4 √3xy≤a（x+y）对任意x＞0.y＞0恒成立.则a的取值范围是___ ．13.（单选题.3分）“x＞1”是“ 1x＜1”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题.3分）若实数a、b满足条件a＞b.则下列不等式一定成立的是（）A. 1a ＜1bB.a2＞b2C.ab＞b2D.a3＞b315.（单选题.3分）设集合P={m|-1＜m≤0}.Q={m|mx2+2mx-1＜0}对任意x∈R恒成立.则P与Q的关系是（）A.P⊄QB.Q⊄PC.P=QD.P∩Q=∅16.（单选题.3分）已知集合A={1.2.3.…n）（n∈N*}.集合B={j1.j2.…j k）（k≥2.k∈N*）是集合A 的子集.若1≤j1＜j2＜…＜j m≤n且j i+1-j i≥m（i=1.2.…….k-1）.满足集合B的个数记为n（k⊕m）.则7（3⊕2）=（）A.9B.10C.11D.1217.（问答题.0分）已知x.y是实数.求证：x2+y2≥2x+2y-2．.x∈R}.求A∩B.A∪18.（问答题.0分）已知全集U=R.集合A={x|x2-x-12＜0}.B={y|y= x4+1x2（∁U B）．19.（问答题.0分）已知命题p：关于x的一元二次方程x2-2 √3 x+|m-2|=0有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程x2-mx+|a+1|+|a-3|=0对于任意实数a都没有实数根．（1）若命题p为真命题.求实数m的取值范围；（2）若命题p和命题q中有且只有一个为真命题.求实数m的取值范围．20.（问答题.0分）已知集合A={x|x2-x-2≥0}.集合B={x|（1-m2）x2+2mx-1＜0.m∈R}．（1）当m=2时.求集合∁R A和集合B；（2）若集合B∩Z为单元素集.求实数m的取值集合；（3）若集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N*）个.求实数m的取值集合．21.（问答题.0分）已知集合P的元素个数为3n（n∈N*）个且元素为正整数.将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C.即P=A∪B∪C.A∩B=∅.A∩C=∅.B∩C=∅.其中A={a1.a2.….a n}.B={b1.b2.…b n}.C={c1.c2.….c n}．若集合A、B、C中的元素满足c1＜c2＜…＜c n.a k+b k=c k.k=1.2.…n.则称集合P为“完美集合”．（1）若集合P={1.2.3}.Q={1.2.3.4.5.6}.判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合P={1.x.3.4.5.6}为“完美集合”.求正整数x的值；（3）设集合P={x|1≤x≤3n.n≥2.n∈N*}① 证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是n=4k或n=4k+1（k∈N*）② 判断当n=4时.集合P是否为“完美集合”.如果是.求出所有符合条件的集合C；如果不是.请说明理由．2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）设全集∪={1.2.3.4.5.6}.集合A={2.4.6}.则∁U A=___ ．【正确答案】：[1]{1.3.5}【解析】：根据补集的定义写出∁U A．【解答】：解：全集∪={1.2.3.4.5.6}.集合A={2.4.6}.则∁U A={1.3.5}．故答案为：{1.3.5}．【点评】：本题考查了补集的定义与应用问题.是基础题．＜0的解集是___ ．2.（填空题.3分）不等式x−1x+2【正确答案】：[1]（-2.1）【解析】：问题转化为（x-1）（x+2）＜0.求出不等式的解集即可．＜0.【解答】：解：∵ x−1x+2∴（x-1）（x+2）＜0.解得：-2＜x＜1.故不等式的解集是（-2.1）.故答案为：（-2.1）．＞0.再转化为整式不等式F（x）【点评】：解分式不等式的方法是：移项.通分化不等式为F(x)G(x)G（x）＞0.然后利用二次不等式或高次不等式的结论求解．3.（填空题.3分）已知集合A={-1.0.2}.B={a2+1}.若B⊄A.则实数a的值为___ ．【正确答案】：[1]a≠±1【解析】：先假设B⊂A.得a2+1=-1.a∈∅；a2+1=0.a∈∅；a2+1=2.a=±1；取补集得结果．【解答】：解：若B⊂A.则① a2+1=-1.a∈∅；② a2+1=0.a∈∅；③ a2+1=2.a=±1；∵B⊄A.∴a≠±1．故答案为：a≠±1．【点评】：本题考查的知识点集合的包含关系应用.难度不大.属于基础题．4.（填空题.3分）用列举法写出集合A={y|y=x2-1.x∈Z.|x|≤1}=___【正确答案】：[1]{-1.0}【解析】：由|x|≤1及x∈Z即可求出x=-1.0.或1.从而得出x2=0.或1.进而得出y的值.从而得出集合A．【解答】：解：∵|x|≤1.且x∈Z；∴x=-1.0.或1；∴x2=0.或1；∴y=-1.或0；∴A={-1.0}．故答案为：{-1.0}．【点评】：考查描述法、列举法的定义.以及绝对值不等式的解法．5.（填空题.3分）已知不等式x2-ax+b≤0的解集为[2.3].则a+b=___【正确答案】：[1]11【解析】：利用不等式与对应方程的关系.结合根与系数的关系求出a、b的值．【解答】：解：不等式x2-ax+b≤0的解集为[2.3].∴方程x2-ax+b=0的实数根为2和3.∴ {2+3=a.2×3=ba=5.b=6；∴a+b=11．故答案为：11．【点评】：本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题.是基础题．6.（填空题.3分）命题“如果a≠0.