南京工业大学 数值分析-一元多项式回归
《一元线性回归》课件
使用评价指标对模型的性能进行评估。
《一元线性回归》PPT课 件
一元线性回归是一种用于探索变量之间关系的统计方法。本课件将介绍一元 线性回归的基本概念、模型、参数估计、模型评估以及Python实现。
一元线性回归-简介
一元线性回归是一种分析两个变量之间线性关系的方法。在这一节中，我们 将介绍一元线性回归的定义、使用场景以及它的重要性。
决定系数
4
方的平均值。
衡量模型对观测值的解释能力，取值范 围从0到1。
一元线性回归-Python实现
导入数据
使用Python的pandas库导入数据集。
划分数据集
将数据集划分为训练集和测试集。
预测结果
使用测试集数据对模型进行预测。
特征工程
选择合适的特征并对其进行处理。
训练模型
使用训练集数据训练线性Байду номын сангаас归模型。
一元线性回归-线性回归模型
1
简单线性回归模型
一个自变量和一个因变量之间的线性关
多元线性回归模型
2
系。
多个自变量和一个因变量之间的线性关
系。
3
线性回归模型的假设
包括线性关系、平均误差为零、误差具 有相同的方差、误差相互独立等。
一元线性回归-模型参数估计
1
最小二乘法
通过最小化观测值和模型预测值之间的平方误差来估计模型参数。
2
矩阵求导
使用矩阵求导的方法来计算模型参数的最优解。
3
梯度下降法
通过迭代的方式逐步优化模型参数，使得模型预测值与观测值之间的差距最小。
一元线性回归-模型评估
1
对模型误差的描述
通过各种指标来描述模型预测值和观测
应用回归分析-第2章课后习题参考答案
第二章 一元線性回歸分析思考與練習參考答案2.1 一元線性回歸有哪些基本假定?答： 假設1、解釋變數X 是確定性變數，Y 是隨機變數；假設2、隨機誤差項ε具有零均值、同方差和不序列相關性： E(εi )=0 i=1,2, …,n Var (εi )=σ2 i=1,2, …,n Cov(εi, εj )=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假設3、隨機誤差項ε與解釋變數X 之間不相關： Cov(X i , εi )=0 i=1,2, …,n假設4、ε服從零均值、同方差、零協方差の正態分佈 εi ~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n 2.2 考慮過原點の線性回歸模型 Y i =β1X i +εi i=1,2, …,n誤差εi （i=1,2, …,n ）仍滿足基本假定。
求β1の最小二乘估計 解： 得：2.3 證明（2.27式），∑e i =0 ，∑e i X i =0 。
證明：∑∑+-=-=nii i ni X Y Y Y Q 121021))ˆˆ(()ˆ(ββ其中：即： ∑e i =0 ，∑e i X i =021112)ˆ()ˆ(ini i ni i i e X Y Y Y Q β∑∑==-=-=01ˆˆˆˆi ii i iY X e Y Y ββ=+=-0100ˆˆQQββ∂∂==∂∂2.4回歸方程E （Y ）=β0+β1X の參數β0，β1の最小二乘估計與最大似然估計在什麼條件下等價?給出證明。
答：由於εi ~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n所以Y i =β0 + β1X i + εi ~N （β0+β1X i , σ2 ) 最大似然函數：使得Ln （L ）最大の0ˆβ，1ˆβ就是β0，β1の最大似然估計值。
同時發現使得Ln （L ）最大就是使得下式最小，∑∑+-=-=nii i n i X Y Y Y Q 121021))ˆˆ(()ˆ(ββ上式恰好就是最小二乘估計の目標函數相同。
