【人教版】九年级数学下册《相似》单元训练(含答案)

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人教版九年级下册数学《第27章相似》单元测试题（含答案解析）

春人教版九年级下册数学第27章相似单元测试题一．选择题（共10小题）1．已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣32．若a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（）A．4：3B．3：4C．3：2D．2：33．下列命题中，其中正确的命题个数有（）（1）在△ABC中，已知AB＝6，AC＝，∠B＝45°，则∠C的度数为60°；（2）已知⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个；（3）圆心角是180°的扇形是一个半圆；（4）已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB＝1，则AP＝．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则DE＝（）A．5B．6C．7D．85．下列说法中正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个等腰直角三角形一定相似D．两个矩形一定相似6．两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2，则较大的六边形的面积为（）A．44.8 cm2B．45 cm2C．64 cm2D．54 cm27．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm8．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③9．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC＝3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（）A．2：5B．3：5C．9：25D．4：2510．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．40m二．填空题（共8小题）11．若＝，则＝．12．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB＝2，BC＝4，BD＝1.5，则线段DE的长为．13．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值．14．如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5cm，AB＝4cm，AD 的长为．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝．16．已知△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B＝34°，∠D＝70°，则当∠F＝时，△ABC∽△DEF．17．如图，已知线段AB的两个端点在直角坐标系中的坐标分别是A（m，m），B（2n，n），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，则经过位似变换后A、B的对应点坐标分别是A′，B′；点A到原点O的距离是．18．如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两端上，若CD ＝2，则AB的长是．三．解答题（共8小题）19．已知，（1）求的值；（2）若x﹣2y+4z＝24，求x+y+z的值．20．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2．（1）求下列各线段的比：，，；（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）21．如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A＝∠A'，BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，点D、E、D'、E'分别在AC、AB、A'C'、A'B'上，且＝．求证：＝22．如图所示：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC．AB边上一点，∠ADE＝∠C，（1）求证：AD2＝AE•AB；（2）∠ADC与∠BED是否相等？请说明理由；（3）若CD＝2，求AD的长．23．如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，BC＝1，AC，BD交于点O．求的值．24．如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍（不写作法，保留作图痕迹）．25．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB．（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．26．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．（1）求证：GD•AB＝DF•BG；（2）联结CF，求证：∠CFB＝45°．春人教版九年级下册数学第27章相似单元测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3【分析】先利用x：y：z＝1：2：3，y＝2x，z＝3x，然后消去y与z得到关于x的一元一次方程，再解一次方程即可．【解答】解：∵x：y：z＝1：2：3，∴y＝2x，z＝3x，∴2x+2x﹣9x＝﹣15，∴x＝3．故选：C．【点评】本题考查了解三元一次方程组：利用代入消元或加减消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题．2．若a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（）A．4：3B．3：4C．3：2D．2：3【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得，又由a：b＝3：2，即可求得答案．【解答】解：∵b是a、c的比例中项，∴b2＝ac，即，∵a：b＝3：2，∴b：c＝3：2．故选：C．【点评】此题考查了比例线段以及比例中项的定义．解题的关键是熟记比例中项的定义及其变形．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．下列命题中，其中正确的命题个数有（）（1）在△ABC中，已知AB＝6，AC＝，∠B＝45°，则∠C的度数为60°；（2）已知⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个；（3）圆心角是180°的扇形是一个半圆；（4）已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB＝1，则AP＝．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】（1）作出图形，过点A作AD⊥BC于点D，然后求出AD的长度，再在Rt△ACD中，利用锐角的正弦值求出∠C的度数即可；（2）作出图形，根据圆的半径为5，圆心到AB的距离为3作出到直线AB的距离为2的直线，与圆的交点的个数即为所求；（3）根据半圆的圆心角等于180°解答；（4）因为AP是较长的线段还是较短的线段不明确，所以分两种情况讨论求解．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝6，∠B＝45°，∴AD＝AB sin45°＝6×＝3，又∵AC＝，∴sin∠C＝＝＝，∴∠C＝60°，故本小题正确；（2）如图所示，到直线AB的距离为2的点有3个，故本小题正确；（3）∵半圆的圆心角为180°，∴圆心角是180°的扇形是一个半圆加一条直径，故本小题错误；（4）①若AP是较长线段，则AP2＝AB•BP，即AP2＝1×（1﹣AP），AP2+AP﹣1＝0，解得AP＝，②若AP是较短的线段，则AP＝1﹣＝，故本小题错误．综上所述，正确的命题有（1）（2）共2个．故选：B．【点评】本题考查了黄金分割，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，解直角三角形，作出图形，利用数形结合的思想求解比较关键．4．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则DE＝（）A．5B．6C．7D．8【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB＝5，AC＝8，DF＝12，∴，即，可得；DE＝6，故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意：对应成比例．5．下列说法中正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个等腰直角三角形一定相似D．两个矩形一定相似【分析】根据三角形、矩形相似的判定方法逐个分析，确定正确答案即可．【解答】解：A、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，故A不正确；B、等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故B不正确；C、两个等腰直角三角形的对应相等，所以两个等腰直角三角形相似，故C正确；D、两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故D不正确；故选：C．【点评】本题考查了相似图形的知识，解题的关键是了解对应角相等，对应边的比相等的图形相似，难度不大．6．两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2，则较大的六边形的面积为（）A．44.8 cm2B．45 cm2C．64 cm2D．54 cm2【分析】设大六边形的面积为xcm2，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：设大六边形的面积为xcm2，则小六边形的面积为（x﹣28）cm2，∵两个六边形相似，∴＝（）2，解得，x＝64，故选：C．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．7．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得：＝，解得：x＝4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．8．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【解答】解：当∠ACP＝∠B，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当∠APC＝∠ACB，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AB•CP＝AP•CB，即＝，而∠PAC＝∠CAB，所以不能判断△APC和△ACB相似．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．9．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC＝3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（）A．2：5B．3：5C．9：25D．4：25【分析】根据平行四边形的性质可得出CD∥AB，进而可得出△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质结合DE：EC＝3：2，即可得出△DEF与△BAF的面积之比，此题得解．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF．∵DE：EC＝3：2，∴＝＝，∴＝（）2＝．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．10．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．40m【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设旗杆高度为x米，由题意得，＝，解得：x＝15．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．二．填空题（共8小题）11．若＝，则＝．【分析】根据分比性质，可得答案．【解答】解：由分比性质，得＝﹣＝﹣2＝，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用了分比性质，用x表示y，是解题关键．12．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB＝2，BC＝4，BD＝1.5，则线段DE的长为 4.5．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后把AB、BC、BD的值代入后，利用比例的性质可计算出DE的长．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即，∴BE＝3，∴DE＝3+1.5＝4.5．故答案为：4.5．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值10．【分析】设＝＝＝k，表示出a，b，c，代入a+b﹣3c＝求出k的值，即可确定出a的值．【解答】解：设＝＝＝k，则有a＝5k，b＝6k，c＝4k，代入a+b﹣2c＝得：5k+6k﹣8k＝6，解得：k＝2，则a＝10，故答案为：10【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解本题的关键．14．如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5cm，AB＝4cm，AD 的长为．【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，∴△ACB∽△ABD，∴，∴AD＝＝cm，故答案为：【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝．【分析】由DE∥BC可得出∠ADE＝∠B、∠AED＝∠C，进而可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理证出△ADE∽△ABC是解题的关键16．已知△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B＝34°，∠D＝70°，则当∠F＝76°时，△ABC∽△DEF．【分析】利用两对角相等的三角形相似即可作出判断．【解答】解：∵△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B ＝34°，∠D＝70°，∴∠B＝∠E＝34°，∴∠C＝∠F＝76°，故答案为：76°【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．17．如图，已知线段AB的两个端点在直角坐标系中的坐标分别是A（m，m），B（2n，n），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，则经过位似变换后A、B的对应点坐标分别是A′（m，m），B′（n，n）；点A到原点O的距离是m．【分析】由于在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，则把点A和点B的坐标都乘以即可得到点A′和点B′的坐标，再利用两点间的距离公式计算点A到原点O的距离．【解答】解：∵A（m，m），B（2n，n），而位似中心为原点，相似比为，∴A′（m，m），B′（n，n）；点A到原点O的距离＝＝m．故答案为（m，m），（n，n）；m．【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．18．如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两端上，若CD ＝2，则AB的长是6．【分析】根据题意可知△ABO∽△DCO，根据相似三角形的性质即可求出AB的长度，此题得解．【解答】解：根据题意，可知：△ABO∽△DCO，∴＝，即＝3，∴AB＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质求出AB的长度是解题的关键．三．解答题（共8小题）19．已知，（1）求的值；（2）若x﹣2y+4z＝24，求x+y+z的值．【分析】设＝k，于是得到x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入代数式即可得到结论．【解答】解：∵，∴设＝k，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴（1）＝＝；（2）∵x﹣2y+4z＝24，∴2k﹣6k+16k＝24，∴k＝2，∴x+y+z＝2k+3k+4k＝9k＝18．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．20．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2．（1）求下列各线段的比：，，；（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）【分析】（1）根据矩形的性质和线段的和差关系得到CD，EF，BC，CF，再代入数据即可求得各线段的比；（2）根据成比例线段的定义写一组即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2，∴CD＝EF＝AB＝3，BC＝AD＝6.5，CF＝BC﹣BF＝4.5，∴＝＝，＝＝，＝；（2）成比例线段有＝．【点评】本题考查了矩形的性质，比例线段，解决问题的关键是得到CD，EF，BC，CF的值．21．如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A＝∠A'，BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，点D、E、D'、E'分别在AC、AB、A'C'、A'B'上，且＝．求证：＝【分析】先证△BDC∽△B′D′C′得∠ACB＝∠A′C′B′，结合∠A＝∠A′可证△ABC∽△A'B'C'，再利用相似三角形的性质可得答案．【解答】解：∵BD是AC边上的高、B'D'是A'C'的高，∴∠BDC＝∠B′D′C′＝90°，∴△BDC和△B′D′C′均为直角三角形，∵＝，∴△BDC∽△B′D′C′，∴∠ACB＝∠A′C′B′，∵∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A'B'C'，∵BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，∴＝．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的对应边的比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比、面积比等于相似比的平方的性质．22．如图所示：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC．AB边上一点，∠ADE＝∠C，（1）求证：AD2＝AE•AB；（2）∠ADC与∠BED是否相等？请说明理由；（3）若CD＝2，求AD的长．【分析】（1）证明△DAE∽△BAD，根据相似三角形的性质证明；（2）根据三角形的外角的性质、等腰三角形的性质证明；（3）证明△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质求出BE，代入（1）的结论计算即可．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠BAD，∴△DAE∽△BAD，∴＝，即AD2＝AE•AB；（2）∠ADC＝∠DAE+∠B，∠BED＝∠DAE+∠ADE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ADC＝∠BED；（3）∵∠ADC＝∠BED，∠B＝∠C，∴△ADC∽△DEB，∴＝，即＝，解得，BE＝2.4，由（1）得，AD2＝AE•AB＝13，则AD＝．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23．如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，BC＝1，AC，BD交于点O．求的值．【分析】由同旁内角互补两直线平行得到AB与CD平行，再利用两直线平行内错角相等，以及对顶角相等得到三角形相似，由相似得比例求出所求即可．【解答】解：∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB∥CD，∴∠A＝∠ACD，∴△ABO∽△CDO，∴，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝45°，BC＝1，∴AB＝1，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠D＝30°，BC＝1，∴CD＝，∴＝＝．【点评】此题考查了相似三角形的性质与判定，以及平行线的性质，能利用相似三角形的性质将未知线段的比转化为已知线段的比是解本题的关键．24．如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】延长OA到A′使OA′＝2OA，同样作出点B′、C′，从而得到满足条件的△A′B′C′；反向延长OA到A″使OA″＝2OA，同样作出点B″、C″，从而得到满足条件的△A″B″C″．【解答】解：如图所示：△A′B′C′和△A″B″C″．【点评】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．25．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB．（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DAC＝∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质得到∠ACB＝∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质得到CE＝AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明＝，由相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵AC2＝AB•AD，∴＝，∴△ADC∽△ACB；（2）∵△ADC∽△ACB，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∵点E为AB的中点，∴CE＝AE＝AB＝，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠DAC＝∠EAC，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；∴＝＝，∴＝．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．26．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．（1）求证：GD•AB＝DF•BG；（2）联结CF，求证：∠CFB＝45°．【分析】（1）由∠BCD＝∠GFD＝90°、∠BGC＝∠FGD可证得△BGC∽△DGF，即可知，根据AB＝BC即可得证；（2）连接BD，由△BGC∽△DGF知，即，根据∠BGD＝∠CGF可证△BGD∽△CGF得∠BDG＝∠CFG，再由即可得证．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC，∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90°，∴∠BCD＝∠GFD，∵∠BGC＝∠FGD，∴△BGC∽△DGF，∴，∴DG•BC＝DF•BG，∵AB＝BC，∴DG•AB＝DF•BG；（2）如图，连接BD、CF，∵△BGC∽△DGF，∴，∴，又∵∠BGD＝∠CGF，∴△BGD∽△CGF，∴∠BDG＝∠CFG，∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴，∴∠CFG＝45°．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质及正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．。

九年级数学下册第二十七章《相似》测试题-人教版(含答案)