那么a2＞0”的逆否命题为___ ．【正确答案】：[1]若a2≤0.则a=0【解析】：根据逆否命题的定义.即把结论和条件的否定后作为逆否命题的条件和结论即可．【解答】：解：原命题“如果a≠0.那么a2＞0”.∴其逆否命题为：“若a2≤0.则a=0”．故答案为：若a2≤0.则a=0．【点评】：本题考查的知识点是逆否命题的定义.需要正确写出对条件的结论的否定.这是关键和易出错的地方．7.（填空题.3分）已知集合A={（x.y）|y=x+1.x∈R}.B={（x.y）|y=3-x．x∈R}.则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{（1.2）}【解析】：根据交集定义得A∩B={（x.y）| {y=x+1y=3−x }=（1.2）．【解答】：解：A∩B={（x.y）| {y=x+1y=3−x }={（1.2）}．故答案为：{（1.2）}．【点评】：此题考查了交集及其运算.需要注意此题是点集.是基础题．8.（填空题.3分）若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件.则a的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]a≤1【解析】：根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】：解：若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件.则a≤1.故答案为：a≤1【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.比较基础．9.（填空题.3分）已知集合A={x||x-1|≤1}.B={x|ax=2}.若A∪B=A.则实数a的取值集合为___ 【正确答案】：[1][1.+∞）∪{0}．【解析】：分为B=∅.和B≠∅两种情况讨论.取并集得结论．【解答】：解：A={x|0≤x≤2}.① B=∅.a=0.② B≠∅.B={ 2a}.0＜2a ≤2. a2≥ 12.∴a≥1.故实数a的取值集合为[1.+∞）∪{0}．故答案为：[1.+∞）∪{0}．【点评】：本题考查了集合的化简与集合的运算的应用.注意不要漏掉B=∅.属于基础题．10.（填空题.3分）已知集合{x|（x-2）（x2-2x+a）=0.x∈R}中的所有元素之和为2.则实数a 的取值集合为___ ．【正确答案】：[1]{a|a=0或a＞1}【解析】：推导出x2-2x+a=0的解为x=0或无解.由此能求出实数a的取值集合．【解答】：解：∵集合{x|（x-2）（x2-2x+a）=0.x∈R}中的所有元素之和为2.∴x2-2x+a=0的解为x=0或无解.∴a=0或△=4-4a＜0.解得a＞1．∴实数a的取值集合为{a|a=0或a＞1}．故答案为：{a|a=0或a＞1}．【点评】：本题考查实数的取值集合的求法.考查集合定义等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．11.（填空题.3分）已知正实数x.y满足x+y=1.则1x - 4yy+1的最小值是___【正确答案】：[1] 12【解析】：由已知分离1x - 4yy+1= 1x−4y+4−4y+1= 1x+4y+1−4 .然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【解答】：解：正实数x.y满足x+y=1.则1x - 4yy+1= 1x−4y+4−4y+1= 1x+4y+1−4= 12（1x+4y+1）[x+（y+1）]-4= 12 （5+y+1x +4x y+1 ）-4 ≥12(5+4)−4 = 12当且仅当y+1x =4xy+1 且x+y=1即y= 13 .x= 23 时取得最小值是 12 /故答案为： 12【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值.解题的关键是进行分离后利用1的代换 12.（填空题.3分）若不等式x+4 √3xy ≤a （x+y ）对任意x ＞0.y ＞0恒成立.则a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][4.+∞）【解析】：不等式x+4 √3xy ≤a （x+y ）.x ＞0.y ＞0.a≥ x+4√3xy x+y=x y +4√3•x y x y+1 .令 √x y=t ＞0.可得：f（t ）= t 2+4√3tt 2+1．利用导数研究其单调性极值最值即可得出．【解答】：解：∵不等式x+4 √3xy ≤a （x+y ）.x ＞0.y ＞0. ∴a≥x+4√3xy x+y=x y +4√3•x y x y+1 .令 √x y=t ＞0.可得：f （t ）=t 2+4√3tt 2+1． f′（t ）= (2t+4√3)(t 2+1)−2t(t 2+4√3t)(t 2+1)2 = −4√3t 2+2t+4√3(t 2+1)2 = −(t+√32)(t−2√33)(t 2+1)2 ．可知：t=2√33时函数f （t ）取得最大值. f (2√33) =4． f （0）=0． ∴0＜f （t ）≤4．∵不等式x+4 √3xy ≤a （x+y ）对任意x ＞0.y ＞0恒成立. ∴a 的取值范围是a≥4．故答案为：[4.+∞）．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法.考查了推理能力与计算能力.属于难题． 13.（单选题.3分）“x ＞1”是“ 1x ＜1 ”成立的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】：解：若x＞1.则0＜1x ＜1 .则1x＜1成立.即充分性成立.若当x＜0时. 1x＜1成立.但x＞1不成立.