(完整word版)一元线性回归方程的建立分析
第二节一元线性回归方程的建立一元线性回归分析是处理两个变量之间关系的最简单模型，它所研究的对象是两个变量之间的线性相关关系。
通过对这个模型的讨论，我们不仅可以掌握有关一元线性回归的知识，而且可以从中了解回归分析方法的基本思想、方法和应用。
一、问题的提出例2-1-1 为了研究氮含量对铁合金溶液初生奥氏体析出温度的影响，测定了不同氮含量时铁合金溶液初生奥氏体析出温度，得到表2-1-1给出的5组数据。
表2-1-1 氮含量与灰铸铁初生奥氏体析出温度测试数据如果把氮含量作为横坐标，把初生奥氏体析出温度作为纵坐标，将这些数据标在平面直角坐标上，则得图2-1-1，这个图称为散点图。
从图2-1-1可以看出，数据点基本落在一条直线附近。
这告诉我们，变量X与Y的关系大致可看作是线性关系，即它们之间的相互关系可以用线性关系来描述。
但是由于并非所有的数据点完全落在一条直线上，因此X与Y的关系并没有确切到可以唯一地由一个X值确定一个Y值的程度。
其它因素，诸如其它微量元素的含量以及测试误差等都会影响Y 的测试结果。
如果我们要研究X与Y的关系，可以作线性拟合（2-1-1）我们称（2-1-1）式为回归方程，a与b是待定常数，称为回归系数。
从理论上讲，（2-1-1）式有无穷多组解，回归分析的任务是求出其最佳的线性拟合。
二、最小二乘法原理如果把用回归方程计算得到的i值(i=1,2,…n)称为回归值，那么实际测量值y i与回归值i之间存在着偏差，我们把这种偏差称为残差，记为e i(i=1,2,3,…,n)。
这样，我们就可以用残差平方和来度量测量值与回归直线的接近或偏差程度。
残差平方和定义为:(2-1-2) 所谓最小二乘法，就是选择a和b使Q(a,b)最小，即用最小二乘法得到的回归直线是在所有直线中与测量值残差平方和Q最小的一条。
由(2-1-2)式可知Q是关于a,b的二次函数，所以它的最小值总是存在的。
下面讨论的a和b的求法。
三、正规方程组根据微分中求极值的方法可知，Q(a,b)取得最小值应满足(2-1-3)由(2-1-2)式，并考虑上述条件，则(2-1-4)(2-1-4)式称为正规方程组。
回归分析法概念及原理一（一元线性回归）
回归分析法概念及原理一（一元线性回归）2009-12-14 14:27最近，在学一门统计学，有点意思。
问题一点一点出现，又一点一点被慢慢解决，慢慢消化~~做为初学者，搞不清的地方还真多。
今天刚好又看了有关相关分析和回归分析的学习资料，感觉不错，闲来与大家分享分享。
一、一元回归分析法，是在考虑预测对象发展变化本质基础上，分析因变量随一个自变量变化而变化的关联形态，借助回归分析建立它们因果关系的回归方程式，描述它们之间的平均变化数量关系，据此进行预测或控制。
1、基本原理假设预测目标因变量为Y，影响它变化的一个自变量为X，因变量随自变量的增（减）方向的变化。
一元线性回归分析就是要依据一定数量的观察样本（Xi,Yi）i=1，2…，n，找出回归直线方程Y=a+bX (1)对应于每一个Xi，根据回归直线方程可以计算出一个因变量估计值Yi。
回归方程估计值Yi 与实际观察值Yj之间的误差记作e-i=Yi-Yi。
显然，n个误差的总和越小，说明回归拟合的直线越能反映两变量间的平均变化线性关系。
据此，回归分析要使拟合所得直线的平均平方离差达到最小，简称最小二乘法将求出的a和b代入式（1）就得到回归直线Y-i =a+bXI 。
那么，只要给定Xi-值，就可以用作因变量Y i的预测值。
2、变量间的关系确定性关系或函数关系：研究的是确定性现象非随机变量间的关系。
统计依赖关系或相关关系：研究的是非确定性现象随机变量间的关系。