九年级数学下册第二十七章《相似》测试题-人教版（含答案）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.1.如图，四边形ABCD 和四边形EFGH 相似，则下列角的度数正确的是( )A.81D ∠=︒B.83F ∠=︒C.78G ∠=︒D.91H ∠=︒2.若线段a b c d ，，，成比例，且5cm 2.5cm 8cm a b c ===，，，则d 等于( ) A.2 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm3.已知ABC A B C '''∽，AD 和A D ''是它们的对应中线，若10AD =，6A D ''=，则ABC 与A B C '''的周长比是( )A.3:5B.9:25C.5:3D.25:94.如图，小明为了测量大楼MN 的高度，在离N 点20 m 的A 处放了一个平面镜，小明沿射线NA 的方向后退1.5 m 到C 点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M 点，已知小明的眼睛（点B ）到地面的高度BC 是1.6 m ，则大楼MN 的高度（精确到0.1 m ）约是( )A.18.75 mB.18.8 mC.21.3 mD.19 m5.如图，直线123////l l l ，直线AC 分别交直线1l 、2l 、3l 于点A 、B 、C ，直线DF 分别交直线1l 、2l 、3l 于点D 、E 、F ，直线AC 、DF 交于点P ，则下列结论错误的是( )A.AB DEBC EF= B.PA PDPC PF= C.PA PEPB PF= D.PB ACPE DF=6.如图，下列四个选项中的结论不一定成立的是( )A.COD AOB∽ B.AOC BOD∽ C.DCA BAC∽ D.PCA PBD∽7.如图，在ABC中，ABC C∠=∠，将ABC绕点B逆时针旋转得到DBE，点E在AC上，若3ED=，1EC=，则EB=( )A.3B.32C.312+D.28.如图，点A在第一象限内，AB x⊥轴于点B，以点O为位似中心，把AB缩小为原来的1 2得到A B''（AB与A B''在点O的两侧）.若把点O向上平移2个单位长度，得到点O'，再以点O'为位似中心，把AB缩小为原来的12得到A B''''（AB与A B''''在点O'的两侧），则A'与A''之间的距离为( )A.2B.2.5C.3D.49.如图，直线////a b c，ABC的边AB被这组平行线截成四等份，ABC的面积为32，则图中阴影四边形DFIG 的面积是( )A.12B.16C.20D.2410.将三角形纸片ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B '，折痕为EF .已知6AB AC ==，8BC =，若以点B '，F ，C 为顶点的三角形与ABC 相似，那么BF 的长度是( )A.247B.4C.127或2 D.4或247二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.如图，在平面直角坐标系中，已知(1,0)A ，(3,0)D ，ABC 与DEF 位似，原点O 是位似中心.若 1.3AB =，则DE =______________.12.如图，在ABC 中，AB AC ≠，D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，3AC AD =，3AB AE =，点F 为BC 边上一点，添加一个条件：_____________，可以使得FDB 与ADE 相似.（只需写出一个）13.如图，在Rt ABC 中，904ACB AB ∠=︒=，，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且2,3DB AD AE EC ==，连接BE 、CD ，相交于点O ，则ABO 面积的最大值为________.14.如图，在ABC 中，点D 为AC 边上一点，且12CD AD =，过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，连接CE ，过点D 作//DF CE 交AB 于点F .若15AB =，则EF =________.15.如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()()4,00,4-，，点()3C n ，在第一象限内，连接AC 、BC .已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_______________.三、解答题：本题共2小题，第一小题10分，第二小题15分，共25分.16.如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上的A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ，再将镜子放到C 处，后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （O ，A ，B ，C ，D 在同一条直线上），测得2AC =m, 2.1BD = m ，小明的眼睛距地面的高度BF ，DG 为1.6 m ，试确定楼的高度OE .17.回答下列问题：问题背景如图（1），已知ABC ADE ∽，求证：ABD ACE ∽；尝试应用如图（2），在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒，AC 与DE 相交于点F .点D 在BC 边上，3AD BD =DFCF的值；拓展创新如图（3），点D 是ABC 内一点，30BAD CBD ∠=∠=︒，90BDC ∠=︒，4AB =，23AC =AD 的长.参考答案1.答案：A 解析：四边形ABCD 和四边形EFGH 相似，78B F ∴∠=∠=︒，118A E ∠=∠=︒，83C G ∠=∠=︒，360781188381D H ∴∠=∠=︒-︒-︒-︒=︒.故选A.2.答案：B 解析：线段a b c d ，，，成比例，a cb d∴=，5cm a =， 2.5cm b =，8cm c =，582.5d∴=，4cm d ∴=，故选B.3.答案：C 解析：ABC A B C '''∽，AD 和A D ''是它们的对应中线，10AD =，6A D ''=，ABC ∴与A B C '''的周长比:10:65:3AD A D ===''.故选C.4.答案：C解析：BC CA ⊥，MN AN ⊥，90C MNA ∴∠=∠=︒.BAC MAN ∠=∠，BCA MNA ∴∽，BC AC MN AN ∴=，即1.6 1.520MN =， 1.620 1.521.3MN ∴=⨯÷≈（m ），即大楼MN 的高度约为21.3 m.故选C. 5.答案：C解析：123////l l l ，AB DE BC EF ∴=，A 中结论正确，不符合题意；PA PDPC PF=，B 中结论正确，不符合题意；PA PD PB PE =，C 中结论错误，符合题意；PB PC PA PE PF PD ==，PB AC PE DF∴=，D 中结论正确，不符合题意.故选C. 6.答案：C解析：OCD OAB ∠=∠，COD AOB ∠=∠， COD AOB ∴∽.ACO BDO ∠=∠，AOC BOD ∠=∠，AOC BOD ∴∽.180PCA ACD ∠+∠=︒，180ACD ABD ∠+∠=︒， PCA PBD ∴∠=∠，又P P ∠=∠，PCA PBD ∴∽.故选C.7.答案：A解析：由旋转可得ABC DBE ≌，BC BE ∴=,3DE AC ==，C BEC ∴∠=∠.又ABC C ∠=∠，ABC BEC ∴∠=∠，又C C ∠=∠，ABC BEC ∴∽，EC BCBC AC∴=，即2BC CE CA =⋅，BC ∴=，BE ∴.故选A.8.答案：C解析：如图，连接A A '''，由题意易知A B ''和A B ''''都与AB 平行，且在同一条直线上，////A A AB OO ''''∴.由题意知，OA B OAB ''∽△△，12OA A B OA AB '''∴==，23OA AA ∴='.//A A OO ''''，AO O AA A ''''∴∽△△，23OO OA A A AA '∴==''''，2OO '=，3A A '''∴=.9.答案：B 解析：直线////a b c ，ABC 的边AB 被这组平行线截成四等份，14AD AB ∴=，34AF AB =，ADG ABC ∽，AFI ABC ∽，211()416ADG ABCS S∴==，239()416AFI ABCS S==.ABC 的面积为32，1216ADGABCS S ∴==，91816AFIABCSS ==，18216AFIADGS SS∴=-=-=阴影.故选B.10.答案：D 解析：ABC 沿EF 折叠后点B 和'B 重合，BF B F '∴=.设(0)BF x x =>，则8CF x =-.要使B FC '与ABC 相似，只需B FC C '∠=∠或FB C C '∠=∠.当B FC C '∠=∠时，B FC ABC '∽，B F CF AB BC ∴='，6AB =，8BC =，868x x -∴=，解得247x =，即247BF =；当FB C C ∠'=∠时，FB C ABC '∽，FB FC AB AC ∴='，即866x x-=，解得4x =，即4BF =，故4BF =或247.故选D. 11.答案：3.9 解析：(1,0)A ，(3,0)D ，1OA ∴=，3OD =.ABC 与DEF 位似，//AB DE ∴，ABO DEO ∴∽，AB OA DE OD ∴=，即1.313DE =，解得 3.9DE =.12.答案：A BDF ∠=∠(或A BFD ∠=∠或ADE BFD ∠=∠或ADE BDF ∠=∠或//DF AC 或BD BF AE ED =或BD BFDE AE=) 解析：3AC AD =，3AB AE =，13AD AE AC AB ∴==，又A A ∠=∠，ADE ACB ∴∽，AED B ∴∠=∠. 故要使FDB 与ADE 相似，只需再添加一角相等，或夹角的两边成比例即可. 13.答案：83解析：本题考查平行线分线段成比例、三角形面积公式.如图,过点D 作//DF AE 交BE 于点F ,则21.,2,33DF BD EC DF EC DO AE BA AE ===∴=∴=222,,,33ADO ADC BDO OC DO DC S S S ∴=∴==22,90,33.BDC ABO ABC S S S ACB ︒∴=∠=∴点C 在以AB 为直径的圆上,设圆心为G ,当CG AB ⊥时，ABC 的面积最大,最大面积为1424,2⨯⨯=此时ABO 面积的最大值为284.33⨯=14.答案：103解析：//,AD AEDE BC AC AB∴=. 12,23CD AD AD AC =∴=，即23AE AB =. 15,10AB AE =∴=.//,AF AD DF CE AE AC ∴=，即2103AF =，解得203AF =，则20101033EF AE AF =-=-=.故答案为103. 15.答案：2.8解析：本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征、相似三角形的判定与性质如图，过点C 作CD y ⊥轴于点D ，设AC 交y 轴于点E ，//CD x ∴轴， CAO ACD∠∠∴=，又DEC OEA ∠∠=，DEC OEA ∴~，2,BCA CAO BCD ACD ∠∠∠∠=∴=，BD DE ∴=，设BD DE x ==，则42OE x =-DC DE OA OE ∴=即3442xx=-，解得 1.2x =， 242 1.6, 1.2 1.6 2.8OE x n OD DE OE ∴=+=∴==+=+=.16.答案：如图，设E 关于O 的对称点为M ，延长GC 与FA ，易知GC 、FA 的延长线相交于点M ，连接GF 并延长，交OE 于点H .易知//GF AC ，MAC MFG ∴∽， AC MA MOFG MF MH∴==， AC OE OE OEBD MH MO OH OE BF ∴===++， 21.62.1OE OE ∴=+， 32OE ∴=.答：楼的高度OE 为32 m. 17.答案：问题背景证明：ABC ADE ∽，AB ACAD AE∴=，BAC DAE ∠=∠， AB ADAC AE∴=，BAD CAE ∠=∠， ABD ACE ∴∽.尝试应用连接CE ，设BD t =，则AD =. 易得ADE ABC ∽，AB ACAD AE∴=， AB ADAC AE∴=. 又BAC DAE ∠=∠， BAD CAE ∴∠=∠， ACE ABD ∴∽，CE AC BD AB ∴=，CE ∴=，3ADCE∴==.ADE ABC ∠=∠，ABC ACE ∠=∠，30ACE ADE ∴∠=∠=.又AFD EFC ∠=∠， ADF ECF ∴∽，3DF ADCF CE∴==. 拓展创新 AD.解法提示：过点D 作AD 的垂线交AB 于点M ，连接CM . 易证ADB MDC ∽，AB ADCM MD∴==30DMC DAB ∠=∠=，CM ∴=，90AMC AMD DMC AMD DAB ∠=∠+∠=∠+∠=，AM ∴=，cos AD AM MAD ∴=⋅∠。

人教版九年级数学下《第二十七章相似》单元练习题（含答案）

第二十七章《相似》单元练习题一、选择题1.下列说法正确的是()A．分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形B．两位似图形的面积之比等于位似比C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比D．位似图形的周长之比等于位似比的平方2.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC 的面积比为()A． 1∶3B． 1∶4C． 1∶8D． 1∶93.△ABC的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF的最短边是9 cm，则其最长边的长是() A． 5 cmB． 10 cmC． 15 cmD． 30 cm4.若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，已知AB＝3 cm，BC＝5 cm，则矩形EFGH的周长是()A． 16 cmB． 12 cmC． 24 cmD． 36 cm5.如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于()A．B．C．D．6.如图，已知在正方形网格中的两个格点三角形是位似形，它们的位似中心是()A．点AB．点BC．点CD．点D7.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为()A． 1.25尺B． 57.5尺C． 6.25尺D． 56.5尺8.已知A、B两地的实际距离AB＝5 km，画在图上的距离A′B′＝2 cm，则图上的距离与实际距离的比是()A． 2∶5B． 1∶2 500C． 250 000∶1D． 1∶250 000二、填空题9.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝2 cm，则线段BC＝________ cm.10.已知：如图，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是__________图形，其中____________点是位似中心．11.已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′＝16∶9，若AB＝4，则A′B′＝__________.12.已知△ABC∽△DEF，＝，且AD为BC边上的中线，DG为EF边上的中线，则AD∶DG ＝__________.13.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝________.14.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝__________.15.若a∶b∶c＝1∶3∶2，且a＋b＋c＝24，则a＋b－c＝________.16.如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：______________(请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换)．三、解答题17.有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆AC、BD的长度分别为200厘米、300厘米，CD＝300厘米．现有一人站在斜杆AB下方的点E处，直立、单手上举时中指指尖(点F)到地面的高度为EF，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆AB上的点G处，此时，就将EG与EF的差值y(厘米)作为此人此次的弹跳成绩．(1)设CE＝x(厘米)，EF＝a(厘米)，求出由x和a表示y的计算公式；(2)现有一男生，站在某一位置尽力跳起时，刚好触到斜杆．已知该同学弹跳时站的位置为x＝150厘米，且a＝205厘米．若规定y≥50，弹跳成绩为优；40≤y＜50时，弹跳成绩为良；30≤y＜40时，弹跳成绩为及格，那么该生弹跳成绩处于什么水平？18.已知MN∥EF∥BC，点A、D为直线MN上的两动点，AD＝a，BC＝b，AE∶ED＝m∶n；(1)当点A、D重合，即a＝0时(如图1)，试求EF.(用含m，n，b的代数式表示)(2)请直接应用(1)的结论解决下面问题：当A、D不重合，即a≠0，①如图2这种情况时，试求EF.(用含a，b，m，n的代数式表示)图1图2图3②如图3这种情况时，试猜想EF与a、b之间有何种数量关系？并证明你的猜想．19.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m的空地，其他三侧内墙各保留1 m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2?解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2x m，根据题意，得x·2x＝288.解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12，所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m)答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2.我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？.结果为何正确呢？(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．20.如图⊙O的内接△ABC中，外角∠ACF的角平分线与⊙O相交于D点，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BF，垂足为H.问：(1)∠PDC与∠HDC是否相等，为什么？(2)图中有哪几组相等的线段？(3)当△ABC满足什么条件时，△CPD∽△CBA，为什么？21.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′的顶点都在格点上．(1)求证：△ABC∽A′B′C′；(2)A′B′C′与△ABC是位似图形吗？如果是，在图形上画出位似中心并求出位似比．第二十七章《相似》单元练习题答案解析1.【答案】C【解析】∵分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC 放大或缩小后的图形，∴A错误．∵位似图形是特殊的相似形，满足相似形的性质，∴B，D错误，正确的是C.故选C.2.【答案】D【解析】由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴＝＝，∴＝＝，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为1∶3，∴△A′B′C′与△ABC的面积的比1∶9，故选D.3.【答案】C【解析】∵△ABC和△DEF相似，∴△DEF的三边之比为3∶4∶5，∴△DEF的最短边和最长边的比为3∶5，设最长边为x，则3∶5＝9∶x，解得x＝15，∴△DEF的最长边为15 cm，故选C.4.【答案】C【解析】∵AB＝3 cm，BC＝5 cm，∴矩形ABCD的周长＝2×(3＋5)＝16 cm，∵矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2∶3，∴矩形EFGH的周长为24 cm，故选C.5.【答案】A【解析】假设△ABC∽△CAD，∴＝，即CD＝＝，∴要使△ABC∽△CAD，只要CD等于，故选A.6.【答案】A【解析】如图，位似中心为点A.故选A.7.【答案】B【解析】依题意有△ABF∽△ADE，∴AB∶AD＝BF∶DE，即5∶AD＝0.4∶5，解得AD＝62.5，BD＝AD－AB＝62.5－5＝57.5尺．故选B.8.【答案】D【解析】∵5千米＝500 000厘米，∴比例尺＝2∶500 000＝1∶250 000；故选D.9.【答案】6【解析】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴＝，即＝，∴BC＝6 cm.10.【答案】位似O【解析】∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴∠A′B′C′＝∠B，∠A′C′B′＝∠C，∴△A′B′C′∽△ABC，∵AA′的延长线交于BC于点D，∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，其中O点是位似中心．11.【答案】3【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B″C′＝16∶9，∴AB∶A′B′＝4∶3，∵AB＝4，∴A′B′＝3.12.【答案】【解析】∵△ABC∽△DEF，∴BC∶EF＝AD∶DG，∵＝，∴BC∶EF＝3∶2，∴AD∶DG＝3∶2.13.【答案】16【解析】由图形的变化规律可得×256＝，解得n＝16.14.【答案】【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝.故答案为.15.【答案】8【解析】∵a∶b∶c＝1∶3∶2，∴设a＝k，则b＝3k，c＝2k，又∵a＋b＋c＝24，∴k＋3k＋2k＝24，∴k＝4，∴a＋b－c＝k＋3k－2k＝2k＝2×4＝8.16.【答案】相似变换【解析】由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．17.【答案】解(1)过A作AM⊥BD于点M，交GE于N.∵AC⊥CD，GE⊥CD，∴四边形ACEN为矩形，∴NE＝AC，又∵AC＝200，EF＝a，FG＝y，∴GN＝GE－NE＝a＋y－200，∵DM＝AC＝200，∴BM＝BD－DM＝300－200＝100，又∵GN∥BD，∴△ANG∽△AMB，∴＝，即＝，∴y＝x－a＋200；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，y＝×150－205＋200＝45( cm)，y＝45＞40.故该生弹跳成绩处于良好水平．【解析】(1)利用相似三角形的判定与性质得出△ANG∽△AMB，进而得出＝，即可得出答案；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，直接代入(1)中所求得出即可．18.【答案】解(1)∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，又BC＝b，∴＝，∴EF＝；(2)①如图2，连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，∵EF＝EH＋HF，∴EF＝；②猜想：EF＝，证明：连接DE，并延长DE交BC于G，由已知，得BG＝，EF＝，∵GC＝BC－BG，∴EF＝(BC－BG)＝＝.【解析】(1)由EF∥BC，即可证得△AEF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得＝，根据比例变形，即可求得EF的值；(2)①连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，又由EF＝EH＋HF，即可求得EF的值；②连接DE，并延长DE交BC于G，根据平行线分线段成比例定理，即可求得BG的长，又由EF＝与GC＝BC－BG，即可求得EF的值．19.【答案】解(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m．”前补充以下过程：设温室的宽为x m，则长为2x m.则矩形蔬菜种植区域的宽为(x－1－1)m，长为(2x－3－1)m.∵＝＝2，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1；(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要＝，即＝，即＝，即2AB－2(b＋d)＝2AB－(a＋c)，∴a＋c＝2(b＋d)，即＝2.【解析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m，然后由题意得＝＝2，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1，再利用小明的解法求解即可；(2)由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得＝，即＝，然后利用比例的性质，即可求得答案．20.【答案】解(1)相等．理由如下：∵CD为∠ACF的角平分线(已知)，∴∠DCP＝∠DCH，DP⊥AC，DH⊥BF.∴∠DPC＝∠DHC＝90°.∴∠PDC＝∠HDC.(2)PC＝HC，DP＝DH，AP＝BH，AD＝BD.(3)∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.∵∠CPD＝90°，∴∠ABC＝90°.∵CD为∠ACF的角平分线，∠PCD＝∠DCF＝∠ACB，∴∠ACB＝60°.∴∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.【解析】(1)根据角平分线与垂线的性质证明角相等；(2)发现全等三角形，根据全等三角形的对应边相等证明出线段相等；(3)根据其中一个是直角三角形得到AC必须是直径．再根据另一对角对应相等，结合利用平角发现必须都是60°才可．21.【答案】(1)证明∵AB＝，BC＝，AC＝2，A′B′＝2，B′C′＝2，A′C′＝4，∴＝＝，∴△ABC∽A′B′C′；(2)解如图所示：两三角形对应点的连线相交于一点，故A′B′C′与△ABC是位似图形，O即为位似中心，位似比为2.【解析】(1)分别求出三角形各边长，进而得出答案；(2)利用位似图形的性质得出答案．。