即必要性不成立.即“x＞1”是“ 1x＜1”成立的充分不必要条件.故选：A．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．14.（单选题.3分）若实数a、b满足条件a＞b.则下列不等式一定成立的是（）A. 1a ＜1bB.a2＞b2C.ab＞b2D.a3＞b3【正确答案】：D【解析】：根据题意.由不等式的性质依次分析选项.综合即可得答案．【解答】：解：根据题意.依次分析选项：对于A、a=1.b=-1时.有1a ＞1b成立.故A错误；对于B、a=1.b=-2时.有a2＜b2成立.故B错误；对于C、a=1.b=-2时.有ab＜b2成立.故C错误；对于D、由不等式的性质分析可得若a＞b.必有a3＞b3成立.则D正确；故选：D．【点评】：本题考查不等式的性质.对于错误的结论举出反例即可．15.（单选题.3分）设集合P={m|-1＜m≤0}.Q={m|mx2+2mx-1＜0}对任意x∈R恒成立.则P与Q的关系是（）A.P⊄QB.Q⊄PC.P=QD.P∩Q=∅【正确答案】：C【解析】：先分别求出集合P.Q.由此能求出P与Q的关系．【解答】：解：∵集合P={m|-1＜m≤0}.Q={m|mx2+2mx-1＜0}对任意x∈R恒成立.∴Q={m|-1＜m≤0}．∴P与Q的关系是P=Q．故选：C．【点评】：本题考查集合的关系的判断.考查不等式性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．16.（单选题.3分）已知集合A={1.2.3.…n）（n∈N*}.集合B={j1.j2.…j k）（k≥2.k∈N*）是集合A 的子集.若1≤j1＜j2＜…＜j m≤n且j i+1-j i≥m（i=1.2.…….k-1）.满足集合B的个数记为n（k⊕m）.则7（3⊕2）=（）A.9B.10C.11D.12【正确答案】：B【解析】：根据n（k⊕m）和7（3⊕2）.可得n=7.k=3.m=2.集合A={1.2.3.4.5.6.7}；集合B={j1.j2.j3}.1≤j1＜j2≤7满足集合B的个数列罗出来.可得答案．【解答】：解：由题意可得n=7.k=3.m=2.那么集合A={1.2.3.4.5.6.7}；集合B={j1.j2.j3}.1≤j1＜j2≤7.j i+1-j i≥2满足集合B的个数列罗出来.可得：{1.3.5}.{1.3.6}.{1.3.7}.{1.4.6}.{1.4.7}；{1.5.7}.{2.4.6}.{2.4.7}.{2.5.7}.{3.5.7}.故选：B．【点评】：本题考查子集与真子集.并且即时定义新的集合.主要考查学生的阅读理解能力．17.（问答题.0分）已知x.y是实数.求证：x2+y2≥2x+2y-2．【正确答案】：【解析】：利用综合法.证明不等式即可．【解答】：证明：因为x2-2x+1=（x-1）2≥0.可得x2≥2x-1.y2-2y+1=（y-1）2≥0.可得y2≥2y-1.所以x2+y2≥2x+2y-2．【点评】：本题考查不等式的证明.综合法的应用.是基本知识的考查．18.（问答题.0分）已知全集U=R.集合A={x|x2-x-12＜0}.B={y|y= x4+1.x∈R}.求A∩B.A∪x2（∁U B）．【正确答案】：【解析】：先求出A.B.然后进行交集、并集和补集的运算即可．【解答】：解：A={x|-3＜x＜4}；∵x4+1≥2x2；∴ x4+1≥2；x2∴B={y|y≥2}；∴A∩B=[2.4）.∁U B={y|y＜2}；∴A∪（∁U B）=（-∞.4）．【点评】：考查描述法表示集合的定义.a2+b2≥2ab.以及交集、并集和补集的运算．19.（问答题.0分）已知命题p：关于x的一元二次方程x2-2 √3 x+|m-2|=0有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程x2-mx+|a+1|+|a-3|=0对于任意实数a都没有实数根．（1）若命题p为真命题.求实数m的取值范围；（2）若命题p和命题q中有且只有一个为真命题.求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得判别式大于0.由绝对值不等式的解法可得m 的范围；（2）考虑命题q 真.运用绝对值不等式的性质和判别式小于0.解不等式可得m 的范围.由p.q 一真一假.解不等式即可得到所求范围．【解答】：解：（1）命题p ：关于x 的一元二次方程x 2-2 √3 x+|m-2|=0有两个不相等的实数根.可得△=12-4|m-2|＞0.解得-1＜m ＜5；（2）命题q ：关于x 的一元二次方程x 2-mx+|a+1|+|a-3|=0对于任意实数a 都没有实数根. 可得-x 2+mx=|a+1|+|a-3|.由|a+1|+|a-3|≥|a+1-a+3|=4.可得-x 2+mx-4≥0无实数解.可得△=m 2-16＜0.即-4＜m ＜4.命题p 和命题q 中有且只有一个为真命题.可得 {−1＜m ＜5m ≥4或m ≤−4 或 {m ≥5或m ≤−1−4＜m ＜4. 即有4≤m ＜5或-4＜m≤-1．【点评】：本题考查二次方程和二次不等式的解法.注意运用判别式和绝对值不等式的性质.考查化简运算能力.属于基础题．20.（问答题.0分）已知集合A={x|x 2-x-2≥0}.集合B={x|（1-m 2）x 2+2mx-1＜0.m∈R}．（1）当m=2时.求集合∁R A 和集合B ；（2）若集合B∩Z 为单元素集.求实数m 的取值集合；（3）若集合（A∩B ）∩Z 的元素个数为n （n∈N *）个.求实数m 的取值集合．【正确答案】：【解析】：（1）m=2时.化简集合A.B.即可得集合∁R A 和集合B ；（2）集合B∩Z 为单元素集.所以集合B 中有且只有一个整数.而0∈B .所以抛物线y=（1-m 2）x 2+2mx-1的开口向上.且与x 轴的两个交点都在[-1.1]内.据此列式可得m=0；（3）集合（A∩B ）∩Z 的元素个数为n （n∈N *）个.