九年级数学上册《锐角三角函数》优秀课件
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《锐角三角函数》课件
锐角三角函数图像与性质
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性，周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动，通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1，表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线，呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
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《锐角三角函数》ppt课件
汇报日期
汇报人姓名
目录
锐角三角函数基本概念
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锐角三角函数图像与性质
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锐角三角函数运算规则
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锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算，通常转化为同角三角函数的除法运算，再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算，注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质，如取值范围、增减性等，以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下，一些特殊角的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°等，以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性，周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动，通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1，表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线，呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
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《锐角三角函数》ppt课件
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汇报人姓名
目录
锐角三角函数基本概念
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锐角三角函数图像与性质
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锐角三角函数运算规则
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锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算，通常转化为同角三角函数的除法运算，再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算，注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质，如取值范围、增减性等，以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下，一些特殊角的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°等，以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02
沪科版数学九年级上册 23.1 锐角三角函数 课件(共13张PPT)
(6) tan30°·tan60°＋ cos230°
本节课学习了什么内容？
三角函数 sina cos a tan a
30°
1 2
3 2 3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2
3
拓展探究
求已知锐角的三角函数值：
21..求求csoint7603゜゜4552′′的41值″的.（值精. 确（到精0确.0到0001.）0001） 在先角用度如单下位方状法态将为角“度度单” 位的状情态况设下定:屏为幕“显度示”出
显示
按再下按列下列顺顺序序依依次次按按键键
由锐角三角函数值求锐角:
已知tan x=0.7410,求锐角 x.（精确到1′） 在角度单位状态为“度” 的情况下（屏幕显示 出 ），按下列顺序 依次按键：
显示结果为36.538 445 77.
再按键：
24.2锐角三角函数值
自学检测：
根据三角函数的定义，sin30°是一个常数.用刻度
尺量出你所用的含30°的三角尺中，30°所对的
直角边与斜边的长，与同桌交流，看看这个常数
是什么.
B
sin30°=
对边 ＝1 Βιβλιοθήκη 边 2理由：30在直角三角形中，如果A一个锐角等于30°，C
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
若 tan 1 则α＝______3_0_°____；
3
若 cos 1 ,则α＝______4_5_°____．
2
2.根据下列条件，求出相应的锐角A：
(1) sin A 2 ; (2) cos A 3 0;
2
2
(3) tan(A 20) 1.
基础练习：
冀教版九年级数学上册《锐角三角函数的计算》PPT精品课件
9
8
1
观察计算的结果,当α增大时,角α的正弦值、余弦值、正切值怎样变化?
正弦值随着角度的增大（或减ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
知识讲解
2.已知一个锐角三角函数的值求锐角的度数
例2 用计算器求下列各锐角的度数:(结果精确到1″) (1)已知cosα=0.5237,求锐角α; (2)已知tanβ=1.6480,求锐角β.
知识讲解
(2)在计算器开机状态下,按键顺序为
2ndF tan-1 1 . 6 4 显示结果为58.750 786 43. 即β≈58.750 786 43°.
80=
再继续按键: 2ndF
DEG
显示结果为58□45□2.83.
即β≈58°45‘ 3″.
知识讲解
例3 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4.
2.已知 sin232°+cos2α=1，则锐角α等于（ A ）
A．32°
B．58°
C．68°
D．以上结论都不对
3.用计算器验证，下列各式中正确的是（ D ） A．sin18°24′+sin35°26′=sin45° B．sin65°54′-sin35°54′=sin30° C．2sin15°30′=sin31° D．sin72°18′-sin12°18′=sin47°42′
2.求cos72°的值． 第一步：按计算器 cos 键，
第二步：输入角度值72， 第三步：输入 键， 屏幕显示结果为0.309 016 994.
即cos 72°=0.309 016 994.
九年级数学《锐角三角函数》课件
h
A
α
l
C
展示评讲
坡比（坡度）：坡面的竖直高度h与水平长 B
度l的比叫做坡面的~ 即：i h
l
i h:l
h
A
l
C
正切：如图，在Rt∆ABC中，我们把锐角A
的对边与邻边的比叫做∠A的正切，即
B
tan
A
A的对边 A的邻边
BC AC
a b
ha
注意：tanA还可以写成tan∠A或A α tanα或tan∠BAC或tan∠1
锐角三角函数
引入新课
汽车爬坡能力是衡量汽车性 能的一个重要标志，很明显， 若汽车所爬坡面越陡，汽车 爬坡能力越强. 即：坡角越大，坡面就越陡.