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第27 章相似专项训练专训1 证比例式或等积式的技巧名师点金：证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．构造平行线法1．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E，交BC 的延长线于点F，求证：AE·CF＝BF·EC.( 第1 题)2．如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D，边BC 的延长线上有一点E，且AD ＝CE，DE 交AC 于点F，试证明：AB·DF＝BC·EF.( 第2 题)三点找三角形相似法3．如图，在?ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F.DC CF求证：＝.AE AD( 第3 题)4．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，M 为BC 的中点，DM⊥BC 交CA的延长线于D，交AB 于E.2求证：AM＝MD·ME.( 第4 题)构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB，AC 于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.( 第5 题)等比过渡法6．如图，在△ABC 中，AB＝AC，DE∥BC，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：(1) △DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.( 第6 题)7．如图，CE 是Rt △ABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP 于点G，交CE 于点D.2求证：CE＝DE·PE.( 第7 题)两次相似法8．如图，在Rt△ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC于E，交AD 于F.BF AB求证：＝.BE BC( 第8 题)9．如图，在?ABCD 中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：(1) △AMB∽△AND；AM MN(2) ＝.AB AC( 第9 题)等积代换法10．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于D，DE⊥AB 于E，DF⊥AC 于F.AE AC求证：＝.AF AB( 第10 题)等线段代换法11．如图，等腰△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点D，点P 是AD 上一点，CF ∥AB，延长BP 交AC 于点E，交CF 于点F，2求证：BP＝PE·PF.( 第11 题)12．已知：如图，AD 平分∠BAC，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.2求证：PD＝PB·PC.( 第12 题)专训2 巧用“基本图形”探索相似条件名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图：1. 平行线型．2．相交线型．3．子母型．4．旋转型．平行线型1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E，过点E 作ED∥BC 交AB 于点D.(1) 求证：AE·BC＝BD·AC；(2) 如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC 的长．( 第1 题)相交线型EO2．如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且BODO＝，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．CO( 第2 题)子母型3．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点D，E 为AC 的中点，ED AB DF的延长线交AB 的延长线于点 F. 求证：＝.AC AF( 第3 题)旋转型4．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.求证：(1) △ADE∽△ABC；AD BD(2) ＝.AE CE( 第4 题)专训3 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．证明两线段的数量关系类型1：证明两线段的相等关系1．如图，已知在△ABC 中，DE∥BC，BE 与CD 交于点O，直线AO 与BC 边交于点M，与DE 交于点N.求证：BM＝MC.( 第1 题)2．如图，一直线和△ABC 的边AB，AC 分别交于点D，E，和BC 的延长线交于点F，且AE CE＝BF CF.求证：AD＝DB.( 第2 题)类型2：证明两线段的倍分关系3．如图，在△ABC 中，BD⊥AC 于点D，CE⊥AB 于点E，∠A＝60°，求证：1DE2BC.＝( 第3 题)4．如图，AM 为△ABC 的角平分线，D 为AB 的中点，CE∥AB，CE 交DM 的延长线于E.求证：AC＝2CE.( 第4 题)证明两线段的位置关系类型1：证明两线段平行5．如图，已知点D 为等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上一点，连接CD，DE ⊥CD，DE＝CD，连接CE，AE.求证：AE∥BC.( 第5 题)6．在△ABC 中，D，E，F 分别为BC，AB，AC 上的点，EF∥BC，DF∥AB，连接CE 和AD，分别交DF，EF 于点N，M.(1) 如图①，若E 为AB 的中点，图中与MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论；(2) 如图②，若E 不为AB 的中点，写出与MN 平行的直线，并证明．( 第6 题)类型2：证明两线垂直2 27．如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC＝AB·AD，BC＝BA·BD，求证：CD⊥AB.( 第7 题)18．如图，已知矩形ABCD，AD＝3AB，点E，F 把AB 三等分，DF 交AC 于点G，求证：EG⊥DF.( 第8 题)专训4 相似三角形与函数的综合应用名师点金：解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点命题形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答．相似三角形与一次函数1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝－x＋3 与x 轴交于点C，与4 5直线AD 交于点A 3，3 ，点D 的坐标为(0 ，1) ．(1) 求直线AD 的解析式；(2) 直线AD 与x 轴交于点B，若点E 是直线AD 上一动点( 不与点B 重合) ，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．( 第1 题)相似三角形与二次函数2．如图，直线y＝－x＋3 交x 轴于点A，交y 轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx ＋c 经过A，B，C(1，0) 三点．(1) 求抛物线对应的函数解析式；(2) 若点D 的坐标为( －1，0) ，在直线y＝－x＋3 上有一点P，使△ABO 与△ADP 相似，求出点P 的坐标．( 第2 题)3．如图，直线y＝2x＋2 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C，过点B 的抛物线y＝－x2＋bx＋c 与直线BC 交于点D(3，－4) ．(1) 求直线BD 和抛物线对应的函数解析式；(2) 在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN 垂直于x 轴，垂足为点N，使得以M，O，N 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．( 第3 题)相似三角形与反比例函数4．如图，矩形OABC 的顶点A，C 分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为(2 ，k3) ，双曲线y＝x(x>0) 经过BC 的中点D，且与AB 交于点E，连接DE.(1) 求k 的值及点E 的坐标；(2) 若点F 是OC 边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB 对应的函数解析式．( 第4 题)专训5 全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3 个概念、2 个性质、1 个判定、2 个应用、1 个作图、1 个技巧．3 个概念概念1：成比例线段1．下列各组线段，是成比例线段的是( )A．3 cm，6 cm，7 cm，9 cmB．2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cmC．3 cm，9 cm，1.8 dm，6 cmD．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm2．有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m，在图纸上，这条边的长为5 cm，其他两条边的长都为 4 cm，则其他两边的实际长度都是________m.概念2：相似多边形3．如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD 是否相似，并说明理由．( 第3 题)概念3：位似图形4．如图，在△ABC 中，A，B 两个顶点在x 轴的上方，点 C 的坐标是( －1，0) ．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边放大到原来的2 倍，记所得的像是△A′B′C.设点B 的对应点B′的坐标是(a ，b)，求点B 的坐标．( 第4 题)2 个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5．如图，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6. 若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止，运动速度为每秒2 个单位长度．过点D 作DE∥BC 交AC 于点E，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y.(1) 求出y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(2) 当x 为何值时，△BDE 的面积有最大值，最大值为多少？( 第5 题)性质2：相似三角形的性质6．如图，已知D 是BC 边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE 与BA 相交于点E，EC 与AD 相交于点F.(1) 求证：△ABC∽△FCD；(2) 若S△FCD＝5，BC＝10，求DE 的长．( 第6 题)1 个判定——相似三角形的判定7．如图，△ACB 为等腰直角三角形，点 D 为斜边AB 上一点，连接CD，DE ⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C 作CO⊥AB 于O.求证：△ACE∽△OCD.( 第7 题)8. 如图，在⊙O 的内接△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D，垂足为点 E. 设P 是上异于点A，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F，连接PC 与PD，PD 交AB 于点G.(1) 求证：△PAC∽△PDF；(2) 若AB＝5，＝，求PD 的长．( 第8 题)2 个应用应用1：测高的应用9．如图，在离某建筑物CE 4 m 处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m 的竹竿FG 垂直地面放置，影子GH 长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD 高为 2 m，那么这棵树的高度是多少？( 第9 题)应用2：测宽的应用10．如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔 6 m 有一棵树，在河的对岸每隔60 m 有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m 处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．( 第10 题)1 个作图——作一个图形的位似图形11．如图，在方格纸中( 每个小方格的边长都是1 个单位长度) 有一点O 和△ABC.请以点O 为位似中心，把△ABC 缩小为原来的一半( 不改变方向) ，画出△ABC 的位似图形．( 第11 题)1 个技巧——证明四条线段成比例的技巧12．如图，已知△ABC，∠BAC 的平分线与∠DAC 的平分线分别交BC 及BC 的延长线于点P，Q.(1) 求∠PAQ 的度数；2(2) 若点M 为PQ 的中点，求证：PM＝CM·BM.( 第12 题)答案专训1( 第1 题)1．证明：如图，过点C 作CM∥AB 交DF 于点M.∵CM∥AB，∴△CMF∽△BDF.BF BD∴＝.CF CMAE AD又∵CM∥AD，∴△ADE∽△CME∴. ＝. ∵D 为AB 的中点，EC CMBD AD BF AE∴＝. ∴＝，即AE·CF＝BF·EC.CM CM CF EC2．证明：过点D 作DG∥BC，交AC 于点G，∴△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.EF CE AB AD∴＝，＝.DF DG BC DGCE AD AB EF∵AD＝CE，∴＝. ∴＝，DG DG BC DF即AB·DF＝BC·EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形．∴AE∥DC，∠A＝∠C.∴∠CDF＝∠E，DC CF∴△DAE∽△FCD，∴＝.AE AD4．证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.又∵M 为BC 的中点，∠BAC＝90°，∴BM＝AM.∴∠B＝∠BAM∴∠. BAM＝∠D.又∵∠AME＝∠DMA∴△. AME∽△DMA.AM ME2∴＝. ∴AM＝MD·ME.MD AM( 第5 题)5．证明：如图，连接PM，PN.∵MN 是AP 的垂直平分线，∴MA＝MP，NA＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC 是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°.∴∠5＝∠7. ∴△BPM∽△CNP.BP BMBP·CP＝BM·CN.∴＝，即CN CP6．证明：(1) ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠BDE＝180°，∠ACB＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠BDE.又∵∠EDF＝∠ABE，∴△DEF ∽△BDE.DE EF 2(2) 由△DEF∽△BDE 得＝，∴DE＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠BD DEDG DE 2 BED＝∠DFE.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.∴＝，∴DE＝DG·DF，∴DE DFDG·DF＝DB·EF.7．证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，∴∠AEP＝∠BED＝∠AGB＝90°.∴∠P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠ABG＝90°.∴∠P＝∠ABG∴△. AEP∽△DEB.AE·BE＝PE·DE.AE PE∴＝，即DE BE又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝∠BEC＝90°，∴∠CAB＋∠ACE＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBE＝90°.∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.AE CE 2 2∴＝，即CE＝AE·BE.∴CE＝DE·PE.CE BE8．证明：易得∠BAC＝∠BDF＝90°.∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBF，BD BF ∴△BDF∽△BAE，得＝.AB BE∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA.AB BD BF AB∴△ABC∽△DBA，得＝，∴＝.BC AB BE BC9．证明：(1) ∵四边形ABCD 为平行四边形．∴∠B＝∠D.∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB＝∠AND＝90°，∴△AMB∽△AND.AM AB(2) 由△AMB∽△AND 得＝，∠BAM＝∠DAN.AN ADAM AB又AD＝BC，∴＝.AN BC∵AM⊥BC，AD∥BC，∴∠AMB＝∠MAD＝90°.∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°，∴∠B＝∠MAN.AM MN ∴△AMN∽△BAC，∴＝.AB AC10．证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠ADB＝∠AED＝90°.2 又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ADE∽△ABD，得AD＝AE·AB，同理可得2 AD＝AE ACAF·AC，∴AE·AB＝AF·AC，∴AF＝AB.11．证明：连接PC，如图．