等价于（1-m 2）x 2+2mx-1＜0在（-∞.-1]∪[2.+∞）上有整数解．【解答】：解：集合A={x|x 2-x-2≥0}={x|x≥2或x≤-1}.集合{x|（1-m 2）x 2+2mx-1＜0.m∈R}={x|[（1+m ）x-1][（1-m ）x+1]＜0}（1）当m=2时.集合∁R A={x|-1＜x ＜2}；集合B={x|x ＞1或x ＜ 13 }；（2）因为集合B∩Z 为单元素集.且0∈B .所以 {(1−m 2)×(−1)2−2m −1≥0(1−m 2)×12+2m −1≥0.解得m=0. 当m=0时.经验证.满足题意．故实数m 的取值集合为{0}（3）集合（A∩B ）∩Z 的元素个数为n （n∈N *）个.等价于（1-m 2）x 2+2mx-1＜0在（-∞.-1]∪[2.+∞）上有整数解.所以令f （x ）=（1-m 2）x 2+2mx-1.依题意有1-m 2≤0或 {1−m 2＞0f (−1)＜0 或 {1−m 2＞0f (2)＜0 . 解得m ＜- 12或m ＞0．【点评】：本题考查了交、并、补集的混合运算．属难题．21.（问答题.0分）已知集合P 的元素个数为3n （n∈N *）个且元素为正整数.将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C.即P=A∪B∪C .A∩B=∅.A∩C=∅.B∩C=∅.其中A={a 1.a 2.….a n }.B={b 1.b 2.…b n }.C={c 1.c 2.….c n }．若集合A 、B 、C 中的元素满足c 1＜c 2＜…＜c n .a k +b k =c k .k=1.2.…n .则称集合P 为“完美集合”．（1）若集合P={1.2.3}.Q={1.2.3.4.5.6}.判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合P={1.x.3.4.5.6}为“完美集合”.求正整数x 的值；（3）设集合P={x|1≤x≤3n .n≥2.n∈N *}① 证明：集合P 为“完美集合”的一个必要条件是n=4k 或n=4k+1（k∈N *）② 判断当n=4时.集合P 是否为“完美集合”.如果是.求出所有符合条件的集合C ；如果不是.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据完美集合的定义.将P 分为集合{1}、{2}、{3}符合条件.将Q 分成3个.每个中有两个元素.根据完美集合的定义进一步判断即可；（2）根据完美集合的概念直接求出集合C.从而得到x 的值；（3） ① P 中所有元素之和为 3n (3n+1)2 =2（c 1+c 2+…+c n-1+c n ）.根据 9n (n−1)4=c 1+c 2+…+c n-1.等号右边为正整数.可得等式左边9n （n-1）可以被4整除.从而证明结论； ② 根据p 是完美集合.直接列出集合A.B.C 即可．【解答】：解：（1）将P 分为集合{1}、{2}、{3}.满足条件.是完美集合．将Q 分成3个.每个中有两个元素.若为完美集合.则a 1+b 1=c 1 、a 2+b 2=c 2.Q 中所有元素之和为21.21÷2=c 1+c 2=10.5.不符合要求；（2）若集合A={1.4}.B={3.5}.根据完美集合的概念知集合C={6.7}.若集合A={1.5}.B={3.6}.根据完并集合的概念知集合C={4.11}.若集合A={1.3}.B={4.6}.根据完并集合的概念知集合C={5.9}.故x 的一个可能值为7.9.11 中任一个；（3） ① 证明：P 中所有元素之和为1+2+…+3n= 3n (3n+1)2=a 1+b 1+c 1+a 2+b 2+c 2+…+a n +b n +c n =2（c 1+c 2+…+c n-1+c n ）.∵c n =3n.∴3n (3n+1)4 =c 1+c 2+…+c n-1+3n. ∴ 9n (n−1)4=c 1+c 2+…+c n-1.等号右边为正整数. 则等式左边9n （n-1）可以被4整除.∴n=4k 或n-1=4k.即n=4k 或n=4k+1；② p 是完美集合.A={1.4.3.2}.B={6.5.8.10}.C={7.9.11.12}或A={1.2.4.3}.B={5.8.7.9}.C={6.10.11.12}或A={2.4.3.1}.B={6.5.7.11}.C={8.9.10.12}．【点评】：本题考查了集合的交、并、补集的混合运算和等差数列的前n 项和.考查了分类讨论思想和计算能力.属难题．。

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2018-2019学年上海市建平中学高二（下）期中数学试卷一.填空题1．设复数z=3+4i（i是虚数单位），则•z=．2．已知复数为纯虚数（i是虚数单位），则实数a=．3．已知点A、B到平面α的距离分别是4、6，则线段AB的中点M到平面的距离α是．4．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．5．二面角α﹣l﹣β为60°，异面直线a、b分别垂直于α、β，则a与b所成角的大小是．6．已知A是△BCD所在平面外一点，E、F分别是BC和AD的中点，若BD⊥AC，BD=AC，则EF与BD所成角的大小是．7．双曲线3y2﹣x2=1的两条渐近线的夹角是．8．已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=．9．已知复数z满足|z+2﹣i|=1，则|2z﹣1|的取值范围是．10．设实系数一元二次ax2+bx+c=0的两根是x1、x2，下列命题中，假命题的序号是（1）方程可能有两个相等的虚根（2）ax2+bx+c=（x﹣x1）（x﹣x2）（3）（4）若b2﹣4ac＜0，则x1﹣x2一定是纯虚数．11．