NOIP普及讲座7-图的基本知识(C++版)

int main() { const max=1E5, n=10; int g[n+1][n+1]; int i,j,k,e,w; g:graph; for (i=1;i<=n;i++) for (j=1;j<=n;j++) g[i][j]=max; cin>>e; for (k=1;k<=e;k++) { cin>>i>>j>>w; g[i][j]=w; g[j][i]=w; } for (i=1;i<=n;i++) { for (j=1;j<=n;j++) cout<<g[i][j]; cout<<endl; } }
反之
∞ 2 12 10 邻接矩阵表示为： A1=
∞
2 ∞ 8
12 8 ∞ 10 ∞ 6 ∞ 9 3
∞
6
9
3
∞ 7 7 ∞
1
4 3
2
5
0 0 邻接矩阵表示为： 0 0 A2= 0 1 0 1 0 0
0 0 0 1 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
建立带权无向图的领接矩阵
输入样式： 8 1 2 2 1 3 12 1 4 10 2 3 8 2 5 9 3 4 6 3 5 3 4 5 7
∞ 7 3 7 ∞ 5
10 15 13 6 12 10
A1=
3
5 ∞
10 13 6 ∞ 11
例1的广度优先遍历如下：
15 12 10 11 ∞
void bfs(int i)； {宽度优先遍历，图用邻接矩阵表示} { 访问顶点i；Visited[i]=true;顶点i入队q； while (队列q非空) { head++;v=q[head].v； for (j=1;j<=n;j++) { if (not Visited[j]&&a[v,j]==1) { 访问顶点j；Visited[j]=true;顶点j入队q; } 时间：O（n*n） } } }
O（3e）
图的应用（遍历）
例1.城市公交网。有一张城市地图，图中的顶点为城市，无 向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市 之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特 点，即任一对城市都是连通的。现在的问题是，要修建若干 高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得工程的总 造价最少?
2.广度优先搜索 对下图从1出发进行宽度优先搜索，写出搜索结果。
1
4
2
5
3
左图从顶点1出发，进行广度优先搜索的结果为：1，2，3，4，5 右图从顶点1出发，进行广度优先搜索的结果为：1，4，2，3，5
轻松小练
无向图G=(V，E)，其中V={a,b,c,d,e,f} E={(a,b),(a,e),(a,c),(b,e),(c,f),(f,d),(e,d)}对该图进行 深度优先遍历,得到的顶点序列正确的是( ) A. a,b,e,c,d,f B. a,c,f,e,b,d C. a,e,b,c,f,d D. a,b,e,d,f,c
5
2
3
0
建立有向图的静态数组
输入样式： 5 1 4 2 5 3 2 4 2 4 3
1 4 3 2 5
void createlist; { memset(g,0,sizeof(g)); cin>>n>>e; for (k=1;k<=e;k++) { cin>>i>>j; g[i][0]++; g[i][g[i][0]]=j; } }
模型2
以26个英文字母作为顶点。 对于每一个单词，在图中从它的首字母向末字母连一条 有向边。
模型2
问题转化为在图中寻找一条不重复地经过所有边 的路径，即欧拉路径。 这个问题能够在O(|E|)时间内解决。
小结
比较以上两个模型，模型1过于直接，模型2则打 破了“顶点表示元素，边表示元素之间关系”的思 维定势，将元素表示在边上，而顶点则起到连接各 个元素的作用。
例4 拦截匪徒 （catch.???)