B
h
A αl
C
学习目标
1、理解并掌握正切的定义，明确角 与线段的比的关系； 2、会利用正切的定义求任意一个锐 角的正切值； 3、利用坡度和坡比的概念解决实际 问题。
自学思考
1、水平长度一定时，坡角与什么因素有关呢？
竖直高度越大，坡面越陡，坡角越大
2、竖直高度一定时，坡角与什么因素有关呢？
水平长度越小，坡面越陡，坡角越大
3、水平长度与竖直高度都不同时，坡角与什么因素有关呢？
竖直高度与水平长度的比值越大，坡面越 陡，坡角越大
展示评讲 三角函数：在直角三角形中
B
lb
C
当堂检测
1、(25分)在∆ABC中，AC=5，BC=4，AB=3，则tanA= ，
tanB=
.
2、(25分)在∆ABC中，∠C=90度，AB=2BC，则
tanA= ，
tanB=
.
ห้องสมุดไป่ตู้
3、(25分)如3 图1所示为某拦水坝的横截面，迎水坡AB的
锐角三角函数1课件华东师大版数学九年级上册
解：过点A作BC的垂线交BC的延长线于点D, ∵ S△ABC 12， BC • AD 1 12，∵BC 6
2 AD 4 在Rt△ABD中，
sin B AD 1 AB 2
探一探： 显然锐角三角函数值都是正实数，你能利用直角三 角形的三边关系得到sinA与cosA的取值范围吗？
正弦、余弦的取值范围：
0＜sinA＜1 0＜cosA＜1
由三角函数的定义，你认为sinA与cosA有什么关系？
正弦、余弦的关系：
sinA=cosB cosA=sinB tanA= 1 tan B
sin 2 A cos2 A ＝1
课堂小结
1、锐角三角函数的定义： 2、锐角三角函数的性 质：
①、0＜sinA＜1 0＜cosA＜1
②sin2 A cos2 A 1
24.3 锐角三角函数
温故知新 直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余。 2、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4、在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半。
斜边c
B ∠A的对边a
A
C
∠A的邻边b
忆一忆
A
34
B
B′
?
C
A′ 34
注意 书写规范
(1)用一个大写字母或希腊字母表示角时， 习惯省去角的符号“∠”不写，如∠A的正弦 表示为：sinA ；∠α的正弦表示为:sinα. (2)用三个字母或数字表示角时，要写“∠”， 如∠BAC的正弦表示为:sin∠BAC ；∠1的正弦
表示为:sin∠1. (3)一个确定度数的三角函数，“∠”不写，如 300的正弦表示为：sin300 .
C.4 D.3
3．在
2 AD 4 在Rt△ABD中，
sin B AD 1 AB 2
探一探： 显然锐角三角函数值都是正实数，你能利用直角三 角形的三边关系得到sinA与cosA的取值范围吗？
正弦、余弦的取值范围：
0＜sinA＜1 0＜cosA＜1
由三角函数的定义，你认为sinA与cosA有什么关系？
正弦、余弦的关系：
sinA=cosB cosA=sinB tanA= 1 tan B
sin 2 A cos2 A ＝1
课堂小结
1、锐角三角函数的定义： 2、锐角三角函数的性 质：
①、0＜sinA＜1 0＜cosA＜1
②sin2 A cos2 A 1
24.3 锐角三角函数
温故知新 直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余。 2、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4、在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半。
斜边c
B ∠A的对边a
A
C
∠A的邻边b
忆一忆
A
34
B
B′
?
C
A′ 34
注意 书写规范
(1)用一个大写字母或希腊字母表示角时， 习惯省去角的符号“∠”不写，如∠A的正弦 表示为：sinA ；∠α的正弦表示为:sinα. (2)用三个字母或数字表示角时，要写“∠”， 如∠BAC的正弦表示为:sin∠BAC ；∠1的正弦
表示为:sin∠1. (3)一个确定度数的三角函数，“∠”不写，如 300的正弦表示为：sin300 .