定长是3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，M是线段AB的中点，则M到y轴距离的最小值是．12．斜率是1的直线与椭圆交于A、B两点，P为线段AB上的点，且AP=2PB，则点P的轨迹方程是．二.选择题13．下列几何体中，多面体是（）A． B．C．D．14．一条直线和该直线外不共线的三点最多可以确定平面的个数为（）A．1个 B．3个 C．4个 D．6个15．下列命题中，假命题的个数是（）（1）若直线a在平面α上，直线b不在平面α上，则a、b是异面直线（2）若a、b是异面直线，则与a、b都垂直的直线有且只有一条（3）若a、b是异面直线，则与c、d与直线a、b都相交，则c、d也是异面直线（4）设a、b是两条直线，若a∥平面α，a∥b，则b∥平面αA．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．已知圆F的方程是x2+y2﹣2y=0，抛物线的顶点在原点，焦点是圆心F，过F 引倾斜角为α的直线l，l与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点（在直线l上，这四个点从左至右依次为A、B、C、D），若|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，则α的值为（）A．±arctan B．C．arctan D．arctan或π﹣arctan三.简答题17．实数x取什么值时，复数z=（x2﹣2x﹣3）+（x2+3x+2）i（i为虚数单位）；（1）是实数？（2）对应的点位于复平面的第二象限？18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=2，AB=4；（1）求证：AD1⊥平面A1B1D；（2）求BD与平面ACC1A1所成角的大小．19．某乳业公司生产甲、乙两种产品，需要A、B、C三种苜蓿草饲料，生产1个单位甲种产品和生产1个单位乙种产品所需三种苜蓿草饲料的吨数如表所示：现有A种饲料200吨，B种饲料360吨，C种饲料300吨，在此基础上生产甲乙两种产品，已知生产1个单位甲产品，产生的利润为2万元，生产1个单位乙产品，产生的利润为3万元，分别用x、y表示生产甲、乙两种产品的数量；（1）用x、y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问分别生产甲乙两种产品多少时，能够产出最大的利润？并求出此最大利润．20．已知下列两个命题：命题p：实系数一元二次方程x2+mx+2=0有虚根；命题q：关于x的方程：2x2﹣4（m﹣1）x+m2+7=0（m∈R）的两个虚根的模的和不大于，若p、q均为真命题，求实数m的取值范围．21．已知椭圆左、右焦点分别为F1、F2，点p为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O 为坐标原点；（1）求△ABF2的周长；（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：；（3）问直线l是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k OA、k OB、k OC、k OD满足k OA+k OB+k OC+k OD=0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，说明理由．2018-2019学年上海市建平中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．设复数z=3+4i（i是虚数单位），则•z=25．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：•z=（3+4i）•（3﹣4i）=32+42=25．故答案为：25．2．已知复数为纯虚数（i是虚数单位），则实数a=4．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数==+i为纯虚数，∴=0，≠0，解得a=4．故答案为：4．3．已知点A、B到平面α的距离分别是4、6，则线段AB的中点M到平面的距离α是5或1．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】由于A，B的位置可在同侧与异侧，故需要讨论．考虑两种情况：当A、B两点有平面α的同侧时，当A、B两点有平面α的异侧时，分别利用平面几何的知识求得M到平面α的距离即可．【解答】解：考虑两种情况：当A、B两点有平面α的同侧时，如图，分别过A、B、M作α的垂线，可得直角梯形，则AB中点M到平面α的距离为5；当A、B两点有平面α的异侧时，如图，分别过A、B、M作α的垂线，则，∴，则点M到平面α的距离为1．综上，点M到平面α的距离为5或1．故答案为：5或1．4．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．【考点】LT：直线与平面平行的性质．【分析】根据已知EF∥平面AB1C和线面平行的性质定理，证明EF∥AC，又点E 为AD的中点，点F在CD上，以及三角形中位线定理可知点F是CD的中点，从而求得线段EF的长度．【解答】解：∵EF∥平面AB1C，EF⊆平面AC，平面AB1C∩平面AC=AC，∴EF∥AC，又点E为AD的中点，点F在CD上，∴点F是CD的中点，∴EF=．故答案为．5．二面角α﹣l﹣β为60°，异面直线a、b分别垂直于α、β，则a与b所成角的大小是60°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a，b分别垂直于两个平面，则两条直线的夹角与二面角相等或互补，由于已知的二面角α﹣l﹣β的平面角为60°，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案．