几点注意：–不线性相关并不意味着不相关；–有相关关系并不意味着一定有因果关系；–相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变量都被看作是随机的；回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分因变量（被解释变量）和自变量（解释变量）：前者是随机变量，后者不是。
总体回归函数：•给定解释变量X的某个确定值X i，与之统计相关的被解释变量Y的总体均值（期望值）可以表示为：上式说明了被解释变量Y平均地说随解释变量X变化的规律，一般称为总体回归函数或总体回归方程（population regression function，PRF）；对应的曲线称为总体回归曲线（population regression curve），它可以是线性的或非线性的。
一元回归分析方法
一元回归分析方法在节电管理中的应用设备能源工程处谭春艳一元回归分析在节电管理中的应用能源管理中用电计划的编制及耗电定额的确定是一项十分重要的工作，正确科学地编制用电计划和制定合理的产品耗电定额对于控制企业能源消耗，实现企业节支降耗目标具有重要的意义。
用电消耗，根据历年消耗的统计数据进行分析，是存在一定规律的，找出这种规律性，就可以比较准确的预测出新的年度耗电量。
回归分析所建立的熟悉模型，综合了企业历年耗电的各种“平均”影响因素，能够简便的预测出新的年度耗电量，从而为企业节能管理带来科学性和明显的节能效益。
回归分析方法是现代化科学管理方法预测和决策技术的一种回归分析所建立起的数学模型是一种统计模型，按其变量的多少，分为一元回归分析数学模型和多元回归分析数学模型，按因变量与自变量之间的函数关系，分析线性模型和非线性模型，实际应用中多为一元线性回归分析数学模型或多元线性分析数学模型，实践证明回归分析方法在企业管理中有比较强的适用性本文结合企业实际，讨论其在企业节能管理中的应用及取得的经济效益。
一、应用一元回归分析方法实例如果所选择的用电消耗数据是近似线性关系，则设数学模型为：Y=a+bx (1)利用最小二乘法求系数 a 、b 值：b=Lxy/Lxxa=Y-bx其中：Lxx=、xi 2-1/n( 、xi )2Lxy= ' XiYi -1/n(' Xi ) (' Yi )22Lyy=、Yi -1/n(、Yi )Y=1/n - Yi 是Yi 的平均数 X=1/n - Xi 是Xi 的平均数以公司2000〜2006年七年间的产品产量和耗电量统计 数据，建立一元回归分析数学模型，预测2007、2008的目标耗电量，以便确定成本费用指标，实施目标控制和管理。
表1、2000-2006 年我公司产品产量和耗电量统计数据以 y 表示耗电量、 x 表示产量设Xi 、丫i 分别表示第i 年的产量和耗电量，i=1、2、3…,n 为年份，统计n 年，则可以得到数据点（XiYi ）。
7一元回归分析-65页文档资料
例 合金的强度y (×107Pa) 与合金中碳 的含量x (%) 有关。为研究两个变量间 的关系。首先是收集数据，我们把收集 到的数据记为(xi,yi),i=1,2,,n。本例中， 我们收集到12组数据，列于表 1中
表1 合金钢强度y与碳含量x的数据
序号
1 2 3 4
x(%)
0.10 0.11 0.12 0.13
yx1
高尔顿对此进行了深入研究.他们将观察值在平面直角 坐标系上绘成散点图,发现趋势近乎一条直线,计算出的回归 直线方程为
yˆ3.3730.51x6
在回归分析中, 当变量只有两个时, 称为 一元回归分析; 当变量在两个以上时, 称为多 元回归分析. 变量间成线性关系, 称线性回归, 变量间不具有线性关系, 称非线性回归.
合金钢强度
60
50
40 0.10
0.15
0.20
碳含量
图 8.4.1 合 金 钢 强 度 及 碳 含 量 的 散 点 图
这种大量存在的变量间既互相联系但 又不是完全确定的关系，称为相关关系.