C.4 D.3
3．在
冀教版九年级数学上册26.1《锐角三角函数》(共19张PPT)
┌
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角函数 sin a cos a tan a
30°
1 2 3 2
3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2 3
典例精析 例2. 求下列各式的值：
(1) 2sin 30 3 tan 30 tan 45
(2) sin2 45 tan 60 sin 60
第二十六章 解直角三角形
26.1 锐角三角函数
第2课时 正弦与余弦
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
复习巩固
1.正切的定义:
Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作
tanA,即
tanA=2ຫໍສະໝຸດ 特殊角的正切值：A的对边 A的邻边
B
tan30° tan45° tan60°
31 3
3
斜边 ∠A的对边
AB 10 5
课堂小结
锐角三角函数
在Rt△ABC中
sinA= A的对边 = a
A的斜边
c
cosA= A的邻边 = b
A的斜边
c
tanA= A的对边 = a
A的邻边
b
课堂小测
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC=4,则 sinA的值为（D ）
A.
B.
C.
D.
2. sin2 30 cos2 30 tan 45 0
典例精析1、 例题3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC=12，
的三角函数A值．
C
5
12
解：由勾股定理
A
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角函数 sin a cos a tan a
30°
1 2 3 2
3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2 3
典例精析 例2. 求下列各式的值：
(1) 2sin 30 3 tan 30 tan 45
(2) sin2 45 tan 60 sin 60
第二十六章 解直角三角形
26.1 锐角三角函数
第2课时 正弦与余弦
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
复习巩固
1.正切的定义:
Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作
tanA,即
tanA=2ຫໍສະໝຸດ 特殊角的正切值：A的对边 A的邻边
B
tan30° tan45° tan60°
31 3
3
斜边 ∠A的对边
AB 10 5
课堂小结
锐角三角函数
在Rt△ABC中
sinA= A的对边 = a
A的斜边
c
cosA= A的邻边 = b
A的斜边
c
tanA= A的对边 = a
A的邻边
b
课堂小测
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC=4,则 sinA的值为（D ）
A.
B.
C.
D.
2. sin2 30 cos2 30 tan 45 0
典例精析1、 例题3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC=12，
的三角函数A值．
C
5
12
解：由勾股定理
A
初三数学《锐角三角函数》优秀教学课件
3 应用
锐角三角函数广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。
三角函数的定义及分类
定义பைடு நூலகம்
正弦、余弦、正切、正割和 余割是根据三角形的边长关 系定义的函数。
分类
三角函数可分为基本三角函 数和带角的三角函数，每个 函数都有不同的性质和应用。
图像
不同函数在坐标系上的图像 展示了它们的周期性、对称 性和变化规律。
角度制与弧度制的转换
1 角度制
2 弧度制
常用角度单位，用度数表示。
另一种角度单位，用弧长与半径的比值表示。
3 转换方法
角度制与弧度制之间可通过一定的换算公式进行转换。
正弦函数的图像及基本性质
图像
正弦函数在坐标系中呈现出一条 连续变化的波浪线。
性质
正弦函数的定义域是全体实数， 值域是[-1, 1]，具有周期性和对 称性。
正切函数的图像及基本性质
1
图像
正切函数在坐标系中形成一系列连续交叉的直线。
2
性质
正切函数的定义域是所有切点的横坐标全体，值域是所有实数。
3
特性
无定义点、无界性和奇偶性是正切函数的特别性质。
正割函数、余割函数的图像及基本性质
1 正割函数