【解答】解：根据二面角的定义则线面垂直的性质，∵二面角α﹣l﹣β的平面角为60°，有两条异面直线a，b分别垂直于平面，设异面直线a，b的夹角为θ则θ=60°．故答案为：60°．6．已知A是△BCD所在平面外一点，E、F分别是BC和AD的中点，若BD⊥AC，BD=AC，则EF与BD所成角的大小是45°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】取CD的中点G，利用三角形中位线的性质找出异面直线成的角∠FEG，把此角放在一个三角形中，解此三角形，求出此角的大小．【解答】解：取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，求得∠FEG=45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°．7．双曲线3y2﹣x2=1的两条渐近线的夹角是．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程计算可得其渐近线方程，由渐近线方程得到渐近线的倾斜角，即可得到结论【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：3y2﹣x2=1，其渐近线方程为y=±x，直线y=x的倾斜角为，直线y=﹣x的倾斜角为，则直线y=x与y=﹣x的夹角为，故答案为：．8．已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=20．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意作出图象，设线段MN的中点为D，连结DF1，DF2，用椭圆的定义解答即可．【解答】解：如图，设线段MN的中点为D，连结DF1，DF2，则DF1，DF2，分别是△AMN，△BMN的中位线，则|AN|+|BN|=2|DF1|+2|DF2|=2（|DF1|+|DF2|）=2×2a=4×5=20．故答案为：209．已知复数z满足|z+2﹣i|=1，则|2z﹣1|的取值范围是．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数z满足|z+2﹣i|=1，表示以C（﹣2，1）为圆心，1为半径的圆．可得|2z﹣1|=2|z﹣|表示圆上的点到P的距离的2倍．圆心C到点P的距离d．即可得出．【解答】解：复数z满足|z+2﹣i|=1，表示以C（﹣2，1）为圆心，1为半径的圆．则|2z﹣1|=2|z﹣|表示圆上的点到P的距离的2倍．圆心C到点P的距离d==．∴|2z﹣1|的取值最值分别为：2=±2．∴取值范围是：．故答案为：．10．设实系数一元二次ax2+bx+c=0的两根是x1、x2，下列命题中，假命题的序号是（1）（2）（1）方程可能有两个相等的虚根（2）ax2+bx+c=（x﹣x1）（x﹣x2）（3）（4）若b2﹣4ac＜0，则x1﹣x2一定是纯虚数．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】（1）实系数一元二次ax2+bx+c=0的两根是x1、x2，方程可能有两个共轭虚根，即可判断出真假．（2）由ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2），即可判断出真假．（3）x1+x2=﹣，x1x2=，可得+=（x1+x2）•x1x2，即可得出．（4）由b2﹣4ac＜0，则x1﹣x2一定是纯虚数．即可得出．【解答】解：（1）实系数一元二次ax2+bx+c=0的两根是x1、x2，方程可能有两个共轭虚根，因此是假命题．（2）由于ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2），因此（2）是假命题．（3）∵x1+x2=﹣，x1x2=，∴+=（x1+x2）•x1x2=﹣•=，是真命题．（4）若b2﹣4ac＜0，则x1﹣x2一定是纯虚数．因此是真命题．综上可得：假命题的序号是（1）（2）．故答案为：（1）（2）．11．定长是3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，M是线段AB的中点，则M到y轴距离的最小值是．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先设出A，B的坐标，根据抛物线方程可求得其准线方程，进而可表示出M到y轴距离，根据抛物线的定义，以及利用两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号判断出﹣≥﹣=﹣=，进而求得其最小值．【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2），焦点为F（，0）抛物线准线x=﹣所求的距离为S=||=﹣=﹣，[两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号]∴﹣≥﹣=﹣=，故答案为：．12．斜率是1的直线与椭圆交于A、B两点，P为线段AB上的点，且AP=2PB，则点P的轨迹方程是148x2+13y2+64xy﹣20=0（在椭圆内）．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设直线l的方程，代入椭圆方程，由x1，x2是方的两个根，分别求得x1，x2，由AP=2PB，求得x′=，代入即可即可求得P的轨迹方程．