从数量的角度去研究这种关系，是数 理统计的一个任务. 这包括通过观察和试 验数据去判断变量之间有无关系，对其关 系大小作出数量上的估计,对互有关系的 变量通过其去推断和预测其它,等等.
其原因在于人有较大的个体差异, 因而身高 和体重的关系, 是既密切但又不能完全确定 的函数关系.
类似的变量间的关系在大自然和社会中 屡见不鲜.
例如,小麦的穗长与穗重的关系;某班学生最 后一次考试分数与第一次考试分数的关系;温 度、降雨量与农作物产量间的关系;人的年龄 与血压的关系; 家庭收入与支出的关系等等.
回归分析就是研究相关关系的一种重 要的数理统计方法.
多项式回归
多项式回归研究一个因变量与一个或多个自变量间多项式的回归分析方法，称为多项式回归（Polynomial Regression ）。
如果自变量只有一个时，称为一元多项式回归；如果自变量有多个时，称为多元多项式回归。
一元m 次多项式回归方程为：2012ˆ m m yb b x b x b x =++++ 二元二次多项式回归方程为：22011223142512ˆ yb b x b x b x b x b x x =+++++ 在一元回归分析中，如果依变量y 与自变量x 的关系为非线性的，但是又找不到适当的函数曲线来拟合，则可以采用一元多项式回归。
多项式回归的最大优点就是可以通过增加x 的高次项对实测点进行逼近，直至满意为止。
事实上，多项式回归可以处理相当一类非线性问题，它在回归分析中占有重要的地位，因为任一函数都可以分段用多项式来逼近。
因此，在通常的实际问题中，不论依变量与其他自变量的关系如何，我们总可以用多项式回归来进行分析。
§9.5.1多项式回归分析的一般方法多项式回归问题可以通过变量转换化为多元线性回归问题来解决。
对于一元m 次多项式回归方程，令212,,,m m x x x x x x === ，则该一元m 次多项式就转化为m 元线性回归方程01122ˆm m yb b x b x b x =++++因此用多元线性函数的回归方法就可解决多项式回归问题。
需要指出的是，在多项式回归分析中，检验回归系数i b 是否显著，实质上就是判断自变量x 的i 次方项i x 对依变量y 的影响是否显著。
对于二元二次多项式回归方程，令2211223142512,,,,z x z x z x z x z x x =====则该二元二次多项式函数就转化为五元线性回归方程01122334455ˆyb b z b z b z b z b z =+++++ 但随着自变量个数的增加,多元多项式回归分析的计算量急剧增加。
一元线性回归方程PPT课件
以下设 x 为自变量(普通变量) Y 为因变量(随机变 量) .现给定 x 的 n 个值 x1,…, xn, 观察 Y 得到相应的 n 个 值 y1,…,yn, (xi ,yi) i=1,2,…, n 称为样本点.
以 (xi ,yi) 为坐标在平面直角坐标系中描点,所得到 的这张图便称之为散点图.