正割函数形成一组连续的 曲线，与余弦函数图像对 称。
2 余割函数
余割函数形成一组连续的 曲线，与正弦函数图像对 称。
3 性质
正割和余割函数分别是余 弦和正弦函数的倒数。
三角函数的周期性质
周期
三角函数的图像在一定范围内 呈现出重复的模式，这个范围 称为函数的周期。
周期公式
不同三角函数的周期可通过一 定的公式进行计算。
变化规律
周期性质决定了三角函数的重 复模式和增减变化规律。
锐角三角函数广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。
三角函数的定义及分类
定义பைடு நூலகம்
正弦、余弦、正切、正割和 余割是根据三角形的边长关 系定义的函数。
分类
三角函数可分为基本三角函 数和带角的三角函数，每个 函数都有不同的性质和应用。
图像
不同函数在坐标系上的图像 展示了它们的周期性、对称 性和变化规律。
角度制与弧度制的转换
1 角度制
2 弧度制
常用角度单位，用度数表示。
另一种角度单位，用弧长与半径的比值表示。
3 转换方法
角度制与弧度制之间可通过一定的换算公式进行转换。
正弦函数的图像及基本性质
图像
正弦函数在坐标系中呈现出一条 连续变化的波浪线。
性质
正弦函数的定义域是全体实数， 值域是[-1, 1]，具有周期性和对 称性。
正切函数的图像及基本性质
1
图像
正切函数在坐标系中形成一系列连续交叉的直线。
2
性质
正切函数的定义域是所有切点的横坐标全体，值域是所有实数。
3
特性
无定义点、无界性和奇偶性是正切函数的特别性质。
正割函数、余割函数的图像及基本性质
1 正割函数
正割函数形成一组连续的 曲线，与余弦函数图像对 称。
2 余割函数
余割函数形成一组连续的 曲线，与正弦函数图像对 称。
3 性质
正割和余割函数分别是余 弦和正弦函数的倒数。
三角函数的周期性质
周期
三角函数的图像在一定范围内 呈现出重复的模式，这个范围 称为函数的周期。
周期公式
不同三角函数的周期可通过一 定的公式进行计算。
变化规律
周期性质决定了三角函数的重 复模式和增减变化规律。
锐角三角函数华东师大版九年级数学上册精品课件PPT
tanA
24.3锐角三角函数（1）-华东师大版 九年级 数学上 册课件
知识概括
锐角三角函数间的关系：
解读
24.3锐角三角函数（1）-华东师大版 九年级 数学上 册课件
24.3锐角三角函数（1）-华东师大版 九年级 数学上 册课件
对应练习
3.若α为锐角，cosα＝ ，则sinα＝ ，tanα＝ ．
角 边
∟
b
勾股
C
B
直角边a
◆直角三角形中角与角的关系：
∠A+ ∠B=___9_0_⁰__.
◆直角三角形表示：
直角三角形ABC记为___R_t∆__A_B_C____
24.3锐角三角函数（1）-华东师大版 九年级 数学上 册课件
24.3锐角三角函数（1）-华东师大版 九年级 数学上 册课件
规定
B
∠A的对边a
24.3锐角三角函数（1）-华东师大版 九年级 数学上 册课件
24.3锐角三角函数（1）-华东师大版 九年级 数学上 册课件
对应练习
1.(课本107页练习2).如图，在Rt∆DEC中，
∠E=90⁰，CD=10，DE=6，试求出∠D的
三个三角函数值.
E
6
C
10
D
2.(课本107页练习3)在Rt∆ABC中，∠C=90⁰，∠A、 ∠B、 ∠C的对边分别为a、b、c.根据下列条件，分别 求出∠B的三个三角函数值. (1)a=3，b=4；(2)a=5，c=13.
(2)三角函数是一个比值，没有单位，只与角的大小有关， 与边的长短无关.
(3) 0<sinA<1，0<cosA<1.
你知道为 什么吗？
24.3锐角三角函数（1）-华东师大版 九年级 数学上 册课件
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你同意小亮的看法吗?
A
驶向胜利 的彼岸
B1 B2
C2
C1
议一议 9
由感性到理性
直角三角形的边与角的关系
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
(2). B1C1 和 B2C2 有什么关系?
AC1 AC2
如果改变B2在梯子上的位置(如
B3 )呢?
A
由此你得出什么结论?
驶向胜利 的彼岸
B1 B2 B3
驶向胜利 的彼岸
A
D
11.在梯形ABCD中，AD//BC， AB=DC=13，AD=8，BC=18. 求tanB.
┌
BE
┌
FC
老师提示:
作梯形的高是梯形的常用辅助线作法,借助它可以转化为
直角三角形求解问题.
小结 拓展 回味无穷
• 定义中应该注意的几个问题:
1.tanA是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角（注
B
3 4┌
A (1) C A
(1)AC=3,AB=6,求tanA和tanB
(2)BC=3,tanA= 5 ,求AC和AB.