【解答】解：设动点为P（x′，y′），则过y=x+（y′﹣x′），整理得：5x2+2（y′﹣x′）x+（y′﹣x′）2﹣4=0，（※）若直线l椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，则x1，x2是方程（※）的两个根，且x1=，①x2=，②由AP=2PB，x1＜x2，则x′=，代入整理得：4x′+y′=，丨y′﹣x′丨＜，两边同时平方：148x′2+13y′2+64x′y′﹣20=0，∴点P的轨迹方程148x2+13y2+64xy﹣20=0（在椭圆内）．故答案为：148x2+13y2+64xy﹣20=0（在椭圆内）．二.选择题13．下列几何体中，多面体是（）A． B．C．D．【考点】L1：构成空间几何体的基本元素．【分析】选项A、C、D中给的几何体都是旋转体，选项B中给的几何体是三棱柱，它是多面体．【解答】解：选项A中给的几何体是球，它是旋转体，故A错误；选项B中给的几何体是三棱柱，它是多面体，故B正确；选项C给的几何体是圆柱，它是旋转体，故C错误；选项D给的几何体是圆锥，它是旋转体，故D错误．故选：B．14．一条直线和该直线外不共线的三点最多可以确定平面的个数为（）A．1个 B．3个 C．4个 D．6个【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据不共线的三点确定一个平面即可得出结论．【解答】解：设直线为a，直线a外不共线的三点为A，B，C，则A，B，C三点确定一个平面；直线a与A确定一个平面；直线a与B确定一个平面；直线a与C确定一个平面，故最多可确定4个平面．故选C．15．下列命题中，假命题的个数是（）（1）若直线a在平面α上，直线b不在平面α上，则a、b是异面直线（2）若a、b是异面直线，则与a、b都垂直的直线有且只有一条（3）若a、b是异面直线，则与c、d与直线a、b都相交，则c、d也是异面直线（4）设a、b是两条直线，若a∥平面α，a∥b，则b∥平面αA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在（1）中，a、b相交、平行或异面；在（2）中，与a、b都垂直的直线有有无数条；在（3）中，c、d相交、平行或异面；在（4）中，b∥平面α或b⊂α．【解答】解：在（1）中，若直线a在平面α上，直线b不在平面α上，则a、b 相交、平行或异面，故（1）是假命题；在（2）中，若a、b是异面直线，则与a、b都垂直的直线有有无数条，故（2）是假命题；在（3）中，若a、b是异面直线，c、d与直线a、b都相交，则c、d相交、平行或异面，故（3）是假命题；在（4）中，设a、b是两条直线，若a∥平面α，a∥b，则b∥平面α或b⊂α，故（4）是假命题．故选：D．16．已知圆F的方程是x2+y2﹣2y=0，抛物线的顶点在原点，焦点是圆心F，过F 引倾斜角为α的直线l，l与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点（在直线l上，这四个点从左至右依次为A、B、C、D），若|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，则α的值为（）A．±arctan B．C．arctan D．arctan或π﹣arctan【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】根据抛物线的焦点是圆心F，求出p，进而求出抛物线的解析式；据|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，求出AD的长度，A、D两点是抛物线和直线的交点，联立抛物线和直线，利用两点间距离公式即可求出结果．【解答】解：∵圆Fx2+y2﹣2y=0 即x2+（y﹣1）2=1∴F（0，1），r=1∵抛物线以F点为焦点=1∴抛物线方程为：x2=4y过F点的直线与抛物线相交于A、D两点，BC为圆F的直径|BC|=2∵|AB|，|BC|，|CD|成等差数列∴2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|﹣|BC|=|=|AD|﹣2=4∴|AD|=6∵直线l过F（0，1）则设直线解析式为：y=kx+1A、D两点是过F点的直线与抛物线交点设A（x1，y1）D（x2，y2）则|AD|==6联立y=kx+1和x2=4y，得x2﹣4kx﹣4=0∴x1x2=﹣4 x1+x2=4k∴|AD|=====6∴1+k2=∴k=±∴α的值为：arctan或π﹣arctan故选D．三.简答题17．实数x取什么值时，复数z=（x2﹣2x﹣3）+（x2+3x+2）i（i为虚数单位）；（1）是实数？（2）对应的点位于复平面的第二象限？【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】（1）直接虚部为0求得z值；（2）由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．【解答】解：（1）由x2+3x+2=0，解得x=﹣2或﹣1；（2）由，解得﹣1＜x＜3．∴x∈（﹣1，3）时，复数z对应的点位于复平面的第二象限．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=2，AB=4；（1）求证：AD1⊥平面A1B1D；（2）求BD与平面ACC1A1所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，由此能证明AD1⊥平面A1B1D．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD与平面ACC1A1所成角的大小．【解答】证明：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=2，AB=4，∴四边形ADD1A1是正方形，∴AD1⊥A1D，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴AD1⊥A1B1，∵A1B1∩A1D=A1，∴AD1⊥平面A1B1D．