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD 垂直平分BC，∠ABC ＝∠ACB，∴BP＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4. ∵CF∥AB，∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠F. 又∵∠CPF＝∠CPE，∴△CPF∽△EPC，∴CP PF 2 2＝，即CP＝PF·PE.∵BP＝CP，∴BP＝PE·PF.PE CP( 第11 题)( 第12 题)12．证明：如图，连接PA，则PA＝PD，∴∠PDA＝∠PAD.∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.又∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC∴∠. B＝∠CAP.PA PC又∵∠APC＝∠BPA，∴△PAC∽△PBA，∴＝，PB PA2 2即PA＝PB·PC，∴PD＝PB·PC.专训2AE DE1．(1) 证明：∵ED∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴＝.AC BC∵BE 平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC.∵ED∥BC，∴∠DEB＝∠EBC.AE BD∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝BD.∴＝，AC BC即AE·BC＝BD·AC.(2) 解：设h△ADE 表示△ADE 中DE 边上的高，h△BDE 表示△BDE 中DE 边上的高，h△ABC 表示△ABC 中BC 边上的高．S△ADE h△ADE 3∵S△ADE＝3，S△BDE＝2，∴＝＝.S△BDE h△BDE 2h△ADE 3∴＝.h△ABC 5DE h△ADE 3∵△ADE∽△ABC，∴＝＝.BC h△ABC 5∵DE＝6，∴BC＝10.EO DO2．解：相似．理由如下：因为＝，∠BOE＝∠COD，∠DOE＝∠COB，所BO CO以△BOE∽△COD，△DOE∽△COB 所.以∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO因.为∠ADE ＝∠DCO＋∠DEO，∠ABC＝∠EBO＋∠CBO 所.以∠ADE＝∠ABC.又因为∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC.3．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点D，∴∠BAC＝∠ADB＝90°.又∵∠CBA＝∠ABD(公共角) ，AB DB∴△ABC∽△DBA.∴＝，∠BAD＝∠C.AC DA∵AD⊥BC 于点D，E 为AC 的中点，∴DE＝EC.∴∠BDF＝∠CDE＝∠C.∴∠BDF＝∠BAD.又∵∠F＝∠F，DB DF ABDF ∴△DBF∽△ADF.∴＝. ∴＝.AD AF AC AF( 第3 题)点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点D，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，求证：AE·AB＝AF·AC.可由两组“射影图”2 2得AE·AB＝AD，AF·AC＝AD，∴AE·AB＝AF·AC.4．证明：(1) ∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAE＝∠BAC.又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC.AD AB(2) ∵△ADE∽△ABC，∴＝.AE ACAD BD∵∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC.∴＝.AE CE专训3NE ON1．证明：∵DE∥BC.∴△NEO∽△MBO∴. ＝.MB OMDN ON DN NE DN MC同理可得＝. ∴＝. ∴＝.MC OM MC BM NE BMAN NE∵DE∥BC，∴△ANE∽△AMC∴. ＝.AM MCAN DN DN NE DN BM同理可得＝，∴＝. ∴＝.AM BM BM MC NE MCMC BM 22∴＝. ∴MC＝BM. ∴BM＝MC.BM MC( 第2 题)2．证明：如图，过C 作CG∥AB 交DF 于G 点．AD AE BD BF∵CG∥AB，∴＝，＝，CG CE CG CFAE BF AD BD ∵＝，∴＝，CE CF CG CG∴AD＝BD.AD 3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，∠ABD＝∠ACE＝30°，∴AB＝1 AE 1 AD AE DE AD 1 1 ，＝，∴＝. 又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴DE＝2 AC 2 AB AC BC AB 2 2 BC.4．证明：如图，延长CE，交AM 的延长线于 F. ∵AB∥CF，∴∠BAM＝∠F，BD BM BA BM BD BA△BDM∽△CEM，△BAM∽△CFM，∴＝，＝，∴＝. 又∵BA＝2BD，CE MC CF MC CE CF∴CF＝2CE.又AM 平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM，∴∠CAM＝∠F，∴AC＝CF，∴AC＝2CE.( 第4 题)( 第5 题)5．证明：如图，过点C 作CO⊥AB 于点O.∵DE＝CD，DE⊥CD，∴∠ECD＝∠CED＝45°. ∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠B＝45°.AC EC∴∠CAB＝∠CED 又.∵∠AOC＝∠EDC＝90°，∴△ACO∽△ECD.∴＝.CO CD又∵∠ACE＋∠ECO＝∠OCD＋∠ECO＝45°，∴∠ACE＝∠OCD∴△.ACE∽△OCD∴∠. CAE＝∠COD＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠ACB＝180°. ∴AE∥BC.6．解：(1)MN∥AC∥ED.证明如下：∵EF∥BC，∴△AEM∽△ABD，△AMF∽EM AM MF△ADC，∴＝＝. ∵E 为AB 的中点，EF∥BC，∴F 为AC 的中点．又∵DF∥BD AD DCAB，∴D 为BC 的中点，∴EM＝MF.∵F 为AC 的中点，FN∥AE，∴N 为EC 的中点，从而MN∥AC.又∵D 为BC 的中点，E 为AB 的中点，∴ED∥AC，∴MN∥AC∥ED.EM(2)MN∥AC.证明如下：∵EF∥BC，∴△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC，∴BDAM MF EM BD BD EN EM EN EM EN ＝＝，∴＝. 又∵DF∥AB，∴＝，∴＝，∴＝. 又∵∠MEN AD DC MF DC DC NC MF NC EF EC ＝∠FEC，∴△MEN∽△FEC.∴∠EMN＝∠EFC.∴MN∥AC.2 AC AB7．证明：∵AC＝AB·AD，∴＝. 又∵∠A＝∠A，AD AC∴△ACD∽△ABC.∴∠ADC＝∠ACB.2 BC BA又∵BC＝BA·BD，∴＝. 又∵∠B＝∠B，BD BC∴△BCD∽△BAC.∴∠BDC＝∠BCA.∴∠ADC＝∠BDC.∵∠BDC＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.∴CD⊥AB.18．证明：∵AD＝3AB，点E，F 把AB 三等分，∴设AE＝EF＝FB＝AD＝k，则AB＝CD＝3k.∵CD∥AB，∴∠DCG＝∠FAG，∠CDG＝∠AFG.FG AF 2∴△AFG∽△CDG，∴＝＝.DG CD 3设FG＝2m，则DG＝3m，∴DF＝FG＋DG＝2m＋3m＝5m.Rt△中，2＝2＋2＝2，∴＝在AFD DF AD AF 5k DF 5k.5 2∴5m＝5k. ∴m＝5 k. ∴FG＝5 5k.AF 2k DF 5k AF DF∴＝＝5，＝＝ 5. ∴＝.FG 2 EF k FG EF5 5k又∠AFD＝∠GFE，∴△AFD∽△GFE.∴∠EGF＝∠DAF＝90°. ∴EG⊥DF.专训41．解：(1) 设直线AD 的解析式为y＝kx ＋b(k ≠0)4 5将D(0，1) A 3，3 代入解析式得：b＝1 b＝15 4 解得 13＝3k＋b k＝21∴直线AD 的解析式为y＝2x＋1.(2) 直线AD 的解析式为y＝12x＋1. 令y＝0，得x＝－2. 得B(－2，0) ，即OB＝2.直线AC 为y＝－x＋3.令y＝0，得∴x＝3. 得C(3，0) ，即BC＝51设E x，2x＋1①当E1C⊥BC 时，如图，∠BOD＝∠BCE1＝90°，∠DBO＝∠E1 BC.∴△BOD∽△BCE1.此时点C 和点E1 的横坐标相同．1 5将x＝3 代入y＝2x＋1，解得y＝2.5∴E1 3，2 .②当CE2⊥AD 时，如图，∠BOD＝∠BE2C＝90°，∠DBO＝∠CBE2，∴△BOD∽△BE2C.过点E2 作EF⊥x 轴于点F，则∠E2FC＝∠BFE2＝90°.又∵∠E2BF＋∠BE2F＝90°，∠CE2F＋∠BE2 F＝90°.∴∠E2BF＝∠CE2F.E2F CF∴△E2BF∽△CE2F ，则BF＝E2F.2 1 2即E2 F＝CF·BF. 2x＋1 ＝(3 －x)(x ＋2)解得：x1＝2，x2＝－2( 舍去)∴E2(2 ，2)当∠EBC＝90°时，此情况不存在．5综上所述：E1 3，2 或E2 (2 ，2) ．( 第1 题)( 第2 题)2．解：(1) 由题意得A(3，0) ，B(0，3) ，∵抛物线经过A，B，C 三点，∴把A(3，0) ，B(0，3) ，C(1，0) 三点的坐标分别代入y＝ax2 ＋bx＋c，得方程组9a＋3b＋c＝0，a＝1，c＝3，解得b＝－4，∴抛物线对应的函数解析式为y＝x2－4x＋3. a＋b＋c＝0，c＝3，(2) 如图，由题意可得△ABO 为等腰直角三角形．若△ABO∽△AP1 D，则＝AO ADOB，∴DP1＝AD＝4，∴P1( －1，4) ；若△ABO∽△ADP2，过点P2 作P2M⊥x 轴于M，DP1∵△ABO 为等腰直角三角形，∴△ADP2 是等腰直角三角形，由三线合一可得DM＝AM＝2＝P2M，即点M 与点C 重合，∴P2(1 ，2) ，∴点P 的坐标为( －1，4) 或(1 ，2) ．3．解：(1) 易得A( －1，0) ，B(0，2) ，C(1，0) ．设直线BD 对应的函数解析式为y＝kx＋m.把B(0，2) ，C(1，0) 的坐标分别代入y＝kx＋m，得m＝2，k＋m＝0，解得k＝－2，m＝2.∴直线BD 对应的函数解析式为y＝－2x＋2.2∴把B(0，2) ，D(3，－4) 的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，c＝2，b＝1，得解得－9＋3b＋c＝－4，c＝2.2ON MN ON MN(2) 存在，①如图①，当△MON∽△BCO 时，＝，即＝，∴MN＝2ON. COBO 1 2设ON＝a，则M(a，2a) ，∴－a2＋a＋2＝2a，解得a1 ＝－2( 不合题意，舍去) ，ON MN ON MNa2＝1，∴M(1，2) ；②如图②，当△MON∽△CBO 时，＝，即＝，∴MNBO CO 2 11 12 n 1－33＝2ON.设ON＝n，则Mn，2n，∴－n＋n＋2＝2，解得n1＝ 4 ( 不合题意，33 1＋33舍去) ，n2 ＝1＋，∴M( 1＋33，) ．∴存在这样的点M(1，2) 或4 4 81＋33 1＋33，.4 8( 第3 题)4．解：(1) 在矩形OABC 中，∵点B 的坐标为(2 ，3) ，∴BC 边的中点D 的坐k k 3标为(1 ，3) ．∵双曲线y＝x 经过点D(1，3) ，∴3＝1，∴k＝3，∴y＝x. ∵点E3在AB 上，∴点E 的横坐标为 2. 又∵双曲线y＝x 经过点E，∴点E 的纵坐标为y3 3＝2，∴点E 的坐标为2，2 .33 BD BE 1 2(2) 易得BD＝1，BE＝，CB＝2. ∵△FBC∽△DEB，∴＝，即＝，∴2 CF CB CF 24 5 5CF＝3，∴OF＝3，即点F 的坐标为0，3 . 设直线FB 对应的函数解析式为y＝k1x2，＝5，∴直线＋，而直线经过0，5 ，∴1＝对应的函数b FB B(2，3)，F 3 k 3 b 3 FB2 5解析式为y＝3x＋3.专训51．C2．203．解：四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似．由已知条件知，∠DAB＝AB∠D′A′B′，∠B＝∠B′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠D＝∠D′，且A′B′＝BC CDDA 5B′C′＝C′D′＝D′A′＝6，所以四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似．4．解：如图，过点B 作BM⊥x 轴于点M，过点B′作B′N⊥x 轴于点N，则△CBM∽△CB′N.所以MC NC＝BM B′N＝BC B′C.又由已知条件知NC＝a＋1，B′N＝－b，BC B′C＝1 2，所以MC (a ＋1) ＝BM ( －b) ＝1 2.1 b 1 a＋3所以MC＝2(a ＋1) ，BM＝－2.所以MO＝2(a ＋1) ＋1＝2 . 所以点B 的坐标为a＋3 b－ 2 ，－2 .( 第4 题)AD AE 8－2x y 3 5．解：(1) ∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴y＝－x＋6(0 ≤x≤4) ．AB AC 8 6 21 1 3 32 ∵△BDE＝··＝··6－x ＝时，△(2) S 2 2x y 2 2x 2 ＝－2(x －2) ＋6，∴当x 2 S BDE 有最大值，最大值为 6.6．(1) 证明：如图，∵D 是BC 边上的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC，∴∠B＝∠1.又∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠2，∴△ABC∽△FCD.(2) 解：如图，过点A 作AM⊥CB 于点M. ∵D 是BC 边上的中点，∴BC＝2CD.S△ABC BC 2 4由(1) 知△ABC∽△FCD，∴＝＝.S△FCD CD 1又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20.△ABC 1 2S 2×20△ABC∵S ＝2BC·AM，∴AM＝BC ＝10 ＝4.∵DE⊥BC，AM⊥BC，∴DE∥AM，DE BD∴△BDE∽△BMA∴. ＝.AM BM1 1 5由AD＝AC，AM⊥BC，知DM＝2CD＝4BC＝2.DE 5 8∴4 ＝5，∴DE＝3.5＋2点拨：从复杂的图形中分析线段的特点和联系，找到切入点是解较复杂问题的关键．( 第6 题)7．证明：∵△ACB 为等腰直角三角形，AB 为斜边，∴∠CAB＝45°.∵CO⊥AB.∴∠AOC＝90°.又∵DE⊥CD，DE＝CD，∴∠CED＝45°，∠CDE＝90°.∴∠CAO＝∠CED，∠AOC＝∠EDC.AC CE∴△ACO∽△ECD.∴∠ACO＝∠ECD，＝.CO CD∴∠ACE＝∠OCD∴△. ACE∽△OCD.8．(1) 证明：由四边形APCB 内接于圆O，得∠FPC＝∠B.又∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，所以∠APD＝∠FPC，所以∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.又∠PAC＝∠PDC，所以△PAC∽△PDF.(2) 解：由(1) 知△PAC∽△PDF，所以∠PCA＝∠PFD. 又∠PAC＝∠CAF，所以△PAC∽△CAF，所以△CAF∽△PDF，PD DF所以＝，则PD·AF＝AC·DF.AC AF由AB＝5，AC＝2BC，∠ACB＝90°，知BC＝5，AC＝2 5.2由OE⊥CD，∠ACB＝90°知CB＝BE·AB，CE＝DE.2CB 5所以BE＝AB＝5＝1.2 2所以AE＝4，CE＝CB－BE＝5－1＝2，所以DE＝2.又＝，∠AFD＝∠PCA，所以∠AFD＝∠PCA＝45°.所以FE＝AE＝4，AF＝42，AC·DF 2 5×（4＋2） 3 10＝所以PD＝AF 4 2 ＝2 .9．解：( 方法一：作延长线) 延长AD，与地面交于点M，如图①.( 第9 题)由AM∥FH 知∠AMB＝∠FHG.又因为AB⊥BG，FG⊥BG，DC⊥BG，AB CD FG所以△ABM∽△DCM∽△FGH，所以＝＝.BM CM GHm m m因为CD＝2 ，FG＝1.2 ，GH＝2 ，2 1.2 ，解得＝10 m所以＝CM .CM 2 3因为＝m，所以＝＋＝＋10 22 m ．BC 4 BM BC CM 4 3 ＝3 ( )AB 1.2 m所以22＝2，解得AB＝4.4 .3故这棵树的高度是 4.4 m.( 方法二：作垂线) 过点D 作DM⊥AB 于点M，如图②.AM FG所以＝.DM GH而DM＝BC＝4 m，AM＝AB－CD＝AB－2( m) ，FG＝1.2 m，GH＝2 m，AB－2 1.2所以 4 ＝2 ，解得AB＝4.4 m.故这棵树的高度是 4.4 m.10．解：如图，过点 A 作AF⊥DE，垂足为F，并延长交BC 于点G.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.AF DE 30 24∵AF⊥DE，DE∥BC，∴AG⊥BC，∴＝，∴＝.AG BC AG 60解得AG＝75，∴FG＝AG－AF＝75－30＝45，即河的宽度为45 m.( 第10 题)( 第11 题)11．思路导引：本题位似中心为O，先连接CO，因为要把原三角形缩小为1原来的一半，可确定C′O＝2CO，由其确定出C′的位置，再根据同样的方法确定出另外两个点．解：画出图形，如图中的△A′B′C′即为所求作的图形．点拨：抓住位似图形的性质，根据位似中心与三角形对应点的关系及位似比的大小确定所画位似图形的对应点，再画出图形．12．思路导引：(1) 由角平分线的定义及∠BAD 为平角直接可得．(2) 由于线段PM，CM，BM 在同一条直线上，所以必须把某条线段转化为另一相等的线段，构造相似三角形，因此可证PM＝AM，从而证明△ACM 与△ABM 相似即可．1(1)解：∵AP平分∠BAC，∴∠PAC＝2∠BAC.1又∵AQ平分∠CAD，∴∠CAQ＝2∠CAD.1 1 1∴∠PAC＋∠CAQ＝2∠BAC＋2∠CAD＝2( ∠BAC＋∠CAD)．又∵∠BAC＋∠CAD＝180°，∴∠PAC＋∠CAQ＝90°，即∠PAQ＝90°.(2) 证明：由(1) 知∠PAQ＝90°，又∵M 是线段PQ 的中点，∴PM＝AM，∴∠APM＝∠PAM.∵∠APM＝∠B＋∠BAP，∠PAM＝∠CAM＋∠PAC，∠BAP＝∠PAC，∴∠B＝∠CAM.又∵∠AMC＝∠BMA，∴△ACM∽△BAM.CM AM 2 2∴＝，∴AM＝CM·BM，即PM＝CM·BM.点拨：本题运用了转化思想，在证明等积式时，常把它转化成比例式，寻找相似三角形进行求解．。