12
老师提示:
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
驶向胜利 的彼岸
B
43 ┌
(2) C
随堂练习 18
八仙过海,尽显才能
8.在Rt△ABC中，∠C =90°，AB=15，tanA = 3，
驶向胜利 的彼岸
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡
在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即
tanα)就是:
i tan 60 3.
老师提示:
100 5
坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面
i
60m
的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或
坡比),即坡度等于坡角的正切.
根据这些他就求出了塔的高度.你知道他是 怎么做的吗？
驶向胜利 的彼岸
A 1 B2
想一想 3
源于生活的数学 ◆从梯子的倾斜程度谈起 ◆梯子是我们日常生活中常见的物体 ◆你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有 哪些办法？
驶向胜利 的彼岸
想一想 4
生活问题数学化
梯子AB和EF哪个
更陡？你是怎样判 断的？
驶向胜利 的彼岸
α 100m ┌
随堂练习 14
八仙过海,尽显才能
1.如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根 据图中所给数据求出tanC 吗？
A 2.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达 山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是
55 m，求山坡的坡度(结果精确到0.001 m).
B
1.5 ┌
D
驶向胜利 的彼岸
求AC和BC.
4A
9.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10, 求tanB.
老师提示:
过点A作AD垂直于BC于点D.
B
┌
D
驶向胜利 的彼岸
C
随堂练习 19
相信自己
10. 在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)AC=25，AB=27.求tanA和tanB. (2)BC=3，tanA=0.6，求AC 和AB. (3)AC=4，tanA=0.8，求BC.
∠A的邻边
∠A的对边
┌
A ∠A的邻边 C
议一议 11
八仙过海,尽显才能
如图,梯子AB1的倾斜程度与tanA有关吗? 与∠A有关吗? 与tanA有关:tanA的值越大,梯子AB1越陡. 与∠A有关:∠A越大,梯子AB1越陡.
A
驶向胜利 的彼岸
B1 B2
C2
C1
例题欣赏 12
行家看“门道”
驶向胜利 的彼岸
E A
4m
6m
B 2m C F 3m D
想一想 7
在实践中探索
梯子AB和EF哪个 更陡？你是怎样
判断的？
?
驶向胜利
小丽的问题,如图: 的彼岸
E
A
5m
6m
B 2m C F 2m D
做一做 8
小明和小亮这样想,如图:
小明想通过测量B1C1及AC1,算 出它们的比,来说明梯子AB1的
倾斜程度;
而小亮则认为,通过测量B2C2 及AC2,算出它们的比,也能说 明梯子AB1的倾斜程度.
小明的问题,如图:
A
E
5m
5m
B
C
2.5m
F 2m D
想一想 5 有比较才有鉴别
梯子AB和EF 哪个
更陡？你是怎样判 断的？
?
驶向胜利 的彼岸
小颖的问题,如图:
A E
4m
3.5m
B
C
1.5m
F
D
1.3m
做一做 6
永恒的真理
梯子AB和EF哪个 更陡？你是怎样
判断的？
驶向胜利 的彼岸
小亮的问题,如图:
C3 C2
C1
想一想 10
进步的标志 由感性上升到理性
驶向胜利 的彼岸
直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数—正切函数
在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定
值,那么这个角的值也随之确定.
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记
作tanA,即
B
tanA= ∠A的对边
锐角三角函数
有的放矢 1
看看谁的本领大
在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你 能求出其他的边和角吗? 猜一猜,这座古塔有多高?
想一想,你能运用所学的数学知识测出这座 古塔的高吗?
驶向胜利 的彼岸
想一想 2
本领大不大,悟心 来当家
办法不只一种
小明在A处仰望塔顶,测得∠1的大小,再往 塔的方向前进50 m到B处,又测得∠2的大小,
C
B
┌
A
C
随堂练习 15
八仙过海,尽显才能 3.鉴宝专家—-是真是假：
驶向胜利
的彼岸
B
B
(1)如图(1) tan A BC ( × ).
AC
A
(2)如图(2) tan A AC ( × ).