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0，），B（2，4，0），C（0，4，0），D（0，0，0），A1（2，0，2），=（0，0，2），=（﹣2，4，0），=（﹣2，﹣4，0），设平面ACC1A1的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，1，0），设BD与平面ACC1A1所成角为θ，则sinθ===．∴θ=arcsin，∴BD与平面ACC1A1所成角为arcsin．19．某乳业公司生产甲、乙两种产品，需要A、B、C三种苜蓿草饲料，生产1个单位甲种产品和生产1个单位乙种产品所需三种苜蓿草饲料的吨数如表所示：现有A种饲料200吨，B种饲料360吨，C种饲料300吨，在此基础上生产甲乙两种产品，已知生产1个单位甲产品，产生的利润为2万元，生产1个单位乙产品，产生的利润为3万元，分别用x、y表示生产甲、乙两种产品的数量；（1）用x、y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问分别生产甲乙两种产品多少时，能够产出最大的利润？并求出此最大利润．【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】（1）利用已知条件列出约束条件、画出可行域即可．（2）利用可行域．求出目标函数的最优解，然后求解最值．【解答】解：（1）分别用x、y表示生产甲、乙两种产品的数量；由题意可得：；相应的平面区域如图：（2）由约束条件的可行域可知z=2x+3y的最优解A，由解得A（40，8），最大值z max=104；分别生产甲乙两种产品40吨；8吨，能够产出最大的利润，最大利润104万元．20．已知下列两个命题：命题p：实系数一元二次方程x2+mx+2=0有虚根；命题q：关于x的方程：2x2﹣4（m﹣1）x+m2+7=0（m∈R）的两个虚根的模的和不大于，若p、q均为真命题，求实数m的取值范围．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据实系数一元二次方程有虚根的条件：判别式小于0，以及共轭复数的积与模的关系，根据二次不等式的解法，以及p、q均为真命题，求交集即可得到所求范围．【解答】解：命题p：实系数一元二次方程x2+mx+2=0有虚根，等价为m2﹣8＜0，解得﹣2＜m＜2①命题q：关于x的方程：2x2﹣4（m﹣1）x+m2+7=0（m∈R）的两个虚根的模的和不大于，等价为16（m﹣1）2﹣8（m2+7）＜0，解得﹣1＜m＜5，②设两个虚根为x1，x2，则有x1+x2=2（m﹣1），x1x2=（m2+7），由x1，x2，互为共轭复数，可得|x1|+|x2|=2|x1|=2=，即有≤4，解得﹣3≤m≤3，③若p、q均为真命题，由①②③可得，﹣1＜m＜2．可得实数m的取值范围为（﹣1，2）．21．已知椭圆左、右焦点分别为F1、F2，点p为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O 为坐标原点；（1）求△ABF2的周长；（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：；（3）问直线l是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k OA、k OB、k OC、k OD满足k OA+k OB+k OC+k OD=0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）△ABF2的周长为：|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a．（2）由于F1（﹣1，0）、F2（1，0），PF1，PF2的斜率分别是k1，k2，且点P不在x轴上，得到k1≠k2，k1≠0，k2≠0．直线PF1、PF2的方程分别为y=k1（x+1），y=k2（x﹣1），联立方程组，得P（，），由点P在直线x+y=2上，能证明=2．（3）设A（x A，y A），B（x B，y B），C（x C，y C），D（x D，y D），联立直线PF1和椭圆的方程得，得（2k12+1）x2+4k12x+2k﹣2=0，由此利用韦达定理得k OA+k OB==，同理可得：k OC+k OD=，由此利用k OA+k OB+k OC+k OD=0，能求出满足条件的点P的坐标．【解答】解：（1）∵椭圆左、右焦点分别为F1、F2，直线PF1与椭圆的交点为A、B，∴△ABF2的周长为：|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．证明：（2）由于F1（﹣1，0）、F2（1，0），PF1，PF2的斜率分别是k1，k2，且点P不在x轴上，∴k1≠k2，k1≠0，k2≠0．又直线PF1、PF2的方程分别为y=k1（x+1），y=k2（x﹣1），联立方程组，解得，∴P（，），∵点P在直线x+y=2上，∴+=2，即2k1k2+3k1﹣k2=0，故=2．解：（3）设A（x A，y A），B（x B，y B），C（x C，y C），D（x D，y D），联立直线PF1和椭圆的方程得，得（2k12+1）x2+4k12x+2k﹣2=0，∴x A+x B=﹣，x A x B=，∴k OA+k OB==+==2k1+=，同理可得：k OC+k OD=，∵直线OA、OB、OC、OD的斜率k OA、k OB、k OC、k OD满足k OA+k OB+k OC+k OD=0，∴+==0，∴k1+k2=0或k1k2=1，当k1+k2=0时，由（2）得k2=﹣2，解得P点的坐标为（0，2）当k1k2=1时，由（2）得k2=3或k2=﹣1（舍去），此时直线CD的方程为y=3（x﹣1）与x+y=2联立得x=，y=，∴P（，），综上所述，满足条件的点P的坐标分别为（0，2）或．。