人教版九年级下册数学《第27章相似》单元测试含答案试卷分析解析

第27章相似一、选择题1.如果a=3，b=2，且b是a和c的比例中项，那么c=（）A. B. C. D.2.已知△ABC∽△DEF，面积比为9：4，则△ABC与△DEF的对应边之比为（）A. 3：4B. 2：3C. 9：16D. 3：23.已知△ABC∽△A′B′C′，sinA=m，sinA′=n，则m和n的大小关系为（）A. m＜nB. m＞nC. m=nD. 无法确定4.已知△ABC∽△DEF，且相似比为2：3，则△ABC与△DEF的对应高之比为（）A. 2：3B. 3：2C. 4：9D. 9：45.三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示。

若OA=20cm，OA′=50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（）A. 5：2B. 2：5C. 4：25D. 25：46.如图，△ADE∽△ABC，若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的相似比是（）．A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 3：27.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A. B. C. D.8.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（）A. B. C. D.9.如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N，设△BPQ, △DKM, △CNH 的面积依次为S1，S2，S3。

若S1+ S3=20，则S2的值为( )A. 8B. 10C. 12D.10.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，CD=6，BD=4，则AB的长为（）A. 10B. 11C. 12D. 1311.如图，∠1=∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（）A. ∠D=∠BB. ∠E=∠CC.D.12.如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则球拍击球的高度h为（）A. 0.6mB. 1.2mC. 1.3mD. 1.4m二、填空题13.在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是________ ．14.已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为________ cm．15. 已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是 ________．16.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB=2，BC=4，BD=1.5，则线段BE的长为________ ．17.如图，在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=18，D为AC上一点，DC=AC．在AB上取一点E得△ADE．若图中两个三角形相似，则DE的长是________ ．18.在比例尺为1：6000的地图上，图上尺寸为1cm×2cm的矩形操场，实际尺寸为________．19.已知△ABC中的三边a=2，b=4，c=3，h a，h b，h c分别为a，b，c上的高，则h a：h b：h c=________．20.有一张矩形风景画，长为90cm，宽为60cm，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同，且面积比原风景画的面积大44%．若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为acm，左、右边衬的宽都为bcm，那么ab=________ cm221.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=6，则AE=________．22. 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．如图，线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3），…，依此类推，则AP n的长度是________．三、解答题（共3题；共15分）23.如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G（1）求证：△AMF∽△BGM；（2）连接FG，如果α=45°，AB=4，BG=3，求FG的长．24.如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影子长BC=20米，斜坡坡面上的影子CD=8米，太阳光AD与水平地面BC成30°角，斜坡CD与水平地面BC成45°的角，求旗杆AB的高度．（=1.732，=1.414，=2.449，精确到1米）．25.又到了一年中的春游季节．某班学生利用周末去参观“三军会师纪念塔”．下面是两位同学的一段对话：甲：我站在此处看塔顶仰角为60°；乙：我站在此处看塔顶仰角为30°；甲：我们的身高都是1.6m；乙：我们相距36m．请你根据两位同学的对话，计算纪念塔的高度．（精确到1米）26. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．27. 如图①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B﹣A ﹣C运动到点C时停止运动．设点P出发x s时，△PBC的面积为y cm2．已知y与x的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题：（1）试判断△DOE的形状，并说明理由；（2）当a为何值时，△DOE与△ABC相似？参考答案一、选择题C D C A B B B D A D D D二、填空题13.1：314.415.（﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3）16.317.6或818.60m×120m19.6：3：420.5421.222.三、解答题23.证明：（1）∵∠DME=∠A=∠B=α，∴∠AMF+∠BMG=180°﹣α，∵∠A+∠AMF+∠AFM=180°，∴∠AMF+∠AFM=180°﹣α，∴∠AFM=∠BMG，∴△AMF∽△BGM；（2）解：当α=45°时，可得AC⊥BC且AC=BC，∵M为AB的中点，∴AM=BM=2，∵△AMF∽△BGM，∴，∴AF===，AC=BC=4•cos45°=4，∴CF=AC﹣AF=4﹣=，CG=BC﹣BG=4﹣3=1，∴FG== =．24.解：延长AD交BC于E点，则∠AEB=30°，作DQ⊥BC于Q，在Rt△DCQ中，∠DCQ=45°，DC=8，∴DQ=QC=8sin45°=8×=4，在Rt△DQE中，QE=≈9.8（米）∴BE=BC+CQ+QE≈35.5（米）在Rt△ABE中，AB=BEtan30°≈20（米）答：旗杆的高度约为20米．25.解：如图，CD=EF=BH=1.6m，CE=DF=36m，∠ADH=30°，∠AFH=30°，在Rt△AHF中，∵tan∠AFH=，∴FH=，在Rt△ADH中，∵tan∠ADH=，∴DH=，而DH﹣FH=DF，∴﹣=36，即﹣=36，∴AH=18，∴AB=AH+BH=18+1.6≈33（m）．答：纪念塔的高度约为33m．26.（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，∵，∴△ADF∽△ACG．（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴，又∵，∴，∴=1．27.（1）解：△DOE是等腰三角形．理由如下：过点A作AM⊥BC于M，∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，∴AM= × = a，AC=AB= a，∴S△ABC= BC•AM= a2，∴P在边AB上时，y= •S△ABC= ax，P在边AC上时，y= •S△ABC= a2﹣ax，作DF⊥OE于F，∵AB=AC，点P以1cm/s的速度运动，∴点P在边AB和AC上的运动时间相同，∴点F是OE的中点，∴DF是OE的垂直平分线，∴DO=DE，∴△DOE是等腰三角形（2）解：由题意得：∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，∴AM= × = a，∴AB= a，∴D（a，a2），∵DO=DE，AB=AC，∴当且仅当∠DOE=∠ABC时，△DOE∽△ABC，在Rt△DOF中，tan∠DOF= = = a，由a=tan30°= ，得a= ，∴当a= 时，△DOE∽△ABC．第11页共11页。

人教版九年级数学下册《第二十七章相似》章节检测卷-带答案

人教版九年级数学下册《第二十七章相似》章节检测卷-带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________(满分120分,时间120分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.方框中的两个图形不是位似图形的是( )2.若两个相似三角形周长的比为9：25，则它们的面积比为( )A.3:5B.9:25C.81:625D.以上都不对3.如图,△ABC中,E是BC 中点,AD 是∠BAC的平分线,EF∥AD交AC于F.若AB=11,AC=15,则 FC的长为( )A.11B.12C.13D.144.如图,在△ABC中,高BD,CE 交于点O,下列结论错误的是( )A. CO·CE=CD·CAB. OE·OC=OD·OBC. AD·AC=AE·ABD. CO·DO=BO·EO5.如图,DE∥FG∥BC,若DB=4FB,则EG与GC的关系是( )A. EG=4GCB. EG=3GCGC D. EG=2GCC.EG=526.如图，在长为8cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )A.2 cm²B.4 cm²C.8cm²D.16 cm²7.某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示)，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( )A.(-2a,-b)B.(-a,-2b)C.(-2b,-2a)D.(-2a,-2b)8.如图,点A,B,C,D的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E为顶点的三角形与△ABC 相似,则点 E 的坐标不可能是( )A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)9.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3.若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点 A恰好落在BC 边上的A₁处，则点 C的对应点C₁的坐标为( )A.(−95,125)B.(−125,95)C.(−165,125)D.(−125,165)10.如图,已知AB,CD,EF都与BD 垂直,垂足分别是B,D,F,且AB=1,CD=3,那么 EF 的长是 ( )A.13B.23C.34D.45二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分.本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程)11.已知c4=b5=a6≠0,则b+ca的值为 .12.如图,在△ABC中,MN∥BC,分别交 AB,AC 于点M,N,若AM=1,MB=2,BC=3,,则 MN的长为13.如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点AC=3AD,AB=3AE,,点 F 为 BC 边上一.点，添加一个条件：，可以使得△FDB 与△ADE 相似.(只需写出一个)14.已知a6=b5=c4,且a+b-2c=6,则a的值为 .15.如图,△ABC中,AB=6,DE∥AC,将△BDE 绕点B 顺时针旋转得到△BD′E′,，点D的对应点落在边BC上，已知BE′=5,D′C=4,则BC的长为 .16.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(4,0)和点 B(0,3),点C是AB 的中点,点 P在折线AOB 上,用直线CP 截△AOB 所得的三角形与△AOB 相似,则点 P 的坐标是 .17.如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,CM是∠BCD的平分线,且(CM⊥AB,M 为垂足AM=13AB.若四边形 ABCD的面积为157，则四边形AMCD的面积是 .18.如图,CE 是▱ABCD 的边AB 的垂直平分线,垂足为点 O,CE 与DA 的延长线交于点 E.连接AC,BE,DO,DO与AC 交于点F,则下列结论:①四边形 ACBE 是菱形;②∠ACD=∠BAE;③AF:BE=2:3;④S四边形AFOE :S△CD=2:3.其中正确的结论有 .(填写所有正确结论的序号)三、解答题(本大题共6小题，满分58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(6分)小颖用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离.EA=21m,当与镜子的距离CE=2.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端 B.已知她的眼睛距地面的高度DC=1.6m,，请你帮助小颖计算出教学大楼的高度AB是多少米?(注：根据光的反射定律，有反射角等于入射角)20.(8分)已知a+bc =a+cb=b+ca=k,求k的值.21.(10分)某社区拟筹资金2 000元，计划在一块上、下底长分别是10m，20m的梯形空地上种植花草，如图，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为 10元/m²的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用?并说明理由.22.(10分)如图,△ABC与△DEF均为等边三角形,O为BC,EF的中点,求AD的值.BE23.(12 分)如图,在四边形 ABCD 中,AB=AC=AD,AC 平分∠BAD,点 P 是AC 延长线上一点,且PD⊥AD.(1)求证:∠BDC=∠PDC;(2)若AC与BD 相交于点E,AB=1,CE:CP=2:3,求AE的长.24.(12 分)如图,在四边形 ABCD 中,AC 平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E 为AB的中点.(1)求证:AC²=AB⋅AD;B(2)求证:CE∥AD;(3)若AD=4,AB=6,求AC的值.AF参考答案1. D2. C3. C4. D5. B6. C7. D8. B9. A10. C12.111.3213.∠A=∠BFD(答案不唯一)14.1215.2+√3416.(2,0)或 (0,32)或 (78,0)17.1 18.①②④19.解:根据光的反射定律,有∠1=∠2 所以∠BEA=∠DEC.又∠A=∠C=90°,所以△BAE∽△DCE.所以 BA DC =AECE所以 BA =AECE⋅DC =212.5×1.6=13.44(m ). 答:教学大楼的高为13.44 m.20.解:当a+b+c≠0时,由a+b c=a+c b=b+c a=k得a+b=ck,a+c=bk,b+c=ak 即2(a+b+c)=(a+b+c)k,此时k=2;当a+b+c=0时,有a+b=--c则a+b c=−c c=−1此时k=--1.综上可知，k的值是2或-1.21.解:不够用.理由:在梯形ABCD中因为AD∥BC,所以△AMD∽△CMB.因为AD=10m,BC=20m所以S A对DS BMC =(1020)2=14.因为S AMD=500÷10=50(m2),所以S BC=200m2.还需要资金200×10=2000(元),而剩余资金为2 000-500=1500(元),1500<2000,所以资金不够用.22.解:如图,连接OA,OD∵△ABC 与△DEF 均为等边三角形,O为 BC,EF 的中点∴AO⊥BC,DO⊥EF,∠EDO=30°,∠BAO=30°∴OD:OE=OA:OB=√3:1.∵∠DOE+∠EOA=∠BOA+∠EOA,即∠DOA=∠EOB,∴△DOA∽△EOB∴OD:OE=OA:OB=AD:BE=√3: 1.∴ADBE 的值为√3.23.(1)证明:∵AB=AD,AC平分∠BAD ∴AC⊥BD,∴∠ACD+∠BDC=90°.∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC.∵PD⊥AD,∴∠ADC+∠PDC=90°∴∠BDC=∠PDC.(2)解:如图,过点C作CM⊥PD于点M.∵∠BDC=∠PDC,∴CE=CM.∵∠CMP=∠ADP=90°,∠P=∠P∴CPMAPD,∴CMAD =PCPA.设CM=CE=x∵CE:CP=2:3,∴PC=32x.∵AB=AD=AC=1∴x1=32x32x+1,解得x=13∴AE=1−13=23.24.(1)证明:∵AC平分∠DAB ∴∠DAC=∠CAB.又∵∠ADC=∠ACB=90°∴△ADC∽△ACB.∴ADAC =ACAB,∴AC2=AB⋅AD.(2)证明:∵E为AB的中点∴CE=12AB=AE,∠EAC=∠ECA.∵AC平分∠DAB∴∠CAD=∠CAB.∴∠DAC=∠ECA.∴CE‖AD. (3)解:∵CE∥AD∴∠DAF=∠ECF,∠ADF=∠CEF∴AFDCFE,∴ADCE =AFCF.∵CE=12ΛB,∴CE=12×6=3.又∵AD=4,由ADCE =AFCF,得43=AFCF.∴AFAC =47,∴ACAF=74.。

人教版九年级下册数学《相似》单元测试(Word版有答案)