CA
(1)
7┍m
10m C
(2)
BC
(6)如图(2)
(3)如图(2) tan A BC ,深化 正切的定义:
在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，
记作tanA，即 tanA= A的对边 .
A的邻边
B
∠A的对边
┌
A ∠A的邻边 C
结束寄语
• 锐角三角函数描述了直角三角形中边与角的关系,它又 是一个变量之间重要的函数关系,既新奇,又富有魅力, 你可要与它建立好感情噢！
意数形结合，构造直角三角形）.
2.tanA是一个完整的符号，表示∠A的正切，习惯省去
“∠”号.
3.tanA是一个比值（直角边之比).注意比的顺序，且 tanA﹥0，无单位.
4.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的
边长无关. 5.角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相等，则这
两个锐角相等.
例1 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
13m 甲
α
5m ┌
乙 6m ┐ 8m β
【解析】甲梯中 tan
5 5. 132 52 12
乙梯中, tan 6 3 .
84
∵tanβ>tanα,∴乙梯更陡.
老师提示:
生活中,常用一个锐 角的正切表示梯子 的倾斜程度.
议一议 13
用数学去解释生活
倍,tanA的值（ ）
B
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
5.已知∠A，∠B为锐角
┌
(1)若∠A=∠B,则tanA tanB; A
C
(2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.
随堂练习 17
八仙过海,尽显才能 6.如图,分别根据图(1)和图
(2)求tanA的值.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,
tan A 0.7，
(4)如图(2) tan B 10 ( √ ). tan A 0.7或 tan A 0.7
7
( × ).
(5)如图(2) tan A 0.7m( √ ).
老师期望:你能从中悟出点东西.
随堂练习 16
八仙过海,尽显才能
驶向胜利 的彼岸
4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100
A
驶向胜利 的彼岸
B1 B2
C2
C1
议一议 9
由感性到理性
直角三角形的边与角的关系
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
(2). B1C1 和 B2C2 有什么关系?
AC1 AC2
如果改变B2在梯子上的位置(如
B3 )呢?
A
由此你得出什么结论?
驶向胜利 的彼岸
B1 B2 B3
驶向胜利 的彼岸
A
D
11.在梯形ABCD中，AD//BC， AB=DC=13，AD=8，BC=18. 求tanB.
┌
BE
┌
FC
老师提示:
作梯形的高是梯形的常用辅助线作法,借助它可以转化为
直角三角形求解问题.
小结 拓展 回味无穷
• 定义中应该注意的几个问题:
1.tanA是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角（注
B
3 4┌
A (1) C A
(1)AC=3,AB=6,求tanA和tanB
(2)BC=3,tanA= 5 ,求AC和AB.
12
老师提示:
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
驶向胜利 的彼岸
B
43 ┌
(2) C
随堂练习 18
八仙过海,尽显才能
8.在Rt△ABC中，∠C =90°，AB=15，tanA = 3，
驶向胜利 的彼岸
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡
在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即
tanα)就是:
i tan 60 3.
老师提示:
100 5
坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面
i
60m
的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或
坡比),即坡度等于坡角的正切.
根据这些他就求出了塔的高度.你知道他是 怎么做的吗？
驶向胜利 的彼岸
A 1 B2
想一想 3
源于生活的数学 ◆从梯子的倾斜程度谈起 ◆梯子是我们日常生活中常见的物体 ◆你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有 哪些办法？
驶向胜利 的彼岸
想一想 4
生活问题数学化
梯子AB和EF哪个
更陡？你是怎样判 断的？
驶向胜利 的彼岸
α 100m ┌
随堂练习 14
八仙过海,尽显才能
1.如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根 据图中所给数据求出tanC 吗？
A 2.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达 山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是
55 m，求山坡的坡度(结果精确到0.001 m).
B
1.5 ┌
D
驶向胜利 的彼岸
求AC和BC.
4A
9.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10, 求tanB.
老师提示:
过点A作AD垂直于BC于点D.
B
┌
D
驶向胜利 的彼岸
C
随堂练习 19
相信自己
10. 在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)AC=25，AB=27.求tanA和tanB. (2)BC=3，tanA=0.6，求AC 和AB. (3)AC=4，tanA=0.8，求BC.