某市的地图是一个由 n 个点组成的无向图，每个点代表一个区。现在 第 p 区发生了抢劫案，而警察为了截住匪徒埋伏在一个匪徒必经的区域。 由于不知道匪徒会向哪个区域逃窜，局长要求身为警察局电脑专家的你计 算出对于任意一个匪徒可能逃向的区 j，找出一个可以截住匪徒的区 k，即 匪徒从p区逃向j区，必经过k区。由于地区j可能为匪徒的老巢所在，所以 局长希望在路上拦住匪徒，而不是在j区抓捕。
要查找一个顶点的前驱顶点 不适合对顶点的 和以此顶点为终点的边、以 运算和对任意一 及该顶点的入度就不方便了， 需要扫描整个表，时间复杂 条边的运算 度为O（n+e）。
适合于存储稀疏图 和那些对边依次进 行处理的运算
缺点
适用 场合 空间 复杂度
对任一顶点的关联边（顶 点）进行不断、重复的运 算 ≈ O（6e+2n）
例2、奇怪的电梯
1 4 2 5
3
DFS、BFS程序，请同学们课后独立完成！
例3 单词游戏
有N个盘子，每个盘子上写着一个仅由小写字母组成的 英文单词。 你需要给这些盘子按照合适的顺序排成一行，使得相 邻两个盘子中，前一个盘子上面单词的末字母等于后一个 盘子上面单词的首字母。 请你编写一个程序，判断是否能达到这一要求。如果 能，请给出一个合适的顺序。
a b f d
c
e
该图进行广度优先遍历,得到的顶点序列正确的是什么？
∞ 2 12 10
∞
2 ∞ 8
A1= 12 8 ∞ 10 ∞ 6 ∞ 9 3
∞
6
9
3
∞ 7 7 ∞
例1的深度优先遍历的递归过程如下：
viod dfs(int i)； {图用邻接矩阵存储} { 访问顶点i； visited[i]=true； for (j=1;j<=n;j++) if (Not Visited[j]&&a[i][j]==1) dfs(j)； } 以上dfs(i)的时间复杂度为O（n*n）。 对于一个非连通图，调用一次dfs(i)，即按深度优先顺序依次访问 了顶点i所在的（强）连通分支，所以只要在主程序中加上： for (i=1;i<=n;i++) {深度优先搜索每一个未被访问过的顶点} if (not Visited) dfs(i);
提问1：一个图中，全部顶点的度数为所有边数的 2
于)所有顶点的出度之和；
√ 提问2：有向图中所有顶点的入度之和是(大于、等于、小 √ 提问3：任意一个无向图一定有（偶数、奇数）个奇点；
以上为关于图的度的三个定理
倍;
课上小练
1、假设我们用d=(a1,a2,...,a5),表示无向图G的5个顶点 的度数，下面给出的哪（些）组d 值合理（ ）。 A. {5，4，4，3，1} B. {4，2，2，1，1} C. {3，3，3，2，2} D. {5，4，3，2，1} E. {2，2，2，2，2} 2、无向图G有16条边，有3个4度顶点、4个3度顶点，其余 顶点的度均小于3，则G至少_______个顶点。 3、一个无向图有4个结点，其中3个的度数为2，3，3，则 第4个结点的度数不可能是_______(北京理工,99年) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
4.图的三种存储结构比较（n阶e条边）：
邻接矩阵 优点 边集数组 静态数组
存储稀疏图时， 便于查找任一顶点的关联 直观方便,A[i， 空间效率比较好， 边及关联点,查找运算的时 j]时间O（1） 也比较直观 间复杂性平均为O(e/n)
存储稀疏图， 会造成很大的 空间浪费 处理1个顶点 的度和关联边， O （n ） O（n*n）
输入样例： 5 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0
图的基本知识
江苏省金湖中学 张厚林
◆图的概念 ◆图的存储 ◆图的遍历 ◆图的应用
图的引入
1736年欧拉利用图论思想解决了哥尼斯堡七桥问题（一笔 画）
相关概念
（1）图的表示
（2）无向图、有向图、带权图
1
4
2
5
3
提问：指出上图中哪个是无向图、哪个是有向图、哪个是带
权图？
1
4 3
2
5
2.顶点的阶、度、入度、出度、奇点、偶点
A、A点
B、B点
C、C点
D、D点
E、 E点
课上小练
判断下图是否具有哈密尔顿回路，通路。
建立模型
例1. 城市公交网。有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间
的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这 个地图有一个特点，即任一对城市都是连通的。现在的问题是，要修建若干高速公 路把所有城市联系起来，问如何设计可使得工程的总造价最少。 1 4 3 例2.奇怪的电梯。呵呵，有一天我做了一个梦，梦见了 一种很奇怪的电梯。大楼的每一层楼都可以停电梯，而 且第i层楼(1<=i<=N)上有一个数字Ki(0<=Ki<=N)。 电梯只有四个按钮：开，关，上，下。上下的层数等于 当前楼层上的那个数字。当然，如果不能满足要求，相 应的按钮就会失灵。例如：3 3 1 2 5代表了 Ki(K1=3,K2=3,……)，从一楼开始。在一楼，按“上” 可以到4楼，按“下”是不起作用的，因为没有-2楼。 那么，从A楼到B楼至少要按几次按钮呢？ 2 5
核心：主要是点、边的 存储。所以我们想尽办
法，存储……
图的存储
1.邻接矩阵 邻接矩阵：是表示顶点之间相邻关系的矩阵。