人教版九年级下册数学《相似》单元测试（Word 版有答案）一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为34，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为( )A.34B.43C.916D.169 2．已知b a ＝513，则a －b a ＋b的值是( )A.23B.32C.94D.493．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O.若AD ＝1，BC ＝3，则AO CO 的值为( )A.12B.13C.14D.194．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB ，AC 相交于点D ，E.若AD ＝12，DB ＝4，则DE ∶BC 的值为( )A.23B.12C.34D.355．如图，不能判定△AOB 和△DOC 相似的条件是( )A ．AO ·CO ＝BO ·DO B.AO DO ＝ABCD C ．∠A ＝∠D D ．∠B ＝∠C6．如图，矩形ABCD ∽矩形ADFE ，AE ＝1，AB ＝4，则AD ＝( )A ．2B ．2.4C ．2.5D ．37．已知如图①，②中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图①，②中的两个三角形，下列说法正确的是( )A ．只有①相似B ．只有②相似C ．都不相似D ．都相似8．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1.若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D ，E ，F 也都在格点上，则下列与△ABC 相似的三角形是( )A ．△ACDB ．△ADFC ．△BDFD ．△CDE9．如图，点M 在BC 上，点N 在AM 上，CM ＝CN ，AM AN ＝BMCM，下列结论正确的是( )A ．△ABM ∽△ACB B ．△ANC ∽△AMB C ．△ANC ∽△ACMD ．△CMN ∽△BCA10．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，EG ∥AB ，且AE ∶EC ＝3∶2.若BC ＝10，则FG 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．411．阳光通过窗口AB 照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE(如图所示)，已知亮区到窗口下的墙角的距离EC ＝8.7米，窗口高AB ＝1.8米，则窗口底边离地面的高BC 为( )A ．4米B ．3.8米C ．3.6米D ．3.4米12．在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，已知∠C ＝∠F ＝90°，在下列条件中：①∠A ＝30°，∠E ＝60°；②AC ＝5，BC ＝4，DF ＝15，EF ＝12；③AB ＝5，AC ＝3，DE ＝10，DF ＝6；④AC ∶AB ＝1∶3，DF ＝a ，DE ＝3a.能够判断Rt △ABC ∽Rt △DEF 的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点重合．若AB ＝2，BC ＝3，则△FCB ′与△DGB ′的面积之比为( )A ．9∶4B ．16∶9C ．4∶3D ．3∶214．如图，将△ABC 的高AD 四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1∶S 2∶S 3∶S 4等于( )A ．1∶2∶3∶4B ．2∶3∶4∶5C ．1∶3∶5∶7D ．3∶5∶7∶915．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，CD 是边AB 上的高线，且有2CD ＝3AB ＝6，CE ＝EF ＝DF ，则下列判断中不正确的是( )A ．∠AFB ＝90° B ．BE ＝ 5C ．△EFB ∽△BFCD ．∠ACB ＋∠AEB ＝45°16．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 以每秒1 cm 的速度从点A 出发，沿折线AC —CB 运动，到点B 停止，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PD 的长y(cm)与点P 的运动时间x(秒)的函数图像如图2所示．当点P 运动5秒时，PD 的长是( )A ．1.5 cmB ．1.2 cmC ．1.8 cmD ．2 cm二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分．把答案写在题中横线上)17．如图，已知AD ∥BE ∥CF ，且AB ＝4，BC ＝5 ，EF ＝4，则DE ＝．18．如图，已知△OAB 与△OA ′B ′是位似比为1∶2的位似图形，点O 为位似中心．若△OAB 内一点P(x ，y)与△OA ′B ′内一点P ′是一对对应点，则点P ′的坐标是．19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16，点D 是边BC 上一动点(不与B ，C 重合)，∠ADE ＝∠B ＝α，DE 交AC 于点E.则当BD ＝4时，CE ＝；当∠AED ＝90°时，BD ＝．三、解答题(本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20．(本小题满分8分)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，点E 在对角线BD 上，且BE＝1.8，连接AE 并延长交DC 于点F ，求CFCD的值．21．(本小题满分9分)如图，△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(2，3)，C(3，0)．(1)以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且位似比为2；(2)在(1)的条件下，若M(a，b)为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为．22．(本小题满分9分)已知：如图，在△ABC中，BC＝10，BC边上的高h＝5，点E在边AB 上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F，点D为BC上一点，连接DE，DF，△DEF的面积为4，求点E到BC的距离．23．(本小题满分9分)如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于点E，交AC延长线于点F.求证：(1)△ADF∽△EDB；(2)CD2＝DE·DF.24．(本小题满分10分)小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2 m，CE ＝0.8 m，CA＝30 m(点A，E，C在同一直线上)．已知小明的身高EF是1.7 m，请你帮小明求出楼高AB.(结果精确到0.1 m)25．(本小题满分10分)如图，在△ABC中，BC＝8 cm，AC＝6 cm，点P从B出发，沿BC方向以2 cm/s的速度移动，点Q从C出发，沿CA方向以1 cm/s的速度移动，若P，Q分别从B，C同时出发，设运动的时间为t s，则△CPQ能否与△CBA相似？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．26．(本小题满分11分)如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．(1)求证：AC2＝AB·AD；(2)求证：CE ∥AD ；(3)若AD ＝4，AB ＝6，求ACAF的值．答案一、选择题二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分．把答案写在题中横线上) 17．165．18．(－2x ，－2y)．19．CE ＝4.8；当∠AED ＝90°时，BD ＝8．三、解答题20．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°.又∵AB ＝3，AD ＝BC ＝6，∴BD ＝AB 2＋AD 2＝3. ∵BE ＝1.8，∴DE ＝3－1.8＝1.2.∵AB ∥CD ，∴DF AB ＝DE BE ，即DF 3＝1.21.8.解得DF ＝233.∴CF ＝CD －DF ＝33.∴CF CD ＝333＝13.21．点M ′的坐标为(2a ，2b)或(－2a ，－2b)．解：如图，△DEF 和△D ′E ′F ′为所作． 22．解：设点E 到BC 的距离为x.∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC. ∴EF BC ＝5－x 5.∴EF ＝10－2x. ∴S △DEF ＝12(10－2x)·x ＝4.解得x 1＝4，x 2＝1.∴点E 到BC 的距离为4或1.23．证明：(1)在Rt △ABC 中，∠B ＋∠A ＝90°. ∵DF ⊥AB ，∴∠BDE ＝∠ADF ＝90°. ∴∠A ＋∠F ＝90°.∴∠B ＝∠F. ∴△ADF ∽△EDB.(2)由(1)可知∠B ＝∠F ，∵CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，∴CD ＝AD ＝DB. ∴∠DCE ＝∠B.∴∠DCE ＝∠F.又∵∠CDE ＝∠FDC ，∴△CDE ∽△FDC. ∴CD DF ＝DE CD ，即CD 2＝DE ·DF. 24．解：过点D 作DG ⊥AB ，分别交AB ，EF 于点G ，H ，则EH ＝AG ＝CD ＝1.2 m ，DH ＝CE ＝0.8 m ，DG ＝CA ＝30 m. ∵EF ∥AB ，∴FH BG ＝DHDG.由题意，知FH ＝EF －EH ＝1.7－1.2＝0.5(m)． ∴0.5BG ＝0.830，解得BG ＝18.75. ∴AB ＝BG ＋AG ＝18.75＋1.2＝19.95(m)≈20.0 m. 答：楼高AB 约为20.0 m. 25．解：设经过t s 时△CPQ 与△CBA 相似，此时BP ＝2t ，CQ ＝t ，CP ＝8－2t ，①当△CPQ ∽△CBA 时，CP CB ＝CQ CA ，即8－2t 8＝t6，解得t ＝2.4；②当△CPQ ∽△CAB 时，CP CA ＝CQ CB ，即8－2t 6＝t 8，解得t ＝3211.综上可知，经过2.4 s 或3211s 时，△CPQ 与△CBA 相似．26．解：(1)证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠CAB. 又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°， ∴△ADC ∽△ACB.∴AD AC ＝AC AB，即AC 2＝AB ·AD. (2)证明：∵E 为AB 的中点，∴CE ＝12AB ＝AE.∴∠EAC ＝∠ECA.由(1)知∠DAC ＝∠CAB. ∴∠DAC ＝∠ECA.∴CE ∥AD. (3)∵CE ∥AD ，∴△AFD ∽△CFE.∴AD CE ＝AFCF .∵CE ＝12AB ，∴CE ＝12×6＝3.∴43＝AF CF. ∴AF AC ＝47，即AC AF ＝74.人教版九年级数学下册第二十七章相似单元提优训练人教版九年级数学下册第二十七章相似单元提优训练一、选择题1. 下列图形中,不是相似图形的有( B )A. 0组B. 1组C. 2组D. 3组2. 如图，点P 是▱ABCD 边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有( D )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对3. 下列各组中的四条线段成比例的是( D )A. 4 cm,2 cm,1 cm,3 cmB. 1 cm,2 cm,3 cm,5 cmC. 3 cm,4 cm,5 cm,6 cmD. 1 cm,2 cm,2 cm,4 cm 4.如图,已知DE ∥BC ,EF ∥AB ,则下列比例式错误的是( C )A.B.C. D.5. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝13，BC ＝12，则DE 的长是( B )A ．3B ．4 C.5 D ．66. 如果两个相似多边形的面积比为9∶4,那么这两个相似多边形的相似比为( C ) A. 9∶ 4 B. 2∶ 3 C. 3∶ 2 D. 81∶167. 位似图形的位似中心可以在( D )A．原图形外B．原图形内C．原图形上D．以上三种可能都有8. 下列说法正确的是( A )A. 位似图形一定是相似图形B. 相似图形一定是位似图形C. 两个位似图形一定在位似中心的同侧D. 位似图形中每对对应点所在的直线必互相平行9.如图，在△ABC中，DE∥BC，，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为( C )A．6 B．8 C．10 D．1210. 若2a=3b=4c,且abc≠0,则的值是(B)A. 2B. -2C. 3D. -3二、填空题11.如图所示，C为线段AB上一点，且满足AC∶BC＝2∶3，D为AB的中点，且CD＝2 cm，则AB＝________ cm.【答案】2012.如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD＝60°，AM交BC于E.当M为BD中点时，的值为【答案】13.在比例尺为1:6 000 000 的海南地图上，量得海口与三亚的距离约为3.7 厘米，则海口与三亚的实际距离约为千米．【答案】22214.两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线______________________，那么这样的两个图形叫做位似图形．【答案】相交于一点15.在△ABC 中，AB ＝6 cm ，AC ＝5 cm ，点D 、E 分别在AB 、AC 上．若△ADE 与△ABC 相似，且S △ADE ∶S 四边形BCED ＝1∶8，则AD ＝__________ cm.【答案】2或16.若k ＝a －2b c ＝b －2c a ＝c －2ab ，且a ＋b ＋c ≠0，则k ＝ .【答案】-1三、解答题17. 在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点．连接AE.(1)若AB ＝AE ，求证：∠DAE ＝∠D ；(2)若点E 为BC 的中点，连接BD ，交AE 于F ，求EF ∶FA 的值．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠B ＝∠D ，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠EAD ，又∵AE ＝AB ，∴∠B ＝∠AEB ，∴∠B ＝∠EAD ，∴∠EAD ＝∠D ；(2)∵AD ∥BC ，∴∠FAD ＝∠FEB ，∠ADF ＝∠EBF ，∴△ADF ∽△EBF ，∴EF ∶FA ＝BE ∶AD ＝BE ∶BC ＝1∶2.18.在平面直角坐标系中，已知点A (－2，0)，点B (0，4)，点E 在OB 上，且∠OAE ＝∠OBA . (1)如图①，求点E 的坐标(2)如图②，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A ′E ′O ′，连接A ′B ，BE ′.①设AA′＝m，其中0<m<2，试用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标(直接写出结果即可).(1) 【答案】∵点A的坐标为(－2，0),点B的坐标为(0，4)，∴OA＝2，OB＝4，∵∠OAE＝∠OBA，∠EOA＝∠AOB＝90°，∴△OAE∽△OBA，有＝，即＝，解得OE＝1.∴点E的坐标为(0，1).(2) 【答案】①如图，连接EE′，由题设AA′＝m，则A′O＝2－m.19. 已知四条线段a,b,c,d的长度,试判断它们是否成比例:(1)a=16 cm,b=8 cm,c=5 cm,d=10 cm;(2)a=8 cm,b=5 cm,c=6 cm,d=10 cm.(1) 【答案】∵8×10=80,16×5=80,∴bd=ac.∴能够成比例.(2) 【答案】∵8×6=48,10×5=50,∴不能够成比例.20.如图，AC是圆O的直径，AB、AD是圆O的弦，且AB＝AD，连接BC、D C.(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)延长AB、DC交于点E，若EC＝5 cm，BC＝3 cm，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)证明∵AC是圆O的直径，∴∠ABC＝∠D＝90°，在Rt △ABC 与Rt △ADC 中，，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC ；(2)解由(1)知Rt △ABC ≌Rt △ADC ， ∴CD ＝BC ＝3，AD ＝AB ， ∴DE ＝5＋3＝8，∵∠EAD ＝∠ECB ，∠D ＝∠EBC ＝90°， ∴△EAD ∽△ECB ， ∴＝，∵BE ＝＝4，∴＝，∴AD ＝6，∴四边形ABCD 的面积＝S △ABC ＋S △ACD ＝2××3×6＝18 cm 221．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点F 在BC 上，DF 与AB 的延长线交于点G.(1)求证：△CDF ∽△BGF ；(2)当点F 是BC 的中点时，过F 作EF ∥CD 交AD 于点E ，若AB ＝6cm ，EF ＝4cm ，求CD 的长．解：(1)证明：∵梯形ABCD 中，AB ∥CD ，即CD ∥BG ，∴△CDF ∽△BGF ；(2)由(1)得△CDF ∽△BGF ，且F 是BC 中点，∴DF ＝FG ，CD ＝BG.又∵EF ∥CD ，AB ∥CD ，∴EF ∥AG ，∴△DEF ∽△DAG.∴EF AG ＝DF DG ＝12，∴AG ＝8cm ，∴CD ＝BG ＝AG －AB ＝2cm.22.已知矩形ABCD 中,AD =3,AB =1.若EF 把矩形分成两个小的矩形,如图所示,其中矩形ABEF 与矩形ABCD 相似.求AF ∶AD 的值.【答案】设AF=x ,∵矩形ABEF 与矩形ABCD 相似,且AD=3,AB=1,∴对应边成比例,即=,即=,解得x=,∴AF ∶AD=∶3=1∶9.23.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标为A (-2,3),B (-3,2),C (-1,1).