∠A的邻边
∠A的对边
┌
A ∠A的邻边 C
议一议 11
八仙过海,尽显才能
如图,梯子AB1的倾斜程度与tanA有关吗? 与∠A有关吗? 与tanA有关:tanA的值越大,梯子AB1越陡. 与∠A有关:∠A越大,梯子AB1越陡.
A
驶向胜利 的彼岸
B1 B2
C2
C1
例题欣赏 12
行家看“门道”
驶向胜利 的彼岸
E A
4m
6m
B 2m C F 3m D
想一想 7
在实践中探索
梯子AB和EF哪个 更陡？你是怎样
判断的？
?
驶向胜利
小丽的问题,如图: 的彼岸
E
A
5m
6m
B 2m C F 2m D
做一做 8
小明和小亮这样想,如图:
小明想通过测量B1C1及AC1,算 出它们的比,来说明梯子AB1的
倾斜程度;
而小亮则认为,通过测量B2C2 及AC2,算出它们的比,也能说 明梯子AB1的倾斜程度.
小明的问题,如图:
A
E
5m
5m
B
C
2.5m
F 2m D
想一想 5 有比较才有鉴别
梯子AB和EF 哪个
更陡？你是怎样判 断的？
?
驶向胜利 的彼岸
小颖的问题,如图:
A E
4m
3.5m
B
C
1.5m
F
D
1.3m
做一做 6
永恒的真理
梯子AB和EF哪个 更陡？你是怎样
判断的？
驶向胜利 的彼岸
小亮的问题,如图:
C3 C2
C1
想一想 10
进步的标志 由感性上升到理性
驶向胜利 的彼岸
直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数—正切函数
在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定
值,那么这个角的值也随之确定.
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记
作tanA,即
B
tanA= ∠A的对边
锐角三角函数
有的放矢 1
看看谁的本领大
在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你 能求出其他的边和角吗? 猜一猜,这座古塔有多高?
想一想,你能运用所学的数学知识测出这座 古塔的高吗?
驶向胜利 的彼岸
想一想 2
本领大不大,悟心 来当家
办法不只一种
小明在A处仰望塔顶,测得∠1的大小,再往 塔的方向前进50 m到B处,又测得∠2的大小,
C
B
┌
A
C
随堂练习 15
八仙过海,尽显才能 3.鉴宝专家—-是真是假：
驶向胜利
的彼岸
B
B
(1)如图(1) tan A BC ( × ).
AC
A
(2)如图(2) tan A AC ( × ).
CA
(1)
7┍m
10m C
(2)
BC
(6)如图(2)
(3)如图(2) tan A BC ,深化 正切的定义:
在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，
记作tanA，即 tanA= A的对边 .
A的邻边
B
∠A的对边
┌
A ∠A的邻边 C
结束寄语
• 锐角三角函数描述了直角三角形中边与角的关系,它又 是一个变量之间重要的函数关系,既新奇,又富有魅力, 你可要与它建立好感情噢！
意数形结合，构造直角三角形）.
2.tanA是一个完整的符号，表示∠A的正切，习惯省去
“∠”号.
3.tanA是一个比值（直角边之比).注意比的顺序，且 tanA﹥0，无单位.
4.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的
边长无关. 5.角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相等，则这
两个锐角相等.
例1 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
13m 甲
α
5m ┌
乙 6m ┐ 8m β
【解析】甲梯中 tan
5 5. 132 52 12
乙梯中, tan 6 3 .
84
∵tanβ>tanα,∴乙梯更陡.
老师提示:
生活中,常用一个锐 角的正切表示梯子 的倾斜程度.
议一议 13
用数学去解释生活
倍,tanA的值（ ）
B
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
5.已知∠A，∠B为锐角
┌
(1)若∠A=∠B,则tanA tanB; A
C
(2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.
随堂练习 17
八仙过海,尽显才能 6.如图,分别根据图(1)和图
(2)求tanA的值.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,
tan A 0.7，
(4)如图(2) tan B 10 ( √ ). tan A 0.7或 tan A 0.7
7
( × ).
(5)如图(2) tan A 0.7m( √ ).
老师期望:你能从中悟出点东西.
随堂练习 16
八仙过海,尽显才能
驶向胜利 的彼岸
4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100