Yi = 0 + 1 Xi + εi
其中： Yi——被解释变量； Xi——解释变量；
ε I ——随机误差项； 0，1—回归系数
随机变量ε i包含：
回归模型中省略的变量; 确定数学模型的误差； 测量误差
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假设调查了某社区所有居民，他们的人均可支 配收入和消费支出数据如下：
X 80 100 Y
=
(Xi X )2
=
( Xi X )Yi (Xi X )2
ˆ 令 ki
(Xi X) (Xi X )2
xi xi2
代入上式，得：
1
kiYi
同理可证：0也具有线性特性 。
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2、无偏性
ki
(Xi - X) (Xi - X )2
xi xi2
证明： E(ˆ1) = E( kiYi ) = E [ki (0 1Xi i ] = 0E[ ki 1 ki Xi kii ] = 1E [ki (Xi X )] E (kiui )
Y
55
80 100 120140 160
X
第5页/共28页
二、随机误差项εi的假定条件
为了估计总体回归模型中的参数，需对随机误差项作出如下假定：
假定1：零期望假定：E(εi) = 0。 假定2：同方差性假定：Var(εi) = 2。 假定3：无序列相关假定：Cov(εi, εj) = 0, (i j )。 假定4： εi 服从正态分布，即εi N (0, 2 )。 前三个条件称为G-M条件
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多元多项式回归属于多 元非线性回归问题，在 这里不作介绍
多项式回归分析的优点
多项式回归的最大优点就是可以通过增加的高次项 对实测点进行逼近，直至满意为止。 可以处理相当一类非线性问题，它在回归分析中占 有重要的地位，因为任一函数都可以分段用多项式 来逼近。 在通常的实际问题中，不论依变量与其他自变量的 关系如何，我们总可以用多项式回归来进行分析。
两种方法对比
拟合方程 R2
Statistica6.0
y=18.0639x3-91.9099x2+147.391x-0.42801
0.99984
Origin8.0
y=-41.05476exp(-x/0.457)-41.05476exp(-x/0.45699)+80.22099
0.81146
可见两种方法有差异，相比较用statistic，origin拟合 出的结果离散较大，所以建议用statistic拟合出的方程 比较合适
THANK YOU
用STATISTICA进行非线性回归分析
根据y与x的对应数据，EXCEL绘图可以看出来，他们之 间满足ax3-bx2+cx+d。用STATISTICA做试验分析时采用自定 义回归方程模块
回归过程详解
采用Levenberg-Marquardt估计方法求解结果显示对话框
一元多项式回归
在多项式回归中较为常用的是一元二次多 项式回归和一元三次多项式回归，下面结 合一实例用两种方法对一元三次多项式回 归作详细介绍：
STATISTICA origin
问题背景
在熔盐泵模化试验中，根据模化方案，采用水作为试验 介质，已知输送介质密度、粘度、转速、颗粒直径、密 度、叶轮直径的原型泵进行模化试验，在不同的流量工 况下，将流量、扬程和轴功率全部转换成无量纲的比流 量、比扬程和比功率。对其中的效率，比能量数值曲线 进行拟合，实验数据结果如下，其中效率为y，比能量 为x 。
一元多项式回归
演讲人：
多项式回归：研究一个因变量与一个或多个
自变量间多项式的回归分析方法
一元多项式回归 2 y=b0+b1x+b2x +…+bm xm
多元多项式回归 1 2 y=b0+b1x +b2x2 +b3x3 3…b x m m m
在一元回归分析中，如 果依变量 与自变量 的 关系为非线性的，但是 又找不到适当的函数曲 线来拟合，则可以采用 一元多项式回归
从残差直方图可以看出图像并不是近似满足正态分布 规律，原因是？
使用origin进行非线性回归
选择非线性回归拟合选项
回归结果和残差分布
从残差分布可以看出，此回归方程是比较合适的。 但是由于实验数据离散大，所以R2值并不高，但是 结合图像分析，可以判断拟合曲线能基本满足应用 需要。拟合方程为y=-41.05476exp(-x/0.457)41.05476exp(-x/0.45699)+80.22099
结果分析
方差分析结果
观测值，预测值，残差值
残差直方图
残差散点图
观测值与回归曲线对比图
总结
从上面的分析结果里我们可以看到系数a=18.0639， b=-91.9099，c=147.391，d=-0.42801即 y=18.0639x3-91.9099x2+147.391x-0.42801。我们 可以看出拟合曲线和散点之间的相关度是 0.99984089。从残差散点图可以看出残差点没有明 显的规律可寻，即说明残差基本满足随机分布。综 合以上分析可以说明，预测的回归曲线方程的参数 与解析解非常的接近。关系曲线方程为 y=18.0639x3-91.9099x2+147.391x-0.42801。