(1)若将△ABC 向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度,请画出平移后的△A 1B 1C 1; (2)画出△A 1B 1C 1绕原点旋转180°后得到的△A 2B 2C 2;(3)△A'B'C'与△ABC 是位似图形,请写出位似中心的坐标: ; (4)顺次连接C ,C 1,C',C 2,所得到的图形是轴对称图形吗? (1) 【答案】如答图.(2) 【答案】如答图. (3) 【答案】(0,0)(4) 【答案】如答图,所得图形是轴对称图形.25.24.问题背景：在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息如图1：甲组：测得一根直立于平地，长为80 cm 的竹竿的影长为60 cm ；如图2：乙组：测得学校旗杆的影长为900 cm ；如图3：丙组：测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为350 cm，影长为300 cm.解决问题：(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度？(2)如图3，设太阳光线MH与⊙O相切于点M，请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径？【答案】解(1)∵同一时刻物高与影长成正比，∴＝，即＝，解得DE＝1 200 cm；(2)连接OM，设OM＝r，∵同一时刻物高与影长成正比，∴＝，即＝，解得NG＝400 cm，在Rt△NGH中，NH＝＝＝500 cm，设⊙O的半径为r，∵MH与⊙O相切于点M，∴OM⊥NH，∴∠NMO＝∠NGH＝90°，又∵∠ONM＝∠GNH，∴△NMO∽△NGH，∴＝，即＝，又∵NO＝NK＋KO＝(NG－KG)＋KO＝400－350＋r＝50＋r，∴500r＝300(50＋r)，解得r＝75 cm.故景灯灯罩的半径是75 cm.九年级下册（人教版）数学单元检测卷：第二十七章相似一、填空题1.如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E.AB交EF于D.给出下列结论：①△ABC≌△AEF;②∠AFC＝∠C；③DF＝CF;④△ADE∽△FDB其中正确的结论是____________(填写所有正确结论的序号)．2.如图是一个边长为1的正方形组成的网络，△ABC和△A′B′C′都是格点三角形，请问△ABC 和△A′B′C′是否相似？答：______________；若相似，它们的相似比等于__________．3.如图，O是△ABC内任意一点，D、E、F分别为AO、BO、CO上的点，且△ABC与△DEF 是位似三角形，位似中心为O.若AD＝AO，则△ABC与△DEF的位似比为__________．4.已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，则＝________.5.一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，被分割成了5个部分. ①，②，③这三块的面积比依次为1∶4∶41，那么④，⑤这两块的面积比是____________．6.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2)，B(4,2)，C(6,4)，以原点O为位似中心，将△ABC 缩小为原来的一半，则线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为____________．7.如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”(作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等)，A、B、C、D、O都在横格线上，且AD、BC为线段．若线段AB＝4 cm，则线段CD＝________ cm.8.如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，且PA1＝PA，则AB∶A1B1等于________．9.图中的两个四边形相似，则x＋y＝__________，α＝__________.10.若a∶b∶c＝1∶3∶2，且a＋b＋c＝24，则a＋b－c＝________.二、选择题11.如图，将一张直角三角形纸片BEC的斜边放在矩形ABCD的BC边上，恰好完全重合，BE、CE分别交AD于点F、G，BC＝6，AF∶FG∶GD＝3∶2∶1，则AB的长为()A．1B．C．D．212.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，△ABC的面积为4，则△DEF的面积为()A．2B．8C．16D．2413.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是()A．甲对，乙不对B．甲不对，乙对C．两人都对D．两人都不对14.关于对位似图形的表述，下列命题正确的有()①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP＝k·OP′.A．①②③④B．②③④C．②③D．②④15.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS＝60 m，ST＝120 m，QR＝80 m，则河的宽度PQ为()A．40 mB．60 mC．120 mD．180 m16.为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，那么这条河的大致宽度是()A．75米B．25米C．100米D．120米17.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，C在BD上，有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A、B间距离的有()A．4组B．3组C．2组D．1组18.小刚身高180 cm，他站立在阳光下的影子长为90 cm，他把手臂竖直举起，此时影子长为115 cm，那么小刚的手臂超出头顶()A．35 cmB．50 cmC．25 cmD．45 cm19.观察图中各组图形：其中形状相同的有()A．1组B．2组C．3组D．4组20.如图，在平面直角坐标系中，点A在△ODC的OD边上，AB∥DC交OC于点B.若点A、B的坐标分别为(2,3)、(2,1)，点C的横坐标为2m(m＞0)，则点D的坐标为()A．(2m，m)B．(2m,2m)C．(2m,3m)D．(2m,4m)三、解答题21.如图△ABC的顶点坐标分别为A(1,1)，B(2,3)，C(3,0)．(1)以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2.(2)在(1)的条件下，若M(a，b)为△ABC边上的任意一点，求△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标．22.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′的顶点都在格点上．(1)求证：△ABC∽A′B′C′；(2)A′B′C′与△ABC是位似图形吗？如果是，在图形上画出位似中心并求出位似比．23.如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，AE＝3.9，试判断△ADE与△ABC是否会相似．24.如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3，…，Cn在直线y＝x上，点A1的坐标为(1,0)．(1)写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn的位似中心坐标；(2)正方形A4A5B4C4四个顶点的坐标．25.如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D.求证：△ABC∽△EBD.26.如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．27.如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，＝，AC＝14；(1)求AB、BC的长；(2)如果AD＝7，CF＝14，求BE的长．28.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)将△ABC向左平移7个单位后再向下平移3个单位，请画出两次平移后的△A1B1C1，若M 为△ABC内的一点，其坐标为(a，b)，直接写出两次平移后点M的对应点M1的坐标；(2)以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1∶2.请在网格内画出在第三象限内的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．答案解析1.【答案】C【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC＝6，∠A＝∠D＝90°，∵∠E＝90°，∴∠EFG＋∠EGF＝90°，∴∠AFB＋∠DGC＝90°，∵∠AFB＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DGC，∴△AFB∽△DCG，∴＝，∵AF∶FG∶GD＝3∶2∶1，∴AF＝3，DG＝1，∴AB2＝AF·DG＝3，∴AB＝.故选C.2.【答案】C【解析】∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD＝OA，∴OA∶OD＝1∶2，∴△ABC与△DEF的面积之比为1∶4，∵△ABC的面积为4，∴△DEF的面积为16.故选C.3.【答案】A【解析】甲：根据题意，得AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲说法正确；乙：∵根据题意，得AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，则A′B′＝C′D′＝3＋2＝5，A′D′＝B′C′＝5＋2＝7，∴＝＝，＝＝，∴≠，∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法不正确．故选A.4.【答案】B【解析】①位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形；故错误；②位似图形一定有位似中心；正确；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；正确；④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP＝k·OP′；正确．故选B.5.【答案】C【解析】∵RQ⊥PS，TS⊥PS，∴RQ∥TS，∴△PQR∽△PSR，∴＝，即＝，∴PQ＝120.故选C.6.【答案】C【解析】∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°.又∵∠ADB＝∠EDC，∴△ADB∽△EDC.∴＝，即＝.解得AB＝100米．故选C.7.【答案】B【解析】①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；③因为△ABD∽△EFD，可利用＝，求出AB；④无法求出A，B间距离．故共有3组可以求出A，B间距离．故选B.8.【答案】B【解析】设手臂竖直举起时总高度x m，则＝，解得x＝50 cm.故选B.9.【答案】C【解析】(1)组形状相同；(2)组形状相同；(3)组形状相同；(4)组形状不同，较大的图形上多出了上面的图案．故选C.10.【答案】C【解析】∵AB∥CD，∴△OAB和△ODC是以原点为位似中心的位似图形，而B(2,1)，C点的横坐标为2m，∴把A点的纵坐标乘以m可得D点的纵坐标，即点D的横坐标为(2m,3m)．故选C.11.【答案】①②④【解析】在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF，故①正确，∴AC＝AF，∴∠C＝∠AFC，故②正确，∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，∴△ADE∽△FDB，故④正确，无法证明DF＝CF，故③错误．12.【答案】相似【解析】△ABC∽△A′B′C′；根据题意，得AC＝1，BC＝，AB＝，A′C′＝，B′C′＝2，A′B′＝，∵＝＝，＝，＝＝，∴＝＝＝，∴△ABC∽△A′B′C′.13.【答案】【解析】∵O是△ABC内任意一点，D、E、F分别为AO、BO、CO上的点，且△ABC与△DEF 是位似三角形，位似中心为O.AD＝AO，∴＝，则△ABC与△DEF的位似比为.14.【答案】【解析】∵△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，∴＝＝.15.【答案】9∶14【解析】由题意，得①、②、④都是等腰直角三角形，∵①，②这两块的面积比依次为1∶4，∴设①的直角边为x，∴②的直角边为2x，设正方形的边长为y，∵①，③这两块的面积比依次为1∶41，∴①∶(①＋③)＝1∶42，即x2∶3xy＝1∶42，∴y＝7x，∴④的面积为6x·6x÷2＝18x2，⑤的面积为4x·7x＝28x2，∴④，⑤这两块的面积比是18x2∶28x2＝9∶14.16.【答案】(2，)【解析】∵△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2)，B(4,2)，C(6,4)，∴AC的中点是(4,3)，∵将△ABC缩小为原来的一半，∴线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为(2，)．17.【答案】6【解析】如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则E、O、F三点共线，∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴＝，即＝，∴CD＝6 cm.18.【答案】3∶2【解析】∵PA1＝PA，∴PA∶PA1＝3∶2，又∵AB∶A1B1＝PA∶PA1∴AB∶A1B1＝PA∶PA1＝3∶2.19.【答案】6385°【解析】由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以18∶4＝x∶8＝y∶6，解得x＝36，y＝27，则x＋y＝36＋27＝63.α＝360°－(77°＋83°＋115°)＝85°.20.【答案】8【解析】∵a∶b∶c＝1∶3∶2，∴设a＝k，则b＝3k，c＝2k，又∵a＋b＋c＝24，∴k＋3k＋2k＝24，∴k＝4，∴a＋b－c＝k＋3k－2k＝2k＝2×4＝8.21.【答案】解(1)如图，△DEF和△D′E′F′为所作；(2)点M对应的点M′的坐标为(2a,2b)或(－2a，－2b)．故答案为(2a,2b)或(－2a，－2b)．【解析】(1)把点A、B、C的横、纵坐标都乘以2可得到对应点D、E、F的坐标，再描点可得△DEF；把点A、B、C的横、纵坐标都乘以－2可得到对应点D′、E′、F′的坐标，然后描点可得△D′E′F′；(2)利用以原点为位似中心的位似变换的对应点的坐标特征求解．22.【答案】(1)证明∵AB＝，BC＝，AC＝2，A′B′＝2，B′C′＝2，A′C′＝4，∴＝＝，∴△ABC∽A′B′C′；(2)解如图所示：两三角形对应点的连线相交于一点，故A′B′C′与△ABC是位似图形，O即为位似中心，位似比为2.【解析】(1)分别求出三角形各边长，进而得出答案；(2)利用位似图形的性质得出答案．23.【答案】解△ADE∽△ACB；理由如下：∵AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，AE＝3.9，∴＝，＝，∴＝，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.【解析】由已知条件证出＝，再由∠A是公共角，根据两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似，即可判定△ADE与△ABC相似．24.【答案】解(1)如图所示：正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn的位似中心坐标为(0,0)；(2)∵点C1，C2，C3，…，Cn在直线y＝x上，点A1的坐标为(1,0)，∴OA1＝A1C1＝1，OA2＝A2C2＝2，则A3O＝A3C3＝4，∴OA4＝A4C4＝8，则OA5＝16，故A4(8,0)，A5(16,0)，B4(16,8)，C4(8,8)．【解析】(1)直接利用位似图形的性质得出对应点连线的交点为原点，进而得出答案；(2)利用一次函数图象上点的坐标性质得出各线段的长，进而得出答案．25.【答案】证明∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°.∵∠C＝90°，∴∠EDB＝∠C.∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△EBD.【解析】先根据垂直的定义，得出∠EDB＝90°，故可得出∠EDB＝∠C.再由∠B＝∠B即可得出结论．26.【答案】解在△ABC与△AMN中，＝＝，＝＝，∴＝，又∵∠A ＝∠A，∴△ABC∽△AMN，∴＝，即＝，解得MN＝1 500米，答：M、N两点之间的直线距离是1 500米；【解析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△AMN，再利用相似三角形的性质解答即可．27.【答案】解(1)∵AD∥BE∥CF，∴＝＝，∴＝，∵AC＝14，∴AB＝4，∴BC＝14－4＝10；(2)过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：又∵AD∥BE∥CF，AD＝7，∴AD＝HE＝GF＝7，∵CF＝14，∴CG＝14－7＝7，∵BE∥CF，∴＝＝，∴BH＝2，∴BE＝2＋7＝9.【解析】(1)由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出＝，即可求出AB的长，得出BC的长；(2)过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD＝HE＝GF＝7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．28.【答案】解(1)所画图形如下所示，其中△A1B1C1即为所求，根据平移规律：左平移7个单位，再向下平移3个单位，可知M1的坐标(a－7，b－3)；(2)所画图形如下所示，其中△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为(－1，－4)．【解析】(1)找出三角形平移后各顶点的对应点，然后顺次连接即可；根据平移的规律即可写出点M平移后的坐标；(2)根据位似变换的要求，找出变换后的对应点，然后顺次连接各点即可．。

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第27章相似专项训练专训1 证比例式或等积式的技巧名师点金：证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．构造平行线法1．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，求证：AE·CF＝BF·EC.(第1题)2．如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，试证明：AB·DF＝BC·EF.(第2题)三点找三角形相似法3．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F. 求证：DC AE ＝CF AD.(第3题)4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB 于E.求证：AM 2＝MD·ME.(第4题)构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.(第5题)等比过渡法6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.(第6题)7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.(第7题)两次相似法8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.求证：BFBE＝ABBC.(第8题)9．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：(1)△AMB∽△AND；(2)AMAB＝MNAC.(第9题)等积代换法10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：AEAF＝ACAB.(第10题)等线段代换法11．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF ∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，求证：BP2＝PE·PF.12．已知：如图，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.求证：PD2＝PB·PC.专训2巧用“基本图形”探索相似条件名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图：1.平行线型．2．相交线型．3．子母型．4．旋转型．平行线型1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE·BC＝BD·AC；(2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．(第1题)相交线型2．如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO＝DOCO，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．(第2题)子母型3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DF AF.(第3题)旋转型4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC. 求证：(1)△ADE ∽△ABC ； (2)AD AE ＝BD CE.(第4题)专训3 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．证明两线段的数量关系类型1：证明两线段的相等关系1．如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，直线AO 与BC 边交于点M ，与DE 交于点N.求证：BM ＝MC.(第1题)2．如图，一直线和△ABC 的边AB ，AC 分别交于点D ，E ，和BC 的延长线交于点F ，且AE CE ＝BF CF.求证：AD ＝DB.(第2题)类型2：证明两线段的倍分关系3．如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，∠A ＝60°，求证：DE ＝12BC.(第3题)4．如图，AM 为△ABC 的角平分线，D 为AB 的中点，CE ∥AB ，CE 交DM 的延长线于E.求证：AC ＝2CE.(第4题)证明两线段的位置关系类型1：证明两线段平行5．如图，已知点D 为等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上一点，连接CD ，DE ⊥CD ，DE ＝CD ，连接CE ，AE.求证：AE ∥BC.(第5题)6．在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AB ，AC 上的点，EF ∥BC ，DF ∥AB ，连接CE 和AD ，分别交DF ，EF 于点N ，M.(1)如图①，若E 为AB 的中点，图中与MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论；(2)如图②，若E 不为AB 的中点，写出与MN 平行的直线，并证明．(第6题)类型2：证明两线垂直7．如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC 2＝AB·AD，BC 2＝BA·BD，求证：CD ⊥AB.(第7题)8．如图，已知矩形ABCD ，AD ＝13AB ，点E ，F 把AB 三等分，DF 交AC 于点G ，求证：EG ⊥DF.(第8题)专训4 相似三角形与函数的综合应用名师点金：解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点命题形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答．相似三角形与一次函数1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53，点D 的坐标为(0，1)．(1)求直线AD 的解析式；(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．(第1题)相似三角形与二次函数2．如图，直线y ＝－x ＋3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A ，B ，C(1，0)三点．(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)若点D 的坐标为(－1，0)，在直线y ＝－x ＋3上有一点P ，使△ABO 与△ADP 相似，求出点P 的坐标．(第2题)3．如图，直线y ＝2x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，过点B 的抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与直线BC 交于点D(3，－4)．(1)求直线BD 和抛物线对应的函数解析式；(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M ，作MN 垂直于x 轴，垂足为点N ，使得以M ，O ，N 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(第3题)相似三角形与反比例函数4．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，3)，双曲线y＝kx(x>0)经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.(1)求k的值及点E的坐标；(2)若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB对应的函数解析式．(第4题)专训5全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．3个概念概念1：成比例线段1．下列各组线段，是成比例线段的是( )A．3 cm，6 cm，7 cm，9 cmB．2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cmC．3 cm，9 cm，1.8 dm，6 cmD．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm2．有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m，在图纸上，这条边的长为5 cm，其他两条边的长都为4 cm，则其他两边的实际长度都是________m.概念2：相似多边形3．如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似，并说明理由．(第3题)概念3：位似图形4．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．(第4题)2个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？(第5题)性质2：相似三角形的性质6．如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S＝5，BC＝10，求DE的长．△FCD(第6题)1个判定——相似三角形的判定7．如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DE ⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C作CO⊥AB于O.求证：△ACE∽△OCD.(第7题)8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为点E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP 交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.(1)求证：△PAC∽△PDF；(2)若AB＝5，＝，求PD的长．(第8题)2个应用应用1：测高的应用9．如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为 2 m，那么这棵树的高度是多少？(第9题)应用2：测宽的应用10．如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔 6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．(第10题)1个作图——作一个图形的位似图形11．如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC的位似图形．(第11题)1个技巧——证明四条线段成比例的技巧12．如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC 的延长线于点P，Q.(1)求∠PAQ的度数；(2)若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM.(第12题)答案专训1(第1题)1．证明：如图，过点C 作CM ∥AB 交DF 于点M. ∵CM ∥AB ，∴△CMF ∽△BDF. ∴BF CF ＝BD CM. 又∵CM ∥AD ，∴△ADE ∽△CME.∴AE EC ＝ADCM.∵D 为AB 的中点， ∴BD CM ＝AD CM .∴BF CF ＝AEEC ，即AE·CF＝BF·EC. 2．证明：过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ， ∴△DGF ∽△ECF ，△ADG ∽△ABC. ∴EF DF ＝CE DG ，AB BC ＝AD DG. ∵AD ＝CE ，∴CE DG ＝AD DG .∴AB BC ＝EF DF，即AB·DF＝BC·EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A ”型或“X ”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴AE ∥DC ，∠A ＝∠C.∴∠CDF ＝∠E ，∴△DAE ∽△FCD ，∴DC AE ＝CF AD. 4．证明：∵DM ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＋∠BEM ＝90°，∠D ＋∠DEA ＝90°. ∵∠BEM ＝∠DEA ，∴∠B ＝∠D.又∵M 为BC 的中点，∠BAC ＝90°，∴BM ＝AM. ∴∠B ＝∠BAM.∴∠BAM ＝∠D.又∵∠AME ＝∠DMA.∴△AME ∽△DMA. ∴AM MD ＝MEAM.∴AM 2＝MD·ME.(第5题) 5．证明：如图，连接PM，PN.∵MN是AP的垂直平分线，∴MA＝MP，NA＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°.∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.∴BPCN＝BMCP，即BP·CP＝BM·CN.6．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠BDE＝180°，∠ACB＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠BDE.又∵∠EDF＝∠ABE，∴△DEF ∽△BDE.(2)由△DEF∽△BDE得DEBD＝EFDE，∴DE2＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠BED＝∠DFE.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.∴DGDE＝DEDF，∴DE2＝DG·DF，∴DG·DF＝DB·EF.7．证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，∴∠AEP＝∠BED＝∠AGB＝90°.∴∠P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠ABG＝90°.∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB.∴AEDE＝PEBE，即AE·BE＝PE·DE.又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝∠BEC＝90°，∴∠CAB＋∠ACE＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBE＝90°.∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.∴AECE＝CEBE，即CE2＝AE·BE.∴CE2＝DE·PE.8．证明：易得∠BAC＝∠BDF＝90°.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBF，∴△BDF ∽△BAE ，得BD AB ＝BF BE. ∵∠BAC ＝∠BDA ＝90°，∠ABC ＝∠DBA. ∴△ABC ∽△DBA ，得AB BC ＝BD AB ，∴BF BE ＝AB BC. 9．证明：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形．∴∠B ＝∠D.∵AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，∴∠AMB ＝∠AND ＝90°， ∴△AMB ∽△AND.(2)由△AMB ∽△AND 得AM AN ＝ABAD ，∠BAM ＝∠DAN.又AD ＝BC ，∴AM AN ＝AB BC. ∵AM ⊥BC ，AD ∥BC ，∴∠AMB ＝∠MAD ＝90°. ∴∠B ＋∠BAM ＝∠MAN ＋∠NAD ＝90°， ∴∠B ＝∠MAN. ∴△AMN ∽△BAC ，∴AM AB ＝MN AC. 10．证明：∵AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠AED ＝90°.又∵∠BAD ＝∠DAE ，∴△ADE ∽△ABD ，得AD 2＝AE·AB，同理可得AD 2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC，∴AE AF ＝AC AB. 11．证明：连接PC ，如图．∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 垂直平分BC ，∠ABC ＝∠ACB ，∴BP ＝CP ，∴∠1＝∠2，∴∠ABC －∠1＝∠ACB －∠2，即∠3＝∠4.∵CF ∥AB ，∴∠3＝∠F ，∴∠4＝∠F.又∵∠CPF ＝∠CPE ，∴△CPF ∽△EPC ，∴CP PE ＝PFCP，即CP 2＝PF·PE.∵BP ＝CP ，∴BP 2＝PE·PF.(第11题)(第12题)12．证明：如图，连接PA，则PA＝PD，∴∠PDA＝∠PAD. ∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∴∠B＝∠CAP.又∵∠APC＝∠BPA，∴△PAC∽△PBA，∴PAPB＝PCPA，即PA2＝PB·PC，∴PD2＝PB·PC.专训21．(1)证明：∵ED∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴AEAC＝DEBC.∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC. ∵ED∥BC，∴∠DEB＝∠EBC.∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝BD.∴AEAC＝BDBC，即AE·BC＝BD·AC.(2)解：设h△ADE表示△ADE中DE边上的高，h△BDE表示△BDE中DE边上的高，h△ABC表示△ABC中BC边上的高．∵S△ADE ＝3，S△BDE＝2，∴S△ADES△BDE＝h△ADEh△BDE＝32.∴h△ADEh△ABC＝35.∵△ADE∽△ABC，∴DEBC＝h△ADEh△ABC＝35.∵DE＝6，∴BC＝10.2．解：相似．理由如下：因为EOBO＝DOCO，∠BOE＝∠COD，∠DOE＝∠COB，所以△BOE∽△COD，△DOE∽△COB.所以∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO.因为∠ADE ＝∠DCO＋∠DEO，∠ABC＝∠EBO＋∠CBO.所以∠ADE＝∠ABC.又因为∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC.3．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∴∠BAC＝∠ADB＝90°.又∵∠CBA＝∠ABD(公共角)，∴△ABC∽△DBA.∴ABAC＝DBDA，∠BAD＝∠C.∵AD⊥BC于点D，E为AC的中点，∴DE＝EC. ∴∠BDF＝∠CDE＝∠C.∴∠BDF＝∠BAD.又∵∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF.∴DBAD＝DFAF.∴ABAC＝DFAF.(第3题)点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AE·AB＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB＝AD2，AF·AC＝AD2，∴AE·AB＝AF·AC.4．证明：(1)∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAE＝∠BAC.又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC.(2)∵△ADE∽△ABC，∴ADAE＝ABAC.∵∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC.∴ADAE＝BDCE.专训31．证明：∵DE∥BC.∴△NEO∽△MBO.∴NEMB＝ONOM.同理可得DNMC＝ONOM.∴DNMC＝NEBM.∴DNNE＝MCBM.∵DE∥BC，∴△ANE∽△AMC.∴ANAM＝NEMC.同理可得ANAM＝DNBM，∴DNBM＝NEMC.∴DNNE＝BMMC.∴MCBM＝BMMC.∴MC2＝BM2.∴BM＝MC.(第2题)2．证明：如图，过C作CG∥AB交DF于G点．∵CG∥AB，∴ADCG＝AECE，BDCG＝BFCF，∵AECE＝BFCF，∴ADCG＝BDCG，∴AD＝BD.3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，∠ABD＝∠ACE＝30°，∴AD AB＝1 2，AEAC＝12，∴ADAB＝AEAC.又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC＝ADAB＝12，∴DE＝12BC.4．证明：如图，延长CE，交AM的延长线于F.∵AB∥CF，∴∠BAM＝∠F，△BDM∽△CEM，△BAM∽△CFM，∴BDCE＝BMMC，BACF＝BMMC，∴BDCE＝BACF.又∵BA＝2BD，∴CF＝2CE.又AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM，∴∠CAM＝∠F，∴AC＝CF，∴AC＝2CE.(第4题)(第5题)5．证明：如图，过点C作CO⊥AB于点O.∵DE＝CD，DE⊥CD，∴∠ECD ＝∠CED ＝45°.∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝∠B ＝45°.∴∠CAB ＝∠CED.又∵∠AOC ＝∠EDC ＝90°，∴△ACO ∽△ECD.∴AC CO ＝EC CD. 又∵∠ACE ＋∠ECO ＝∠OCD ＋∠ECO ＝45°，∴∠ACE ＝∠OCD.∴△ACE ∽△OCD.∴∠CAE ＝∠COD ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠CAE ＋∠ACB ＝180°.∴AE ∥BC.6．解：(1)MN ∥AC ∥ED.证明如下：∵EF ∥BC ，∴△AEM ∽△ABD ，△AMF ∽△ADC ，∴EM BD ＝AM AD ＝MFDC.∵E 为AB 的中点，EF ∥BC ，∴F 为AC 的中点．又∵DF ∥AB ，∴D 为BC 的中点，∴EM ＝MF.∵F 为AC 的中点，FN ∥AE ，∴N 为EC 的中点，从而MN ∥AC.又∵D 为BC 的中点，E 为AB 的中点，∴ED ∥AC ，∴MN ∥AC ∥ED.(2)MN ∥AC.证明如下：∵EF ∥BC ，∴△AEM ∽△ABD ，△AMF ∽△ADC ，∴EM BD＝AM AD ＝MF DC ，∴EM MF ＝BD DC .又∵DF ∥AB ，∴BD DC ＝EN NC ，∴EM MF ＝EN NC ，∴EM EF ＝ENEC .又∵∠MEN ＝∠FEC ，∴△MEN ∽△FEC.∴∠EMN ＝∠EFC.∴MN ∥AC.7．证明：∵AC 2＝AB·AD，∴AC AD ＝ABAC.又∵∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC.∴∠ADC ＝∠ACB. 又∵BC 2＝BA·BD，∴BC BD ＝BABC.又∵∠B ＝∠B ， ∴△BCD ∽△BAC.∴∠BDC ＝∠BCA. ∴∠ADC ＝∠BDC.∵∠BDC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∴CD ⊥AB.8．证明：∵AD ＝13AB ，点E ，F 把AB 三等分，∴设AE ＝EF ＝FB ＝AD ＝k ，则AB ＝CD ＝3k. ∵CD ∥AB ，∴∠DCG ＝∠FAG ，∠CDG ＝∠AFG. ∴△AFG ∽△CDG ，∴FG DG ＝AF CD ＝23.设FG ＝2m ，则DG ＝3m ，∴DF ＝FG ＋DG ＝2m ＋3m ＝5m. 在Rt △AFD 中，DF 2＝AD 2＋AF 2＝5k 2，∴DF ＝5k. ∴5m ＝5k.∴m ＝55k.∴FG ＝255k.∴AF FG ＝2k 255k ＝5，DF EF ＝5k k ＝ 5.∴AF FG ＝DF EF. 又∠AFD ＝∠GFE ，∴△AFD ∽△GFE. ∴∠EGF ＝∠DAF ＝90°.∴EG ⊥DF.专训41．解：(1)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0) 将D(0，1) A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53代入解析式得：⎩⎨⎧b ＝153＝43k ＋b 解得⎩⎨⎧b ＝1k ＝12∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.(2)直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.令y ＝0，得x ＝－2.得B(－2，0)，即OB ＝2. 直线AC 为y ＝－x ＋3. 令y ＝0，得∴x ＝3. 得C(3，0)，即BC ＝5 设E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ＋1①当E 1C ⊥BC 时，如图，∠BOD ＝∠BCE 1＝90°，∠DBO ＝∠E 1BC.∴△BOD ∽△BCE 1.此时点C 和点E 1的横坐标相同．将x ＝3代入y ＝12x ＋1，解得y ＝52.∴E 1⎝⎛⎭⎪⎫3，52.②当CE 2⊥AD 时，如图，∠BOD ＝∠BE 2C ＝90°，∠DBO ＝∠CBE 2，∴△BOD ∽△BE 2C.过点E 2作EF ⊥x 轴于点F ，则∠E 2FC ＝∠BFE 2＝90°. 又∵∠E 2BF ＋∠BE 2F ＝90°， ∠CE 2F ＋∠BE 2F ＝90°. ∴∠E 2BF ＝∠CE 2F. ∴△E 2BF ∽△CE 2F ，则E 2F BF ＝CF E 2F. 即E 2F 2＝CF·BF.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋12＝(3－x)(x ＋2)解得：x 1＝2，x 2＝－2(舍去)∴E 2(2，2)当∠EBC ＝90°时，此情况不存在．综上所述：E 1⎝⎛⎭⎪⎫3，52或E 2(2，2)．(第1题)(第2题)2．解：(1)由题意得A(3，0)，B(0，3)，∵抛物线经过A ，B ，C 三点，∴把A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得方程组⎩⎨⎧9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3，∴抛物线对应的函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)如图，由题意可得△ABO 为等腰直角三角形．若△ABO ∽△AP 1D ，则AOAD ＝OBDP 1，∴DP 1＝AD ＝4，∴P 1(－1，4)；若△ABO ∽△ADP 2，过点P 2作P 2M ⊥x 轴于M ，∵△ABO 为等腰直角三角形，∴△ADP 2是等腰直角三角形，由三线合一可得DM ＝AM ＝2＝P 2M ，即点M 与点C 重合，∴P 2(1，2)，∴点P 的坐标为(－1，4)或(1，2)．3．解：(1)易得A(－1，0)，B(0，2)，C(1，0)．设直线BD 对应的函数解析式为y ＝kx ＋m.把B(0，2)，C(1，0)的坐标分别代入y ＝kx ＋m ，得⎩⎨⎧m ＝2，k ＋m ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－2，m ＝2.∴直线BD 对应的函数解析式为y ＝－2x ＋2. ∵抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋bx ＋c.∴把B(0，2)，D(3，－4)的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧c ＝2，－9＋3b ＋c ＝－4，解得⎩⎨⎧b ＝1，c ＝2.∴抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋x ＋2. (2)存在，①如图①，当△MON ∽△BCO 时，ON CO ＝MN BO ，即ON 1＝MN2，∴MN ＝2ON.设ON ＝a ，则M(a ，2a)，∴－a 2＋a ＋2＝2a ，解得a 1＝－2(不合题意，舍去)，a 2＝1，∴M(1，2)；②如图②，当△MON ∽△CBO 时，ON BO ＝MN CO ，即ON 2＝MN1，∴MN ＝12ON.设ON ＝n ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12n ，∴－n 2＋n ＋2＝n 2，解得n 1＝1－334(不合题意，舍去)，n 2＝1＋334，∴M(1＋334，1＋338)．∴存在这样的点M(1，2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋334，1＋338.(第3题)4．解：(1)在矩形OABC 中，∵点B 的坐标为(2，3)，∴BC 边的中点D 的坐标为(1，3)．∵双曲线y ＝k x 经过点D(1，3)，∴3＝k 1，∴k ＝3，∴y ＝3x.∵点E在AB 上，∴点E 的横坐标为2.又∵双曲线y ＝3x 经过点E ，∴点E 的纵坐标为y＝32，∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，32. (2)易得BD ＝1，BE ＝32，CB ＝2.∵△FBC ∽△DEB ，∴BD CF ＝BE CB ，即1CF ＝322，∴CF ＝43，∴OF ＝53，即点F 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，53.设直线FB 对应的函数解析式为y ＝k 1x ＋b ，而直线FB 经过B(2，3)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，∴k 1＝23，b ＝53，∴直线FB 对应的函数解析式为y ＝23x ＋53.专训5 1．C 2．203．解：四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似．由已知条件知，∠DAB ＝∠D′A′B′，∠B ＝∠B′，∠BCD ＝∠B′C′D′，∠D ＝∠D′，且ABA′B′＝BC B′C′＝CD C′D′＝DA D′A′＝56，所以四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似． 4．解：如图，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ，过点B′作B′N⊥x 轴于点N ，则△CBM ∽△CB′N.所以MC NC ＝BM B ′N ＝BC B ′C.又由已知条件知NC ＝a ＋1，B′N＝－b ，BC B ′C ＝12，所以MC (a ＋1)＝BM (－b)＝1 2.所以MC ＝12(a ＋1)，BM ＝－b 2.所以MO ＝12(a ＋1)＋1＝a ＋32.所以点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋32，－b 2.(第4题)5．解：(1)∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ，∴8－2x 8＝y 6，∴y ＝－32x ＋6(0≤x ≤4)． (2)∵S △BDE ＝12·2x·y＝12·2x·⎝⎛⎭⎪⎫6－32x ＝－32(x －2)2＋6，∴当x ＝2时，S △BDE有最大值，最大值为6.6．(1)证明：如图，∵D 是BC 边上的中点，DE ⊥BC ， ∴EB ＝EC ，∴∠B ＝∠1.又∵AD ＝AC ，∴∠ACD ＝∠2，∴△ABC ∽△FCD. (2)解：如图，过点A 作AM ⊥CB 于点M. ∵D 是BC 边上的中点，∴BC ＝2CD. 由(1)知△ABC ∽△FCD ，∴S △ABC S △FCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC CD 2＝41.又∵S △FCD ＝5，∴S △ABC ＝20.∵S △ABC ＝12BC·AM，∴AM ＝2S △ABC BC ＝2×2010＝4.∵DE ⊥BC ，AM ⊥BC ，∴DE ∥AM ， ∴△BDE ∽△BMA.∴DE AM ＝BDBM. 由AD ＝AC ，AM ⊥BC ，知DM ＝12CD ＝14BC ＝52.∴DE 4＝55＋52，∴DE ＝83. 点拨：从复杂的图形中分析线段的特点和联系，找到切入点是解较复杂问题的关键．(第6题)7．证明：∵△ACB 为等腰直角三角形，AB 为斜边， ∴∠CAB ＝45°.∵CO ⊥AB.∴∠AOC ＝90°.又∵DE ⊥CD ，DE ＝CD ，∴∠CED ＝45°，∠CDE ＝90°. ∴∠CAO ＝∠CED ，∠AOC ＝∠EDC.∴△ACO ∽△ECD.∴∠ACO ＝∠ECD ，AC CO ＝CECD.∴∠ACE ＝∠OCD.∴△ACE ∽△OCD.8．(1)证明：由四边形APCB 内接于圆O ，得∠FPC ＝∠B. 又∠B ＝∠ACE ＝90°－∠BCE ，∠ACE ＝∠APD ，所以∠APD ＝∠FPC ，所以∠APD ＋∠DPC ＝∠FPC ＋∠DPC ，即∠APC ＝∠FPD. 又∠PAC ＝∠PDC ，所以△PAC ∽△PDF.(2)解：由(1)知△PAC ∽△PDF ，所以∠PCA ＝∠PFD. 又∠PAC ＝∠CAF ，所以△PAC ∽△CAF ，所以△CAF ∽△PDF ，所以PD AC ＝DFAF，则PD·AF＝AC·DF.由AB ＝5，AC ＝2BC ，∠ACB ＝90°，知BC ＝5，AC ＝2 5. 由OE ⊥CD ，∠ACB ＝90°知CB 2＝BE·AB，CE ＝DE. 所以BE ＝CB 2AB ＝55＝1.所以AE ＝4，CE ＝CB 2－BE 2＝5－1＝2，所以DE ＝2.又＝，∠AFD ＝∠PCA ，所以∠AFD ＝∠PCA ＝45°. 所以FE ＝AE ＝4，AF ＝42，所以PD ＝AC ·DF AF ＝25×（4＋2）42＝3102. 9．解：(方法一：作延长线)延长AD ，与地面交于点M ，如图①.(第9题)由AM ∥FH 知∠AMB ＝∠FHG.又因为AB ⊥BG ，FG ⊥BG ，DC ⊥BG ，所以△ABM ∽△DCM ∽△FGH ，所以AB BM ＝CD CM ＝FG GH.因为CD ＝2 m ，FG ＝1.2 m ，GH ＝2 m ，所以2CM ＝1.22，解得CM ＝103m . 因为BC ＝4 m ，所以BM ＝BC ＋CM ＝4＋103＝223(m )．所以AB 223＝1.22，解得AB ＝4.4 m . 故这棵树的高度是4.4 m .(方法二：作垂线)过点D 作DM ⊥AB 于点M ，如图②. 所以AM DM ＝FG GH. 而DM ＝BC ＝4 m ，AM ＝AB －CD ＝AB －2(m )，FG ＝1.2 m ，GH ＝2 m ，所以AB －24＝1.22，解得AB ＝4.4 m . 故这棵树的高度是4.4 m .10．解：如图，过点A 作AF ⊥DE ，垂足为F ，并延长交BC 于点G. ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC.∵AF ⊥DE ，DE ∥BC ，∴AG ⊥BC ，∴AF AG ＝DE BC ，∴30AG ＝2460.解得AG ＝75，∴FG ＝AG －AF ＝75－30＝45，即河的宽度为45 m.(第10题)(第11题)11．思路导引：本题位似中心为O ，先连接CO ，因为要把原三角形缩小为原来的一半，可确定C′O＝12CO，由其确定出C′的位置，再根据同样的方法确定出另外两个点．解：画出图形，如图中的△A′B′C′即为所求作的图形．点拨：抓住位似图形的性质，根据位似中心与三角形对应点的关系及位似比的大小确定所画位似图形的对应点，再画出图形．12．思路导引：(1)由角平分线的定义及∠BAD为平角直接可得．(2)由于线段PM，CM，BM在同一条直线上，所以必须把某条线段转化为另一相等的线段，构造相似三角形，因此可证PM＝AM，从而证明△ACM与△ABM相似即可．(1)解：∵AP平分∠BAC，∴∠PAC＝12∠BAC.又∵AQ平分∠CAD，∴∠CAQ＝12∠CAD.∴∠PAC＋∠CAQ＝12∠BAC＋12∠CAD＝12(∠BAC＋∠CAD)．又∵∠BAC＋∠CAD＝180°，∴∠PAC＋∠CAQ＝90°，即∠PAQ＝90°.(2)证明：由(1)知∠PAQ＝90°，又∵M是线段PQ的中点，∴PM＝AM，∴∠APM＝∠PAM.∵∠APM＝∠B＋∠BAP，∠PAM＝∠CAM＋∠PAC，∠BAP＝∠PAC，∴∠B＝∠CAM.又∵∠AMC＝∠BMA，∴△ACM∽△BAM.∴CMAM＝AMBM，∴AM2＝CM·BM，即PM2＝CM·BM.点拨：本题运用了转化思想，在证明等积式时，常把它转化成比例式，寻找相似三角形进行求解．。